asep1-2016-160809194541 (1)

Prévia do material em texto

1 
1 
 
 
 
 
 
SANTARÉM - Celpa - Subestação Muiraquitã. 
 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 DE POTÊNCIA 
 
 
NOTAS DE AULA - 9º PERÍODO 
 
 
 
Autor: Professor Paulo Rogério Pinheiro Nazareth 
 
 
 
Aluno(a): ............................................................................................................................ 
 
 
 
 
 
2 
2 
TÓPICOS 
 
I- CONSIDERAÇÕES GERAIS EM SEP ........................................................................................ 03 
 
II-CONCEITOS BÁSICOS ............................................................................................................... 08 
 
III-GRANDEZAS EM “PU”............................................................................................................... 29 
 
IV-REPRESENTAÇÃO DE SEP’s .................................................................................................... 33 
 
V-ESTUDOS DE CURTO-CIRUITOD EM SEP’s ........................................................................... 38 
 
VI-IMPEDÂNCIAS DE SEQUÊNCIA DOS COMPONENTES DO SEP ........................................ 51 
 
 VII-FALTAS ASSIMÉTRICAS EM SEP ........................................................................................... 54 
 
VIII-COMPARAÇÃO DOS NÍVEIS DE CURTO-CIRCUITO ASSIMÉTRICOS EM FUNÇÃO DO 
CURTO-CICUITO TRIFÁSICO ....................................................................................................... 58 
 
IX-CÁLCULO DE CURTO-CIRCUITO ATRAVEZ DA MATRIZ DE IMPEDÂNCIA ZBUS ....... 60 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
3 
ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA ( SEP ) 
 
I- CONSIDERAÇÕES GERAIS EM SEP. 
I.1- Introdução. 
Engenharia de SEP é o ramo da engenharia que lida com a tecnologia de geração, transmissão e 
distribuição de energia elétrica. 
O engenheiro de um SEP deverá saber planejar, projetar e operar com um SEP. Esta tecnologia 
compreende o estudo de vários tópicos tais como: Análise, Planejamento, Dinâmica de Geração, 
Proteção, Estabilidade, Confiabilidade, Sobretensões, Operação Econômica, Distribuição de SEP, etc. 
 
I.2- Objetivo. 
Gerar energia elétrica suficiente nos locais mais adequados, transmitir essa energia em grosso até o centro 
de carga e então distribuí-la aos consumidores individuais de forma e qualidade adequadas e ao mais 
baixo preço econômico e ecológico. 
Os SEP são projetados para atender certas exigências, tais como: 
a)Confiabilidade de suprimento; b) Economia ( técnica e ecológica ); 
c)Qualidade de suprimento ( V = cte e f = cte ). 
 
I.3- Classificação das Tensões. 
NÍVEL TENSÕES NOMINAIS DISPONÍVEIS CLASSE DE TENSÃO 
Baixa Tensão 
110 ...... 127 V 
220 ...... 230 V 
380 V 
415 ...... 480 V 
660 V 
1 kV 
Média Tensão 
2,4 kV; 3,3 kV; 4,16 kV; 6,6 kV; 7,2 kV 
11 kV; 13,2 kV; 13,8 kV 
20 kV; 23,2 kV; 24,2 kV 
36,2 kV 
7,2 kV 
15 kV 
24 kV 
36 kV 
Alta Tensão 
66 kV; 69 kV 
138 kV 
230 kV 
69 kV 
138 kV 
230 kV 
Extra Alta 
Tensão 
345 kV 
450 kV ..... 550 kV 
550 kV ..... 750 kV 
345 kV 
550 kV 
750 kV 
 
I.4- Estrutura do SEP. 
O SEP opera em diversos níveis de tensão separados por transformadores. 
a) Nível de distribuição 





V220/V380;V127/V220Secundária
kV5,34;kV8,13imáriaPr
 
b) Nível de subtransmissão - 22 kV a 69 kV ou 138 kV 
c) Nível de transmissão - 138 kV; 230 kV 
 
 
4 
4 
- EAT: 345 kV; 450 kV; 550kV; 750 kV 
 
I.5- Estado de um SEP. 
Basicamente um SEP pode operar em dois estados: 
 - SEP em regime permanente; 
 - SEP fora do regime permanente (regime transitório). 
 
I.5.1- SEP em regime permanente. 
Neste caso são comuns os seguintes tipos de estudos: 
 
1- Fluxo de Potência (Load Flow). 
Os estudos de fluxo de potência são realizados, principalmente para fins de planejamento e operação. O 
estudo do fluxo de potência nos fornece a condição de tensão em todas as barras em módulo e ângulo de 
fase, bem como o fluxo de potência ativa (P) e reativa (Q) em todas as linhas do sistema. 
 Com as informações obtidas do estudo de fluxo de potência, pode-se pesquisar: 
 → Modificação da configuração do sistema, ou seja, Novas LT’s? Rearranjo das existentes? 
 → Modificações das características do sistema, ou seja, Mudar o condutor? Mudar a V do sistema? 
 → Emergências no sistema, tais como Perdas de LT’s, e Geradores. 
 → Otimização da operação do sistema quanto à distribuição de cargas do sistema, minimização de 
perdas, utilização de Trafo com e sem taps variáveis em carga (LTC). 
 
2- Operação Econômica do Sistema. 
Uma determinada carga pode ser alimentada por diferentes alternativas, dependendo dos despachos de 
geração das usinas, do perfil de tensão V do sistema e da configuração de linhas de transmissão (LT’s) do 
sistema. 
 Portanto, é necessário decidir a estratégia operacional ótima do sistema levando-se em conta: 
 →Despacho de geração mais econômico. 
 →Critérios de custos (operacionais de combustíveis). 
 →Critério de perdas nas linhas de transmissão, para diferentes configurações e diferentes despachos 
de geração. 
 
3- Controle do Sistema. 
 Controle f x P (Carga x Frequência) 
 Controle V x Q (Tensão x Reativos) 
 
I.5.2- SEP fora do regime permanente ( regime transitório ). 
Durante o funcionamento de um SEP poderão ocorrer diversos fenômenos transitórios devido a: 
 
 
 
5 
5 
1- Variações momentâneas ou permanentes do sistema, provocado por: 
→ descargas atmosféricas; → manobras do circuito; → desligamento de geradores; 
→ desligamento de cargas; → ocorrência de curtos-circuitos. 
 
2- Variação de alguma grandeza eletromecânica do sistema. 
Consequentemente vão surgir oscilações de potência, tensão e corrente do sistema. 
As OSCILAÇÕES DE POTÊNCIA poderão tirar o sistema de sincronismo. 
As ELEVADAS TENSÕES E CORRENTES poderão danificar os equipamentos. 
 
Os transitórios são classificados de acordo com a sua velocidade e duração em: 
 
  Transitórios Ultrarrápidos ou classe A, que constitui o chamado ESTUDO DE 
SOBRETENSÕES. 
São caracterizados por fenômenos de pontos de tensão, causados por: 
 
 Descarga atmosférica nas LT’s Operações de manobra (switching operations) 
 
 
 
 
 
 
 
 
São de natureza elétrica provocando ondas eletromagnéticas que se propagam pela linha à velocidade da 
luz. O elemento que controla ou elimina estes transitórios são os para-raios do sistema. A duração deste 
transitório pode chegar até 5 ms após a ocorrência, provocando perigosas sobretensões. A finalidade do 
Estudo de Sobretensões é de fornecer elementos para estabelecer um esquema e proteção contra 
sobretensões e determinar o nível básico de isolamento (NBI) dos equipamentos do SEP. 
 
  Transitórios Medianamente Rápidos ou classe B, que constitui o chamado ESTUDO DE 
CURTOS-CIRCUITOS. 
São caracterizados por fenômenos de curto-circuito, causados por falhas de isolamento de LT ou 
equipamentos após surtos de tensão ou contatos acidentais entre fases, fase e terra, ou causas mecânicas 
diversas. 
São também de natureza elétrica e são determinadas basicamente pelo acoplamento magnético entre os 
enrolamentos dos geradores. Quanto à duração, nos primeiros 10 ciclos do curto-circuito, na prática são 
de importância maior, porém os estudos se prolongam até 100 ms após a ocorrência do curto-circuito. 
1,2 50 μseg 
100% 
50% 
Tensão - V 
70 a 250 300 μseg 
100% 
50% 
Tensão - V 
 
 
6 
6 
Os curtos-circuitos acarretam um colapso total ou parcial da tensão do sistema e as correntes podem 
alcançar valores maiores que as limitações técnicas dos equipamentos e LT’s. 
Os elementos responsáveis por controlar ou eliminar tais transitórios são os relés e disjuntores, 
religamento automático. 
A finalidade do Estudo de Curto-circuito é de determinar presumidamenteas correntes e tensões de 
falta para selecionar os disjuntores do sistema e escolher o sistema de proteção por relés que deverão 
sentir o defeito e iniciar o chaveamento seletivo para minimizar os problemas técnicos dos 
equipamentos e as oscilações mecânicas dos motores. 
 
  Transitórios Lentos ou classe C, que constitui o chamado ESTUDO DE ESTABILIDADE. 
São fenômenos de estabilidade transitória e dinâmica, causados por curto-circuito que ocorre num ponto 
vital do sistema não eliminado com sucesso e/ou a tempo. São de natureza eletromecânica, envolvendo as 
oscilações mecânicas dos rotores das máquinas síncronas. Sua duração vai de fração de segundo a um 
minuto ou mais. As oscilações do rotor podem tirar máquinas de sincronismo e provocar o colapso total 
ou parcial do sistema. 
Estes transitórios podem ser controlados ou eliminados pela eficiência do sistema de proteção que deve 
eliminar o defeito. 
A finalidade do estudo de estabilidade é estabelecer estratégias de operação que minimizem os efeitos das 
ocorrências usando outros tipos de proteção ou outros tipos de relés, chaveamento no sistema de LT’s 
e/ou Geradores, e rejeição de cargas. 
 
QUADRO RESUMO DE ESTUDO E ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 
 
REGIME PERMANENTE 
SENOIDAL (60 Hz) 
 
REGIME DINÂMICO 
(0,1 Hz a 100 Hz) 
 
 
REGIME TRANSITÓRIO 
(1 Hz a 100 MHz) 
 
Análise no domínio 
da 
 FREQUÊNCIA 
Análise no domínio do 
TEMPO e 
APROXIMAÇÕES 
Análise no domínio do TEMPO 
e/ou da 
 FREQUÊNCIA 
 Curto-circuito; 
 
 Fluxo de Carga; 
 
 Estabilidade Estática. 
 ⇒ Estabilidade 
 Transitória. 
 
 Transitórios 
 Eletromecânicos 
Faltas 
1 Hz 
a 
10 kHz 
 
Manobras 
 
100 Hz 
a 
100 kHz 
 
Sobretensões 
Atmosféricas 
 
100 kHz 
a 
1 MHz 
Corona 
1 MHz 
a 
100 MHz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
7 
II-CONCEITOS BÁSICOS. 
II.1-Representação de Tensão e Corrente. 
A forma de onda de tensão nos barramentos de um SEP pode ser assumida como sendo puramente 
senoidal e de frequência constante. 
 - As correntes e tensões senoidais são representadas na forma fasorial e com letras maiúsculas, como 
por exemplo, V; I. 
 - IeV → Módulos de V e I respectivamente. 
 - Os valores instantâneos de corrente e tensão serão designados por letras minúsculas. Ex.: v(t) ou v; 
i(t) ou i 
 - Quando uma tensão gerada (força eletromotriz) está especificada, usa-se a letra E em vez de V para 
enfatizar o fato de uma genérica diferença de potencial entre dois pontos está sendo considerada. 
 - Se uma tensão ou corrente são expressas em função do tempo, tais como: 
 v(t) = 141,4cos (wt + 30º) e i(t) = 7,07coswt, teremos: 
 Vmáx=141,4 V; Imax=7,07 A 
 Vrms = Vef = )CAsvoltímetronoslido(V100=
2
4,141
=V=
2
Vmáx
 
 )CAosamperímetrnoslido(A5=
2
07,7
=I=
2
I
=I=I
máx
efrms 
 -Expressando como fasores, fica: 
 
)A(0j+5=IouAº05=I
);V(50j+6,86=VouVº30100=V
∠
∠
 
 -A potência média dissipada em um resistor é .
2
RI 
II.2-Notação com subscrito único. 
Considere o circuito CA a seguir com fem Eg e impedância de carga ZL. 
 
