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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
CURSO DE MESTRADO EM 
ENGENHARIA DO AMBIENTE
PROCESSOS CONSTRUTIVOS
Helena Cristina de Menezes e Vasconcelos
hcsv@uac.pt
DCTD – Universidade dos Açores
2009
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
Índice de Tópicos:
2. ESTÁTICA: PRINCÍPIO BÁSICO DA CONSTRUÇÃO
1. INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS ESTRUTURAIS 
3. TIPOS DE CARGA
4. LEIS DE NEWTON / ESFORÇOS
5. MOMENTO
6. EQUILIBRIO DE FORÇAS PARALELAS
7. REACÇÕES DE APOIOS
8. CÁLCULO DAS REACÇÕES NOS APOIOS
9. DIAGRAMAS DE ESFORÇOS
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Estrutura da
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Parede
de vedaç ão
Parede
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Uma estrutura, definida para desempenhar correctamente a função a que 
se destina, isto é, adequada a resistir a solicitações, está ligada ao 
exterior por apoios e é constituída por elementos estruturais, tais como, 
laje, viga, pilar, fundação.
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(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 1.
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is Um Sistema Estrutural é definido por um conjunto 
de Elementos Estruturais
lajes, vigas, pilares, fundações
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Definição dos Elementos Estruturais
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
As lajes num Sistema Estrutural estão, na 
maioria das vezes, apoiadas em vigas, 
podendo também, em certos casos, estarem 
apoiadas directamente sobre pilares.
Laje:
Estrutura laminar, onde duas dimensões são da mesma ordem de 
grandeza e a terceira é acentuadamente de menor dimensão. Laje
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(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Viga:
Estrutura reticular, onde uma das dimensões é preponderante em 
relação às outras duas.
As vigas num Sistema Estrutural podem estar apoiadas directamente sobre 
os pilares como também sobre outras vigas.
viga
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
PILAR:
Estrutura reticular, onde uma das dimensões é preponderante às 
outras duas.
Os pilares num Sistema Estrutural estão apoiados nas fundações.
Pilar
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(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Fundação:
Estrutura tridimensional e monolítica, onde as três dimensões são da 
mesma ordem de grandeza.
As fundações num Sistema Estrutural estão apoiadas em estacas ou
directamente sobre o terreno.
Fundação
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Posicionamento dos Elementos Estruturais
O posicionamento dos elementos estruturais (lajes, vigas, pilares, fundações) é dado em 
função de cada projecto, em consonância os outros projectos (arquitectónico, hidráulico, 
eléctrico etc).
Seria incómodo baixar a cabeça todas 
as vezes que se desce uma escada para 
não correr o risco bater numa viga que 
cruza a escada. 
Ninguém gostaria de estar 
sentado na plateia de um 
teatro com um pilar à frente? Uma tubulação 
horizontal a ter que se 
desviar das vigas em 
cada piso de um edifício 
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(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Para se compreender a parte TÉCNICA de uma obra, é 
necessário conhecer:
•quais os tipos de cargas que actuam numa edificação,
•quais os esforços que surgem nos elementos estruturais 
provenientes dessas cargas,
•quais as tensões que as cargas provocam.
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Estática: princípio básico da Construção:
Objectivos: mostrar a relação entre estética e estática e os 
problemas que podem ocorrer quando os princípios da estática não 
são considerados. 
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
? A parte da Física que estuda o movimento e as 
suas causas chama-se Mecânica. 
? Um caso particular de movimento é o repouso ---
movimento nulo. 
Há repouso quando os agentes causadores do 
movimento se compensam ou equilibram. Daí se 
dizer que um corpo em repouso está em equilíbrio. 
A parte da Mecânica que estuda as condições em 
que há equilíbrio chama-se Estática.
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
PROJECTO = ESTÉTICA + ESTÁTICA + OUTROS
ESTÉTICA:
Responsável pela "arte" de um projecto. A estética é dada pela expressão 
arquitectónica através de vários estudos, tendo como principal o estudo do 
Planeamento Arquitectónico.
ESTÁTICA:
Responsável pela "técnica" de um projecto. A estática encarrega-se de fazer 
com que uma estrutura fique "em pé", suportando as cargas e 
transportando-as sem deformações excessivas até o terreno. A palavra 
ESTÁTICA, vem do grego "statikos" e quer dizer imóvel como estátua, 
parado.
