ad2 mf mat fis 2011 1 gabarito

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AD 2 - MF- 2011/1 
 Gabarito 
 
1) (0,8 pt.) Um comerciante aumentou o preço de uma mercadoria em % 15 . Contudo, a procura 
por esta mercadoria continuou grande. Então ele fez um novo aumento de % 5 , com isto, o 
preço ficou alto, a mercadoria encalhou e, além disso, o prazo de validade estava vencendo. 
Finalmente fez um desconto para que a mercadoria pudesse ser vendida por um preço % 15,5 
menor do que o preço inicial. De quanto foi esse desconto? 
Solução: 
Seja x o preço da mercadoria. O comerciante promoveu dois aumentos sucessivos e acumulativos, 
o primeiro de % 15 e o segundo de % 5 então o fator que vai corrigir o preço inicial, será dado 
por 2075,105,115,1  , ou seja, após os aumentos, o preço da mercadoria será dado por x2075,1 . O 
comerciante agora que dar um desconto sobre este preço de modo que a mercadoria seja vendida 
por um preço % 15,5 menor do que o preço inicial, ou seja,   % 50,84%5,15100  . O que 
corresponde a um desconto sobre o preço reajustado dado por xxx 3625,0845,02075,1  e este 
desconto corresponde a um porcentual sobre o preço após os aumentos dado por: 
30,0
2075,1
3625,0 
x
x . 
Logo para que ele possa vender a mercadoria por um valor % 15,5 menor do que o preço original é 
necessário dar um desconto de % 30 sobre o preço após os aumentos. 
Resposta: 30 %. 
 
2) (1,8 pt.) Um investidor aplicou seu capital a uma a taxa nominal de ano ao % 12 . % 30 foi 
capitalizado trimestralmente, % 20 foi capitalizado semestralmente e o restante capitalizado 
mensalmente. Sabendo-se que ao final de três anos o investidor recebeu um montante de 
49,804.42 R$ , determine o valor do capital investido. 
Solução: 
Seja C o capital do investidor. 
 2
- % 30 desse capital, isto é, C30,0 foi aplicado durante três anos a uma taxa de ano ao % 12 , 
capitalizada trimestralmente. Portanto, esta taxa é nominal, pois seu período que é anual é diferente 
do período de capitalização que é trimestral. Logo, considerando a relação entre as unidades de 
tempo dessas taxas, a taxa efetiva é proporcional a taxa dada, ou seja, como s trimestre4 ano 1  
então,a taxa efetiva trimestral i será dada por e trimestrao % 3
4
12 i . 
Como s trimestre12 anos 3  , então o montante 1M dessa operação será dado por : 
  CCM 427728,01203,0130,01  . 
- % 20 do capital inicial, isto é, C20,0 foi aplicado durante três anos a uma taxa de ano ao % 12 , 
capitalizada semestralmente. Portanto, esta taxa é nominal, pois seu período que é anual é diferente 
do período de capitalização que é semestral. Logo, considerando a relação entre as unidades de 
tempo dessas taxas, a taxa efetiva é proporcional a taxa dada, ou seja, como semestres 2 ano 1  
então,a taxa efetiva semestral i será dada por semestre ao % 6
2
12 i . 
Como semestres 6 anos 3  , então o montante 2M dessa operação será dado por : 
  CCM 283704,0606,0120,02  . 
- o restante do capital, isto é, 0,50C foi aplicado durante três anos a uma taxa de ano ao % 12 , 
capitalizada mensalmente. Portanto, esta taxa é nominal, pois seu período que é anual é diferente 
do período de capitalização que é mensal. Logo, considerando a relação entre as unidades de tempo 
dessas taxas, a taxa efetiva é proporcional a taxa dada, ou seja, como meses 12 ano 1  então,a taxa 
efetiva mensal i será dada por mês ao % 1
12
12 i . 
Como meses 36 anos 3  , então o montante 3M dessa operação será dado por : 
  CCM 715384,03601,0150,03  . 
Por outro lado, sabemos que 49,804.42321  MMM portanto, temos que: 
 49,804.42426816,149,804.42715384,0283704,0427728,0 CCCC 
00,000.30
426816,1
49,804.42  CC 
Resposta: R$ 30.000,00 
 
