Matemática - Ensino Médio - Resumo completo sobre Trigonometria

Prévia do material em texto

1 
Trigonometria.(Resumo) 
 
Relação fundamental: 
Sabemos que a2 = b2 + c2, dividindo os dois membros por a2 : 
2
2
2
2
2
2
a
c
a
b
a
a
+=
  sen2 + cos2 = 1 
 
Temos também que: 
a
b
=sen
e
a
c
=cos
 
Como 
c
b
tg =
, concluímos que: 



cos
sen
=tg
 
 
O ciclo trigonométrico 
O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio 1, com o seu 
centro localizado na origem ( 0,0 ) do sistema de coordenadas 
cartesianas no plano. 
Podemos associar um ponto ( x,y ) sobre a circunferência e a esse 
ponto arcos, medidos a partir da intersecção ( 0,1 ) do semi-eixo 
positivo Ox, denominado origem do ciclo. 
A partir do ponto ( 0,1 ) podemos percorrer arcos na circunferência 
que serão orientados conforme a convenção: 
Sentido anti-horário positivo 
Sentido horário  negativo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Se o percurso tiver mais de uma volta, ainda assim você 
deverá chamá-lo de arco. 
• Como o raio da circunferência mede 1, o comprimento do arco 
é numericamente o seu valor em radianos 
 
 
Arcos côngruos 
Definição: 
Dois arcos são côngruos quando suas medidas diferem de um 
múltiplo de 360° = 2 radianos. 
Logo a expressão geral dos arcos côngruos a x é dada por: 
x + 2k se x estiver em radianos e x° + k.360°, se x for medido em 
graus, com k inteiro. 
Exemplos de arcos côngruos: 
• 60° e 60° + 360° 
• 60° e 60° - 5.360° ou seja, 60° e -1740° 
• /4 e /4 + 7.2 
• /4 e /4 – 4.2 
Seno, cosseno e tangente no ciclo trigonométrico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I-O segmento orientado OP1 indica o cosseno de x. 
cosx > 0 o ponto P1 está à direita do ponto O  máximo = 1 
cosx < 0 o ponto P1 está à esquerda do ponto O  mínimo = - 1 
cosx = 0 se os pontos O e P1 forem coincidentes 
 
II-O segmento orientado OP2 indica o seno de x 
senx > 0 o ponto P2 está acima do ponto O  máximo = 1 
senx < 0 o ponto P2 está abaixo do ponto O  mínimo = - 1 
senx = 0 se o ponto P2 coincide com o ponto O 
 
III-A tangente do ângulo x é a medida algébrica do segmento AB  
tgx = AB 
O ponto B é a intersecção do prolongamento do raio OP com a reta 
tangente. 
Se o ponto P estiver no eixo das ordenadas (y), não existe a 
tangente portanto devemos ter: 
tgx > 0  o ponto B está acima de A 
tgx < 0  o ponto B está abaixo de A 
tgx = 0  o ponto B está no eixo das abscissas 
graus seno cosseno 
0 0 1,000 90 
5 0,087 0,996 85 
10 0,174 0,985 80 
15 0,259 0,966 75 
20 0,342 0,940 70 
25 0,423 0,906 65 
30 0,500 0,867 60 
35 0,574 0,819 55 
40 0,643 0,766 50 
45 0,707 0,707 45 
 cosseno seno graus 
 
 
 
 
a 
b 
c 
C 
B A 
 
B 
x 
P1 
O 
P2 
A 
P 
x k k Z + 


2
,
Observe, na tabela as 
propriedades dos arcos 
complementares como no 
exemplo: 
sen20° = cos70° = 0,342 
cos55° = sen35° = 0,574 
sen55° = cos35° = 0,819 
 
 2 
As relações inversas de seno, cosseno e tangente 
Desde que um número seja não nulo, é possível calcularmos o seu 
inverso. 
Importante: O inverso de um número tem o mesmo sinal do valor 
inicial. 
Exemplo: 
 
Secante de um ângulo 
A secante de um ângulo x é o inverso do cosseno do mesmo 
ângulo. Para que exista o inverso de um número ele não deve ser 
nulo. Logo: 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
cos60° = 1/2 então, sec60° = 2 
cos0° = 1 então, sec0° = 1 
cos = -1 então, sec = -1 
cos90° = 0 então, sec90° não existe 
Interpretação geométrica da secante 
Vamos seguir a linha de raciocínio de extrair os conceitos básicos 
do triângulo retângulo e depois generalizar. 
Por semelhança de triângulos, vamos verificar que a secante é em 
módulo a medida da hipotenusa OB. É possível utilizar outro 
segmento, fazendo outro tipo de construção geométrica porém, o 
entendimento torna-se mais difícil e o processo é trabalhoso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Raciocínio: O sinal da secante é o mesmo do cosseno. 
Ao aplicarmos o Teorema de Pitágoras no triângulo OAB, temos: 
 
