Análise Combinatória: Princípios e Exercícios

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1. Análise combinatória
Análise combinatória é um estudo realizado na matemática e na lógica, responsável pela análise das possibilidades e das combinações. 
2. Princípio Fundamental da Contagem (PFC)
Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de
k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por: T = k1. k2 .
k3 . ... . kn 
3. Princípio Aditivo da Contagem (PAC)
Sendo A e B conjuntos finitos, o número de elementos da união de A e B é dado por: 
n(AUB) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
4. Fatorial
Seja n um número natural, com n ≥ 2. Defini-se o fatoria de n, representado por n!, como o produto dos números naturais consecutivos n,
n -1, n -2,..., 1. Isto é: n! = n(n-1).(n-2). … . 1
4.1 - Propriedade fundamental dos fatoriais:
Sendo, (n ≥ 3), então:
n! = n.(n-1)! 
Temos ainda: 1! = 1 e 0! = 1
5. Classificação dos agrupamentos
5.1 - Arranjos: são agrupamentos em que se considera a ordem dos elementos; qualquer mudança na ordem dos elementos altera o
agrupamento.
246 ≠ 426
5.2 - Combinações: são agrupamentos em que não se considera a ordem dos elementos; portanto, mudança na ordem dos elementos não
alteram o agrupamento.
Vermelho e azul = azul e vermelho
6. Arranjos simples
Dados os n elementos distintos do conjunto I = {a1, a2, a3, …, an}, chama-se arranjo simples de p elementos de I toda sequência formada
por p elementos distintos de I com p pertencente aos naturais não nulos e p ≤ n.
Matematicamente temos: An, p = n!/(n – p)!
7. Combinaçao simples
Dados os n elementos distintos do conjunto I = {a1, a2, a3, …, an}, chama-se combinação simples de p elementos de I todo subconjunto de
I formado por p elementos com {n, p} contido nos naturais e p ≤ n.
Matematicamente temos: Cn, p = n!/p!(n – p)!
8. Permutações:
8.1 - Permutação simples:
Dados os n elementos distintos do conjunto I = {a1, a2, a3, …, an}, chama-se permutação simples dos n elementos de I todos arranjo
simples desses n elementos tomados n a n.
Matematicamente temos: Pn = n!
8.2 - Permutações com elementos repetitivos: Pn(n1, n2, n3, …, nk) = n!/(n1!.n2!.n3!. … . nk!)
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ANÁLISE COMBINTÓRIA
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM
Princípio Fundamental da Contagem (PFC)
01. Uma loja de roupas femininas vende quatro modelos de calça jeans. Cada calça pode ter uma das cores: preta, marrom ou
azul. Quantas opções de escolha terá uma consumidora interessada em comprar uma calça jeans nessa loja?
A) 12 B) 4 C) 3 D) 16 E) 24
02. Quantos números naturais de três algarismos podem formar os dígitos 3, 5, 7, 8 e 9?
A) 25 B) 60 C) 125 D) 100 E) 15
03. Quantos números naturais de três algarismos distintos podem formar os dígitos 3, 5, 7, 8 e 9?
A) 125 B) 60 C) 120 D) 15 E) 5
04. Dez militares disputam uma corrida. De quantas maneiras diferentes pode ocorrer a classificação dos três primeiros colocados
se não pode haver empate?
A) 30 B) 120 C) 220 D) 720 E) 750
05. Quantos números de três algarismos podem formar os dígitos 0, 3, 5, 7, 8 e 9?
A) 216 B) 180 C) 120 D) 18 E) 12
06. Quantos números naturais ímpares de três algarismos podem formar os dígitos 0, 3, 5, 7, 8 e 9?
A) 200 B) 180 C) 120 D) 15 E) 10
07. Quantos números naturais pares de quatro algarismos podem formar os dígitos 1, 3, 4, 5, 7 e 9?
A) 120 B) 80 C) 60 D) 24 E) 16
08. Quantos números ímpares de três algarismos distintos podem formar os dígitos 0, 3, 5, 7, 8 e 9?
A) 60 B) 64 C) 70 D) 72 E) 86
09. O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual
o número máximo de veículos que poderá ser licenciado?
A) 26³.104 B) 26.104 C) 26³.103 D) 26.105 E) 260.000 
10. No Brasil, as placas de automóvel são formadas por uma sequência de três letras seguida de outra de quatro algarismos.
Quantas placas diferentes podem ser formadas com as letras A, B, C, D, e com os algarismos 1, 2, 3 , 4 e 5?
A) 5.000 B) 10.000 C) 20.000 D) 30.000 E) 40.000 
11. No Brasil, as placas de automóvel são formadas por uma sequência de três letras seguida de outra de quatro algarismos.
Quantas placas diferentes podem ser formadas com as letras A, B, C, D, e com os algarismos 1, 2, 3 , 4 e 5 sem repetir letra nem
algarismo?