OUTROS:
Projecto eléctrico, projecto hidráulico, projecto de conforto ambiental, 
paisagismo, integração com o terreno circundante, definição dos materiais a 
serem utilizados, definição dos processos construtivos, entre outros. 
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
A principal função, do ponto de vista estrutural, para uma edificação é ser estática, 
porém, esta pode:
?"inclinar": por não estar bem 
travada ou por problemas de 
fundações. 
?deformar e/ou fissurar
excessivamente, em partes ou 
como um todo, devido a 
excesso de carga
?Partes da estrutura podem 
ser afastadas uma da outra 
devido a falhas nas juntas 
(para estruturas metálicas ou 
de madeira).
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Após um período de tempo, pode haver alterações nas propriedades dos materiais dos 
materiais devido a factores externos.(ex. corrosão)
Um ou mais pilares de um edifício sujeitos 
a carga de compressão podem flexionar ao 
máximo até deformarem 
permanentemente.
Os materiais podem estar sobrecarregados 
conduzindo à fractura 
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Tipos de carga:
Objectivos: definir os tipos de carga concentrada, distribuída/m 
e distribuída/m2. 
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Na antiguidade não havia o cálculo ou o projecto estrutural.
A evolução na construção era na base da tentativa e do erro.
Muitas vezes uma obra que demorara até centenas de anos para chegar até 
um determinado estágio não suportava os esforços impostos até mesmo 
pelo próprio peso da estrutura e desabava.
Um factor que colaborou com a evolução de uma obra do ponto de vista 
estrutural, foi a observação das forças da natureza. Por exemplo, uma 
árvore com as suas raízes poderia perfeitamente servir de modelo para a 
construção de um pilar com a sua fundação. Esta observação permitiu que 
os elementos estruturais tivessem dimensões cada vez menores e também 
permitiu que os vãos se tornassem cada vez maiores.
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
• Com a Revolução Industrial, foram surgindo novas técnicas e 
novos materiais. Com estas técnicas e materiais, alguns modelos 
teóricos, ou seja, explicações, para as forças da natureza foram
descobertos. Baseados nestes modelos teóricos surgiram então 
os projectos mostrando que uma obra poderia ser construída sem 
a necessidade de “más experiências” com obras anteriores 
(acabou o processo de tentativa e erro). 
• O primeiro factor a ser considerado na execução do projecto 
estrutural de uma obra passou a ser as cargas nela actuantes.
CARGA é qualquer influência que causa esforços ou deformações numa 
estrutura.
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
A execução do projecto estrutural de uma obra passa pela definição do sistema de 
carga ou tipo de carregamento que nele irá actuar, isto é, pelo conjunto das forças 
exteriores.
A classificação do tipo de carga é função dos seguintes parâmetros:
I – Extensão do local onde actua na estrutura: carga concentrada ou carga 
distribuída;
II – Tempo de aplicação: carga permanente ou carga acidental;
III – Permanência no local: carga fixa ou carga móvel.
Carga uniformemente distribuída
Carga concentrada
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Existem três tipos de Cargas:
Concentrada, distribuída/m e distribuída/m2.
Concentrada:
- Representa uma força aplicada num único ponto da estrutura.
- Unidade: kN
- Pode ocorrer nos seguintes elementos estruturais: lajes, vigas, pilares e fundações.
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
sobre a 
fundação:
carga do pilar que 
chega à fundação
sobre um pilar:
reacção das vigas 
que se apoiam no 
pilar
sobre uma viga:
reacção de uma 
outra viga
sobre uma laje:
um móvel no meio 
de uma sala
força concentrada
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
?Distribuída/m:
- Representa uma força distribuída sobre uma linha da estrutura.
- Unidade: kN/m
- Pode acontecer nos seguintes elementos estruturais: lajes, vigas.
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
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sobre uma laje:
peso de uma parede de alvenaria.
sobre uma viga:
peso de uma parede de alvenaria
força distribuída/m:
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
?Distribuída/m2:
- Representa uma força distribuída sobre uma superfície da estrutura.