 
 
 
A cotangente e a cossecante de um ângulo 
A cotangente de um ângulo é o inverso da tangente do mesmo 
ângulo 
 
 
 
 
 
 
 
Como conseqüência imediata temos: 
 
A cossecante de um ângulo é o inverso do seno desse ângulo 
 
 
 
 
 
Interpretação geométrica da cotangente e da cossecante 
De modo análogo àquele utilizado para mostrar a tangente e a 
secante no ciclo trigonométrico, vamos interpretar cotgx e 
cossecx. ( OB’) 
Observe que a reta tangente é agora, paralela ao eixo das abscissas: 
Resumo das relações trigonométricas 



















=
=







=
=
=+
=+
=+

+


Zkkx
Zkkx
x
x
x
x
x
gx
x
x
x
x
x
tgx
xxg
xxtg
xx
,
,
2
22
22
22
0sen
sen
1
seccos
sen
cos
cot
0cos
cos
1
sec
cos
sen
seccoscot1
sec1
1cossen



 
 
sen
sen
cos
cos
30
1
2
1
30
2
2
3
1
2
1
2
3
2
135 1
1
135
1
= 

=
=
−
 = −
= − 

= −


tg
tg
sec
cos
cos
x
x
x x k
=
   +
1
0
2


1 + tg2x = sec2x 
B 
A 
x 
P1 
O 
P2 P 
OB
OP
OA
OP
x
x
x
x
=  =
=
1
1
1
1
sec
cos
sec
cos
A 
tgx
x
x
gx
x
x
=  =
sen
cos
cot
cos
sen
cossec
sen
sen ,
x
x
x x k k Z
=
   
1
0 
Zkkxtgx
tgx
gx

=
,0
1
cot

cotgx B’ A’ 
x 
P1 
O 
P2 
A 
P 
 
 3 
Função seno 
A cada número real x podemos associar outro número real y = senx. 
• senx existe para todo x real, logo, o domínio da função é 
IR 
• o máximo valor de senx é 1 e o mínimo é –1, então, o 
conjunto imagem da função é { y  IR / -1 < y < 1} 
• Esboço do gráfico: 
x senx 
0 0 
/2 1 
 0 
3/2 -1 
2 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O segmento orientado OP2 indica o seno de x 
senx > 0 o ponto P2 está acima do ponto O  máximo = 1 
senx < 0 o ponto P2 está abaixo do ponto O  mínimo = - 1 
senx = 0 se o ponto P2 coincide com o ponto O 
Função cosseno 
A cada número real x podemos associar outro número real y = cosx. 
• cosx existe para todo x real, logo, o domínio da função é 
IR 
• o máximo valor de cosx é 1 e o mínimo é –1, então, o 
conjunto imagem da função é { y  IR / -1 < y < 1} 
• Esboço do gráfico: 
x cosx 
0 1 
/2 0 
 -1 
3/2 0 
2 1 
 
O segmento orientado OP1 indica o cosseno de x. 
cosx > 0 o ponto P1 está à direita do ponto O  máximo = 1 
cosx < 0 o ponto P1 está à esquerda do ponto O  mínimo = - 1 
cosx = 0 se os pontos O e P1 forem coincidentes 
 
Função tangente 
A tangente do ângulo x é a medida algébrica do segmento AB  
tgx = AB 
O ponto B é a intersecção do prolongamento do raio OP com a reta 
tangente. 
Se o ponto P estiver no eixo das ordenadas (y), não existe a 
tangente portanto devemos ter: 
• Domínio da função: { x  IR / 
Zkkx + ,
2

} 
• Conjunto imagem IR 
Veja alguns valores do primeiro quadrante 
ângulo tangente ângulo tangente 
0° 0,000 50° 1,192 
5° 0,087 55° 1,428 
10° 0,176 60° 1,732 
15° 0,268 65° 2,145 
20° 0,364 70° 2,747 
25° 0,466 75° 5,732 
30° 0,577 80° 5,671 
35° 0,700 85° 11,430 
40° 0,839 89° 57,290 
45° 1,00090° Não existe 
 
tgx > 0  o ponto B está acima de A 
tgx < 0  o ponto B está abaixo de A 
tgx = 0  o ponto B está no eixo das abscissas 
* Esboço do gráfico 
 
