Proporções com números

Prévia do material em texto

Proporções com números 
Quatro  números  racionais  A,  B,  C  e  D  diferentes  de  zero,  nessa  ordem,  formam  uma 
proporção quando: 
A 
B 
= 
C 
D 
1.  Os números A, B, C e D são denominados termos 
2.  Os números A e B são os dois primeiros termos 
3.  Os números C e D são os dois últimos termos 
4.  Os números A e C são os antecedentes 
5.  Os números B e D são os consequentes 
6.  A e D são os extremos 
7.  B e C são os meios 
8.  A  divisão  entre  A  e  B  e  a  divisão  entre  C  e  D,  é  uma  constante  K,  denominada 
constante de proporcionalidade K dessa razão. 
Propriedades das proporções 
Para a proporção 
A 
B 
= 
C 
D 
valem as seguintes propriedades: 
1.  O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é: 
A ∙ D = B ∙ C 
2.  A  soma  (diferença)  dos  dois  primeiros  termos  está  para  o  primeiro  termo,  assim 
como a soma (diferença) dos dois últimos está para o terceiro termo, isto é: 
A+B 
A 
= 
C+D 
C 
e 
A­B 
A 
= 
C­D 
C 
3.  A  soma  (diferença)  dos  dois  primeiros  termos  está  para  o  segundo  termo,  assim 
como a soma (diferença) dos dois últimos está para o quarto termo, isto é: 
A+B 
B 
= 
C+D 
D 
e 
A­B 
B 
= 
C­D 
D
4.  A  soma  (diferença)  dos  antecedentes  está  para  a  soma  (diferença)  dos 
consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente, isto é: 
A+C 
B+D 
= 
A 
B 
= 
A­C 
B­D 
e 
A+C 
B+D 
= 
A­C 
B­D 
= 
C 
D 
Grandezas Diretamente Proporcionais 
Duas  grandezas  são  diretamente  proporcionais  quando,  aumentando  uma  delas,  a  outra 
também aumenta na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra também diminui 
na mesma proporção. 
Se duas grandezas X e Y são diretamente proporcionais, os números que expressam essas 
grandezas variam na mesma razão, isto é, existe uma constante K tal que: 
X 
Y 
= K 
Exemplos: 
1.  Uma torneira foi aberta para encher uma caixa com água azul. A cada 15 minutos é 
medida a altura do nível de água. (cm=centímetros e min=minutos) 
15 minutos 
50 cm 
30 minutos 
100 cm 
45 minutos 
150 cm 
2.  Construímos uma tabela para mostrar a evolução da ocorrência: 
Tempo (min)  Altura (cm) 
15  50 
30  100 
45  150 
3.  Observamos  que  quando  duplica  o  intervalo  de  tempo,  a  altura  do  nível  da  água 
também duplica e quando o intervalo de tempo é triplicado, a altura do nível da água 
também é triplicada. 
4.  Observações: Usando razões, podemos descrever essa situação de outro modo. 
5.  (a)  Quando  o  intervalo  de  tempo  passa  de  15  min  para  30  min,  dizemos  que  o 
tempo varia na razão 15/30, enquanto que a altura da água varia de 50 cm para 100
cm, ou seja, a altura varia na razão 50/100. Observamos que estas duas razões são 
iguais: 
15
30 
= 
50 
100 
= 
1 
2 
6.  (b) Quando o intervalo de tempo varia de 15 min para 45 min, a altura varia de 50 
cm para  150  cm. Nesse  caso,  o  tempo varia  na  razão  15/45  e  a  altura  na  razão 
50/150. Então, notamos que essas razões são iguais: 
15
45 
= 
50 
150 
= 
1 
3 
7.  Concluímos que a razão entre o valor numérico do tempo que a torneira fica aberta 
e  o  valor  numérico  da  altura  atingida  pela  água  é  sempre  igual,  assim  dizemos 
então  que  a  altura  do  nível  da  água  é  diretamente  proporcional  ao  tempo  que  a 
torneira ficou aberta. 
8.  Em média, um automóvel percorre 80 Km em 1 hora, 160 Km em 2 horas e 240 Km 
em 3 horas. (Km=quilômetro, h=hora). Construímos uma tabela da situação: 
Distância (Km)  Tempo (h) 
80  1 
160  2 
240  3 
9.  Notamos  que  quando  duplica  o  intervalo  de  tempo,  duplica  também  a  distância 
percorrida  e  quando  o  intervalo  de  tempo  é  triplicado,  a  distância  também  é 
triplicada,  ou  seja,  quando  o  intervalo  de  tempo  aumenta,  a  distância  percorrida 
também aumenta na mesma proporção. 
