APOSTILA de Teoria das estruturas da Faculdade de Engenharia - FENG (2005)

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Estruturas Isostáticas – DECivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini / Sílvia Baptista Kalil 
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 CAPÍTULO I 
 
 REVISÃO DE MECÂNICA GERAL 
 
CONCEITOS BÁSICOS 
 
I . FORÇA 
 
A. Conceito: 
 
Força é toda a grandeza capaz de provocar movimento, alterar o estado de movimento ou provocar 
deformação em um corpo. É uma grandeza vetorial cuja intensidade pode ser obtida pela expressão da 
física: 
 
 
 
onde: 
F = força 
m = massa do corpo 
a = aceleração provocada 
 
Sendo força um elemento vetorial se caracteriza por: 
direção 
sentido 
módulo ou intensidade 
ponto de aplicação 
 
Exemplo 1 : 
 
 efeito: movimento 
 
 
 
Exemplo 2 : PESO DOS CORPOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O peso é uma força oriunda da ação da aceleração da gravidade, tendo características definidas: 
direção - vertical 
sentido - de cima para baixo 
módulo - P = m.g (onde g representa a aceleração da gravidade) 
ponto de aplicação - centro de gravidade do corpo 
 
F = m . a 
 
 
 P = m . g 
 
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Na maioria das estruturas serão com cargas peso que trabalharemos. 
 
B. UNIDADES 
 
N - Newton kN - kiloNewton kgf - kilograma força 
 
1 kgf = 10 N 1 kN = 103 N 1 kN = 102 kgf 
 
 
 
 
 
C. PRINCÍPIO DA AÇÃO E REAÇÃO 
 
A toda a ação corresponde uma reação igual e contrária (3ª lei de Newton). 
 
Podemos observar que estas duas forças tem pontos de aplicação diferentes e portanto causam efeitos 
diferentes, cada uma atuando no seu ponto de aplicação. 
 
D. CLASSIFICAÇÃO DAS FORÇAS 
 
As forças são classificadas em forças de contato (ex: locomotivas, musculares, etc..) e de ação à 
distância (ex: elétricas, gravitacionais, magnéticas, etc...) 
 
Em análise estrutural as forças são divididas conforme esquema abaixo: 
 
 
FORÇAS EXTERNAS: atuam externamente em uma estrutura e podem ser: 
 
ações : São forças independentes que podem atuar em qualquer ponto de uma estrutura . Correspondem 
às cargas as quais estaremos submetendo a estrutura, normalmente conhecidas ou avaliadas. Ex: peso 
do pedestre em uma passarela, peso próprio das estruturas, etc... 
 
reações : São forças que surgem em determinados pontos de uma estrutura (vínculos ou apoios), sendo 
consequência das ações portanto não são independentes, devendo ser calculadas para se equivalerem as 
ações. 
 
FORÇAS INTERNAS : são aquelas que mantém unidos os pontos materiais que formam o corpo 
rígido (solicitações internas). Se o corpo rígido é estruturalmente composto de diversas partes, as forças 
que mantém estas partes unidas também são chamadas de forças internas (forças desenvolvidas em 
rótulas). 
 
 
 
 
 
 1 kN = 103 N = 102 kgf 
 
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E. DECOMPOSIÇÃO DE FORÇAS 
 
Qualquer força no espaço pode ser decomposta segundo três direções . Normalmente usamos como 
referência três direções ortogonais entre si, escolhidas de acordo com o problema. 
 
 
 
Qualquer força em um plano pode ser decomposta segundo duas direções. Normalmente nos interessam 
duas direções perpendiculares entre si,também escolhidas de acordo com o problema. 
 
Vamos nos ater ao caso plano que é o mais usual 
 
Exemplo: 
 
�
F - força a ser decomposta 
 
 x,y - direções ortogonais escolhidas como referência 
 
 α - ângulo formado por F em relação a x 
 
�
Fx,
�
Fy- componentes da força nas direções x e y 
 
 
 
 
por trigonometria 
 
 
�
Fx
 = 
�
F
 . cos α 
�
Fy
 = 
�
F
 . sen α 
�
Fy/
�
Fx
 = tg α 
 
A força 
�
F decomposta também pode ser chamada de resultante da soma vetorial de suas componentes 
�
Fx
 e 
�
Fy . Observe que soma vetorial ou geométrica não correspode a soma algébrica. 
 
 
II . MOMENTO DE UMA FORÇA 
 
A. DEFINIÇÕES: 
 
 
1.MOMENTO POLAR (momento de uma força em relação à um ponto) 
 
DEFINIÇÃO : Chama-se momento de uma força �F em relação à um ponto "0", o produto vetorial do 
vetor OA
�
 pela força 
�
F
 ,sendo "A" um ponto qualquer situado sobre a reta suporte da força 
�
F. Logo 
também é um vetor, e para a sua caracterização precisamos determinar o seu módulo,direção e sentido. 
 
 
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OA F = ∧
��
oM
 
 
 
 O efeito do vetor momento é o de provocar um giro com 
determinado sentido em relação ao ponto considerado. O vetor momento apresenta as seguintes 
características: 
 
direção : perpendicular ao plano formado pela força e pelo vetor OA 
sentido : regra da mão direita 
módulo: produto do módulo da força 
�
F
 pela menor distancia do ponto "0" a reta suporte da força. 
ponto de aplicação : ponto "O" em relação ao qual se calculou o momento. 
 
 
αsen..OAFoM
��
=
 ou 
� �
Mo F==== . d 
 
Regra da mão direita: 
 
 
 
 
OBS 1 : posiciona-se os dedos da mão direita no sentido da rotação da força em torno do ponto O e o 
polegar indica o sentido do momento. 
 
OBS 2:. a distância d que representa o módulo do vetor OA é também chamada de braço de 
alavanca. Ela é a menor distância entre a reta suporte da força e o ponto em relação ao qual se calcula 
o momento , isto é, pode ser obtida pela perpendicular à reta que passa pelo ponto. 
 
 
 
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OBS 3 : Podemos representar o sentido do momento no plano usando convenções simples 
 
Podemos também convencionar sinais + ou - para cada um dos sentidos, de acordo com a nossa 
escolha. 
 
Exemplo 1 : Determine o peso que devemos colocar na extremidade direita da gangorra a fim de que 
ela permaneça em equilíbrio estático. 
 
 P1 = 30 kN 
 a = 2 m 
 b = 4 m 
 
 P = ? 
 
Exemplo 2 : Determine a força desenvolvida no tirante da estrutura, a fim de que ela permaneça em 
equilíbrio, sabendo-se que a barra pesa 5 kN. A barra é presa a uma parede por meio de um pino O. 
 
 
 
 G = 5 kN 
 
 L = 3 m 
 
 α= 15º 
 
 T = ? 
 
 
 
 
 
 
B. MOMENTO AXIAL ( momento de uma força em relação a um eixo) 
 
DEFINIÇÃO: 
 
- É o valor algébrico da projeção ortogonal sobre o eixo do momento polar produzido pela força em 
relação a um ponto qualquer do eixo. Pode ser representado por uma grandeza escalar quando se adota 
uma convenção para a orientação do eixo. 
 
- É o momento polar produzido pela projeção ortogonal da força sobre uma reta perpendicular ao 
plano do eixo, em relação a este eixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 1: Força perpendicular ao plano do eixo 
 
 
 
 
 
 
Mx = F . dExemplo 2 : Força inclinada em relação ao plano do eixo 
 
 
 
 
 
 Mx = Fz . d 
 
 
 Fz = F . sen αααα 
 
 
 
 
Exemplo 3 : Força no espaço (direção qualquer) 
 
F = F 1 + F 2 + F 3 
 Mx = 0 
F 1 My =.0 
 Mz = -4 . F 1 
 
 Mx = 0 
F 2 M y = 0 
 Mz = - 1 . F 2 
 
 Mx = + 4 . F 3 
F 3 My = - 1 . F 3 
 Mz = 0 
 
 
OBSERVAÇÃO: 
 
O momento de uma força em relação à um eixo é nulo sempre que a força e o eixo forem coplanares 
(concorrentes ou paralelos). 
 
