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Matemática Básica Aula 3 Cristiane Argento 
Ion Moutinho 
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A relação de ordem em � 
 
 O conjunto �+ permite definir uma relação de ordem entre os números reais, a 
saber, dizemos que x < y (ou y > x) se y − x ∈ �+. Com esta notação, temos que x > 0 se, 
e só se, x∈��+ e x < 0 se, e somente se, x∈��−. 
 A relação x < y pode ser representada na reta da seguinte maneira. 
 
 É claro que a noção de ordem é um fato bastante intuitivo, mas devemos tomar 
certo cuidado com a apresentação deste conceito. Dizer que x < y se “x está à esquerda 
de y” é um pouco impreciso. Se uma pessoa virar a folha de cabeça para baixo ou ao 
contrário, verá a relação x < y mudar para y < x. 
 Juntando o significado de x < y com o significado de x > 0, temos que x < y se, e 
só se, y − x > 0. Esta última equivalência é muito útil para verificações. 
 Escreve-se x ≤ y para significar que x < y ou x = y. 
 Na verdade, o que torna esta relação de ordem especial é o fato de ela ser 
compatível com as operações de �. De fato, a relação de ordem que definimos goza das 
seguintes propriedades. 
 
Propriedades Básicas de ordem 
O1) x > 0 e y > 0 ⇒ x + y > 0 e xy > 0. 
O2) Dado x ∈��, uma, e só uma, das três alternativas ocorre: ou x = 0, ou x > 0 ou x < 0. 
 
 Leitor, com a sua experiência adquirida neste texto, como você olha estas duas 
propriedades? Estas aparecem para você apenas como um conjunto de regras? 
Provavelmente seja difícil antever a importância das propriedades, mas certamente você 
é capaz de interpretar e entender o significado das afirmações. Para isto, basta 
identificar cada elemento dos enunciados. Por exemplo, em (O1), o que significa x > 0 e 
y > 0? O que significa x + y? Sabemos, neste caso, que x e y estão contidos na semi-reta 
OU , donde a justaposição dos segmentos x e y também está contido na semi-reta OU . 
Ou seja, x + y > 0. Se estes argumentos não ficaram exatamente claros, faça uma 
representação geométrica destas condições. Argumente sobre as outras afirmações. 
O U x y 
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Tente não aceitar propriedades matemáticas como regras a serem decoradas. Tente 
entendê-las. 
 Temos várias outras propriedades importantes que relacionam a noção de ordem 
com as operações de �. As seguintes propriedades decorrem das propriedades básicas 
da noção de ordem. 
a) x < y e y < z ⇒ x < z. 
b) Dados x, y ∈ �, exatamente uma das seguintes possibilidades ocorre: x = y, x < y 
ou y < x. 
c) x < y e z∈�� ⇒ x + z < y + z. 
d) x < y e z ∈�� + ⇒ xz < yz. 
e) x < y e z ∈�� − ⇒ yz < xz. 
f) x ≠ 0 ⇒ x2 > 0. 
g) x < 0 e y > 0 ⇒ xy < 0. 
h) x > 0 ⇒ x−1 > 0. 
i) x, y > 0 e x < y ⇒ y−1 < x−1. 
j) Dado x ∈ �, x < x + 1. 
 
 Novamente, não é interessante decorar estas propriedades. Em primeiro lugar, é 
importante saber que elas existem. No futuro, se fizer manipulações algébricas em um 
inequação (expressão com desigualdade, em vez de igualdade), você deve saber que 
existem certas regras a serem seguidas. A vantagem de se entender e interpretar os fatos 
é que, precisando ou na dúvida do enunciado, pode-se deduzir uma propriedade na hora, 
para não correr riscos de erro. 
 Veja dois exemplos de dedução de propriedade. 
 
Verificação da propriedade (c): Se x < y e z∈��, então 
0 < y − x = y + 0 − x = y + z − z − x = y + z − (x + z), 
ou seja, (y + z) − (x + z) > 0. 
 Assim, verificamos que x < y e z∈�� ⇒ x + z < y + z. 
 
Verificação da propriedade (a): Basta desenhar a propriedade. 
 
