11 Momento linear

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 Momento linear
 Momento linear para N partículas
 Lei da conservação do momento linear
 Colisão
 Impulso
 Colisões elásticas e colisões inelásticas
 Colisões elásticas unidimensionais
 Colisões perfeitamente inelásticas
MOMENTO LINEAR E COLISÕES
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MOMENTO LINEAR
A velocidade não especifica completamente a natureza de um movimento
 O momento linear de um corpo de massa m em movimento com uma velocidade v é definido pelo produto da massa pela velocidade:
Unidade de p no SI:
Podemos utilizar a noção de momento linear (ou quantidade de movimento) para descrever a diferença entre esses dois corpos em movimento.
é uma grandeza vetorial porque é igual ao produto da massa que é um escalar e a velocidade que é um vetor.
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Assim a segunda Lei de Newton será 
o efeito da força sobre um corpo é mudar a quantidade de movimento desse corpo
Para situações em que a massa varia com o tempo temos que utilizar a forma alternativa da 2ª lei de Newton onde se utiliza o momento linear (ou quantidade de movimento):
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MOMENTO LINEAR
Unidade de f no SI:
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O MOMENTO LINEAR DE UM SISTEMA DE N PARTÍCULAS É A SOMA VETORIAL DOS MOMENTOS LINEARES INDIVIDUAIS:
 Derivando em relação ao tempo a expressão do centro de massa:
Derivando novamente e usando a 2ª lei de Newton para um sistema de partículas:
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PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
(OU LEI DA CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR)
(o momento total de um sistema isolado permanece constante) 
Na ausência de forças externas, a quantidade de movimento permanece constante 
Supomos duas partículas que interagem entre si. 
De acordo com a terceira lei de Newton 
e formam um par ação e reação e 
Podemos expressar essa condição como
(num instante t)
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Antes
Durante
Depois
Colisão em Física, significa uma interação entre duas partículas (ou dois corpos)
O QUE É UMA COLISÃO?
cuja duração é extremamente curta na escala de tempo humana e
onde há troca de momento linear e energia
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Partículas carregadas do vento solar são aceleradas pelas linhas de campo magnético terrestre. Elas colidem com as moléculas da atmosfera, que ganham energia interna (seus eletrões são “excitados”). 
Exemplo 1: AURORA BOREAL
Posteriormente, ao perder essa energia excedente, as moléculas emitem luz, criando a Aurora (Boreal ou Austral)
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IMPULSO
As forças de interação entre duas partículas que colidem são forças muito intensas e agem durante um intervalo de tempo extremamente curto 
Não é necessário conhecer-se exactamente a forma do gráfico F x t, pois não nos interessa saber o que acontece durante a colisão. 
Essencialmente, é isso que se faz num acelerador de partículas
O que interessa saber é como se encontra o sistema imediatamente depois da colisão, conhecendo-se como se encontrava imediatamente antes dela. 
Na realidade, é o resultado da colisão que poderá nos dar informações a respeito da força de interação no sistema que colide, e não o inverso.
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A força de interação faz variar o momento linear das partículas
De acordo com a 2ª Lei de Newton
onde
é o impulso da força 
 a variação do momento linear da partícula durante um intervalo de tempo é igual ao impulso da força que age sobre ela neste intervalo de tempo
Não conhecemos F(t), mas podemos considerar uma força média que atua no intervalo de tempo da colisão: 
ou
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Exemplo 2:
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 Comparando com a força peso das bolas
Exemplo 3: Impulso numa colisão entre bolas de bilhar
Suponhamos que, ao ser atingida pela bola branca, uma bola de bilhar adquire a velocidade de 1,0 m/s.
A variação do momento linear da bola atingida é, em módulo:
 que é o impulso transmitido pela bola branca na colisão.
 Se o contacto dura , a força média exercida na bola é
Observa-se que a força de interacção é bem maior que as forças externas
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COLISÕES ELÁSTICAS E INELÁSTICAS
 Já vimos que as colisões, por envolverem basicamente apenas forças internas, conservam o momento linear 
A energia total é sempre conservada
Se a energia cinética inicial do sistema é totalmente recuperada após a colisão, a colisão é chamada de colisão elástica:
 caso contrário, a colisão é chamada de colisão inelástica: 
A energia se conserva ?
 mas pode haver transformação da energia cinética inicial (inicialmente só há energia cinética) em outras formas de energia:
Energia potencial, energia interna na forma de vibrações, calor, perdas por geração de ondas sonoras, etc.
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COLISÕES ELÁSTICAS NUMA DIMENSÃO
Energia cinética:
antes:
depois:
As equações básicas para uma colisão elástica são:
 conservação de momento linear
 conservação de energia cinética
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Explicitamente em termos das massas das partículas, podemos escrever:
Desenvolvendo as equações obtemos
onde 
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O estado final do sistema é idêntico ao estado inicial: As partículas trocam de velocidades!
COLISÕES ELÁSTICAS UNIDIMENSIONAIS: CASOS PARTICULARES
 Em particular, se a partícula alvo está inicialmente em repouso, a partícula incidente para após a colisão, como no bilhar. Isto é:
se 
(1) MASSAS IGUAIS: (K =1)
Antes:
Depois:
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A partícula incidente reverte sua velocidade e a partícula alvo passa a se mover lentamente, praticamente permanecendo em repouso.
(2) ALVO EM REPOUSO ( )
Assim:
Antes:
Depois:
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 A partícula incidente não “sente” a colisão. A partícula alvo passa a se mover com o dobro da velocidade da partícula incidente.
ANTES
DEPOIS
(3) ALVO EM REPOUSO ( )
Assim:
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COLISÕES UNIDIMENSIONAIS PERFEITAMENTE INELÁSTICAS
 Neste tipo de colisão, a partícula incidente fica presa na partícula alvo. 
O centro de massa está na massa formada pelas duas partículas juntas. Por isso elas se movem com a velocidade do centro de massa, que se mantém constante. 
+
antes
depois
 representa a perda máxima de energia cinética numa colisão inelástica duma dimensão.
A energia cinética final é a energia cinética associada ao movimento do CM.
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 colisão elástica
  colisão perfeitamente inelástica
Exemplo 4:
  colisão inelástica
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colisão elástica
colisão perfeitamente inelástica
Exemplo 5:
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Exemplo 6: Suponha que um peixe nada em direção a outro peixe menor. Se o peixe maior tem uma massa de 5 kg e nada com velocidade de 1 m/s na direção de um peixe de 1 kg que está parado (v=0), qual será a velocidade do peixe grande logo após o almoço? Desprezamos o efeito da resistência da água.
O momento linear total antes do almoço = O momento linear total depois do almoço 
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Exemplo 7: Considere agora e que o peixe grande está parado e o peixe pequeno nada com uma velocidade inicial de 1 m/s na direção do peixe grande, vindo da direita. O que acontece ?
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O momento linear total antes do almoço = O momento linear total depois do almoço 
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Exemplo 8: Pêndulo balístico  sistema para medir a velocidade de uma bala
 Há conservação de energia mecânica após a colisão  a energia cinética depois da colisão se transformou em energia potencial depois do colisão:
 Colisão totalmente inelástica:
Então:
Numericamente, se:
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