Análise Estrutural

Prévia do material em texto

Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) -
Conhecimentos Específicos 2021
(Pós-Edital)
Autor:
Marcus Campiteli
Aula 18
30 de Março de 2021
10874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 1 
 104 
 
Análise das Estruturas ....................................................................................................... 2 
1 – Introdução ................................................................................................................... 2 
2 – Condições de equilíbrio ................................................................................................ 3 
3 – Apoios .......................................................................................................................... 3 
4 – Estaticidade e estabilidade ........................................................................................... 7 
5 – Esforços nas seções das estruturas ............................................................................... 9 
6 – Classificação das peças estruturais quanto à geometria ............................................. 11 
7 – Estudo das vigas isostáticas ........................................................................................ 12 
8 – Pórticos ...................................................................................................................... 23 
9 – Quadros com barras curvas ........................................................................................ 32 
10 – Quadros compostos ................................................................................................. 33 
11 – Cabos ....................................................................................................................... 36 
12 – Arcos ........................................................................................................................ 37 
13 – Sistemas guindaste ................................................................................................... 43 
14 – Treliças isostáticas .................................................................................................... 45 
15 – Grelhas ..................................................................................................................... 51 
16 – Estruturas hiperestáticas lineares ............................................................................. 51 
17 – Questões comentadas .............................................................................................. 57 
18 – Questões apresentadas nesta aula ........................................................................... 88 
19 – Gabarito ................................................................................................................. 104 
20 – Referências bibliográficas ....................................................................................... 104 
 
 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 2 
 104 
 
ANÁLISE DAS ESTRUTURAS 
Olá, pessoal, 
Esta aula baseia-se primordialmente no livro “Curso de Análise Estrutural – Volume 1”, do autor 
José Carlos Sussekind, por ter sido fonte das principais bancas sobre análise estrutural, e é 
complementada por demais fontes citadas na bibliografia. 
Nas próximas semanas publicarei um adendo a esta aula com as questões da EAOEAR. 
Dicas, informações e questões adicionais são publicadas no Instagram: @profmarcuscampiteli 
Bons estudos! 
1 – INTRODUÇÃO 
A Análise Estrutural é a parte da Mecânica que estuda as estruturas, em especial na determinação 
dos esforços e das deformações a que elas ficam submetidas quando solicitadas por agentes 
externos (cargas, variações térmicas, movimento de seus apoios, etc.). 
As estruturas se compõem de uma ou mais peças, ligadas entre si e ao meio exterior de modo a 
formar um conjunto estável, isto é, um conjunto capaz de receber solicitações externas, absorvê-
las internamente e transmiti-las até seus apoios, onde estas solicitações externas encontram seu 
sistema estático equilibrante. 
1.1 – FORÇA 
Pode-se exercer uma força sobre um corpo por meio de um esforço muscular; uma locomotiva 
exerce força sobre os vagões que ela reboca; uma mola esticada exerce forças sobre as peças que 
fixam suas extremidades; etc. Em todos estes casos, o corpo que exerce a força está em contato 
com aquele sobre o qual ela é exercida – tratam-se, pois, de forças de contato. 
Há, também, forças que atuam através do espaço, sem contato, chamadas, por esta razão, forças 
de ação à distância – são as forças devidas à existência de campos agindo sobre o corpo. É o caso 
das forças elétricas, magnéticas, das forças de gravitação e, no caso da Terra, das forças devidas à 
gravidade (que são os pesos dos corpos). 
É comum chamar-se de forças que atuam numa estrutura de cargas. 
1.2 – MOMENTO 
Seja a barra da figura a seguir, suportada em C por um cutelo sem atrito e tendo um peso de 10 kg 
suspenso em D, que se deseja contrabalançar por um peso suspenso em A: 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 3 
 104 
 
 
É fácil ver que o peso a ser colocado em A, a fim de contrabalançar o efeito da rotação da barra em 
torno do cutelo C, deve ser inferior a 10 kg, por estar mais afastado de C do que este último; por 
tentativas, veríamos que seu valor deve ser de 5 kg. Este exemplo simples foi escolhido para 
ilustrar o fato de que o efeito de rotação de uma força em torno de um ponto depende do valor da 
força e também de sua distância ao ponto, sendo diretamente proporcional a ambos. Se 
desejarmos, então, criar uma grandeza física, através da qual queiramos representar a tendência 
de rotação em torno de um ponto, provocada por uma força, esta grandeza deverá ser função da 
força e de sua distância ao ponto. 
Esta grandeza é o momento. 
 
2 – CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO 
Para um corpo, submetido a um sistema de forças, estar em equilíbrio, é necessário que elas não 
provoquem nenhuma tendência de translação nem rotação a este corpo. Como a tendência de 
translação é dada pela resultante das forças e a tendência de rotação, em tomo de qualquer 
ponto, é dada pelo momento resultante destas forças em relação a este ponto, basta que eles 
sejam nulos para que o corpo esteja em equilíbrio. 
 
3 – APOIOS 
Os apoios são os vínculos externos da estrutura, isto é, seus vínculos em relação a seus suportes 
(solo ou outra estrutura). 
A função dos apoios é a de restringir graus de liberdade das estruturas, despertando com isto 
reações nas direções dos movimentos impedidos. Eles serão classificados em função do número de 
graus de liberdade permitidos (ou do número de movimentos impedidos), podendo ser, então, de 
6 tipos diferentes (isto é, podendo permitir 5,4,3,2,1 ou nenhum grau de liberdade), de forma a 
garantir o equilíbrio estático da estrutura, conforme a seguir: 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 4 
 104 
 
 
Seja o apoio representado na figura abaixo, em que temos a estrutura apoiada sobre uma esfera 
perfeitamente lubrificada. O único movimento que ela será capaz de impedir é a translação na 
direção vertical, aparecendo com isto uma reação R, agindo sobre a estrutura. O apoio será dito, 
então, um apoio com 5 graus de liberdade (ou um com 1 movimento impedido). 
 
Seja, agora, o apoio a figura abaixo, constituído por três esferas ligadas entre si por três hastes, de 
modo a ficar formado um conjunto rígido. Ficam impedidas, no caso, além da translação na direção 
z, as rotaçõesem torno dos eixos x e y. O apoio será dito, então, um apoio com 3 graus de 
liberdade (que são, no caso, a rotação em torno do eixo z e as translações nas direções dos eixos x 
e y,) ou com 3 movimentos impedidos. Aparecerão, agindo sobre a estrutura, as reações Mx, My e 
R, indicadas na figura. 
 
O esquema da figura seguinte representa a ligação rígida entre a estrutura e seu apoio, de 
dimensões tão maiores que as da estrutura, que podem ser consideradas infinitas em presença 
daquelas. Neste caso, o apoio impedirá todos os movimentos possíveis, sendo dito um apoio sem 
grau de liberdade (ou com todos os movimentos impedidos). Correspondendo a cada um dos 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 5 
 104 
 
movimentos impedidos aparecem, agindo sobre a estrutura, as reações Rx, Ry. Rz, Mx, My, e Mz, 
indicadas na figura. Este tipo de apoio é chamado engaste. 
 
3.1 – ESTRUTURAS PLANAS CARREGADAS NO PRÓPRIO PLANO 
Para o caso das estruturas planas carregadas no próprio plano, que é o mais frequente da Análise 
Estrutural, existem 3 graus de liberdade a combater. 
Supondo a estrutura situada no plano xy, conforme indica a figura seguinte, os graus de liberdade 
a combater são as translações nas direções Ox e Oy e a rotação em torno de um eixo perpendicular 
ao plano (no caso, Oz), pois estas são as únicas tendências de movimento capazes de serem 
produzidas pelo sistema de forças indicado. 
 