- Unidade: kN/m2
- Pode acontecer no seguinte elemento estrutural: laje.
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
sobre uma laje: 
peso das pessoas sobre a laje
Exemplo de força distribuída/m2:
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Classificação das cargas em relação ao tempo de 
actuação: permanentes e acidentais
Objectivos: mostrar as cargas permanentes e acidentais actuantes numa 
estrutura. Exemplo de cálculo de carregamentos numa estrutura (exercício). 
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Cargas permanentes:
• 1. PESO-PRÓPRIO (PP)
• 2. ALVENARIA (ALV) 
• 3. REVESTIMENTO (REV) 
• 4. COBERTURA (COB)
Cargas Permanentes:
Actuam constantemente na estrutura ao longo do tempo e são devidas ao 
seu peso próprio e dos revestimentos e materiais que a estrutura suporta. 
Trata-se de cargas com posição e valor conhecidos e invariáveis.
Num edifício, as paredes, os tectos, os pavimentos e todos os 
outros elementos, pesam uns mais e outros menos.
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(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
1. Peso-próprio (pp):
• Os elementos estruturais têm o peso que deve ser considerado na 
definição dos Cargas actuantes numa estrutura. Este peso, definido 
como peso-própio é função do peso específico do material em questão.
• γ: peso específico do material (kN/m3) 
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
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Lajes
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(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
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Vigas
Para secção rectangular:
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(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Pilares
Para secção rectangular:
Peso específico (g) de alguns materiais mais utilizados:
betão armado: 25 kN/m3 
madeira: varia de 5 kN/m3 (pinho) até 10 kN/m3
aço: 78 kN/m 
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
2. Alvenaria (alv):
A função do peso/m2 da alvenaria, depende se a parede é mais ou menos 
espessa. 
O peso das paredes de alvenaria de uma obra devem ser consideradas 
sobre os elementos estruturais em que elas se apoiam. 
Estes elementos podem ser vigas, caso mais comum ou lajes. O peso da 
alvenaria é função do peso/m2 da alvenaria, que varia de acordo com sua 
espessura.
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
O peso/m2 dos principais tipos de alvenaria são os seguintes
•alvenaria de 
1 vez: 
3,20 kN/m2
e- 22 cm
•alvenaria de 
1/2 vez: 
1,70 kN/m2
e – 11 cm
•alvenaria 
normal: 
0,95 kN/m2
e - 6 cm
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
3. Revestimento (rev):
rev = 0,50 kN/m2 (carregamento distribuído/m2) 
O peso dos revestimentos de uma obra deve ser considerado sobre aquelas lajes em 
que eles se apoiam. Um valor básico é utilizado como peso de revestimento: 
O valor acima é considerado somente para revestimentos mais utilizados, como por 
exemplo: tacos, tapete, borracha, pavimentos flutuantes, etc.
Para outros tipos de revestimento devem ser consultadas tabelas especiais ou devem 
ser feitas consultas ao próprio fabricante.
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
4. Cobertura (cob):
O peso da cobertura deve ser considerado naquelas lajes em que se apoiam algum 
tipo de cobertura, entendo-se por cobertura toda a estrutura que suporta as telhas 
mais o peso das próprias telhas. O peso da cobertura é função do peso/m2 do telhado.
cob = 0,60 kN/m2 a 1,00 kN/m2 (carregamento distribuído/m2) 
0,60 kN/m2 para telha de fibrocimento e 1,00 kN/m2 para telha de barro.
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Cargas acidentais:
? Vento
? Sobrecargas (SC)
? Cargas específicas (ex: neve) 
Os carregamentos acidentais, ao contrário dos permanentes, nem sempre 
estão presentes em Sistemas Estruturais. Há épocas em que eles são 
actuantes e há épocas em que eles não aparecem. Devido a esta 
sazonalidade, devem ser considerados durante todo o tempo, não podendo 
nunca ser esquecidos. .
Mostrar os carregamentos acidentais que podem 
actuar nas estrutura. Exemplo de cálculo de 
carregamentos numa estrutura. 
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Vento
Este tipo de carregamento é considerado somente para edificações muito altas ou 
edificações especiais, como por exemplo, torres, caixas de água elevadas, etc.
