Apostila de Função Modular (6 pgs, 32 qts)

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

PROF. GILBERTO SANTOS JR
FUNÇÃO MODULAR 
 
SUMÁRIO 
 
1 . MÓDULO DE NÚMERO REAL ......................... 1 
2 . DEFINIÇÃO DE MÓDULO ............................. 1 
3 . PROPRIEDADES DE MÓDULO ....................... 1 
3.1 Para todo x ∈ ℝ, temos |x| = |‒ x| ................... 1 
3.2 Para todo x ∈ ℝ temos |x2| = x2 .................... 1 
3.3 Para todo x ∈ ℝ, temos √x2 = |x| .................. 1 
4 . VALOR DE x A PARTIR DO MÓDULO DE x ....... 2 
5 . FUNÇÃO MODULAR ..................................... 2 
5.1 Introdução ............................................... 2 
5.2 Definição .................................................. 2 
5.3 O Gráfico.................................................. 2 
6 . EQUAÇÃO MODULAR .................................. 3 
6.1 Equações modulares sujeitas a condições ..... 3 
7 . INEQUAÇÃO MODULAR ............................... 4 
Referências ....................................................... 6 
 
 
1 . MÓDULO DE NÚMERO REAL 
 Indicamos o módulo ou valor absoluto 
de um número real qualquer x por |x|, que se lê 
módulo de x. 
 Assim: 
 
|2| = 2 |0| = 0 |√2| = √2 
 
|‒ 2| = 2 |
1
3
| = 
1
3
 |‒ 0,6| = 0,6 
 
2 . DEFINIÇÃO DE MÓDULO 
 Seja x um número real, representamos o 
módulo de x por |x| e definimos: 
 O módulo de x é igual ao próprio x, se x ≥ 0; 
 O módulo de x é igual ao oposto de x, se x < 0. 
Isto é, 
 
|x| = x, se x ≥ 0 
ou 
|x| = ‒ x, se x < 0 
 
 
Muito escrito dessa forma: 
 
 
|x| = {
x, se x ≥ 0
−x, sex < 0
 
 
 
 Geometricamente, o módulo de um núme-
ro indica, na reta real, a distância do número ao 
zero. 
 
 
 
|2| = 2, porque a distância do 2 ao 0 é de 2 unida-
des. 
|‒ 3| = 3, porque a distância do ‒ 3 ao 0 é de 3 
unidades. 
 
Exemplos: 
 |2| = 2, porque, neste caso, x = 2 e 2 > 0 
 |0| = 0, porque, neste caso, x = 0 
 |‒ 2| = ‒(‒ 2) = 2, porque x = ‒ 2 e ‒ 2 < 0 
 |3| = 3 
 |
1
2
| = 
1
2
 
 |‒ 6| = ‒ (‒ 6) = 6 
 |−√2| = ‒ (‒ √2) 
Podemos observar que o módulo de um 
número real qualquer nunca é negativo, ou seja, 
é sempre positivo ou zero. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Calcule o valor de: 
a) 2 ∙ |5| = f) |‒ 3| ‒ |+ 8| = 
 
b) |‒ 7| + 7 = g) |‒ 5 + 3| = 
 
c) |‒ 7| + |‒ 2| = h) |‒ 5| + |3| = 
 
d) |‒ 3| + |3| = i) |(‒ 5)(‒4)| = 
 
e) |‒ 1| ‒ |‒ 1| = j) ‒ |‒ 7| = 
 
2) Calcule: 
a) |3 ‒ x|, quando x = 7 
 
b) |x2 ‒ 3x ‒ 10| quando x = 2 
 
c) |x2| com x ∈ ℝ 
d) |x5| com x ∈ ℝ 
 
e) |x ‒ 3| com x ∈ ℝ 
 
f) |x + 5| com x ∈ ℝ 
 
g) |x ‒ 4| com x > 4 
 
h) |x ‒ 2| + |x ‒ 6| com x ∈ ℝ 
i) |x ‒ 3| ‒ |x ‒ 5| com x ∈ ℝ 
 
3 . PROPRIEDADES DE MÓDULO 
3.1 Para todo x ∈ ℝ, temos |x| = |‒ x| 
 
Exemplos: 
 |4| = 4 = |‒ 4| 
 |7| = 7 = |‒ 7| 
 |
1
2
| = 
1
2
 = |−
1
2
| 
 
3.2 Para todo x ∈ ℝ temos |𝐱𝟐| = 𝐱𝟐 
 
Exemplos: 
 Para x = 6 ⟹ |62| = |36| = 36 e 62 = 36 
 Para x = 0 ⟹ |02| = |0| = 0 e 02 = 0 
 Para x = ‒5 ⟹ |(−5)2| = |25| = 25 e (−5)2 = 
25 
 
