REVISÃO GEOMETRIA 2 PARTE

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Matemática
Ensino MÉDIO - 1º Ano
REVISÃO –GEOMETRIA
2ª PARTE: 
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
 
PROFESSOR: ALEXSANDRO DE sOUSA
E.E. Dona Antônia Valadares
1
Prof: Alexsandro de Sousa
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
B
C
H
A
Cateto b
Cateto a
 Hipotenusa c
 m
 n
 Altura h
Prof: Alexsandro de Sousa
Elementos de um triângulo retângulo
O triângulo ABC da figura representa um triângulo retângulo em A .
(Â é reto)
O lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa, enquanto os outros dois são chamados catetos. 
b
c
A
B
C
a
a: é a hipotenusa.
b e c: são os catetos
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Traçando a altura relativa à hipotenusa, temos as medidas h, m e n. 
a: é a hipotenusa.
b e c: são os catetos
h: é a altura do triângulo em relação à hipotenusa.
m: é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa.
n: é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa.
a
m
n
h
b
c
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B
H
A
A altura h divide o triângulo ABC em dois triângulos retângulos, ABH e ACH.
A
B
H
C
h
H
C
A
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1ª relação métrica
m
b
h
c
h
n
h
b
m
A
H
C
h
c
n
A
H
B
6
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2ª relação métrica
b
m
h
h
b
m
A
H
C
a
b
c
b
c
A
B
C
a
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3ª relação métrica
c
h
n
h
c
n
A
H
B
a
b
c
b
c
A
B
C
a
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4ª relação métrica
c
h
n
h
c
n
A
H
B
a
b
c
b
c
A
B
C
a
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Teorema de Pitágoras (5ª relação métrica)
a
m
n
h
b
c
2ª relação: b² = m . a
3ª relação: c² = n . a
Observe que a = m + n
Somando, membro a membro, as duas igualdades, tem-se:
Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Prof: Alexsandro de Sousa
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c2 = am
ah = bc
a = m + n
Resumindo, as relações métricas do triângulo retângulo são:
a2 = b2 + c2
h2 = mn
b2 = an
c
b
a
m
n
h
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Resolução:
Seja um quadrado de lado 5 cm.	
A diagonal de um quadrado nada mais é do que a hipotenusa de um triângulo retângulo, em que seus catetos são dois dos lados do quadrado. Isso faz os catetos serem medidas iguais. Observe: 
Chamando a diagonal (hipotenusa) de x, e usando o Teorema de Pitágoras, teremos:
x2 = 52 + 52  x2= 25 + 25  x2 = 50  x = 5
Logo, fica clara a generalização para o cálculo da diagonal de qualquer quadrado: 
13
1 – Qual é a medida da diagonal de um quadrado cujo lado mede 5 cm?
5 cm
5 cm
x
d = l 2
Exemplos
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Resolução:
Seja um triângulo equilátero de lado 10cm.	
A altura desse triângulo é um dos catetos do triângulo em destaque. Observe:
Chamando a altura (que é um dos catetos do triângulo destacado) de x e usando o Teorema de Pitágoras, teremos:
102 = x2 + 52 
O outro cateto mede 5cm, pois a altura divide a base ao meio e um destes novos segmentos será o outro cateto. Logo:
 100 = x2 + 25  x2 = 100 – 25  x = 75  x = 5
Logo, fica clara a generalização para o cálculo da altura de qualquer triângulo equilátero: 
2 – Determine a altura de um triângulo equilátero cujo lado mede 10cm.
10cm
10cm
10cm
.
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3 – Os catetos do triângulo retângulo ao lado medem: 
AB = c = 6cm e AC = b = 8cm. Determine a medida da projeção dos catetos sobre a hipotenusa e a altura (h) relativa a ela.
h
A
B
C
b
n
m
c
H
Resolução:
A hipotenusa na figura é o lado BC, que chamaremos de a. Por Pitágoras, temos : 
a2 = 82 + 62  a2 = 64 + 36  a2 = 100  a = 10
c2 = a . m  62 = 10 . m  36 = 10 . m  m = 36/10  m = 3,6cm
b2 = a . n  82 = 10 . n  64 = 10 . n  n = 64/10  m = 6,4cm
h2 = m . n  h2 = 3,6 . 6,4  h2 = 23,04  h =  h = 4,8 
h . a = b . c  h . 10 = 8 . 6  h . 10 = 48  h = 48/10  h = 4,8