Cap 8

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CORTE DE SÓLIDOS 
O	corte	de	um	sólido	é	baseado	na	 interseção	de	um	plano	de	corte	(ou	secante)	com	as	 faces	do	
sólido.	Quando	se	faz	um	corte	de	um	sólido,	o	mesmo	é	dividido	em	duas	partes,	uma	das	quais	é	
removida	e	uma	nova	face	é	gerada	na	porção	cortada,	definida	pela	linha	de	interseção.	A	diferença	
entre	interseção	e	corte	é	justamente	a	remoção	de	uma	das	partes.	Realizando	vários	cortes	de	forma	
coordenada,	é	possível	modelar	geometrias	complexas	a	partir	de	formas	simples.	Assim,	o	corte	deve	
ser	tratado	como	uma	ferramenta	de	projeto.		
Corte de Sólido por Plano com Projeção Acumulada 
Da	mesma	forma	que	o	processo	de	interseção	com	planos,	a	interseção	com	sólidos	é	obtida	de	forma	
direta	quando	o	plano	secante	está	acumulado	ou	quando	as	faces	estão	acumuladas.	Assim,	quando	
o	plano	de	corte	não	está	acumulado,	é	necessário	realizar	uma	MSR	para	que	o	plano	seja	acumulado.	
O	 processo	 de	 corte	 inicia	 com	 a	 determinação	 da	 interseção	 do	 plano	 como	 o	 sólido,	 a	 qual	 é	
determinada	 pela	 interseção	 do	 plano	 com	 todas	 as	 faces	 do	 sólido.	 O	 polígono	 de	 interseção	 é	
definido	pelos	múltiplos	segmentos	de	interseção	conectados	pelos	pontos	de	interseção	das	arestas	
comuns	a	duas	faces	adjacentes.	Neste	caso,	a	interseção	com	cada	face	é	determinada	pela	interseção	
com	as	arestas	pertencentes	às	faces.	Assim,	a	interseção	com	cada	aresta	do	sólido	determina	um	
ponto	de	interseção	pertencente	a	duas	faces.		
	 	
(a)	 (b)	
	 	
(c)	 (d)	
Figura 64: Exemplo de  interseção de  sólido  com plano acumulado. a)  Sólido exemplo 1  com plano acumulado. b)  Linha de 
interseção  representada.  c)  Plano  secante  removido,  destacando  a  linha  de  interseção.  d)  Sólido  cortado,  onde  a  linha  de 
interseção passa a definir uma nova face. 
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A	Figura	64	mostra	um	exemplo	de	interseção	de	um	plano	vertical	com	o	Sólido	Exemplo	1.	Na	
Figura	64a,	há	uma	visível	interferência	entre	o	plano	e	o	sólido,	mas	ainda	não	está	representada	a	
linha	 de	 interseção.	 Na	 Figura	 64b,	 a	 linha	 de	 interseção	 já	 está	 representada,	 onde	 é	 possível	
observar	que	a	interseção	é	composta	por	segmentos	cujas	extremidades	são	determinadas	pela	a	
interseção	do	plano	com	as	arestas.	Na	Figura	64c,	o	plano	é	retirado	e	a	 linha	de	 interseção	 fica	
evidente.			
A	Figura	65	mostra	o	processo	de	 interseção	do	plano	vertical	com	o	sólido	em	épura,	que	é	
determinada	pela	interseção	da	projeção	acumulada	do	plano	com	as	projeções	das	arestas	do	sólido.	
Cada	cruzamento	da	projeção	acumulada	com	a	projeções	de	uma	aresta	determina	um	ponto	da	
linha	 de	 interseção.	 Assim,	 como	 há	 arestas	 com	 projeções	 sobrepostas,	 alguns	 pontos	 gerados	
também	 são	 sobrepostos.	 Isto	 ocorre	 sempre	 que	 há	 faces	 também	 acumuladas.	 Neste	 caso,	 os	
segmentos	 de	 interseção	 são	 verticais,	 frutos	 da	 interseção	 do	 plano	 vertical	 com	 faces	 frontais,	
ambas	acumuladas	da	projeção	horizontal.	
	