 
 
 
 
 
 
 
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C. UNIDADE DE MOMENTO 
 
Sendo o momento produto de uma força por uma distancia,a unidade desta grandeza é o produto de 
uma unidade de força por uma unidade de distancia. 
Exemplos: kgf.m , kN.m , N.m , kN.cm , etc 
 
 
III . SISTEMA DE FORÇAS 
 
A. DEFINIÇÃO : 
É o conjunto de forças que atuam simultaneamente em um corpo rígido ou em um ponto material. 
 
B. PRINCÍPIO DA TRANSMISSIBILIDADE OU FORÇAS EQUIVALENTES: 
 
Este princípio estabelece que as condições de equilíbrio ou de movimento de um corpo rígido 
permanecem inalteradas se uma força 
�
F, que atua em um dado ponto do corpo rígido é substituida por 
uma força 
�
F'
 de mesmo módulo, direção e sentido, mas que atua em um ponto diferente, desde que as 
duas tenham a mesma linha de ação (mesma reta suporte). As forças citadas tem o mesmo efeito sobre 
o corpo e são chamadas de equivalentes. 
 
Exemplo: 
 
 
 
C. RESULTANTE DE VÁRIAS FORÇAS CONCORRENTES: 
 
A resultante de várias forças que concorrem em um ponto é a soma geométrica à partir 
do ponto de forças equipolentes as que constituem o sistema, formando um polígono. 
 
Obs: Forças equipolentes são aquelas que tem mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido. 
 
RESULTANTE: 
Origem no ponto escolhido como referência e extremidade com a última força. 
 
 
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Lembrando que uma força pode ser decomposta segundo eixos de referência, podemos determinar a 
resultante de uma forma mais simples,obtendo-se cada componente pela soma algébrica das projeções 
de todas as forças sobre este eixo. 
 
Exemplo 1: Soma geométrica 
 
 
 
 �
R 0≠≠≠≠ 
 
 
Exemplo 2 : 
 
 
 
 
 
 
�
R = 0
 
 
 
 
 
 
OBSERVAÇÃO: Se o polígono formado pelas forças for fechado a resultante é nula. 
 
Exemplo 3 : Forças concorrentes em um ponto de um plano 
 
A resultante de forças concorrentes em um ponto de um plano pode ser calculada através da 
decomposição destas forças em relação à duas direções ortogonais escolhidas. 
 
F1x = F1 . cos α 
F1y = F1 . sen α 
 
 
F2x = F2 . cos β 
 
F2y = F2 . sen β 
 
Fx = F1x + F2x 
 
Fy = F1y + F2y 
 
 
 
R F Fx y==== ++++ΣΣΣΣ ΣΣΣΣ( ) ( )2 2 PITÁGORAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 IV . PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS 
 
" O efeito produzido por um conjunto de forças atuando simultaneamente em um corpo é igual a 
soma do efeito produzido por cada uma das forças atuando isolada" 
 
A partir deste princípio podemos dizer que: 
 
- O momento polar resultante de um sistema de forças é a soma algébrica dos momentos polares, 
produzidos em relação ao mesmo ponto, por cada uma das forças atuando isolada. 
 
- O momento axial produzido por um sistema de forças atuando simultaneamente em um corpo é igual 
a soma algébrica dos momentos axiais,produzidos em relação ao mesmo eixo, de cada uma das forças 
atuando isolada. 
 
 
V. BINÁRIO OU PAR DE FORÇAS 
 
A. CONCEITO 
 
Denomina-se binário a um sistema constituido por um par de forças paralelas de módulos iguais e 
sentidos opostos. A resultante em termo de forças é nula, entretanto há um momento polar resultante de 
módulo igual ao produto da força pela distância entre as duas direções paralelas. 
 
Exemplo 1: 
 
 
 
F = 
 a = 
 b = 
 c = 
 d = 
 
MA = 
MD = 
ME = 
 
 
 
CONCLUSÃO: O binário é um vetor livre pois seu efeito independe do ponto de aplicação, sendo 
que para qualquer ponto do plano o binário tem o mesmo valor. 
 
 
 
 
 
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B . SITUAÇÕES REPRESENTATIVAS 
 
 
C. EQUIVALENCIA DE BINÁRIOS 
 
Dois binários são equivalentes quando tem o mesmo momento polar resultante 
 
Exemplo 1: convenção (sentido antihorário positivo) 
 
 
 M1 = 60 kN . 2m = 120 kN.m 
 
 M2 = 30 kN . 4m = 120 kN.m 
 
 
 
 
 
Superposição de efeitos: 
 
Se quizermos o efeito de dois binários atuando simultaneamente: 
 
 M = M1 + M2 = 240 kN.m 
 
 MA = 
 
 MB = 
 
Obs: Veja que podemos transformar a soma vetorial de binários em uma soma algébrica a partir da 
adoção de uma convenção. 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo2: (adote convenção anterior) 
 Supomos 
 
 M1 = - 60 kN . 2m = - 120 kN.m 
 
 M2 = + 30 kN . 4m = + 120 kN.m 
 
 M = M1 +M2 = 0 
 
 
 
CONCLUSÃO : Os dois binários não são equivalentes pois tem sentidos contrários . Observe-se 
que em qualquer ponto do plano a superposição dos binários deve ser nula. 
MA = 0 MB = 0 
 
VI . TRANSLAÇÃO DE FORÇAS 
 
Transladar uma força (como artifício de cálculo) é transportá-la de sua direção para outra direção 
paralela. Isto implica no acréscimo de um momento devido à translação, cujo módulo é igual ao 
produto da força pela distância de translação. 
 
 
 
 
VII . REDUÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS À UM PONTO 
 
Qualquer sistema de forças pode ser reduzido à um sistema vetor-par , onde o vetor é a resultante das 
forças , localizada à partir de um ponto arbitrariamente escolhido e o par é o momento polar resultante 
do sistema em relação ao mesmo ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 1: Reduzir o sistema de forças da figura ao ponto B indicado. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2 : Reduzir o sistema acima ao ponto A. 
 
R: 
 
 
 
 
 
VII . EQUIVALÊNCIA DE UM SISTEMA DE FORÇAS 
 
Dois sistemas de forças são equivalentes quando tem resultantes iguais e momentos polares em relação 
ao mesmo ponto também iguais. 
Exemplo: 
 
 
 F = 
 
 Fx = 
 
 Fy = 
 
 
 a = 
 α = 
 b = 
 
F - sistema inicial 
Fx , Fy - sistema equivalente 
MA (sistema inicial) = 
MA (sistema equivalente) = 
 
OBS: O uso de sistemas equivalentes é um artifício de cálculo muito útil 
 
 
 
 
 
 
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VIII . EQUILÍBRIO ESTÁTICO DOS CORPOS RÍGIDOS 
 
Existem diversas possibilidades de movimento em um corpo livre no espaço. 
 
Se tomarmos 3 eixos ortogonais como referencia de espaço, e isto se faz necessário por uma questão de 
classificação e organização de método, podemos dizer que um corpo no espaço tem 6 possibilidades de 
movimento: 
- translação segundo as tres direções de referência 
- rotação em torno das tres direcões de referência 
 
Dizemos que um corpo está em equilíbrio estático quando as forças atuantes formam entre si um 
sistema equivalente a zero, isto é, sua resultante e o seu momento polar em relação a qualquer ponto é 
nulo. 
 
 
 R = 0 Mp = 0 
 
Como costuma-se traballhar com as forças e momentos referenciadas a um sistema tri-ortogonal de 
eixos, desta maneira o equilíbrio se verifica se as 6 equações abaixo são satisfeitas: 
 
 ���� Fx = 0 ���� Mx = 0 
 
 ���� Fy = 0 ���� My = 0 
 
 ���� Fz = 0 ���� Mz = 0 
 
 EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA ESTÁTICA 
___________________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS: 
1. Suponha um plano formado pelos eixos x e y, conforme desenho, onde atuam as cargas F1 e F2. 
 Calcule: 
 a. Momentos desenvolvidos por F1 em relação aos pontos A , B e C. 
 b. Momentos desenvolvidos por F2 em relação aos pontos A , B e C. 
 c. Momentoda resultante do sistema em relação aos pontos A , B e C . 
 d. Resultante do sistema na direção x 
 e. Resultante do sistema na dieção y 
 Convencione o giro no sentido horário positivo. 
 
 
 
 
 
 F1 = 20 kN 
 
 
 F2 = 30 kN 
 
 
 
 R: a) M1A = 0 M1B = 69,28 kN.m M1C = 109,28 kN.m 
 b) M2A = 120 kN.m M2B= 120 kN.m M2C = 0 
 c) MA = 120 kN.m MB = 189,28 kN.m MC = 109,28 kN.m 
 d) Fx = + 17,32 kN e) Fy = - 20 kN 
 
 
2. Suponha no espaço as forças F1 e F2. Calcule: 
 a. Momentos da força F1 em relação aos eixos x,y,e,z,. 
 b. Momento da força F2 em relação aos eixos x,y e z . 
 c. Momento da resultante em relação aos eixos x , y, e z . 
 