10. Observações: Usando  razões e proporções, podemos descrever essa  situação de 
outro modo. 
11.  (a) Quando o  intervalo de  tempo aumenta de 1 h para 2 h, a distância percorrida 
varia de 80 Km para 160 Km, ou seja, o  tempo varia na razão de 1/2 enquanto a 
distância percorrida varia na razão 80/160. Assim temos que tais razões são iguais, 
isto é: 
1 
2 
= 
80 
160 
= 
1 
3 
12.  (b) Quando o intervalo de tempo varia de 2 h para 3 h, a distância percorrida varia 
de  160 Km para  240 Km. Nesse  caso,  o  tempo varia  na  razão  2/3  e  a  distância 
percorrida na razão 160/240 e observamos que essas razões são iguais, isto é: 
2 
3 
= 
160 
240 
= 
1 
3
13. Concluímos que o tempo gasto e a distância percorrida, variam sempre na mesma 
razão e isto significa que a distância percorrida é diretamente proporcional ao tempo 
gasto para percorrê­la, se a velocidade média do automóvel se mantiver constante. 
Grandezas Inversamente Proporcionais 
Duas grandezas são  inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra 
diminui  na  mesma  proporção,  ou,  diminuindo  uma  delas,  a  outra  aumenta  na  mesma 
proporção.  Se  duas  grandezas  X  e  Y  são  inversamente  proporcionais,  os  números  que 
expressam essas grandezas variam na razão inversa, isto é, existe uma constante K tal que: 
X ∙ Y = K 
Exemplos: 
1.  A  professora  de  um  colégio,  tem  24  livros  para  distribuir  entre  os  seus melhores 
alunos, dando a mesma quantidade de livros para cada aluno. 
2.  o melhor aluno receberá 24 livros 
3.  cada um dos 2 melhores alunos receberá 12 livros 
4.  cada um dos 3 melhores alunos receberá 8 livros 
5.  cada um dos 4 melhores alunos receberá 6 livros 
6.  cada um dos 6 melhores alunos receberá 4 livros 
Alunos escolhidos  Livros para cada aluno 
1  24 
2  12 
3  8 
4  6 
6  4 
7.  De acordo com a tabela, a quantidade de alunos escolhidos e a quantidade de livros 
que cada aluno  receberá,  são grandezas que variam sendo que uma depende da 
outra e se relacionam da seguinte forma: 
1.  Se o número de alunos dobra, o número de livros que cada um vai receber 
cai para a metade. 
2.  Se  o  número  de  alunos  triplica,  o  número  de  livros  que  cada  aluno  vai 
receber cai para a terça parte. 
3.  Se o número de alunos quadruplica, o número de livros que cada aluno vai 
receber cai para a quarta parte. 
4.  Se o número de alunos sextuplica, o número de  livros que cada aluno vai 
receber cai para a sexta parte. 
Sob estas condições, as duas grandezas envolvidas (número de alunos escolhidos 
e número de livros distribuídos) são grandezas inversamente proporcionais.
Quando a quantidade de alunos varia na razão de 2 para 4, a quantidade de livros 
distribuídos varia de 12 para 6. 
Notemos que essas razões não são iguais, mas são inversas: 
2 
4 
= 
1 
12/6 
= 
1 
2 
e 
12 
6 
= 
1
2/4 
=2 
Se  a  quantidade  de  alunos  varia  na  razão  de  2  para  6,  a  quantidade  de  livros 
distribuídos varia de 12 para 4. Observemos que essas razões não são iguais, mas 
são inversas: 
2 
6 
= 
1 
12/4 
e 
12 
4 
= 
1
2/6 
Representamos tais grandezas inversamente proporcionais com a função f(x)=24/x, 
apresentada no gráfico 
8.  Um automóvel  se  desloca  de  uma  cidade  até  uma  outra  localizada  a  120 Km da 
primeira. Se o percurso é realizado em: 
9.  1 hora, velocidade média de 120 Km/h 
10.  2 horas, velocidade média de 60 Km/h 
11.  3 horas, velocidade média de 40 Km/h 
A unidade é Km/h=quilômetro por hora e uma tabela da situação é: 
Velocidade (Km/h)  Tempo (h) 
120  1 
60  2 
40  3
De  acordo  com  a  tabela,  o  automóvel  faz  o  percurso  em  1  hora  com  velocidade 
média  de  120 Km/h. Quando  diminui  a velocidadeà metade,  ou  seja  60 Km/h,  o 
tempo gasto para realizar o mesmo percurso dobra e quando diminui a velocidade 
para a terça parte, 40 Km/h o tempo gasto para realizar o mesmo percurso triplica. 
