Exercicios com resposta Integrais Duplas

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14ª Lista - Integrais duplas: resumo 
 Calcule 
 Calcule 
O fato das integrais resolvidas nos exemplos 1 e 2 serem iguais Não é acidental. Se f é contínua, então as duas integrais iteradas são sempre iguais. Dizemos que a ordem é irrelevante.
Entretanto, uma boa escolha da ordem pode simplificar os cálculos. Em alguns casos, pode não ser possível calcular a integral dupla para uma escolha e ser possível para outra. Veremos isso mais tarde com exemplos.
 Calcule as integrais abaixo:
a) 
b) 
c) 
Teorema:
Seja R o retângulo definido pelas desigualdades , . Se f(x,y) for contínua neste retângulo, então:
 Calcule integral dupla 
 , sendo R a região que consiste de todos os pontos ( x,y) tais que e .
 
Calcule a integral , no retângulo .
Obs: Freqüentemente o retângulo é expresso como por simplificação.
 
Determine o volume do sólido limitado acima pelo plano e abaixo pelo retângulo .
Calcule , onde 
 Integrais duplas sobre regiões genéricas 
Definição 1
a) Uma região do tipo I é limitada à esquerda e à direita por retas verticais x=a e x = b e é limitada abaixo e acima por curvas contínuas y=f1(x) e y = f2(x) , onde g
f1(x) f2(x) para a x b .
b) Uma região do tipo II é limitada abaixo e acima por retas horizontais y =c e y = d e é limitada à esquerda e à direita por curvas contínuas x = h1(y) e x = h2(t), 
onde h1(y) h2(x) para c x d
Veja Fig 1 e Fig. 2.
 Tipo I
 Tipo II
 Teorema
Se R é uma região do tipo I então:
Se R é uma região do Tipo II, então:
Calcular o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de , inferiormente pela região delimitada por x=0 , x= 2 , y =0 e e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de R.
Resolução:
Representamos na Fig. 3 a região R (base deste sólido):
 Região R
Assim, e , logo a região é do Tipo I e podemos integrar deste modo:
Resultado: 
Calcule a integral , onde R é a região limitada por 
Solução
A região R está representada na Fig. 4.
Podemos ver que a região R pode ser enquadrada nos dois tipos: 
 ou 
Logo, podemos resolver a integral I pelos dois tipos:
ou
Resposta: 
 
Calcular onde R é o retângulo de vértices , , .
Solução
Região R representada graficamente na Fig. 5
0
 1
y
Podemos ter 
Daí 
Integramos primeiramente em relação à x, e obtemos:
 
 
Agora, integrando em relação à y, obtemos:
Também poderíamos escolher a mesma região porém integrar de forma invertida:
. Porém esta escolha necessitaria de integração por partes.
 Calcular a Integral .
Resolução:
Verificamos que não seria possível resolver a primeira integral pois a função não possui primitiva elementar. Assim, é necessário mudar os limites de integração. 
A região está representada graficamente na Fig. 6, onde vemos que a região R1 é dada por:
Assim, temos: 
A qual é possível resolver. 
Assim temos:
Esta integral podemos resolver por substituição de variáveis. Assim temos:
 
Calcule , na região triangular R compreendida entre as retas , .
Resolução:
Consideramos R como uma região do Tipo II. A região R e a reta horizontal correspondente ao ponto fixo y são mostradas na Fig. 7. 
Para integrar numa região do tipo II, os limites esquerdo e direito devem ser expressos sob a forma x=h1(y) e x = h2(y). Por isso, devemos reescrever as equações dos limites y = x+1 e y = x+1 como x = 1 y e x = y 1 respectivamente.
A reta intercepta a região R na fronteira à esquerda x = 1 y e na fronteira à direita x = y 1. Esses são os limites de integração de x. Agora, movendo a reta primeiro para baixo e depois para cima ela gera os limites de y, sendo y = 1 e y = 3. Assim, 
Neste exemplo poderíamos ter tratado R como uma região do Tipo I, entretanto neste caso a fronteira superior R é a reta y = 3 ( Veja Fig 8) e a fronteira inferior consiste em duas partes, a reta y = -x + 1 à esquerda e a reta y = x +1 à direita da origem. Para fazer esta integração devemos separar a região R em duas partes conforme mostra a Fig. 8. 
Assim, a solução da integral deveria ser:
O resultado desta integração é o mesmo mostrado anteriormente.
Inversão da ordem de integração
Às vezes, o cálculo da integral iterada pode ser simplificado invertendo-se a ordem de integração. Este próximo exemplo ilustra esta situação.
Calcule
 
Como não existe antiderivada elementar de , a integral não pode ser resolvida integrando-se primeiro em relação a x. Para solucionar este problema devemos calcular essa integral expressando-a com a ordem inversa de integração.
Na integração interna, x está variando entre as retas y/2 e x = 1. Veja Fig 9.
Invertendo a ordem de integração devemos definir os limites.
Observando a Fig. 9, podemos ver que fixando x de 0 à 1, y irá variar de zero à 2x.
Assim, essa integral deve ser escrita como se segue:
Seja R a região do plano x-y delimitada pelos gráficos de e y2 = 2x. Calcule . 
Solução: A Fig 10 apresenta o gráfico desta região R. 
Verificamos que a região R pode ser escrita das duas formas, sendo:
Utilizando a região R1, temos:
e utilizando a região R2, temos:
Verificamos que ambas as integrais possuem o mesmo resultado, isto é, 
Dada I = , inverta a ordem de integração e calcule a integral resultante.
Solução:
Observamos que da maneira como está definida esta integral, fica difícil a sua resolução. Assim, uma mudança na ordem de integração poderá nos facilitar o trabalho.
Observamos pela Fig.11 que a região R está definida com as fronteiras esquerda e direita pelos gráficos de e x = 2, respectivamente com 
Notamos que R também pode ser definida pelas fronteiras inferior e superior dadas por respectivamente, com . Assim, a integral pode ser calculada como sendo:
I= 
I = 
I = 
I = 
Esta integral pode ser resolvida com uma simples substituição de variáveis. (u).
Assim, temos que:
I = 0.055
EXERCÍCIOS DE INTEGRAIS MÚLTIPLAS
Calcule as integrais duplas abaixo:
Calcule onde:
, R é o retângulo 
, R é o retângulo 
, R é retângulo 
, R é o retângulo 
, R é o retângulo 
Calcule , onde 
Determine o volume do sólido que está contido abaixo do parabolóide e acima da região D do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x2. 
Calcule a integral 
Calcular , onde R é o retângulo .
Calcular , onde R é a região delimitada por .
Calcular , onde R é a região delimitada por .
 Calcular , onde R é o retângulo 
Calcular , onde R é o retângulo 
Calcular , onde R é a região delimitada por .
 Calcular , onde R é a região delimitada por .
Respostas
 E.1.
a) 42 b) –24 c) 3 d)20/3 e)2 
f)13/6 g) 16 h)2 i)1 j)5/12
E2.
 
 
E3. E4. E5. 
E6. 60 E7. E8. E9. 1
E10. 0 E11. E12. 
2) integrais triplas
 Teorema
Se f é contínua em uma caixa retangular , então:
 Calcule nos seguintes itens, sendo:
Resp: 648
Resp: 
Resp: 
Resp: 
EXERCÍCIOS
Calcule as seguintes integrais triplas:
Respostas: