Apostila de Estatística (15 páginas, 66 questões, com gabarito)

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PROF. GILBERTO SANTOS JR
 ESTATÍSTICA
 
SUMÁRIO 
 
1 . INTRODUÇÃO ............................................. 1 
2 . TERMOS DE UMA PESQUISA ESTATÍSTICA ..... 1 
2.1 População e amostra .................................. 1 
2.2 Frequência absoluta ................................... 1 
2.3 Frequência relativa ..................................... 1 
3 . TABELA DE FREQUÊNCIA ............................. 1 
4 . REPRESENTAÇÃO GRÁFICA .......................... 2 
4.1 Gráfico de segmentos ou linha ..................... 2 
4.2 Gráfico de barras ou coluna ......................... 4 
4.3 Gráfico de setores ou pizza ......................... 5 
4.4 Histograma ............................................... 6 
5 . MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL ............... 7 
5.1 Média aritmética (MA) ................................ 7 
5.2 Média ponderada (MP) ................................ 8 
5.3 Moda (Mo) .............................................. 10 
5.4 Mediana (Me) .......................................... 10 
6 . MEDIDAS DE DISPERSÃO .......................... 14 
6.1 Variância (V) ........................................... 14 
6.2 Desvio Padrão (DP) .................................. 14 
Referências ...................................................... 15 
 
 
1 . INTRODUÇÃO 
O uso da pesquisa é bastante comum nas 
várias atividades humanas, por exemplos: 
 As indústrias fazem pesquisa entre os consu-
midores para o lançamento de um novo produ-
to; 
 As pesquisas eleitorais fornecem elementos pa-
ra que os candidatos direcionem a campanha; 
 Emissoras de TV fazem pesquisas que determi-
nam em suas programações. 
A realização de uma pesquisa envolve mui-
tas etapas, como a escolha da amostra, a coleta 
e organização dos dados, o resumo desses dados 
(em tabelas, gráficos, etc.) e a interpretação dos 
resultados. 
 
2 . TERMOS DE UMA PESQUISA ESTATÍS-
TICA 
2.1 População e amostra 
Se quisermos saber, por exemplo, qual a 
matéria favorita entre os alunos de uma classe, 
podemos consultar todos os alunos da classe. No 
entanto, isso não é possível quando queremos 
pesquisar sobre a intenção de voto dos eleitores 
do Estado do Pará, que constituem a população 
ou universo estatístico. 
Recorremos, então, ao que se chama de 
amostra, ou seja, um grupo de eleitores que, 
consultados, permitem que se chegue ao resultado 
mais próximo possível da realidade. 
 
2.2 Frequência absoluta 
É o número de vezes que um valor da vari-
ável é citado. 
 
2.3 Frequência relativa 
Registra a frequência absoluta em relação 
ao total de citações. 
 
Exemplo: Pedro: brasileiro; Ana: brasileira; Ra-
món: espanhol; Laura: espanhola; Cláudia: brasi-
leira; Sérgio: brasileiro; Raúl: argentino; Nélson: 
brasileiro; Sílvia: brasileira; Pablo: espanhol. Nes-
se exemplo a variável é ”nacionalidade” e a fre-
quência absoluta de cada um de seus valores é: 
 Brasileiros: 6 
 Espanhóis: 3 
 Argentino: 1 
 Total: 10 
A frequência relativa da nacionalidade: 
 Brasileiros: 6 em 10 ou 
6
10
 ou 60% 
 
 Espanhóis: 3 em 10 ou 
3
10
 ou 30% 
 
 Argentino: 1 em 10 ou 
1
10
 ou 10% 
 
3 . TABELA DE FREQUÊNCIA 
É a tabela que mostra a variável, seus valo-
res e as frequências absoluta (FA) e relativa 
(FR). Assim, continuando com o mesmo exemplo, 
temos: 
Nacionalidade FA FR 
Brasileira 6 60% 
Espanhola 3 30% 
Argentina 1 10% 
Total 10 100% 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Um grupo de alunos foi consultado sobre o 
time paulista de sua preferência, e os votos foram 
registrados assim: 
 
Santos 
Palmeiras 
Corinthians
São Paulo 
 
Construa a tabela de frequência correspondente a 
essa pesquisa. R: Santos, 10%; Palmeiras, 20%; Corinthians, 40%, São Paulo, 30% 
 
2) Um grupo de pessoas foi consultado dos quais 
foram registrados a idade (em anos): 
Alberto, 14; Alexandre, 14; Carlos, 16; Cláudio, 
15; Eduardo, 14; Flávio, 15; Geraldo, 14; Gilberto, 
15; Hélio, 14; José Carlos, 16; José Luís, 14; Lú-
cio, 14; Marcos, 15; Mário, 14; Maurício, 16; Mil-
ton, 14; Renato, 14; Roberto, 15; Saul, 14; Sérgio, 
14. Elabore uma tabela de frequência da variável 
“idade”. R: 14 anos, 12, 60%; 15 anos, 5, 25%; 16 anos, 3, 15% 
 
3) Na Copa do Mundo da França (1998), o Brasil 
disputou os seguintes jogos: Brasil 2  1 Escócia; 
Brasil 3  0 Marrocos; Brasil 1  2 Noruega; Brasil 
4  1 Chile; Brasil 3  2 Dinamarca; Brasil 1  1 
Holanda; Brasil 0  3 França. 
2 
a) Construa a tabela de frequências da variável 
“resultados”, considerando como valores as vitó-
rias, os empates e as derrotas para o Brasil. 
R: Vitórias, 4, 57,1%; empates, 1, 14,2%; derrotas, 2, 28,5% 
b) Elabore a tabela de frequências da variável 
“gols marcados por partida”, usando como valores 
2 gols, 3 gols e 5 gols. R: 2 gols, 1, 14,2%; 3 gols, 4, 57,1%; 5 gols, 2, 28,5% 
 
EXERCÍCIO DE VESTIBULAR 
4)(Enem-2012) Uma pesquisa realizada por 
estudantes da Faculdade de Estatística mostra, em 
horas por dia, como os jovens entre 12 e 18 anos 
gastam seu tempo, tanto durante a semana (de 
segunda-feira a sexta-feira), como no fim de 
semana (sábado e domingo). A seguinte tabela 
ilustra os resultados da pesquisa. 
 
 
 
De acordo com esta pesquisa, quantas 
horas de seu tempo gasta um jovem entre 12 e 18 
anos, na semana inteira (de segunda-feira a 
domingo), nas atividades escolares? 
 
(a) 20 (b) 21 (c) 24 (d) 25 (e) 27 
R: (e) 
4 . REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
4.1 Gráfico de segmentos ou linha 
A tabela que segue mostra a venda de li-
vros em uma livraria no 2º semestre de determi-
nado ano. 
 
Meses do 2º 
Semestre 
JUL AGO SET OUT NOV DEZ 
Nº de livros 
vendidos 
350 300 400 400 450 500 
 
Escrevendo em pares ordenados (julho, 
350), (Agosto, 300), (Setembro, 400), ... Usando 
eixos cartesianos, localizamos os seis pares orde-
nados e construímos um gráfico de segmentos. 
 
