Exame UNIPOSRIO - Física 2015-1

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EXAME UNIFICADO DAS PO´S-GRADUAC¸O˜ES EM FI´SICA DO RIO DE JANEIRO
EDITAL 2015-1
Primeiro Semestre de 2015 - 24 de outubro de 2014
AS 6 QUESTO˜ES SA˜O OBRIGATO´RIAS.
A PROVA TEM DURAC¸A˜O MA´XIMA DE 4 HORAS. BOA PROVA.
Problema 1: A estac¸a˜o espacial internacional e´ um sate´lite artificial que comporta astronautas e se
localiza a uma distaˆncia entre 330 e 430 km da superf´ıcie da Terra. (Dados: considere pi = 3, raio da
Terra R⊕ = 6× 103 km e acelerac¸a˜o gravitacional na superf´ıcie da Terra g = 10 m/s2).
a) Se a estac¸a˜o estiver em o´rbita estaciona´ria (mesma velocidade angular que a Terra), calcule a ace-
lerac¸a˜o centr´ıpeta em unidades de km/h2 associada ao movimento da estac¸a˜o numa o´rbita a 400 km
de altitude.
b) Calcule a acelerac¸a˜o gravitacional (devido ao campo gravitacional Terrestre) da estac¸a˜o espacial em
uma o´rbita a 360 km de altitude.
c) Suponha que um dos mo´dulos acoplados a` estac¸a˜o espacial possa funcionar como uma espac¸onave.
Desejando escapar do campo terrestre, a espac¸onave ejeta-se em uma trajeto´ria radial. Determine
qual deve ser a velocidade da espac¸onave, em metros por segundo, ao atingir 1200 km de altitude
para que ela consiga escapar da regia˜o de influeˆncia do campo gravitacional da Terra.
Problema 2: Considere um recipiente isolado contendo uma parede interna que o separa em dois
volumes iguais, conforme a figura abaixo. No lado esquerdo, ha´ n moles de um ga´s ideal a` temperatura
T0 enquanto o lado direito encontra-se em va´cuo. Adote como R a constante universal dos gases.
Vacuo
Figura 1: Recipiente isolado contendo uma parede diviso´ria que separa em uma metade um ga´s ideal e na outra
metade va´cuo.
a) Suponha que a parede diviso´ria seja subitamente removida, de modo que o ga´s sofra uma expansa˜o
livre. Determine o trabalho realizado pelo ga´s e sua variac¸a˜o de entropia nesse processo.
1
b) Considere a energia livre de Helmholtz, definida por F = U − TS, sendo U a energia interna, T
a temperatura e S a entropia. Determine a variac¸a˜o ∆F da energia livre para a expansa˜o livre do
ga´s e mostre que o decre´scimo de F e´ igual ao trabalho que o sistema executaria em uma expansa˜o
revers´ıvel equivalente.
Problema 3:
a) Mostre que o campo magne´tico produzido por um fio retil´ıneo (de espessura desprez´ıvel) infinito
carregando uma corrente I e´ dado por
~B =
µ0I
2pis
φˆ
onde s e´ a distaˆncia perpendicular ao fio e φˆ e´ o vetor unita´rio ao longo da direc¸a˜o azimutal em torno
do fio.
b) Considere 3 fios ideˆnticos ao do item a) paralelos entre si. A distaˆncia entre dois fios consecutivos e´ d
e eles esta˜o no mesmo plano. Cada fio carrega uma corrente I na direc¸a˜o +yˆ (veja a Fig.2). Calcule
as localizac¸o˜es no eixo x dos dois zeros do campo magne´tico.
c) Se o fio do meio e´ deslocado rigidamente de uma pequena distaˆncia z (z � d) fora do plano defi-
nido pelos fios, enquanto os outros dois sa˜o mantidos fixos, descreva qualitativamente o movimento
subsequente do fio do meio.
Figura 2: Treˆs fios paralelos com corrente I ao longo direc¸a˜o do eixo y.
Problema 4: Uma onda eletromagne´tica plana monocroma´tica, de comprimento de onda no va´cuo
λ0 e propagando-se ao longo da direc¸a˜o z, incide perpendicularmente sobre uma laˆmina de espessura d,
feita de um material opticamente ativo. Tal material possui dois ı´ndices de refrac¸a˜o diferentes, n+ e n−,
para a luz circularmente polarizada a` esquerda e a` direita, respectivamente. Isso faz com que o plano
de polarizac¸a˜o de uma onda incidente, linearmente polarizada, gire continuamente, enquanto tal onda
atravessa o meio.
a) Se a onda incidente tiver uma polarizac¸a˜o linear arbitra´ria, ela pode ser descrita, na representac¸a˜o
complexa, pelo vetor campo ele´trico
E(+)(r, t) = (Exxˆ+ Eyyˆ) e
i(k0z−ω0t).