 
 
 
 
 
 F1 = 10 kN 
 
 
 F2 = 15 kN 
 
 
 
 
R: a) Mx1 = 0 My1 = 0 Mz1 = 20 kN.m 
 b) Mx2 = 31,5 kN.m My2 = 31,5 kN.m Mz2 = 21 kN.m 
 
 
 
 
 
 
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3. Suponha as forças indicadas no desenho atuando perpendicularmente ao eixo x.O sistema 1 
representa 
 um binário e o sistema 2 representa outro. Convencione anti horário positivo. 
 a. Quanto vale o binário 1 
 b. Quanto vale o binário 2 
 c. São equivalentes? Porque? 
 d. Quanto vale o momento polar do sistema 1 em relação aos pontos A , C e E. 
 e. uanto vale o momento polar do sistema 2 em relação aos pontos B , D e E. 
 f. Quanto vale o momento polar resultante destes dois sistemas em relação aos pontos A,B,C D e E. 
 
 
 
 
R: a) + 20 kn.m 
 b) + 20 kN.m 
 c)sim 
 d) M1A = M1B=M1E = + 20 kN.m 
 e) M2B=M2D=M2E = + 20 kN.m 
 f) MA = MB = .....=ME = + 40 kN.m 
 
 
4. Suponha forças como as do exercício 3 perpendiculares ao eixo formando 2 binários. Responda as 
 perguntas do exercício 3 usando a mesma convenção. 
 
 
 
R: a)- 60 kN.m b) + 60 kN.m 
 c) não 
 d) M1A=M1C=M1E = - 60 kN.m 
 e) M2B=M2D=M2E = + 60 kN.m 
 f) MA =MB = .....= ME = 0 
 
5. Suponha as hastes do desenho em um plano e as cargas perpendculares à este plano. 
 a. Translade a força de 10 kN para os pontos C ,B A. 
 R: ponto C ponto B ponto A 
 Fy = 10 kN Fy = 10 kN Fy = 10 kN 
 Mz = 20 kN.m Mz = 20 kN.m Mz = 50 kN.m 
 Mx = 20 kN.m Mx = 20 kN.m 
 
 
 
 
 
 
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 b. Translade as forças indicadas para os pontos B e D. 
 
 
 
 
 
R: ponto B : Fy = 20 kN 
 Mz = - 20 kN.m 
 
 ponto D : Fy = 20 kN 
 Mz = - 20 kN.m 
 Mx = + 80 kN.m 
 
 
6. Qual a força horizontal que atua nos parafusos 1 e 2 da ligação abaixo, considerando o momento 
provocado pelo peso na ponta da hasteR : P1 = 100 kgf P2 = 100 kgf 
 
7. Suponha as estruturas planas representadas abaixo. Determine,se necessário usando sistemas 
equivalentes Σ Fx ,ΣFy, ΣMA, ΣMB e ΣMC 
 
 
 
 
 a. 
R: ΣFx = 25,98 kN ΣFy = 65 kN 
 ΣMA = 138,04 kN.m 
 ΣMB = 70 kN.m 
 ΣMC = 330 kN.m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 b. 
 
 
 
 
 
 
R: ΣFx =16,64 kN ΣFy = -4,96kN 
 ΣMA = -36 kN.m 
 ΣMB = -84 kN.m 
 ΣMC = -98,96 kN.m 
 
 
 
 
8. Reduzir no ponto A o sistema de forças da figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 CAPÍTULO II 
 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
 
I . ESTRUTURAS RESISTENTES 
 
A. DEFINIÇÃO : 
 
É um conjunto de elementos ligados entre si que tem a finalidade de suportar cargas e transferi-las ao 
solo. 
Ex: Prédio de moradias, máquinas,etc... 
 
Os esforços externos ativos ou cargas que solicitam a estrutura despertam outros esforços internos e 
externos, devendo os elementos estruturais possuir vínculação tal que fique garantido o equilíbrio 
interior e o do conjunto. 
 
II . ESFORÇOS INTERNOS E DEFORMAÇÕES ASSOCIADAS 
 
A. INTRODUÇÃO 
 
Se um corpo rígido está submetido à um sistema de cargas ativas devendo o mesmo permanecer em 
equilíbrio estático, então em seus vínculos devem surgir reações capazes de satisfazer as equações 
fundamentais da estática. 
 
Este sistema de forças ativas e reativas constitui-se nas cargas externas atuantes. 
 
Quando um corpo recebe tal carregamento, as partículas internas que o constituem reorganizam-se, 
alterando sua configuração (deformando-o) até atingir o equilíbrio onde as deformações param de 
aumentar (são impedidas). 
 
Este movimento de partículas é devido aos esforços internos (solicitações internas) desenvolvidos, que 
são percebidos pelas deformações que provocam. Percebam que as solicitações estão associadas as 
deformações que provocam. 
 
Para simplificarmos o estudo destas solicitações, costuma-se decompô-las segundo um sistema de eixos 
ortogonais convenientes para a estrutura em estudo. 
 
 B. ESFORÇOS INTERNOS E DEFORMAÇÕES ASSOCIADAS 
 
 B.1. ESFORÇO NORMAL (N) 
 
É o esforço desenvolvido pelo corpo na direção do seu eixo longitudinal (eixo que passa pelo centro de 
gravidade de todas as seções tranversais). 
 
Quando submetido ao esforço normal o elemento estrutural sofre alongamentos ou encurtamentos. 
Observe-se que as fibras longitudinais originalmente paralelas entre si permanecem paralelas após a 
deformação. 
 
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Tração axial (alongamento) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Compressão axial (encurtamento) 
 
 
 
 
 
 
B.2. ESFORÇO DE CORTE (Q) 
 
É todo esforço que surge sobre o plano das seções transversais que constituem este corpo, ou seja, 
segundo eixos contidos por esta seção. 
 
Quando submetido ao esforço de corte o elemento estrutural sofre um deslizamento relativo de uma 
secção em relação a outra, também chamado de cisalhamento. 
 
 
 
 
 
 cisalhamento 
 
 
 
 
 
 
B.3. MOMENTO FLETOR (M) 
 
Já sabemos que as forças podem provocar efeitos de giro,ou seja, momentos.Momento fletor é a 
tendência de giro da seção transversal em torno de um eixo baricentrico contido em seu plano. 
 
Como o momento pode ser substituido por um binário pode-se observar uma tendência de alongamento 
em uma das partes de seção e encurtamento em outra. 
 
 
 
 
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M = F . d 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B.4. MOMENTO TORSOR (Mt) 
 
Quando submetido a momento torsor as seções transversais do corpo sofrem uma rotação em torno de 
seu eixo longitudinal. 
 
 
III. PARTES COMPONENTES DE UMA ESTRUTURA RESISTENTE 
 
A. CLASSIFICAÇÃO QUANTO À GEOMETRIA E AO CARREGAMENTO 
 
A.l. ESTRUTURAS LINEARES OU DE BARRAS 
 
Estruturas lineares são aquelas em que uma das dimensões (comprimento) é muito maior do que as 
outras duas (medidas da seção transversal). 
 
A representação estrutural é feita pelo eixo longitudinal que é a linha que une o centro de gravidade de 
todas as seções transversais. 
 
 
 
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21 
 
1.a. Retas 
 
Uma estrutura linear é reta quando o seu eixo longitudinal é retilíneo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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22 
OBS: Nas peças comprimidas pode aparecer o fenômeno da flambagem que é uma instabilidade 
elasto-geométrica do sistema, que será estudada à parte (RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 1.b. 
Curvas 
 
São aquelas cujo eixo longitudinal é uma curva (esforços de corte,tração, compressão e flexão) 
Ex: arcos 
 
 
1.c. Estruturas Compostas 
 
São aquelas formadas por elementos de barra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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23 
 
 
 
 
1.d. Tipos de seção transversal 
 
As estruturas de barra (ou lineares) podem apresentar formas diversas para a sua seção transversal. 
Exemplo: 
 
 
 
Perfilados (usados em materiais bastante resistentes ex: aço) 
 
 
 
OBS : Os perfis metálicos são de dois tipos: perfis laminados e perfis de chapas dobradas. Os primeiros 
são padronizados e mais pesados e os segundos devem ter as suas dimensões estabelecidas pelo 
calculista. 
 