 
 
A posição de cada segmento indica cresci-
mento, decréscimo ou estabilidade. Já a inclinação 
do segmento sinaliza a intensidade do crescimento 
ou decrescimento. 
Observando o gráfico anterior, concluímos 
que: 
 Julho para Agosto as vendas caíram; 
 Agosto para Setembro as vendas cresceram; 
 Setembro para Outubro as vendas permanece-
ram estáveis; 
 Outubro para Novembro as vendas cresceram; 
 Novembro para Dezembro as vendas cresce-
ram; 
 O crescimento de Agosto para Setembro foi 
maior do que o para Novembro a Dezembro. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
5) Utilize o gráfico de segmentos do exemplo da-
do (venda de livro) e responda: 
a) Em que período do segundo semestre as ven-
das subiram? R: Agosto à Setembro e Outubro à Dezembro 
b) Em qual destes dois meses as vendas foram 
maiores Julho ou Outubro? R: Outubro 
c) Em que mês do semestre as vendas foram me-
nores? R: Agosto 
d) Em que mês foram vendidos 450 livros? R: Novembro 
 
6) Um aluno apresentou durante o ano letivo o 
seguinte aproveitamento: primeiro bimestre: nota 
7; segundo bimestre: nota 6; terceiro bimestre: 
nota 8; e quarto bimestre: nota 8. Construa um 
gráfico de segmentos correspondente a essa situa-
ção e, a partir dele, tire algumas conclusões. 
 
7) Uma professora anotou o número de faltas dos 
alunos, durante um semestre, de acordo com os 
dias da semana. Observe as anotações: segunda-
feira: 64 faltas; terça-feira: 32; quarta-feira: 32; 
quinta-feira: 48; sexta-feira: 60. 
a) Construa o gráfico de segmentos. 
b) Os alunos faltam mais em que dia da semana? 
R: Segunda-feira 
c) Quais são os dias que os alunos menos faltam? 
R: Terça-feira e quarta-feira 
d) Qual o período crescente (que aumentaram) o 
número de faltas? R: Quarta-feira à sexta-feira 
e) Qual
o período decrescente (que diminuíram) o 
número de faltas? R: Segunda-feira e terça-feira 
f) Qual o período estável de número de faltas. 
R: Terça-feira e quarta-feira 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
8)(Enem-2015) Doenças relacionadas ao sane-
amento ambiental inadequado (DRSAI) podem 
está associados ao abastecimento deficientes de 
água, tratamento inadequado de esgoto sanitário, 
contaminação por resíduos sólidos ou condições 
precárias de moradia. O gráfico apresenta o nú-
mero de casos de duas DRSAI de uma cidade: 
 
3 
 
 
O mês em que se tem a maior diferença 
entre o número de casos das doenças de tipo A e B 
é 
 
(a) Janeiro (c) Julho (e) Novembro 
 
(b) Abril (d) Setembro R: (d) 
 
9)(Enem-MEC) Um estudo sobre o problema do 
desemprego na Grande São Paulo, no período 
1985-1996, realizado pelo SEADE-DIEESE, apresen-
tou o seguinte gráfico sobre taxa de desemprego. 
 
 
 
Pela análise do gráfico, é correto afirmar 
que, no período considerado, 
(a) a maior taxa de desemprego foi de 14%. 
(b) a taxa de desemprego no ano de 1995 foi a 
menor do período. 
(c) a partir de 1992, a taxa de desemprego foi 
decrescente. 
(d) no período 1985-1996, a taxa de desemprego 
esteve entre 8% e 16%. 
(e) a taxa de desemprego foi crescente no período 
compreendido entre 1988 e 1991. R: (d) 
 
10)(Enem-2003) Após a ingestão de bebidas 
alcoólicas, o metabolismo do álcool e sua presença 
no sangue dependem de fatores como peso 
corporal, condições e tempo após a ingestão. O 
gráfico mostra a variação da concentração de 
álcool no sangue de indivíduos de mesmo peso 
que beberam três latas de cerveja cada um, em 
diferentes condições: em jejum e após o jantar. 
 
 
 
Tendo em vista que a concentração 
máxima de álcool no sangue permitida pela 
legislação brasileira para motoristas é 0,6 g/L, o 
indivíduo que bebeu após o jantar e o que bebeu 
em jejum só poderão dirigir após, 
aproximadamente, 
(a) uma hora e uma hora e meia, 
respectivamente. 
(b) três horas e meia hora, respectivamente. 
(c) três horas e quatro horas e meia, 
respectivamente. 
(d) seis horas e três horas, respectivamente. 
(e) seis horas, igualmente. R: (c) 
 
11)(Enem-2003) O tempo que um ônibus gasta 
para ir do ponto inicial ao ponto final de uma linha 
varia, durante o dia, conforme as condições do 
trânsito, demorando mais nos horários de maior 
movimento. A empresa que opera essa linha 
forneceu, no gráfico abaixo, o tempo médio de 
duração da viagem conforme o horário de saída do 
ponto inicial, no período da manhã. 
 
 
 
De acordo com as informações do gráfico, 
um passageiro que necessita chegar até as 10h 
30min ao ponto final dessa linha, deve tomar o 
ônibus no ponto inicial, no máximo, até as: 
 
(a) 9h20min (c) 9h00min (e) 8h50min 
 
(b) 9h30min (d) 8h30min R: (e) 
 
12)(UFPA–2010) O gráfico abaixo apresenta a 
incidência de tuberculose, de 1990 a 2006, em 
quatro países lusófonos, Angola, Brasil, 
Moçambique e Portugal, segundo dados da 
Organização Mundial de Saúde. 
 
4 
 
 
Com base neste gráfico, é INCORRETO afirmar: 
(a) Brasil e Portugal apresentaram 
comportamentos parecidos, com queda 
aproximadamente linear em seus índices. 
(b) No período de 1990 a 2006, dos quatro países, 
Moçambique foi o que apresentou maior 
crescimento de incidência relativa de tuberculose. 
(c) Nos últimos três anos do levantamento, de 
2004 a 2006, Brasil e Portugal apresentaram 
diminuição da incidência relativa de casos de 
tuberculose, enquanto Angola e Moçambique 
apresentaram crescimento do índice. 
(d) No início do período estudado, dos quatro 
países, Angola era o país que apresentava maior 
índice de incidência, mas foi largamente 
ultrapassado por Moçambique, cujo índice 
aproximadamente dobrou na década de 90. 
(e) Em 2006, o índice de incidência de tuberculose 
em Angola era superior ao quíntuplo do índice 
brasileiro, enquanto o índice de Moçambique era 
superior a oito vezes o índice do Brasil. R: (c) 
 
4.2 Gráfico de barras ou coluna 
A partir do “desempenho em Química” de-
monstrado pelos alunos de uma classe, um pro-
fessor elaborou a seguinte tabela: 
 
Desempenho em Química FA FR 
Insuficiente 6 15% 
Regular 10 25% 
Bom 14 35% 
Ótimo 10 25% 
Total 40 100% 
 
Com os dados da tabela é possível construir 
o gráfico de barras: 
 
 
 
Em geral, utiliza-se o gráfico de barras para 
comparar as frequências dos valores de uma 
mesma variável em um determinado momento. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
13) Durante uma hora foram anotados os tipos 
de veículos que passaram pela rua onde está situ-
ada uma escola e conseguiram-se os seguintes 
dados: T, T, T, M, A, T, T, M, T, B, B, T, T, A, T, T, 
C, T, M, T, T, T, C, B, T, T, T, T, T, A, T, T, T, M, C, 
T, T, T, T, B, T, T, M, B, A (M: motocicletas; C: 
caminhão; B: bicicleta; A: ambulância; T: carro). 
Construa um gráfico de barras que corresponda a 
essa pesquisa. 
 
14) Em uma eleição para representante de clas-
se, os candidatos foram Ricardo, Paula e Fausto. 
Observe o resultado da votação no gráfico de bar-
ras, em que estão especificados os votos das mu-
lheres e dos homens, e, em seguida, responda: 
a) Quantos alunos votaram? Desses, quantas mu-
lheres e quantos homens? R: 40 alunos; 19 homens e 21 mulheres 
b) Quantos votos obteve a candidata Paula? R: 12 votos 
c) Quantas mulheres votaram em Ricardo? R: 3 mulheres 
d) Qual a porcentagem de votos recebidos por 
Fausto? R: 50% 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
15)(Enem-2016) Uma empresa registrou seu 
desempenho em determinado ano por meio do 
gráfico, com dados mensais do total de vendas e 
despesas. 
 