Adição de arcos, arco duplo e arco metade 
Introdução: 
Vamos observar a tabela a seguir dos valores notáveis de seno, 
cosseno e tangente. 
 30° 45° 60° 
seno 
2
1
 
2
2 
2
3 
cosseno 
2
3 
2
2 
2
1
 
tangente 
3
3 
1 
3
 
Note que: 
sen(30° + 30°) = sen60° é diferente de 
sen30° + sen30° = 
==+ 90sen1
2
1
2
1
 
Você pode também verificar que 
sen(30° + 60°) = sen90° = 1 é diferente de: 
sen30° + sen60° = 
2
31
2
3
2
1 +
=+
 
 
Fórmulas da soma e da diferença de dois arcos 
• seno da soma 
sen(a + b) = sena.cosb + senb.cosa (1) 
Exemplo: sen(30° + 45°) = sen30°.cos45° + sen45°.cos30° 
• seno da diferença 
sen(a - b) = sena.cosb - senb.cosa (2) 
Exemplo: sen(90° - x) = sen90°.cosx - senx.cos90° 
Como sen90° = 1 e cos90° = 0, temos: 
sen(90° - x) = cosx, vale para todo x real e confirma a propriedade 
de ângulos complementares vista anteriormente. 
• cosseno da soma 
cos(a + b) = cosa.cosb – sena.senb (3) 
Exemplo: cos( + x) = cos.cosx – sen.senx 
Como cos = -1 e sen = 0, temos: 
 cos( + x) = -1.cosx = - cosx 
O resultado é válido para todo x real porém, você pode confirmar 
pela imagem a seguir, imaginando x agudo. 
 
 
B 
x 
P1 
O 
P2 
A 
P 
 
Zkkx + ,
2

 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• cosseno da diferença 
cos(a - b) = cosa.cosb + sena.senb (4) 
Exemplo: 
cos(2 - ) = cos2.cos + sen2.sen 
Como cos2 = 1 e sen2 = 0, temos: 
 cos(2 - ) =cos 
Aproveite o esquema anterior e confirme o resultado supondo  um 
ângulo agudo. Você vai notar que 2 -  tem extremidade no quarto 
quadrante. 
• Tangente da soma 
( )
tgbtga
tgbtga
batg
.1−
+
=+
 (5) 
Exemplo: Se tg45° = 1 e tg37° =3/4 (valor aproximado), qual o 
valor de tg82°? 
( )
−
+
=+=
37.451
3745
374582
tgtg
tgtg
tgtg
 
7
.11
1
82
4
1
4
7
4
3
4
3
==
−
+
=tg
 Observação: tg82° = 7,1153697... 
• Tangente da diferença 
 
( )
tgbtga
tgbtga
batg
.1+
−
=−
 (6) 
Exemplo: 
( ) 



tg
tg
tgtg
tgtg
tg
.01
0
.1 +
−
=
+
−
=−
 
Então, 
( )  tgtg −=−
 Utilize novamente o esquema 
anterior e confirme o resultado supondo  um ângulo agudo. Você 
vai notar que  -  tem extremidade no segundo quadrante. 
Fórmulas de arcos duplos 
Para escrevermos as fórmulas de arcos duplos faremos o seguinte 
procedimento: 
Nas fórmulas (1), (3) e (5), a = b = x e assim, no lugar de a + b 
teremos x + x = 2x 
Veja, por exemplo, que de sen(a + b) = sena.cosb + senb.cosa 
podemos obter: 
sen2x = senx.cosx + senx.cosx = 2senx.cosx. 
Utilizando raciocínio análogo e com o auxílio da relação 
fundamental, sen2x + cos2x = 1 é possível completarmos o 
formulário a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1-(Fuvest-SP) Calcule o valor de tg22°30’, sabendo a fórmula (9) 
que foi fornecida na prova da primeira fase. 
Resolução: 
Fazendo 2x = 45°, x = 22°30’ e tg45° = 1, temos 
'30221
'30222
45
2 −

=
tg
tg
tg
ou 
21
2
1
t
t
−
=
, onde t = tg22°30’ 
Resolvendo a equação do segundo grau 1 – t2 = 2t  t2 + 2t –1 = 0 
( )
2
212
2
222
2
82 −
=
−
=
−
=t
 