São os seguintes os apoios utilizáveis para impedir estes movimentos: 
a) Apoio do 1º gênero ou charriot 
 
O apoio do 1º gênero pode ser obtido por uma das duas formas representadas nas figuras acima; 
na primeira, temos a estrutura apoiada sobre um rolo lubrificado que impede apenas o 
deslocamento na direção y, permitindo livre rotação em torno dele, assim como livre 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 6 
 104 
 
deslocamento na direção x; na segunda, a rotação é assegurada por um pino sem atrito e a 
translação, na direção x, pelos rolos diretamente em contato com o plano que serve de apoio, 
continuando a impedir o deslocamento na direção y. 
Esquematicamente, representa-se o apoio do 1º gênero na forma indicada na figura da direita 
acima. Na direção do único movimento impedido, aparecerá uma reação de apoio R, conforme 
indicado na figura. 
b) Apoio do 2º gênero, articulação ou rótula 
 
Se, no apoio da figura anterior do meio, substituirmos os rolos por uma chapa presa 
completamente ao plano-suporte, conforme indica a figura acima, estar-se-á impedindo todas as 
translações possíveis, permanecendo livre apenas a rotação, assegurada pelo pino lubrificado 
indicado na figura. A este apoio, capaz de restringir todas as translações possíveis no plano, 
chamamos apoio do 2º gênero. Ele é representado esquematicamente por uma das 2 formas 
indicadas na figura acima (figura do meio e da direita). Na direção das translações impedidas, 
aparecerão as reações H e V indicadas na figura, cuja composição vetorial dará a reação de apoio 
resultante no apoio do 2º gênero. 
c) Apoio do 3º gênero ou engaste 
 
Se a estrutura estiver ancorada num bloco de dimensões que possam ser consideradas infinitas em 
presença das dimensões da estrutura, conforme indica a figura acima, na seção de contato entre 
ambos o bloco estará impedindo, por sua enorme rigidez, todos os movimentos possíveis da 
estrutura e dizemos então que ele engasta a estrutura. Um engaste será representado, 
esquematicamente, da forma indicada na figura acima da esquerda, aparecendo, na direção de 
cada um dos 3 movimentos impedidos (2 translações e 1 rotação), as reações de apoio H, V e M 
indicadas. 
A figura a seguir resume os tipos de apoio estudados por meio de uma viga: 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 7 
 104 
 
 
Fonte: Concreto Armado eu te Amo 
 
4 – ESTATICIDADE E ESTABILIDADE 
Acabou-se de ver que a função dos apoios é limitar os graus de liberdade de uma estrutura. Três 
casos podem então ocorrer: 
a) Os apoios são em número estritamente necessário para impedir todos os movimentos possíveis 
da estrutura. 
Neste caso, o número de reações de apoio a determinar é igual ao número de equações de 
equilíbrio disponíveis (isto é: número de incógnitas = número de equações), chegando-se a um 
sistema de equações determinado que resolverá o problema. 
Diz-se, então, que a estrutura é isostática, ocorrendo uma situação de equilíbrio estável. 
b) Os apoios são em número inferior ao necessário para impedir todos os movimentos possíveis da 
estrutura. 
Neste caso, evidentemente, tem-se mais equações que incógnitas, chegando-se a um sistema de 
equações impossível, nos casos gerais. A estrutura será dita hipostática e será, então, instável. 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 8 
 104 
 
(Pode ocorrer uma situação de carregamento tal que o próprio carregamento consiga impedir os 
graus de liberdade que os apoios não forem capazes de impedir; será, então, um caso de 
equilíbrio, mas de equilíbrio instável, pois qualquer que seja a deformação imposta à estrutura, ela 
tenderá a prosseguir até a sua ruína). 
As estruturas hipostáticas são inadmissíveis para as construções. 
c) Os apoios são em número superior ao necessário para impedir todos os movimentos possíveis 
da estrutura. 
Neste caso, teremos menor número de equações que de incógnitas, conduzindo a um sistema 
indeterminado. As equações universais da Estática não serão suficientes para a determinação das 
reações de apoio, sendo necessárias equações adicionais de compatibilidade de deformações. A 
estrutura será dita hiperestática, continuando o equilíbrio a ser estável (aliás, pode-se dizer, um 
pouco impropriamente, que o equilíbrio é mais que estável). 
Pode-se tentar estabelecer o critério de contar o número de apoios e ver se é igual, menor ou 
maior que o número de graus de liberdade da estrutura para classificá-la em isostática, hipostática 
ou hiperestática. Este critério é perfeito no caso das estruturas hipostáticas, mas, no caso das 
estruturas isostáticas e hiperestáticas, fornece apenas uma condição necessária, mas não 
suficiente, conforme esclarecem os exemplos das figuras a seguir. 
 
No caso da estrutura plana da figura da esquerda que, como tal, possui três graus de liberdade, há 
um apoio do 2º gênero e um apoio do 1º gênero, dando um total de três reações de apoio a 
determinar. Isto sugeriria que a estrutura fosse isostática, fato que não ocorre, entretanto, pois o 
apoio A impede translações nas direções Ax e Ay e o apoio B translação também na direção Ax. A 
rotação do sistema não está, pois, impedida e a estrutura é, então, hipostática (embora 
aparentemente isostática). 
Analogamente, a estrutura plana da figura da direita é aparentemente hiperestática, pois temos 
três graus de liberdade para cinco reações de apoio a determinar. Entretanto, é fácil ver que 
nenhum dos apoios impede a translação na direção ABCDE; com isto, a estrutura é hipostática 
(embora aparentemente hiperestática). 
Portanto, para classificar uma estrutura (sem vínculos internos) como externamente isostática ou 
hiperestática, não basta comparar o número de reações de apoio a determinar com o de graus de 
liberdade da estrutura; é necessário certificar-se também que os apoios restringem, de fato, todos 
os graus de liberdade da estrutura em questão (comisto é que se pode afastar completamente a 
possibilidade da estrutura ser hipostática). 
Em resumo: 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 9 
 104 
 
a) A estrutura é restringida e o número de incógnitas é igual ao número de equações de equilíbrio: 
ISOSTÁTICA. 
b) A estrutura é restringida e o número de incógnitas é maior que o número de equações de 
equilíbrio: HIPERESTÁTICA. 
c) A estrutura não é restringida ou o número de incógnitas é menor que o número de equações de 
equilíbrio: HIPOSTÁTICA. 
Uma estrutura está restringida quando possui vínculos para restringir todos os movimentos 
possíveis da estrutura (translação e rotação) como um corpo rígido. 
 
5 – ESFORÇOS NAS SEÇÕES DAS ESTRUTURAS 
a) Força Normal 
Representando duas seções infinitamente próximas, a tendência das forças N será a de promover 
uma variação da distância que separa as seções, permanecendo as mesmas paralelas uma à outra, 
conforme indica a figura seguinte. 
 
Por acarretar uma tendência de movimento da seção normalmente à mesma (que é a direção do 
eixo), chama-se a N de esforço normal atuante na seção. Pode-se, então, definir esforço normal 
atuante numa seção como sendo a soma algébrica das componentes, na direção normal à seção, 
de cada uma das forças atuantes de um dos lados desta seção. O esforço normal será positivo 
quando de tração (isto é, quando tender a afastar duas seções infinitamente próximas ou, em 
linguagem mais simples, quando estiver "saindo" da seção), sendo negativo em caso contrário 
(caso da compressão). 
b) Esforço Cortante 
Representando duas seções infinitamente próximas, a tendência das duas forças Q é a de 
promover um deslizamento relativo de uma em relação à outra, conforme indica a figura a seguir, 
aparecendo, então, uma tendência de corte. Por esta razão, Q é chamada de esforço cortante. 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 10 
 104 
 
 
Define-se, então, esforço cortante atuante numa seção como sendo igual à soma vetorial das 
componentes, sobre o plano da seção, das forças situadas de um dos lados desta seção. 
c) Momento Torçor 
Representando duas seções infinitamente próximas, a tendência do momento é a de promover 
uma rotação relativa destas duas seções em torno de um eixo que lhes é perpendicular, passando 
pelo seu centro de gravidade (eixo x, portanto). Podemos dizer, em linguagem simplista, que o 
momento está torcendo a peça e ele é, pois, denominado momento torçor atuante na seção. 
 
Define-se, então, momento torçor atuante numa seção S como sendo a soma algébrica dos 
momentos das forças situadas de um dos lados desta seção em relação ao eixo normal à seção que 
contém o seu centro de gravidade. 
d) Momento 
Representando duas seções infinitamente próximas, a tendência do momento M, conforme a regra 
da mão direita, é a de provocar uma rotação da seção em torno de um eixo situado no seu próprio 
plano. 
Como um momento pode ser substituído por um binário, vemos que o efeito de M pode ser 
assimilado ao do binário indicado na figura seguinte, que provoca uma tendência de alongamento 
em uma das partes da seção e uma tendência de encurtamento na outra parte. A peça ficará então 
fletida, sendo, por isto, denominado de momento fletor. 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 11 
 104 
 
 
 
Define-se, então, como momento fletor atuante numa seção, à soma vetorial das componentes, 
sobre o plano da seção, dos momentos de todas as forças situadas de um dos lados da seção em 
relação ao seu centro de gravidade. 
 
 
6 – CLASSIFICAÇÃO DAS PEÇAS ESTRUTURAIS QUANTO À GEOMETRIA 
Os sistemas estruturais são modelos de comportamento idealizados para representação e análise 
de uma estrutura tridimensional. Estes modelos obedecem a uma convenção. Esta convenção 
pode ser feita em função da geometria das peças estruturais que compõem o conjunto 
denominado sistema estrutural. 
Quanto à geometria, um corpo pode ser identificado por três dimensões principais que definem 
seu volume. Conforme as relações entre estas dimensões, surgem quatro tipos de peças 
estruturais: 
a) Barra: duas dimensões da mesma ordem de grandeza e uma terceira maior que as outras duas. 
b) Barra de elementos delgados: as três dimensões principais são de diferentes ordens de 
grandeza. É o caso dos perfis metálicos, onde a espessura é muito menor que as dimensões da 
seção transversal, que é menor que o comprimento da peça. As barras de elementos delgados são 
tratadas, sob o ponto de vista estrutural, da mesma forma que as barras, exceção feita à 
solicitação por torção. 
 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 12 
 104 
 
c) Folhas ou lâminas: duas dimensões de mesma ordem de grandeza, maiores que a terceira 
dimensão. Subdividem-se em: 
- Placas: carregamento perpendicular ao plano médio. 
- Chapas: carregamento contido no plano médio. 
- Cascas: superfície média curva. 
d) Bloco: as três dimensões são da mesma ordem de grandeza. 
 