 
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24 
A.2.ESTRUTURAS LAMINARES , BIDIMENSIONAIS OU DE SUPERFÍCIE 
 
São aquelas em que duas dimensões (plano médio) são muito maiores do que a terceira (espessura). 
 
 
 
 
 
 
 
 
a x b - plano médio 
 
e - espessura 
 
 
 
 
 A sua representação estrutural é feita pela superfície média. 
 
 
2.a . Chapas 
 
São estrutura em que a superfície média forma um único plano , e as cargas atuam segundo este plano. 
 
Ex: paredes (compressão) 
 
 
 
 
 
 
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2.b. Placas 
 
São estruturas em que a superfície média forma um único plano e as cargas atuam perpendiculares a 
este plano.Ex: laje de entrepiso (flexão) 
 
 
 
 
 
2.c. Cascas 
 
São estruturas em que a superfície média não é formada por um único plano. Podem ser: 
 
POLIÉDRICAS : formada pela intersecção de vários planos ( esforços normais, flexão e 
corte) 
 
CURVAS : Superfície média é uma curva ( esforço normal e flexão) 
 
 
 
 
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2.d. Membranas 
 
São estruturas laminares em que a superfície média é curva e sua espessura muito reduzida em presença 
das demais dimensões. Seus esforços internos são distintos das cascas curvas. 
 
Devido à sua pequena espessura e grande flexibilidade suportam apenas esforços normais (não possuem 
resistencia à flexão). 
 
Ex: Reservarório de gás 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. ESTRUTURAS TRIDIMENSIONAIS OU DE VOLUME 
 
São estruturas em que as três dimensões tem a mesma ordem de grandeza. 
 
Ex: blocos de fundações, sapatas, etc. 
 
A sua representação estrutural é feita pelos planos que a compõem podendo ou não serem desdobrados 
em vistas. 
 
 
 
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28 
 CAPÍTULO III 
 
ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS - NOÇÕES INICIAIS 
 
I. GRAUS DE LIBERDADE (GL) 
 
DEFINIÇÃO: Graus de liberdade são o número de movimentos rígidos possíveis e independentes que um 
corpo pode excecutar. 
 
 
A. Caso espacial 
 
Estruturas submetidas a forças em todas as direções do espaço. Estas forças podem ser reduzidas a três 
direções ortogonais entre si (x,,y,z), escolhidas como referência. Neste caso o corpo possui 6 graus de 
liberdade pois pode apresentar 3 translações (na direção dos 3 eixos) e 3 rotações (em torno dos 3 eixos). 
 
Exemplo: 
 
B. CASO PLANO 
 
Estruturas submetidas a forças atuantes em um só plano, por exemplo x,y . Neste caso possuem 3 graus de 
liberdade pois podem apresentar 2 translações (na direção dos dois eixos) e 1 rotação(em torno do eixo 
perpendicular ao plano que contém as forças externas). 
 
Exemplo: 
 
 
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29 
II. VÍNCULOS 
 
A. DEFINIÇÃO: 
 
É todo o elemento de ligação entre as partes de uma estrutura ou entre a estrutura e o meio externo, cuja 
finalidade é restringir um ou mais graus de liberdade de um corpo. 
 
A fim de que um vínculo possa cumprir esta função, surgem, no mesmo, reações exclusivamente na 
direção do movimento impedido. 
 
OBS 1: Um vínculo não precisa restringir todos os graus de liberdade de uma estrutura, quem o fará será o 
conjunto de vínculos. 
 
OBS 2 : As reações desenvolvidas pelos vínculos formam o sistema de cargas externas reativas. 
 
OBS 3 : Somente haverá reação se houver ação , sendo as cargas externas reativas dependentes das ativas, 
devendo ser calculadas. 
 
 
B. CLASSIFICAÇÃO 
 
Os vínculos podem ligar elementos de uma estrutura entre si ou ligar a estrutura ao meio externo 
e,portanto, se classificam em vínculos internos e externos. 
 
B.1. VÍNCULOS EXTERNOS: São vínculos que unem os elementos de uma estrutura ao meio externo e 
se classificam quanto ao número de graus de liberdade restringidos.. 
 
B.1.a. Caso espacial: 
 
Podem restringir até 6 graus de liberdade (GL) e portanto podem ser classificados em 6 espécies. 
No quadro abaixo são apresentados alguns exemplos de vínculos externos para o carregamento espacial 
 
 
 
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30 
Exemplo de vínculos espaciais: 
 
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B.1.b. Caso plano 
 
Nestes casos o vínculo pode restringir até 3 graus de liberdade (GL) e portanto se classificam em 3 
espécies. 
 
 
 
 
 
 
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B.2. VÍNCULOS INTERNOS 
 
São aqueles que unem partes componentes de uma estrutura. No caso plano podem ser de 2a e 3a espécie. 
 
Ex 1 : Vínculo de 3a espécie 
 Sejam duas barras livres no espaço com carregamento plano: 
 
 
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34 
 
 
Cada barra tem 3 GL ,portanto, juntas somam 6 GL. 
Unindo-as rígidamente ,por exemplo, atravéz de uma 
solda, o número de GL do conjunto passa a ser 3,portanto 
3 GL restringidos. 
 
 
Se chamarmos de RT o número de movimentos restringidos de um sistema teremos neste caso RT = 3 
(vínculo de 3a espécie) 
 
Ex 2 : Vínculo de 2a espécie (PINOS OU RÓTULAS) 
 
 
 
 
 
 
 
RÓTULAS : 
 
São vínculos que tem reações internas verticais e horizontais podendo transmitir forças nestas direções que 
se anulam internamente. Permitem apenas o giro relativo entre as barras por ela unidas. 
 
 
PARA QUE AS RÓTULAS DE UMA ESTRUTURA ESTEJAM EM EQUILÍBRIO É 
NECESSÁRIO QUE O MOMENTO POLAR DAS CARGAS EXTERNAS EM 
RELAÇÃO À ELAS SEJA NULO. 
 
EX: Sejam duas barras livres no espaço e submetidas a um carregamento plano. Cada barra possui 3 GL e 
portanto o conjunto apresenta 6 GL. 
 
 
 Representação Estrutural : 
 
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35 
 
 
 
 Se forem unidas por exemplo por uma rótula, o número de graus de liberdade do 
conjunto passa a ser 4 . Neste caso RT = 2 (vínculo de 2a espécie) 
 (vínculo de 2ª espécie) 
 
 
 
 
III . CLASSIFICAÇÃO ESTRUTURAL 
 
De acordo com a sua estaticidade uma estrutura pode ser: 
 
A. HIPOSTÁTICAS: 
 
Quando o número de movimentos restringidos (RT) for menor do que o número de movimentos rígidos 
possíveis e independentes (GL) . Uma estrutura hipostática está em equilíbrio instável. 
 
B. ISOSTÁTICA: 
 
Quando o número de restrições (RT) for igual ao número de movimentos possíveis(GL). Uma estrutura 
isostática está em equilíbrio estável. A eficácia da vinculação deve ser examinada. 
 
C. HIPERESTÁTICA: 
 
Quando o número de restrições (RT) for maior do que o número de movimentos possíveis(GL). Uma 
estrutura hiperestática está em equilíbrio estável. 
 
 
 
 
 
IV . VERIFICAÇÃO DO EQUILÍBRIO 
 
A. ESTATICIDADE 
 
 
 
 
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36 
 
De acordo com a classificação já vista podemos dizer que uma estrutura será: 
 
hipostáticas: RT < GL 
 
isostáticas: .RT = GL 
 
hiperestáticas: . RT > GL 
 
 
 
B. GRAU DE CONEXÃO E RETENÇÃO TOTAL DE UMA ESTRUTURA 
 (RT) 
 
Sejam duas barras livres no espaço com carregamento plano. O número de GL deste conjunto é 6. Se estas 
barras forem unidas rígidamente por um vínculo interno de 3a espécie o número de GL passa a ser 3. O 
número de movimentos restringidos foi 3 . 
 
 RT = 3 
 
 
 
Se possuirmos mais de duas barras podemos executar raciocínio idêntico ao anterior,ou seja, se tivermos 3 
barras livres o número de GL do conjunto é 9. Ligando-as rígidamente (vínculo de 3a espécie) o número 
de GL passa a ser 3, portanto 
 
RT = 6. 
 