3.3 Para todo x ∈ ℝ, temos √𝐱𝟐 = |x| 
 
Exemplos: 
 Para x = 5: 
 √52 = |5| 
⟺ √25 = |5| 
⟺ 5 = 5 (V) 
 
 Para x = ‒ 5: 
2 
 √(−5)2 = |‒ 5| 
⟺ √25 = |5| 
⟺ 5 = 5 (V) 
 
Observação: Não é correto considerar √x2 = x, x ∈ 
ℝ, pois é verdadeiro para x ≥ 0, mas é falso para 
x < 0. Veja: 
 Para x = 3: 
 √32 = 3 
⟺ √9 = 3 
⟺ 3 = 3 (V) 
 
 Para x = ‒ 3: 
 √(−3)2 = ‒ 3 
⟺ √9 = ‒ 3 
⟺ 3 = ‒ 3 (F) 
 
4 . VALOR DE x A PARTIR DO MÓDULO DE 
x 
Analise cada um dos exemplos (com mó-
dulo de x positivo, negativo ou zero): 
a) |x| = 0 ⟹ x = 0 
 
b) |x| = ‒ 3 
Não existe valor real para x, pois o valor 
de um módulo nunca é negativo. 
 
c) |x| = 6 ⟹ x = 6 ou x = ‒ 6, porque |6| = 6 e 
|-6| = 6. 
 
 De modo geral, podemos dizer que: 
 
 
 |x| = a, com a = 0 ⟹ x = 0 
 |x| = a, com a < 0 ⟹ não existe x ∈ ℝ 
 |x| = a, com a > 0 ⟹ x = a ou x = ‒ a 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
3) Verifique se a s afirmações são verdadeiras ou 
falsas: 
 
a) |5| = ‒ |5| e) |5| + |‒5|=0 
 
b) |‒5| = 5 f) ‒|‒5| = 5 
 
c) |5| = |‒ 5| g) √(−5)2 = 5 
 
d) ‒ |5| = ‒ 5 h) |52| = (−5)2 
 
4) Determine, quando possível, o valor de x em 
cada caso: 
 
a) |x| = 9 f) |x| = ‒ 1 l) x = √25 
 
b) |x| = ‒ 6 g) x = |‒ 6| m) x2 = 25 
 
c) |x| = 0 h) |x| = ‒ 6 n) |x| = |3| 
 
d) |x| = 
4
5
 i) |x| = 6 o) |x| = |‒ 4| 
 
e) |x| = 1 j) x = |6| 
 
5 . FUNÇÃO MODULAR 
5.1 Introdução 
 Dado um número real x, sempre existe |x| 
e seu valor é único. 
 Temos então uma função de ℝ em ℝ que 
será chamada de função modular. 
 
5.2 Definição 
 Denomina-se função modular a função f, 
de ℝ em ℝ, tal que f(x) = |x|, ou seja: 
 
f(x) = {
x, para x ≥ 0
−x, para x < 0
 
 
5.3 O Gráfico 
 Vamos construir o gráfico da função f(x) = 
|x|: 
 Se x ≥ 0 ⟹ f(x) = |x| = x 
 
x y 
 
0 0 
1 1 
2 2 
 
 
 
 Se x < 0 ⟹ f(x) = |x| = ‒ x 
 
x y 
 
‒ 1 1 
‒ 2 2 
 
 
 
 
 Colocando as duas condições num só gráfi-
co: 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
5) Dada a função f(x) = |2x ‒ 8|, calcule: 
 
a) f(5) = c) f(4) = e) f(0) = 
 
b) f(1) = d) f(‒ 4) = f) f (1
2
) = 
 
6) Construa o gráfico das funções, determinado o 
domínio e a imagem de cada uma; 
a) f(x) = |x ‒ 2| 
 
b) f(x) = |x ‒ 1| ‒ 1 
 
c) f(x) = |x| + x 
 
d) f(x) = 1 ‒ |x ‒ 1| 
 
7) Construa o gráfico da função f(x) = |x ‒ 2| ‒ 1. 
 
3 
8) Construa o gráfico da função f(x) = |x ‒ 1| + |x 
‒3|. 
9) Construa o gráfico de f(x) = |x2| 
 
10) Construa o gráfico de f(x) = |x2 ‒ 1| 
 
11) Construa o gráfico de f(x) = |x2 ‒ 4| 
 
12) Construa o gráfico da função f tal que f(x) = 
{
 |x|, para x ≤ 1
−x + 3, para x > 1
 
 
13) Construa o gráfico da função f dada por f(x) 
= {
|x|, para − 2 < x ≤ 2
x, para x ≤ 2 
4, para x > 2 
 
 
14) Seja a função definida f: ℝ* em ℝ tal que 
f(x) = 
|x|
x
: 
a) Construa o gráfico da função f; 
b) Determine o D
f
 e Im
f
. 
 
