Exame UNIPOSRIO - Física 2013-1

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EXAME UNIFICADO DAS PÓS-GRADUAÇÕES EM FÍSICA DO RIO DE JANEIRO
Primeiro Semestre de 2013 - 09 de novembro de 2012
AS 4 QUESTÕES DA PARTE A SÃO OBRIGATÓRIAS.
ESCOLHA 2, E APENAS 2, QUESTÕES DA PARTE B.
A PROVA TEM DURAÇÃO MÁXIMA DE 4 HORAS. BOA PROVA.
PARTE A:
Problema 1: A Fig. 1 mostra um ciclo termodinâmico de um gás ideal que consiste em cinco
processos: AB é isotérmico a 300 K, BC é adiabático com trabalho W = 5,0 J, CD é um processo a
pressão constante de 5 atm, DE é isotérmico, e EA é adiabático com uma mudança no energia interna
de 8,0 J.
Calcule a variação da energia interna do gás ao longo do processo CD.
Figura 1: Questão 1.
Problema 2: Uma onda eletromagnética plana monocromática, de comprimento de onda no vácuo
λ0 e propagando-se ao longo da direção z, incide perpendicularmente sobre uma lâmina de material
birrefringente de espessura d. Esse material possui dois índices de refração diferentes, nx e ny, para a
luz linearmente polarizada na direção x e na direção y, respectivamente.
(a) Suponha que a onda incidente tenha amplitude E0 e seja linearmente polarizada, com a direção de
polarização fazendo um ângulo θ = +pi/4 rad com a direção x. Escreva a expressão para o campo
elétrico da onda incidente.
(b) Suponha, agora, que d(ny−nx) = λ0/4. Se a onda incidente for a onda do item anterior, determine
o estado de polarização da mesma após atravessar a lâmina. Uma tal lâmina é chamada de placa
de um quarto de onda e é um importante dispositivo ótico.
1
Problema 3: Uma carga q está uniformemente distribuída sobre um anel circular de raio r e espessura
desprezível. Suponha que o eixo de simetria do anel coincida com o eixo z.
(a) Determine o campo elétrico gerado pelo anel a uma distância z do centro.
(b) Mostre que quando z >> r o campo pode ser aproximado por:
~E(z) ≈ q
4piε0
1
z2
(
1− 3
2
r2
z2
)
kˆ ;
onde kˆ é um vetor unitário na direção z.
(c) Interprete o primeiro termo da série (a saber, q/4piε0z
2).
Problema 4: Um disco uniforme de massa M e raio r rola sem deslizar, começando do repouso na
altura H + r como na figura 2 pelo plano inclinado, e após atingir a horizontal, realiza um �loop� de
raio R = 2r, se possível. Dado: Icm =
1
2
Mr2
H+ r 
R 
Loop