 
 
ou 
 
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37 
 
 
Por outro lado, se tivermos ligado as barras por pinos ou rótulas ( vínculos de 2a espécie) , teremos: 
 
caso de 2 barras: 
 
 
 
caso de 3 barras: 
 
 
ou no caso de 4 barras 
 
 
 
 
Podemos resumir e generalizar da seguinte maneira: 
 
 
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38 
 
 
 
 
 
 n r r.(n-1) 
 
 
O número de movimentos impedidos em um vínculo de classe r onde concorrem n barras é: 
 
 
 
n - número de barras que concorrem em um vínculo 
(n-1) - grau de conexão de um vínculo 
r - número de movimentos impedidos por este vínculo(classe do vínculo) 
 
Chamando: 
 
C1 = ###(n-1) - Soma dos graus de conexão dos vínculos de primeira espécie. 
C2 = ###(n-1) - Soma dos graus de conexão dos vínculos de segunda espécie. 
C3 = ###(n-1) - Soma dos graus de conexão dos vínculos de terceira espécie 
 
Assim teremos: 
 
1x C1 - número de movimentos impedidos pelos vínculos de primeira espécie 
2x C2 - número de movimentos impedidos pelos vínculos de segunda espécie 
3x C3 - número de movimentos impedidos pelos vínculos de terceira espécie 
 
Podemos então definir Retenção Total (RT) ou número de movimentos restringidos por todos os vínculos 
de uma estrutura como: 
 
 
 
 
 
C. GRAU DE ESTATICIDADE OU GRAU DE HIPERESTATICIDADE ( gh) 
 
Podemos definir grau de estaticidade total de uma estrutura como a diferença entre a retenção total e o 
número de graus de liberdade que ela pode apresentar. 
 
 gh = RT - GL 
 
Barras concorrentes em um vínculo classe do vínculo RT 
 2 2 2 x 1 
 3 2 2 x 2 
 4 2 2 x 3 
 2 3 3 x 1 
 3 3 3 x 2 
 4 3 3 x 3 
 r.(n-1) 
 RT = 1 x C1 + 2 x C2 + 3 x C3 
 
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39 
No caso plano cada barra livre possui 3 GL logo, se tivermos m barras o número de GL do conjunto será 3 
x m. 
 
Resulta: 
 gh = RT - 3m 
 ou 
 
 
 
 
Então: 
gh < 0 Hipostática 
gh = 0 Isostática 
gh > 0 Hiperestática 
OBS: O exposto acima serve apenas para casos de carregamentos planos e a eficácia vincular deve 
ser também examinada. 
 
Por exemplo, a estrutura abaixo apresenta gh = 0 porém pode se movimentar na direção x. 
 
 
 
 
D. ESTATICIDADE EXTERNA 
 
Quando quisermos verificar a estaticidade externa de uma estrutura, consideramos a estrutura como um 
conjunto monolítico, portanto com 3 GL e consideramos apenas as restrições dos vínculos externos, ou 
seja: 
 
 
 
onde Rtext é a retenção total somente dos vínculos externos (soma da classe dos vínculos) 
 
 
E . ESTATICIDADE INTERNA 
 
A estaticidade interna é a diferença entre a estaticidade total e a estaticidade externa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 gh = ( C1 + 2.C2 + 3.C3) - 3.m 
 gext = RText - 3 
 gint = gh - gext 
 
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40 
EXEMPLOS: 
 
Determine o grau de estaticidade total , interno e externo das estruturas abaixo. 
 
1. 
 
R: gh = 0 (isostática) 
 gext = 0 
 gint = 0 
 
 
 
2. 
 
 R: gh = 0 (hipostática) ineficácia vincular 
 gext = 0 
 gint = 0 
 
 
3. 
 
R: gh = -2 (hipostática) 
 gext = 0 
 gint = -2 
 
 
 
4. 
 
 
 R: gh = 0 (isostática) 
 gext = 1 
 gint = -1 
 
5. 
 
 
 
 
R: gh = 0 (hipo- inef vincular) 
 gext = 2 
 gint = -2 
 
 
6. 
 
 
 
 
 
 
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41 
 
 
 
 
 
 
R: gh = 1 (inef. vinc) 
gext = 5 
gint = -4 
7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 R : gh = 4 (hiperestática) 
 gext = 1 
 gint = 3 
 
8. 
 
 
 
 
 
 
 R: gh = 0(isostática) 
 gext = 0 
 gint = 0 
 
 
 
9. 
 
 
 
 
 R : gh = 3 (hiperestática) 
 gext = 3 
 gint = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
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42 
10. 
 
 
 
 
 
 
 
 R: gh = 0 (isostática) 
 gext = 1 
 gint = -1 
 
 
 
 
 
45 
 
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 CAPÍTULO IV 
 
ARMAÇÕES E MÁQUINAS 
CARGAS ATUANTES NAS ESTRUTURAS 
CLASSIFICAÇÃO E AVALIAÇÃO 
 
46 
 
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I. ARMAÇÕES E MÁQUINAS 
 
As estruturas compostas de elementos ligados, nas quais qualquer um destes elementos suportem 
mais de duas forças estão na categoria de ARMAÇÕES E MÁQUINAS. 
 
ARMAÇÕES - São estruturas projetadas para suportar cargas aplicadas e estáticas e são, 
geralmente, fixas em uma posição. 
ex: Estrutura de um prédio. 
 
 
MÁQUINAS - São estruturas que contém partes móveis e são projetadas para transmitir forças ou 
conjugados de uma posição de entrada (ponto de aplicação) para uma posição de saída, 
Se a armação ou máquina por si só constitui um elemento rígido então a análise deve ser iniciada 
pela definição de todas as forças externas a ele. A estrutura é então desmembrada e considera-se o 
equilíbrio de cada uma das partes. 
As forças que atuam em cada um dos elementos de um sistema ligados são encontradas, isolando-se 
o elemento por meio de um DIAGRAMA DE CORPO LIVRE e aplicando-se as equações de 
equilíbrio estabelecidas. 
O princípio da ação e reação deve ser cuidadosamente observado, quando se representam as forças 
de interação nos diagramas de corpo livre isolados. 
Se a estrutura não for uma unidade rígida o cálculo das reações não pode ser finalizado enquanto 
não se separar todos os elementos da estrutura. 
 
 
II. CARGAS ATUANTES 
 
A. CLASSIFICAÇÃO QUANTO AO MODO DE DISTRIBUIÇÃO 
 
A1. CARGAS CONCENTRADAS 
 
São aquelas que atuam em áreas muito reduzidas em relação às dimensões da estrutura. Neste caso 
ela é considerada concentrada no centro de gravidade da área de atuação. 
 
ex: apoio de uma viga em outra viga ( AV2 - ação da V2 sobre a V1) 
 
 
A2. CARGAS MOMENTO OU CARGAS CONJUGADAS 
47 
 
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São momentos aplicados em determinados pontos de uma estrutura (fixos).Podem se originar de: 
 
l. Binários 
2. Cargas excêntricas 
 
3. Eixos de transmissão 
 
A3. CARGAS DISTRIBUÍDAS 
 
São aquelas que atuam em uma área com dimensões na mesma ordem de grandeza da estrutura. 
 
l. Distribuidas sobre uma superfície 
 
São expressas por "q"e representam a quantidade de carga aplicada por unidade de área. 
 
Unidade : kN/m2 , kgf/cm2 , kN/cm2, etc.. 
 
"q" - taxa de distribuição da carga 
 
Ex: peso próprio em uma lage de concreto 
48 
 
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γconcr= 25 kN/cm2 
γreboco = 20 kN/cm2 
peso próprio ladrillho = 0,85 kN/m2 
 
No exemplo anterior a taxa de distribuição calculada é uniforme, mas nem sempre é assim: 
 
Ex: 
 vento 
 
 empuxo de líquidos,solo,cereais,etc. 
 
 qliq = γlíq. hlíq 
 
 qsol = k. γsol . hsol 
 
 
 k = coeficiente de empuxo 
 
 
 
 
 
 
 
2. Cargas distribuídas sobre uma linha 
 
49 
 
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São cargas que se distribuem numa área em que uma das dimensões é muito maior que a outra. 
Neste caso considera-se que a carga esteja atuando na linha média da referida área. 
 