 
 
 
 
 
 
II.3-Notação com subscrito duplo. 
Observando o mesmo circuito anterior, podemos destacar: 
 IL = Iab → sentido positivo da corrente de a → b. 
 Iab = - Iba = 180baI 
  180babaab VVV 
 Aabab ZIV  
 - 
ZL 
 Eg 
Zg 
ZA IL 
Vt VL 
b 
 o n 
a 
LbLbtata
Lggt
A
Lt
L
VVevvVVevv
setemreferênciadeneonósosSendo
IZEV
Z
VV
I





;
:,
;
 
 
 
8 
8 
Da 2ª Lei de Kirchhoff (LKT), temos que: 
 
A
bnao
abbnaoAab
bnAabao
bnaboa
Z
VV
IVVZI
VZIV
VVV




0
0
 
 
II.4- Sistema de Transmissão de Energia Elétrica 
Os sistemas de transmissão de energia elétrica são projetados para atender a certos critérios mínimos, tais 
como: 
a) Capacidade de transmissão de energia; 
b) Qualidade de transmissão; 
c) Confiabilidade; 
d) Economia. 
 
II.4.1- Características básicas da energia elétrica 
Inicialmente, devemos ressaltar que, por várias razões, é conveniente na maior parte das ocasiões dar 
atenção, não à energia w em si, mas a sua taxa de variação com o tempo, ou a potência p, onde: 
 
dt
dw
p

 (Watts) 
Nota: Usaremos letras minúsculas para indicar funções do tempo ou valores instantâneos. 
 
Explicitando a energia w da equação anterior, fica: 
 
t
t0
pdtw (Ws ou J) 
Observe que w dependerá do instante inicial t0, arbitrariamente escolhido, o que não ocorre com a 
potência. 
No SI, a unidade de energia elétrica é o wattsegundo (Ws) e a de potência elétrica o watt (W). Essas 
unidades são muito pequenas, sendo preferível usar o quilowatt (kW), o megawatt (MW) e o gigawatt 
(GW) para potência elétrica e o kWh para a energia elétrica. 
 
II.4.2- Fórmula fundamental da potência – Energia eletromagnética 
Toda tecnologia aplicada na ESEE se baseia no fato de que é possível transformar as formas primitivas de 
energia disponíveis na natureza, em energia elétrica, transmiti-la ao consumidor em potencial e então, 
finalmente, novamente transformá-la em outras e variadas formas para sua utilização. 
Essas transformações não são simples. 
Por exemplo, consideremos a energia química armazenada no carvão. O carvão pulverizado é misturado 
com o ar na câmara de combustão da caldeira, onde a energia química é liberada sob a forma de energia 
térmica, ou calor. Numa sequência de trocadores de calor, a energia térmica é transmitida para outro 
 
 
9 
9 
meio, a água, que absorve e muda de fase, transformando-se em vapor. Este, passando por uma turbina, 
perde parte de sua energia térmica, sob a forma de energia mecânica. Por fim, no gerador elétrico, a 
energia mecânica se transforma em energia elétrica. 
 
Praticamente, quase toda energia elétrica produzida atualmente é a partir de geradores rotativos 
(máquinas girantes), nos quais a transformação de energia é de mecânica para elétrica. Grandes esforços 
estão sendo empreendidos na pesquisa de métodos de conversão direta de energia (CDE). A principal 
característica de todas as técnicas de CDE é que se tenta eliminar a etapa mecânica intermediária, 
procurando obter energia elétrica diretamente, ou de energia térmica, ou da solar, ou da energia química. 
Iremos tratar as características da energia já na forma elétrica, não nos importando como ela chegou a 
essa forma. Supomos inicialmente de que dispomos de um equipamento, designado por gerador, que 
possui no mínimo dois terminais de saída, dos quais podemos retirar uma corrente i, estável, num 
potencial v, estável, entre esses terminais. Faremos a suposição inicial de que v e i sejam quase estáticos, 
isto é, que suas variações sejam relativamente lentas. 
A expressão fundamental da potência agora informa que o gerador fornece energia numa taxa: 
 p = vi (Watts) 
Considerem nas figuras os protótipos mais simples de um sistema de transmissão, sendo um elétrico e o 
outro mecânico para efeito de comparação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No caso elétrico, o processo mostrado é realizado por um mecanismo de “bombeamento de carga”. A 
corrente representa o fluxo de carga por unidade de tempo e o gerador “bombeia” essa carga, sendo capaz 
de manter um fluxo i contra a pressão, ou potencial v. 
 
Fazendo uma analogia com o sistema de transmissão de potência hidráulica, temos: 
Aos condutores elétricos correspondem linhas de pressão hidráulica conduzindo um fluido 
incompressível; a bomba hidráulica, que corresponde ao gerador, faz com que o fluido circule com uma 
vazão i m³/s e mantem uma diferença de pressão de ν N/m². Se a área de secção das linhas for de A m², a 
velocidade do fluido será i/A m/s, e a força total sentida pelo pistão do motor será Aν N.Gerador 
Fluxo de energia 
Carga 
Corrente i 
Diferença de potencial v Elétrico 
Bomba Motor 
Vazão i 
Diferença de pressão v 
Hidráulico 
 
 
10 
10 
Como, Potência mecânica = força x velocidade, podemos utilizá-la para obtermos a seguinte expressão 
para a potência mecânica transmitida por esse sistema, ou seja: 
 
 Pmec = Aν.i/A = νi, ou seja, 
 Pmec = νi (Watts) 
Cuja equação é idêntica a p = vi (Watts) 
 
Na realidade, existem diferenças entre os dois sistemas mostrados anteriormente. 
Por exemplo, não há dúvida de que, no sistema hidráulico, a transferência de energia entre a bomba e o 
motor ocorre no interior das linhas de pressão. Não temos essa garantia no sistema de transmissão 
elétrico. Embora a equação de p enfatize a corrente, que sem dúvida localiza-se no interior dos 
condutores, o enfoque dado pela Física situa o fluxo de energia fora dos condutores, no campo 
eletromagnético que os circunda. Portanto, deveremos designar a energia transmitida por energia 
eletromagnética wem. 
Não devemos, é claro, esperar que a energia esteja uniformemente distribuída no espaço externo aos 
condutores, e sim que apresente uma densidade volumétrica que aumentará na mesma proporção que a 
intensidade dos vetores de campo. O fenômeno dessa transmissão de energia é descrito de maneira 
compacta pelo vetor de Poynting P, dado pela expressão: 
 
 P = E x H (W/m²) 
Onde na expressão temos para os vetores: 
 E = intensidade de campo elétrico, V/m; 
 H = intensidade de campo magnético, A/m. 
 
O vetor P definido na equação anterior, é obtido pelo produto vetorial entre E e H, e sua direção é 
perpendicular ao plano que contem E e H. 
 
O valor de P é dado por: 
 
  senHEP , onde α é o ângulo entre E e H. 
 
A interpretação da equação do vetor de Poynting é que a energia eletromagnética movimenta-se ou 
irradia-se numa direção e num sentido coincidentes com os de P. A quantidade de energia que penetra na 
unidade de área (perpendicular à direção da radiação), por unidade de tempo, é dado pelo módulo |P|. 
Na figura a seguir temos os dois condutores do sistema simples de transmissão elétrica, com seus campos 
elétricos e magnéticos: 
 
 
 
 
11 
11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II.4.3- Formas Adicionais de Energia Elétrica 
Além da energia eletromagnética, na ESEE nos interessam três outras formas de energia: 
1- Energia de campo elétrico, we; 
2- Energia de campo magnético, wm; 
3- Energia ôhmica, ou dissipada, wΩ. 
 
- Energia de campo elétrico (we) 
Esta forma de energia existe em todos os lugares do espaço onde esteja presente um campo elétrico. Por 
exemplo, entre as placas de um capacitor ou em torno dos condutores de uma linha de transmissão. Ela é 
encontrada em densidades de volume, que podem ser calculadas por: 
 ³m/WsD.E
2
1
)vol(d
dw
ou³m/WsE
2
1
)vol(d
dw e2
0
e  
Sendo: 
 - E = intensidade de campo elétrico, V/m; 
 - 

 90 10
36
1
 constante dielétrica para o vácuo, 
 -  = constante dielétrica relativa para o meio em questão; 
 - D = εε0E = densidade de fluxo elétrico, Vs/m². 
 
Exemplo 1. 
Considere o capacitor simples de placas representado na figura: 
 
 
 
 
 
 
d 
Campo 
elétrico E 
Área A 
H 
E 
P 
Obs.: 
 
 - As linhas de campo magnético são círculos não 
concêntricos. 
 
 - As linhas de campo elétrico são segmentos de 
círculo e ortogonais às de campo magnético. 
 
 - Estando E e H ambos localizados num plano 
perpendicular aos condutores, P será paralelo aos 
condutores e dirigido para a carga. 
 
 
12 
12 
O capacitor está carregado com uma tensão v volts. Desprezar o efeito de espraiamento, e assim 
considera-se que o campo elétrico é constante entre as placas. Assuma um dielétrico linear com uma 
constante dielétrica ε e obtenha a energia de campo elétrico do capacitor (we). 
Sendo 
d
v
E  => 
2
0
e
d
v
2
1
)vol(d
dw






 
O volume compreendido entre as placas será o produto Ad. 
Trabalhando apenas com meios isotrópicos e lineares, temos: 
2
0
2
0
2
0e v
d
A
2
1
Ad
d
v
2
1
volume
d
v
2
1
w 

















 
2
0e v
d
A
2
1
w 





 ; Sabe-se que a capacitância 
d
A
C 0 , então, 
 JoulesouWsCv
2
1
w
2
e  
 
- Energia de campo magnético (wm) 
Em qualquer lugar do espaço onde esteja presente um campo magnético, a energia de campo magnético é 
encontrada. Sua densidade de volume é dada por: 
 
³m/WsH.B
2
1
)vol(d
dw
ou³m/WsH
2
1
)vol(d
dw m2
0
m  
Sendo: 
 - H = intensidade de campo magnético, A/m; 
 -  70 10.4 permeabilidade magnética no vácuo; 
 -  = permeabilidade magnética relativa para o meio em questão; 
 - B = μμ0H = densidade de fluxo magnético em Wb/m². 
 
 
Exemplo 2. 
Para um elemento de circuito (bobina) que tenha um comprimento a, uma área A, uma indutância L e 
conduza uma corrente i, obter a expressão da energia de campo magnético Wm. 
³m/WsH
2
1
)vol(d
dw 2
0
m  
Em meios isotrópicos e lineares temos: 
volumeH
2
1
W
2
0m  
Sabe-se que Φ = L.i, ou Φ = B.A 
 
 
13 
13 
Logo, B.A = L.i => 
A
Li
B  
Sendo 
a
i
H  A/m, vem; 
22
0
2
0m Li
2
1
A.a
a
i
A
Li
2
1
A.a.H.B
2
1
A.aH
2
1
volumeH
2
1
W  
 JoulesouWsLi
2
1
W
2
m  
 
Obs.: A fórmula da energia de campo magnético para um sistema de bobinas magneticamente acopladas 
conterá termos adicionais devidos à mútua indutância M. Por exemplo, para um sistema de duas bobinas 
com correntes i1 e i2, teremos: 
 21
2
22
2
11m iMiiL
2
1
iL
2
1
W  
 
- Energia ôhmica ou dissipada (wΩ) 
Essa forma de energia é dissipada sob a forma de calor sempre que uma corrente elétrica flui num meio 
resistivo. A taxa de variação com o tempo, dessa dissipação de energia será, por unidade de volume, 
definido: 
 )m/W(E.I
)vol(d
dw
ou³)m/W(I
)vol(d
dw
)vol(d
dp 32   , onde: 
- ρ = resistividade específica do meio em questão (Ω.m); 
- I = vetor densidade de corrente (A/m²); 
- E = ρI = vetor tensão (V/m). 
 
Exemplo 3. 
Num condutor de comprimento a m e área de seção de A m² conduzindo uma corrente total de i A (de 
densidade uniforme de corrente I), obter a dissipação total de energia no volume. 
 