O efeito do vento é função de alguns factores específicos, tais 
como: velocidade do vento, conseguida através de mapas com 
linhas de igual velocidade, topografia do local, vizinhança da 
edificação e tipo da edificação
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Sobrecarga por vento
Considera-se que esta sobrecarga actua numa superfície situada 
perpendicularmente à direcção do vento, estabelecendo as normas os seguintes 
valores:
Para lugares de ventos fortes (zona costeira, etc.), 200 kg/m2
Para lugares de ventos moderados, 125 kg/m2
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Sobrecargas (SC)
São cargas dadas em função da utilização de 
determinado compartimento da edificação. 
O efeito da sobrecarga é considerado sobre 
lajes sendo portanto um carregamento do tipo 
distribuído/m2.
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Sobrecargas (SC)
Valores a serem considerados:
• forro (sem acesso ao público): sc = 0,50 kN/m2 
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
Forro
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Sobrecargas (SC)
Valores a serem considerados:
• residência, escritório: sc = 1,50 à 2,00 kN/m2 
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
Escritório
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Sobrecargas (SC)
Valores a serem considerados:
•compartimentos com acesso ao público (escolas, 
restaurantes, etc.): sc = 3,00 kN/m2 
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
Sala de Aula
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Sobrecargas (SC)
Valores a serem considerados:
•compartimentos para baile, ginástica, desporto (teatros, 
ginásios, clubes, etc.): sc = 4,00 kN/m2 
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
Sala de Ginástica
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Sobrecargas (SC)
Valores a serem considerados:
•compartimentos para arquivos/bibliotecas/depósitos: 
sc = função de cada caso 
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
Biblioteca
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Sobrecarga terramoto / neve
Tanto o terramoto como a neve são tipos de carga acidental que devem ser 
considerados. Infelizmente, nos Açores, uma vez que os sismos 
ocorrem com intensidade e com frequência suficiente, há que 
considerar a sobrecarga de sismo. 
Nas coberturas, em geral, tem de considerar-se a sobrecarga por acumulação de 
neve (regiões onde haja neve).
Sem a prevenção desta eventualidade poderá ocorrer o abatimento do telhado.
De acordo com as normas estabelecidas, as cifras que convém tomar para estas 
sobrecargas, são as seguintes:
Em zonas de costa, 25 kg/m2;
Em zonas de planalto, 75 kg/m2;
Em zonas de montanha, 150 kg/m2;
Se a inclinação da cobertura é superior a 30º (com a horizontal), as cifras de 
sobrecarga podem reduzir-se a metade, tendo em conta que devido à inclinação, o 
degelo será mais rápido e a acumulação de neve menos perigosa.
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Determinação de Cargas (EXERCÍCIO)
Baseado no esquema ao lado, calcular a carga 
nas: 
lajes L1 
vigas: V2 e V5 
pilares: P5 
Dados: 
piso de escritório 
revestimento da laje: tacos 
alvenaria: 1 vez 
material: betão armado 
reacção da laje L1 nas vigas V1, V3, V4 e V5: 
6,25 KN/m 
reacção da viga V1 sobre os pilares P1 e P2: 
42,68 KN 
reacção da viga V2 sobre a viga V5 e o pilar 
P5: 2,19 KN 
reacção das vigas V3 e V4 sobre os pilares 
P1,P3 e P4: 43,93 KN 
reacção da viga V5 sobre o pilar P2: 43,33 KN 
reacção da viga V5 sobre o pilar P4: 44,21KN
3.
 T
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C
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Para se calcular as cargas numa edificação, inicia-se sempre de cima para baixo
(da cobertura para o térreo) na seguinte sequência: lajes, vigas, pilares e fundações. 
Portanto, no nosso exemplo, calcularemos primeiramente a carga na laje L1, depois 
nas vigas V2 e V5 e finalmente no pilar P5.
= 5,00 kN/m2total
= 2,00 kN/m2scsobrecarga:
= 0,50 kN/m2revrevestimento:
= 2,50 kN/m2pp = 0,10 m . 25 kN/m3peso-próprio:
Peso-próprio (distribuída/m2) + revestimento (distribuída/m2) + 
sobrecarga (distribuída/m2
Laje L1: 
Convém lembrar que poderia haver ainda a carga de uma parede de alvenaria ou 
de um pilar sobre a laje. 