EXERCÍCIO DE VESTIBULAR 
15)(EEM-SP) No plano cartesiano, esboce o grá-
fico, no intervalo ‒ 1 ≤ x ≤ 1, da função 
f(x) = x ∙ |x|. 
 
6 . EQUAÇÃO MODULAR 
 Equações modulares são aquelas em que a 
incógnita aparece dentro de módulos. 
 Para resolvê-las, basta aplicar as proprie-
dades de módulos vista no início da apostila. 
 
Exemplos: Resolver as equações. 
a) |x – 5| = 3. 
 
Resolução: 
 
 Aplicando a propriedade: |x| = a, com a > 0 
⟹ x = a ou x = ‒ a. Segue, 
 
|x ‒ 5| = 3 ⟹ x ‒ 5 = 3 ou x ‒ 5 = ‒ 3 
 
Resolvendo as equações obtidas, temos: 
 
x ‒ 5 = 3 ⟹ x = 5 + 3 ⟹ x = 8 
 
x ‒ 5 = ‒ 3 ⟹ x = 5 ‒ 3 ⟹ x = 2 
 
Solução S = {2, 8} 
 
b) |3x – 1| = ‒ 5. 
 
Resolução: 
 
 Não existe módulo com valor negativo, 
logo não existe valor real para x. 
 
Solução S =  
 
c) |x|2 + 2|x| ‒ 15 = 0. 
 
Resolução: 
 
 Fazendo |x| = y, com y ≥ 0 e temos: 
 
y2 + 2y – 15 = 0 
 
y’ = 3 ou y’ = ‒ 5 (este valor não convém, pois y ≥ 
0) 
 Como |x| = y e y = 3, segue: 
 
|x| = 3 ⟺ x = 3 ou x = ‒ 3 
 
S = {‒ 3, 3} 
 
d) |x2 – x ‒ 1| = 1. 
 
Resolução: 
 
 |x2 – x ‒ 1| = 1 ⟺ x2 – x – 1 = 1 ou x2 ‒ x ‒ 1 = 
‒ 1 
 
 x2 – x – 1 = 1 
 
x2 ‒ x ‒ 2= 0 
 
x’ = 2 ou x” = ‒ 1 
 
 x2 ‒ x ‒ 1 = ‒ 1 
 
x2 ‒ x = 0 
 
x’ = 0 ou x” = 1 
 
S = {‒ 1, 0, 1, 2} 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
16) Resolva as equações: 
a) |x ‒ 6| = 10 R: S = {- 4, 16} 
 
b) |3x – 1| = 5 R: S = {- 4/3, 2} 
 
c) |4x – 1| = ‒ 3 R: S =  
 
d) |2 – 5x| = 13 R: S = {- 11/5, 3} 
 
e) |
x−1
4
| = 2 R: S = {- 7, 9} 
 
f) 5 + |‒ 2x + 4| = 11 R: S = {- 1, 10} 
 
g) |
x−1
x−3
| = 2 , para x ≠ 3 R: S = {7/3, 5} 
 
h) |
3x−1
2
| = ‒ 1, R: S =  
 
17) Resolva as equações: 
a) |x2 + 6x ‒ 1| = 6 e) |x|2 ‒ 4|x| ‒ 5 = 0 
R: S = {- 7, -5, -1, 1} R: S = {- 5, 5} 
 
b) |x2 ‒ 5x| = 6 f) |x|2 ‒ 4|x| ‒ 12 = 0 
R: S = {- 1, 2, 3, 6} R: S = {- 6, 6} 
 
c) |x2 ‒ 6| = ‒ 1 g) 5 + |x2 – x ‒ 2| = 3 
R: S =  R: S = {0, 1} 
 
d) |x2 ‒ 2x ‒ 4| = 4 h) |x|2 – 4 = 0 
R: S = {- 2, 0, 2, 4} R: S = {- 4, 4} 
 
18) Resolva as equações: 
a) |3x – 7| = |2x – 3| R: S = {2, 4} 
 
b) |1 ‒ 3x| = |x + 3| 
 
EXERCÍCIO DE VESTIBULAR 
19)(UEPA-2004) O conjunto solução da equa-
ção |𝐱|𝟐 – 2|x| – 3 = 0 é igual a: 
 
(a) S = {‒ 1, 3} (c) S = {‒ 1, 1} (e) S = {1, 3} 
 
(b) S = {‒ 3, 3} (d) S = {‒ 3, 1} R: (b) 
 
6.1 Equações modulares sujeitas a con-
dições 
 Existem equações modulares cuja resolu-
ção depende de certas condições impostas, con-
forme veremos. 
 