2
2
2
i
A
a
aA
A
i
volIp 





 ; sendo ,
A
a
R  tem-se que: 
 Watts²Rip  
 
Nota: Em muitos casos essa dissipação de calor representa uma forma útil de energia, como, por 
exemplo, no forno elétrico, nos aquecedores elétricos, etc. No entanto, na maioria dos casos, a energia 
ôhmica deve ser considerada uma perda de energia, como no caso de um sistema de transmissão. 
 
 
 
14 
14 
Exemplo 4. 
Considere o sistema de transmissão na figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
Deseja-se transmitir certa quantidade de potência (ptr). Devido à resistência da linha R, essa transmissão 
está associada a uma inevitável perda de potência (pperda). Obter a relação entre a perda de potência e a 
potência transmitida. Interprete o resultado. 
 
pperda = Ri², ptr = vi, onde i = ptr/v 
2
tr
tr
perda
2
2
tr
2
tr
perda
v
p
R
p
p
ou,
v
p
R
v
p
Rp 





 
Da relação obtida, podemos concluir que para diminuir as perdas pela resistência, devemos transmitir 
potência ou energia em alta tensão. 
 
II.5-Potência em circuitos monofásicos CA. 
A teoria fundamental da transmissão de energia descreve o deslocamento de energia em termos da 
iteração de campos elétricos e magnéticos. Porém, o engenheiro de sistemas de potência está, na maioria 
das vezes, preocupado com a descrição da taxa de variação da energia com respeito ao tempo (a qual é 
a definição de potência)em termos de tensão e corrente. A unidade de potência é o Watt. A potência em 
Watt absorvida pela carga a qualquer instante é o produto da queda de tensão através da carga em volts e 
a corrente instantânea na carga em ampères. Se os terminais da carga estão indicados por a e n, e se a 
tensão e a corrente são expressas por, 
 
),wtcos(IiewtcosVv maxanmaxan  
a potência instantânea é: 
 
 )wtcos(wtcosIVivp maxmaxanan  
 
 O ângulo θ na equação da potência é positivo para corrente atrasada da tensão e negativo para corrente 
adiantada da tensão. Um valor positivo de p expressa a taxa pela qual a energia está sendo absorvida pela 
parte do sistema, entre os pontos a e n. A potência instantânea é obviamente positiva quando ambas, van e 
ian, são positivas, mas tornar-se-ão negativas quando van e ian estiverem opostas em sinal. 
 
Gerador 
Fluxo de energia 
Carga 
Corrente i 
Diferença de potencial v 
 
 
15 
15 
A figura a seguir mostra a corrente, a tensão e a potência em função do tempo. 
 
 
 
 
 
 
A potência positiva calculada por vanian resulta quando a corrente está fluindo na direção da queda de 
tensão e é a taxa de transferência de energia para a carga. Inversamente, potência negativa calculada por 
vanian resulta quando a corrente está fluindo na direção de um crescimento da tensão e significa que uma 
energia está sendo transferida da carga para o sistema no qual a carga está ligada. 
Se van e ian estão em fase, como no caso de carga puramente resistiva, a potência instantânea nunca ficará 
negativa. Se a corrente e a tensão estão defasadas de 90°, como num elemento ideal de circuito puramente 
indutivo ou capacitivo, a potência instantânea terá semiciclos positivos e negativos iguais e seu valor 
médio será zero. 
Usando identidades trigonométricas na equação de p, ela fica reduzida a: 
 wtsensen
IV
)wtcos(cos
IV
p maxmaxmaxmax 2
2
21
2
  
Interpretando a expressão de p acima, destaca-se: 
a) O termo 
2
maxmaxIV
 pode ser substituído pelo produto do valor rms da tensão e corrente, ou seja: 
 .I.V
IVIV maxmaxmaxmax 
222
 
Logo, wtsensenI.V)wtcos(cosI.Vp 221   , sendo; 
 

cosI.VP é a potência ativa ou real, 
 

senI.VQ é a potência reativa. 
Onde p pode ser reescrita, como: 
 wt2Qsen)wt2cos1(Pp  
b) O primeiro termo que contem cosθ é sempre positivo e tem um valor médio de 
2
maxmaxIVP  , ou 
em valores rms tem-se .cosI.VP  
P significa fisicamente a potência média ou potência útil, dada em Watts, que está sendo transmitida. Seu 
valor depende muito do fator de potência. 
 
p=vanian 
ian 
van 
0 
P 
 
 
16 
16 
c) O cosseno do ângulo de fase θ entre a tensão e a corrente é chamado fator de potência. Um circuito 
indutivo tem um fator de potência em atraso e um circuito capacitivo tem um fator de potência adiantado. 
 
d) O termo wtcosI.V 2 ou wt2cosP , sendo senoidal possui valor nulo em um período. 
 
e) O termo wtsen.senI.V 2 ou wt2Qsen , é alternadamente positivo e negativo e tem um valor 
médio igual a zero e incapaz de realizar um trabalho útil. Esta componente da potência instantânea p é 
chamada potência reativa instantânea e expressa o fluxo de energia alternativamente na direção da carga 
e para fora da carga. O valor máximo desta potência pulsante, designada por Q, é chamado potência 
reativa ou volt-ampère reativo. 
Logo, ,sen
IV
Q maxmax 
2
 ou valores rms  senI.VQ . 
 
A tabela abaixo mostra resumidamente as potências ativas e reativas para as cargas mais comumente 
encontradas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V 
I 
R 
V I 
P > 0 ϴ = 0º Q = 0 
L V 
I 
V 
I 
ϴ = 90º P = 0 Q > 0 
C V 
I 
V 
I 
ϴ = - 90º P = 0 Q < 0 
V 
I 
R 
C 
C V 
I 
R 
ou 
V 
I 
-90 < ϴ < 0º P > 0 Q < 0 
0º < ϴ < 90º P > 0 Q > 0 
V 
I 
R 
L 
L V 
I 
R 
ou 
V 
I 
Tipo de carga Relação fasorial Fase Potência absorvida pela carga 
P Q 
 
 
17 
17 
Exemplo 1. 
Considere o circuito RL série como tipo de carga na tabela anterior. A tensão vale senwtV2v  
volts. Adote ϴ o ângulo de defasagem entre a corrente e a tensão. 
Determine: 
a) A corrente i; b) cosϴ e senϴ; c) As potências, ativa e reativa; 
d) A energia de campo magnético armazenada na bobina; 
e) Relacionar a potência reativa à energia de campo magnético armazenada na bobina. 
 
a) Z = R +jWL = 
22
)WL(R  ; 
R
WL
tg
1 






 I2
)WL(R
0V2
Z
0V2
I
22

 
.Amp)wt(senI2i  
 
b) 
2222
)WL(R
WL
sen;
)WL(R
R
cos;
R
WL
tg



 
c) Watts
)WL(R
RV
P
)WL(R
R
)WL(R
V
VPcosIVP
22
2
2222 



VAr
)WL(R
WLV
Q
)WL(R
WL
)WL(R
V
VQsenIVQ
22
2
2222 



 
d) 
2
22
2
m )wt(sen
)WL(R
V
2L
2
1
Li
2
1
w










 
e) 





















2
22
m )wt(sen
)WL(R
V
2L
2
1
dt
d
dt
dw
)wtcos()wt(sen
)WL(R
V
WL2
dt
dw
22
2
m 

 
)]wt(2[sen
2
1
)WL(R
V
WL2
dt
dw
22
2
m 

 
)]wt(2[Qsen
dt
dw m  
 
Nota: A taxa de variação com o tempo da energia de campo magnético varia harmonicamente com a 
frequência de 2W, possui valor médio nulo e um valor máximo exatamente igual a Q. 
 
 
18 
18 
 
Exemplo 2. 
Determine as potências pL, pc absorvidas pela bobina e pelo capacitor respectivamente, na associação em 
paralelo, no circuito da figura. Calcule também a potência p. 
 
 
 
 
Da equação, wtsensenI.V)wtcos(cosI.Vp 221   , temos: 
wt2senIVwt2sensenI.Vp ccc  
wt2senIVwt2sensenI.Vp LLL  
Essas potências estão defasadas de 180º. 
 cLLcLc IIwt2senVwt2senIVwt2senIVppp  
Note que as três potências Lc pep,p , são puramente reativas. 
 
Obs.: Se o circuito for posto em ressonância as correntes, Ic e IL serão iguais, e assim a potência de linha 
p, será igual a zero. Fisicamente isso significa que a energia oscila entre a bobina e o capacitor. Num 
dado instante a bobina está com o máximo de energia de campo magnético armazenada e o capacitor 
totalmente descarregado. Meio ciclo de tensão depois, o capacitor está totalmente carregado e a bobina 
sem nenhuma energia armazenada. 
 
II.6- Tensão e Corrente em Circuitos Trifásicos Equilibrados. 
Sistemas elétricos de potência são alimentados por geradores trifásicos. Usualmente, os geradores 
alimentam cargas trifásicas equilibradas, o que significa cargas com impedâncias idênticas nas três fases. 
Cargas com iluminação e pequenos motores são, obviamente, monofásicas, mas sistemas de distribuição 
são projetados tal que todas as fases sejam essencialmente equilibradas. 
A figura a seguir indica um gerador em conexão Y com o neutro marcado o e alimentando uma carga 
equilibrada Y com o neutro marcado n. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Egc 
Zgc 
ZL 
In 
b 
 o 
 a 
n 
 c 
Egb 
 Ega 
Zgb 
Zga 
ZL 
ZL 
Ian 
Icn 
Ibn 
L C V 
pL pc 
IC IL 
p 
I 
 
 
19 
19 
No gerador as fems Ega, Egb e Egc são iguais em módulo e deslocado uma da outra de 120°, ou seja, no 
sistema trifásico, a diferença de fase entre as tensões induzidas nas três bobinas igualmente espaçadas é 
de 120°. 
Considere a figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na sequência ABC, a tensão na bobina A atinge um máximo em primeiro lugar, seguida pela bobina B, e 
depois pela bobina C. 
Esta sequência pode ser vista pelo diagrama de fasores, considerada positiva o sentido anti-horário, e o 
traçado das tensões instantâneas, como mostram as seguintes figuras: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A inversão nas bobinas B e C resulta na sequência CBA ou sequência negativa, como segue: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A ligação dos terminais A’, B’ e C’, resulta num alternador ligado em Y (estrela), ao passo que a ligação 
de A em B’, de B em C’ e de C em A’, resulta num alternador ligado em  (delta outriângulo), 
representadas a seguir: 
N S 
B 
B’ 
A’ 
A C’ 
C 
B A 
t 
C 
120 
240 
C’ 
C 
B’ 
A 
B 
A’ 
B A 
t 
C 
120 
240 
A 
A’ 
B 
B’ 
C’ 
C 
 
 
20 
20 
 
 
 
 
 
 
 
 
1ª) Na ligação em estrela, as correntes de linha e de fase são iguais e a tensão de linha é 3 a tensão de 
fase. FASELINHAFASELINHA V.3VeII  
 
2ª) Na ligação triângulo, as tensões de linha e de fase são iguais, e a corrente de linha é 3 a corrente de 
fase, ou seja; FLFL I.3IeVV  
 
 
OBS.: Seja qual for a ligação, as três linhas A, B e C constituem um sistema trifásico de tensão. O ponto 
neutro da ligação em estrela fornece o quarto condutor do sistema trifásico a quatro condutores. 
 
 
- TENSÕES DO SISTEMA TRIFÁSICO - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BC’ 
AB’ 
A 
CA’ 
B 
C 
A 
A 
C 
A’B’C’=N 
B B 
C 
VLINHA 
VFASE 






150)3/V(V
30)3/V(V
90)3/V(V
120VV
0VV
240VV
LCN
LBN
LAN
LCA
LBC
LAB






 






150)3/V(V
30)3/V(V
90)3/V(V
240VV
0VV
120VV
LCN
LBN
LAN
LCA
LBC
LAB






 
A 
C B 
N 
Seqüência ABC 
C 
A 
B 
N 
Seqüência CBA 
 
 
21 
21 
- CARGAS TRIFÁSICAS EQUILIBRADAS - 
 
EXEMPLOS: 
1º) Um sistema ABC trifásico a três condutores, 110 volts, alimenta uma carga em triângulo, constituída 
por três impedâncias iguais de  455 . Determinar as correntes de linha IA, IB e IC e traçar o diagrama 
de fasores. 
2°) Um sistema CBA trifásico a quatro condutores, 208 volts, alimenta uma carga em estrela, constituída 
por impedâncias de .3020   Calcular as correntes de linha e traçar o diagrama de fasores. 
 