A) 2000 B) 2.200 C) 2.600 D) 2.780 E) 2.880 
12. O centro cívico de uma escola realiza eleições para preenchimento das vagas de sua diretoria. Para presidente, apresentam-se
5 candidatos; para vice-presidente, 8 candidatos; e para secretário, 6 candidatos. Quantas chapas podem ser formadas?
A) 24 B) 22 C) 18 D) 15 E) 12
13. (UFBA) Existem 5 ruas ligando os supermercados S1 e S2 e 3 ruas ligando os supermercados S2 e S3. Quantos trajetos
diferentes podem ser utilizados para irmos de S1 a S3, passando por S2?
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ANÁLISE COMBINTÓRIA
A) 240 B) 220 C) 260 D) 270 E) 280 
14. (EGV – RJ) Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A à cidade B e 4 outras ligando B a C. Uma pessoa deseja viajar de
A a C, passando por B. Quantas linhas de ônibus diferentes poderá utilizar na viagem de ida e volta, sem usar duas vezes a mesma
linha?
A) 24 B) 48 C) 72 D) 80 E) 98
15. (ENEM) Um artesão de joias tem à sua disposição pedras brasileiras de três cores: vermelhas, azuis e verdes. Ele pretende
produzir joias constituídas por uma liga metálica, a partir de um molde no formato de um losango não quadrado com pedras nos
seus vértices, de modo que dois vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores diferentes.
A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, cujos vértices A, B, C e D correspondem às posições ocupadas pelas pedras.
Com base nas informações fornecidas, quantas joias diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter?
A) 6 B) 12 C) 18 D) 24 E) 36
16. (ESA) Uma corrida é disputada por 8 atletas. O número de resultados possíveis para os 4 primeiros lugares é
A) 336 B) 512 C) 1530 D) 1680 E) 4096.
17. (ESA) Em um guardarroupa há quatro camisas, cinco calças e três sapatos, então identifique a alternativa que apresenta a
quantidade de formas diferentes que se pode utilizá-las.
A) ∞ B) 453 C) 1 D) 12 E) 60
18. (Ufes) Um "Shopping Center" possui 4 portas de entrada parao andar térreo, 5 escadas rolantes ligando o térreo ao primeiro
pavimento e 3 elevadores que conduzem do primeiro para o segundo pavimento.
De quantas maneiras diferentes uma pessoa, partindo de fora do "Shopping Center" pode atingir o segundo pavimento usando os
acessos mencionados?
A) 12 B) 17 C) 19 D) 23 E) 60
19. (UFPR) Dentre todos os números de quatro algarismos distintos com algarismos pertencentes ao conjunto {3;4;5;6;7;8;9},
quantos são divisíveis por 2?
A) 120 B) 170 C) 190 D) 230 E) 360
20. (ENEM) João mora na cidade A e precisa visitar cinco clientes, localizados em cidades diferentes da sua. Cada trajeto possível
pode ser representado por uma sequência de 7 letras. Por exemplo, o trajeto ABCDEFA, informa que ele sairá da cidade A,
visitando as cidades B, C, D, E e F nesta ordem, voltando para a cidade A. Além disso, o número indicado entre as letras informa
o custo do deslocamento entre as cidades. A figura mostra o custo de deslocamento entre cada uma das cidades.
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ANÁLISE COMBINTÓRIA
Como João quer economizar, ele precisa determinar qual o trajeto de menor custo para visitar os cinco clientes. Examinando a
figura, percebe que precisa considerar somente parte das sequências, pois os trajetos ABCDEFA e AFEDCBA têm o mesmo custo.
Ele gasta 1min30s para examinar uma sequência e descartar sua simétrica, conforme apresentado.
O tempo mínimo necessário para João verificar todas as sequências possíveis no problema é de
A) 50 min. B) 90 min. C) 120 min. D) 180 min. E) 360 min
Princípio Aditivo da Contagem (PAC)
21. Mensalmente, um colégio oferece aos alunos duas palestras para orientação profissional. No mês passado, a primeira foi sobre
Estatística, e a segunda, sobre Economia. Todos os alunos de uma classe assisitiram a pelo menos uma das palestras e, entre eles,
18 assistiram à primeira, 23 assistiram à segunda e 8 assistiram às duas palestras. Quantos alunos há nessa classe:
A) 40 min. B) 35 min. C) 33 min. D) 22 min. E) 15 min
22. (ESA) Em uma escola com 500 alunos, foi realizada uma pesquisa para determinar a tipagem sanguínea destes. Observou-se
que 115 tinham o antígeno A, 235 tinham o antígeno B e 225 não possuíam nenhum dos dois. Escolhendo ao acaso um destes
alunos, a probabilidade de que ele seja do tipo AB, isto é, possua os dois antígenos, é
A) 15% B) 23% C) 30% D) 45% E) 47%
Fatorial
23. Simplificando a fração 5!.8!/4!.7! obtemos:
A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50
24. O conjunto dos valores de n tais que: [n! + (n + 1)!]/(n – 1)! = 15 é:
A) {5, 3} B) {5} C) {2} D) { - 5, 3} E) {3}
25. O conjunto solução da equação (n + 2)!/n! = 12 é um número:
A) múltiplo de 3
B) múltiplo de 5
C) múltiplo de 11
D) ímpar
E) primo
26. (UEL-PR) Se o número natural n é tal que [n! + 2(n – 1)!]/(n – 2)! = 18, então n é um número:
A) menor que 3
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ANÁLISE COMBINTÓRIA
B) divisível por 5
C) divisível por 2
D) maior que 10
E) múltiplo de 7
Arranjos simples
27. Sabendo-se que An,p = n!/(n – p)! então, A10,3 + A6,2 é igual a:
A) 720 B) 750 C) 320 D) 740 E) 780
28. (UFMG) a equação An,2 + A(n+1), 2 = 18:
A) possui infinitas raízes
B) possui duas raízes distintas
C) possui uma única raiz
D) não possui raíz
Combinaçao simples
29. Sabendo-se que Cn,p = n!/p!(n – p)! então, C7,5 - C6,0 é igual a:
A) 10 B) 17 C) 20 D) 21 E) 43
30. (FUVEST-SP) Numa primeira fase de um campeonato de xadrez, cada jogador joga uma vez contra todos os demais. Nessa
fase foram realizados 78 jogos. Quantos eram os jogadores ?