 
 
O lucro mensal é obtido pela subtração en-
tre o total de vendas e despesas, nessa ordem. 
Quais os três meses do ano em que foram 
registrados os maiores lucros? 
(a) Julho, setembro e dezembro. 
(b) Julho, setembro e novembro. 
(c) Abril, setembro e novembro. 
(d) Janeiro, setembro e dezembro. 
(e) Janeiro, abril e junho. R: (a) 
 
5 
16)(Enem-2016) A diretoria empresa de alimen-
to resolve apresentar para seus acionistas uma 
proposta de novo produto. Nessa reunião, foram 
apresentadas as notas médias dadas por um gru-
po de consumidores que experimentaram o novo 
produto e dois produtos similares concorrentes (A 
e B). 
 
 
 
A característica que dá a maior vantagem 
relativa ao produto proposto e que pode ser usa-
da, pela diretoria, para incentivar a produção é a 
 
(a) textura (c) tamanho (e) odor 
 
(b) cor (d) sabor R: (d) 
 
17)(Enem-2013) A Cidade de Guarulhos (SP) 
tem o 8º PIB municipal do Brasil, além do maior 
aeroporto da América do Sul. Em proporção, pos-
sui a economia que mais cresce em indústrias, 
conforme mostra o gráfico. 
 
 
 
Analisando os dados percentuais do gráfico, 
qual a diferença entre o maior e o menor centro 
em crescimento no polo das indústrias? 
 
(a) 75,28 (c) 56,95 (e) 30,07 
 
(b) 64,09 (d) 45,76 R: (c) 
 
18)(Enem-2015) Em uma pesquisa sobre práti-
ca de atividade física, foi perguntado aos entrevis-
tados sobre o hábito de andar de bicicleta ao longo 
da semana e com que frequência o faziam. Entre 
eles, 75% afirmaram ter esse hábito, e a frequên-
cia semanal com que o faziam é apresentada no 
gráfico: 
 
 
Que porcentagem do total de entrevistados 
representa aqueles que afirmaram andar de bici-
cleta pelo menos três
vezes por semana? 
 
(a) 70,0% (c) 22,5% (e) 5,0% 
 
(b) 52,5% (d) 19,5% R: (b) 
 
19)(UEPA-2008) No mês de setembro passado, 
aconteceu em todo Brasil a Semana do Trânsito. 
Levantamentos diversos foram apresentados à 
sociedade. Os números do trânsito são alarman-
tes. De 1980 a 2000 foram registradas mais de 600 
000 mortes no trânsito, devido a ruas mal conser-
vadas, sinalizações deficientes e motoristas embri-
agados. Preocupado com os constantes problemas, 
um técnico do Detran, fez uma verificação em um 
semáforo de um cruzamento de vias. Após contar 
várias vezes a quantidade de veículos que atra-
vessaram o cruzamento com o sinal aberto, regis-
trou esses dados no gráfico abaixo: 
 
 
 
Com base no gráfico, é correto afirmar que: 
(a) nos 10 primeiros segundos, 12 carros 
atravessaram o sinal. 
(b) nos 20 primeiros segundos, 12 carros 
atravessaram o sinal. 
(c) nos 30 primeiros segundos, 24 carros 
atravessaram o sinal. 
(d) nos 30 primeiros segundos, 34 carros 
atravessaram o sinal. 
(e) até o sinal fechar, 34 carros haviam 
atravessado o sinal. R: (d) 
 
4.3 Gráfico de setores ou pizza 
Em um shopping Center há três salas de ci-
nema e o número de espectadores em cada uma 
delas num determinado dia da semana foi de 300 
na sala A, 200 na B e 500 na C. 
Veja essa situação representada em uma 
tabela de frequências e depois em um gráfico de 
setores: 
 
6 
 
Sala FA FR 
A 300 
300
1000
=
30
100
 30% 
B 200 
200
1000
=
20
100
 20% 
C 500 
500
1000
=
50
100
 50% 
 
 
 
No gráfico de setores o círculo todo indica o 
total (1000 espectadores ou 100%) e cada setor 
indica a ocupação de uma sala. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
20) Em uma eleição concorreram os candidatos A, 
B e C e, apurada a primeira urna, os votos foram 
os seguintes, A: 50 votos; B: 80 votos; C: 60 vo-
tos; brancos e nulos (BN): 10 votos. A partir des-
ses dados construa: 
a) a tabela de frequência dessa variável; 
b) o gráfico de barras, relacionando os valores da 
variável com as respectivas frequências relativas; 
c) o gráfico de setores, relacionando os valores da 
variável com suas porcentagens. 
 
21) Luísa é muito organizada e para mostrar 
quanto tempo gasta com suas atividades construiu 
um gráfico de setores. Observe o gráfico e res-
ponda: 
a) Quantas horas por dia Luísa estuda em casa? 
R: 3 horas e 36 minutos 
b) Que porcentagem do dia ela gasta para dormir? 
c) Construa o gráfico de barras correspondente. 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
22)(Enem-2013) Casado e independente 
Um novo levantamento do IBGE mostra que o 
número de casamentos entre pessoas na faixa dos 
60 anos cresce, desde 2003, a um ritmo 60% que o 
observado na população brasileira como todo 
 
 
 
Os gráficos expõem dados de estatística 
por meio de linguagem verbal e não verbal. No 
texto, o uso desse recurso: 
(a) exemplifica o aumento da expectativa de vida 
da população. 
(b) explica o crescimento da confiança na institui-
ção do casamento. 
(c) mostra que a população brasileira aumentou 
nos últimos cinco anos. 
(d) indica que as taxas de casamento e emprego 
cresceram na mesma proporção. 
(e) sintetiza o crescente número de casamentos e 
de ocupação no mercado de trabalho. R: (e) 
 
23)(UEPA-2010) A emissão de certidão negativa 
de débitos, ilustrada no gráfico abaixo, evidencia 
as duas modalidades disponibilizadas pela receita 
federal. Considerando que, em 2006, foram 
emitidas 12 milhões de CND, então o número de 
CND’s emitidas pela internet foi de: 
 
 
 
(a) 8,34 milhões (d) 10,85 milhões 
 
(b) 9,76 milhões (e) 11,64 milhões 
 
(c) 10,15 milhões R: (e) 
 
4.4 Histograma 
 Quando uma variável tem seus valores in-
dicados por classes (intervalos), é comum o uso 
de um tipo de gráfico conhecido por histograma. 
 
Exemplo: Consideremos a “altura” (em centíme-
tros) dos alunos de uma classe, agrupada em in-
tervalos, e a seguir os histogramas corresponden-
tes às frequências absolutas e relativas: 
 
7 
 
 
Histograma com as classes (intervalos) re-
lacionadas às frequências absolutas: 
 
Altura (cm) FA FR 
140 ‒ 150 6 15% 
150 ‒ 160 10 25% 
160 ‒ 170 12 30% 
170 ‒ 180 8 20% 
180 ‒ 190 4 10% 
 
 
 
Os segmentos que ligam em sequência os 
pontos médios das bases superiores formam um 
gráfico de segmentos conhecido como polígono 
do histograma, que será usado em assuntos pos-
teriores. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
24) Fazendo o levantamento dos salários dos vin-
te funcionários de um escritório, foram obtidos os 
seguintes valores em reais: 650, 800, 720, 620, 
700, 750, 780, 680, 720, 600, 846, 770, 630, 740, 
680, 640, 710, 750, 680 e 690. A partir deles, 
construa: 
a) a tabela de frequências com 5 classes; 
b) o histograma correspondente relacionando fai-
xa salarial e frequência absoluta. 
 