 
 3
3) (1,2 pt.) Uma nota promissória, cujo valor nominal é R$ 4.000,00, foi resgatada 10 meses antes 
do seu vencimento, em um banco que adota o critério do desconto comercial simples, a uma taxa 
de 2 % ao mês. A instituição financeira cobra uma taxa de serviço de % 1 sobre o valor nominal 
do título, descontada do valor a ser recebido pela empresa. Calcular: 
a) o valor do desconto; 
 b) o valor atual; 
c) o valor líquido recebido pela empresa; 
 d) a taxa linear de ganho efetiva do banco. 
Solução: 
 Temos que: 






) serviço de taxa( % 1
simples) comercial desconto de taxa( mês ao % 2
o)antecipaçã de prazo ( meses 10 n
) títulodo nominal valor ( 00,000.4
i
N
 
a) Sabemos que o desconto comercial simples cd pode ser obtido através da relação niNcd  , 
onde N e o valor nominal do título, n o prazo de antecipação e i a taxa unitária da operação. 
Portanto, nesse caso temos que: 
00,8001002,000,000.4  cdcd . 
 
b) O valor atual comercial cA pode ser obtido através da equação cdNcA  , portanto neste caso 
tem-se que 00,200.300,80000,000.4 cA . 
 
c) A despesa de serviços bancários será dada por 00,4000,000.401,0  . 
Portanto o valor líquido recebido pelo cliente será dado por: 
00,160.300,4000,200.3  . 
 
d) Para o banco, a operação foi uma aplicação de um capital de 00,160.3 R$ , que renderá em dez 
meses um montante de 00,000.4 R$ . Considerando a capitalização simples, a taxa i desta 
aplicação será obtida por: 
     265823,1101
00,160.3
00,000.410110100,160.3000.4 iii 
mês ao % 658,2ou mês ao 026582,0
10
265823,01265823,110  iiii . 
 4
Resposta: 



mês. ao % 2,658 d)
3.160,00; R$ c)
3.200,00; R$ b)
800,00; R$ a)
 
 
4) (0,8 pt.) Uma pessoa tem uma dívida a pagar, a uma taxa de juros simples de ano ao % 18 nas 
seguintes condições: 1.000,00 R$ daqui a três meses e 2.000,00 R$ daqui a cinco meses. 
Mantendo a mesma taxa de juros e o mesmo regime de capitalização, ela deseja substituir estas 
dívidas por três iguais, vencíveis daqui a 2, 4 e 6 meses, respectivamente. Determinar o valor 
destas prestações se for considerado na equivalência a data “zero” como data focal e o critério do: 
 a) desconto comercial ou “por fora” 
 b) desconto racional ou “por dentro” 
Solução: 
 
 
 2.000,00 
 
 1.000,00 
dívida original 
 
 
proposta 0 1 2 3 4 5 6 (meses) 
de paga- x x x 
mento 
 
No diagrama acima, as setas para cima representam o conjunto formado pelos capitais da dívida 
original e as setas para baixo o conjunto de capitais da nova proposta de pagamento. 
Para que não haja prejuízo para nenhuma das partes é necessário que esses conjuntos sejam 
equivalentes. 
Sabemos que dois ou mais capitais diferidos, isto é, com vencimentos em datas deferentes, são 
equivalentes, em certa data de referência (“data focal”), quando a soma dos seus valores nessa data 
for igual. 
Nesse problema o regime considerado é o de juros simples a uma taxa de ano ao % 18 ou 
mês ao % 5,1 ea data de referência, isto é, data focal é a data “zero”. 
 
