doc calculo 1157551522

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Comprimento de um Arco
	Comprimento de Segmentos de Arco Irregular ou Retificação de uma Curva. 
Na linguagem matemática, o comprimento do arco é o supremo de todos comprimentos de um dado caminho polinomial. 
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Comprimento de um Arco
	Como o número de segmentos tende para o infinito (pelo uso da integral) esta aproximação se torna um valor exato. 
Considere uma função f(x):
f(x) e f’(x) são contínuas em [a, b]. O comprimento s de parte do gráfico de f entre  x = a  e  x = b  é dado pela fórmula: 
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Comprimento de um Arco
Se isolarmos y:
Logo,
O comprimento do arco será:
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Comprimento de um Arco
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Comprimento de um Arco
Exemplo 2: Determinar o comprimento de arco da curva
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Comprimento de um Arco
Exemplo 3: Determinar o comprimento de arco da curva , de x = 2 a x = 4.
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Comprimento de um Arco
Exemplo 4: Determinar o comprimento de arco da curva , de x = 0 a x = 5.
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Comprimento de um Arco
Exemplo 5: Determinar o comprimento de arco da curva , 
 de x = 0 a x = 1.
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Comprimento de um Arco
Exemplo 6: Determinar o comprimento de arco da curva , de
 x = /4 a x = /2.
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Volume de Sólidos
	Volume de um sólido de revolução, obtido pela rotação em torno ao eixo x - ou y - de um conjunto A. 
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Sólidos de Revolução
Para isso usaremos ainda seções transversais e tomaremos como eixo orientado o eixo de rotação (a reta r).
Introdução: 
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Sólidos de Revolução
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Sólidos de Revolução
		 Cálculo do volume
	Seja f uma função contínua num intervalo [a,b], sendo f(x)  0 para todo x, tal que a  x  b. Considere o conjunto A, delimitado pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x1 = a e x2 = b.
	Seja B o sólido obtido através da rotação do conjunto A em torno do eixo x:
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Sólidos de Revolução
 Cálculo do volume
A soma pode ser substituída pelo símbolo de integral, uma vez que a função é contínua no intervalo e o limite existe. Logo:
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Sólidos de Revolução
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Sólidos de Revolução
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Sólidos de Revolução
 Quando a função f(x) é negativa em alguns pontos de [a,b].
- A fórmula do volume permanece válida, pois |f(x)| = (f(x))2.
	O sólido gerado pela rotação da figura (a) 
	é o mesmo gerado pela rotação da figura (b).
(b)
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Sólidos de Revolução
	Exercício 1: Se f(x) = x2, determine o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo x, da região sob o gráfico de f no intervalo [1, 2].
 	De acordo com a definição:
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Sólidos de Revolução
	Exercício 2: Se f(x) = x2 + 1, determine o volume do sólido gerado ela revolução, em torno do eixo x, da região sob o gráfico de f no intervalo [-1, 1].
 - De acordo com a definição:
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Sólidos de Revolução
	Exercício 3: Seja f(x) = sen x, x  [a, b]. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação do gráfico de f, ou seja pela rotação da região delimitada pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x = 0 e x = . 
O volume do sólido é dado por:
                                          
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Integral Indefinida
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Sólidos de Revolução
 	Quando, ao invés de girar ao redor do eixo dos x, a região A gira em torno do eixo dos y.
 - Neste caso, temos:
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Sólidos de Revolução
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Sólidos de Revolução
	Exercício 4: Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da região limitada por y = x3, y = 0 e x = 1 em torno do eixo y.
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Sólidos de Revolução
	Exercício 5: Considere a região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de y = x, para 0  x  2, sendo girada primeiro ao redor do eixo x e depois ao redor do eixo y. Calcule o volume dos dois sólidos gerados. 
O volume do sólido é dado por:
                                          
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Sólidos de Revolução
	Exercício 5:
O volume do sólido é dado por:
                                          
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Sólidos de Revolução
	Exercício 5:
O volume do sólido é dado por:
                                          