25) Na realização de uma prova foi anotado o 
tempo que cada aluno gastou para concluí-la (em 
minutos): 56; 51; 57; 49; 51; 51; 46; 50; 50; 47; 
44; 57; 53; 50; 43; 55; 48; 56; 49; 51; 47; 46; 
54; 52; 55; 45; 49; 50; 48; 51. A partir desses 
dados construa: 
a) a tabela de frequência com os valores em 5 
classes; 
b) o histograma relacionando as classes e suas 
frequência absolutas. 
 
26) A temperatura máxima do dia em uma cidade 
foi anotada durante vinte dias e apresentou os 
dados: 30 °C; 32 °C; 31 °C; 31 °C; 33 °C; 28,5 °C; 
33,5 °C; 27 °C; 30 °C; 34 °C; 30,5 °C; 28 °C; 30,5 °C; 
29,5 °C; 26 °C; 31 °C; 31 °C; 29 °C; 32 °C; 31,5 °C. 
Construa o histograma correspondente com os 
valores da variável em 5 intervalos. 
 
5 . MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
A partir das idades das pessoas de um gru-
po, podemos estabelecer uma única idade que 
caracteriza o grupo todo. 
Considerando as temperaturas de vários 
momentos em um mês qualquer, podemos deter-
minar uma só temperatura que dá uma ideia de 
todo o período. 
Avaliando as notas de um aluno no bimes-
tre, podemos registrar com apenas uma nota seu 
aproveitamento. 
Em situações como essas, o número obtido 
é a medida da tendência central dos vários 
números usados. A média aritmética é a mais co-
nhecida entre as medidas de tendência central. 
Além dela, vamos estudar também a mediana e a 
moda. 
 
5.1 Média aritmética (MA) 
 
Exemplos: 
a) Considerando um grupo de pessoas com idades 
22, 20, 21, 24 e 20 anos. Calcular a média aritmé-
tica das idades. 
 
Resolução: 
 
MA =
22 + 20 + 21 + 24 + 20
5
=
107
5
= 21,4 
 
Dizemos, então, que a média aritmética ou 
simplesmente a média de idade do grupo é 21,4 
anos. 
 
b) Se, ao medir de hora em hora a temperatura 
em determinado local, registraram-se 14 °C às 6h, 
15 °C às 7h, 15 °C às 8h, 18 °C às 9h, 20 °C às 10h, 
e 23 °C às 11h. Calcular a média aritmética das 
temperaturas. 
 
Resolução: 
 
MA =
14 + 15 + 15 + 18 + 20 + 23
6
=
105
6
= 17,5 
 
Dizemos, então, que no período das 6h às 
11h a temperatura média foi 17,5 °C. 
 
c) No caso de um aluno que realizou diversos tra-
balhos durante o bimestre e obteve as notas 7,5; 
8,5; 10,0 e 7,0. Calcular a média bimestral do alu-
no. 
 
Resolução: 
 
MA =
7,5 + 8,5 + 10,0 + 7,0
4
=
33
4
= 8,25 
 
Dizemos, então, que nesse bimestre o alu-
no teve média 8,25. 
Assim, generalizando, podemos afirmar 
que, os dados os n valores x1, x2, x3,..., xn de uma 
variável, a média aritmética é o número obtido da 
seguinte forma: 
 
 
MA =
x1 + x2 + x4 +⋯+ xn
n
=
∑ xi
n
i=1
n
 
 
8 
5.2 Média ponderada
(MP) 
Média ponderada é um caso de média com 
pesos diferentes, isto é, com graus de impor-
tância diferentes das parcelas envolvidas. 
 
Exemplo: Um aluno que realiza vários trabalhos 
com graus de importância diferentes no decorrer 
do bimestre, ele obteve 6,5 na prova (peso 2), 7,0 
na pesquisa (peso 3), 6,0 no debate (peso 1) e 7,0 
no trabalho de equipe (peso 2). A sua média, nes-
te caso, é chamada média aritmética pondera-
da. Calcular a sua média ponderada. 
 
Resolução: 
 
MP = 
2 ∙ 6,5 + 3 ∙ 7,0 + 1 ∙ 6,0 + 2 ∙ 7,0
2 + 3 + 1 + 2
= 
 
 
 = 
13 + 21 + 6 + 14
8
=
54
8
= 6,75 
 
Dizemos, então, que nesse bimestre o alu-
no teve média 6,75. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
27) Um time de futebol realizou algumas partidas 
e os resultados foram 3 a 1, 4 a 2, 1 a 1, 0 a 0, 3 a 
2, 2 a 1 e 1 a 0. Sabendo que o time não perdeu 
nenhuma partida, calcule a média aritmética dos 
gols: 
a) marcados; R: 2 gols 
b) sofridos. R: 1 gol 
 
28) Se um aluno já fez dois trabalhos e obteve 
8,5 e 5,0, qual deve ser a nota do terceiro trabalho 
para que a média aritmética dos três seja 7,0? 
R: nota 7,5 
29) Qual é a média de idade de um grupo em que 
há 6 pessoas de 14 anos, 9 pessoas de 20 e 5 pes-
soas de 16 anos? R: 17,2 anos 
 
30) Calcule a média aritmética ponderada de um 
aluno que obteve no bimestre 8,0 na prova (peso 
2), 7,0 na pesquisa (peso 3), 9,0 no debate (peso 
1) e 5,0 no trabalho de equipe (peso 2). R: nota 7 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
31)(Enem-2016) Em uma cidade, o número de 
casos de dengue confirmados aumentou conside-
ravelmente nos últimos dias. A prefeitura resolveu 
desenvolver uma ação contratando funcionários 
para ajudar no combate à doença, os quais orien-
tarão os moradores a eliminarem criadouros do 
mosquito Aedes aegyti, transmissor da dengue. A 
tabela apresenta o número atual de casos confir-
mados, por região da cidade. 
 
 
 
A prefeitura optou pela seguinte distribui-
ção dos funcionários a serem contratados: 
 10 funcionários para cada região da cidade cujo 
número de casos seja maior que a média dos 
casos confirmados. 
 7 funcionários para cada região da cidade cujo 
número de casos seja menor ou igual à média 
dos casos confirmados. 
Quantos funcionários a prefeitura deverá 
contratar para efetivar a ação? 
 
(a) 59 (b) 65 (c) 68 (d) 71 (e) 80 
R: (d) 
32)(Enem-2016) A permanência de uma geren-
te de uma empresa está condicionada à sua pro-
dução no semestre. Essa produção é avaliada pela 
média do lucro mensal do semestre. Se a média 
for, no mínimo, de 30 mil reais, o gerente perma-
nece no cargo, caso contrário, ele será despedido. 
O quadro mostra o lucro mensal, em milhares de 
reais, dessa empresa, de janeiro a maio do ano 
em curso. 
 
 
 
Qual deve ser o lucro mínimo da empresa 
no mês de junho, em milhares de reais, para o 
gerente continuar no cargo no próximo semestre? 
 
(a) 26 (b) 29 (c) 30 (d) 31 (e) 35 
R: (e) 
33)(Enem-2016) Preocupada com seus resulta-
dos, uma empresa fez um balanço dos lucros obti-
dos nos últimos sete meses, conforme quadro 
abaixo. 
 