 
41 
Também são representadas por "q"e indicam a quantidade de carga desenvolvida por unidade de 
comprimento. 
 
•Unidade: kN/m, kgf/m, kN/cm, etc 
 
Supomos que a distribuição da carga ao longo do comprimento da peça é variável e segue a função 
 
 q = f(x) 
 
 
 
 
 
A carga total equivalente à esta distribuição seria o somatório ao longo do eixo de q(x) 
 
 Q = q(x) . dx
0
l
���� 
 
portanto a resultante desta carga distribuida é igual à área da figura limitada pela linha da função 
q(x) e pelo segmento de eixo correspondente, aplicada no centro de gravidade desta área. 
 
Podemos usar a conclusão acima para resolvermos com facilidade casos comuns. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
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51 
 
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B. CLASSIFICAÇÃO QUANTO AO TEMPO DE DURAÇÃO 
 
B1. PERMANENTES 
 
Atuam durante toda ou quase toda a vida útil de uma estrutura 
 
Ex: peso próprio, revestimentos, etc. 
 
B2. ACIDENTAIS OU SOBRECARGA 
 
Podem estar ou não atuando , sendo fornecidas por normas (NBR - 6.120/80) 
 
Ex : vento, mobiliário , etc. 
 
 
C . CLASSIFICAÇÃO QUANTO AO PONTO DE APLICAÇÃO 
 
 
C1 . FIXAS 
 
Atuam em determinados pontos de uma estrutura, podendo variar em intensidade 
 
Ex: carga de parede, revestimentos,etc. 
 
C2. MÓVEIS 
 
Percorrem a estrutura, ou seja, podem atuar em vários de seus pontos. 
 
Ex: Caminhão atravessando uma ponte 
 
 
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52 
 CAPÍTULO V 
 
CÁLCULO DAS REAÇÕES EXTERNAS 
 
I . GENERALIDADES 
 
Reações externas ou vinculares são os esforços que os vínculos devem desenvolver para manter em 
equilíbrio estático uma estrutura. 
 
Os vínculos são classificados de acordo com o número de graus de liberdade restringidos e só podemos 
restringir 1 GL mediante a aplicação de um esfôrço (força ou momento) na direção deste movimento. 
 
A determinação das reações de apoio de uma estrutura isostática é feita por intermédio de um sistema de 
equações algébricas, que estabelece as condições de equilíbrio da estrutura, supondo-se rígidas todas as 
barras. 
 
No caso espacial (cargas em todas as direções) a estrutura possui 6 GL (translação na direção dos 3 eixos e 
rotação em torno dos 3 eixos) e portanto para que ela esteja em equilíbrio devemos satisfazer 6 equações: 
 ΣΣΣΣ Fx = 0 ΣΣΣΣ Mx = 0 
 
 ΣΣΣΣ Fy = 0 ΣΣΣΣ My = 0 
 
 ΣΣΣΣ Fz = 0 ΣΣΣΣ Mz = 0 
 
 
No caso plano (cargas atuantes em 1 único plano, por exemplo x,y) a estrutura possui 3 GL ( translação nas 
direções x e y e rotação em torno do eixo z), portanto o número de equações a serem satisfeitas são 3: 
 
 ΣΣΣΣ Fx = 0 ΣΣΣΣ Fy = 0 ΣΣΣΣ Mz = 0 
 
Convém salientar que vamos nos ater ao caso mais comum (carregamento plano) onde os vínculos podem 
ser de 3 espécies: 
 
1a espécie - restringe 1 translação - 
2a espécie - restringe 2 translações - 
3a espécie - restringe 2 translações e 1 rotação - 
 
Desta maneira, cada movimento restringido corresponde à 1 reação vincular (incógnita), que deve ser 
determinada. 
 
Assim, se a estrutura é isostática e estamosno caso plano as reações devem ser em número de 3 (a eficácia 
vincular deve ter sido préviamente analisada) e como dispomos de 3 equações a serem satisfeitas, a 
aplicação destas equações nos leva à determinação das reações (incógnitas) desejadas. 
 
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53 
Se a estrutura for hiperestática, conforme já vimos, há vínculos superabundantes, que impedem também 
deslocamentos oriundos das deformações das barras. 
 
Nestes casos a determinação dos esforços reativos não pode ser feita apenas com as equações fundamentais 
da estática, embora estas equações devam obrigatóriamente ser satisfeitas. 
 
Logo, a resolução de uma estrutura hiperestática é realizada utilizando-se um sistema formado por estas 
equações e por outras (em número igual ao grau de hiperestaticidade) obtidas do estudo da deformação da 
estrutura. 
 
 
II. CÁLCULO DAS REAÇÕES EXTERNAS 
 
A. ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS SIMPLES 
 
Uma estrutura isostática é classificada como simples quando possui apenas um elemento, possuindo apenas 
vínculos externos. 
 
À fim de se determinar o valor das reações externas procede-se da seguinte forma: 
 
Transforma-se a estrutura dada num corpo livre , substituindo-se todos os vínculos externos pelas reações 
vinculares que o mesmo pode desenvolver, arbitrando-se um sentido para cada esforço. 
 
Para que o corpo mantenha-se em equilíbrio estático é necessário que as 3 equações da estática sejam 
satisfeitas. 
 
 ΣΣΣΣ Fx = 0 ΣΣΣΣ Fy = 0 ΣΣΣΣMz = 0 
 
OBS 1 : As cargas distribuidas devem ser substituidas por suas respectivas resultantes (este artifício é 
válido sómente para o cálculo das reações externas). 
 
OBS 2 : Como escolhemos direções de referência (x e y) as cargas que não estiverem nestas direções 
devem ser decompostas nestas direções, ou seja, substituidas por um sistema equivalente. 
 
OBS 3 : Resolvido o sistema de equações, as reações que resultarem negativas devem ter o seu sentido 
invertido. 
 
Exemplo 1 : 
 
B. ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS COMPOSTAS 
 
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54 
 
B.1. INTRODUÇÃO: 
 
São estrutras constituidas por elementos ligados entre si por rótulas que formam um conjunto 
estável. 
 
Rótulas são articulações internas que não absorvem momento portanto para que uma rótula esteja em 
equilíbrio a soma dos momentos em relação a ela deve ser nula. 
 
Então, além das equações fundamentais da estática surge uma nova condição que nos leva a equações 
auxiliares de equilíbrio: soma dos momentos à esquerda e à direita de uma rótula deve ser zero. 
 
 ΣΣΣΣMr à esquerda = 0 ΣΣΣΣ Mr à direita = 0 
 
 
B.2. VIGAS GERBER 
 
a. Conceito: 
 
A viga Gerber se constitui num caso particular de estruturas compostas. Consta de uma associação de vigas 
com estabilidade própria, com outras, sem estabilidade própria apoiadas sobre as primeiras, dando 
estabilidade ao conjunto. A interligação entre as partes se dá por intermédio das articulações(rótulas). 
 
Nesta associação, as vigas com estabilidade própria suprem as outras dos vínculos que lhes faltam, ficando 
o conjunto estável, portanto, as primeiras são acrescidas de cargas que lhes são transmitdas pelas rótulas. 
 
Ex: 
 
O aparecimento das vigas Gerber deu-se para resolver problemas de ordem estrutural e construtiva. 
 
As vigas Gerber tem lugar de grande importância na engenharia estrutural e a tendência é de cada vez mais 
serem utilizadas, tendo em vista o desenvolvimento das técnicas de pré-fabricação e montagem de 
estruturas. 
 
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55 
 
Ex: 
 
 
esquema estrutural: 
 
b. Cálculo das reações de apoio. 
 
b.1. Método Algébrico. 
 
Constitui-se na aplicação pura das condições de estabilidade. 
 
Exemplo : 
 
 
 
No exemplo acima temos 4 reações externas a determinar e 3 equações de estática. 
 
A rótula nos dá outra condição de equilíbrio pois o momento em relação à ela deve ser nulo. 
 
Σ Fx = 0 Σ Fy =0 Σ Mz =0 Σ Mr esq = 0 Σ Mr dir = 0 
 
 
 
Podemos então, dispor de 5 equações algébricas com 4 incógnitas o que se constitui em um sistema 
algébricamente possível. 
 
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56 
 
 
Observações: 
1. A escolha adequada das equações a serem utilizadas pode facilitar ou não a solução 
do problema. 
 
2. Para vigas Gerber com maior número de apoios e rótulas este método pode não ser muito 
interessante pela dificudade algébrica da resolução. 
 
 
b.2. Método Direto. 
 
Como o nome já diz, no método direto é feita a decomposição da viga nas partes que à constituem. 
 
Esta decomposição é feita nas articulações, portanto nenhum momento é transmitido entre as partes. 
 
