Exame UNIPOSRIO - Física 2013_2

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EXAME UNIFICADO DAS PO´S-GRADUAC¸O˜ES EM FI´SICA DO RIO DE JANEIRO
Segundo Semestre de 2013 - 23 de maio de 2013
AS 4 QUESTO˜ES DA PARTE A SA˜O OBRIGATO´RIAS.
ESCOLHA 2, E APENAS 2, QUESTO˜ES DA PARTE B.
A PROVA TEM DURAC¸A˜O MA´XIMA DE 4 HORAS. BOA PROVA.
PARTE A:
Problema 1: Na figura abaixo temos uma bola pequena, macic¸a e uniforme com massa m, raio R
e momento de ine´rcia (2/5)mR2. Esta bola e´ lanc¸ada do ponto P, rola suavemente em uma superf´ıcie
horizontal, sobe uma rampa e chega a um platoˆ. Em seguida, deixa o platoˆ horizontalmente para pousar
em outra superf´ıcie mais abaixo, a uma distaˆncia horizontal d da extremidade do platoˆ. Despreze a
resisteˆncia do ar. Com que velocidade a bola deve ser lanc¸ada do ponto P para pousar a uma distaˆncia
d?
Figura 1: Problema 1.
Problema 2: Uma corda, de comprimento ` e densidade linear ρ, esta´ presa pelas extremidades e
pode oscilar na frequeˆncia fundamental ω. Considere uma pequena porc¸a˜o da corda de tamanho d`
e sejam F1 e F2 as tenso˜es nas duas extremidades desta pequena porc¸a˜o, conforme mostra a Figura
2. Considere que para pequenas oscilac¸o˜es temos θ ≈ 0. Considere ainda que na˜o ha´ movimento na
direc¸a˜o x, ou seja, que a componente x da forc¸a resultante e´ nula. Usando as Leis de Newton, mostre
que F1 ≈ F2 = F e que, neste caso, a frequeˆncia fundamental de oscilac¸a˜o da corda sera´ dada por:
ω =
pi
`
√
F
ρ
.
1
Figura 2: Problema 2.
Problema 3: Um fio de raio R carrega uma corrente constante I uniformemente distribu´ıda por sua
sec¸a˜o reta. Um pequeno corte e´ realizado instantaneamente no fio. A largura L do corte e´ muito menor
do que o raio R tal que este corte pode ser considerado um capacitor de placas paralelas, com densidade
de carga σ como mostra a Figura 3.
a) Encontre o campo magne´tico em func¸a˜o de r, na regia˜o do corte, a uma distaˆncia r � R do eixo do
fio.
b) Encontre o campo ele´trico dentro da regia˜o do corte, a uma distaˆncia r � R do eixo do fio.
c) Encontre o vetor de Poynting para um ponto dentro do corte, a uma distaˆncia r = R/2 do eixo do
fio.
Figura 3: Problema 3.
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Problema 4: A velocidade das ondas longitudinais de pequenas amplitudes em um ga´s ideal de massa
M em um volume V e´ dada por
c =
√
dP
dρ
,
onde P e´ a pressa˜o do ga´s e ρ = M
V
e´ a sua densidade. Obtenha a expressa˜o para a velocidade c nos
casos em que:
a) As compresso˜es e rarefac¸o˜es do ga´s sa˜o isote´rmicas.
b) As compresso˜es e rarefac¸o˜es do ga´s sa˜o adiaba´ticas.
PARTE B: Lembre-se de escolher 2, e apenas 2, problemas
desta parte.
Problema 5: Este problema compara o movimento unidimensional de uma part´ıcula cla´ssica e uma
part´ıcula quaˆntica em uma caixa.
a) Considere uma part´ıcula cla´ssica, de massa m, movendo-se livremente em uma dimensa˜o dentro de
uma caixa de comprimento a, com energia E. Mostre que o per´ıodo de seu movimento e´ τ = 2a√
2E/m
.
b) A part´ıcula quaˆntica esta´, inicialmente, no estado
ψ(x, 0) =
1√
2
(φn(x) + φn+1(x)) ,
onde φn e´ o n-e´simo autoestado de energia da part´ıcula dentro da caixa. Mostre que a densidade de
probabilidade |ψ|2 muda no tempo e determine 〈xˆ〉 como func¸a˜o do tempo, onde xˆ e´ o operador de
posic¸a˜o da part´ıcula.
c) A densidade de probabilidade |ψ(x, t)|2 retorna a` sua configurac¸a˜o inicial apo´s um instante de tempo
τ . Determine τ em func¸a˜o de a, m e En. Como esse tempo se compara com a expressa˜o cla´ssica?
