MÉTODO ITERATIVO DE GAUSS

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MÉTODO ITERATIVO DE GAUSS-SEIDEL 
 
Introdução : 
 
 Todo sistema apresentado da forma Ax = b pode ser reescrito, seguindo o algoritmo de Gauss-
Seidel, na forma equivalente x = Bx + d. 
 A partir da forma equivalente acima, podemos construir uma seqüência de vetores de x0 até xn da 
seguinte forma: 
 
 x0 (Vetor arbitrário) 
 
 x1 = Bx0 + d (Primeira iteração) 
 
 x2 = Bx1 + d (Segunda iteração) 
 
 x3 = Bx2 + d (Terceira iteração) 
 . 
 . 
 . 
 xn = Bxn-1 + d (n-ésima iteração) 
 
 Caso esta seqüência apresente convergência, ou seja, se 
n
n
xlimx


, ela aceita o cálculo 
  dBxdxlimBdBxlimxlimx 1n
x
1n
x
n
x
 



, demonstrando ser “x” solução do sistema. 
 
 Em linhas gerais, para determinarmos a solução de um sistema, iteramos “k” vezes e verificamos 
se existe uma convergência dos resultados obtidos, tal convergência “xk” será considerada um 
valor aproximado da solução “x”. A diferença “x - xk” será chamada de erro de truncamento. 
 
Algoritmo iterativo de Gauss-Seidel : 
 
 Seja o sistema Ax = b de terceira ordem temos: 
 








3333231
2232221
1131211
bzayaxa
bzayaxa
bzayaxa
 
 
Vamos agora dividir a resolução deste sistema em três passos básicos... 
 
1º Passo: Dividir todos os termos da primeira equação por a11 , dividir todos os termos da segunda 
 equação por a22 e assim por diante. 
 Logo temos: 
 












33
3
33
33
33
32
33
31
22
2
22
23
22
22
22
21
11
1
11
13
11
12
11
11
a
b
z
a
a
y
a
a
x
a
a
a
b
z
a
a
y
a
a
x
a
a
a
b
z
a
a
y
a
a
x
a
a
 

 












33
3
33
32
33
31
22
2
22
23
22
21
11
1
11
13
11
12
a
b
zy
a
a
x
a
a
a
b
z
a
a
yx
a
a
a
b
z
a
a
y
a
a
x
 . 
 
16 
 
2º Passo: Isolando x, y e z em cada linha respectivamente, temos: 
 












33
3
33
32
33
31
22
2
22
23
22
21
11
1
11
13
11
12
a
b
z0y
a
a
x
a
a
z
a
b
z
a
a
y0x
a
a
y
a
b
z
a
a
y
a
a
x0x
 .
 
 
3º Passo: Atribuímos valores arbitrários para x, y e z os quais serão identificados como x
(0)
, y
(0)
 e 
 z
(0)
, tais valores, são chamados de valores iniciais e em linhas gerais serão usados os 
 termos independentes de cada linha do sistema, logo temos : 
33
3)0(
22
2)0(
11
1)0(
a
b
z,
a
b
y,
a
b
x 
 . Cada grupo de novos valores de x, y e z que serão encontrados, 
terão como base os últimos valores anteriormente encontrados iterando-se cada linha do sistema 
acima, daí temos: 
 












33
3)0()1(
33
32)1(
33
31)1(
22
2)0(
22
23)0()1(
22
21)1(
11
1)0(
11
13)0(
11
12)0()1(
a
b
z0y
a
a
x
a
a
z
a
b
z
a
a
y0x
a
a
y
a
b
z
a
a
y
a
a
x0x
 
 












33
3)1()2(
33
32)2(
33
31)2(
22
2)1(
22
23)1()2(
22
21)2(
11
1)1(
11
13)1(
11
12)1()2(
a
b
z0y
a
a
x
a
a
z
a
b
z
a
a
y0x
a
a
y
a
b
z
a
a
y
a
a
x0x
 
. 















33
3)n()1n(
33
32)1n(
33
31)1n(
22
2)n(
22
23)n()1n(
22
21)1n(
11
1)n(
11
13)n(
11
12)n()1n(
a
b
z0y
a
a
x
a
a
z
a
b
z
a
a
y0x
a
a
y
a
b
z
a
a
y
a
a
x0x
. 
 