2
Escreva a expressa˜o para o vetor campo ele´trico dessa mesma onda, quando a mesma for representada
como uma superposic¸a˜o de uma onda circularmente polarizada a` esquerda e uma onda circularmente
polarizada a` direita.
b) Suponha que (n+ − n−)d = λ0/3. Mostre que, se a onda incidente for linearmente polarizada, ela
tera´ seu plano de polarizac¸a˜o girado de θ = pi/3, no sentido hora´rio, apo´s atravessar a laˆmina.
c) Suponha, agora, que a onda incidente do item b) tenha amplitude E0 e que seu plano de polarizac¸a˜o
fac¸a um aˆngulo θ = pi/3 com a direc¸a˜o x. Escreva as expresso˜es para o vetor campo ele´trico da onda,
imediatamente antes da mesma incidir sobre a laˆmina e imediatamente apo´s a mesma atravessar a
laˆmina.
Problema 5: Considere o problema unidimensional de uma part´ıcula de massa m sujeita a um
potencial V (x) = −αδ(x), onde α e´ uma constante positiva e δ(x) e´ a func¸a˜o delta de Dirac. Seja E a
energia da part´ıcula, tal que E < 0 (estado ligado).
a) A partir da equac¸a˜o de Schro¨dinger e impondo continuidade de func¸a˜o de onda, encontre a autofunc¸a˜o
de onda normalizada com energia E (por comodidade, defina k ≡ √−2mE/~).
b) Mostre que este potencial admite uma u´nica soluc¸a˜o de estado ligado, encontrando o autovalor de
energia deste estado.
Problema 6: Seja um oscilador harmoˆnico quaˆntico unidimensional, cuja Hamiltoniana esta´ dada por
H =
P2
2m
+
1
2
mω2 X2 .
Definem-se os operadores a e a† como
a =
1√
2
(
Xˆ + iPˆ
)
, a† =
1√
2
(
Xˆ− iPˆ
)
com
Xˆ =
√
mω
~
X e Pˆ =
1√
mω~
P .
a) Mostre que [a, a†] = 1 e escreva a Hamiltoniana em termos de a e a†.
b) Sendo |ϕE〉 um autoestado da Hamiltoniana com autovalor de energia E, ou seja H|ϕE〉 = E|ϕE〉,
mostre que o estado a|ϕE〉 tambe´m e´ autoestado da Hamiltoniana, com autovalor E − ~ω.
c) Seja |0〉 o estado fundamental. Sabendo que todos os autovalores de energia sa˜o positivos, encontre
o autovalor de energia, E0, e a autofunc¸a˜o na base X, ϕ0(x) ≡ 〈x|0〉, do estado fundamental. (Dica:
Fac¸a uso da aplicac¸a˜o do operador a ao estado fundamental.)
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EXAME UNIFICADO DAS PO´S-GRADUAC¸O˜ES EM FI´SICA DO RIO DE JANEIRO
EDITAL 2015-1
First Semester 2015 - October 24th, 2014
YOU MUST SOLVE ALL 6 PROBLEMS.
YOU CAN USE UP TO 4 HOURS TO SOLVE THE EXAM. HAVE A GOOD EXAM.
Problem 1: The international spatial station (ISS) is a habitable artificial satellite that hover the
planet at a distance between 330 and 430 km from Earth’s surface. (Data: consider pi = 3, Earth’s
radius R⊕ = 6× 103 km and gravitational acceleration at Earth’s surface g = 10 m/s2).
a) Consider that the ISS goes in a stationary orbit (same angular velocity that of Earth), determine the
centripetal acceleration in units of km/h2 associated with the station orbit at an altitude of 400 km.
b) Calculate the gravitational acceleration (due to Earth’s gravitational field) of the spatial station in
an orbit at altitude of 360 km.
c) Assume that one of the ISS modules can operate as a spacecraft. Aiming to escape from Earth’s
field, the spacecraft eject itself in a radial trajectory. Determine the velocity, in meters per second,
the spacecraft has at an altitude of 1200 km to allow it to escape from the region of influence of
Earth’s gravitational field.