 
 
Avaliando os resultados, o conselho diretor 
da empresa decidiu comprar, nos dois meses sub-
sequentes, a mesma quantidade de matéria-prima 
comprada no mês em que o lucro mais se aproxi-
mou da média dos lucros mensais dessa empresa 
nesse período de sete meses. 
Nos próximos dois meses, essa empresa 
deverá comprar a mesma quantidade de matéria-
prima comprada no mês 
 
(a) I. (b) II. (c) IV. (d) V. (e) VII. 
R: (d) 
34)(Enem-2016) O gráfico mostra a média de 
produção diária de petróleo no Brasil, em milhão 
de barris, no período de 2004 a 2010. 
 
 
 
Estimativas feitas naquela época indicavam 
que a média de produção diária de petróleo no 
9 
Brasil, em 2012, seria 10% superior à média dos 
três últimos anos apresentados no gráfico. 
Disponível em: http://blogs.estadao.com.br. Acesso em: 2 ago. 2012. 
Se essas estimativas tivessem sido confir-
madas, a média de produção diária de petróleo no 
Brasil, em milhão de barris, em 2012, teria sido 
igual a 
 
(a) 1,940 (c) 2,167 (e) 6,402 
 
(b) 2,134 (d) 2,420 R: (b) 
 
35)(Enem-2015) Cinco amigos marcaram uma 
viagem à praia em dezembro. Para economizar, 
combinaram de ir num único carro. Cada amigo 
anotou quantos quilômetros seu carro fez, em 
média, por litro de gasolina, nos meses de setem-
bro, outubro e novembro. Ao final desse trimestre, 
calcularam a média dos três valores obtidos para 
escolher o carro mais econômico, ou seja, o que 
teve a maior média. Os dados estão representados 
na tabela: 
 
 
 
Qual carro os amigos deverão escolher para 
a viagem? 
 
(a) I. (b) II. (c) III. (d) IV. (e) V. 
R: (c) 
36)(Enem-2013) As notas de um professor que 
participou de um processo seletivo, em que a ban-
ca avaliadora era composta por cinco membros, 
são apresentadas no gráfico. Sabe-se que cada 
membro da banca atribuiu duas notas ao profes-
sor, uma relativa aos conhecimentos específicos 
da área de atuação e outra, aos conhecimentos 
pedagógicos, e que a média final do professor foi 
dada pela média aritmética de todas as notas 
atribuídas pela banca avaliadora. 
 
 
 
Utilizando um novo critério, essa banca 
avaliadora resolveu descartar a maior e a menor 
nota atribuídas ao professor. 
A nova média, em relação à média anterior, 
é 
 
(a) 0,25 ponto maior. (d) 1,25 ponto maior. 
 
(b) 1,00 ponto maior. (e) 2,00 pontos menor. 
 
(c) 1,00 ponto menor. R: (b) 
(Veja a resolução dessa questão ) 
37)(Enem-2014) Ao final de uma competição de 
ciências escola, restaram apenas três candidatos. 
De acordo com as regras, o vencedor será o 
candidato que obtiver a maior média ponderada 
entre as notas das provas finais nas disciplinas de 
química e física, considerando, respectivamente, 
os pesos 4 e 6 para elas. As notas são sempre 
números inteiros. Por questões médicas, o candi-
dato II ainda não fez a prova final de química. No 
dia em que a sua avaliação for aplicada, as notas 
dos outros dois candidatos, em ambas as 
disciplinas, já terão sido divulgadas. 
 O quadro apresenta as notas obtidas pelos 
finalistas nas provas finais: 
 
 
 
A menor nota que o candidato II deverá 
obter na prova final de química para vencer a 
competição é 
 
(a) 18. (b) 19. (c) 22. (d) 25. (e) 26. 
R: (a) 
38)(Enem-2013) Foi realizado um levantamento 
nos 200 hotéis de uma cidade, no qual foram ano-
tados os valores, em reais, das diárias para um 
quarto padrão de casal e a quantidade de hotéis 
para cada valor da diária. Os valores das diárias 
foram: A = R$ 200,00; B = R$ 300,00; C = R$ 400,00 e 
D = R$ 600,00. No gráfico, as áreas representam as 
quantidades de hotéis pesquisados, em porcenta-
gem, para cada valor da diária. 
 
 
 
O valor mediano da diária, em reais, para o 
quarto padrão de casal nessa cidade, é 
 
(a) 300,00. (c) 350,00. (e) 400,00. 
 
(b) 345,00. (d) 375,00. R: (b) 
 
39)(Enem-2014) Um pesquisador está realizan-
do várias séries de experimentos com alguns rea-
gentes para verificar qual o mais adequado para a 
produção de um determinado produto. Cada série 
consiste em avaliar um dado reagente em cinco 
experimentos diferentes. O pesquisador está espe-
cialmente interessado naquele reagente que apre-
sentar a maior quantidade dos resultados de seus 
experimentos acima da média encontrada para 
aquele reagente. Após a realização de cinco séries 
de experimentos, o pesquisador encontrou os se-
guintes resultados: 
 
10 
 
 
Levando-se em consideração os 
experimentos feitos, o
reagente que atende às 
expectativas do pesquisador é o 
 
(a) 1. (b) 2. (c) 3. (d) 4. (e) 5. 
R: (b) 
5.3 Moda (Mo) 
Em estatística, moda é a medida de ten-
dência central definida como o valor mais frequen-
te de um grupo de valores observado. 
No exemplo do grupo de pessoas com ida-
des de 2, 3, 2, 1, 2 e 50 anos, a moda é 2 anos 
(Mo = 2) e demonstra mais eficiência para caracte-
rizar o grupo que a média aritmética. 
Se a temperatura medida de hora em hora, 
das 6h às 11h, apresentou os resultados 14 °C, 15 
°C, 15 °C, 18 °C, 20 °C e 25 °C, então dizemos que 
nesse período a moda foi 15 °C, ou seja, Mo = 15 
°C. 
Se as notas obtidas por um aluno foram 
6,0; 7,5; 7,5; 5,0 e 6,0, dizemos que a moda é 6,0 e 
7,5 e que a distribuição é bimodal. 
 
Observação: Quando não há repetição de núme-
ros, como, por exemplo, para os números 7, 9, 4, 
5 e 8, não há moda (amodal). 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
40) Considere os números 126, 130, 126 e 102 e 
calcule: 
a) a média aritmética (MA); R: 121 
 
b) A média ponderada (MP), com pesos 2, 3, 1 e 
2, respectivamente; R: 121,5 
 
c) a moda (Mo). R: 126 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
41)(Enem-2016) Ao iniciar as suas atividades, 
um ascensorista registra tanto o número de pes-
soas que entram quanto o número de pessoas que 
saem do elevador em cada um dos andares do 
edifício onde ele trabalha. O quadro apresenta os 
registros do ascensorista durante a primeira subi-
da do térreo, de onde partem ele e mais três pes-
soas, ao quinto andar do edifício. 
 
Número de 
pessoas 
Térreo 
1º 
andar 
2º 
andar 
3º 
andar 
4º 
andar 
5º 
andar 
Que entram no 
elevador 4 4 1 2 2 2 
Que saem do 
elevador 
0 3 1 2 0 6 
 
Com base no quadro, qual é a moda do 
número de pessoas no elevador durante a subida 
do térreo ao quinto andar? 
 
(a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 (e) 6 
R: (d) 
42)(Enem-2015) Uma pessoa, ao fazer uma 
pesquisa com alguns alunos de um curso, coletou 
as idades dos entrevistados e organizou esses da-
dos em um gráfico. 
 
 
 
Qual a moda das idades, em anos, dos en-
trevistados? 
 