Para percorrer uma mesma distância fixa, as grandezas velocidade e tempo gasto, 
são inversamente proporcionais. 
Elementos históricos sobre a Regra de três 
Embora os gregos e os romanos conhecessem as proporções, não chegaram a aplicá­las 
na resolução de problemas. Na Idade Média, os árabes revelaram ao mundo a "Regra de 
Três". No século XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios dessa regra em seu 
Liber Abaci (o livro do ábaco), com o nome de Regra dos três números conhecidos. 
Regra de três simples direta 
Uma  regra  de  três  simples  direta  é  uma  forma  de  relacionar  grandezas  diretamente 
proporcionais. 
Para  resolver  problemas,  tomaremos  duas  grandezas  diretamente  proporcionais  X  e  Y  e 
outras duas grandezas W e Z também diretamente proporcionais, de  forma que tenham a 
mesma constante de proporcionalidade K. 
X 
Y 
= K  e 
W 
Z 
= K 
assim 
X 
Y 
= 
W 
Z 
Exemplo: Na extremidade de uma mola (teórica!) colocada verticalmente, foi pendurado um 
corpo com a massa de 10Kg e verificamos que ocorreu um deslocamento no comprimento 
da mola  de  54cm.  Se  colocarmos  um  corpo  com  15Kg  de massa  na  extremidade  dessa 
mola,  qual  será  o  deslocamento  no  comprimento  da  mola?  (Kg=quilograma  e 
cm=centímetro). 
Representaremos pela letra X a medida procurada. De acordo com os dados do problema, 
temos: 
Massa do corpo (Kg)  Deslocamento da mola (cm) 
10  54 
15  X
As  grandezas  envolvidas:  massa  e  deslocamento,  são  diretamente  proporcionais. 
Conhecidos três dos valores no problema, podemos obter o quarto valor X, e, pelos dados 
da tabela, podemos montar a proporção: 
10
15 
= 
54 
X 
Observamos  que  os  números  10  e  15  aparecem  na  mesma  ordem  que  apareceram  na 
tabela e os números 54 e X também aparecem na mesma ordem direta que apareceram na 
tabela anterior e desse modo 10∙X=15∙54, logo 10X=810, assim X=81 e o deslocamento da 
mola será de 81cm. 
Regra de três simples inversa 
Uma  regra  de  três  simples  inversa  é  uma  forma  de  relacionar  grandezas  inversamente 
proporcionais para obter uma proporção. 
Na resolução de problemas, consideremos duas grandezas inversamente proporcionais A e 
B e outras duas grandezas também inversamente proporcionais C e D de forma que tenham 
a mesma constante de proporcionalidade K. 
A ∙ B = K  e  C ∙ D = K 
segue que 
A ∙ B = C ∙ D 
logo 
A 
C 
= 
D 
B 
Exemplo:  Ao  participar  de  um  treino  de Fórmula  1, um  corredor  imprimindo  a velocidade 
média de 180 Km/h fez um certo percurso em 20s. Se a sua velocidade média fosse de 200 
Km/h,  qual  seria  o  tempo  gasto  no  mesmo  percurso?  (Km/h=quilômetro  por  hora, 
s=segundo). Representaremos o tempo procurado pela letra T. De acordo com os dados do 
problema, temos: 
Velocidade (Km/h)  Tempo (s) 
180  20 
200  T 
Relacionamos grandezas  inversamente proporcionais: velocidade e  tempo em um mesmo 
espaço percorrido. Conhecidos três valores, podemos obter um quarto valor T.
180 
200 
= 
T 
20 
Os números 180 e 200 aparecem na mesma ordem que apareceram na  tabela, enquanto 
que os números 20 e T aparecem na ordem inversa da ordem que apareceram na  tabela 
acima. 
Assim  180.20=200.X,  donde  segue  que  200X=3600  e  assim  X=3600/200=18.  Se  a 
velocidade do corredor for de 200 Km/h ele gastará 18s para realizar o mesmo percurso. 