	 	
(a)	 (b) (c)	
	
(d)	 (e)	
Figura 65: a) Determinação da  interseção de sólido com plano acumulado a partir do cruzamento da projeção acumulada do 
plano com as projeções da aresta. b) Interseção com a visibilidade da linha definida. c) Épura do sólido cortado. 
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	O	corte	de	sólido	é	 feito	removendo	uma	das	porções	resultantes	da	divisão	com	o	plano	de	
corte.	A	porção	retirada	depende	dos	objetivos	da	modelagem	geométrica.	A	Figura	64d	mostra	o	
sólido	cortado	com	a	retirada	da	porção	entre	o	plano	secante	e	a	câmera	(observador).	A	Figura	65c	
apresenta	a	épura	do	sólido	cortado,	mostrando	a	face	de	corte,	que	é	vertical,	pois	pertence	ao	plano	
de	corte,	também	vertical.		
Como	 o	 corte	 é	 uma	 ferramenta	 de	 projeto	 geométrico,	 é	 necessária	 a	 determinação	 da	
Verdadeira	 Grandeza	 (VG)	 da	 face	 de	 corte	 para	 que	 a	 geometria	 do	 sólido	 resultante	 fique	
totalmente	definida.	Isto	é	feito	com	uma	MSR	apropriada.	Na	Figura	65d‐e,	é	mostrada	a	MSR	para	
a	determinação	da	VG	da	face	de	corte.	
Corte de Sólido por Plano Sem Projeção Acumulada 
O	corte	de	uma	sólido	por	um	plano	sem	projeção	acumulada	é	realizado	com	o	auxílio	de	uma	MSR	
para	acumular	o	plano.	Assim,	na	vista	auxiliar,	é	determinada	a	interseção	do	plano	secante	com	o	
sólido,	a	qual	é	transferida	para	as	vistas	originais	por	alçamento.	Em	seguida,	uma	das	partes	do	
sólido	é	removida	para	uma	representação	efetiva	do	sólido	resultante	em	todas	as	suas	projeções.		
(a)	 (b)	
	