(a) 9 (b) 12 (c) 13 (d) 15 (e) 21 
R: (a) 
43)(Enem-2014) Uma loja que vende sapatos 
recebeu diversas reclamações de seus clientes 
relacionadas à venda de sapatos de cor branca ou 
preta. Os donos da loja anotaram as numerações 
dos sapatos com defeito e fizeram um estudo es-
tatístico com o intuito de reclamar com o fabrican-
te. 
A tabela contém a média, a mediana e a 
moda desses dados anotados pelos donos. 
 
 
 
Para quantificar representaram a cor, os 
donos representam a cor branca pelo número 0 e a 
cor preta pelo número 1. Sabe-se que a média da 
distribuição desses zeros e uns é igual a 0,45. 
Os donos da loja decidiram que a 
numeração dos sapatos com maior número de 
reclamações e a cor com maior número de 
reclamações não serão mais vendidas. 
A loja encaminhou um ofício ao fornecedor 
dos sapatos, explicando que não serão mais 
encomendados os sapatos de cor 
 
(a) branca e os de número 37. 
(b) branca e os de número 38. 
(c) branca e os de número 36. 
(d) preta e os de número 38. 
(e) preta e os de número 37. 
 
5.4 Mediana (Me) 
A mediana é outra medida de tendência 
central. 
Assim, dados n números em ordem cres-
cente ou decrescente, a mediana será: 
 O número que ocupar a posição central se n for 
ímpar; 
 A média aritmética dos dois números que esti-
verem no centro se n for par. 
 
Exemplos: 
a) Numa classe, foram anotadas as faltas durante 
um período de 15 dias: 3, 5, 2, 0, 2, 1, 3, 4, 5, 7, 
0, 2, 3, 4 e 7. Calcular a mediana de faltas. 
 
11 
Resolução: 
 
Primeiro colocamos em ordem crescente 
(ou decrescente) os números dados. Segue: 
 
0,0,1,2,2,2,3⏟ 
7 valores
, 3, 3,4,4,5,5,7,7⏟ 
7 valores
 
 
A quantidade de termos é 15, portanto ím-
par, o termo médio é o 8°, que é o do meio, ou 
ainda 
15+1
2
 = 8. 
Logo a mediana são 3 faltas. Simbolica-
mente, Me = 3. 
 
b) As idades dos alunos de uma equipe são 12, 
16, 14, 12, 13, 16, 16 e 17 anos. Calcular a media-
na das idades. 
 
Resolução: 
 
Inicialmente colocamos em ordem crescen-
te (ou decrescente): 
 
12,12,13, 14,16,⏟ 
dois
valores
centrais
16,16,17 
 
Como temos uma quantidade par de valo-
res (8), fazemos a média aritmética entre os dois 
centrais, que são o 4° e o 5° termos: 
 
Me = 
14+16
2
 = 
30
2
 = 15 
 
Simbolicamente, Me = 15 anos. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
44) Durante os sete primeiros jogos de um cam-
peonato, um time marcou, respectivamente, 3, 2, 
1, 1, 4, 3 e 2 gols. Determine: 
a) a média de gols por partida (MA); R:  2,28 
b) a moda (Mo); R: 1, 2 e 3 (trimodal) 
c) a mediana (Me). R: 2 
 
45) De segunda-feira a sábado, os gastos de ali-
mentação de uma pessoa foram 15, 13, 12, 10, 14 
e 14 reais. Determine: 
a) a média diária de gastos (MA); R: 13 reais 
b) a moda (Mo); R: 14 reais 
c) a mediana (Me). R: 13,5 reais 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
46)(Enem-2017) O gráfico apresenta a taxa de 
desemprego (em %) para o período de março de 
2008 a abril de 2009, obtida com base nos dados 
observados nas regiões metropolitanas de Recife, 
Salvador, Belo Horizonte, Rio de janeiro, São Pau-
lo e Porto Alegre. 
 
 
A mediana dessa taxa de desemprego, no 
período de março de 2008 abril de 2009, foi de 
 
(a) 8,1% (b) 8,0% (c) 7,9% (d) 7,7% (e) 7,6% 
R: (b) 
47)(Enem-2016) Uma pessoa está disputando 
um processo de seleção para uma vaga de empre-
go em um escritório. Em uma das etapas desse 
processo, ela tem de digitar oito textos. A quanti-
dade de erros dessa pessoa, em cada um dos tex-
tos digitados, é dada na tabela. 
 
 
 
Nessa etapa do processo de seleção, os 
candidatos serão avaliados pelo valor da mediana 
do número de erros. 
A mediana do número de erros cometidos 
por uma pessoa é igual a 
 
(a) 2 (b) 2,5 (c) 3 (d) 3,5 (e) 4 
R: (b) 
48)(Enem-2015) Em uma seletiva para a final 
dos 100 m livres de natação, numa olimpíada, os 
atletas, em suas respectivas raias, obtiveram o 
seguinte tempo: 
 
 
 
A mediana dos tempos apresentados nos 
quadros é 
 
(a) 20,70 (c) 20,80 (e) 20,90 
 
(b) 20,77 (d) 20,85 R: (d) 
(Veja a resolução dessa questão ) 
49)(Enem-2014) Os candidatos K, L, M, N e P 
estão disputando uma única vaga de emprego em 
uma empresa e fizeram prova de português, 
matemática, direito e informática. A tabela 
apresenta as notas obtidas pelos cinco candidatos. 
 
 
 
Segundo o edital de seleção, o candidato 
aprovado será aquele para o qual a mediana das 
notas obtidas por ele nas quatro disciplinas for a 
maior. 
O candidato aprovado será 
 
(a) K. (b) L. (c) M. (d) N. (e) P. 
R: (d) 
50)(UEPA-2014) As empresas aéreas brasileiras 
reduziram as ofertas de voos nos últimos anos em 
função dos gastos com o combustível. Na tabela 
12 
abaixo, encontra-se a variação do aumento de 
preço do litro do querosene de aviação. 
 
Ano 2008 2009 2010 2011 2012 2013 
Preço 
(R$) 
1,44 1,40 1,56 1,92 2,26 2,50 
Fonte: Revista veja, 4 Setembro de 2013. 
 
O valor da mediana em relação ao preço do 
litro do querosene é: 
 
(a) 1,66 (b) 1,74 (c) 1,85 (d) 1,97 (e) 2,12 
R: (b) 
51)(UEPA-2012) 
 
 
Em relação aos dados obtidos nessa pes-
quisa é correto afirmar que a média percentual de 
estudantes que sofrem bullyng, nas capitais brasi-
leiras, é igual a: 
 
(a) 38,65% (c) 33,94% (e) 30,66% 
 
(b) 35,89% (d) 32,92% R: (d) 
 
52)(UEPA-2012) Observando os dados apresen-
tados no gráfico anterior, é possível afirmar, em 
relação ao valor da mediana que: 
(a) Terá valor
correspondente a 33,2%. 
(b) Terá valor correspondente ao da cidade de 
Porto Alegre. 
(c) Terá valor correspondente a 32,4%. 
(d) Terá valor correspondente ao da cidade de 
João Pessoa. 
(e) Terá valor correspondente a 31,2%. R: (c) 
 
53)(UEPA-2011) A figura abaixo mostra o ciclo 
de crescimento do eucalipto, uma planta utilizada 
para produzir pasta de celulosa e bastante usada 
na fabricação de papel, carvão vegetal e madeira. 
A média, aproximada, de crescimento de eucalip-
to, nos sete primeiros anos, de acordo com os 
dados apresentados, é: 
 
 
 
(a) 15,34 m (c) 25,47 m (e) 27,20 m 
 
(b) 20,28 m (d) 26,38 m R: (b) 
 
54)(UEPA-2010) 
 
 
O gráfico acima mostra a evolução da 
entrega de declarações e documentos, via 
internet. A média, em milhões de unidades, de 
entrega de declarações e documentos no período 
de 2000 a 2005 é: 
 
(a) 22,4 (b) 28,5 (c) 33,6 (d) 40,5 (e) 45,6 
R: (c) 
55)(UEPA-2009) 
 
Em relação ao gráfico apresentado no Texto 
9, a taxa média de fecundidade do Japão ao Brasil 
é igual a: 
 
13 
(a) 1,2 (b) 1,3 (c) 1,48 (d) 1,55 (e) 1,8 
R: (c) 
56) Com base nos dados apresentados no gráfico 
do Texto 9, a mediana é igual a: 
 
(a) 3,6 (b) 2,1 (c) 2,0 (d) 1,8 (e) 1,3 
R: (d) 
57)(UEPA-2007) No QUADRO I constam dados 
relativos ao consumo doméstico de água, em li-
tros, por atividade e no QUADRO II, o tempo 
gasto com um banho diário, em minutos, e o nú-
mero de banhos diários por cada membro de uma 
família. 
 