Exemplos: Resolva a equação 
|2x – 1| = x + 3 
 
Resolução: 
 
Condição: x + 3 ≥ 0 ⟹ x ≥ ‒ 3 (o módulo de um 
número real é sempre positivo ou nulo) 
 
|2x ‒ 1| = x + 3 ⟹ 
4 
⟹ 2x ‒ 1 = x + 3 ou 2x – 1 = ‒(x + 3) 
 
Resolvendo as equações: 
 
 2x ‒ 1 = x + 3 ⟹ 2x ‒ x = 3 + 1 ⟹ x = 4 
 
 2x ‒ 1 = ‒(x + 3) ⟹ 2x ‒ 1 = ‒ x ‒ 3 ⟹ 
⟹ 2x + x = ‒ 3 + 1 ⟹ 3x = ‒ 2 ⟹ x = −
2
3
 
S = {−
2
3
, 4} 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
20) Resolva as equações: 
 
a) |2x ‒ 1| = x d) |3x + 2| ‒ 1 = x 
 
b) |x ‒ 5| = 2x ‒ 2 e) |x ‒ 1| = 
2
x
 
 
c) |x2 ‒ 4| = 3x f) x∙|x| ‒ x = 0 
 
7 . INEQUAÇÃO MODULAR 
 Inequações modulares são inequações que 
envolvem incógnitas em módulo. Veja alguns 
exemplos: 
 
a) |x| ≤ 7 c) |x2 ‒ 1| > ‒ 2 
 
b) |3x ‒ 1| > 7 d) |x ‒ 3| < x 
 
 Vamos analisar algumas desigualdades que 
podem ser resolvidas usando apenas a definição 
de módulo: 
I) |x| ≥ ‒ 4 ⟹ S = ℝ (todo número real tem mó-
dulo ≥ 0 e portanto ≥ ‒ 4) 
 
II) |x| ≤ ‒ 4 ⟹ S =  (não existe número real 
com módulo negativo) 
 
III) |x| ≥ 0 ⟹ S = ℝ 
 
IV) |x| > 0 ⟹ S = ℝ* 
 
V) |x| < 0 ⟹ S =  
 
VI) |x| ≤ 0 ⟹ S = {0} 
 
VII) |x| < 4 ⟹ S = {x ∈ ℝ/‒ 4 < x < 4} 
 
 
 
VIII) |x| > 4 ⟹ S = {x ∈ ℝ/x < ‒ 4 ou x > 4} 
 
 
 
Pelos dois últimos casos (VII e VIII) pode-
mos escrever que: 
 
 
Dado o número real a > 0, temos: 
 
|x| < a ⟹ ‒ a < x <a 
 
|x| > a ⟹ x < ‒ a ou x > a 
 
 
Exemplos: Resolva as inequações em ℝ: 
a) |x ‒ 3| < 7 
 
|x – 3| < 7 ⟹ ‒ 7 < x – 3 < 7 (pela propriedade) 
‒ 7 < x – 3 < 7 ⟹ ‒ 7 + 3 < x < 7 + 3 ⟹ 
⟹ ‒ 4 < x < 10 
 
S = {x ∈ ℝ/‒ 4 < x < 10} 
b) |x – 1| ≥ 5 
 
|x – 1| ≥ 5 ⟺ x – 1 ≤ ‒ 5 ou x – 1 ≥ 5 (pela proprie-
dade) 
 x – 1 ≤ ‒ 5 ⟺ x ≤ ‒ 5 + 1 ⟹ x ≤ ‒ 4 
 
 x – 1 ≥ 5 ⟹ x ≥ 5 + 1 ⟹ x ≥ 6 
 
S = {x ∈ ℝ/x ≤ ‒ 4 ou x ≥ 6} 
 
c) |5x – 3| ≤ ‒ 2 
 Todo módulo é maior ou igual a zero, por-
tanto nunca pode ser menor ou igual a ‒ 2. Logo, 
S = . 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
21) Resolva as inequações em ℝ: 
a) |2x ‒ 5| > 3 d) |x ‒ 3| ≤ ‒ 1 
 
b) |3x + 1| ≤ 10 e) |2x ‒ 3| > x 
 
c) |3x ‒ 4| ≥ 2 
 
22) Resolva a inequação |2x ‒ 6| < 4 em ℤ. 
 