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Sólidos de Revolução
	Exemplo 6: Calcule o volume de um sólido de revolução obtido pela rotação ao redor do eixo x da região compreendida pelo gráfico de y = x e y = 1/x, no intervalo [1/2, 3]. Calcule também o volume do sólido obtido ao girar a mesma região ao redor do eixo y. 
a)
1
1
1/2
3
S1
S2
V1
V2
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Sólidos de Revolução
	 Logo, o volume do sólido é:
Efetuando os últimos cálculos, temos:
	 Exemplo 6:	
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Sólidos de Revolução
	 Exemplo 6:	
b)
1
1
1/2
3
S1
S2
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Sólidos de Revolução
	Nesse caso, o volume do sólido gerado, calculado pelo método das cascas, é: 
Efetuando os últimos cálculos, temos:
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Sólidos de Revolução
 	Quando a região A está entre os gráficos de duas funções f(x) e g(x) de a até b:
	Supondo f(x)  g(x), para qualquer x que pertença ao intervalo [a, b], o volume do sólido B, gerado pela rotação de R em torno do eixo x, é dado por:
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Volume de Sólidos
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Sólidos de Revolução
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Sólidos de Revolução
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Sólidos de Revolução
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Sólidos de Revolução
	Exercício 6: Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da região limitada por x2 = y - 2, 2y - x - 2 = 0 e x = 0 em torno do eixo x.
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Sólidos de Revolução
	Exercício 7: Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada pela parábola 
	e pela reta 
	De acordo com a definição:
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Sólidos de Revolução
Exercício 7:
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Sólidos de Revolução
Exercício 7:
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Sólidos de Revolução
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Sólidos de Revolução
	Exercício 8: A região limitada pela parábola cúbica y = x3, pelo eixo dos y e pela reta y = 8, gira em torno do eixo dos y. Determinar o volume do sólido de revolução obtido. De acordo com a definição:
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Sólidos de Revolução
 	Quando a rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados.
Se o eixo de revolução 
for a reta y = L, temos:
L
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Sólidos de Revolução
 	Quando a rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados.
Se o eixo de revolução 
for a reta x = M, temos:
M
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Sólidos de Revolução
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Volume de Sólidos
	Volume de um sólido pelo método dos invólucros cilíndricos. 
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Sólidos de Revolução
		 Cálculo do volume
	Podemos imaginar o sólido como sendo constituído por cascas cilíndricas. 
	O volume de cada uma das cascas é dado por: 
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Sólidos de Revolução
		 Cálculo do volume
	Seja f uma função contínua num intervalo [a,b], com a  x < b. Considere o conjunto A, delimitado pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x1 = a e x2 = b.
	Suponhamos que a região gira ao redor do eixo y, gerando um sólido D, cujo volume queremos calcular. 
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Sólidos de Revolução
	Exercício 10: Através do método dos invólucros cilíndricos encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de y = x , para 0  x  2, ao redor do eixo y. 
Usando o método dos invólucros cilíndricos, temos: 
                   
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Sólidos de Revolução
	Exemplo 11: Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre os gráficos de y = x3 e y = x, para 0  x  1, ao redor do eixo y. 
As duas funções se encontram 
nos pontos (0,0) e (1,1). 
O volume do sólido pode ser 
calculado pelo método das 
cascas e, portanto, é igual a:
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Sólidos de Revolução
	Exemplo 12: Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno ao eixo x, do conjunto de todos os pontos (x, y) tais que 0  x  y e x2 + y2  2. 
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Sólidos de Revolução
	Inicialmente, para obter a região do plano, assinalada na primeira figura, precisamos encontrar a intersecção da reta com a circunferência,sendo x  0: 
	Logo, x = 1:
Assim, a variação de x ocorre no intervalo e o volume procurado é dado por:
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Sólidos de Revolução
	Exemplo 13: Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno ao eixo x, do conjunto x2 + (y – 2)  1. 
Após a rotação, obtemos o seguinte sólido, que é denominado toro.
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Sólidos de Revolução
	Inicialmente, a região pode ser encarada como delimitada pelos gráficos das funções: 
Logo, a integral que nos fornece o volume do sólido será:
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Sólidos de Revolução
	Vamos calcular o mesmo volume pelo método dos invólucros cilíndricos: 
Vamos encontrar primeiramente as primitivas da integral:
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