3.
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)25
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
peso-próprio: pp = 0,10 m . 0,50 m . 25 kN/m3 = 1,25 
kN/m
Peso-próprio (distribuída/m)
Viga V2:
3.
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
= 17,07 kN/mtotal
= 6,25 kN/mlajelaje:
= 8,32 kN/malv = 2,60 m . 3,20 kN/m2alvenaria:
= 2,50 kN/mpp = 0,20 m . 0,50 m . 25 kN/m3peso-próprio:
Peso-próprio (distribuída/m) + alvenaria (distribuída/m) + reacção da laje L1 
(distribuída/m) + reacção da viga V2 (concentrada)
Viga V5:
3.
 T
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
26
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
= 4,79 kNtotal
= 2,19 kNvigareacção 
da viga 
v2:
= 2,60 kNpp = 0,20 m . 0,20 m . 2,60 m . 25 kN/m3peso-
próprio:
Peso-próprio (concentrada) + reacção da viga V2 (concentrada
Pilar P5: 
3.
 T
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Leis de Newton e equilíbrio de forças:
As forças num Sistema Estrutural são caracterizadas
? pelas leis de Newton,
? pelo cálculo dos momentos em relação a um ponto,
? pelo cálculo do equilíbrio em relação a um ponto e
? equilíbrio de forças paralelas.
4.
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
27
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Leis de Newton
(Isaac Newton - 1642 - 1727)
Primeira Lei
"Qualquer corpo permanece em repouso ou em movimento rectilíneo uniforme a 
menos que alguma força seja aplicada sobre ele."
Segunda Lei 
"A aceleração de um corpo é directamente proporcional à força aplicada sobre ele 
e inversamente proporcional à sua massa."
a = F / m F = m . a 
Terceira Lei 
"A toda acção, corresponde uma reacção igual 
e contrária."
Do ponto de vista estrutural, a toda acção 
(Cargas, na maioria para baixo), corresponde 
uma reacção igual e contrária (para cima). 
Logo: a resultante é nula e consequentemente 
a estrutura está em repouso.
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
4.
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Solicitação de elementos estruturais através de forças. 
Ocorre quando há duas 
forças, na mesma 
direcção, puxando em 
sentidos opostos
Tracção 
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
4.
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Ocorre quando há duas 
forças, na mesma direcção, 
empurrando em sentidos 
opostos.
Compressão 
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
4.
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Ocorre quando há
carregamento transversal entre 
os apoios
Flexão
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
4.
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29
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Ocorre quando há o 
escorregamento entre 
secções paralelas 
devido à forças 
paralelas
Corte
Ocorre quando há 
rotação das 
extremidades em 
direcções opostas
Torção
Pode haver, e normalmente há, uma combinação destes esforços num mesmo elemento 
estrutural. Outro factor a ser considerado é que nem todos os elementos estruturais 
suportam bem todos os esforços.
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
4.
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Esforço (Força) ?
Noção elementar de força
Essa noção está associada ao esforço muscular, no acto de 
empurrar ou puxar um objecto.
Noção física de força
Na superfície da Terra, os corpos tendem a cair, isto é, a mover-se 
para níveis cada vez mais baixos. Este fenómeno é devido a uma 
acção atractiva exercida pela Terra denominada gravidade. 
Verifica-se que a intensidade dessa acção local é proporcional à 
quantidade de matéria do corpo.
Força é o agente físico, de características vectoriais, responsável 
pelas deformações dos corpos (conceito estático) ou pela 
modificação de seus estados de repouso ou movimento (conceito 
dinâmico).
Em particular, a força exercida pela Terra sobre um corpo, é 
denominada peso do corpo.
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
4.
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30
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Momento e Equilíbrio de forças paralelas :
Objectivos: cálculo do momento de uma força em relação a um 
ponto. Definir as condições de equilíbrio de forças paralelas. 
5.
 M
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
MOMENTO de uma força em relação a um ponto é o produto desta força 
pela sua distância até ao ponto considerado
(momento da força P em 
relação ao ponto A) 
sentido horário 
(momento da força H em 
relação ao ponto A) 
sentido anti-horário 
(momento da força V em 
relação ao ponto A) 
sentido horário 
Momento de carga concentrada
Não importa a direcção da força para o cálculo do momento.