- ESTRUTURA PASSIVA EM DELTA (Δ) OU ESTRELA (Y) 
 
1 - TRANSFORMAÇÃO Δ Y: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 - TRANSFORMAÇÃO Y Δ : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS.: No caso de ZA = ZB = ZC = ZΔ , e Z1 = Z2 = Z3 = ZY, temos: 
 
 Δ → Y: 
3
Z
Z,sejaou
3
Z
Z3
Z
ZZZ
Z.Z
Z Y
2
Y




 

 
 
 
 Y→Δ: YY
Y
2
Y
Y
YYYYYY Z3Z,sejaouZ3
Z
Z3
Z
Z.ZZ.ZZ.Z
Z 

  
CBA
CA
3
CBA
CB
2
CBA
BA
1
ZZZ
Z.Z
Z
ZZZ
Z.Z
Z
ZZZ
Z.Z
Z






 
ZA 
ZB 
ZC 
Z3 
Z1 Z2 
1
323121
C
3
323121
B
2
323121
A
Z
Z.ZZ.ZZ.Z
Z
Z
Z.ZZ.ZZ.Z
Z
Z
Z.ZZ.ZZ.Z
Z






 
ZA 
ZB 
ZC 
Z3 
Z1 Z2 
 
 
22 
22 
 
II.7- Potência em Circuitos Trifásicos Equilibrados. 
 
Sendo a corrente a mesma nas impedâncias de fase das cargas equilibradas em estrela ou em triângulo, a 
potência de fase é igual a um terço da potência total. 
 
II.7.1- Potência em cargas equilibradas ligadas em triângulo. 
 
Considere a figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II.7.2- Potência em cargas equilibradas ligadas em estrela. 
 
Considere a figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS.: Como as equações para potência ativa PT são idênticas para as duas cargas equilibradas (Y ou Δ), a 
potência em qualquer carga trifásica equilibrada é dada por cosIV3 LL , onde θ é o ângulo da 
impedância de carga ou ângulo da impedância equivalente, na hipótese de serem várias cargas 
equilibradas, alimentadas pelo mesmo sistema. 
O volt ampères totais ST (potência aparente total) e a potência reativa total QT são relacionados a seguir: 
 
 LLT IV3S  ;  senIV3Q LLT 
Assim, para uma carga trifásica equilibrada, a potência aparente, a potência ativa e a potência reativa são 
dadas por: 
 
 LLT IV3S  ;  cosIV3P LLT ;  senIV3Q LLT 
 
 
A tensão na impedância ZΔ é a tensão de linha e a corrente é 
a corrente de fase IF. O ângulo entre a tensão e a corrente é o 
ângulo da impedância. Logo, a potência na fase é: 
 PF = VL.IF.cosθ 
E a potência total é: 
 PT =3 VL.IF.cosθ 
Nas cargas equilibradas em triângulo, FL I3I  , vem: 
 cosIV3P LLT 
 
A tensão na impedância ZY é a tensão de fase e a corrente é 
a corrente de linha IL. O ângulo entre a tensão e a corrente é 
o ângulo da impedância. Logo, a potência na fase é: 
 PF = VF.IL.cosθ 
E a potência total é: 
 PT =3 VF.IL.cosθ 
Nas cargas equilibradas em estrela, FL V3V  , vem: 
  cosIV3P LLT 
 
ZΔ 
PF 
VL 
ZY PF VF 
 
 
23 
23 
II.8- Potência Complexa (S) 
Sejam os triângulos de potências a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
Os três lados ‘S’, ‘P’ e ‘Q’ do triângulo de potências podem ser obtidos do produto VI*, cujo resultado é 
um número complexo, chamado potência complexa ‘S’. A sua parte real é igual a potência média ‘P’ e a 
sua parte imaginária é igual a potência reativa ‘Q’. 
 
Seja ,IIeVV  então, 
 IV*VIS = VI 
 
Logo,  senjVIcosVIS , ou jQPS  
O módulo de S é a potência aparente, ou seja: 
 
 22 QPS  , Unidade Volt-Ampere (VA) 
 
Resumindo, temos: 
Potência média ou ativa   VIRe
R
V
cosVIP R
2
 , (Watts) 
Potência reativa   VIIm
X
V
XIVIsenQ X
2
2 , (Var) 
Potência aparente
 VIdeabsolutoValor
Z
V
ZIVIS
2
2
, (VA) 
 ângulo de deslocamento entre a corrente e a tensão. 
 
Podemos ainda expressar a potência complexa por duas formas, usando as relações: 
 YVIeZIV  
 Então, 
2
IZZIIVIS   
Ou, 
2
VYVVYVIS
  
 
A importância prática da potência aparente é na designação de valores nominais de geradores e 
transformadores. 
 
 S 
Q 
P 
 S 
P 
Q 
θ 
θ 
Circuito capacitivo Circuito indutivo 
 
 
24 
24 
III–GRANDEZAS “ POR UNIDADE (pu) “ 
III.1- Introdução. 
Na análise de redes de potência é necessário representar-se as grandezas elétricas envolvidas (tensões, 
correntes, impedâncias, etc.) em “por unidade“. Uma grandeza em “pu“ é dada pela relação entre o seu 
valor atual (em V, A, , etc.) e um valor como base (também em V, A, , etc.). 
Logo, 
 
Base
ElétricaGrandeza
)pu(Valor  
 
III.2- Principais vantagens da utilização de valores em pu: 
a) Facilidade de comparação de valores; 
b) Eliminação no diagrama de níveis de tensão diferentes; 
c) Menor erro de aproximação (trabalha-se com números próximos à unidade); 
d) Menor chance de confusão entre valores de “fase” e de “linha”; 
e) Valores típicos de impedâncias para equipamentos. 
 
III.3- Tabela das grandezas envolvidas na análise de redes de potência 
 
GRANDEZA ELÉTRICA SÍMBOLO DIMENSÃO UNIDADE 
Corrente I [ I ] Ampères 
Tensão V [ V ] Volt 
Potência Complexa S = P + jQ [ VI ] Volt-ampère 
Impedância Z [ V/I ] Ohm 
Ângulo de fase  ,  ,  - Radiano 
Tempo t [ T ] Segundo 
 
Nos estudos em regime permanente o parâmetro tempo não é considerado. Nesta tabela verificamos que o 
ângulo de fase não tem dimensão e as quatro grandezas restantes são relacionadas como segue: 
 
 






I
V
Z
*I.VS
 
Assim uma escolha arbitrária de duas bases (em geral S e V) automaticamente fixará as outras duas (I e 
Z). 
 
III.4- Formulário para circuitos monofásicos. 
Normalmente são escolhidas ou fornecidas a Potência Base e a Tensão Base. Desta forma tem-se: 
 
 
25 
25 
 Potência Base: Sb [VA]; Sb [MVA]; MVAb 
 Tensão Base: Vb [V]; Vb [KV]; KVb 
 
A determinação das outras bases se processa da seguinte forma: 
 Corrente Base: 
 








b
b
b
b
b
b
b
bb
KV
MVA
KI
]KV[V
]MVA[S
]KA[I;
]V[V
]VA[S
]A[I
 
 Impedância Base: 
 









b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
MVA
KV
Z
MVAS
KVV
Z
VAS
VV
AI
VV
Z
2
22
][
][
][
][;
][
][
][
][
][
 
 
III.5- Formulário para circuitos trifásicos. 
Para circuitos trifásicos são válidas as seguintes equações em módulo: 
 






3
2
1
2
13 333
3
S
V
S
V
I
V
Z
IVIVSS
VV
NN
N
N



 
 
Usualmente é fornecida a Potência Base Trifásica (Sb3) e a Tensão Base de Linha (Vb). 
  Potência Base Trifásica: Sb3 [VA]; Sb3 [MVA]; MVAb3 . 
  Tensão Base de Linha: Vb [V]; Vb [KV]; KVb . 
No entanto pode-se utilizar a Potência Base por Fase (1) e a Tensão Base de Fase (N). Portanto, 
 Potência base por Fase: Sb1 [VA]; Sb1 [MVA]; MVAb1 
 Tensão Base de Fase: VbN; VbN [KV]; KVbN 
 
 
Os valores base por fase se relacionam com os valores base trifásicos por: 
 













3
V
V
3
S
S
b
Nb
3b
1b
 
 
A determinação dos outros valores de base é dada como segue: 
 
 
26 
26 
 Corrente Base 
 

















b
3b
b
b
3b
b
Nb
1b
b
Nb
1b
b
KV3
MVA
KI
]KV[V3
]MVA[S
]KA[I
KV
MVA
KI
]KV[V
]MVA[S
]KA[I
 
 
 Impedância Base 
 

















3b
2
b
b
3b
2
b
b
1b
2
Nb
b
1b
2
Nb
b
MVA
KV
][Z
]MVA[S
]KV[V
][Z
MVA
KV
][Z
]MVA[S
]KV[V
][Z
 
 
III.6- Mudança de Base. 
 
2







bN
bA
bA
bN
)pu(A)pu(N
V
V
S
S
ZZ 
 
III.7- Aplicações. 
1ª- No estudo de um dado sistema elétrico, definimos os seguintes valores-base: Vb=20kV e Sb=2MVA. 
Exprimir em por unidade as seguintes tensões, correntes, potências e impedâncias: 
 a) V = 12 kV b) V = (13,3 + j6,0) kV c) I = (513 + j203) A d) S = 9,3 MVA 
 e) S = (200 + j300) (kW; kVAr) f) Z = (80 + j40) Ω 
2ª- A impedância percentual de um transformador de força de 1000 kVA – 13.800/13.200/12.600 – 
380/220 V é de 4,5% referida ao tape de 13.200 V. Calcular esta impedância em pu no tape de tensão 
mais elevada. Os valores nominais do trafo são 1000 kVA e 13.800 volts. 
3ª) A reatância de um gerador, designada por X, é dada como sendo 0,25 pu baseado nos dados de placa 
do gerador de 18 kV, 500 MVA. A base para cálculo é 20 kV, 100 MVA. Encontre X na nova base. 
4ª) Um gerador (que pode ser representado por uma F.E.M. em série com uma reatância indutiva) é 
especificado nominalmente 500 MVA, 22 kV. Seus enrolamentos conectados em Y têm uma reatância de 
1,1 pu. Obtenha o valor ôhmico da reatância dos enrolamentos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
27 
IV- REPRESENTAÇÃO DE SEP’s 
IV.1- Diagrama Unifilar 
É usado para representar os elementos associados de um sistema elétrico de potência (SEP). 
 
 Símbolos utilizados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo. Considere o diagrama a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
No diagrama, estão representados, dois geradores, um aterrado através de um reator e o outro através de 
um resistor, onde são interligados a uma barra e, através de um transformador elevador (T1), a uma linha 
de transmissão (LT). Um terceiro gerador, aterrado através de um reator, é ligado a uma barra e, através 
de um transformador elevador (T2), à extremidade oposta da linha de transmissão (LT). Uma carga é 
1 
2 
3 
T1 T2
2 
Carga A 
Carga B 
LT 
Armadura de máquina girante. 
Transformador de potência de dois enrolamentos. 
Fusível. 
Transformador de corrente. 
ou Transformador de potencial. 
Disjuntor de potência. 
Disjuntor a ar ou em caixa moldada. 
Conexão em delta, trifásica a três fios. 
Conexão em estrela, trifásica com neutro não aterrado. 
Conexão em estrela, trifásica com neutro aterrado. 
A Amperímetro. 
V Voltímetro. 
Transformador de potência de três enrolamentos. 
 