 Tais iterações serão efetuadas até que seja encontrada a convergência total, ou seja, os valores de 
x, y e z duas iterações imediatamente seguidas devem ser exatamente iguais um a um , daí x
(n)
 = 
x
(n+1)
, y
(n)
 = y
(n+1)
 e z
(n)
 = z
(n+1)
. 
 
 Vamos agora, ilustrar esta teoria com alguns exemplos práticos... 
 
 
 
17 
 
Exemplo 1 
 
 Encontre a solução do sistema abaixo, pelo método iterativo de Gauss-Seidel, utilizando duas 
casa decimal depois da vírgula. 
 








18z15yx2
8zy8x
9zy2x10
 
 
Resolução: 
 
1º Passo 
 
 Temos a11 = 10, a22 = 8 e a33 = 15. 
 
 Daí : 
 











15
18
z
15
15
y
15
1
x
15
2
8
8
z
8
1
y
8
8
x
8
1
10
9
z
10
1
y
10
2
x
10
10
 

 








20,107,013,0
00,113,013,0
90,010,020,0
zyx
zyx
zyx
. 
 
2º Passo 
 
 Isolando x, y e z em cada linha respectivamente, temos: 
 








20,1007,013,0
00,113,0013,0
90,010,020,00
zyxz
zyxy
zyxx
 . 
 
3º Passo 
 
 Valores iniciais 








20,1
00,1
90,0
)0(
)0(
)0(
z
y
x
 
 
 1ª Iteração 
   
     
     






00,120,120,1003,107,098,013,0
03,100,120,113,000,1098,013,0
98,090,020,110,000,120,0)90,0(0
)1()1(
)1()1(
)1()1(
zz
yy
xx
 
 
 2ª Iteração 
   
     
     






00,120,100,1000,113,001,113,0
00,100,100,113,003,1001,113,0
01,190,000,110,003,120,0)98,0(0
)2()2(
)2()2(
)2()2(
zz
yy
xx
 
18 
 
3ª Iteração 
   
     
     






00,120,100,1000,113,000,113,0
00,100,100,113,000,1000,113,0
00,190,000,110,000,120,0)01,1(0
)3()3(
)3()3(
)3()3(
zz
yy
xx
 
 
4ª Iteração 
   
     
     






00,120,100,1000,113,000,113,0
00,100,100,113,000,1000,113,0
00,190,000,110,000,120,0)01,1(0
)4()4(
)4()4(
)4()4(
zz
yy
xx
 
 
 Como temos x
(3)
 = x
(4)
, y
(3)
 = y
(4)
 e z
(3)
 = z
(4)
, respectivamente, dizemos que houve convergência 
e que portanto as soluções aproximadas do sistema são: 








00,1
00,1
00,1
)4()3(
)4()3(
)4()3(
zzz
yyy
xxx
. 
 
 
 
 
Exemplo 2 
 
 Encontre a solução do sistema abaixo, pelo método iterativo de Gauss-Seidel, utilizando duas 
casas decimais depois da vírgula. 
 








6z9y3x2
5zy10x
4zy2x7
 
 
Resolução: 
 
1º Passo 
 
 Temos a11 = 7, a22 = 10 e a33 = 9. 
 
Daí : 
 











9
6
z
9
9
y
9
3
x
9
2
10
5
z
10
1
y
10
10
x
10
1
7
4
z
7
1
y
7
2
x
7
7
 

 








67,0zy33,0x22,0
50,0z10,0yx10,0
057z14,0y29,0x
. 
 
2º Passo 
 
 Isolando x, y e z em cada linha respectivamente, temos : 
 







67,0z0y33,0x22,0z
50,0z10,0y0x10,0y
57,0z14,0y29,0x0x
 
Portanto S = { ( 1,00 ; 1,00 ; 1,00 ) } 
19 
 
3º Passo 
 
 Valores iniciais 








67,0z
50,0y
57,0x
)0(
)0(
)0(
 
 
 1ª Iteração 
   
     
     






41,0z67,067,0037,033,062,022,0z
37,0y50,067,010,050,0062,010,0y
62,0x57,067,014,050,029,0)57,0(0x
)1()1(
)1()1(
)1()1(
 
 
 2ª Iteração 
   
     
     






40,0z67,041,0040,033,062,022,0z
40,0y50,041,010,037,0062,010,0y
62,0x57,041,014,037,029,0)62,0(0x
)1()2(
)2()2(
)2()2(
 