 a) Sabe-se que no desconto comercial simples a relação entre o valor atual cA e o valor nominal 
N é dada pela equação    nic
ANniNcA  11 , onde n o prazo de antecipação e i a 
taxa unitária da operação. 
 5
Portanto, nesse caso temos que a equação de equivalência será dada por: 
     
   

5015,0100,000.23015,0100,000.1
6015,014015,012015,01 xxx
 
68,994
82,2
00,805.200,805.282,2  xx . 
 
b) Sabe-se que no desconto racional simples a relação entre o valor atual rA e o valor nominal N 
é dado pela equação    ni
N
rAnirAN  11 , onde n o prazo de antecipação e i a 
taxa unitária da operação. 
Temos então que a equação de equivalência será dada por: 
           5015,01
00,000.2
3015,01
00,000.1
6015,014015,012015,01
xxx 
95,994
831701,2
40,817.240,817.2831701,2  xxx 
Resposta: 

994,95 R$ b)
994,68 R$ a)
 
 
5) (1,2 pt.) Uma empresa contrata um empréstimo no valor de 30.000,00 R$ para ser pago daqui 
a dez meses a um taxa de juros composto de ano ao % 24 , capitalizada mensalmente. Como 
forma de ajustar o seu fluxo de caixa ela propõe ao banco dois pagamentos iguais para oito e 
doze meses, respectivamente. Sabendo-se que a instituição financeira adota uma taxa de 
desconto de ano ao % 18 , capitalizada mensalmente, determine o valor dos pagamentos caso 
seja adotado o critério do: 
 a) desconto comercial composto; 
 b) desconto racional composto. 
Solução: 
A empresa contratou um empréstimo de 30.000,00 a uma taxa de juros composto de 
ano, ao % 24 capitalizada mensalmente para ser pago em dez meses. Portanto, esta taxa é 
nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de capitalização que é mensal logo, 
considerando a relação entre essas unidades de tempo, a taxa efetiva da operação é proporcional a 
taxa dada, isto é, como meses 12 ano 1  , então a taxa efetiva i será dada por mês. ao % 2
12
24 i 
 6
Logo a empresa deverá pagar no final do empréstimo um montante M dado 
por   83,569.361002,0100,000.30  MM . 
 
 83,569.36 
dívida original 
 
 
proposta 0 1........6 7 8 9 10 11 12 
de paga- 
mento x x 
 
No diagrama acima, a seta para cima representa o conjunto formado pelo capital da dívida original e 
as setas para baixo o conjunto de capitais da nova proposta de pagamento. 
Para que não haja prejuízo para nenhuma das partes é necessário que esses conjuntos sejam 
equivalentes. 
Sabemos que dois ou mais capitais diferidos, isto é, com vencimentos em datas deferentes, são 
equivalentes, em certa data de referência (“data focal”), quando a soma dos seus valores nessa data 
for igual. 
Nesse problema o regime considerado é o de juros composto a uma taxa de desconto de 
ano ao % 18 , capitalizada mensalmente. Portanto, esta taxa é nominal, pois seu período que é 
anual é diferente do período de capitalização que é mensal logo, considerando a relação entre essas 
unidades de tempo, a taxa efetiva da operação é proporcional a taxa dada, isto é, 
como meses 12 ano 1  , então a taxa efetiva i será dada por mês. ao % 5,1
12
18 i 
Sabe-se que no regime de juros composto, a escolha da data focal não altera a equivalência. Nesse 
problema vamos trabalhar com a data focal “dez”. 
 