 
28 
28 
ligada a cada barra. No diagrama, às vezes, são fornecidas informações sobre as cargas, as potências e 
tensões nominais dos geradores e transformadores, e reatâncias dos diferentes componentes do circuito. 
IV.2- Diagrama de Impedância e Reatância 
O diagrama unifilar mostrado no exemplo anterior pode ser representado por uma única fase em relação à 
terra e cada dispositivo pelo seu circuito equivalente constituído por impedâncias: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Considerações a respeito do diagrama de impedâncias: 
1ª) Como a corrente de magnetização é desprezível comparada com a corrente de plena carga, o 
ramo paralelo é omitido. 
2ª) No cálculo de faltas (curtos-circuitos) a resistência é geralmente omitida. 
3ª) Para as linhas de transmissão o modelo vai depender do comprimento da linha. Como vamos 
trabalhar com linhas curtas (até 80 km), usaremos somente o ramo série. 
Baseado nas considerações anteriores obtém-se o diagrama de reatância do exemplo considerado 
anteriormente, como segue: 
 
 
 
 
 
Exemplo: Dado o diagrama unifilar abaixo, representá-lo num diagrama de reatâncias em “pu”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
2 
3 
T1 
 T3 
LT 
T2 
 G1 
G2 
G3 
13,8 kV 138KV 
138kV 
 E2 E3 E1 
XT2 XLT XT1 
XG3 
XG2 
XG1 
A Trafo 1 Linha de 
transmissão 
Trafo 2 B 
E1 E2 
Geradores 
 1 e 2 
Gerador 
 3 
E3 
 
 
29 
29 
Dados: G1: 100 MVA, j0,2 pu ; G2: 50 MVA , j0,2 pu ; G3: 50 MVA , j1,0 pu ; 6,6KV 
 T1=T2: 75 MVA, j0,1 pu ; T3: 50 MVA , j0,1 pu ; XLT = 0,8 Ω/mi , L = 50 mi. 
IV.3- Aplicações 
1- O diagrama unifilar de um sistema sem carga está representado abaixo. São mostradas no diagrama as 
reatâncias das duas seções da linha de transmissão. Os geradores e transformadores apresentam as 
seguintes características: 
- Gerador 1: 20 MVA, 13,8 kV, X’’= 0,2 pu; 
- Gerador 2: 30 MVA, 18 kV, X’’= 0,2 pu; 
- Gerador 3: 30 MVA, 20 kV, X’’= 0,2 pu; 
- Transformador T1: 25 MVA, 220Y/13,8 kV, X = 10 %; 
- Transformador T2: Unidades monofásicas, sendo cada uma de 10 MVA, 127/18 kV, X=10% ; 
- Transformador T3: 35 MVA, 220Y/20Y kV, X = 10%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esquematize o diagrama de reatâncias em pu. 
 
2- Considere o diagrama a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados: 
G1: 50 MVA; X=j1,00 pu G2: 100 MVA; X=j1,5 pu G3: 75 MVA; X=j1,25 pu 
T1: 150 MVA; XT1=10% T2: 100 MVA; XT2=10% T3: 25 MVA; XT3=10% 
LT’s: Duas linhas de Transmissão em paralelo de reatância de 0,12 ohms/fase.km; 
Comprimento das LT’s: 200 km. 
Desenhar o diagrama de reatâncias em “pu“; 
 
 
 
 
 
T3 
3 
2 
T2
2 
1 
T1 
j80  
 
j100  
1 
2 
T1 
Carga A 
3 T2
2 
Carga B 
LT’s 
T3
2 34,5 kV 
345 kV 
69 kV 
13,8 kV 
G1 
G2 
G3 
 
 
30 
30 
3- Dado o diagrama abaixo, desenhar o diagrama de reatâncias em “pu“. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados: G2=G1: 6,6 kV; 100 MVA; j0,15 pu G3: 13,8 kV; 150 MVA; j0,20 pu 
 T1=150 MVA; 6,6kV/138kV; X=10% T2=200 MVA; 13,8kV/138kV; X=12% 
 T3=75 MVA; 138kV/34,5kV; X=10% T4=75MVA; 6,6kV/69kV; X=10% 
 T5= 50MVA; 69kV/34,5kV; X=10% 
 LT’s de 138kV: X=0,0325 ohms/km ; 80 km; 
 LT de 69kV: X=0,0435 ohms/km ; 30 km. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
2 
Carga A 
Carga B 
T1 3 
T2
2 
LT’s 
T3
2 T5 
 T4 
LT 
 
 
31 
31 
V– ESTUDOS DE CURTO-CIRCUITOS EM SEP’s 
V.1- Introdução. 
Um sistema elétrico de potência, quando projetado, é dimensionado para proporcionar um grau de 
confiabilidade compatível com a importância das cargas que alimenta. Assim, é natural que os critérios de 
projeto de um sistema de transmissão em EHV, que alimenta grandes blocos de carga, sejam bem 
diferentes dos critérios de um ramal de distribuição primária. De qualquer forma, independentemente do 
fato de a confiabilidade ser variável com a classe de tensão e de concessionáriapara concessionária, na 
maior parte do tempo o sistema opera em condições normais, com todos os componentes em serviço. 
 
Aleatoriamente, no entanto, os sistemas são submetidos a esforços provenientes de elevadas correntes de 
defeito (curtos-circuitos), cujo cálculo é o nosso principal objetivo. 
A queda de raios, a poluição nas áreas industriais e orla marítima, queimadas em regiões rurais, falha 
mecânica nas cadeias de isoladores são algumas das causas da deterioração da isolação. Após a primeira 
descarga, que provoca a ionização do meio, podemos ter o início do chamado “arco de potência“, e o 
estabelecimento de uma elevada corrente de defeito, alimentado pela própria tensão de frequência 
industrial. 
 
Os resultados de um estudo de curto-circuito, que são as correntes e tensões de falta, fornecem os 
subsídios para estudos que definam as características e os ajustes da proteção, bem como as 
características que devam possuir os equipamentos para suportar os esforços dinâmicos das correntes de 
curtos-circuitos. 
 
V.2- Curtos-circuitos Simétricos 
V.2.1- Introdução 
Considere a parte um sistema de transmissão mostrado na figura a seguir, e admita que ocorra um curto-
circuito simétrico na barra de carga 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao resto do 
 sistema Ao resto do 
 sistema 
 O curto 
ocorre aqui 
CB
1 
CB
2 
3 
2 
1 
L1 
L2 
I’sc
c I’’sc
c 
 
 
32 
32 
A tensão na barra V3 anterior à falta, medindo cerca de 100% , ou seja, 1,0 pu cairá instantaneamente a 
zero. As partes do sistema à esquerda e à direita, que supomos conter fontes ativas, irão imediatamente 
começar a alimentar a falta com as correntes de falta I’sc e I’’sc por meio das barras 1 e 2. O valor dessas 
correntes será determinado pela força dessas barras e pela impedância das linhas L1 e L2. Em geral tais 
correntes atingirão valores muitas vezes superiores às correntes normais das linhas, e os disjuntores CB1 
e CB2 serão comandados para abrir, por intermédio dos sensores (relés de proteção), a fim de isolar a 
barra com falta. 
 
V.2.2- Conceito de Capacidade de Curto-circuito (SCC) 
As tensões nas barras 1 e 2 e em todas as outras barras do sistema cairão durante a ocorrência do curto-
circuito. O valor dessa queda de tensão é uma indicação da força do sistema. Necessitamos medir essa 
força, bem como a severidade da influência dos curtos. Ambos os objetivos são conseguidos por uma 
grandeza designada por capacidade de curto-circuito (algumas vezes chamada de nível de falta) para 
barra em questão. 
A capacidade de curto-circuito (SCC), de uma barra do sistema é definida como o produto da tensão 
anterior à falta (tensão de pré-falta) pela corrente após a falta (corrente pós-falta). Assim a SCC virá em 
pu volt-ampères, se a tensão e a corrente forem dadas em pu. 
 MVApuIVSCC faltapósfaltapré   
Se a tensão for medida em KV entre linhas e a corrente em KA por fase, a SCC será dada em MVA 
trifásicos. 
Logo; 
 MVAIV3SCC faltapósfaltapré   
Nota: Sendo a tensão de pré-falta cerca de 1,0 pu, então podemos escrever a seguinte relação 
aproximada: MVApuISCC faltapós . 
 
Exemplo: Considere o circuito a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao resto do 
 sistema 
Ao resto do 
 sistema 
 O curto 
ocorre aqui 
CB
1 
CB
2 
3 
2 
1 
L1 
L2 
I’sc
c I’’sc
c 
 
 
33 
33 
Com os disjuntores CB1 e CB2 abertos, o sistema divide-se em duas partes. Nessa configuração, as barras 
1 e 2 têm os seguintes MVA de curto-circuito: MVApu0,8SCC1  e MVApu0,5SCC2  . As 
impedâncias das linhas L1 e L2 são 0,3 pu cada uma. Se agora fecharmos os dois disjuntores, como isso 
afetará as capacidades de curto-circuito das barras 1 e 2, e qual será a força da barra 3? Admitimos que 
todas as impedâncias sejam puramente reativas. 
 
Circuito equivalente do sistema com o curto-circuito na barra 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V.3- Componentes Simétricas 
 
V.3.1- Introdução. 
A resolução de redes trifásicas equilibradas (isto é, com impedâncias iguais nas três fases) submetidas a 
excitações balanceadas simétricas (isto é, com tensões de fase iguais em módulo, defasada de 120° uma 
das outras) é bastante facilitada pela simetria existente. Assim, é suficiente considerar apenas uma das 
fases dos circuitos componentes, proceder ao cálculo das grandezas correspondentes a esta fase, e a seguir 
as demais grandezas poderão ser imediatamente obtidas bastando realizar rotações de fase convenientes. 
Em se perdendo a simetria (seja por desequilíbrio na rede ou assimetria na excitação), o cálculo já teria 
que envolver as três fases do sistema simultaneamente, aumentando em muito o trabalho necessário. Em 
1918, em um artigo clássico da teoria de circuitos e sistemas, o Dr. C. L. Fortescue desenvolveu a 
ferramenta necessária para simplificar o problema de cálculo de sistemas desequilibrados. O método 
baseia-se na decomposição de um conjunto de grandezas trifásicas em três outros conjuntos convenientes 
(denominados sequências), de forma a se recair no problema de análise de circuitos equilibrados. 
 
V.3.2- Teorema De Fortescue 
 
Um conjunto de n fasores não balanceados pode ser representado por um conjunto de n fasores de 
sequência zero mais n-1 conjuntos de fasores balanceados da seguinte forma: 
 
 
Sejam: 
 Va , Vb , Vc , ....... , Vn => conjunto de n fasores não balanceados, que podemos representá-los por: 
 
 Barra 3 
 
 Barra 2 Barra 1 
 E1 = 1,0 pu E2 = 1,0 pu 
L1 L2 
 
 
34 
34 
 Va0 , Vb0 , Vc0 , ....... , Vn0 => conjunto de n fasores de sequência zero (defasados de 0.θc em fase) 
 Va1 , Vb1 , Vc1 , ....... , Vn1 => conjunto de n fasores de sequência 1 ou positiva (defasados de 1.θc) 
 Va2 , Vb2 , Vc2 , ....... , Vn2 => conjunto de n fasores de sequência 2 (defasados de 2.θc) 
 Va3 , Vb3 , Vc3 , ....... , Vn3 => conjunto de n fasores de sequência 3 (defasados de 3.θc) 
 . . . . . 
 . . . . . 
 Va(n-1), Vb(n-1), Vc(n-1), ... , Vn(n-1) => conjunto de n fasores de sequência (n-1) ou negativa (defasados 
de (n-1).θc) 
 
Onde θc é o ângulo característico do sistema, sendo dado por 2π/n, ou seja; 
 
n
2
C

 , 
Então, 
 
 Va = Va0 + Va1 + Va2 + Va3 + .... + Va(n-1) 
 Vb = Vb0 + Vb1 + Vb2 + Vb3 + .... + Vb(n-1) 
 Vc = Vc0 + Vc1 + Vc2 + Vc3 + .... + Vc(n-1) 
 . . . . . . . 
 . . . . . . . 
 . . . . . . . 
 Vn = Vn0 + Vn1 + Vn2 + Vn3 + .... + Vn(n-1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Representação de um sistema tetrafásico desequilibrado em componentes simétricos. 
 Teremos para θC = 
90
24
22
ourad
n

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
W VA 
VB 
VD 
VC 
Conjunto de quatro 
fasores desbalanceados 
0.θC 
VB0 VC0 VA0 VD0 
Conjunto de quatro 
fasores de seqüência zero 
1.C 
W 
VD1 
VC1 
VB1 
VA1 
Conjunto de quatro fasores 
de seqüência 1 ou positiva 
F
a
so
re
s 
n
ã
o
 
 b
a
la
n
ce
a
d
o
s 
S
eq
u
ên
ci
a
 z
er
o
 
S
q
u
ên
ci
a
 
p
o
si
ti
v
a
 
S
eq
u
ên
ci
a
 n
eg
a
ti
v
a
 
n fasores n
2
 fasores 
 
 
35 
35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escrevendo os fasores VA, VB, VC e VD em função das componentes simétricas, vem: 
 
 VA = VA0 + VA1 + VA2 + VA3 
 VB = VB0 + VB1 + VB2 + VB3 
 VC = VC0 + VC1 + VC2 + VC3 
 VD = VD0 + VD1 + VD2 + VD3 
 
Nota-se que são 16 variáveis a serem determinadas. Porém, podemos escrever os fasores VB, VC e VD em 
função das componentes simétricas de VA, reduzindo-se o número de variáveisa calcular de 16 para 04, 
utilizando-se um operador a = 1 θC , que causa uma rotação de θC ou seja de 90°, no sentido positivo ou 
anti-horário para o nosso exemplo, como segue: 
 
VA = VA0 + VA1 + VA2 + VA3 
 VB = VA0 + a
3
.VA1 + a
2
.VA2 + a .VA3 ou 
 VC = VA0 + a
2
.VA1 + VA2 + a
2
.VA3 
 VD = VA0 + a .VA1 + a
2
.VA2 + a
3
.VA3 
 
 
Obs.: O sinal – (negativo) gira o fasor no sentido horário. 
 