(c)	 (d)	
Figura 66: Corte de um sólido com um plano secante oblíquo. a) MSR para acumulação do plano. b) Determinação dos pontos de 
interseção pelo cruzamento da PA do plano com as arestas do sólido. c) Representação em épura do processo de corte. d) Sólido 
cortado representado em épura.  
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O	plano	de	corte	o	plano	secante	pode	ser	definido	de	várias	formas:	por	um	polígono,	por	três	
pontos,	 por	 duas	 retas	 coplanares	 (paralelas,	 concorrentes).	 Qualquer	 que	 seja	 a	 forma	 de	
representação	 do	 plano	 secante,	 geralmente	 ele	 é	 considerado	 infinito.	 Assim,	 caso	 a	 projeção	
acumulada	não	trespasse	totalmente	a	projeção	do	sólido,	a	mesma	deve	ser	prolongada	até	que	a	
projeção	do	sólido	seja	totalmente	trespassada	pela	projeção	acumulada	do	plano,	para	que	o	sólido	
seja	totalmente	cortado.	É	isto	que	acontece	no	exemplo	da	Figura	66a,	onde	o	plano	secante,	definido	
por	um	triângulo,	apresenta	uma	projeção	acumulada	que	não	trespassa	totalmente	a	projeção	do	
sólido	na	vista	auxiliar.	Na	Figura	66b,	a	projeção	acumulada	é	estendida	até	cruzar	 totalmente	a	
projeção	 do	 sólido.	 Em	 seguida,	 os	 pontos	 onde	 a	 PA	 do	 plano	 secante	 cruzam	 as	 projeções	 das	
arestas	 do	 sólido,	 são	 determinados	 os	 pontos	 correspondentes	 aos	 vértices	 do	 polígono	 de	
interseção.	 Na	 Figura	 66c,	 este	 processo	 é	 mostrado	 em	 épura,	 onde	 é	 possível	 verificar	 a	
correspondência	dos	pontos	determinados	na	vista	auxiliar	com	as	demais	vistas.	O	sólido	cortado	é	
mostrado	em	épura	na	Figura	66d,	tendo	sido	retirada	a	porção	superior	em	relação	ao	plano	secante.	
A	Figura	67a	mostra	o	sólido	final	em	3D,	evidenciando	a	face	de	corte.	A	Figura	67b	apresenta	
a	determinação	da	VG	da	face	de	corte,	o	que	importante	para	o	total	conhecimento	da	geometria	dos	
sólido	resultante,	através	de	uma	dupla	MSR.	A	vista	auxiliar	 secundária	 (VAS)	pode	ser	 feita	em	
sequência	à	vista	auxiliar	primária	(VAP)	utilizada	para	a	acumulação	do	plano	secante,	uma	vez	que	
a	face	de	corte	pertence	a	este	plano.	Como	a	face	de	corte	já	está	acumulada	na	VAP,	basta	fazer	uma	
segunda	MSR	com	uma	linha	de	terra	paralela	à	projeção	acumulada	da	face,	gerando	a	projeção	em	
VG	da	face	de	corte.	
(a)	 (b)	
Figura 67: a) Sólido resultante após o corte. b) Determinação da VG da face de corte através de uma dupla MSR. 
Este	 exemplo	 demonstra	 o	 potencial	 do	 processo	 de	 corte	 como	 ferramenta	 de	modelagem	
geométrica	para	a	geração	de	geometrias	complexas	a	partir	de	geometrias	primitivas.	No	entanto,	
para	que	este	potencial	possa	ser	utilizado	de	forma	efetiva,	é	necessário	ter	um	controle	efetivo	do	
posicionamento	dos	planos	de	corte.	Isto	é	importante	para	que	o	projetista	tenha	precisão	nas	ações	
de	corte	para	seguir	de	forma	adequada	o	projeto	geométrico	da	peça.	
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Definição do Plano Secante 
O	controle	no	posicionamento	do	plano	secante	pode	ser	obtido	com	uma	representação	adequada	
do	mesmo.	Uma	forma	simples	e	clara	para	a	definição	de	um	plano	é	através	da	representação	de	
algumas	de	suas	retas	características.		
Uma	destas	retas	é	a	chamada	reta	de	máximo	declive	do	plano	(RMD).	Esta	designação	define	
todas	as	retas	do	plano	que	são	perpendiculares	às	retas	horizontais	do	mesmo	plano.	As	retas	de	
máximo	declive	são	utilizadas	amplamente	em	projetos	topográficos,	pois	através	delas	é	possível	
mapear	as	baciashidrográficas	em	uma	determinada	região	a	partir	da	malha	do	terreno.	Unindo	as	
retas	de	máximo	declive	sobre	a	malha,	são	definidos	os	possíveis	caminhos	de	escoamento	da	água.	
Com	isso,	é	possível	realizar	projetos	de	drenagem	urbana.	
A	representação	geométrica	da	RMD	define	a	direção	do	plano	com	maior	declividade,	ou	seja,	
com	maior	ângulo	com	o	plano	horizontal	de	projeção.	A	VG	da	RMD	coincide	com	a	acumulação	do	
plano,	quando	esta	 é	 feita	 com	uma	MSR	 frontal.	 Isto	 é	 lógico,	 pois	 se	 a	RMD	é	perpendicular	 às	
horizontais	do	plano,	ela	terá	sempre	projeção	horizontal	paralela	à	linha	de	terra	perpendicular	às	
horizontais	do	plano,	utilizadas	para	acumular	o	plano.	Portanto,	terá	VG	neste	tipo	de	MSR,	a	qual	é	
sempre	coincidente	com	a	projeção	acumulada	do	plano.	Assim,	é	possível	representar	um	plano	por	
sua	reta	de	máximo	declive,	pois	a	mesma	define	duas	direções	de	um	plano:	a	sua	própria	e	a	direção	
das	horizontais,	o	que	é	suficiente	para	a	definição	de	um	plano.	A	Figura	68	mostra	a	representação	
de	uma	RMD	de	um	plano	oblíquo	em	3D	(a)	e	a	sua	representação	em	épura	(Figura	68b),	onde	é	
demonstrada	a	determinação	da	sua	VG	e	a	sua	coincidência	com	a	acumulação	do	plano.	
	
(a)	 (b)	
Figura 68: Representação da reta de máximo declive (RMD) de um plano. a)RMD representada no sobre plano perpendicular à 
horizontal. b) Representação da RMD em épura, mostrando que a VG da mesma é coincidente com a projeção acumulada do 
plano em uma VAP frontal. 
Com	uma	relação	com	o	plano	frontal	de	projeção	(PFP)	equivalente	à	relação	da	RMD	com	o	
plano	 horizontal	 de	 projeção,	 há	 a	 reta	 de	máxima	 inclinação	 (RMI),	 que	 é	 aquela	 reta	 do	 plano	
perpendicular	às	frontais	do	plano.	A	RMI	apresenta	propriedades	semelhantes	à	RMD,	porém	todas	
com	relação	ao	PFP.	A	RMI	define	a	direção	do	plano	com	maior	ângulo	em	relação	ao	PFP.	Assim,	o	
ângulo	da	RMI	com	o	PFP	é	o	mesmo	do	plano	com	este	plano	de	projeção.	A	VG	da	RMI	realizada	
com	uma	MSR	horizontal	coincide	com	a	acumulação	do	plano,	assim	como	acontece	com	a	RMD	em	
uma	MSR	 frontal.	Portanto,	 também	é	possível	 representar	um	plano	por	sua	RMI,	pois	a	mesma	
também	fornece	duas	direções	do	plano:	a	sua	própria	e	a	direção	das	frontais,	perpendiculares	a	ela.	
A	Figura	69	mostra	o	mesmo	plano	já	apresentado	na	Figura	68	com	a	representação	da	sua	reta	de	
70	
máxima	inclinação	em	3D	(Figura	69a)	e	a	determinação	da	sua	VG,	evidenciando	a	sua	coincidência	
com	a	projeção	acumulada	do	plano	em	uma	MSR	horizontal.	
	