a) Sabe-se que no desconto comercial composto a relação entre o valor atual cA e o valor nominal 
N é dada pela equação    nic
ANniNcA  11 , onde n o prazo de antecipação e i a taxa 
unitária da operação. 
Portanto, nesse caso temos que a equação de equivalência será dada por: 
     83,569.36000914,283,569.36
2015,012015,01
xxx 
56,276.18
000914,2
83,569.36  xx . 
. 
 7
b) Sabe-se que no desconto racional composto a relação entre o valor atual rA e o valor nominal 
N é dada pela equação    ni
N
rA
nirAN  11 onde n o prazo de antecipação e i a taxa 
unitária da operação. 
Portanto, nesse caso temos que a equação de equivalência será dada por: 
     83,569.36000887,283,569.362015,01
2015,01 xxx 
81,276.18
000887,2
83,569.36  xx . 
Resposta: 

18.276,81 R$ b)
18.276,56 R$ a)
 
 
6) (1,0 pt.) Ao adquirir uma mercadoria, o cliente pagou R$ 200,00 no ato da compra e financiou o 
saldo devedor em dez prestações mensais iguais e consecutivas de 111,32 R$ , vencendo a 
primeira um mês após a compra, a uma taxa de juros de ano ao % 24 capitalizada 
mensalmente. Determine o valor a vista da mercadoria. 
Solução: 
Trata-se de uma série uniforme modelo básico em que se quer determinar o seu valor atual P , 
sabendo-se que os termos constantes (prestações) R da série são iguais a 111,32 , o prazo n é igual 
a dez meses e a taxa do financiamento é de ano ao % 24 , capitalizada mensalmente. Portanto, 
essa taxa é nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de capitalização que é 
mensal logo, considerando a relação entre as unidades dessas taxas, a taxa efetiva mensal da 
operação é proporcional à taxa dada, ou seja, como meses 12 ano 1  , tem-se então que a taxa 
efetiva i será dada por mês. ao % 2
12
24 i 
O diagrama abaixo representa essa série: 
 P 
 
 
 
 
 0 1 2 3............8 9 10 (meses) 
 
 111,32 ....................................................111,32  RR 
 
Sabemos que  niFVPRP ,  . 
 8
Nesse caso então, temos que  10 %; 2 111,32 FVPP  
Utilizando uma tabela financeira ou a equação    
i
niniFVP
 11 , , temos que: 
      982585,810 ;% 2
02,0
1002,01110 ;% 2 
 FVPFVP . 
Portanto, 00,000.1982585,8 111,32  PP . Este foi então o valor financiado pelo cliente. 
Como ele pagou no ato compra uma entrada de 00,200 , então o valor a vista da mercadoria será 
dada por 00,200.100,20000,000.1  . 
Resposta: R$ 1.200,00 
 
7) (0,8 pt.) Um empréstimo de 20.000,00 R$ deve ser pago em 16 prestações trimestrais iguais e 
consecutivas, vencendo a primeira noventa dias após a liberação dos recursos. Determine o valor 
das prestações, sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de ano ao % 20 capitalizada 
trimestralmente. 
Solução: 
 20.000,00 
 
 
 
 
 0 1 2 3.............14 15 16 (trimestres) 
 