7 – ESTUDO DAS VIGAS ISOSTÁTICAS 
Seja a viga biapoiada da figura a seguir, submetida ao carregamento indicado. 
 
Tem-se que a derivada do momento fletor atuante numa seção S de uma viga reta, submetida a 
um carregamento a ela perpendicular, em relação à abscissa que define esta seção é igual ao 
esforço cortante nela atuante e que a derivada deste em relação a esta abscissa é igual ao valor da 
taxa de carga aplicada na seção S com o sinal trocado, conforme a seguir: 
 
Essas igualdades são as equações fundamentais da Estática, pois permitem obter os esforços 
solicitantes nas diversas seções da viga em função do carregamento q(x) atuante. 
Portanto, a partir da primeira equação, tem-se que o coeficiente angular da tangente ao diagrama 
de momentos fletores numa seção S é igual ao esforço cortante nela atuante, e a partir da segunda 
equação, tem-se que o coeficiente angular da tangente ao diagrama de esforços cortantes numa 
seção S é igual ao valor da taxa de carga atuante nesta seção com o sinal trocado. 
7.1 – VIGAS BIAPOIADAS 
Seja a viga biapoiada da figura seguinte, submetida a uma carga concentrada P, atuante na seção S. 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 13 
 104 
 
 
Na seção S, não se define esforço cortante; ele é definido à esquerda e à direita da seção sofrendo 
nela uma descontinuidade igual a P. 
Seja a viga biapoiada da figura seguinte, submetida a uma carga uniformemente distribuída q. 
 
Pode-se afirmar que, sob carga uniformemente distribuída, o diagrama de momentos fletores é 
parabólico do 2º grau e o diagrama de esforços cortantes é retilíneo. 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 14 
 104 
 
Sendo as reações de apoio as indicadas na figura, teremos os seguintes esforços simples numa 
seção genérica S: 
 
O diagrama de esforços cortantes será uma linha reta, que fica determinada pelos seus valores 
extremos, correspondentes a x = 0 e a x = l, que são: QA = (q.l)/2 e QB = - (q.l)/2. (Estes valores 
podem ser obtidos diretamente a partir das reaçõesde apoio.) 
O diagrama de momentos fletores será dado por uma parábolado 2º grau, passando por zero em A 
e B e passando por um máximo em x = l/2 (seção onde Q = dM/dx = 0), de valor: 
 
Seja a viga biapoiada da figura seguinte, submetida a uma carga triangular, de taxa máxima igual a 
p, no apoio da direita. Sendo as reações de apoio as indicadas na figura, tem-se os seguintes 
esforços simples numa seção genérica S: 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 15 
 104 
 
 
O diagrama de esforços cortantes será, então, parabólico do 2º grau, com tangente horizontal em 
A (pois dQ/ds = -q = 0), tendo seus valores extremos iguais aos valores conhecidos (+ VA) e (-VB) e 
passando por zero para x = l.
√3
3
 = 0,577.l, conforme pode ser obtido imediatamente a partir de sua 
equação. 
O diagrama de momentos fletores será uma parábola do 3º grau, que passa por um máximo em x = 
l.
√3
3
 = 0,577.l (pois dM/ds = Q = 0), de valor Mmáx = 
𝑝.𝑙2
2
. 
√3
3
. (1 − 
1
3
) = 
𝑝.𝑙2
9.√3
= 0,064. 𝑝. 𝑙2. 
Sendo a taxa de carregamento uma função linear (grau um), o diagrama de esforços cortantes é 
parabólico do 2º grau e o diagrama de momentos fletores é parabólico do 3º grau. 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 16 
 104 
 
Seja a viga biapoiada da figura seguinte, submetida à carga-momento indicada. As reações de 
apoio devem ser tais que formem um binário de módulo M e sentido oposto ao do momento 
aplicado. 
A partir delas, temos imediatamente os diagramas solicitantes. 
 
Seguem casos particulares interessantes apresentados na figura seguinte de diagramas de 
momentos fletores para algumas posições notáveis da carregamento. 
 
Seja a viga biapoiada da figura a seguir, submetida ao carregamento indicado: 
 
O problema novo que se depara é o da resolução de uma viga submetida a uma carga 
continuamente distribuída, que não abrange todo o seu vão. 
Para recair num problema já conhecido, romperemos a viga em B e C, desde que apliquemos 
nestes pontos seus esforços simples, mantendo o equilíbrio de cada trecho assim obtido. 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 17 
 104 
 
Assim, os esforços cortantes que atuam nas extremidades de cada trecho (QA, QB, QC, QD) podem 
ser encarados como as forças que equilibram as outras cargas e momentos atuantes no trecho, 
podendo ele então ser considerado como uma viga biapoiada independente, submetida ao 
carregamento externo que lhe está diretamente aplicado e a cargas-momento em seus apoios 
iguais aos momentos fletores atuantes nestes pontos na viga dada inicialmente, de imediata 
determinação. Recai-se, então, no problema de obtenção do diagrama de momentos fletores em 
vigotas do gênero BC, que, por superposição de efeitos, é imediatamente obtido conforme mostra 
a figura a seguir: 
 
A linha reta pontihada representa o diagrama de momentos fletores devido somente a MB e MC. 
Marcando-se, na vertical, a partir desta reta a parábola do 2º grau que é o diagrama devido apenas 
à carga distribuída, teremos então o diagrama final no trecho. 
O diagrama de momentos fletores na viga AD será, então, o da figura abaixo. Notar que existe, no 
caso, concordância em B e em C entre a parte retilínea e a parte parabólica, o que já era de se 
esperar, pois não existem cargas concentradas aplicadas nestes pontos. 
 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 18 
 104 
 
 
A obtenção do diagrama de esforços cortantes não apresenta maiores problemas, sendo imediata 
a partir do conhecimento das reações de apoio. 
Extrapolando as conclusões deste exemplo, pode-se afirmar que, para traçar o diagrama de 
momentos fletores numa viga submetida a um carregamento qualquer, basta marcar os 
momentos fletores nos pontos onde muda a lei de variação do carregamento, ligá-los por 
segmentos de retas e, a partir da linha assim obtida, pendurar, perpendicularmente ao eixo da 
viga, os diagramas de viga biapoiada para cada uma das cargas distribuídas atuantes, em seus 
respectivos trechos. 
Seja a viga engastada e livre AB da figura abaixo: 
 
No engaste, aparecerão uma reação vertical e uma reação-momento, que equilibrarão o 
carregamento atuante. 
O diagrama de momentos fletores obtém-se da mesma forma que no exemplo anterior, marcando-
se os momentos fletores nas seções em que muda a lei de variação de carregamento (no caso, A, 
C, B, D), ligando-os por segmentos de reta, e, a partir da linha assim obtida, penduram-se os 
diagramas de viga biapoiada para cada uma das cargas distribuídas atuantes (no caso, no trecho 
CD). 
O diagrama de esforços cortantes obtém-se imediatamente a partir do carregamento e reações de 
apoio atuantes. 
Seja a viga biapoiada com balanços da figura a seguir: 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 19 
 104 
 
 
A obtenção dos diagramas solicitantes nos balanços AB e CD se faz conforme o exemplo anterior, 
pois podemos obter os esforços no trecho AB entrando com as forças da esquerda e no trecho CD 
entrando com as forças da direita, e eles se comportam, então, como se fossem vigas engastadas e 
livres AB e CD. 
Passemos, então, à análise do trecho BC: rompendo a viga em Besq e Cdir e aplicando os esforços 
simples atuantes nestas seções, nada terá se alterado sob o ponto de vista estático. Teremos, 
então, uma viga biapoiada BC, submetida ao carregamento que lhe está diretamente aplicado, a 
cargas-momento MB em B e MC em C, iguais aos momentos fletores atuantes nestas seções 
devidos aos balanços, e a cargas verticais (P1 + P2) em B e (P4 + P5) em C, iguais às resultantes das 
cargas atuantes em cada balanço e que, estando diretamente aplicadas sobre os apoios, serão 
imediatamente absorvidas por eles, não influenciando no cálculo dos esforços simples em BC. 
Recaímos, então, para o trecho BC no estudo de uma viga biapoiada. 
Pode-se afirmar que, para traçar o diagrama de momentos fletores numa viga biapoiada com 
balanços, tratam-se os balanços como vigas engastadas e livres, ligam-se os momentos atuantes 
nos apoios por uma linha reta e, a partir dela, penduram-se o diagrama de viga biapoiada devido às 
cargas atuantes no trecho entre os apoios. 
Como nos casos anteriores, a obtenção do diagrama de esforços cortantes é imediata, a partir do 
carregamento e das reações de apoio. 
7.2 – VIGAS GERBER 
Seja a estrutura representada na figura seguinte, estando o detalhe da seção C ampliado: 
 