 Pelo desenho, fica claro que se x < y e y < z então teremos também x < z. 
 
x y z 
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Observação: Veja, na verificação da propriedade (c), como o conhecimento das 
propriedades operacionais ajuda a montar argumentos de justificativas. Por outro lado, 
veja, na verificação da propriedade (a), como que a representação geométrica pode ser, 
em certos casos, extremamente útil, e de simples utilização. Não é o objetivo deste 
curso fazer verificações de todas as propriedades, mas acreditamos que fazer algumas 
verificações pode ser uma boa oportunidade para preparar melhor o leitor para estudos 
futuros. Para o aluno mais interessado, é um ótimo exercício tentar verificar todas as 
propriedades anteriores. 
 
 O conhecimento das propriedades sobre desigualdade é muito útil para a 
resolução de inequações. 
 
Exemplo: Vamos resolver a inequação 3x + 1 < 2x. O procedimento é bastante parecido 
com o de resolução de equações. (Mas não é igual!) Utilizando a propriedade (c) duas 
vezes, temos: 
 3x + 1 < 2x ⇔ 3x + 1 + (−2x) < 2x + (−2x) ⇔ x + 1 < 0 ⇔ 
 ⇔ x + 1 + (−1) < 0 + (−1) ⇔ x < −1 
Assim, 3x + 1 < 2x ⇔ x < −1. Ou seja, a solução da inequação, 3x + 1 < 2x, é todo x ∈ 
� tal que x < −1. 
 
Exemplo: Vamos resolver a inequação 4x < 3. Só precisamos isolar x. Para isto, 
segundo a propriedade (d), basta multiplicar os dois lados da inequação por 
4
1
, para, 
então, obter 
4
1
.4x < 
4
1
.3. Daí, x < 
4
3
. 
 
 Leitor, é preciso ter muita consciência no uso destas propriedades. Por exemplo, 
a propriedade (c) não tem nenhuma restrição e o resultado tem uma certa simetria. Ele 
afirma que se x < y então x + z < y + z. Já no caso do resultado (d), existe uma restrição, 
ele só vale para z > 0. Contudo, ainda existe uma simetria. Quando x < y e z >0, temos 
xz < yz. No caso da propriedade (e), a restrição é que se tenha z < 0 e existe uma 
assimetria no resultado. Quando x < y e z < 0, temos xz > yz. Note como que o sinal 
troca de lado. 
 
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Atividade 5 
a) Diga se é verdadeiro ou falso: −a ∈ � −. 
b) Resolva a inequação dada 
1. 2x + 1 ≤ x + 6 2. 2 − 3x ≥ x + 14 3. 
x x
−
≤
−
−2
1
3
 4. 2(x + 3) > 3(1 − x) 
5. 3(1 − 2x) < 2(x + 1) + x − 7 6. 2 x + 1 < 
2
3
x 
c) Existe um maior número inteiro que seja solução da inequação 179
3
<+
x
? E um 
número real? 
d) Justifique porque a implicação a < x e b < y ⇒ a − b < x − y é falsa (utilize a 
representação geométrica). 
e) Justifique porque a equação x2 = a não tem solução quando a < 0. 
 
Intervalo e módulo 
 
 Uma noção importante que decorre da relação de ordem é a de intervalo. Dados 
a, b ∈��, com a < b, o subconjunto de � formado pelos pontos que estão entre a e b é 
chamado intervalo limitado. Para distinguir o intervalo que contém, ou não, os pontos 
extremos, a e b, usa-se os termos fechado ou aberto, à direita ou à esquerda. Os quatro 
tipos de intervalos limitados são: 
[a,b] = {x ∈�� | a ≤ x ≤ b} é dito um intervalo fechado; 
(a,b) = {x ∈�� | a < x <b} é dito um intervalo aberto; 
[a,b) = {x ∈�� | a ≤ x < b} é dito um intervalo fechado à esquerda e aberto à 
direita; 
(a,b] = {x ∈�� | a < x ≤ b} é dito um intervalo aberto à esquerda e fechado à 
direita; 
 
 O nome intervalo também pode ser associado a outros tipos de subconjuntos 
conhecidos como intervalos ilimitados. Os cinco casos de intervalos ilimitados são: 
(−∞,b] = {x ∈�� | x ≤ b} é dito um intervalo fechado à direita; 
(−∞,b) = {x ∈�� | x < b} é dito um intervalo aberto à direita; 
 [a,+∞) = {x ∈�� | a ≤ x} é dito um intervalo fechado à esquerda; 
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(a,+∞) = {x ∈�� | a < x} é dito um intervalo aberto à esquerda; 
 (−∞,+∞) = �, o conjunto � também é visto como um intervalo. 
 