QUADRO I 
ATIVIDADE 
QUANTIDADE 
(LITROS) 
Um minuto de chuveiro 15 
Uma lavagem de mãos 3 
Uma escovação dos dentes 11 
Descarga do vaso sanitário 10 
 
QUADRO II 
FAMÍLIA 
TEMPO 
(MINUTOS) 
BANHOS DIÁRIOS 
Pai 4 3 
Mãe 6 3 
Filho 3 4 
Filha 7 4 
 
 Para incentivar, facilitar e expandir a reci-
clagem de resíduos no País, o Conama estabeleceu 
um Código de Cores para os Diferentes Tipos de 
Resíduos (QUADRO III). Esse código tem valida-
de nacional e foi inspirado em formas de codifica-
ção adotada internacionalmente. A reciclagem é 
uma das alternativas de tratamento de resíduos 
mais vantajosas, tanto do ponto de vista ambiente 
como do social. Ela reduz o consumo de recursos 
naturais, poupa energia e água e ainda diminui o 
volume de lixo e a poluição. Além disso, quando 
há um sistema de coleta seletiva bem estruturado, 
a reciclagem pode ser uma atividade econômica 
rentável. 
 
QUADRO III 
CÓDIGO DE CORES PARE OS DIFERENTES TIPOS 
DE RESÍDUOS 
CORES RESÍDUOS 
AMARELO METAL 
AZUL PAPEL 
VERDE VIDRO 
VERMELHO PLÁSTICO 
 
Considerando os dados dos QUADROS I e 
II, podemos afirmar que cada membro dessa fa-
mília gasta para tomar banho diariamente, em 
média: 
 
(a) 52,5 litros de água (d) 262,5 litros de água 
 
(b) 75 litros de água (e) 300 litros de água 
 
(c) 105 litros de água 
 
R: (d) 
 
58)(UEPA-2006) A revista ÉPOCA, em uma de 
suas edições, publicou uma matéria, de Edgar Lo-
pes, sobre os jovens talentos do Basquete brasilei-
ro, intitulada: Uma nova geração. Abaixo você 
acompanha trechos da matéria publicada. 
 
“Quase dez anos depois da última participação 
nas olimpíadas, o basquete brasileiro volta a 
sonhar alto. Foi um campeonato. Mas a vitória 
na Copa América credenciou a equipe masculina 
de basquete para o Mundial do Japão em 2006. 
Uma boa performance nesse mundial levará a 
seleção – que nem chegou a se classificar para 
duas últimas olimpíadas – para China em 2008... 
Sinal de novos tempos é que o país vem expor-
tando craques. Nunca tantos brasileiros partici-
param da NBA, o campeonato americano ... 
Outros dessas safra estão na Europa”. 
 
A matéria apresentou dados, como mostra 
a tabela abaixo, de alguns dos brasileiros que bri-
lham no exterior. 
 
 
 
Observando a tabela, conclui-se que a mo-
da, a mediana e a média aritmética das alturas 
dos 5 atletas apresentados na reportagens corres-
pondem, respectivamente, a: 
 
(a) 2,11m; 2,04m e 2,054m 
 
(b) 2,04m; 2,11m e 2,031m 
 
(c) 2,11m; 2,09m e 2,054m 
 
(d) 2,04m; 2,09m e 2,031m 
 
(e) 1,92m; 2,04m e 2,025m R: (c) 
 
59)(UEPA-2006) Na tabela abaixo estão repre-
sentados os preços de alguns produtos, em real, e 
a quantidade vendida durante o mês de novem-
bro/2005: 
 
 
 
O preço médio dos produtos vendidos no 
mês de novembro foi: 
 
(a) R$ 2,50 (c) R$ 4,00 (e) R$ 6,50 
 
(b) R$ 3,50 (d) R$ 5,00 R: (c) 
 
60)(UEPA-2004) Uma escola em Belém atribui 
pesos para o cálculo das quatro avaliações anu-
ais. A primeira avaliação tem peso 1; a segun-
da, peso 2; a terceira, peso 3 e; a quarta, pe-
so 4. Sendo assim, considerando as quatro avalia-
ções de um aluno que obteve para 1ª, 2ª, 3ª e 4ª 
avaliações, as respectivas notas: 6,0; 4,0; 7,0 e 9,5, 
a média foi exatamente: 
 
(a) 6,6 (b) 6,9 (c) 7,1 (d) 7,3 (e) 7,6 
R: (d) 
61)(UEPA-2005) O professor Joelson aplicou 
uma prova de Matemática a 25 alunos, contendo 5 
questões, valendo 1 ponto cada uma. Após fazer a 
correção, o professor construiu o gráfico abaixo, 
que relaciona o número de alunos às notas obtidas 
por eles. 
 
14 
 
 
Observando o gráfico, conclui-se que a 
moda e a mediana das notas obtidas pelos 25 
alunos correspondem, respectivamente, a: 
 
(a) 2,0 e 3,0 (c) 2,0 e 5,0 (e) 3,0 e 5,0 
 
(b) 2,0 e 4,0 (d) 3,0 e 4,0 R: (d) 
 
6 . MEDIDAS DE DISPERSÃO 
Uma pessoa é encarregada de organizar 
atividades de lazer para um grupo de 6 pessoas e 
recebe a informação de que a média de idade do 
grupo é 20 anos. Nesse caso, apenas a informação 
da média não é suficiente para planejar as ativida-
des, pois podemos ter grupos com média de idade 
de 20 anos e características totalmente diferentes. 
Observamos alguns grupos possíveis: 
 Grupo A: 20 anos; 20 anos; 20 anos; 20 anos; 
20 anos; 20 anos. 
 
MA = 
20+20+20+20+20+20
6
 = 
120
6
 = 20 anos 
 
 Grupo B: 22 anos; 23 anos; 18 anos; 19 anos; 
20 anos; 18 anos. 
 
MA = 
22+23+18+19+20+18
6
 = 
120
6
 = 20 anos 
 
 Grupo C: 6 anos; 62 anos; 39 anos; 4 anos; 8 
anos; 1 ano. 
 
MA = 
6+62+39+4+8+1
6
 = 
120
6
 = 20 anos 
 
 Como medida de tendência central não é 
suficiente para caracterizar o grupo C, é conveni-
ente utilizar medidas que expressem o grau de 
dispersão de um conjunto de dados. As mais usa-
das são a variância e o desvio padrão. 
 