Supondo carregado o trecho CD: este trecho não tem estabilidade própria, pois as cargas, para 
serem equilibradas, necessitarão de reações de apoio em C e em D. Este último ponto é um apoio 
do 1º gênero e pode absorver uma força vertical; caberia, então, ao ponto C absorver uma força 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
1
 
 
 
 
 
 
 20 
 104 
 
vertical e uma horizontal, o que ele não é capaz de fazer, mas é capaz, entretanto, de transmitir 
estas forças ao trecho ABC. 
Fica, então, a estabilidade do trecho CD condicionada à estabilidade do trecho ABC que, em se 
tratando de uma viga biapoiadacom balanço, é estável, o sendo então o conjunto ABCD. 
Se tivermos carregado o trecho ABC, a carga solicitará apenas este trecho, pois, em se tratando de 
um trecho com estabilidade própria, nele mesmo encontrará o carregamento suas reações 
equilibrantes. 
O ponto C é, então, um ponto de transmissão de forças, não transmitindo momento algum (pois 
não impede nenhuma rotação à estrutura) e é representado, pois, por uma rótula, ficando o 
esquema estático da estrutura representado conforme indica a figura a seguir. 
 
 
Para resolver a viga ABCD, resolve-se inicialmente o trecho CD (trecho sem estabilidade própria), 
transmitindo para o trecho ABC (trecho com estabilidade própria) as forças HC e VC necessárias ao 
equilíbrio do trecho CD. 
O trecho ABC será resolvido, a seguir, com as cargas que lhe estão diretamente aplicadas, 
acrescidas das forças VC e HC transmitidas pela rótula C. Recai-se, então, na resolução de uma viga 
biapoiada CD e de uma viga biapoiada com balanço ABC, problemas estes já resolvidos nos tópicos 
anteriores. 
Consta, então, uma viga Gerber, de uma associação de vigas com estabilidade própria com outras 
apoiadas sobre as primeiras, que dão a estabilidade ao conjunto. Para resolvê-la, basta fazer sua 
decomposição nas vigas que a constituem, resolvendo inicialmente aquelas sem estabilidade 
própria e, após, as dotadas de estabilidade própria, para as cargas que lhe estão diretamente 
aplicadas, acrescidas, para estas últimas, das forças transmitidas pelas rótulas. 
Em se tratando de vigas Gerber isostáticas, as vigas que as constituem serão vigas biapoiadas, vigas 
biapoiadas com balanços ou vigas engastadas e livres. 
7.3 – VIGAS INCLINADAS 
Seja a viga da figura abaixo submetida ao carregamento distribuído vertical indicado. 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
8
 
 
 
 
 
 
 21 
 104 
 
 
 
Sendo as reações de apoio as indicadas na figura, passemos ao estudo de seus diagramas 
solicitantes. O momento fletor atuante numa seção genérica S será dado por: 
 
Comparando esta expressão com a da viga horizontal com carga distribuída vista anteriormente, 
constata-se que, para fins de momentos fletores, a viga se comporta como se fosse uma viga 
horizontal (perpendicular ao carregamento) de vão “a” e o diagrama é o indicado na figura (notar 
que as ordenadas do diagrama são sempre marcadas perpendicularmente ao eixo da barra). 
Os demais esforços atuantes nesta seção são dados por: 
 
Seja, agora, a viga abaixo, submetida ao carregamento distribuído horizontal. 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
7
 
 
 
 
 
 
 22 
 104 
 
 
Obtêm-se as reações de apoio pelas equações de equilíbrio: 
 
O momento fletor atuante numa seção genérica será dado por: 
 
Comparando esta expressão também com a da viga horizontal com carga distribuída vista 
anteriormente, constata-se que, para fins de momentos fletores, a viga se comporta como se fosse 
uma viga vertical (perpendicular ao carregamento atuante), de vão b e o diagrama é o indicado na 
figura. Os demais esforços atuantes em S são dados por: 
 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
d
 
 
 
 
 
 
 23 
 104 
 
Seja, finalmente, a viga submetida ao carregamento distribuído perpendicular ao seu eixo. 
 
Conforme indica a figura acima, verifica-se que este caso é uma superposição dos dois casos 
anteriores e os diagramas solicitantes para ele serão, então, iguais à soma dos diagramas 
indicados. 
O diagrama de momentos fletores será uma parábola do 2º grau de valor máximo igual a (q.a2/8) + 
(q.b2/8) = q.AB2/8, comportando-se então a viga como perpendicular ao carregamento atuante, 
com vão AB. 
Dos exemplos apresentados de viga inclinada com carga vertical, horizontal e perpendicular ao seu 
eixo, pode-se concluir que uma viga biapoiada inclinada AB se comporta, para fins de diagrama de 
momentos fletores, como se fosse uma viga biapoiada de vão igual à projeção de seu comprimento 
sobre uma reta perpendicular ao carregamento atuante, sendo o diagrama de momentos fletores 
marcado, sempre, perpendicularmente ao eixo da viga. 
Os diagramas de esforços cortantes e esforços normais são obtidos imediatamente, em qualquer 
caso, a partir do carregamento e das reações de apoio. 
 
8 – PÓRTICOS 
Pórticos são estruturas lineares constituídas por barras retas ligadas entre si. Eles podem ser 
planos (bidimensionais) ou espaciais (tridimensionais). 
Nos pórticos, as ligações entre as barras são engastes ou rótulas internas. Isso faz com que sua 
estrutura trabalhe em conjuntos e não de forma individual como acontece em estruturas de 
colunas e vigas. 
Existem quatro tipos fundamentais de quadros isostáticos planos, denominados quadros simples, 
quando ocorrem isoladamente e que, associados entre si, da mesma forma com que associamos 
vigas simples para constituir as vigas Gerber, formam os quadros compostos. 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
7
 
 
 
 
 
 
 24 
 104 
 
 
8.1 – QUADRO BIAPOIADO 
Seja o quadro da figura abaixo. 
 
Para obterem-se as reações de apoio HA, VA e VD dispõe-se das três equações universais da Estática 
no plano, pois se trata de estrutura isostática. Conhecidas as reações de apoio, passa-se à 
obtenção dos diagramas solicitantes, fazendo-se recair em problema já conhecido (resolução de 
vigas biapoiadas), da maneira seguinte. 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
c
 
 
 
 
 
 
 25 
 104 
 
 
Rompendo a quadro em seus nós intermediários B e C, pode-se destacar umas das outras as barras 
que o constituem, desde que se aplique nesses nós, em cada uma das barras, os esforços simples 
neles atuantes, que manterão o equilíbrio de cada barra AB, BC e CD. 
Analisando cada uma dessas barras. Seja, por exemplo a barra BC, submetida ao carregamento em 
equilíbrio constituído por HB, VB, MB, P2, P3, HC, VC, MC. Como estas cargas estão em equilíbrio, 
pode-se encarar, por exemplo, HB, VB e VC como sendo as forças que equilibram as demais cargas 
atuantes e a barra BC pode, então, ser considerada como uma viga biapoiada, submetida ao 
carregamento que lhe está diretamente aplicado, acrescido de cargas-monento em suas 
extremidades iguais aos momentos fletores atuantes nestas seções e de uma carga horizontal no 
apoio do 1º gênero, igual ao esforço normal atuante nesta seção. A igual conclusão chegaríamos 
para as demais barras e o estudo do quadro recai, então, no estudo das três vigas biapoiadas AB, 
BC e CD. 
As conclusões tiradas para este caso podem ser extrapoladas para todos os demais e pode-se, 
então, afirmar que, para se traçar o diagrama dos momentos fletores atuantes num quadro, basta 
marcar os momentos fletores atuantes em seus nós ligá-los por uma linha reta tracejada, a partir 
da qual penduramos os diagramas de viga biapoiada devidos aos carregamentos atuantes sobre 
cada uma das barras que constituem o quadro. 
Os diagramas são marcados, como no caso das vigas, perpendicularmente ao eixo de cada barra. 
A obtenção dos diagramas de esforços cortantes e esforços normais é imediata, a partir do 
conhecimento das reações de apoio. 
Segue um exemplo: 
Obter os diagramas solicitantes para o quadro a seguir: 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (EngenhariaCivil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 26 
 104 
 
 
Substituindo o carregamento distribuído por sua resultante, indicada em pontilhado na figura, 
passa-se à obtenção das reações de apoio: 
 