5.
 M
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
31
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Momento de carga distribuída
MOMENTO = CARGA (q). COMPRIMENTO DA CARGA (b) . DISTÂNCIA DO CENTRO DE 
GRAVIDADE DA CARGA AO PONTO CONSIDERADO (b/2+a)
Mq/A=q . b.(a + b/2)
(momento da carga q em relação ao 
ponto A) 
sentido horário
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
5.
 M
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Pergunta: Será que se for colocado um 
paralelepípedo de um lado da viga e três 
paralelepípedos sobrepostos do outro lado vai 
haver equilíbrio? 
A resposta intuitiva para esta pergunta é NÃO. 
Porém, vendo a foto ao lado:
Vê-se que se o paralelepípedo único estiver 
mais longe do ponto de apoio que os três 
paralelepípedos sobrepostos vai haver equilíbrio. 
6.
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
32
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Além da força aplicada importa também a distância desta força em relação ao ponto 
de apoio.
Este conceito foi utilizado pela primeira vez por Arquimedes (287-212 a.C.) que 
proferiu a seguinte frase: 
“DÊEM-ME UM PONTO DE APOIO QUE EU PODEREI LEVANTAR O MUNDO."
Para haver equilíbrio, o momento causado pela força menor (paralelepípedo único 
mais distante do ponto de apoio) deve ser igual ao momento causado pela força maior 
(paralelepípedos sobrepostos mais próximos do ponto de apoio).
CONCLUSÃO:
QUANTO MAIOR A DISTÂNCIA, MENOR A FORÇA
6.
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Exemplos
Pergunta:
Porque será que a maçaneta de uma 
porta é o mais longe possível da 
dobradiça? 
Por que quanto mais longe do 
ponto de apoio, menor será a 
força aplicada. 
6.
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
33
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas)Condições para o equilíbrio de forças paralelas:
P.a1 = Q.a2 3. Momento da força menor em relação ao apoio é igual 
ao momento da força maior:
2. Vale o mesmo se houvesse forças horizontais:
P + Q = R1. A toda acção corresponde uma reacção igual e 
contrária:
Condições para o equilíbrio de forças paralelas: 
(EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA ESTÁTICA)
6.
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Condições para o equilíbrio de forças paralelas:
6.
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
As três equações acima definidas (somatório das forças verticais igual 
a zero, somatório das forças horizontais igual a zero e somatório dos 
momentos em relação a um ponto igual a zero) são conhecidas como
as TRÊS EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA ESTÁTICA.
34
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Exemplo
• Definir a distância a e a reacção R para que o 
sistema esteja em equilíbrio.
Trocando as 
convenções:
ΣV=0 convenção de 
cima para baixo, 
positivo
3 + 6 - R = 0
R = 9
ΣMapoio = 0
convenção anti-horário, 
positivo
3 x 4 + R . 0 - 6 . a = 0
a = 2
ΣV=0
convenção de baixo 
para cima, positivo
- 3 - 6 + R = 0
R = 9
ΣH=0
não há forças 
horizontais aplicadas
ΣMapoio = 0
convenção sentido 
horário, positivo -3 x 4 + 
R . 0 + 6 . a = 0
a = 2
É indiferente a escolha da convenção 
de sinais (de baixo para cima ou de 
cima para baixo, da esquerda para a 
direita ou da direita para a esquerda, 
horário ou anti-horário), o resultado é
o mesmo.
6.
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Reacções de apoio:
Objectivos: mostrar os tipos de apoio e de vigas e como 
calcular reacções de apoio de vigas isostáticas. 
7.
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 A
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
As reacções de apoio em estruturas são calculadas aplicando-
se as Três Equações Fundamentais da Estáticas definidas 
anteriormente. 
35
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 7.
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 A
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Tipos de Apoio e Reacções
1 reacção de apoio:
- reacção vertical (R), 
logo: 1 incógnita.
Apoio móvel
2 reacções de apoio:
- reacção horizontal (H),
- reacção vertical (R), 
logo: 2 incógnitas.
Apoio fixo
3 reacções de apoio: 
- reacção momento (M),
- reacção horizontal (H),
- reacção vertical (R), 
logo: 3 incógnitas.