 
 3ª Iteração 
   
     
     






40,0z67,040,0040,033,063,022,0z
40,0y50,040,010,040,0063,010,0y
63,0x57,040,014,040,029,0)62,0(0x
)3()3(
)3()3(
)3()3(
 
 
 4ª Iteração 
   
     
     






40,0z67,040,0040,033,063,022,0z
40,0y50,040,010,040,0063,010,0y
63,0x57,040,014,040,029,0)63,0(0x
)4()4(
)4()4(
)4()4(
 
 
 Como temos x
(4)
 = x
(3)
, y
(4)
 = y
(3)
 e z
(4)
 = z
(3)
, respectivamente, dizemos que houve convergência e 
que, portanto as soluções aproximadas do sistema são: 








40,0zzz
40,0yyy
63,0xxx
)4()3(
)4()3(
)4()3(
. 
 
 
 
 
 
 
DISPOSITIVO PRÁTICO DE GAUSS-SEIDEL 
 
 
Os cálculos que acabamos de realizar podem ser simplificados usando-se uma tabela que 
discrimina os elementos do sistema, de forma a otimizar os cálculos. Tal tabela é conhecida pelo 
nome de DISPOSITIVO PRÁTICO DE GAUSS-SEIDEL. 
 
 Vamos detalhar passo a passo a sua “construção” usando para isso o exemplo 1 ... 
 
 ... Encontre a solução do sistema abaixo, pelo método iterativo de Gauss-Seidel, utilizando duas 
casa decimal depois da vírgula. 
 
Portanto S = { ( 0,63 ; 0,40; 0,40 ) } 
20 
 








18z15yx2
8zy8x
9zy2x10
 
 
1º Passo 
 
 Temos a11 = 10, a22 = 8 e a33 = 15. 
 
 Daí : 
 











15
18
z
15
15
y
15
1
x
15
2
8
8
z
8
1
y
8
8
x
8
1
10
9
z
10
1
y
10
2
x
10
10
 

 








20,107,013,0
00,113,013,0
90,010,020,0
zyx
zyx
zyx
. 
 
2º Passo 
 
 Isolando x, y e z em cada linha respectivamente, temos: 
 








20,1007,013,0
00,113,0013,0
90,010,020,00
zyxz
zyxy
zyxx
 . 
 
3º Passo 
 
 Valores iniciais 








20,1
00,1
90,0
)0(
)0(
)0(
z
y
x
 
 
 Note que até aqui nada mudou em relação à resolução sem o D.P.G-S. Vamos agora a construção 
do dispositivo propriamente dito... 
Tabela... 
 
 Usando o resultado do 2º Passo temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A próxima linha (Iteração 0) será preenchida pelos valores iniciais, ou seja, os termos 
independentes do 3º Passo ... 
 
Linha x y z Termo indep. ( T.I ) 
L1 0 0,20 -0,10 0,90 
L2 -0,13 0 0,13 1,00 
L3 -0,13 -0,07 0 1,20 
 
 
 
21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A próxima linha (Iteração 1 ) será preenchida da seguinte forma: 
 
 O elemento x
(1) 
resultado da soma de cada elemento da linha L1 multiplicado pelo último elemento 
de cada coluna, este resultado somado ao termo independente da linha L1, ou seja: 
x
(1)
 = 0.0,90 + 0,20.1,00 – 0,10.1,20 + 0,90 = 0,98 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O elemento y
(1) 
resultado da soma de cada elemento da linha L2 multiplicado pelo último elemento 
de cada coluna, este resultado somado ao termo independente da linha L2, ou seja: 
y
(1)
 = -0,10.0,98 + 0.1,00 + 0,13.1,20 + 1,00 = 1,03. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O elemento z
(1) 
resultado da soma de cada elemento da linha L3 multiplicado pelo último elemento 
de cada coluna, este resultado somado ao termo independente da linha L3, ou seja: 
z
(1)
 = -0,13.0,98 – 0,07.1,03 + 0.1,20 + 1,20 = 1,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A próxima linha (Iteração 2 ) será preenchida da seguinte forma: 
Linha x y z Termo indep. (T.I ) 
L1 0 0,20 -0,10 0,90 
L2 -0,13 0 0,13 1,00 
L3 -0,13 -0,07 0 1,20 
Valores Iniciais ( T.I ) 0,90 1,00 1,20 0 
 