Conhecidas as reações de apoio, pode-se traçar os diagramas solicitantes, começando pelo 
diagrama de momentos fletores. 
Os momentos fletores atuantes nos nós intermediários, valem: 
a) Nó D 
 
 
Na barra AD o momento traciona as fibras da esquerda e na barra CD o momento traciona as fibras 
superiores. 
Para a barra DE, podemos obter o momento fletor atuante em D a partir de sua definição, isto é, 
entrando com as forças atuantes num dos lados da seção (por exemplo, entrando com as forças 
atuantes à esquerda), obtém-se: 
 
tracionando as fibras superiores ou pode-se, o que é muito mais prático, no caso, obter seu valor a 
partir do equilíbrio do nó D, conforme se segue. 
Rompendo-se todas as barras que concorrem no nó D e aplicando os momentos fletores nelas 
atuantes, eles têm que estar em equilíbrio, pois a estrutura o está. Tem-se então, o esquema da 
figura, a partir do qual obtém-se: 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 27 
 104 
 
 
b) Nó E 
 
 
Nas barras EF e BE o momento traciona as fibras da direita. 
Para a barra DE, temos, a partir do equilíbrio do nó E, conforme indica a figura: 
 
Marcando os valores obtidos para os nós, tem-se definidas as linhas de fechamento, a partir das 
quais penduram-se os diagramas de viga biapoiada, obtendo-se então, o diagrama final. 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 28 
 104 
 
 
A obtenção dos diagramas de esforços cortantes e de esforços normais é imediata, a partir do 
carregamento e das reações de apoio: 
 
 
8.2 – QUADRO ENGASTADO E LIVRE 
Seja o quadro da figura abaixo. 
 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 29 
 104 
 
 
As reações de apoio HA, VA e MA são obtidas empregando-se as três equações universais da Estática 
no plano, e, a partir daí, chegamos, sem maiores problemas, a seus diagramas solicitantes. 
Obter os diagramas solicitantes para o quadro abaixo. 
 
As reações de apoio valem: 
 
Os diagramas solicitantes são os indicados a seguir: 
 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 30 
 104 
 
8.3 – QUADRO TRIARTICULADO 
Seja o quadro triarticulado (articulações em A, G e B) da figura abaixo. 
 
Para determinar suas 4 reações de apoio (HA, VA, HB e VB), dispõe-se das três equações universais 
da Estática no plano e, por haver uma rótula em G (o que indica que em G só há transmissão de 
forças, não havendo transmissão de momentos), há uma quarta equação indicando que o 
momento fletor em G deve ser nulo. 
Caso os dois apoios do 2º gênero e a rótula intermediária estejam alinhados, a estrutura será 
hipostática. Seja o quadro da figura abaixo, para que esteja satisfeita a condição do momento 
fletor nulo em G, as reações de apoio HA e VA em A e HB e VB em B devem ter suas resultantes RA e 
RB segundo a direção da reta AB, conforme esquematizado na figura. 
 
Ao calcular a soma das projeções de todas as forças na direção perpendicular à reta AB: ela valerá 
Σ Y = -P.cos α (e não zero, como deveria valer, caso houvesse o equilíbrio). Conclui-se então que, 
nestas circunstâncias, o equilíbrio é impossível e se está, por conseguinte, diante de uma estrutura 
hipostática. 
Pode-se afirmar que um quadro triarticulado é uma estrutura isostática, desde que suas 3 rótulas 
não estejam alinhadas. 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 31 
 104 
 
8.4 – QUADRO BIAPOIADO, COM ARTICULAÇÃO E TIRANTE (OU ESCORA) 
Seja o quadro da figura a seguir, biapoiado em A e B, com uma rótula em G e com uma barra CD 
descarregada, rotulada em suas extremidades. 
 
Se a barra CD é descarregada e rotulada nas extremidades, ela tem, em todas as suas seções, M = 
Q = 0, podendo estar submetida, apenas, a um esforço normal constante (no caso de ser de tração, 
a barra será denominada tirante e, no caso de ser de compressão, será dita uma escora). Nada se 
alterará sob o ponto de vista estático, se a barra CD for rompida, substituindo-a por um par de 
esforços normais N, de sentidos opostos e aplicados no quadro ACDB em cada uma das 
extremidades C e D da barra CD. 
Para resolver a estrutura precisa-se, por conseguinte, conhecer os valores das reações de apoio VA, 
HA e VB e do par de forças N, num total de quatro incógnitas. Sendo igual o número de equações de 
que dispomos (três equações universais da Estática e mais a equação de momento fletor nulo na 
rótula), trata-se de uma estrutura isostática. 
Dependendo da posição relativa dos vínculos, o quadro biapoiado, com articulação e tirante, pode 
se tornar hipostático, conforme é o caso da estrutura da figura abaixo, incapaz de absorver forças 
horizontais atuantes no trecho GB (pois acarretariam o aparecimento de momentos fletores na 
rótula, o que é impossível). 
 
 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 32 
 104 
 
9 – QUADROS COM BARRAS CURVAS 
Os tipos de quadros simples estudados nos tópicos anteriores podem aparecer com barras curvas 
em vez de barras retas, conforme o caso, por exemplo, da figura a seguir. 
 
Nenhuma alteração quanto à forma de tratamento sofrerá, o problema. 
Por exemplo, obter os diagramas solicitantes para o quadro abaixo. 
 
Por simetria, as reações verticais em A e B são iguais a P/2 e se tem, numa seção genérica S, 
definida pelo ângulo Ө, os seguintes esforços simples: 
 
Estas equações são válidas, apenas, para seções no trecho AC, pois em C surge uma carga 
concentrada que modificaria estas expressões para Ө > /2. Devido à simetria existente, não há 
necessidade de instituir as equações para o trecho CB, obtendo então os diagramas indicados na 
figura a seguir, todos eles marcados perpendicularmente ao eixo da barra (estes diagramas são 
traçados por pontos). 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 33 
 104 
 
 
Notar que para este exemplo, em que a estrutura é plana simétrica, com carregamento simétrico 
(pois HA = 0), os diagramas de momentos fletores e esforços normais são simétricos e o de esforços 
cortantes é antissimétrico (duas seções simétricas em relação ao eixo de simetria da estrutura têm 
cortantes de mesmo módulo, com sinais opostos). 
Esta é uma conclusão válida para qualquer estrutura plana simétrica com carregamento simétrico. 
 
10 – QUADROS COMPOSTOS 
Seja o quadro da figura abaixo. Análise do trecho DEFGH: trata-se de um triarticulado, sem 
estabilidade própria, pois as rótulas D e H são capazes apenas de transmitir forças às estruturas 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 34 
 104 
 
que as suportam. Sua estabilidade fica condicionada à capacidade ou não que tenham os quadros 
ACDB e JHIK de absorver estas forças. 
 
Sendo estes dois últimos quadros estruturas isostáticas (quadros biapoiados) dotados de 
estabilidade própria, eles são capazes de absorver as forças transmitidas pelas rótulas D e H, 
acrescidas das forças que atuam diretamente sobre eles, sendo o conjunto, então, uma estrutura 
isostática composta por dois quadros biapoiados, dotados de estabilidade própria, que suportam 
um triarticulado, dando a ele, pois, estabilidade. A este conjunto, formado pela associação de 
quadros simples, deomina-se quadro composto. 
Verifica-se que o quadro composto está para o quadro simples da mesma forma que a viga Gerber 
está para as vigas simples. 
A resolução de um quadro composto consiste na resolução inicial dos quadros sem estabilidade 
própria (no caso, o triarticulado DEFGH) para as cargas que atuam sobre eles e, a seguir, os 
quadros dotados de estabilidade própria (e que, por isto, dão a estabilidade ao conjunto) para as 
cargas que atuam diretamente sobre eles, acrescidas das forças transmitidas pelas rótulas. 
Para o caso da figura anterior, há que se resolver os 3 quadros simples indicados na figura abaixo, 
para os carregamentos indicados. 
 
 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 35 
 104 
 
Para resolver um quadro composto deve-se decompô-lo nos quadros simples que o constituem, 
resolvendo, inicialmente, aqueles sem estabilidade própria, e, após, os dotados de estabilidade 
própria, para o carregamento diretamente atuante sobre eles, acrescido, para estes últimos, das 
forças transmitidas pelas rótulas. 
O problema recai na resolução de quadros simples. A única novidade é a decomposição do quadro 
composto nos quadros simples que o constituem. 
10.1 – EXEMPLOS DE DECOMPOSIÇÃO 
 
Os quadros dotados de estabilidade própria são: o quadro engastado e livre AB e o quadro 
triarticulado EFGH. A partir dai, tem-se a decomposição indicada na figura a seguir. Os números 
indicam a ordem de resolução e as setas em pontilhado a transmissão de carga. 
 