Figura 2: Questão 4.
(a) Calcule a energia cinética total KH no trecho horizontal e KL no �loop�, como função da velocidade
do centro de massa vCM .
(b) Calcule a velocidade do centro de massa do disco no ponto mais alto do �loop�, em função de H,
R e g.
(c) Calcule a velocidade mínima que o disco precisa ter no ponto mais alto do �loop� para que não
descole do mesmo.
(d) Conclua o problema calculando a altura mínimaHmin para que o disco faça o �loop� com segurança.
2
PARTE B: Lembre-se de escolher 2, e apenas 2, problemas desta
parte.
Problema 5: No seu estado fundamental, o tamanho do átomo de hidrogênio pode ser dado pelo raio
da camada n = 1, isto é, a0 = 4pi~2ε0/(µe2) ' 0.5Å (µ é a massa reduzida do átomo de hidrogênio e e é
a carga do elétron). Mostre que essa dimensão atômica básica pode ser obtida diretamente do príncipio
de incerteza.
Problema 6: Considere o operador Qˆ ≡ i d
dφ
, no qual φ é a coordenada polar usual em duas dimensões.
(a) Mostre que Qˆ é hermitiano.
(b) Encontre suas autofunções e seus autovalores.
[Suponha que a autofunção f obedece a propriedade f(φ+ 2pi) = f(φ)]
Problema 7: Uma partícula é representada pela função de onda normalizada abaixo:
Ψ(x) =
{ √
15
16a5
(a2 − x2) se −a < x < a;
0 se x ≥ a ou x ≤ −a.
(1)
(a) Determine a incerteza na posição desta partícula.
(b) Determine a incerteza no momento desta partícula.
(c) Os resultados obtidos nos itens (a) e (b) são compatíveis com o princípio da incerteza? Justifique.
Problema 8: Um elétron está no seguinte estado de spin:
χ = A
(
1− 2i
2
)
,
onde o estado acima foi escrito na base dos auto-estados de Sz.
(a) Determine a constante de normalização A.
(b) Se Sz for medido neste elétron quais valores poderão ser obtidos com quais probabilidades? Qual
é o valor esperado de Sz?
(c) Se Sx for medido neste elétron quais valores poderão ser obtidos com quais probabilidades?
σx =
(
0 1
1 0
)
, σy =
(
0 −i
i 0
)
, σz =
(
1 0
0 −1
)
3
EXAME UNIFICADO DAS PÓS-GRADUAÇÕES EM FÍSICA DO RIO DE JANEIRO
First Semester de 2013 - November 9
th
, 2012
YOU MUST SOLVE ALL 4 PROBLEMS FROM PART A.
CHOOSE 2, AND ONLY 2, PROBLEMS FROM PART B.
YOU CAN USE UP TO 4 HOURS TO SOLVE THE EXAM. HAVE A GOOD EXAM.
PART A:
Problem 1: Fig. 1 shows an ideal gas cycle consisting of five paths: AB is isothermal at 300 K, BC
is adiabatic with work W = 5.0 J, CD is performed at a constant pressure of 5 atm, DE is isothermal,
and EA is adiabatic with a change in internal energy of 8.0 J. What is the change in internal energy of
this ideal gas along path CD?
Figure 1: Problem 1.
Problem 2: A plane monochromatic electromagnetic wave of wavelength λ0 in vacuum, propagating
along the z direction, impinges perpendicularly on a plate of birefringent material of thickness d. The
material possesses two different indices of refraction, nx and ny, for linearly polarized light in the x and
y directions, respectively.
(a) Suppose that the incident wave has amplitude E0 and is linearly polarized at an angle of
θ = +pi/4 rad with the x direction. Write the expression for its electric-field vector.
(b) Suppose now that d(ny − nx) = λ0/4. If the incident wave is the wave of the previous item,
determine its polarization state when emerging from the plate. Such a plate is called a quarter-
wave plate and is an important optical element.
1
Problem 3: A charge q is uniformly distributed over a circular ring of radius r and negligible thickness.
Assume its symmetry axis coincides with the z axis.
(a) Determine the electric field generated by this ring at a distance z from the center.
(b) Show that when z >> r the field can be approximated by:
~E(z) ≈ q
4piε0
1
z2
(
1− 3
2
r2
z2
)
kˆ ;
where kˆ is a unit vector in the z direction.
(c) Interpret the first term of the series (to wit, q/4piε0z
2).
Problem 4: An uniform disc of massM and radius r rolls without sliding, starting at rest from H+ r
as shown in the figure 2, and goes around the loop, of radius R = 2r, if possible. Its moment of inertia
is Icm =
1
2
Mr2.
H+ r 
R 
Loop

Figure 2: Problem 4.
(a) Calculate the total kinetic energy KH at the horizontal plane and KL at the loop as a function of
the velocity of the center of mass vcm.
(b) Calculate the velocity of the center of mass of the disc at the highest point of the loop as a function
of H, R and g.
(c) Calculate the minimum velocity of the disc necessary to go around the loop without losing contact.
(d) Conclude the problem by obtaining the minimum initial height Hmin so that the disc can safely
do the loop.
2
PART B: Remember to choose 2, and only 2 problems from this
part.
Problem 5: In its ground state the size of the hydrogen atom can be given by the radius of the n = 1
shell, i.e. a0 = 4pi~2ε0/(µe2) ' 0.5Å (µ is the reduced mass of the hydrogen atom and e the charge of the
electron). Show that this basic atomic scale can be obtained directly from the uncertainty principle.
Problem 6: Consider the operator Qˆ ≡ i d
dφ
, where φ is the usual polar coordinate in two dimensions.
(a) Show that Qˆ is hermitian.
(b) Find its eigenfunctions and eigenvalues.
[Assume that the eigenfunction f obey the property f(φ+ 2pi) = f(φ)]
Problem 7: A particle is represented by the following normalized wave function
Ψ(x) =
{ √
15
16a5
(a2 − x2) se −a < x < a;
0 se x ≥ a ou x ≤ −a.
(a) Determine the uncertainty in the position of this particle.
(b) Determine the uncertainty in themomentum of this particle.
(c) Are the results obtained in items (a) and (b) compatible with the uncertainty principle? Justify.
Problem 8: One electron is at the following spin state:
χ = A
(
1− 2i
2
)
,
where the state above was written in a basis of the eigenvalues of Sz.
(a) Determine the normalization constant A.
(b) If Sz is measured for this electron, which values can be obtained and with which probabilities?
What is the expected value of Sz?
(c) If Sx is measured for this electron, which values can be obtained and with which probabilities?
σx =
(
0 1
1 0
)
, σy =
(
0 −i
i 0
)
, σz =
(
1 0
0 −1
)
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