Regra de três composta 
Regra  de  três  composta  é  um  processo  de  relacionamento  de  grandezas  diretamente 
proporcionais, inversamente proporcionais ou uma mistura dessas situações. 
O método funcional para resolver um problema dessa ordem é montar uma tabela com duas 
linhas,  sendo  que  a  primeira  linha  indica  as  grandezas  relativas  à  primeira  situação 
enquanto que a segunda linha indica os valores conhecidos da segunda situação. 
Se  A1,  B1,  C1,  D1,  E1,  ...  são  os  valores  associados  às  grandezas  para  uma  primeira 
situação  e  A2,  B2,  C2,  D2,  E2,  ...  são  os  valores  associados  às  grandezas  para  uma 
segunda  situação,  montamos  a  tabela  abaixo  lembrando  que  estamos  interessados  em 
obter  o  valor  numérico  para  uma  das  grandezas,  digamos  Z2  se  conhecemos  o 
correspondente valor numérico Z1 e todas as medidas das outras grandezas. 
Situação  Grandeza 1 
Grandeza 
2 
Grandeza 
3 
Grandeza 
4 
Grandeza 
5  Grand... 
Grandeza 
? 
Situação 
1  A1  B1  C1  D1  E1  …  Z1 
Situação 
2  A2  B2  C2  D2  E2  …  Z2 
Quando  todas  as  grandezas  são  diretamente  proporcionais  à  grandeza  Z,  resolvemos  a 
proporção: 
Z1 
Z2 
= 
A1 ∙ B1 ∙ C1 ∙ D1 ∙ E1 ∙ F1 … 
A2 ∙ B2 ∙ C2 ∙ D2 ∙ E2 ∙ F2 … 
Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, exceto a segunda 
grandeza  (com  a  letra  B,  por  exemplo)  que  é  inversamente  proporcional  à  grandeza  Z, 
resolvemos a proporção com B1 trocada de posição com B2: 
Z1 
Z2 
= 
A1 ∙ B2 ∙ C1 ∙ D1 ∙ E1 ∙ F1 … 
A2 ∙ B1 ∙ C2 ∙ D2 ∙ E2 ∙ F2 …
As grandezas que forem diretamente proporcionais à grandeza Z são indicadas na mesma 
ordem (direta) que aparecem na tabela enquanto que as grandezas que forem inversamente 
proporcionais  à  grandeza  Z  aparecerão  na  ordem  inversa  daquela  que  apareceram  na 
tabela. 
Por exemplo, se temos cinco grandezas envolvidas: A, B, C, D e Z, sendo a primeira A e a 
terceira C  diretamente  proporcionais  à  grandeza Z  e  as  outras  duas B  e D  inversamente 
proporcionais à grandeza Z, deveremos resolver a proporção: 
Z1 
Z2 
= 
A1 ∙ B2 ∙ C1 ∙ D2 
A2 ∙ B1 ∙ C2 ∙ D1 
Observação: O problema difícil é analisar de um ponto de vista lógico quais grandezas são 
diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Como é muito difícil realizar esta 
análise  de  um  ponto  de  vista  geral,  apresentaremos  alguns  exemplos  para  entender  o 
funcionamento da situação. 
Exemplos: 
1.  Funcionando durante 6 dias, 5 máquinas produziram 400 peças de uma mercadoria. 
Quantas peças dessa mesma mercadoria serão produzidas por 7 máquinas  iguais 
às primeiras, se essas máquinas funcionarem durante 9 dias? 
Vamos representar o número de peças pela  letra X. De acordo com os dados do 
problema, vamos organizar a tabela: 
No. de máquinas (A)  No. de dias (B)  No. de peças (C) 
5  6  400 
7  9  X 
A grandeza Número de peças (C) servirá de referência para as outras grandezas. 
Analisaremos se as grandezas Número de máquinas (A) e Número de dias (B) são 
diretamente  proporcionais  ou  inversamente  proporcionais  à  grandeza  C  que 
representa  o  Número  de  peças.  Tal  análise  deve  ser  feita  de  uma  forma 
independente para cada par de grandezas. 
Vamos  considerar  as  grandezas  Número  de  peças  e  Número  de  máquinas. 