 
 
 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 36 
 104 
 
11 – CABOS 
Cabos são estruturas lineares, extremamente flexíveis, capazes de resistir a esforços de tração. Os 
esforços cortantes, de compressão, de flexão e de torção não são resistidos por um cabo ideal. 
No estudo estático, assume-se a hipótese que os cabos são perfeitamente flexíveis, isto é, 
possuem momento fletor e esforço cortante nulos ao longo do comprimento. Dessa forma, os 
cabos ficam submetidos apenas a esforços normais de tração. 
As formas assumidas pelo cabo dependem do carregamento que nele atua. Se o carregamento 
externo for muito maior do que o peso próprio do cabo, este último é desprezado no cálculo. A 
geometria da configuração deformada do cabo, para um dado carregamento, é denominada forma 
funicular do cabo. 
Exemplos de formas funiculares: 
 
A catenária possui uma geometria mais baixa que a parábola. Isto é consequência do peso próprio 
se concentrar mais nas regiões próximas das extremidades. 
 
A partir de estudos comparativos entre a forma da parábola e da catenária, para várias relações de 
flecha (f) e vão entre extremidades (L), constata-se que para relações (f/L) < 0,2 as formas da 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 37 
 104 
 
parábola e da catenária são praticamente coincidentes. Nestes casos, é mais prático usar a forma 
da parábola para determinação dos lugares geométricos dos pontos ao longo do cabo. 
 
12 – ARCOS 
Seja um cabo submetido a cargas concentradas cuja forma é um polígono. 
 
Ao rebater-se o cabo AB e mantendo sua forma funicular “congelada” de maneira que o cabo 
possua rigidez suficiente para resistir a esforços de compressão. 
 
A forma funicular “congelada” do cabo se transforma assim num arco poligonal funicular, onde 
todas seções transversais estão submetidas exclusivamente à esforços de compressão. O arco deve 
apresentar maior rigidez que os cabos, caso contrário o arco não permaneceria com a geometria 
projetada quando o carregamento fosse aplicado. 
Nos cabos, para cada tipo e intensidade de carregamento a forma funicular seria diferente de 
forma que todas seções transversais estivessem submetidas a momentos nulos. Além disso, o 
empuxo horizontal nos apoios sempre é com sentido a afastar as extremidades. 
Porém, o comportamento dos arcos difere do comportamento dos cabos em um aspecto básico: se 
o carregamento no cabo se modifica, o cabo muda de forma e assume uma nova geometria 
funicular. Por outro lado, se o carregamento no arco se altera, o arco mantém sua geometria, 
devido a sua maior rigidez ao compará-lo ao cabo, e não possui mais uma forma funicular para a 
nova condição de carregamento. 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 38 
 104 
 
Quando a geometria do arco não coincide com a linha de pressão para o carregamento, surgem 
esforços de flexão e cisalhamento no arco (Ms,Vs), além dos esforços de compressão (Ns). 
Os arcos com apoios rotulados permitem a rotação nas extremidades quando o carregamento 
atuar. 
Os arcos com vínculos engastados são mais rígidos que os de extremidade rotulada, apresentando 
menores deslocamentos quando sob a ação do carregamento. Por serem mais rígidos, adaptam-se 
menos às variações de carregamento ao longo da vida da estrutura, surgindo assim esforços 
solicitantes mais elevados que nos pórticos rotulados. 
Os arcos hiperestáticos por dependerem de uma condição adicional de compatibilidade das 
deformações, além das equações de equilíbrio, sofrem alterações significativas nos esforços 
quando há recalques de apoios ou variações de temperatura. Para eliminar estes efeitos, pode-se 
acrescentar uma rótula ao arco biarticulado. 
12.1 – ESTUDO DOS ARCOS TRIARTICULADOS 
O estudo dos arcos triarticulados para carregamento vertical pode ser feito recair inteiramente no 
estudo de uma viga biapoiada. 
O estudo dos arcos triarticulados para carregamentos atuantes em todas as direções não possui tal 
simplificação e se faz obedecendo aos princípios gerais de Estática. 
a) Estudo dos arcos triarticulados para carregamento vertical em função da viga de 
substituição 
Seja o triarticulado da figura a seguir, submetido ao carregamento vertical indicado, para o qual 
deseja-se determinar as reações de apoio e os esforços simples atuantes. 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 39 
 104 
 
 
Sendo A e B apoios do 2º gênero, existirão neles reações RA e RB que podem ser decompostos em 
duas direções quaisquer para fins de facilitar o seu cálculo (usualmente decompõe-se nas direções 
horizontal e vertical, mas, no caso, prefere-se a direção vertical e a direção AB, por razões práticas. 
Cálculo das componentes: 
Por ΣX = 0, tem-se que as reações em A e B na direção AB devem ser iguais. 
Por ΣMB = 0, obtém-se VA, igualando seu momento em relação a B à soma dos momentos em 
relação a B de todas as cargas verticais aplicadas no triarticulado. Verifica-seque esta é a mesma 
equação que fornece a reação vertical Va da viga biapoiada ab, de mesmo vão que o triarticulado e 
submetida ao mesmo carregamento, à qual denomina-se viga de substituição. Pode-se escrever 
que VA = Va, (reação vertical no triarticulado é igual à reação vertical na viga de substituição). 
Analogamente, empregando a equação ΣMA = 0 (ou, também, ΣY = 0), tem-se que VB = Vb. 
As reações H', na direção AB são obtidas da condição de momento fletor nulo na rótula G, que nos 
fornece, empregando as forças da esquerda, por exemplo: 
 
O termo 
 
pode ser imediatamente identificado como o momento fletor Mg que atua na viga de substituição 
ab na seção g, projeção da rótula G do triarticulado, e se tem que: 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 40 
 104 
 
 
O cálculo das reações de apoio do triarticulado AGB recaiu, no cálculo da viga de substituição ab e 
elas são fornecidas pelas expressões a seguir: 
 
Conhecidas as reações de apoio, passa-se ao cálculo dos esforços simples atuantes no triarticulado. 
Escolhendo uma seção genérica S, definida pela abscissa horizontal x, medida a partir do apoio da 
esquerda, e por uma abscissa vertical y, medida a partir da linha de fechamento AB, tem-se: 
 
Sendo os termos 
 
identificáveis como, respectivamente, o momento fletor M, e o esforço cortante Q, atuantes, na 
seção s da viga de substituição, o cálculo dos esforços simples atuantes numa seção S de um 
triarticulado AGE recai no cálculo de sua viga de substituição ab e eles são dados pelas expressões 
seguintes: 
 
As expressões instituídas permanecem todas válidas se ocorrerem também cargas verticais 
distribuídas. 
 
b) Definição e determinação da linha de pressões 
Suponha o seguinte problema: determinar qual a forma de um triarticulado AGB tal que, para um 
dado carregamento, todas as suas seções tenham momento fletor nulo, isto é, obter y para cada 
seção S, a fim de que nela tenhamos MS = 0, sendo dados l1, l2, f e α. 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 41 
 104 
 
Igualando a expressão: 
 
a zero, vem imediatamente: 
 
Lembrando-se que os índices minúsculos se referem à viga de substituição e os maiúsculos ao 
triarticulado. 
Cálculo dos demais esforços solicitantes para esta configuração do triarticulado. Derivando esta 
expressão em relação a x, tem-se: 
 
que se transforma, levando-se em conta que y = Y - y*, conforme indica a figura a seguir: 
 
 
Introduzindo este valor em: 
 
Obtém-se: 
 
isto é, se MS = 0, QS = 0. 
O único esforço atuante será o esforço normal NS, igual, levando-se em conta que QS = 0, à 
resultante de todas as forças atuantes de um dos lados da seção, sendo, portanto, igual à 
composição vetorial da soma das projeções verticais de todas as forças atuantes de um dos lados 
da seção com a soma das projeções horizontais das mesmas forças. 
Valendo estas somas, respectivamente: 
e 
Tem-se: 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 42 
 104 
 
 
A natureza do esforço normal é obtida, também, da figura a seguir, sendo, no caso, de 
compressão. 
 