Encastramento
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Tipos de Estruturas
HIPOSTÁTICA
Menos de 3 incógnitas
São instáveis
Exemplos: estrutura com um 
apoio fixo (2 incógnitas), ou 2 
apoios móveis (2 incógnitas), ou 
1 apoio móvel (1 incógnita)
7.
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
36
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
ISOSTÁTICA
3 incógnitas 
Resolvidas com as três equações da estática
Exemplo: estrutura com um apoio fixo e um 
apoio móvel (3 incógnitas), ou um engaste (3 
incógnitas)
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
Tipos de Estruturas
7.
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
HIPERESTÁTICA
Mais de 3 incógnitas
Necessitam outras equações além das 
três equações da estática
Exemplos: estrutura com 2 engastes (6 
incógnitas), ou 1 engaste e um apoio 
móvel (4 incógnitas), ou 1 engaste e um 
apoio fixo (5 incógnitas) ou 2 apoios fixos 
(4 incógnitas)
7.
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
Tipos de Estruturas
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 7.
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 7.
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 7.
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 7.
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 7.
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
7.
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
7.
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
7.
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
7.
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
7.
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
7.
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
7.
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
7.
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Exemplos - Cálculos das Reacções de Apoio de 
vigas Isostáticas
• Viga com uma carga concentrada (ex1)
• Viga com uma carga distribuída (ex2)
• Viga com cargas concentradas e distribuídas 
(ex3)
8.
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
• Viga com uma carga CONCENTRADA (ex1)
8.
 C
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
HV6 = 0HV6 = 0
RV6 = 3kNRV6 + 3 - 6 = 0
RV9 = 3kN+6 . 3,00 - RV9 . 6,00 = 0
ΣMV6 = 0positivo: 
horário
ΣV = 0positivo: baixo 
para cima
ΣH = 0positivo: esq.
para dir.
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
• Viga com uma carga DISTRIBUIDA (ex2)
8.
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
HV6 = 0HV6 = 0
RV6 = 18kNRV6 + 18 - 6 . 6,00 = 0
RV9 = 18kN+6 . 6,00 . 3,00 - RV9 . 6,00 = 0
ΣMV6 = 0positivo: 
horário
ΣV = 0positivo: baixo 
para cima
ΣH = 0positivo: esq.
para dir.
45
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
• Viga com uma cargaCONCENTRADA E DISTRIBUIDA (ex2)
8.
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
HP2 = 0HP2 = 0
RP4 = 
82,01kN
RP4 + 60,91 - 18 - 44,12 - 4,4.(1,00 + 
6,00) - 10 . 4,00 - 5 . 2,00 = 0
RP2 = 
60,91kN
-RP2 . 6,00 - 18 . 1,00 + 44,12 . 4,00 + 
4,4.(1,00 + 6,00) . (3,50 - 1,00) + 10 . 
4,00 . 2,00 + 5,0 . 2,00.(4,00 + 1,00) = 0
ΣMP4 = 0positivo: 
horário
ΣV = 0positivo: baixo para 
cima
ΣH = 0positivo: esq. para 
dir
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Diagramas de Esforços
9.
 D
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
Para verificar a segurança de uma viga/estrutura é necessário conhecer qual é a
secção em que actuam os esforços mais elevados.
É necessário encontrar um método que facilite o cálculo dos esforços ao longo do 
eixo da viga.
Esta tarefa é facilitada com o traçado da variação dos esforços ao longo do eixo
da viga, obtendo-se os DIAGRAMAS DOS ESFORÇOS.
•Diagrama de Força Normal retrata os esforços normais (tracção e 
compressão) ao longo da estrutura. 
•Diagrama de Força Cortante (Esforço Transverso):retrata os esforços 
cortantes (tangenciais) ao longo da estrutura. 
•Diagrama de Momento: retrata os esforços de flexão ao longo da estrutura.
46
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Diagramas de Força Normal
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
9.
 D
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Diagrama de Esforço Transverso ?
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
9.
 D
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47
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
Diagrama do Momento ?
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
9.
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
9.
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
9.
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
9.
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49
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
9.
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UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
9.