 
Escrevendo as equações acima na forma matricial, fica: 
 








































3A
2A
1A
0A
123
22
321
D
C
B
A
V
V
V
V
.
aaa1
a1a1
aaa1
1111
V
V
V
V
 , onde 
 
E explicitando as componentes simétricas, teremos: 
 
 
 
 , onde 
 
 
 
 
 
VA = VA0 + VA1 + VA2 + VA3 
 VB = VA0 + a
-1
.VA1 + a
-2
.VA2 + a
-3
.VA3 
 VC = VA0 + a
-2
.VA1 + VA2 + a
-2
.VA3 
 VD = VA0 + a
-3
.VA1 + a
-2
.VA2 + a
-1
.VA3 
 
 
3.C 
VD3 
VC3 
VB3 
VA3 
W 
Conjunto de quatro fasores 
de seqüência 3 ou negativa 
Conjunto de quatro 
fasores de seqüência 2 
VD2 
VC2 
VB2 
VA2 
2.C 
W 





































D
C
B
A
23
22
32
3A
2A
1A
0A
V
V
V
V
.
aaa1
a1a1
aaa1
1111
4
1
V
V
V
V
 















123
22
321
aaa1
a1a1
aaa1
1111
 
É a Matriz de Transformação de 
Fortescue. 












aaa1
a1a1
aaa1
1111
4
1
23
22
32
 
É a Matriz Inversa de 
Transformação de Fortescue. 
 
 
36 
36 
V.3.3- Estudo das componentes simétricas para sistemas trifásicos (n = 3) 
 
Sejam VA, VB e VC as três tensões desbalanceadas de um sistema elétrico trifásico, representados a seguir: 
 
 
 
 
 
 
Que pode ser decomposto em três sistemas equilibrados de sequências zero, positiva e negativa, 
mostrados a seguir, sendo o ângulo característico, portanto 

 120ourad
3
2
C . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
 VA = VA0 + VA1 + VA2 
 VB = VB0 + VB1 + VB2 
 VC = VC0 + VC1 + VC2 
 
Aplicando o Operador a = 1 120° e escrevendo as componentes simétricas das fases B e C em função 
da fase A, tem-se: 
 
 VA = VA0 + VA1 + VA2 
 VB = VA0 + a
-1
.VA1 + a
-2
.VA2 , sendo 
 VC = VA0 + a
-2
.VA1 + a
-1
.VA2 
 
Que na forma matricial vem: 
 
 

































2A
1A
0A
12
21
C
B
A
V
V
V
.
aa1
aa1
111
V
V
V
 ou 































2A
1A
0A
2
2
C
B
A
V
V
V
.
aa1
aa1
111
V
V
V
 
 
Chamando de 
























2
2
12
21
aa1
aa1
111
Tou
aa1
aa1
111
T , a Matriz de Transformação de Fortescue, 
Pode-se mostrar que esta admite inversa, mostrada a seguir: 
 











aa1
aa1
111
3
1
T
2
21 , que nos permite calcular as componentes simétricas em função dos fasores 
desbalanceados conhecidos, como segue: 
 
VA 
VC 
VB 
W 
VA0 VB0 VC0 
W 
VC1 
VB1 
VA1 
W 
VC2 
VB2 
VA2 
W 
VA 
VC 
VB 
W 
VB1 = a
-1.VA1 ou a
2.VA1 
VB2 = a
-2.VA2 ou a . VA2 
VC1 = a
-2.VA1 ou a . VA1 
VC2 = a
-1.VA2 ou a
2.VA2 
 
 
 
37 
37 
 































C
B
A
2
2
2A
1A
0A
V
V
V
.
aa1
aa1
111
3
1
V
V
V
, ou 
 
Aplicações: 
1-Dada as tensões  90380Ve90380V,0120V CBA , decompô-la em componentes 
simétricas. 
2-Dadas as componentes simétricas  60100Ie0220I,30100I 210 , determine a sequência 
real. 
3-Um condutor de uma linha trifásica está aberto. A corrente que circula para uma carga conectada em 
triângulo por meio da linha A é de 10 A. Tomando a corrente da linha A como referência e considerando 
que a linha C está aberta, achar os componentes simétricos das correntes de linha. 
 
V.4- Estudo dos curtos-circuitos assimétricos 
V.4.1- Sistemas trifásicos assimétricos. 
Um sistema trifásico é chamado assimétrico por natureza, quando um ou mais de seus componentes, 
excetuado as cargas, apresentam assimetria permanente. Tal assimetria pode ser originada por: 
a) Impedâncias desiguais nos enrolamentos dos geradores; 
b) Falta de transposição dos condutores; 
c) Indução mútua entre condutores em paralelo; 
d) Ligações assimétricas de transformadores (delta aberto, Scott, etc.) 
Um sistema simétrico pode ser assimétrico acidentalmente e temporariamente quando, na operação do 
mesmo, a simetria é alterada devido a: 
a) Cargas desequilibradas; 
b) Defeitos que introduzem assimetria no sistema (por exemplo, um curto-circuito entre uma fase 
e terra ou entre duas fases, interrupção de uma fase, etc.) 
V.4.2- Redes de sequência de geradores em vazio 
Considere um gerador em vazio, aterrado através de um reator, representado na figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VA0 = 1/3 ( VA + VB + VC ) 
VA1 = 1/3 ( VA + a .VB + a
2.VC ) 
VA2 = 1/3 ( VA + a
2.VB + a .VC ) 
a 
c 
b 
Ic 
Ib 
Ia 
Ec 
Eb 
Ea 
Zn In 
Zgb 
Zga 
Zgc 
 
 
38 
38 
Quando ocorre uma falta (não indicado na figura) nos terminais do gerador, as correntes Ia, Ib e Ic 
circulam nas linhas. Se a falta envolve a terra, a corrente que circula pelo neutro do gerador é designada 
por In. Uma ou duas correntes de linha podem ser nulas, porém as correntes podem ser decompostas em 
seus componentes simétricos independentemente do quanto estejam desequilibradas. 
 
Rede de sequência positiva para a fase ‘a’ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rede de sequência negativa para a fase ‘a’ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rede de sequência zero para a fase ‘a’ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ic1 
Ib1 
Ia1 
c 
a 
Z1 
Ec 
b 
Ea 
Z1 Z1 
Eb 
 Va1 = Ea – Ia1.Z1 
Ia1 
Va1 
Ea 
Z1 
Barra de referência 
a 
b 
Z2 
a 
Z2 
c Z2 
Ic2 
Ib2 
Ia2 
 Va2 = – Ia2.Z2 
Ia2 
Va2 
Z2 
Barra de referência 
a 
 Ia0 → 
Ib0 = Ia0 → 
Ic0 = Ia0 → 
b 
a 
Zg0 
c 
Zn 
Zg0 Zg0 
Ic0 
Ib0 
Ia0 
 Va0 = – Ia0(3Zn + Zg0) 
 Va0 = – Ia0.Z0 
Ia0 
Va0 
Zg0 
Barra de referência 
a 
3Zn 
Z0 
 
 
39 
39 
Obs.: Qualquer que seja o tipo de falta assimétrica que ocorra nos terminais de um gerador pode-se 
escrever e aplicar as seguintes equações para as redes de sequência: 
 
 , que na forma matricial, fica =>










































2a
1a
0a
2
1
0
a
2a
1a
0a
I
I
I
.
Z00
0Z0
00Z
0
E
0
V
V
V
. 
 
V.5- Falta entre fase e terra em um gerador em vazio. 
Considere o diagrama a seguir de um gerador em vazio, para uma falta fase-terra simples na fase a, sendo 
o mesmo ligado em Y e neutro aterrado através de uma reatância: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Condições de falta => Va = 0 , Ib = 0 e Ic = 0 
 
Nestas condições, as componentes simétricas das correntes são dadas por: 
 
 































0
0
I
.
aa1
aa1
111
3
1
I
I
I a
2
2
2a
1a
0a
 , o que implica em Ia0 = Ia1 = Ia2 = Ia/3 
 
Substituindo nas equações das redes de sequência as componentes das correntes de sequência zero e 
negativas em função de Ia1, vem: 
 
 










































1a
1a
1a
2
1
0
a
2a
1a
0a
I
I
I
.
Z00
0Z0
00Z0
E
0
V
V
V
 
Onde, Va0 = - Ia1.Z0 ; Va1 = Ea – Ia1.Z1 ; Va2 = - Ia1.Z2 
Somando membro a membro, fica: 
 
 Va0 + Va1 + Va2 = - Ia1.Z0 + Ea – Ia1.Z1 – Ia1. Z2 
 
Ic 
Ib 
Ia 
a 
Zga 
Ec 
c b 
Eb 
Ea 
Zn Ia = In 
Zgb Zgc 
Va0= - Ia0.Z0 
Va1= Ea – Ia1.Z1 
Va2= - Ia2.Z2 
 
 
40 
40 
 
 0 = Ea – Ia1(Z1 + Z2 + Z0) => 
021
a
1a
ZZZ
E
I

 , onde 1aa I3I  
 
Exemplo1 : Um gerador de polos salientes sem amortecedores tem os valores nominais de placa de 20 
MVA, 13,8 KV e uma reatância subtransitória de eixo direto de 0,25 pu. As reatâncias de sequência 
negativa e zero são, respectivamente, de 0,35 e 0,10 pu. O neutro do gerador está solidamente aterrado. 
Determine a corrente subtransitória no gerador e as tensões de linha em condições subtransitória quando 
ocorre uma falta fase-terra simples nos terminais do gerador, quando este está operando sem carga com 
tensão nominal. Despreze as resistências. 
 
V.6- Falta linha-linha em um gerador em vazio. 
Considere o diagrama a seguir de um gerador em vazio, para uma falta linha-linha ou entre fases (b e c) 
sem aterramento, sendo o mesmo ligado em Y e neutro aterrado através de uma reatância: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Condições de falta => Vb = Vc , Ia = 0 e Ib = - Ic 
 
Nestas condições, as componentes simétricas das tensões são dadas por: 
 
 































b
b
a
2
2
2a
1a
0a
V
V
V
.
aa1
aa1
111
3
1
V
V
V
 , o que implica em Va1 = Va2 . 
 