A ação de uma parte sobre a outra que lhe serve de apoio corresponde à reação igual e contrária desta sobre 
a primeira (princípio da ação e reação), portanto cada força de ligação deve ser indicada nas duas partes 
correspondentes com sentidos opostos. 
 
Quando são desfeitas estas ligações com o meio externo e nas articulações, a estrutura se transforma para 
fins de cálculo, num conjunto de corpos livres e em cada um são aplicáveis as 3 equações da estática. 
 
O cálculo deve seguir uma sequência lógica, sendo calculados primeiro os trechos sem estabilidade 
própria, para então, após a transmissão das cargas, calcularmos os com estabilidade própria. 
 
OBS : Numa viga Gerber pelo menos 1 dos apoios deve ser capaz de absorver forças horizontais ( 2a 
ou 3a espécie) que irão diretamente para ele atravéz das rótulas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo : 
 
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57 
 
 
 
 
 
B.3. PÓRTICOS TRI-ARTICULADOS 
 
Os pórticos tri-articulados são estruturas isostáticas com 2 apoios de 2a espécie e uma rótula intermediária. 
 
OBS: As três articulações não podem estar alinhadas pois neste caso a estrutura será hipostática (ineficácia 
vincular) 
 
Nestes casos não podemos cortar a estrutura na rótula pois de ambos os lados do corte não obteríamos uma 
estrutura com estabilidade própria. 
 
Para a determinação de suas reações de apoio dispomos das 3 equações da estática acrescidas da condição 
da rótula não trasmitir momento fletor. 
 
Ficamos então com um sistema algébrico de possível solução. 
 
A escolha da conveniência das equações deve ser estudada préviamente para simplificarmos o cálculo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex: 
 
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59 
 CAPÍTULO VI 
 
SOLICITAÇÕES INTERNAS EM ESTRUTURAS DE BARRA 
 
I. INTRODUÇÃO 
 
Vimos até aqui que quando existe um sistema de cargas ativas atuando em um corpo são desenvolvidas 
cargas externas reativas,capazes de manter o equilíbrio do corpo, que calculamos com a aplicação das 
equações fundamentais da estática. 
 
Se estivermos diante de uma estrutura com carregamento espacial : 
 
 ΣΣΣΣFx = 0 ΣΣΣΣMx = 0 
 ΣΣΣΣFy = 0 ΣΣΣΣMy = 0 
 ΣΣΣΣFz = 0 ΣΣΣΣMz = 0 
 
Se estivermos diante de uma estrutura com carregamento plano: 
 
 ΣΣΣΣFx = 0 ΣΣΣΣFy = 0 ΣΣΣΣ Mz = 0 
 
 
 De uma maneira geral podemos dizer que: 
 
1. O equilíbrio não leva em conta o modo como o corpo transmite as cargas para os apoios. 
 
2. O corpo quando recebe carregamento vai gradativamente deformando-se até atingir o equilíbrio , 
onde as deformações param de aumentar(são impedidas internamente), gerando solicitações internas. 
 
3. O equilíbrio ocorre na configuração deformada, que admitimos ser bem próxima da inicial (campo 
das pequenas deformações). 
 
Pretendemos analisar quais os efeito que a transmissão deste sistema de cargas externas aos apoios 
provoca nas diversas seções que constituem o corpo em equilíbrio. 
 
Para tanto, suponhamos o corpo em equilíbrio, sob efeito de um carregamento qualquer. Se cortarmos 
este corpo por um plano qualquer (pi), rompemos o equilíbrio pois destruimos sua cadeia molecular, na 
seção "S" de interseção do plano com o corpo. 
 
 
 
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60 
 
 
Para que as partes isoladas pelo corte permaneçam em equilíbrio, deve-se aplicar , por exemplo, sobre a 
parte da esquerda, a ação que a parte da direita exercia sobre ela ou seja, resultante de força (
�
R ) e 
resultante de momento ( �M ). O mesmo deve ser feito com a parte da esquerda cujas resultantes estão 
também representadas. 
 
�
R - Resultante de forças da parte retirada 
�
M
 - Resultante de momentos da parte retirada 
 
 
 
 
 
As resultantes nas seções de corte de ambos os lados devem ser tais que reproduzam a situação original 
quando as duas partes forem ligadas novamente, ou seja, pelo princípio da ação e reação devem ser ser 
de mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos. 
 
� �
R e M
 são as resultantes das solicitações internas referidas ao centro de gravidade da seção de corte da 
barra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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61 
Determinação dos esforços em uma seção: 
 
Quando queremos saber o que acontece em uma seção S de uma peça, devemos cortar a peça na 
seção desejada, isolar um dos lados do corte (qualquer um ) e podemos dizer que no centro de 
gravidade esta seção devem aparecer esforços internos (resultante de força e de momento) que 
mantém o corpo isolado em equilíbrio. 
Estes esforços representam a ação da parte retirada do corpo. Em isostática a seção de referência 
adotada será a seção transversal das peças em estudo. 
 
 
II. CLASSIFICAÇÃO DAS SOLICITAÇÕES 
 
 Os esforços estão associados às deformações que provocam e se classificam de acordo com elas. 
 
Sabemos também que um vetor no espaço pode ser decomposto segundo 3 direções que escolhermos e 
adotaremos 3 direções perpendiculares entre si no espaço (x,y,z). 
 
Vamos decompor os vetores resultantes 
� �
R e M
 segundo estas tres direções escolhidas e teremos: 
 
 
Observe que escolhemos 3 direções perpendiculares entre si com a seguinte característica: 2 direções 
contidas pela seção de corte e a terceira perpendicular à seção de corte. 
 
Denominamos as componentes da seguinte maneira: 
 
N - Esforço Normal 
Q - Esforço Cortante 
M - Momento Fletor 
Mt - Momento Torsor 
 
Cada solicitação conforme já vimos tem associada à si uma deformação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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62 
Esforço Normal (N) : 
 
Podemos definir esforço normal em uma seção de corte como sendo a soma algébrica das componentes 
de todas as forças externas na direção perpendicular à referida seção (seção transversal),ou seja, todas 
as forças de um dos lados isolado pelo corte na direção do eixo x. 
 
. 
 
Representando duas seções infinitamente próximas entre si, o efeito do esforço normal será de 
provocar uma variação da distancia que separa as seções, que permanecem planas e paralelas. 
 
As fibras longitudinais que constituem estas seções também permanecem paralelas entre si, porém com 
seus comprimentos alterados (sofrem alongamentos ou encurtamentos) 
 
 
O esforço normal será considerado positivo quando alonga a fibra longitdinal e negativo no caso de 
encurtamento. 
 
 
Esforço Cortante (Q) : 
 
Podemos definir esforço cortante em uma seção de referência como a soma vetorial das componentes 
do sistema de forças de um dos lados do corte (referência), sobre o plano da seção considerada. 
 
Não é usual entretanto, trabalharmos com a soma vetorial e sim com suas componentes segundo dois 
eixos de referência contidos pela seção, podendo resultar em 2 esforços (Qy e Qz) obtidos pela soma 
algébrica das componentes das forças do sistema nestas direções. 
 
 
 
 
O efeito do esforço cortante é o de provocar o deslizamento no sentido do esforço de uma secão 
sobre a outra infinitamente próxima acarretando o corte ou cisalhamento da mesma. 
 
 
 N = ΣΣΣΣ Fx ext 
 Qz = ΣΣΣΣFzext Qy = ΣΣΣΣ Fyext 
 
 
 
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63 
Os esforços cortantes (Qy,Qz) serão positivos, quando calculados pelo somatório das forças situadas à 
esquerda seguem o sentido arbitrado para os eixos e quando calculados pelo somatório das forças à 
direita forem contrários aos eixos. 
 
Momento Fletor (M) : 
 
Podemos definir momento fletor em uma seção de referência como a soma vetorial dos momentos 
provocados pelas forças externas de um dos lados da referência em relação aos eixos contidos pela 
seção de referência (eixos y e z). 
 
Não é usual entretanto trabalharmos com a soma vetorial optando-se pelo cálculo separado dos 
momentos em relação aos eixos y e z, tranformando a soma em algébrica. 
 
 
 
O efeito do momento fletor é provocar o giro a seção tranversal em torno de um eixo contido pela 
própria seção. 
 
As fibras de uma extremidade são tracionadas enquanto que na outra são comprimidas (as seções giram 
em torno do eixo na qual se desenvolve o momento, mas permanecem planas). 
 