Quando um triarticulado AGB, para um dado carregamento, está submetido apenas a esforços 
normais, diz-se que sua forma é a da linha de pressões deste carregamento. 
Para os triarticulados com a concavidade voltada para baixo (em que a rótula G está acima da reta 
AB) e o carregamento é de cima para baixo (caso usual), os esforços normais são sempre de 
compressão. 
Os esforços normais serão de tração, quando a estrutura se desenvolver para baixo da reta AB, 
com carregamento de cima para baixo. Este é o caso dos cabos. 
A linha de pressões é a forma ideal para um triarticulado, pois que corresponde à sua forma mais 
econômica de trabalho estrutural. 
A linha de pressões para carregamento uniforme é uma parábola do 2º grau. 
Muito embora os arcos triarticulados ocorram frequentemente na prática, mais utilizados ainda 
são os arcos biengastados (hiperestáticos), para os quais também constitui ponto de partida a 
determinação da linha de pressões do carregamento atuante. 
Nos arcos, para cada tipo e intensidade de carregamento existirá uma forma funicular para a qual 
os momentos serão nulos para todas as seções transversais. Esta forma funicular é chamada “linha 
de pressão” de um carregamento sempre que a geometria de um arco coincidir com a linha de 
pressão do carregamento aplicado sobre o arco os únicos esforços atuantes serão de compressão, 
com Ms=0 e Vs=0. Além disso, independente do arco estar submetido exclusivamente a esforços 
de compressão ou não, os empuxos horizontais nas extremidades do arco tem sentido de 
aproximação das extremidades equilibrando a tendência do arco deformar-se com o afastamento 
dos apoios. 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 43 
 104 
 
Formas funiculares para alguns tipos de carregamentos: 
 
 
 
13 – SISTEMAS GUINDASTE 
Tratam-se de estruturas formadas pela associação de barras através de pinos capazes de transmitir 
forças (horizontais e verticais) de uma para a outra. 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 44 
 104 
 
 
Para sua resolução, desmembra-se o sistema-guindaste nas diversas barras que o compõem e 
estuda-se o equilíbrio de cada uma delas, submetidas ao seu próprio carregamento e, 
evidentemente, as forças transmitidas pelos pinos, conforme ilustra o caso da figura a seguir. 
 
Desmembrando o sistema-guindaste nas três barras 1, 2 e 3 que o compõem, tem-se, para sua 
resolução, o esquema estático indicado na figura acima, em que HB, VB, HC, VC, HD e VD são as forças 
(incógnitas) transmitidas pelos pinos B, C, D e VA, HA e MA as três reações de apoio do conjunto, 
num total de nove incógnitas a determinar. 
Como a análise do equilíbrio de cada barra fornece três equações da Estática tem-se, para as três 
barras, um total de 9 equações, que determinarão as 9 incógnitas, resolvendo, então, a estrutura. 
Constatar-se, agora, que os sistemas-guindaste das demais figuras iniciais são isostáticos. 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 45 
 104 
 
Para o primeiro, há oito forças de transmissão (para seus quatro pinos) e quatro reações de apoio 
(para seus dois apoios do 2º gênero), num total de doze incógnitas que serão obtidas pelas doze 
equações de equilíbrio existentes (três equações da Estática para cada uma das quatro barras que 
compõem a estrutura); para o segundo, há seis incógnitas (um pino e dois apoios do 2º gênero), 
que serão obtidas a partir das seis equações de equilíbrio existentes (análise do equilíbrio de suas 
duas barras). 
 
14 – TRELIÇAS ISOSTÁTICAS 
As treliças são estruturas reticuladas, ou seja formadas por barras (em que uma direção é 
predominante) de eixo reto, ligadas por rótulas ou articulações (nós). 
Quando submetidas a cargas aplicadas nos nós apenas, as barras estão submetidas somente a 
esforços axiais. 
Seja a estrutura da figura seguinte, submetida a carregamento apenas nos nós A, B e C. Como as 
barras 1, 2 e 3 quea constituem são barras retas e regidas, portanto, pelas equações diferenciais: 
 
levando-se em conta que q = 0 e que suas extremidades são rotuladas, elas não terão momentos 
fletores nem esforços cortantes, existindo apenas os esforços normais. 
 
As grandezas a determinar para sua resolução são as reações de apoio HA, VA, VB e os esforços 
normais atuantes nas barras 1, 2 e 3, que podem ser obtidos, no caso, pela análise sucessiva do 
equilíbrio dos nós C, B e A, o equilíbrio de cada um deles fornecendo duas equações, num número 
total de seis, sendo o problema, então, isostático (igual número de equações e de incógnitas a 
determinar). 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 46 
 104 
 
Desprezando-se as pequenas deformações elásticas das barras 1, 2 e 3, devidas aos esforços 
normais nelas atuantes, pode-se dizer que o sistema estrutural da figura acima constitui uma 
cadeia rígida (isto é, indeformável), pois, sendo o trecho AB indeformável (por se tratar, 
isoladamente, de uma viga biapoiada), se lhe acrescentamos as duas barras 1 e 2 concorrentes em 
C, este último ponto C fica também indeslocável, por estar preso a dois pontos indeslocáveis A e B 
e, com isto, todo o conjunto ABC é indeformável. 
Seja, agora, o sistema reticulado da figura a seguir, submetido ao carregamento nodal indicado. 
 
As grandezas a determinar para sua resolução são os esforços normais nas suas quatro barras 
componentes e as três reações de apoio, num número total de sete. O número de equações de 
equilíbrio (correspondendo ao equilíbrio de cada um dos nós) sendo igual ao dobro do número de 
nós, é igual a oito, no caso, e, portanto, superior ao número de incógnitas, o que caracteriza a 
hipostaticidade da estrutura. 
Por outro lado, verifica-se que o reticulado dado constitui uma cadeia deformável, pois os pontos C 
e D não estão ligados, cada um deles, a dois pontos indeslocáveis do reticulado (no caso, apenas A 
e B). A forma de deformação da cadeia está indicada na mesma figura e prosseguirá até a queda da 
estrutura. 
As conclusões deste último caso podem ser extrapoladas e pode-se, então, afirmar que todo 
sistema reticulado deformável é instável (hipostático). 
Como corolário, pode-se afirmar que todo sistema reticulado indeformável é estável (podendo ser 
isostático ou hiperestático). 
Denomina-se treliça ideal ao sistema reticulado cujas barras têm todas as extremidades rotuladas 
e cujas cargas são aplicadas apenas em seus nós. 
Os casos das treliças isostáticas com cargas fora dos nós, por não atenderem às condições da 
definição anterior, não podem ser classificadas como treliças ideais. 
Conclui-se, por generalização dos dois exemplos já abordados, que qualquer sistema reticulado 
constituído por um polígono fechado rotulado em seus vértices é deformável (e, portanto, 
hipostático), excetuando-se o caso do triângulo. 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 47 
 104 
 
As treliças surgiram como um sistema estrutural mais econômico que as vigas para vencer vãos 
maiores ou suportar cargas mais pesadas. A palavra economia engloba comparação entre 
materiais, mão de obra, equipamentos de execução, etc., usados nos dois casos, podendo assumir, 
por esta razão, facetas diversas de região para região e de época para época. 
Pode parecer, a princípio, restritiva a condição de definição de treliça ideal do carregamento atuar 
somente nos nós; no entanto, é o que ocorre comumente na prática, pois as cargas chegam às 
treliças através de outras peças estruturais, que nelas se apóiam nos nós (para que só provoquem 
esforços normais), conforme ilustram os exemplos das figuras seguintes. 
 
 
A primeira representa uma ponte ferroviária com duas treliças extremas, que recebem, nos nós, as 
cargas através das vigas transversais T (por isto chamadas transversinas), que a elas chegaram 
através das vigas longitudinais L, sobre as quais caminha o trem. 
A segunda representa uma cobertura constituída por diversas treliças paralelas, que recebem, nos 
nós, a carga das telhas, vindas através das terças T. 
Em todos os casos reais existirão, entretanto, pequenas flexões nas barras, devidas a seu peso 
próprio. Estas flexões devidas a peso próprio costumam ter, nos casos usuais, diminuta influência 
no dimensionamento das peças, prevalecendo como dimensionantes seus esforços normais. 
Conforme verificamos, uma treliça biapoiada, constituída por três barras formando um triângulo, é 
isostática. Se, a partir desta configuração básica, formamos novas treliças, acrescentando à 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 48 
 104 
 
existente duas a duas novas barras, concorrentes cada duas delas num novo nó, a nova treliça será 
também isostática, pois a cada duas novas incógnitas (esforços normais nas duas novas barras) 
correspondem duas novas equações de equilíbrio (equilíbrio do novo nó). A figura seguinte ilustra 
esta lei de formação de treliças isostáticas. 
 
Neste exemplo, partindo da treliça biapoiada ABC, chega-se ao nó D pelas barras 4 e 5, ao nó E 
pelas barras 5 e 7, ao nó F pelas barras 8 e 9 e, finalmente, ao nó G pelas barras 10 e 11. 
Os apoios não precisam estar no triângulo a partir do qual iniciou-se a lei de formação, pois, onde 
quer que estejam, fornecem as mesmas três incógnitas. Falando sob o ponto de vista de cadeia 
rígida, uma treliça que tem esta lei de formação das barras é internamente rígida e, tendo apoios 
externos que impeçam todos os movimentos possíveis (para o caso de treliça plana, duas 
translações e uma rotação), será também externamente rígida, sendo, pois, rígida em conjunto. 
Diz-se que estas treliças são internamente isostáticas, por terem a lei de formação que definida 
acima e que são, também, externamente isostáticas, por terem apoios no número estritamente 
necessário para impedir todos os movimentos no plano, sendo o conjunto, pois, isostático. 
Outro tipo de treliça isostática é a treliça triarticulada da figura a seguir, para a qual há seis 
incógnitas (quatro reações de apoio e esforços normais em duas barras) e seis equações de 
equilíbrio (equilíbrio dos nós A, B, C). Partindo desta nova configuração básica, pode-se também 
formar treliças isostáticas, da mesma forma com que as formamos a partir da configuração da 
figura inicial deste capítulo. 
 