Com Ib = - Ic e Ia = 0 , as componentes simétricas de corrente são dadas por: 
 
 
































c
c
a
2
2
2a
1a
0a
I
I
I
.
aa1
aa1
111
3
1
I
I
I
 , o que resulta Ia0 = 0 e Ia2 = - Ia1 
 
Ic 
Ib 
Ia 
a 
Zga 
c 
Ec 
b 
Eb 
Ea 
Zn In = 0 
Zgb Zgc 
 
 
41 
41 
Nota: Com uma conexão entre o neutro do gerador e a terra, Z0 será finito e assim Va0 = 0 desde 
que Ia0 = 0. 
Substituindo nas equações das redes de sequência as condições das componentes de corrente e de tensão, 
anteriormente estabelecidas, vem: 
 
 










































1a
1a
2
1
0
a
1a
1a
I
I
0
.
Z00
0Z0
00Z
0
E
0
V
V
0
 
 
Onde, Va0 = 0; Va1 = Ea – Ia1.Z1 ; Va1 = Ia1.Z2 
 
Como Va1 = Va2 => Ea – Ia1.Z1 = Ia1.Z2 , que explicitando Ia1, fica: 
 
 
21
1
ZZ
E
I aa

 
 
Exemplo2 : Um gerador de polos salientes sem amortecedores tem os valores nominais de placa de 20 
MVA, 13,8 KV e uma reatância subtransitória de eixo direto de 0,25 pu. As reatâncias de sequência 
negativa e zero são, respectivamente, de 0,35 e 0,10 pu. O neutro do gerador está solidamente aterrado. 
Determine a corrente subtransitória no gerador e as tensões de linha em condições subtransitória quando 
ocorre uma falta linha-linha nos terminais do gerador, quando este está operando sem carga com tensão 
nominal. Despreze as resistências. 
 
V.7- Falta entre duas fases e terra em um gerador em vazio. 
Considere o diagrama a seguir de um gerador em vazio, para uma falta entre duas fases e terra (b e c), 
sendo o mesmo ligado em Y e neutro aterrado através de uma reatância: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Condições de falta => Vb = 0 ; Vc = 0 ; Ia = 0 
Ic 
Ib 
Ia 
a 
c 
Ec 
b 
Eb 
Ea 
Zgb 
Zga 
Zgc 
Zn In 
Ib + Ic = In 
 
 
42 
42 
Com Vb = 0 e Vc = 0, as componentes simétricas da tensão são dadas por : 
 































0
0
V
.
aa1
aa1
111
3
1
V
V
V a
2
2
2a
1a
0a
, onde Va0 = Va1 = Va2 = Va/3. 
 
Sabe-se que Ia = Ia0 + Ia1 + Ia2 = 0 
 
E que Va0 = Va1 => 
0
11
0
0
Z
ZI
Z
E
I aaa  , e Va2 = Va1 => 
2
11
2
2
Z
ZI
Z
E
I aaa  , 
 
0
11
0 Z
ZI
Z
E aa  + 1aI 
2
11
2 Z
ZI
Z
E aa  = 0 => 









02
02
1
1
1
ZZ
ZZ
Z
Ia 
 
 
Exemplo3 : Um gerador de polos salientes sem amortecedores tem os valores nominais de placa de 20 
MVA, 13,8 KV e uma reatância subtransitória de eixo direto de 0,25 pu. As reatâncias de sequência 
negativa e zero são, respectivamente, de 0,35 e 0,10 pu. O neutro do gerador está solidamente aterrado. 
Determine a corrente subtransitória no gerador e as tensões de linha em condições subtransitória quando 
ocorre uma falta linha-linha-terra nos terminais do gerador, quando este está operando sem carga com 
tensão nominal. Despreze as resistências. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
43 
VI- IMPEDÂNCIAS DE SEQUÊNCIA DOS COMPONENTES DO SEP 
VI.1-Transformadores de dois enrolamentos. 
São obtidas através dos ensaios de curto-circuito e circuito a vazio. 
- Sequência positiva e negativa: 
 
 
 
 
 
 
Logo, X1 = X2 = Xdisp (Núcleo envolvido ) 
 
 
 
 
 
Sequência zero 
Caso A: Permissão de fluxo de I0 => X0 = X1 = X2 
Caso B: Não permissão do fluxo de I0. 
 
No caso A, a ligação de X0 no diagrama (sistema) depende da ligação dos enrolamentos do 
transformador. Vejamos como efetuar a ligação de X0 no diagrama de sequência zero. 
 
1º-Colocar uma chave h e uma chave V em cada enrolamento do transformador em questão, conforme a 
seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
2º-Se I0 puder circular entre as fases e um neutro (ou terra) fecha-se a chave h, ou seja, se o enrolamento 
for, 
3º-Se I0 circular dentro do enrolamento fecha-se a chave V, ou seja, se o enrolamento for . 
 Exemplo: Montar o diagrama de sequência Zero para os transformadores a seguir: 
 a) b) c) d) 
 
Xmagnetização 
 
 
Xdispersão 
 h 
V 
h 
V 
Ref. 
Xmagnetização  200 Xdispersão 
 
Normalmente, a Xmagnetização é 
desprezível, pois circula pouca 
corrente. 
Xmagnetização 
Xdispersão 
 
 
 
Xdispersão = X1 = X2 
OBS.: Para núcleo envolvente 
considera-se a Xmagnetização 
 
 
44 
44 
VI.2- Reatâncias de sequência para máquinas síncronas 
O gerador síncrono é o único componente do sistema elétrico que apresentam três reatâncias distintas, 
cujos valores obedecem à inequação: 
 SX'X"X  , onde, X’’ é a reatância subtransitória, X’ é a reatância transitória e XS é a 
reatância síncrona ou reatância de eixo direto. 
Considere a figura abaixo que representa a parte superior da envoltória das correntes de curto-circuito: 
 
 
 
 
 
 
 
Trecho “bc” => período subtransitório; 
Trecho “cd” => período transitório; 
Trecho “de” => período de regime permanente. 
 
VI.2.1- Reatância Subtransitória (X”) 
É definida supondo o período subtransitório em regime permanente, tendo como corrente o valor inicial 
I”MAX, onde: 
 
"I
E
"X  , sendo 
 
2
"I
"I MAX 
 
VI.2.2- Reatância Transitória (X’) 
É definida supondo o período transitório em regime permanente, tendo como corrente o valor inicial 
(I’MAX ) da envoltória, caso o gerador não tenha o enrolamento amortecedor: 
 
'I
E
'X  , sendo 
 
2
'I
'I MAX 
VI.2.3- Reatância Síncrona ( XS ) 
Define-se esta reatância como a de regime permanente. 
 
I
E
XS  , sendo 
 
2
I
I MAX 
'I → valor eficaz da corrente de curto-circuito do período transitório 
em regime permanente. 
I → valor eficaz da corrente de curto-circuito em regime permanente. 
E → valor eficaz da tensão de fase a neutro nos terminais do gerador, 
antes do curto-circuito. 
"I → valor eficaz da corrente de curto-circuito do período 
subtransitório em regime permanente. 
t 
i(t) 
I”MAX b 
IMAXRP f 
I’MAXa 
e d 
c 
Amplitude da corrente 
em regime permanente 
Extrapolação da envoltória 
da corrente transitória 
Envoltória da corrente 
 
 
45 
45 
Notas: 1ª-A duração do período subtransitório d"T é de 0,02 a 0,05s )s,"T( med 030 . 
 2ª-A duração do período transitório d'T é de 0,5 a 1,8s (Turbo geradores) com 
 s,'T med 31 , e de 0,7 a 2,5s (Geradores de polos salientes) com s,'T med 61 . 
 
VI.3-Linhas de transmissão 
Para as linhas de transmissão, existem técnicas para calcular as impedâncias de sequência. 
 X1 = X2; X0  X1 => X0 > X1, sendo [X0  (2 a 4 vezes)X1] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
46 
VII- FALTAS ASSIMÉTRICAS EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA (SEP) 
VII.1- Introdução 
Para a dedução das equações para as componentes simétricas de correntes e tensões em um ponto do SEP 
durante uma falta, designaremos por Ia, Ib e Ic as correntes que saem do sistema originalmente 
equilibrado para a falta, respectivamente, das fases a, b e c. 
 Veja a figura: 
 
 
 
 
 
 
As tensões de falta no local da falta serão designadas por Va, Vb e Vc. A tensão de fase da fase A antes da 
ocorrência da falta, no local de falta, será chamada Vpf, que é uma tensão de pré-falta. 
 
Considere o diagrama unifilar de um sistema de potência equilibrado com três máquinas síncronas: 
 
 
 
 
 
 
 
Este sistema é suficientemente geral para que as equações deduzidas a partir dele sejam aplicáveis a 
qualquer sistema equilibrado, independentemente de sua complexidade. O ponto P no diagrama indica o 
local de ocorrência da falta. 
Uma vez identificado o tipo de falta, devemos traçar as redes de sequência positiva, negativa e zero, e 
representar os circuitos equivalentes de Thévenin visto do ponto de falta e a barra de referência, como 
segue: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ib 
Ic 
A 
B 
C 
Ia 
1 
2 
3 
LT P 
T
1 
T2 
Ia1 
Vpf 
 
 E3 
 
 
 E1 
 
 E2 
 P 
Rede de seqüência positiva 
 
P 
Vpf 
 Va1 
Z1 
Ia1 
Equivalente de Thévenin da 
rede de seqüência positiva 
 
 
47 
47 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As equações matriciais para as componentes simétricas das tensões na falta são as mesmas escritas para o 
gerador em vazio, porém com Vpf no lugar de Ea, ou seja: 
 










































2a
1a
0a
2
1
0
fp
2a
1a
0a
I
I
I
.
Z00
0Z0
00Z
0
V
0
V
V
V
 
 
Como exemplo, considere os seguintes dados para o sistema elétrico anterior dado: 
G1 = G2: 30 MVA, 18 kV, X” = 20% ; G3: 50 MVA, 13,8 kV, X” = 20% ; 
T1: 70 MVA, 18/138 kV, X = 10%; T2: 50 MVA, 13,8/138 kV, X = 10% ; 
XLT = j100 . 
Calcule a corrente de curto-circuito trifásica e de fase-terra no ponto P. 
 
VII.2- Falta fase-terra em um sistema de potência 
Considere a figura que representa um trecho de um SEP, onde ocorre um curto-circuito fase-terra na fase 
A: 
 
 
 
 
Rede de seqüência negativa. 
Ia2 
P 
 
Equivalente de Thévenin da 
rede de sequência negativa. 
P 
 Va2 
Ia2 
 Z2 
Rede de sequência zero. 
Ia0 
P 
 
 
 
 
Equivalente de Thévenin da 
rede de seqüência zero. 
P 
 
 Va0 
Z0 
Ia0 
A 
Ia 
Ib 
B 
Ic 
C 
 
 
48 
48 
As relações existentes na falta são Ib = 0, Ic = 0 e Va = 0. Nota-se que estas relações são as mesmas 
aplicadas para um gerador a vazio. Portanto, as soluções encontradas são semelhantes para o gerador em 
vazio, exceto pela troca de Ea por Vpf, ou seja: 
 
 Ia1 = Ia2 = Ia0 = 
3
Ia , onde 
021
1
ZZZ
V
I
pf
a

 
 
Estas equações ratificam que as três redes de sequência devam ser conectadas em série através do ponto 
de falta, de modo a simular uma falta fase-terra simples. 
 
VII.3- Falta linha-linha em um sistema de potência 
Considere a figura que representa um trecho de um SEP, onde ocorre um curto-circuito fase-fase, nas 
fases B e C: 
 
 
 
 
 
As relações existentes na falta, são Vb = Vc, Ia = 0 e Ib = - Ic. Nota-se que estas relações são as mesmas 
aplicadas para um gerador a vazio. Portanto, as soluções encontradas são semelhantes para a falta entre 
fases de um gerador em vazio, exceto pela troca de Ea por Vpf, ou seja: 
 Va1 = Va2, onde 
21
1
ZZ
V
I
pf
a

 
Estas equações ratificam que as redes de sequência positiva e negativa devam ser conectadas em paralelo 
no ponto de falta, de modo a simular uma falta fase-fase. 
 