(a)	 (b)	
Figura 69: Representação da  reta de máxima  inclinação  (RMI) do plano. a)RMI representada no sobre plano perpendicular à 
frontal. b) Representação da RMI em épura, mostrando que a VG da mesma é coincidente com a projeção acumulada do plano 
em uma VAP horizontal. 
A	 utilização	 destas	 retas	 características	 para	 definir	 um	 plano	 secante	 permite	 uma	 grande	
flexibilidade	 no	 posicionamento	 dos	 mesmos	 sem	 a	 necessidade	 de	 conhecer	 coordenadas	
específicas	de	vértices	do	plano,	como	é	o	caso	da	representação	através	de	uma	face	plana.	Através	
de	uma	RMD,	é	possível	definir	um	plano	secante	fornecendo	um	ponto	de	referência	(contido	na	
mesma),	 a	 direção	na	projeção	horizontal	 e	 o	 ângulo	 em	 relação	 ao	plano	horizontal.	Da	mesma	
forma,	é	possível	definir	um	plano	secante	através	de	sua	RMI,	fornecendo	a	sua	direção	na	projeção	
frontal,	um	ponto	de	referência	e	o	ângulo	com	o	plano	frontal.	
Este	flexibilidade	pode	ser	ainda	maior.	Tanto	na	utilização	da	RMD	quanto	da	RMI,	obviamente	
que	a	LT	criada	para	a	determinação	da	sua	VG	apresenta	a	mesma	direção	da	projeção	da	reta	(na	
vista	 frontal,	 para	 RMI,	 e	 na	 vista	 horizontal,	 para	 a	 RMD).	 Esta	 característica,	 apesar	 de	 obvia,	
permite	que	o	posicionamento	do	plano	secante	seja	 feito	diretamente	pela	posição	da	LT	para	a	
acumulação	do	próprio	plano.	No	caso	da	RMD,	definindo	a	posição	da	LT,	estará	sendo	definida	a	
direção	da	projeção	horizontal	da	mesma.	Após	a	construção	da	vista	auxiliar,	a	projeção	acumulada	
do	plano	pode	ser	posicionada	segunda	a	inclinação	desejada	ou	especificada	pelo	projeto.		
Esta	abordagem	permite	total	controle	do	posicionamento	de	um	plano	de	corte.	Desta	forma,	é	
possível	 realizar	 uma	 modelagem	 totalmente	 planejada,	 definindo	 criteriosamente	 o	
posicionamentos	dos	planos	de	corte,	até	a	forma	final	ser	obtida.	Por	outro	lado,	também	é	possível	
trabalhar	 de	 forma	 exploratória,	 fazendo	 cortes	 experimentais	 a	 fim	 de	 testar	 determinados	
posicionamentos	para	os	planos	de	corte	para	obter	geometrias	não	planejadas	previamente.	Estas	
duas	maneiras	de	trabalho	são	típicas	do	processo	de	projeto	geométrico.	Determinadas	situações,	
que	 incluem	 restrições	 e	 requisitos	 de	 projeto,	 permitem	 um	 planejamento	 prévio.	 Em	 outros	
momentos,	pode	ser	necessário	testar	geometrias	onde	não	há	restrições	que	limitem	em	uma	única	
alternativa.	Neste	 caso,	 o	 projetista	 pode	 testar	 várias	 posições	 para	 o	 plano	de	 corte	 e	 escolher	
aquela	mais	adequada	à	situação	de	projeto	específica.		
	 
71	
Exemplo de Modelagem por Corte 
Para	demonstrar	a	aplicação	desta	técnica,	é	apresentado	a	seguir	um	exemplo	de	corte	de	um	sólido	
a	 partir	 de	 um	plano	 definido	 por	 sua	 RMD.	O	 sólido	 da	 Figura	 70,	 de	 geometria	 prismática	 em	
formato	 de	 L,	 será	 cortado	 por	 um	 plano	 cuja	 RMD	 é	 oblíqua,	 contém	 o	 ponto	 J,	 tem	 projeção	
horizontal	que	faz	60o	no	sentido	anti‐horário	com	a	linha	de	terra	e	faz	60o	com	o	plano	horizontal.	
Neste	 exemplo,	 o	 projeto	 do	 corte	 já	 está	 totalmente	 definido,	 bastando	 seguir	 as	 prescrições	
definidas.		
	