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Equilíbrio de um Corpo Rígido
Diagrama de corpo livre
Reacções de apoio – Forças externas, geralmente 
desconhecidas, através das quais o solo ou outros corpos 
se opõem a um possível movimento, obrigando-o a 
permanecer na mesma posição.
50
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
9.
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DIAGRAMAS DE ESFORÇO TRANSVERSO (V) E MOMENTO FLECTOR (M)
-
UA5 – Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas) 
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
9.
 D
ia
gr
am
as
 d
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Es
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DIAGRAMA DE ESFORÇO TRANSVERSO (V)
Para calcular o esforço transverso, trabalho na viga 
identificando secções (troços Vs)
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am
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
Trabalho na viga identificando secções (troços) entre esforços
T é sempre dado por forças que estão à minha esquerda
N e Vs
TAS = TAS =
TAS
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
DET (Diagrama de esforço transverso) V=T
Quando x = 0 TS = ql/2
Quando x = l TS = -ql/2
TAS = TAS =
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Convenção de Sinais para Cálculo de Momentos Flectores:
Olhando as cargas à esquerda 
da secção considerada:
(Convenção positiva)
Olhando as cargas à direita da 
secção considerada:
(Convenção positiva)
9.
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
Ms
Carga uniformemente 
distribuída ao longo de x
Distância da carga à 
secção S
CONSIDERO CARGAS QUE ESTÃO À ESQUERDA DA SECÇÃO: 
NESTE CASO VA e qx
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
DMF (Diagrama do Momento Flector) M
Equação de uma parábola
0<X<l
Quando x = 0 MS = 0
Quando x = l/2 MS =ql2/8
Quando x = l MS = 0 2
lx
0x
2
q2
2
lq
dx
dM
0
dx
dM
s
s
=
=−=
=
Ponto máximo
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
Método das Secções:
• Considerando a viga como um corpo 
rígido, determine as forças reactivas 
nos apoios.
• Represente graficamente a 
distribuição dos esforços internos 
cortantes e de flexão em função do 
comprimento da viga.
• Seccione a viga junto aos apoios e 
pontos de aplicação de cargas. 
Aplique as equações de equilíbrio 
estático nos diagramas de corpo 
livre assim obtidos, de modo a 
determinar os esforços internos 
cortantes e de flexão.
Para a viga de madeira e para o 
carregamento indicado, desenhe 
os diagramas de esforços internos 
cortantes e de flexão.
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
1. Cálculo das reacções nos apoios:
∑ ∑ ==== kNRkNRMF DBBy 1446:0
02x405xV5,7x200M
0V40V200V
BD
DB
=−+−⇒=
=+−+−⇒=
∑
∑
D
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
2. DET:
TAB 
TCD 
TBC m5,7x5,5kN14kN40kN46kN20T
m5,5x5,2kN26kN46kN20T
m5,2x0kN20T
BC
BC
AB
<<−=−+−=
<<=+−=
<<−=
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
2. DET:
m5,7x5,5kN14kN40kN46kN20T
m5,5x5,2kN26kN46kN20T
m5,2x0kN20T
BC
BC
AB
<<−=−+−=
<<=+−=
<<−=
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
2. DMF:
MAB 
MCD 
MBC m5,7x5,5)5,5x(40)5,2x(46x20M
m5,5x5,2)5,2x(46x20M
m5,2x0x20M
BC
BC
AB
<<−−−+−=
<<−+−=
<<−=
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
2. DMF:
m5,7x5,5)5,5x(40)5,2x(46x20M
m5,5x5,2)5,2x(46x20M
m5,2x0x20M
BC
BC
AB
<<−−−+−=
<<−+−=
<<−=
5,7x5,50M28
5,5x5,228M50
5,2x050M0
<<<<
<<<<
<<−<<
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
• Representação gráfica dos esforços internos cortantes e de flexão:
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(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
(ESFORÇOS EM ESTRUTURAS)
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UNIDADES DE APRENDIZAGEM
Atalhos para outros documentos:
UA3 – Classes de Materiais
UA5– Resistência de Materiais (Esforços em Estruturas)
UA1 – A Construção Sustentável
UA2 – O Impacte Ambiental dos Edifícios
UA4 – Comportamento Mecânico dos Materiais