Devemos  fazer  uso  de  lógica  para  constatar  que  se  tivermos  mais  máquinas 
operando  produziremos  mais  peças  e  se  tivermos  menos  máquinas  operando 
produziremos  menos  peças.  Assim  temos  que  estas  duas  grandezas  são 
diretamente proporcionais. 
Vamos  agora  considerar  as  grandezas  Número  de  peças  e  Número  de  dias. 
Novamente devemos usar a lógica para constatar que se tivermos maior número de 
dias  produziremos maior  número  de  peças  e  se  tivermos menor  número  de  dias 
produziremos  menor  número  de  peças.  Assim  temos  que  estas  duas  grandezas 
também são diretamente proporcionais. 
Concluímos  que  todas  as  grandezas  envolvidas  são  diretamente  proporcionais, 
logo, basta resolver a proporção:
400
x 
= 
5×6 
7×9 
que pode ser posta na forma400
x 
= 
30
63 
Resolvendo  a  proporção,  obtemos  X=840,  assim,  se  as  7 máquinas  funcionarem 
durante 9 dias serão produzidas 840 peças. 
2.  Um motociclista,  rodando  4h  por  dia,  percorre  em média  200 Km em 2  dias.  Em 
quantos dias esse motociclista irá percorrer 500 Km, se rodar 5 h por dia? (h=hora, 
Km=quilômetro). 
Vamos  representar  o  número  de  dias  procurado  pela  letra  X.  De  acordo  com  os 
dados do problema, vamos organizar a tabela: 
Quilômetros (A)  Horas por dia (B)  No. de dias (C) 
200  4  2 
500  5  X 
A  grandeza  Número  de  dias  (C)  é  a  que  servirá  como  referência  para  as  outras 
grandezas. Analisaremos se as grandezas Quilômetros (A) e Horas por dia (B) são 
diretamente  proporcionais  ou  inversamente  proporcionais  à  grandeza  C  que 
representa o Número de dias. Tal análise deve ser feita de uma forma independente 
para cada par de grandezas. 
Consideremos  as  grandezas  Número  de  dias  e  Quilômetros.  Usaremos  a  lógica 
para  constatar  que  se  rodarmos  maior  número  de  dias,  percorreremos  maior 
quilometragem  e  se  rodarmos  menor  número  de  dias  percorreremos  menor 
quilometragem.  Assim  temos  que  estas  duas  grandezas  são  diretamente 
proporcionais. 
Na outra análise, vamos agora considerar as grandezas Número de dias e Horas 
por dia. Verificar que para realizar o mesmo percurso, se tivermos maior número de 
dias utilizaremos menor número de horas por dia e se  tivermos menor número de 
dias necessitaremos maior número de horas para p mesmo percurso. Logo, estas 
duas grandezas são inversamente proporcionais e desse modo: 
2 
X 
= 
200×5 
500×4 
que pode ser posta como
2 
X 
= 
1000 
2000 
Resolvendo esta proporção, obtemos X=4, significando que para percorrer 500 Km, 
rodando 5 h por dia, o motociclista levará 4 dias. 
Porcentagem 
Praticamente  todos  os  dias,  observamos  nos  meios  de  comunicação,  expressões 
matemáticas relacionadas com porcentagem. O termo por cento é proveniente do Latim per 
centum e quer  dizer por cem. Toda  razão da  forma a/b na qual o denominador b=100, é 
chamada taxa de porcentagem ou simplesmente porcentagem ou ainda percentagem. 
Historicamente, a expressão por cento aparece nas principais obras de aritmética de autores 
italianos do século XV. O símbolo % surgiu como uma abreviatura da palavra cento utilizada 
nas operações mercantis. 
Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos 10% e isto significa que em cada 100 
unidades de algo, tomaremos 10 unidades. 10% de 80 pode ser obtido como o produto de 
10% por 80, isto é: 
Produto = 10%.80 = 10/100.80 = 800 / 100 = 8 
Em geral, para indicar um índice de M por cento, escrevemos M% e para calcular M% de um 
número N, realizamos o produto: 
Produto = M%.N = M.N / 100 
Exemplos: 
1.  Um  fichário  tem  25  fichas  numeradas,  sendo  que  52%  dessas  fichas  estão 
etiquetadas com um número par. Quantas fichas  têm a etiqueta com número par? 
uantas fichas têm a etiqueta com número ímpar? 
Par = 52% de 25 = 52%.25 = 52.25 / 100 = 13 
Nesse  fichário há 13  fichas etiquetadas com número par e 12  fichas com número 
ímpar. 
