Álgebra Linear (6)

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Ensino Superior
Matrizes: Operações e Propriedades
Amintas Paiva Afonso
Álgebra Linear
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Definição de Matrizes 
Matriz: Tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.
Amxn = 
 = [aij]mxn
matriz A de m linhas e n colunas 
Elemento da linha i
e coluna j 
Elemento da 2 ª linha e 1ª coluna 
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TIPOS DE MATRIZES
 Matriz quadrada 
m = n (x linhas = x colunas)
Esta é uma matriz quadrada de ordem 3 (3 x 3)
 Diagonais
Só tem sentido falar de diagonais em matrizes quadradas.
Diagonal principal (i = j)
Diagonal secundária = (n + 1 = i + j)
Elementos da
diagonal principal:
1, 1 e 2
Elementos da
diagonal secundária:
2, 1 e 4
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  Matriz triangular superior 
Matrizes Triangulares
  Matriz triangular inferior
Elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos.
Lembre-se o ou da matemática não é exclusivo, ou seja, vale também quando ambos são verdade!
Esta também é uma matriz triangular!
Falou em diagonal, falou em matriz quadrada! Todas as triangulares são quadradas.
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Casos especiais de Matrizes Triangulares.
 Matriz identidade
 Matriz diagonal
Apenas os elementos da diagonal principal são diferentes de zero
A identidade é uma matriz diagonal cujo elementos da diagonal principal são todos iguais a um.
Falou em diagonal, falou em matriz quadrada! Todas as triangulares são quadradas. Chatice hein!
Todas as Triangulares são quadradas, logo, a diagonal e a identidade são quadradas.
Chamamos a matriz acima de I3 (identidade de ordem 3)
No geral, In onde n é a ordem da matriz.
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 Matriz nula 
Todos os elementos são nulos.
Chamamos a matriz nula de Omxn
Então essa é O3x4
A Matriz nula não precisa ser quadrada!
 Igualdade de Matrizes
Duas matrizes são ditas idênticas quando seus elementos correspondentes são iguais.
Caso ao olhar essas duas matrizes e não ver que elas são iguais, favor procurar o oculista.
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Transposta  troca de linha por coluna (m x n => n x m ) 
Matriz A transposta
Simétrica  Matriz quadrada tal que At = A
Matriz A transposta
Anti-Simétrica  Matriz quadrada tal que At = -A
=
Os elementos da transposta são os opostos da original.
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OPERAÇÕES COM MATRIZES
Adição
Dadas duas matrizes A e B, somaremos os elementos de A com seus correspondentes em B, ou seja, se tomarmos um elemento na primeira linha e primeira coluna de A devemos somá-los com o elemento na primeira linha e primeira coluna de B.
É sempre possível somar matrizes?
Não!
Somente quando estas forem de mesma ordem.
+
=
Se liguem, o mesmo vale pra subtração.
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Multiplicação por escalar
Multiplicação por escalar ( número real qualquer)  multiplicamos todos os
 elementos da matriz por este número.
Matriz A
Matriz -2A
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Multiplicação de matriz por matriz 
CONDIÇÃO: Só podemos efetuar o produto de duas matrizes Amxn e Blxp se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda (n = l). A matriz C = AB será de ordem m x p.
Em geral AB  BA, ou seja, o produto de matrizes não comutativo
Pode ser possível efetuar AB e não ser possível efetuar BA.
O produto da primeira linha pela primeira coluna, gera o elemento C11.
O produto da primeira linha pela segunda coluna, gera o elemento C12.
Ihhh... Aqui fu...!
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2.1 + 1.0
2.(-1) + 1.4
4.1 + 2.0
4.(-1) + 2.4
5.1 + 3.0
5.(-1) + 3.4
Observe, multiplicamos ordenadamente os termos, ou seja, multiplicamos o primeiro elemento da elemento com o primeiro da coluna e por aí vai...
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EXEMPLO 1
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EXEMPLO 2
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EXEMPLO 3
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EXEMPLO 4
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EXEMPLO 5
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