23) Determine os valores reais de x para os quais 
|x2 ‒ 4| < 3x. 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
24)(EEM-SP) Determine os valores de x para os 
quais 1 < |x ‒ 1| < 2. 
 
25)(Fuvest-SP) Resolva a inequação x|x| > x. 
 
26)(FEI-SP) Considerando as afirmações: 
I) √(1 − √3)
2
 = 1 ‒ √3 
 
II) 
x2−4
x−2
 = x + 2 para todo x real 
 
III) |x ‒ 2| = a ‒ 2 para todo a real 
 
podemos dizer que: 
 
(a) Somente a III é falsa. 
 
(b) todas são verdadeiras. 
 
(c) Somente a II é falsa. 
 
(d) todas são falsas. 
 
(e) Somente a I é verdadeira. 
 
27)(PUCC-SP) Considere a função real definida 
por f(x) = {
 |x| se x ≤ −5 
 x2 + 2 se − 5 < x ≤ 2
2x + 1 se x > 2 
 
 
O valor de f(10) + f(‒ 2) + f(‒ 8) + f(1) é: 
 
(a) 35 (b) 38 (c) 22 (d) 48 (e) 18 
 
28)(PUC-MG) O gráfico de f(x) = |x ‒ 3| + 2x + 1 
é também o gráfico da função g definida por: 
(a) g(x) = { 3x − 4 se x ≥ 3
−3x + 4 se x < 3
 
 
(b) g(x) = { 4 − x se x ≥ 3
2x + 3 se x < 3
 
 
(c) g(x) = { x + 4 se x ≥ 3
−3x + 2 se x < 3
 
 
(d) g(x) = {−x − 2 se x ≥ 3
3x + 4 se x < 3
 
 
5 
(e) g(x) = {3x − 2 se x ≥ 3
x + 4 se x < 3
 
 
29)(UNEB-BA) Observe o gráfico: 
 
 
 
Ele corresponde à função real dada por: 
 
(a) f(x) = {
−x + 3, se x ≤ 0
 2x, se x > 0
 
 
(b) f(x) = {
−2x − 3, se x ≤ 3
x
2
−
3
2
, se x > 3
 
 
(c) f(x) = |x ‒ 3|, se x ∈ ℝ 
 
(d) f(x) = |2x −
3
2
| , se x ∈ ℝ 
 
(e) f(x) = {
−x + 3, se x ≤ 3
x
2
−
3
2
, se x > 3
 
 
30)(Unifor-CE) Na figura abaixo tem-se o gráfi-
co de uma função f, de ℝ em ℝ. 
 
 
 
A função f é definida por: 
(a) f(x) = {
|x + 2|, se x < 0 
|x − 1|, se 0 ≤ x ≤ 2 
2, se x < 2
 
 
(b) f(x) = {
|x + 2|, se x < 0 
|x − 1|, se 0 ≤ x ≤ 2 
1, se x > 2
 
 
(c) f(x) = {
2x + 4, se x ≤ −1 
|x − 1|, se − 1 < x < 2 
1, se x ≥ 2 
 
 
(d) f(x) = {
2x + 4, se x ≤ −1 
|x + 1|, se − 1 < x < 2 
2, se x ≥ 2 
 
 
(e) f(x) = {
|2x + 4|, se − 2 < x < 1
 x − 1, se 1 ≤ x ≤ 2 
 1, se x > 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31)(PUCC-SP) O gráfico que representa a fun-
ção f: ℝ → ℝ definida por f(x) = |x| ‒ 1: 
 
(a) (c) 
 
 
 
 
(b) (d) 
 
 
 
 
32)(MARK-SP) Seja a função f: ℝ → ℝ definida 
por f(x) = ‒ |x ‒ 3| ‒ x. O gráfico que melhor repre-
senta é: 
(a) (d) 
 
 
 
(b) (e) 
 
 
(c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nunca deixe que lhe digam: 
Que não vale a pena 
Acreditar no sonho que se tem 
Ou que seus planos 
Nunca vão dar certo 
Ou que você nunca 
Vai ser alguém... 
 Renato Russo 
 
 
Apostila atualizada em 14/7/2018 
 
 
Gostou da Apostila? Você a encontra no site: 
http://gilsilva10.wixsite.com/inicio/apostilas-
de-matematica 
Link! Dê uma olhada. 
 
 
Referências 
 
DANTE, L.R. Matemática: Contexto & Aplicações. 1. Ed. 
São Paulo: Ática, 2000, v.1.