Como 22°30’ é do primeiro quadrante, tg2°30’ > 0, logo, 
21'3022 +−=tg
 
2-Se cos53° = 0,6 e sen53° = 0,8, calcule sen106° e cos106° 
Resolução: 
sen106° = 2sen53°.cos53° = 2.0,8.0,6 = 0,96 
cos106° = cos253° – sen253° = 0,36 – 0,64 = - 0,28 
Calcule novamente cos106° utilizando as equações: 
cos2x = 2cos2x – 1 e cos2x = 1 – 2sen2x 
Trigonometria: Equações e inequações 
Nesta aula vamos determinar os valores de x em igualdades e 
desigualdades trigonométricas com sen(f(x)), cos(f(x)),... 
As resoluções das equações inequações trigonométricas serão 
divididas em dois grupos para facilitar o aprendizado: 
• soluções com intervalo 
• soluções gerais 
Para escrevermos as soluções gerais devemos lembrar o conceito de 
arcos côngruos 
Definição:Dois arcos são côngruos quando suas medidas diferem 
de um múltiplo de 360° = 2 radianos. 
Logo a expressão geral dos arcos côngruos a x é dada por: 
a) x + 2k se x estiver em radianos 
b) x° + k.360°, se x for medido em graus, com k inteiro. 
Equações básicas 
Vamos iniciar a resolução de equações do tipo senx = m, cosx = n, 
tgx = p. 
Exemplos: Determine os valores de x que satisfazem as equações 
1-2senx – 1 = 0 2-cosx + 1 = 0 3-tgx – 1 = 0 
considerando: a) 0 < x < 2 b) x  IR 
1-Resolução 
2senx – 1 = 0 então senx = 1/2 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe no gráfico da função y = senx que temos infinitos valores 
de arcos côngruos a 30° e 150° 
 
(-) (+) 
x 
 + x 
 
cosx 
sen2x = 2senx.cosx (7) 
cos2x = cos2x – sen2x (8) 
cos2x = 2cos2x – 1 (8-1) 
cos2x = 1 – 2sen2x (8-2) 
xtg
tgx
xtg
21
2
2
−
=
(9) 
6
30

=
 
6
5
150

=
 
1 
1/2 
• • • • • 
 5 
Resposta: 






=
6
5
,
6
)

Sa






+=+== ZkkxoukxIRxSb ,2
6
5
2
6
/) 
 
2-Resolução: 
cosx + 1 = 0, então cosx = - 1. 
No intervalo 0 < x < 2, temos x =  e para x real devemos escrever 
a expressão geral dos arcos côngruos. 
Resposta: 
a) S = {  } b) 
 ZkkxIRxS +== ,2/  
ou 
( ) ZkkxIRxS +== ,12/  
3- Resolução: 
tgx – 1 = 0, então tgx = 1 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
a) 
 






==
4
45

S
 
b) 






+== ZkkxIRxS ,
4
/ 
 
Equações fatoráveis 
As equações trigonométricas que apresentaremos a seguir podem 
ser resolvidas com recursos de fatoração como: fator comum, 
agrupamento, produtos notáveis, mudança de variáveis, etc. 
Exemplos: Resolva as equações para x pertencente ao intervalo: 
[0;2] 
a) 
032 =− tgxxtg
 b) 2cos2x + cosx – 1 
Resolução: 
a) 
032 =− tgxxtg
 colocando tgx em evidência temos: 
( ) 03 =−tgxtgx
portanto tgx = 0 para x = 0, x = , x = 2 
ou 
3=tgx
para x = /3, x = 4/3 
Resposta: S = {0;/3;;4/3;2} 
b) 2cos2x + cosx – 1 
Podemos resolver a equação como 2t2 + t – 1 = 0 
98142 =+=−= acb
 
2.2
91
2
−
=
−
=
a
b
t
então, 
t= cosx = - 1 para x =  
cosx = 1/2 par x = /3 ou x = 5/3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta S = {/3;;5/3} 
 
Inequações trigonométricas 
Para resolver as inequações trigonométricas proceda do mesmo 
modo como nas equações, determinando inicialmente os valores da 
incógnita no intervalo [0;2]. 
Exemplo: 
Resolva 2senx – 1 > 0, considerando: 
a) 0 < x < 2 b) x  IR 
 
Resolução: 
2senx – 1 > 0, então senx > 1/2 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: a)






=
6
5
6
/

xIRxS
 
 b) 






++= ZkkxkIRxS ,2
6
5
2
6
/ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bom trabalho! 
 
Rodrigo Serra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
/3 
5/3 
• tgx = 1 
4
5
225

=
 
4
45

=
 
 
1 
1/2 • • 630

=
 
6
5
150

=