 
O momento fletor Mz é considerado positivo quando traciona as fibras de baixo da estrutura e My é 
positivo quando traciona as fibras internas (no caso da esquerda) da estrutura. 
 
Momento Torsor : 
 
Podemos definir momento torsor em uma seção de referência como a soma algébrica das componentes 
dos momentos das forças externas de um dos lados da referência em relação ao eixo longitudinal da 
peça (eixo x). 
 
 
 
O efeito do momento torsor é o de provocar o giro da seção em torno do eixo longitudinal da 
peça, torcendo-a ou deslocando-a angularmente em relação à seção visinha. 
 My = ΣΣΣΣmyext Mz = ΣΣΣΣ mzext 
Mt = ΣΣΣΣ mxext 
 
 
 
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64 
 
A convenção de sinais adotadas para o momento torsor é análoga à do esforço normal, ou seja, o 
momento torsor é considerado positivo quando sua seta representativa está saindo da seção de 
referência (regra da mãodireita). 
 
 
III. SOLICITAÇÕES EM ESTRUTURAS COM CARREGAMENTO ESPACIAL 
E PLANO. 
 
A. ESTRUTURAS COM CARREGAMENTO ESPACIAL (caso geral). 
 
Netes casos as cargas estão se desenvolvendo em todas as direções do espaço, e portanto temos 
componentes de força e momento em todas as direções também. 
 
 
Esforços desenvolvidos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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65 
B. ESTRUTURA COM CARREGAMENTO PLANO 
 
Cargas contidas em um único plano, por ex: plano x , y (caso mais comum) 
 
 
 
 
 
Esforços desenvolvidos: 
 
 
 
IV. CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES INTERNAS - MÉTODO DAS 
EQUAÇÕES 
 
A. CONVENÇÕES: 
 
Conforme já vimos, se cortarmos uma estrutura por uma seção, nesta seção devem aparecer esforços 
que equilibrem o sistema isolado (solicitações internas). 
 
Vamos tratar de estruturas sujeitas à carregamento plano onde os esforços desenvolvidos são o esforço 
normal N (ΣΣΣΣFx), o esforço cortante Qy (ΣΣΣΣFy) ou simplesmente Q e o momento fletor Mz ou 
simplesmente M. Com o fim de uniformizarmos a nossa representação vamos representar graficamene 
as convenções para o sentido positivo destas solicitações. 
 
 
 
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66 
 
 
 
 
B. CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES EM UMA SEÇÃO ARBITRÁRIA 
 
Se desejarmos calcular a solicitação desenvolvida em uma seção qualquer de uma peça carregada, 
usamos o método das seções: 
 
Cortamos a peça na seção desejada e isolamos um dos lados do corte (qualquer um). 
 
Na seção cortada devems ser desenvolvidas solicitações que mantém o sistema isolado em equilíbrio. 
 
Exemplo: 
Calcule as solicitações desenvolvidas na seção intermediária da viga abaixo. 
 
VA = VB = 
q l.
2
 
Cortando e isolando um dos lados do corte: 
 
 Aplicando as equações de equilíbrio, teremos: 
 ΣFx = 0 ∴ N = 0 
 
Σ Fy = 0 ∴ Q
q l q l
−−−− ++++ ====
. .
2 2
0 ∴ Q = 0 
Σ MS = 0 ∴ M
q l l q l l
++++
����
����
����
����
����
���� −−−−
����
����
����
����
����
���� ====
.
.
.
.
2 4 2 2
0
 
 Ms = 
q l. 2
8
 
 
 
 
 
 
 
 
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67 
Supondo que quisessemos as solicitações desenvolvidas em diversas seções da viga, repetiriamos o 
procedimento acima exemplificado, em quantas seções quantas pretendidas. 
 
Ao efetuarmos esta sucessão de cortes, observamos que as equações de equilíbrio formadas são as 
mesmas, com mudança apenas na distancia da seção cortada a referência. 
 
Poderíamos generalizar este procedimento,criando uma variável, por exemplo "x", que representasse 
esta distancia de uma forma genérica. 
 
 
onde 0 ≤ x ≤ l 
 
marcando os limites de validade da variável x. 
 
 
 
 
 
Então: 
Σ Fx = 0 N = 0 
Σ Fy = 0 Q
q l q x−−−− ++++ ====. .
2
0
 ∴ Q q x q l==== −−−− ++++. .2 
Σ MS = 0 M q x
x q l
x++++ −−−−. .
.
.
2 2
 
M q l x q x x==== −−−−. . .
2 2
2
 
 
Esta representação se contitui o que se chama de método das equações 
 
 
C. PONTOS DE TRANSIÇÃO 
 
Vamos iniciar com um exemplo, calculando as solicitações desenvolvidas nas seções S1 e S2 da viga 
abaixo: 
 
 
 
 
 
VA = Pb/l VB = Pa/l 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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68 
S1: 0 ≤ x1 ≤ a 
 
Σ Fx = 0 N = 0 
 
Σ Fy = 0 Q-Pb/l = 0 Q = Pb/l 
 
Σ M = 0 M - Pb/l .x1 = 0 M = Pb/l . x1 
 
 
S2 : a ≤ x2 ≤ l 
 
 
 Σ Fx = 0 N = 0 
 Σ Fy = 0 Q + P - Pb/l = 0 Q = Pb/l - P 
 
 Σ M = 0 M + P (x2 - a) - Pb/l . x2= 0 
 
 M = Pb/l . x2 - P(x2 - a) 
 
 
Constatamos que x1e x2 nunca podem se sobrepor, pois dão origem a equações diferentes (na 2ª não 
entra a carga P) e então podemos chama-los genericamente de x e distinguir os trechos de validade dos 
mesmos. 
 
 1o trecho 2o trecho 
 0 ≤ x ≤ a a ≤ x ≤ l 
 
equações válidas para o primeiro trecho equações válidas para o segundo trecho 
 Q(x) = Pb/l Q(x) = Pb/l - P = -Pa/l 
 M(x) = Pb/l.x M(x) = Pb/l.x - P(x-a) 
 
No exemplo acima intuitivamente nós identificamos um ponto de transição, que seria o ponto de 
aplicação da carga P, a partir do qual há a mudança na equação. 
 
Conforme foi visto há a necessidade de analizarmos um trecho antes e outro depois deste ponto 
de transição. 
 
Podemos generalizar o acima dizemos que sempre que houver um ponto de transição devemos proceder 
desta maneira. 
 
Podemos definir ponto de transição, de maneira análoga, como todo o ponto em que há alteração no 
carregamento: 
 
 
 
 
 
 
 
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69 
-Ponto de força aplicada 
 
- Ponto de momento aplicado 
 
- Ponto de troca da taxa de carregamento(descontínua) 
 
 
De acôrdo com o que foi visto, podemos calcular as solicitações como funções da variável x, com 
trecho de validade pré-estabelecido, obtendo assim equações gerais para as mesmas, com validade nos 
diversos trechos vistos. 
 
Quando quisermos o valor da solicitação em uma seção em especial , de ordenada x conhecida, basta 
substituirmos nas equações o valor de x pela ordenada numérica desejada. 
 
Em geral nos interessa o valor das solicitações em toda a estrutura e não apenas em pontos específicos 
da mesma, e estas são representadas por suas equações. 
 
Este procedimento de cálculo poderia ser sintetizado em um roteiro simples. Dado o esquema estrutural 
da peça (vínculos,cargas ativas e vãos): 
 
1. Cálculo das reações externas 
 
2. Identificação dos pontos de transição criando trechos pré-estabelecidos 
 
3. Usar o método de corte de seções em cada um destes trechos, adotando como posição genérica desta 
seção a variável x, que valerá dentro dos limites dos trechos. 
 
4. Supomos em cada seção cortada o aparecimento das solicitações previstas, que devem ser arbitradas 
com o sentido convencionado positivo. 
 
5. Aplicam-se as equações de equilíbrio estático em cada um dos cortes, obtendo-se então as equações 
desejadas. 
 
6. Representação destas equações sob a forma de um diagrama, conforme convenção abaixo: 
 
 
 
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70 
 
 
 
 
OBS: As cargas distribuidas não mais podem ser substituidas por suas resultantes totais, mas sim por 
resultantes parciais nos trechos considerados. 
 
 
EXEMPLOS: 
 
Determine o diagrama das Solicitações Internas das vigas abaixo,usando o método das equações: 
1. 
 
 
 
 VA = 20 kN