EP1 MATEMÁTICA BÁSICA CEDERJ - EXERCÍCIOS PROPOSTOS

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
 
Matemática Básica 2013/1  EP1 
 
 
Prezado aluno, 
estamos iniciando a disciplina Matemática Básica. Nessa disciplina oferecemos três 
fontes básicas de estudo: a Apostila, o Módulo do Cederj e os EPs (estudos programados). A 
apostila será usada como guia da disciplina e o módulo como consulta auxiliar. Portanto, a cada 
semana você deverá estudar a unidade indicada da Apostila e o Ep correspondente. Para 
complementar o estudo, consulte o módulo do Cederj. 
 Nesta primeira semana, você deve estudar a unidade 1 da nossa apostila da disciplina. É 
um material muito interessante, que apresenta os números naturais de uma forma mais crítica. 
Em particular, discute-se bastante o processo de contagem, importantíssimo para se 
compreender vários conhecimentos matemáticos. O conteúdo desta unidade é simples e bastante 
conhecido. O mais importante nessa leitura é despertar o leitor para certas questões matemáticas 
e estimulá-lo a assumir uma postura mais crítica em seus estudos. Veja se o nosso texto te afeta 
desta forma, aluno. De qualquer modo, realizar as atividades propostas ao longo do texto é parte 
fundamental do estudo da disciplina. Não deixe de cumpri-las (no final do texto, você encontra 
as respostas). 
 Lembre-se, tendo dúvida você sempre pode contar com o tutor presencial e com os 
tutores à distância. Além disso, aos domingos, você poderá conferir suas respostas com o 
gabarito comentado, disponível na plataforma. 
 Como última orientação, antes de iniciar o estudo da semana, leia o texto a seguir sobre 
noções básicas da linguagem de conjuntos e guarde-o com carinho, pois ele é importante para 
entender os exercícios, enunciados de teoremas, demonstrações, resultados, enfim tudo o que se 
faz em Matemática. Ao longo do curso você vai aprender melhor as notações apresentadas, com 
o uso contínuo desta linguagem. 
 
 
Noções básicas da linguagem de conjuntos 
 Um conjunto é simplesmente uma coleção de objetos ou de elementos. Por exemplo, os 
animais mamíferos formam um conjunto, os números naturais pares formam outro conjunto. Por 
simplicidade, quando precisamos nos referir a um conjunto várias vezes, atribuímos uma 
notação ao mesmo, em geral, uma letra maiúscula. Costuma-se chamar de conjunto Universo o 
maior conjunto no contexto em que se está trabalhando (teorema, livro, capítulo de livro, 
exercício, aula, etc.). Podemos denotar um conjunto de várias formas: 
 
1. A = {2, 2, 5}  listagem dos elementos entre chaves. 
2. B = {0, 3, 6, 9, 12, 15,...}  listagem dos elementos entre chaves usando “...”, onde usamos 
“...” quando há muitos elementos para representar e uma lei de formação deixa claro quais 
são esses elementos. 
3. C = {x; x é ímpar}  (lemos: o conjunto dos x, tais que x é ímpar) descrição do conjunto por 
meio de uma propriedade, não há listagem dos elementos. 
 Para a relação entre um elemento e um conjunto usamos os símbolos “” e “”, onde 
“” significa que o elemento pertence ao conjunto e “” significa que o elemento não pertence 
ao conjunto. 
 
Exemplos: 
1. 1  (1 pertence ao conjunto dos naturais). 
2. 0  
3. 1  , mas 1  (1 não pertence ao conjunto dos naturais, mas 1 pertence ao 
conjunto dos inteiros). 
 Quando um conjunto não possui elementos é dito vazio. O conjunto vazio é denotado 
por { } ou . Por exemplo, {x  ; x < 0} = . 
 Dois conjuntos A e B são iguais (A = B), quando possuem exatamente os mesmos 
elementos. Observe o exemplo: se e então A = B. 
 Dados A e B conjuntos, dizemos que A está contido em B, em símbolos , quando 
todo elemento que pertence ao conjunto A também é um elemento que pertence ao conjunto B. 
Neste caso, também dizemos que B contém A ou que A é um subconjunto de B. Por exemplo, 
dados e , então A B. Note que , já que, por 
exemplo , 3 , porém 3 . 
 Observe que A = B quando e também . 
 
