Equações modulares (Resumo)

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Solução da equação 𝑦2 + 2𝑦 − 15 = 0. 
 
Como 𝑦 =
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 com 𝛥 = 𝑏2 −
4𝑎𝑐 sendo 𝑎 = 1, 𝑏 = 2 e 𝑐 = −15. 
 
𝛥 = 22 − 4 ∙ 1 ∙ ሺ−15ሻ = 4 + 60 = 64 
⇒ 𝑦 =
−2 ± √64
2 ∙ 1
=
−2 ± 8
2
= −1 ± 4 
 
Temos duas soluções: 
• 𝑦′ = −1 − 4 ⇒ 𝑦′ = −5 
• 𝑦′′ = −1 + 4 ⇒ 𝑦′ = 3 
 
Verificando se as soluções 
encontradas estão corretas: 
• |2 − 5| = |−3| = 3 
• |8 − 5| = |3| = 3 
Logo, as soluções 𝑥 = 2 e 
𝑥 = 8 estão corretas. 
 
EQUAÇÕES MODULARES 
 
Def.: Equações modulares são equações em que a incógnita aparece dentro de módulos. 
 
 Exemplos 
 
a) |3𝑥 − 1| = −5 b) |𝑥 − 5| = 3 c) |𝑥|2 + 2 ∙ |𝑥| − 15 = 0
 
 Resolução de uma equação modular 
 
Para resolver uma equação modular, é importante lembrar que o módulo (valor absoluto) 
de um número real 𝑥, representado por |𝑥|, é igual a 𝑥, caso 𝑥 ≥ 0 e igual a −𝑥 se 𝑥 < 0, ou 
seja: 
 
|𝑥| = {
−𝑥, 𝑥 < 0
 𝑥, 𝑥 ≥ 0
 
 
a) |3𝑥 − 1| = −5 
 
Pela definição, não existe módulo com valor negativo, isto é, não existe valor real para 
𝑥, tal que, |3𝑥 − 1| seja igual à −5. 
 
b) |𝑥 − 5| = 3 
 
Por definição, |𝑥 − 5| = 3 se, e somente se, 𝑥 − 5 = −3 ou 𝑥 − 5 = 3, ou seja: 
 
• 𝑥 − 5 = −3 ⇒ 𝑥 = −3 + 5 ⇒ 𝑥 = 2 
• 𝑥 − 5 = 3 ⇒ 𝑥 = 3 + 5 ⇒ 𝑥 = 8 
 
Logo, as soluções para a equação |𝑥 − 5| = 3, são 𝑆 = ሼ2, 8ሽ. 
 
c) |𝑥|2 + 2 ∙ |𝑥| − 15 = 0 
 
Fazendo |𝑥| = 𝑦, com 𝑦 ≥ 0, temos a equação 
𝑦2 + 2𝑦 − 15 = 0, o qual, tem como solução 𝑦′ = 3 e 
𝑦′′ = −5 (𝑦 = −5 não serve, pois 𝑦 deve ser maior ou igual a zero). 
Como |𝑥| = 𝑦, aplicando a definição de módulo 
obtemos, |𝑥| = 3, se, e somente se, 𝑥 = −3 e 𝑥 = 3. 
Portanto, as soluções para a equação |𝑥|2 + 2 ∙ |𝑥| − 15 = 0, 
são 𝑆 = ሼ−3, 3ሽ.