VII.4- Falta entre duas fases e terra em um sistema de potência 
Considere a figura que representa um trecho de um SEP, onde ocorre um curto-circuito fase-fase-terra, 
nas fases B e C: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ic 
C 
Ib 
B 
A 
Ia 
Ic 
C 
Ib 
B 
A 
Ia 
In 
 
 
49 
49 
As relações existentes na falta são Vb = Vc = 0 e Ia = 0. Nota-se que estas relações são as mesmas 
aplicadas para um gerador a vazio. Portanto, as soluções encontradas são semelhantes para a falta entre 
fases e terra em um gerador a vazio, exceto pela troca de Ea por Vpf, ou seja: 
 
 Va1 = Va2 = Va0, onde 
 02021
1
ZZ/ZZZ
V
I
pf
a

 
 
Estas equações ratificam que a rede de sequência positiva deva ser conectada em série com o paralelo das 
redes de sequência negativa e zero no ponto de falta, de modo a simular uma falta fase-fase-terra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
50 
VIII- COMPARAÇÃO DOS NÍVEIS DE CURTO-CIRCUITO ASSIMÉTRICOS EM FUNÇÃO 
DO CURTO-CIRCUITO TRIFÁSICO. 
Consideremos as seguintes relações: 
1ª) Curto-circuito simétrico (Trifásico) => )I(
C,B,A
3sc  
 
1
C,B,A
3sc
Z
E
I  
2ª) Curto-circuito assimétrico (Fase-Terra) => )I(
A
T1sc  
 
021
A
T1sc
ZZZ
E3
I


 
3ª) Curto-circuito assimétrico (Dupla fase) => )I(
B
2sc  
 
21
2B
2sc
ZZ
E
)aa(I

 
4ª) Curto-circuito assimétrico (Dupla Fase-Terra) => )I(
B
T2sc  
 









 aKa
Z
Z
K
K1
I
I
2
0
1
B
3scB
T2sc ; onde 
01
0
ZZ
Z
K

 
 
VIII.1- Comparação entre o curto fase-terra e o trifásico 
 Fazendo 21 ZZ  , vem: 
























1
0
A
3sc
1
0
1
01
A
T1sc
Z
Z
2
I3
Z
Z
2
Z
E3
ZZ2
E3
I 
 Onde, 












1
0
A
3scA
T1sc
Z
Z
2
I.3
I 
1º Caso : Para 01 ZZ  => 
A
3sc
A
T1sc II   
 
2º Caso : Para 10 ZZ  => 
A
3sc
A
T1sc II   ; que é o caso mais comum devido a presença de 
transformadores delta – estrela aterrado. 
 
 
 
 
 
 
51 
51 
VIII.2- Comparação entre o curto dupla fase e o trifásico 
Fazendo 21 ZZ  , vem:  
2
I
.903
Z2
E
.aaI
B
3sc
1
2B
2sc

  , 
Onde, 
1
I
.866,0jI
B
3scB
2sc

  => 
B
3sc
B
2sc II   
 
VIII.3- Comparação entre o curto dupla fase-terra e o trifásico 
Fazendo 21 ZZ  e considerando os diagramas de sequências a seguir, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Do qual podemos escrever as seguintes equações: 
 








 
01
011
T2sc
ZZ
Z.Z
IV => 13sc Z.I
K1
K
V 

 
 
 
1
2
T2sc
Z
V
I  => 

 3sc
2
T2sc I
K1
K
I 
 
 
0
0
T2sc
Z
V
I  => 
0
1
3sc
0
T2sc
Z
Z
I
K1
K
I 

 
 
 
K1
I
I
3sc1
T2sc



 
Sabendo que 
2
T2sc
1
T2sc
20
T2sc
B
T2sc IaIaII   , e substituindo cada componente de 
sequência da corrente, anteriormente explicitadas em função da corrente de curto-circuito trifásica, temos: 
 
 









 aKa
Z
Z
K
K1
I
I
2
0
1
B
3scB
T2sc ; onde 
01
0
ZZ
Z
K

 
1Z 
E
 
 
1
T2scI 
 
1Z 
V 
 
2
T2scI 
 
0Z 
 
 
0
T2scI 
 
 
 
52 
52 
1º Caso : Para 01 ZZ  =>   3sc
B
T2sc II 
2º Caso : Para 0Z0  =>   3sc
B
T2sc I3IConclusão: Quanto menor a impedância de sequência zero, maior a tendência de o defeito Dupla Fase-
Terra drenar a maior corrente, e ser o defeito mais severo no caso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
53 
IX- CÁLCULO DE CURTO-CIRCUITO ATRAVÉS DA MATRIZ DE IMPEDÂNCIA - BUSZ 
IX.1- Obtenção da Matriz BUSZ 
A matriz BUSZ contém as impedâncias no ponto de cada nó com relação a um nó de referência escolhido 
arbitrariamente. A impedância no ponto de um nó é a impedância equivalente entre ele e a referência. A 
matriz BUSZ contém também a impedância de transferência entre cada barra do sistema e cada outra 
barra, com relação ao nó de referência. As impedâncias de transferência são determinadas calculando-se 
as tensões que existiriam em cada uma das outras barras do sistema, com relação a referência, quando 
uma barra em particular recebe uma injeção de corrente de uma unidade ( 1,0 pu ). Só existirá BUSZ se o 
sistema estiver ligado para a terra. 
 
Considere o sistema caracterizado pela seguinte equação: 
 
 
     
BUSI
1Nx
BUSZ
NxN
BUSV
1Nx
. 
 ou 
 
 























































N
2
1
NN2N1N
N22221
N11211
N
2
1
I
.
.
.
I
I
Z..ZZ
.....
.....
.....
Z..ZZ
Z..ZZ
V
.
.
.
V
V
 
 
Supondo conhecido ,e BUSBUS IV

 temos: 
 BUSBUS IV .ZBUS

 
Suponhamos, agora, uma variação de corrente na barra “q”, representada por ,Iq ou; 
 

















0
.
I
.
0
I qBUS 
 
 
 
 
 
.iaçõesvarassóEstudoIZV
IZV0
IZVZ
IZZV
)I(ZV
,Logo
BUSBUSBUS
BUSBUSBUS
BUSBUSBUSBUSBUSBUS
BUSBUSBUSBUSBUSBUS
BUSBUSBUSBUSBUS
IV
IV
IV








 
 
 
54 
54 
Escalarmente vem: 
 






























































0
.
I
.
0
0
Z.Z.ZZ
......
Z.Z.ZZ
......
Z.Z.ZZ
Z.Z.ZZ
V
.
V
.
V
V
q
NNNq2N1N
qNqq2q1q
N2q22221
N1q11211
N
q
2
1
 















qNqN
qqqq
qq22
qq11
I.ZV
.
I.ZV
.
I.ZV
I.ZV
 
 
Os elementos da matriz traduzem o conceito de impedância de transferência. 
 





j
i
ij
jiji
I
V
Z
N,...,i;I.ZV 21
 
 
Exemplo: 
Dada a configuração abaixo, determinar ZBUS. 
 
 
 
 
 
 
 
a) Injetando uma fonte de corrente de 1,0 pu na barra 1, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
pu0,1I1  
∆V1 = Z11.∆I1 = j1.1 = j1 => Z11 = j1 pu 
∆V2 = Z21.∆I1 = j1.0 + j1.1 = j1 => Z21 = j1 pu 
∆V3 = Z31.∆I1 = j1.0 + j1.1 = j1 => Z31 = j1 pu 
 
Expressa a variação de tensão entre a barra i e a barra de referência 
(terra), por unidade de corrente na barra j. 
j1 
j1 
j1 
 3 
 2 1 
j1 
j1 
j1 
j1 
 3 
 2 1 
j1 
1,0 pu 
∆V3 
∆V2 
∆V1 
 I3-2=0 
I3-1=0 
I2-1=0 
I1=1,0 
 
 
55 
55 
b) Injetando uma fonte de corrente de 1,0 pu na barra 2, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
pu0,1I2  
∆V1 = Z12.∆I2 = j1.1 = j1 => Z12 = j1 pu 
∆V2 = Z22.∆I2 = j1.2/3 + j1.1 = j5/3 => Z22 = j5/3 pu 
∆V3 = Z32.∆I2 = j1.1/3 + j1.1 = j4/3 => Z32 = j4/3 pu 
 
c) Injetando uma fonte de corrente de 1,0 pu na barra 3, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
pu0,1I3  
∆V1 = Z13.∆I3 = j1.1 = j1 => Z13 = j1 pu 
∆V2 = Z23.∆I3 = j1.1/3 + j1.1 = j4/3 => Z23 = j4/3 pu 
∆V3 = Z33.∆I3 = j1.2/3 + j1.1 = j5/3 => Z33 = j5/3 pu 
 
Portanto, 
 











3/53/41
3/43/51
111
jZBUS 
 
IX.2- Cálculo de curto-circuito utilizando BUSZ 
Considere um curto-circuito em uma barra genérica “q” do sistema representado pela corrente – Iq 
entrando no sistema. Esta corrente provoca variação de tensão em todas as outras barras. 
 
j1 
j1 
j1 
 3 
 2 1 
j1 
∆V3 
∆V2 
I3-2= 1/3 
I3-1= 1/3 
I2-1= 2/3 
I1=1,0 
1,0 pu ∆V1 
1,0 pu 
 3 
j1 
j1 
j1 
 2 1 
j1 
 ∆V3 
∆V2 
I3-2= 1/3 
I3-1= 2/3 
I2-1= 1/3 
I1=1,0 
 ∆V1 
 
 
56 
56 






























































0
.
I
.
0
0
Z.Z.ZZ
......
Z.Z.ZZ
......
Z.Z.ZZ
Z.Z.ZZ
V
.
V
.
V
V
q
NNNq2N1N
qNqq2q1q
N2q22221
N1q11211
N
q
2
1
 
 
 Temos então que: 
 
ANTES
qq
ANTES
i
PÓS
ii
V0V
VVV


 
 
Supondo que antes do curto, Vi = VNOMINAL = 1 pu, temos: 
 
 
































































0
.
I
.
0
0
Z.Z.ZZ
......
Z.Z.ZZ
......
Z.Z.ZZ
Z.Z.ZZ
1V
.
10
.
1V
1V
q
NNNq2N1N
qNqq2q1q
N2q22221
N1q11211
PÓS
N
PÓS
2
PÓS
1
   qqq IZ1  
qq
q
Z
1
I  
 Temos ainda que: 












qKq
PÓS
K
qq2
PÓS
2
qq1
PÓS
1
I.Z1V
.
.
I.Z1V
I.Z1V
 
 Seja a configuração a seguir: 
 
 
 ; 
 
 
 
qqlm
lqmq
lm
qq
mqqq
qq
lqqq
lm
PÓS
m
PÓS
l
lm
Z.z
ZZ
z
Z
ZZ
Z
ZZ
z
VV
i







  
qqlm
lqmq
lm
Z.z
ZZ
i

 
 
qq
KqqKq
PÓS
K
Z
1
.Z1I.Z1V  
 
Logo: 
qq
KqqqPÓS
K
Z
ZZ
V

 
m l 
zlm 
PÓS
mV ilm 
PÓS
lV 
zlm é o z da linha e não o da matriz ZBUS 
Onde, i = 1, 2, 3, ..... , N, sendo i ≠ q 
 
 
 
57 
57 
 
Exemplos: 
1º-Considerando a matriz impedância nodal abaixo, pede-se: 
 
 
 













600,0450,0400,0300,0
450,0450,0400,0300,0
400,0400,0355,0245,0
300,0300,0245,0355,0
jZBUS 
 
Determinar: 
a) A corrente de curto-circuito trifásica na barra 3; 
b) A corrente de curto-circuito fase-fase na barra 1; 
c) Para um curto-circuito trifásico na barra 4, a corrente na linha 1 – 2 (sabe-se que a linha 1 – 2 apresenta 
impedância de j1 pu); 
d) Para um curto-circuito trifásico na barra 4, a corrente na linha 1 – 3 (sabe-se que a linha 1 – 3 apresenta 
impedância de j1 pu); 
e) Para um curto-circuito trifásico na barra 1, a tensão nas barras 3 e 4. 
 
2º-Considerando o circuito de sequência zero abaixo, obter a matriz BUS,0Z . 
 Os dados estão em pu. Trabalhe o resultado com quatro casas decimais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resultado: 











1180,00140,00220,0
0140,00220,00060,0
0220,00060,00380,0
jZ BUS,0 
 
 1 2 3 4 
J 0,050 
2 1 
3 
J 0,050 
J 0,025 
J 0,025 
J 0,20 J 0,20 
J 0,20