6.1 Variância (V) 
A ideia básica de variância é tomar os des-
vios dos valores xi em relação à média aritmética 
(xi ‒ MA). Mas a soma desses desvios é igual a 0 
(por uma propriedade da média). Uma opção pos-
sível, então, é considerar o total dos quadrados 
dos desvios ∑ (xi −MA)
2n
i=j e expressar a variância 
(V) como a média dos quadrados dos desvios, ou 
seja: 
 
V =
∑ (xi −MA)
2n
i=j
n
 
 
 
 
Exemplo: 
Vamos descobrir a variância nos grupos A, 
B e C citados anteriormente: 
 Grupo A: (20; 20; 20; 20; 20; 20). 
MA = 20 
Desvios: 20 – 20 = 0; todos iguais a 0. 
V = 0 
Quando todos os valores são iguais, dize-
mos que não houve dispersão e, por isso, a vari-
ância é 0. 
 
 Grupo B: (22; 23; 18; 19; 20; 18). 
MA = 20 
Desvios: 22 – 20 = 2; 23 – 20 = 3; 18 – 20 = ‒ 2; 
19 ‒ 20 = ‒ 1; 20 ‒ 20 = 0; 18 – 20 = ‒ 2 
V =
22 + 32 + (−2)2 + (−1)2 + 02 + (−2)2
6
= 
 
=
4 + 9 + 4 + 1 + 0 + 4
6
=
22
6
≅ 3,6 
 Grupo C: (6; 62; 39; 4; 8; 1). 
MA = 20 
Desvios: 6 – 20 = ‒ 14; 62 – 20 = 42; 39 – 20 = 
19; 4 ‒ 20 = ‒ 16; 8 – 20 = ‒ 12; 1 – 20 = ‒ 19 
 
V =
(−14)2 + 422 + 192
+ (−16)2 + (−12)2 + (−19)2
6
 
 
=
196 + 1764 + 361 + 256 + 144 + 361
6
=
3082
6
 
 
≅ 513,6 
 
A variância é suficiente para diferenciar a 
dispersão dos grupos: O grupo A não tem disper-
são (V = 0) e o grupo C tem uma dispersão maior 
que o grupo B (513,6 > 3,6). Porém, não é possível 
expressar a variância na mesma unidade dos valo-
res da variável, vez que os desvios são elevados 
ao quadrado. Então definiu-se a medida de disper-
são chamada desvio padrão. 
 
6.2 Desvio Padrão (DP) 
O desvio padrão (DP) é a raiz quadrada da 
variância. Ele facilita a interpretação dos dados, 
pois é expresso na mesma unidade dos valores 
observados (do conjunto de dados). 
No exemplo que estamos analisando, te-
mos: 
 grupo A: DP = √0 = 0 anos 
 grupo B: DP = √3,6 ≅ 1,9 anos 
 grupo C: DP = √513,6 ≅ 22,6 anos 
 
O desvio padrão DP = √V; sendo V a vari-
ância. 
 
Observações: 
 Quando todos os valores da variável são iguais, 
o desvio padrão é 0. 
 Quanto mais próximo de 0 é o desvio padrão, 
mais homogênea é a distribuição dos valores 
da variável. 
 O desvio padrão é expresso na mesma unidade 
da variável. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
62) Em um treinamento de salto em altura, os 
atletas realizaram 4 saltos cada um. Veja as mar-
cas obtidas por três atletas e responda: 
atleta A: 148 cm, 170 cm, 155 cm e 131 cm; 
atleta B: 145 cm, 151 cm, 150 cm e 152 cm; 
atleta C: 146 cm, 151 cm, 143 cm e 160 cm. 
 
a) Qual deles obteve melhor média? R: atleta A 
15 
b) Qual deles foi o mais regular? R: atleta B 
 
63) Em um concurso o critério de aprovação leva 
em conta a média e o desvio padrão após a reali-
zação das 3 provas. Calcule a média e o desvio 
padrão de um candidato que nas provas obteve, 
respectivamente, 63 pontos, 56 pontos e 64 pon-
tos. R: Média de 61 pontos; DP de 3,55 pontos 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
64)(Enem-2016) O procedimento de perda rápi-
da de peso é comum entre os atletas dos esportes 
de combate. Para participar de um torneio, quatro 
atletas da categoria até 66 kg, Peso-Pena, foram 
submetidos a dietas balanceadas e atividades físi-
cas. Realizaram três “pesagens” antes do início do 
torneio. Pelo regulamento, a primeira luta deverá 
ocorrer entre o atleta mais regular e o menos re-
gular quanto aos “pesos”. As informações com 
base nas pesagens dos atletas estão no quadro. 
 
 
 
 Após as três “pesagens”, os organizadores 
do torneio informaram aos atletas quais deles se 
enfrentariam na primeira luta. 
A primeira luta foi entre os atletas 
 
(a) I e III (c) II e III (e) III e IV 
 
(b) I e IV (d) II e IV R: (c) 
 
65)(UEPA-2006) A revista ÉPOCA, em uma de 
suas edições, publicou uma matéria, de Edgar Lo-
pes, sobre os jovens talentos do Basquete brasilei-
ro, intitulada: Uma nova geração. Abaixo você 
acompanha trechos da matéria publicada. 
 
“Quase dez anos depois da última participação 
nas olimpíadas, o basquete brasileiro volta a 
sonhar alto. Foi um campeonato. Mas a vitória 
na Copa América credenciou a equipe masculina 
de basquete para o Mundial do Japão em 2006. 
Uma boa performance nesse mundial levará a 
seleção – que nem chegou a se classificar para 
duas últimas olimpíadas – para China em 2008... 
Sinal de novos tempos é que o país vem expor-
tando craques. Nunca tantos brasileiros partici-
param da NBA, o campeonato americano ... 
Outros dessas safra estão na Europa”. 
 
A matéria apresentou dados, como mostra 
a tabela abaixo, de alguns dos brasileiros que bri-
lham no exterior. 
 
 
 
Observando a tabela, conclui-se que o 
desvio padrão das idades dos 5 atletas apresen-
tados na reportagem corresponde, aproximada-
mente, a: 
 
(a) 1,62 anos (c) 1,94 anos (e) 2,56 anos 
 
(b) 1,78 anos (d) 2,20 anos R: (a) 
 
66)(UEPA-2005) Em um torneio de tiro ao alvo, 
Miguel e Manoel empataram na primeira coloca-
ção, uma vez que obtiveram o mesmo total de 
pontos, como mostra o quadro abaixo. 
 
Ordem de tiro 
Pontos Obtidos 
Miguel Manoel 
1º 100 85 
2º 80 90 
3º 90 95 
4º 90 90 
 
O critério de desempate da competição, 
neste caso, aponta o vencedor como sendo aquele 
que obteve pontuação mais próximas nos quatro 
tiros, ou seja, uma menor dispersão. Foi adotado 
para o cálculo o desvio médio absoluto dos con-
juntos de pontos obtidos por cada competidor. 
Portanto, conclui-se que o vencedor foi: 
 
(a) Manoel, pois obteve um melhor desempenho, 
com o valor 5 para o desvio médio absoluto. 
(b) Miguel, pois obteve um melhor desempenho, 
com o valor 5 para o desvio médio absoluto. 
(c) Manoel, pois obteve um melhor desempenho, 
com o valor 3,5 para o desvio médio absoluto. 
(d) Miguel, pois obteve um melhor desempenho, 
com o valor 3,5 para o desvio médio absoluto. 
(e) Manoel, pois obteve um melhor desempenho, 
com o valor 7,5 para o desvio médio absoluto. R: (c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila atualizada em 28/8/2018 
 
 
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Referências 
 
DANTE, L.R. Matemática: Contexto & Aplicações. 1. Ed. São 
Paulo: Ática, 2000, v.1.