	
	
Pontos  X  Y  Z 
A  10  10  10 
B  60  10  10 
C  60  30  10 
D  30  30  10 
E  30  60  10 
F  10  60  10 
G  10  10  70 
H  60  10  70 
I  60  30  70 
J  30  30  70 
K  30  60  70 
L  10  60  70 
	
Faces  1  2  3  4  5  6 
1  A  F  E  D  C  B 
2  G  H  I  J  K  L 
3  A  B  H  G    
4  B  C  I  H    
5  C  D  J  I    
6  D  E  K  J    
7  E  F  L  K    
8  F  A  G  L    
	
Figura 70: Sólido exemplo a ser utilizado em operação de modelagem por corte. 
Após	a	montagem	da	épura	do	sólido,	é	necessário	marcar	a	projeção	horizontal	da	RMD	do	
plano	de	corte.	Neste	caso,	a	projeção	horizontal	da	RMD	deve	passar	pelo	ponto	J	e	fazer	60o	anti‐
horário	em	relação	à	LT.	Esta	mesma	direção	é	utilizada	para	orientar	a	criação	da	linha	de	terra	para	
achar	VG	da	RMD	e	a	projeção	cumulada	do	plano.	A	Figura	71a	mostra	o	posicionamento	da	projeção	
horizontal	da	RMD	a	partir	da	direção	pré‐definida.	A	mesma	figura	mostra	o	traçado	da	LT	paralela	
à	projeção	horizontal	da	RMD	para	a	realização	de	MSR	que	irá	acumular	o	plano	secante,	sobre	o	a	
projeção	do	sólido.	Nesta	imagem,	ainda	não	é	mostrado	o	plano	secante	acumulado,	pois	o	mesmo	
será	definido	nesta	vista.	
A	 Figura	 71b	 ilustra	 o	 traçado	 da	 projeção	 acumulada	 do	 plano	 a	 partir	 dos	 parâmetros	
fornecidos	previamente:	passa	pelo	ponto	J	e	faz	60o	com	o	plano	horizontal.	Apenas	neste	momento	
plano	 secante	 está	 efetivamente	 representado.	 O	 próximo	 passo	 é	 determinar	 os	 pontos	 de	
interseção	entre	 a	projeção	 acumulada	do	plano	de	 corte	 e	 as	projeções	das	 arestas	do	 sólido.	A	
72	
Figura	71c	mostra	os	pontos	de	interseção	já	determinados	e	a	representação	da	linha	de	interseção	
em	todas	as	projeções	do	sólido.	Após	a	determinação	da	 linha	de	 interseção,	o	corte	é	realizado	
removendo	uma	determinada	parte	delimitada	pela	linha	de	interseção.	A	Figura	71d	mostra	o	sólido	
já	 cortado,	 sem	 a	 porção	 superior,	 que	 foi	 removida.	 Esta	 mesma	 figura	 mostra	 uma	MSR	 para	
encontrar	a	VG	da	face	de	corte.	Esta	vista	auxiliar	secundária	completa	do	sólido	resultante,	além	de	
mostrar	a	VG	da	face	de	corte,	evidencia	a	geometria	final	dosólido,	pois	resultou	em	uma	vista	em	
perspectiva.	
(a)	 (b)	
(c)	 (d)	
Figura 71: Processo de corte de um sólido a partir da definição da RMD do plano secante. 
60o	
73	
Este	 exemplo	 de	 aplicação	 do	 corte	 através	 de	 um	 plano	 secante	 definido	 por	 sua	 RDM	
demonstra	o	potencial	para	a	modelagem	sistemática	de	geometrias	 tridimensionais	complexas	a	
partir	de	geometrias	mais	simples.	A	Figura	72	mostra	o	sólido	final	numa	vista	em	perspectiva	e	
também	a	épura	do	sólido	final.	Nesta	figura,	está	incluído	um	plano	de	projeção	auxiliar,	que	mostra	
a	vista	lateral	esquerda	do	sólido	final,	detalhando	a	geometria	resultante	do	corte.	
	
(a)	 (b)	
Figura 72: Sólido final. a) Vista em 3D sólido final. b) Épura do sólido resultante, incluindo uma vista auxiliar (vista lateral esquerda) 
para evidenciar a geometria final do sólido.