Notação: a < b < c significa que a < b e b < c. 
 
Atividade 6 
a) É sempre muito interessante trabalhar com a representação gráfica da noção de 
intervalo. Por exemplo, um intervalo da forma (a,b] é representado graficamente porRepresente geometricamente cada tipo de intervalo. 
b) Diga se é verdadeiro ou falso. 
• A interseção de dois intervalos é sempre um intervalo. 
• A união de dois intervalos é sempre um intervalo. 
c) Escreva o conjunto X = {x ∈ � | x ≠ 0} em termos de intervalos (você vai ter que usar 
a união). 
 
Desafio: Dados a, b ∈ �, a média aritmética destes valores sempre pertence ao intervalo 
aberto (a, b), pois a < 
2
ba + < b (você conseguiria verificar estas desigualdades?) 
 
 A primeira aplicação da notação para intervalos é na descrição de soluções de 
inequações. Em exemplo anterior, sobre a inequação 3x + 1 < 2x, foi determinado que 
todo x ∈ � tal que x < −1 é uma solução da inequação original. Uma maneira de 
expressar tal fato, usando a linguagem de conjuntos, é dizer que o conjunto, S, de 
soluções de 3x + 1 < 2x é dado por 
 S = {x ∈ � | x < −1}. 
Pela notação introduzida, este conjunto pode ser expresso de forma abreviada por 
 S = (−∞, −1). 
Se você quiser, a solução pode ser representada geometricamente, na reta graduada. 
Neste caso temos S representado na reta da seguinte maneira. 
a b 
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Atividade 7 Dê a resposta de cada inequação do item (b) da atividade 5 em termos de 
intervalo. Represente cada solução graficamente. 
 
 A noção de intervalo aparece com mais força quando se fala em sistema de 
inequações. Vejamos um caso. 
 
Exemplo: Vamos resolver o sistema de inequações 



<+−
<+
63
512
x
x
. Lembre que resolver 
um sistema de inequações significa determinar os números que são soluções de todas as 
inequações ao mesmo tempo. Vejamos em detalhes. 
 A primeira inequação é simplificada para 2x < 4, donde x < 2. Assim, o conjunto 
solução da primeira inequação é dado por S1 = (−∞, 2). 
 A segunda inequação é simplificada para −x < 3, donde x > −3. Assim, o 
conjunto solução da primeira inequação é dado por S1 = (−3, +∞). 
 E o conjunto solução do sistema? Sabemos que x é solução do sistema se, e só 
se, é solução das duas inequações. Assim, x ∈ S, conjunto solução do sistema, se, e só 
se, x ∈ S1 e x ∈ S2, ou seja, x ∈ S1 ∩ S2. 
 Vejamos isto numa representação gráfica. A seguir, temos os conjuntos S1 e S2 
em destaque na reta graduada. 
 
 As soluções do sistema de inequações devem atender às duas condições 
simultaneamente. Os pontos da reta que satisfazem esta condição são facilmente 
determinados pelo desenho. Confira a seguir. 
 
0 2 −3 
0 2 
0 −3 
0 −1 
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 Assim, pelo desenho, o conjunto solução do sistema de inequações é dado por S 
= (−3, 2). 
 Para que não fique dúvidas sobre o que foi feito, verifique que S é o conjunto 
solução. Pegue alguns pontos do intervalo e substitua no sistema. Veja se as relações 
são atendidas. Só para ficar mais claro, pegue alguns pontos menores do que −3 e outros 
maiores do 2 e veja o que acontece com as inequações do sistema para estes valores. 
 
Atividade 8 Resolva os sistemas de inequações. Represente o conjunto solução 
graficamente e em termos de intervalo. 
1. 



<−
≤
93
62
x
x
 2. 



−≥
≤+
143
914
xx
x
 3. 



+≥−
+≤+
1432
612
xx
xx
 
4. 



<−
≤−
43
012
x
x
 5. 



≤+−
<+
013
084
x
x
 
 
 Vamos agora falar um pouco sobre uma situação bem mais rica aonde a noção 
de intervalo é bastante usada. Nós já conversamos sobre a noção de ordem. Do ponto de 
vista geométrico, este conceito está mais relacionado com a posição do número real 
sobre a reta do que com o tamanho do segmento que este número representa. Por 
exemplo, o número −5 é representado por um segmento de reta bem maior do que o 
segmento que representa o número 2. Mas, levando em consideração a posição dos 
números, a relação de ordem que conhecemos diz que o número 2 é maior do que −5. O 
próximo conceito considera melhor esta questão. 
 