Problem 2: Consider an insulated chamber divided by an inner wall into two sides with identical
volumes, according to the figure below. In the left side, we confine n moles of an ideal gas at temperature
T . In the right side, we keep vacuum. Denote by R the gas universal constant.
Vacuum
Figure 1: Insulated chamber divided by an inner wall into two sides with identical volumes, containing an ideal
gas at left side and vacuum at right side.
a) Suppose the inner wall is suddenly removed, so that the gas undergoes a free expansion. Determine
the work performed by the gas and its entropy variation in this process.
1
b) Consider the Helmholtz free energy, defined by F = U − TS, being U the internal energy, T the
temperature, and S the
entropy. Determine the variation ∆F of free energy in the free expansion of
the gas and show that the decrease of F is equivalent to the work that the system would perform in
an equivalent reversible expansion.
Problem 3:
a) Show that the magnetic field produced by an infinite straight wire (with negligible thickness) carrying
a current I is given by
~B =
µ0I
2pis
φˆ
where s is the perpendicular distance to the wire and φˆ is the unitary vector at the azimuthal direc-
tion around the wire.
b) Consider three wires identical to that of item a), parallel to each other. The distance between two
consecutive wires is d and they are in the same plane. Each wire carries a current I in the same
direction (see Fig.2). Calculate the location in the x axis of the two zeros of the magnetic field.
c) If the middle wire is rigidly displaced by a small distance z (z � d) outwards of the plane defined
by the wires, while the other two wires are held fixed, describe qualitatively the subsequent motion
of the middle wire.
Figure 2: Three infinite wires carrying a current I in the +yˆ direction.
Problem 4: A plane monochromatic electromagnetic wave of wavelength λ0 in vacuum, propagating
along the z direction, impinges perpendicularly on a plate of an optically active material of thickness d.
Such material has two different indices of refraction, n+ and n−, for left and right circularly polarized
waves, respectively. As a result, an incident linearly polarized electromagnetic wave has its plane of
polarization continuously rotated as the wave propagates through the medium.
a) If the incident electromagnetic plane wave is linearly polarized, its electric field can be written, in
complex notation, as
E(+)(r, t) = (Exxˆ+ Eyyˆ) e
i(k0z−ω0t).
Write down the electric field of this electromagnetic wave as a superposition of left and right circularly
polarized waves.
2
b) Suppose that (n+−n−)d = λ0/3. Show that the plane of polarization of a linearly polarized incident
wave is rotated by an angle θ = pi/3 in the clockwise direction after the propagation through the
whole plate.
c) Consider now that the incident wave described in b) has an electric field amplitude E0 and is linearly
polarized such that its polarization plane makes an angle of θ = pi/3 with respect to the x direction.
Determine the electric field of this wave immediately before and immediately after the propagation
through the plate.
Problem 5: Consider the one-dimensional problem of a particle of mass m subjected to a potential
V (x) = −α δ(x), where α is a positive constant and δ(x) is the Dirac delta function. The particle has
energy E with E < 0 (bound state).
a) Using Schro¨dinger’s equation and imposing continuity of the wave function, find the normalized
eigenfunction with energy E (for simplicity, define k ≡ √−2mE/~).
b) Show that this potential admits only one bound state solution by obtaining the energy eigenvalue.
Problem 6: An one-dimensional quantum oscillator is described by the Hamiltonian
H =
P2
2m
+
1
2
mω2 X2 .
The operators a and a† are defined as
a =
1√
2
(
Xˆ + iPˆ
)
, a† =
1√
2
(
Xˆ− iPˆ
)
with
Xˆ =
√
mω
~
X and Pˆ =
1√
mω~
P .
a) Show that [a, a†] = 1 and express the Hamiltonian in terms of a and a†.
b) If |ϕE〉 is an eigenstate of the Hamiltonian with energy eigenvalue E, e.g. H|ϕE〉 = E|ϕE〉, show that
the state a|ϕE〉 is also an eigenstate of the Hamiltonian, with energy eigenvalue given by E − ~ω.
c) Let |0〉 be the ground state. Knowing that all energy eigenvalues are positive, find the energy
eigenvalue, E0, and the eigenfunction in the X basis, ϕ0(x) ≡ 〈x|0〉, of the ground state. (Hint:
Apply the operator a to the ground state.)
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