 RR ............................................................ 
 Trata-se de uma série uniforme modelo básico em que se quer determinar o valor dos termos 
constantes R , sabendo-se que 00,000.20P (valor atual) , e o prazo n é igual a 16. 
A taxa do financiamento é de ano ao % 20 , capitalizada trimestralmente. Portanto, essa taxa é 
nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de capitalização que é trimestral logo, 
considerando a relação entre as unidades dessas taxas, a taxa efetiva da operação é proporcionalà 
taxa dada, ou seja, como es trimestr4 ano 1  , tem-se então que a taxa efetiva trimestral i será dada 
por e trimestrao % 5
4
20 i . 
 Sabemos que    niFVP
PRniFVPRP
 ;
 ;  , temos então que; 
  16 ;% 5
00,000.20
FVP
R  . 
 9
Utilizando uma tabela financeira ou a equação    
i
niniFVP
 11 , , temos que: 
      837770,1016 ;% 5
05,0
1605,01116 ;% 5 
 FVPFVP . 
Temos então que 40,845.1
837770,10
00,000.20  RR 
Resposta: R$ 1.845,40 
8) (0,8 pt.) Quanto devo depositar , mensalmente, para obter um montante de 22.627,24 R$ ao fim 
de cinco anos, sabendo-se que a taxa de remuneração do capital é de ano ao % 9 , capitalizada 
mensalmente. 
Solução: 
Os depósitos mensais constituem uma série uniforme modelo padrão em que o montante 
22.627,24 S , o prazo da operação é de cinco anos, ou seja, meses 60n , e queremos 
determinar o valor do termos R (depósitos) dessa série. 
A taxa da operação é nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de capitalização 
que é mensal logo, considerando a relação entre as unidades dessas taxas, a taxa efetiva da operação 
é proporcional à taxa dada, ou seja, como meses 12 ano 1  , tem-se então que a taxa efetiva mensal 
i será dada por mês ao % 75,0
12
9 i . 
O diagrama abaixo representa essa série: 
 22.627,24 S 
 
 
 
 
 0 1 2 3............ 58 59 60 (meses) 
 
 RR ........................................................ 
 . 
Sabemos que    niFVF
SRniFVFRS
 ;
 ;  . Portanto, nesse caso tem-se que: 
  60 ;% 75,0
22.627,24 
FVF
R  . 
 10
Utilizando uma tabela financeira ou a equação    
i
niniFVF 11 ;  , temos que 
      424137,7560 %; 0,75 
0075,0
1600075,0160 %; 0,75  FVFFVF . 
Portanto, 00,300
424137,75
22.627,24  RR . 
Resposta: R$ 300,00 
 
 
9) (1,6 pt.) Um investidor efetuou 50 depósitos mensais, iguais e sucessivos em uma instituição 
financeira que remunera seus depósitos a um taxa nominal de ano ao % 9,6 , iniciando os 
depósitos em 30 dias. Do montante poupado ele efetuou 100 saques mensais de R$ 2.000,00 
iniciando os saques um mês após o último depósito. No último saque o saldo da conta foi zerado. 
Determine o valor dos depósitos. 
Solução: 
Os depósitos constituem uma serie uniforme padrão com 50 termos mensais iguais a R e os saques 
constituem outra série padrão com 100 termos mensais iguais a 00,000.2 . 
A taxa dada é anual e nominal, e como os termos das séries envolvidas são mensais, então a 
capitalização é mensal. Logo, considerando a relação entre as unidades dessas taxas, a taxa efetiva 
mensal da operação é proporcional à taxa dada, ou seja, como meses 12 ano 1  , tem-se então que a 
taxa efetiva i será dada por mês. ao % 8,0
12
6,9 i 
 PS  
 
 
Depósitos RR ............................. 
 51 52 53...........149 150 
 0 1 2 ...48 49 50 (meses) 
Saques 
 00,000.2 ..................................... 00,000.2 
 
O montante S da série dos depósitos é igual ao valor presente P da série dos saques. 
Sabemos que  niFVFRS ; e  niFVPRP ; . Nesse caso então, temos que: 
 50 ;% 8,0 FVFRS  e  100 ;% 8,000,000.2 FVPP  . 
 11
Portanto,     100 ;% 8,000,000.250 ;% 8,0 FVPFVFR 
 
 50 ;% 8,0 
100 ;% 8,000,000.2
FVF
FVPR  . 
Utilizando equações    
i
niniFVP
 11 ; e    
i
niniFVF 11 ;  , temos que: 
      654816,68100 ;% 8,0
008,0
100008,011100 ;% 8,0 
 FVPFVP e 
      181540,6150 ;% 8,0 
008,0
50008,01150 ;% 8,0  FVFFVF . 
Portanto 30,244.2
181540,61
654816,6800,000.2  RR . 
Resposta: R$ 2.244,30