Como eles se comparam quando n� 1?
Problema 6: Uma part´ıcula de spin 1/2 passa atrave´s de um aparato Stern-Gerlach orientado ao
longo do eixo z. Considere que a part´ıcula entra no aparato no autoestado |sx = ~/2〉 da componente
x do spin, i.e. Sˆx |sx = ~/2〉 = (~/2) |sx = ~/2〉. Responda quais das seguintes afirmac¸o˜es em relac¸a˜o
ao estado do spin da part´ıcula na sa´ıda do aparato sa˜o verdadeiras ou falsas, justificando bem as suas
respostas (note que as afirmac¸o˜es se referem a` previsa˜o da mecaˆnica quaˆntica sobre o estado de spin
na auseˆncia de qualquer tipo de interac¸a˜o posterior a` sa´ıda do aparato, como, por exemplo, a interac¸a˜o
entre a part´ıcula e algum anteparo).
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a) O estado do spin da part´ıcula na sa´ıda e´ um autoestado da componente z do spin.
b) O estado do spin da part´ıcula na sa´ıda e´ uma superposic¸a˜o dos autoestados da componente z do
spin.
c) O estado do spin da part´ıcula na sa´ıda e´ uma mistura estat´ıstica descrita pelo operador densidade
ρˆ = Pˆ+z |sx = ~/2〉 〈sx = ~/2| Pˆ+z + Pˆ−z |sx = ~/2〉 〈sx = ~/2| Pˆ−z , (aqui Pˆ+z ≡ |sz = ~/2〉 〈sz = ~/2| e
Pˆ−z ≡ |sz = −~/2〉 〈sz = −~/2| sa˜o os projetores nos autoestados da componente z do spin).
d) Se a componente z do spin da part´ıcula for medida na sa´ıda, o resultado e´ ~/2 ou −~/2, com
probabilidade 1.
e) Se a componente z do spin da part´ıcula for medida na sa´ıda, o resultado e´ ~/2 ou −~/2 com
probabilidade 1/2.
Tambe´m responda aos seguintes itens.
f) Apo´s um grande nu´mero de part´ıculas, inicialmente no estado |sx = ~/2〉, passarem pelo aparato
Stern Gerlach, qual e´ o valor me´dio esperado para um conjunto de medic¸o˜es da componente z do
spin?
g) Se a part´ıcula no estado |sx = ~/2〉 passa primeiro por um aparato Stern-Gerlach orientado na direc¸a˜o
z e, logo a seguir, por um outro orientado na direc¸a˜o x, qual e´ o estado de spin da part´ıcula logo
apo´s a sa´ıda desse segundo aparato?
Problema 7: Considere uma part´ıcula livre de massa m, confinada a mover-se em uma dimensa˜o, e
sejam xˆ e pˆ os operadores de posic¸a˜o e momento da part´ıcula, respectivamente.
a) Mostre que
d2
dt2
〈
xˆ2
〉
=
2
m2
〈
pˆ2
〉
=
2
m2
(〈
(∆pˆ)2
〉
0
+ 〈pˆ〉20
)
,
onde o sub´ındice 0 designa grandezas no tempo t = 0. Isso, por outro lado, significa que
〈
xˆ2
〉
(t) =
(〈(∆pˆ)2〉
0
+ 〈pˆ〉20
m2
)
t2 +
(
d
dt
〈xˆ2〉
)
t=0
t+ 〈xˆ2〉0.
b) Considerando o resultado anterior, mostre que
〈
(∆xˆ)2
〉
(t) =
〈(∆pˆ)2〉
0
m2
t2 +
1
m
(〈xˆpˆ+ pˆxˆ〉0 − 2〈pˆ〉0〈xˆ〉0) t+
〈
(∆xˆ)2
〉
0
.
Problema 8: Uma part´ıcula de massa M e carga q se encontra sob um potencial central V (r).
Um campo magne´tico externo uniforme, ao longo da direc¸a˜o z, e´ aplicado ao sistema. O momento
magne´tico da part´ıcula, gerado por seu momento angular orbital, se acopla ao campo. A perturbac¸a˜o
e´ Hˆp = −(qBz/2M)Lˆz. Descreva em detalhe como essa perturbac¸a˜o remove poss´ıveis degeneresceˆncias
dos n´ıveis de energia do sistema.
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