 As principais operações entre conjuntos são a união e a interseção e temos também a 
diferença : 
 A união de A e B é definida por A  B = {x ; x  A ou x  B}, portanto o conjunto 
união é formado pelos elementos que pertencem pelo menos a um dos conjuntos (não 
excluindo os que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos). Como exemplo, veja 
que se A = {1, 0, 2} e B = {0, 3, 4}, então . 
Obs: Em Matemática, quando escrevemos , significa que x é elemento de um 
dos conjuntos dados, podendo pertencer aos dois conjuntos simultaneamente ou só a um 
deles. Observe que na Língua Portuguesa o uso do “ou” exclui a possibilidade da 
simultaneidade (por exemplo: “Quer açúcar ou adoçante?”) 
 
 A interseção de A e B é definida por A  B = {x ; x  A e x  B}, portanto é o 
subconjunto de A e de B formado pelos elementos que estão simultaneamente nos dois 
conjuntos A e B. Note que pode ocorrer da interseção ser o conjunto vazio. 
Considerando A e B do exemplo anterior, temos que é um conjunto 
unitário, pois é formado somente pelo zero. 
Obs: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. De fato, se existir algum 
conjunto A, tal que , então deve existir também algum elemento no conjunto vazio 
que não pertence a A, o que é impossível já que o conjunto vazio não possui elementos. 
Então, vale o contrário, ou seja, . 
 
 A diferença dos conjuntos A e B é o conjunto formado pelos 
elementos de A que não pertencem a B, isto é, . Por 
exemplo, sejam A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 4}. Então A\B = {0, 1, 3}. Também, 
 = {1, 2, 3, 4, 5, ...} = (conjuntos dos inteiro negativos). 
Quando , dizemos que é o complementar de B em relação a A. e também 
pode ser denotado por ou simplesmente por 
 se A for o conjunto 
universo. Assim, .é o complementar de em 
relação a . 
 
Os quantificadores lógicos são bastante utilizados para favorecer a notação, encurtando a 
escrita e melhorando o entendimento. São eles: 
 o quantificador universal é utilizado quando queremos nos referir a todos os 
elementos do conjunto; “para todo ”(ou “qualquer que seja é escrito 
simplesmente . 
 o quantificador existencial é utilizado quando queremos nos referir a alguns 
elementos do conjunto; ”existe é escrito assim . 
Obs: Também usamos a notação , lê-se ”não existe”. 
 
Exemplos: 
1. 
2. , tal que x < 1. 
3. , tal que x < 2. 
Os conectivos lógicos de implicação e equivalência são importantíssimos na escrita 
matemática e devemos estar bem atentos ao significado de cada um. 
 : sempre que p é uma afirmação verdadeira, então q também é verdadeira, 
escrevemos (lê-se p implica q, ou se p então q, ou p é uma condição suficiente 
para q, ou q é uma condição necessária para p). 
 : sempre que “p  q” e também “q  p”, escrevemos (lê-se p é 
equivalente a q, ou p se e só se q, ou p se e somente se q, ou p é uma condição 
necessária e suficiente para q). 
 
Obs: Informalmente, dizemos que vale a “ida”, quando e que vale a “ida e a volta”, 
quando . 
 
Exemplos: 
1. Dado , . 
2. Dado , . 
3. Dado , . 
4. Dado , . 
5. Dado , . 
Comentários sobre os exemplos acima: 
 No exemplo 1, a recíproca (a “volta”) não vale, isto é, não temos uma equivalência, pois 
nem todo inteiro maior do que ou igual a 4 é positivo, há o 4, 3, 2, 1 e o 0 quenão são positivos. 
 No exemplo 2, a recíproca também não vale, isto é, não temos uma equivalência, pois 
se , então e portanto se não implica em x = 1, pois vale 
também para . 
 Comparando os exemplos 2 e 5, observe que o conjunto universo do exemplo 5 é , por 
isso vale a “ida” e a “volta”, isto é, temos uma equivalência. 
 
 
Exercício: Descreva por listagem cada conjunto dado. 
 
a) A : o conjunto de todos os números pares entre 3 e 11. 
b) B : o conjunto de todos os números primos menores do que 20. 
c) C : o conjunto de todos os números ímpares maiores do que 8. 
d) D : o conjunto de todos os números entre 5 e 30 que divididos por 4 deixa resto 1. 
e) E = {x  ; 2x – 1 = 6}.