Denominam-se treliças simples às treliça isostáticas, obtidas a partir das configurações 
fundamentais da figura inicial deste capítulo e da figura acima, pela adição de duas a duas barras, 
partindo de nós já existentes para novos nós (um novo nó para cada duas novas barras). 
As treliças, por terem esforços normais de tração e de compressão, são geralmente de madeira ou 
de aço, por serem materiais que suportam bem esses dois tipos de esforços. Ocorrem também, 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 49 
 104 
 
embora com menos frequência, treliças de concreto, pois o concreto não trabalha bem à tração, 
além de ser necessário executá-las de uma só vez (ao passo que as demais podem ser montadas 
peça a peça). 
Ao contrário do caso dos quadros - que ocorrem, em sua grande maioria, hiperestáticos, - a grande 
maioria das treliças da prática é isostática. 
As treliças isostáticas possuem dois grandes métodos de resolução: um, analítico, que é o método 
de Ritter e, outro, gráfico, que é o método deCremona. 
As treliças comportam ainda um processo espontâneo de resolução, que consiste no estudo, um a 
um, do equilíbrio de seus nós, iniciado e prosseguido pelos nós que só possuam duas incógnitas a 
determinar, até abranger todos os nós da treliça. No caso de treliças com geometria bem simples, 
este processo pode se tornar até aconselhável. 
14.1 – CLASSIFICAÇÃO DAS TRELIÇAS 
a) Quanto à estaticidade 
Quanto à estaticidade, uma treliça (assim como qualquer outra estrutura) pode ser hipostática, 
isostática ou hiperestática. 
As incógnitas do problema são em número de (r + b), sendo r o número de reações de apoio a 
determinar e b o número de barras (e, portanto, o número de esforços normais a determinar) e as 
equações de equilíbrio em número igual a 2.n, sendo n o número total de nós, incluindo os nós de 
apoio da estrutura (pois cada nó resulta em duas equações da Estática, correspondentes ao 
equilíbrio de um ponto material). 
Três casos podem ocorrer: 
1º) r + b < 2.n, ou seja, o número de incógnitas é inferior ao de equações; pode-se afirmar que a 
treliça é hipostática; 
2º) r + b = 2.n, o que sugere tratar-se de uma treliça isostática. Esta simples igualdade não nos 
permite, entretanto, afirmar que a treliça seja isostática, pois podemos ter a associação, 
internamente, de trechos hiperestáticos com trechos hipostáticos, conduzindo a uma 
isostaticidade interna aparente, bem como pode ocorrer a associação de hiperestaticidade interna 
com hipostaticidade externa (ou vice-versa), conduzindo também a uma isostaticidade aparente 
para o conjunto. O diagnóstico final só poderá ser dado após a análise dos apoios externos e da lei 
de formação interna da treliça em questão; 
3º) r + b > 2.n, o que sugere tratar-se de uma treliça hiperestática (maior número de incógnitas 
que de equações). Não se pode, entretanto, afirmar que a treliça seja hiperestática, pois a 
associação de um trecho hiperestático com outro hipostático (sendo o grau hiperestático de um 
trecho superior ao grau hipostático do outro) pode conduzir a uma hiperestaticidade aparente 
para o conjunto. Analogamente ao caso anterior, o diagnóstico final só poderá ser dado após a 
análise de cada caso. Se a treliça for, de fato, hiperestática, seu grau hiperestático será igual a (r + 
b - 2n). 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 50 
 104 
 
Em resumo, pode-se afirmar que: 
a) r + b < 2n é condição necessária e suficiente para que uma treliça seja hipostática; 
b) r + b = 2n e r + b > 2n são condições apenas necessárias (mas não suficientes) para que uma 
treliça seja isostática ou hiperestática, respectivamente. A palavra final será dada após o exame 
específico de cada caso. 
b) Quanto à lei de formação 
Quanto à sua lei de formação, as treliças são classificadas em simples, compostas e complexas. 
c) Métodos de obtenção de esforços 
Os métodos de obtenção de esforços em treliças são: 
- Equilíbrio dos Nós; 
- Cremona (Maxwell); 
- Ritter. 
d) Sentido dos Esforços 
 
Fonte: Engel (1981) apud Valle [et al.] (2013) 
Treliça com diagonais comprimidas: 
 
Treliças com diagonais tracionadas: 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 51 
 104 
 
 
Fonte: Salvadori (1975) apud Valle [et al.] (2013) 
 
15 – GRELHAS 
Grelha é uma estrutura reticulada plana submetida a carregamentos perpendiculares ao seu plano. 
Na construção civil, este tipo de sistema estrutural é composto por um sistema de vigas, 
perpendiculares ou não entre si, que se interceptam, estando interligadas nos pontos de 
interseção. 
A vantagem deste sistema de vigas interligadas está no funcionamento conjunto de todos 
elementos resistentes para qualquer posição de carregamento. 
A interligação rígida nos pontos de interseção entre as vigas, introduz um giro na seção transversal, 
conforme pode ser observado da ilustração seguinte. Quando uma das vigas sofre flexão, a viga 
interligada sofre um efeito de torção. Logo, as barras de uma grelha estão submetidas a esforços 
cortantes (V), momentos fletores (M) e momentos torsores (T). 
 
 
16 – ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS LINEARES 
As estruturas hiperestáticas podem ser analisadas através de dois métodos clássicos da Análise 
Estrutural: Método das Forças e Método dos Deslocamentos, ou ainda por um método aproximado 
conhecido como Processo de Cross. 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 52 
 104 
 
16.1 – GRAU DE HIPERESTATICIDADE 
O grau de hipertestaticidade de uma estrutura pode ser externo ou interno. 
O grau de hiperestaticidade externo (ge) é dado por: 
ge = r - e - nr 
Onde: 
 - r é o número de reações; 
 - e é o número de equações da estática; e 
 - nr é o número de equações provenientes de rótulas. 
Este último é expresso por: 
nr = b - 1 
Onde: 
 - b = número de barras ligas à rótula. 
O grau de hiperestaticidade interno (gi) é igual ao número de esforços internos necessários ao 
traçado de diagramas, conhecidas as reações. 
Estruturas externamente hiperestáticas: 
 
Estruturas internamente hiperestáticas: 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 53 
 104 
 
 
Estruturas externa e internamente hiperestáticas: 
 
16.2 – MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS 
a) Método das Forças (ou dos Esforços ou da Flexibilidade) 
 Incógnitas: forças 
 Equações: compatibilidade de deslocamentos 
 Processo: liberam-se os vínculos excedentes ou hiperestáticos 
 Sistema de equações (matricialmente): matriz de flexibilidade da estrutura 
Os deslocamentos podem ser obtidos por: Método de Integração direta; Método de Mohr; 
Teorema de Castigliano; Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV); e Tabelas. 
Por exemplo, traçar os diagramas de esforços do pórtico plano mostrado na figura a seguir: 
Marcus Campiteli
Aula 18
FAB - EAOEAR (Engenharia Civil) - Conhecimentos Específicos 2021 (Pós-Edital)
www.estrategiaconcursos.com.br
160498810874133629 - Guilherme José Barbosa Gomes
 
 
 
 
 
 
 54 
 104 
 
 
Para determinar os diagramas de esforços do pórtico plano ilustrado é necessário primeiramente 
determinar as suas reações. Como o pórtico é hiperestático, utilizar-se-á o Método das Forças para 
a determinação das reações redundantes. 
Para a aplicação do Método das Forças, supõem-se que o material segue a lei de Hooke e que as 
condições são tais que os pequenos deslocamentos devidos à deformação da estrutura não afetam 
a ação das forças exteriores e são desprezíveis no cálculo das tensões. Com estas duas restrições, 
os deslocamentos de um sistema elástico são funções lineares das cargas exteriores. Se as cargas 
crescem numa certa proporção, todos os deslocamentos crescem na mesma proporção. 
Para resolver o pórtico pelo Método das Forças, substitui-se o vínculo redundante por sua 
respectiva força reativa, tornando a estrutura isostática como o mostrado na figura a seguir. 
 
O deslocamento horizontal do ponto no qual está sendo aplicada a força X1 é nulo (δ1= 0). Como o 
material é elástico e a estrutura está submetida a pequenas deformações, pode ser usada a 
superposição dos efeitos devidos aos carregamentos. Portanto o deslocamento horizontal no 
ponto 1 (onde está sendo aplicado o hiperestático) provocado pelo carregamento externo mais o 
deslocamento horizontal no ponto 1 provocado pelo hiperestático X1 deve ser nulo para que