 
Linha x y z Termo indep. (T.I ) 
L1 0 0,20 -0,10 0,90 
L2 -0,13 0 0,13 1,00 
L3 -0,13 -0,07 0 1,20 
Valores Iniciais ( T.I ) 0,90 1,00 1,20 0 
 0,98 1 
 
Linha x y z Termo indep. (T.I ) 
L1 0 0,20 -0,10 0,90 
L2 -0,13 0 0,13 1,00 
L3 -0,13 -0,07 0 1,20 
Valores Iniciais ( T.I ) 0,90 1,00 1,20 0 
 0,98 1,03 1 
 
Linha x y z Termo indep. (T.I ) 
L1 0 0,20 -0,10 0,90 
L2 -0,13 0 0,13 1,00 
L3 -0,13 -0,07 0 1,20 
Valores Iniciais ( T.I ) 0,90 1,00 1,20 0 
 0,98 1,03 1,00 1 
 
Iterações... 
Iterações... 
Iterações... 
Iterações... 
22 
 
 O elemento x
(2) 
resultado da soma de cada elemento da linha L1 multiplicado pelo último elemento 
de cada coluna, este resultado somado ao termo independente da linha L1, ou seja: 
x
(2)
 = 0.0,98 + 0,20.1,03 – 0,10.1,00 + 0,90 = 1,01 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O elemento y
(2) 
resultado da soma de cada elemento da linha L2 multiplicado pelo último elemento 
de cada coluna, este resultado somado ao termo independente da linha L2, ou seja: 
y
(2)
 = -0,13.1,01 + 0.1,03 + 0,13.1,00 + 1,00 = 1,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O elemento z
(2) 
resultado da soma de cada elemento da linha L3 multiplicado pelo último elemento 
de cada coluna, este resultado somado ao termo independente da linha L3, ou seja: 
z
(2)
 = -0,13.1,01 – 0,07.1,00 + 0.1,00 + 1,20 = 1,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Assim respectivamente até a 4ª iteração. 
 Como temos x
(4)
 = x
(3)
, y
(4)
 = y
(3)
 e z
(4)
 = z
(3)
, respectivamente, dizemos que houve convergência 
e que portanto as soluções aproximadas do sistema são: 








00,1
00,1
00,1
)4()3(
)4()3(
)4()3(
zzz
yyy
xxx
. 
 
 
 
 
 
 
 
Linha x y z Termo indep. (T.I ) 
L1 0 0,20 -0,10 0,90 
L2 -0,13 0 0,13 1,00 
L3 -0,13 -0,07 0 1,20 
Valores Iniciais ( T.I ) 0,90 1,00 1,20 0 
 0,98 1,03 1,00 1 
1,01 2 
Linha x y z Termo indep. (T.I ) 
L1 0 0,20 -0,10 0,90 
L2 -0,13 0 0,13 1,00 
L3 -0,13 -0,07 0 1,20 
Valores Iniciais ( T.I ) 0,90 1,00 1,20 0 
 0,98 1,03 1,00 1 
1,01 1,00 2 
Linha x y z Termo indep. (T.I ) 
L1 0 0,20 -0,10 0,90 
L2 -0,13 0 0,13 1,00 
L3 -0,13 -0,07 0 1,20 
Valores Iniciais ( T.I ) 0,90 1,00 1,20 0 
 0,98 1,03 1,00 1 
1,01 1,00 1,00 2 
Iterações... 
Iterações... 
Iterações... 
Portanto S = { ( 1,00 ; 1,00 ; 1,00 ) } 
23 
 
 
Exercícios: 
 
 Resolva os sistemas abaixo, pelo M.I.G-S, utilizando o D.P.G-S, usando, durante os cálculos, 
DUAS CASAS decimais após a vírgula. 
 
1 ) 








2z5yx
3z4y10x
2zy3x10
 S = { ( 0,29; -0,44; -0,43 ) } 
 
 
2 ) 








12z7y3x24zy4x
5z2y2x5
 S = { ( 1,00; 1,00; 0,99 ) } 
 
 
3 ) 











0w5zyx
1w2z15y3x2
2wzy8x
1w4z3y2x10
 S = { ( 0,23; -0,19; 0,15; -0,11 ) } 
 
 
4) 








1z3y2x7
6zy4x2
11zy4x3