2.  Num torneio de basquete, uma determinada seleção disputou 4 partidas na primeira 
fase  e  venceu  3. Qual  a  porcentagem  de  vitórias  obtida  por  essa  seleção  nessa 
fase? 
Vamos indicar por X% o número que representa essa porcentagem. Esse problema 
pode ser expresso da seguinte forma: 
X% de 4 = 3 
Assim:
(X/100).4 = 3 
4X/100 = 3 
4X = 300 
X = 75 
Na primeira fase a porcentagem de vitórias foi de 75%. 
3.  Numa indústria há 255 empregadas. Esse número corresponde a 42,5% do total de 
empregados  da  indústria.  Quantas  pessoas  trabalham  nesse  local?  Quantos 
homens trabalham nessa indústria? 
Vamos indicar por X o número total de empregados dessa indústria. Esse problema 
pode ser representado por: 
42,5% de X = 255 
Assim: 
42,5%.X = 255 
42,5 / 100.X = 255 
42,5.X / 100 = 255 
42,5.X = 25500 
425.X = 255000 
X = 255000/425 = 600 
Nessa indústria trabalham 600 pessoas, sendo que há 345 homens. 
4.  Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preço marcado na 
etiqueta.  Se  paguei  R$  690,00  pela  mercadoria,  qual  o  preço  original  dessa 
mercadoria? 
Seja X o preço original da mercadoria. Se obtive 8% de desconto sobre o preço da 
etiqueta,  o  preço  que  paguei  representa  100%­8%=92%  do  preço  original  e  isto 
significa que 
92% de X = 690 
logo 
92%.X = 690
92/100.X = 690 
92.X / 100 = 690 
92.X = 69000 
X = 69000 / 92 = 750 
O preço original da mercadoria era de R$ 750,00. 
Juros Simples 
Juro é toda compensação em dinheiro que se paga ou se recebe pela quantia em dinheiro 
que se empresta ou que é emprestada em função de uma taxa e do tempo. Quando falamos 
em juros, devemos considerar: 
1.  O dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado é chamado de capital. 
2.  A  taxa  de  porcentagem  que  se  paga  ou  se  recebe  pelo  aluguel  do  dinheiro  é 
denominada taxa de juros. 
3.  O tempo deve sempre ser indicado na mesma unidade a que está submetida a taxa, 
e  em  caso  contrário,  deve­se  realizar  a  conversão  para  que  tanto  a  taxa  como  a 
unidade de tempo estejam compatíveis, isto é, estejam na mesma unidade. 
4.  O  total pago no  final do empréstimo, que corresponde ao capital mais os  juros, é 
denominado montante. 
Para calcular os  juros simples  j de um capital C, durante  t períodos com a  taxa de  i% ao 
período, basta usar a fórmula: 
j = 
C ∙ i ∙ t 
100 
Exemplos: 
1.  O preço à vista de um aparelho é de R$ 450,00. A loja oferece este aparelho para 
pagamento em 5 prestações mensais e  iguais porém, o preço passa a  ser de R$ 
652,00.  Sabendo­se  que  a  diferença  entre  o  preço  à  prazo  e  o  preço  à  vista  é 
devida aos  juros cobrados pela  loja nesse período, qual é a  taxa mensal de  juros 
cobrada por essa loja? 
A diferença entre os preços dados pela loja é: 
652,00 ­ 450,00 = 202,50 
A quantia mensal que deve ser paga de juros é: 
202,50 / 5 = 40,50 
Se  X%  é  a  taxa  mensal  de  juros,  então  esse  problema  pode  ser  resolvido  da 
seguinte forma:
X% de 450,00 = 40,50 
X/100.450,00 = 40,50 
450 X / 100 = 40,50 
450 X = 4050 
X = 4050 / 450 
X = 9 
A taxa de juros é de 9% ao mês. 
2.  Uma  aplicação  feita  durante  2  meses  a  uma  taxa  de  3%  ao  mês,  rendeu  R$ 
1.920,00 de juro. Qual foi o capital aplicado? 
O capital que a aplicaçao rendeu mensalmente de  juros  foi de: 1920,00/2=960,00. 
Se o capital aplicado é indicado por C, esse problema pode ser expresso por: 
3% de C = 960,00 
3/100 C = 960,00 
3 C / 100 = 960,00 
3 C = 96000 
C = 96000/3 = 32000,00 
O capital aplicado foi de R$ 32.000,00.