Definição: Dado x ∈��, o valor absoluto (ou módulo) de x é o número |x| = máx{x, −x}. 
 
Observação: máx{a, b} significa o máximo, ou maior, de a e b, que é garantido pela 
propriedade (b) de ordem. 
 
Observação: A definição de módulo é equivalente a: 



<−
≥
=
0 se ,
0 se ,
xx
xx
x . 
 
Interpretação geométrica: Dado x ∈��, o valor |x| representa o tamanho do número x. 
Assim, −31 é um número negativo, menor do que −3, 0 ou 2, por exemplo. Mas, o seu 
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comprimento é maior do que o comprimento de −3, 0 e 2. De fato, o comprimento de 
−31 é |−31| = 31 que é maior do que |−3| = 3, |0| = 0 e |2| = 2. 
 
 A manipulação da noção de módulo se relaciona com a noção de intervalos a 
partir da seguinte propriedade. 
 
Propriedade: Dados x, a ∈ �, com a > 0, temos a seguinte equivalência: 
−a ≤ x ≤ a ⇔ |x| ≤ a 
Justificativa: Como entender que as duas relações são equivalentes? Podemos montar 
um argumento baseado na representação geométrica das relações. Como seria o desenho 
de uma reta com um número a > 0, com o número −a e um número x satisfazendo −a ≤ 
x ≤ a? Agora, o primeiro desenho também representa a relação |x| ≤ a? É fácil verificar 
que sim. 
 
 Pela interpretação geométrica da noção de módulo, podemos argumentar da 
seguinte maneira. A relação −a ≤ x ≤ a significa que o número x está entre os números 
−a e a, o que quer dizer que o tamanho de x está entre 0 e a, o que significa que |x| ≤ a. 
 
 Uma consequência direta desta última propriedade é que, dados a, x, δ ∈ �, com 
δ > 0, tem-se 
|x − a| ≤ δ ⇔ a − δ ≤ x ≤ a + δ. 
Os resultados acima ainda valem com < no lugar de ≤. Assim, vale a relação mais 
completa e muito útil, 
x ∈ (a − ε, a + ε) ⇔ a − ε < x < a + ε ⇔ |x − a| < ε 
 
 A razão de olhar com calma para uma expressão do tipo |x − a| é que ela tem 
uma interpretação geométrica muito importante. A saber, se os números reais forem 
usados como marcadores de posição em uma reta, o valor |y − x| pode ser visto como a 
distância entre x e y. Notação: d(x, y) = |y − x|. 
 
−a a x 0 |x| 
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Exemplo: Vamos resolver o sistema 



≥+
<−
4|1|
3|5|
x
x
. Em vez de usarmos a definição 



<−
≥
=
0 se ,
0 se ,
xx
xx
x , como normalmente é feito, usando a relação com intervalos, temos 
mais diretamente 
 |x − 5| < 3 ⇔ d(x, 5) < 3 ⇔ x∈(2,8) 
e 
 |x + 1| ≥ 4 ⇔ d(x, −1) ≥ 4 ⇔ x∉(−5, 3). 
Estas relações podem ser representadas graficamente pelo seguinte desenho. Na 
primeira linha, temos os pontos cuja distância a 5 é menor do 3. Na segunda linha, 
temos os pontos cuja distância a −1 é maior do que ou igual a 4. 
 
 No desenho, podemos ver que a solução é dada por todo x ∈ � tal que 3 ≤ x < 8 
(a interseção das duas soluções), ou seja, o conjunto solução é o intervalo [3, 8). 
 
Atividade 9 
a) Represente graficamente, sobre a reta, o conjunto solução da inequação: 
i) |x − 3| < 5 ii) |x − 1| ≥ 1 
b) determine uma inequação envolvendo módulo que seja representada graficamente 
pelo conjunto de pontos destacado a seguir. 
 
 
Desafio: Sejam x, y∈��+. Mostre que 
2
yx
xy
+
≤ . (A justificativa desta desigualdade é 
uma técnica muito útil para vários exercícios de Matemática – dica: 0 ≤ (a + b)2.) 
 
 
 
0 
0 5 5 + 3 5 − 3 
0 −1 −1 + 4 −1 − 4