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
31. Um colégio promoveu numa semana esportiva um campeonato interclasses de futebol. Na primeira fase, entraram na disputa 8
times, cada um deles jogando uma vez contra cada um dos outros times. O número de jogos realizados na 1a fase foi
A) 8 jogos B) 13 jogos C) 23 jogos D) 28 jogos E) 35 jogos
Permutações
32. (ESA) Assinale a alternativa cuja palavra possui 60 anagramas.
A) AMEIXA 
B) BRANCO
C) BANANA
D) PARQUE
E) PATETA
33. Considerando a palavra CADERNO, quantos anagramas começam por C e terminam por O?
A) 140 B) 120 C) 100 D) 7! E) 80
34. Qual é o numero de anagramas da palavra FUTEBOL que terminam por BOL?
A) 4 B) 12 C) 24 D) 7! E) 5
35. (ESA) O número de anagramas diferentes com as letras da palavra MILITAR que não possuem consoantes consecutivas que
se pode obter é:
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A) 60 B) 72 C) 120 D) 186 E) 224
36. (ESA) Com as letras da palavra SARGENTO foram escritos todos os anagramas iniciados por vogais e com as consoantes
todas juntas. Quantos são esses anagramas?
A) 120960 B) 40320 C) 2160 D) 720 E) 120
37. Quantos anagramas começam por vogal na palavra ALUNO?
A) 120 B) 100 C) 80 D) 72 E) 60
38. Quantos anagramas terminam por consoantes na palavra PISTOLA?
A) 3120 B) 4100 C) 2380 D) 7! E) 2880
39. Qunatos anagramas começam por volgal e terminam por consoantes na palavra COMBATE?
A) 7! B) 5! C) 1440 D) 720 E) 2120
40. Qunatos anagramas apresentam as letras COM juntas e nessa ordem na palavra COMBATE?
A) 4! B) 5! C) 6! D) 5.4! E) 7!
41. Qual das palavras abaixo possui o menor número de anagramas?
A) PANTANAL 
B) GENERAL 
C) MINEIRO
D) COMBATENTE
E) BANANADA
42. Qunatos anagramas começam por R, na palavra CORREDOR?
A) 2120 B) 1260 C) 1380 D) 1200 E) 2800
43. Considere a palavra GRAVATA. Quantos são os anagramas que começam por consoantes?
A) 480 B) 260 C) 380 D) 200 E) 800
GABARITO
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A C B D B C C B A E E A D C B D E E E B
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
C A D E E C B C C D D C B C B C D E C D
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
E B A -
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ANÁLISE COMBINTÓRIA
RESPOSTAS COMENTADAS
01. RESOLUÇÃO:
Consideremos o esquema abaixo, em quecada quadrinho representa uma escolha da consumidora:
modelo cor
4 possibilidades 3 possibilidades
Pelo PFC , o número de escolhas é dado pelo produto: 4 . 3 = 12
02. RESOLUÇÃO:
No esquema a seguir, as casas, da esquerda para a direita, representam as centenas, dezenas e as unidades, respectivamente.
Conforme enunciado, não há restrição, ou seja, pode haver repetição de algarismos, sendo assim, temos:
centenas dezenas unidades
5 5 5
Pelo PFC: 5 . 5 . 5 = 125
03. RESOLUÇÃO:
No esquema abaixo, cada casa pode ser preenchida com um dos algarismos 3, 5, 7, 8 e 9 sem repetição de algarismos.
centenas dezenas unidades
5 4 3
Pelo PFC: 5. 4 . 3 = 60
04. RESOLUÇÃO:
Pelo PFC, temos:
1º colocado 2º colocado 3º colocado
10 9 8
Logo, o total de maneiras diferentes de ocorrer a classificação dos três primeiros colocados é dado por: 10.9.8 = 720 
05. RESOLUÇÃO:
Aqui podemos utilizar o mesmo raciocínio do problema2. O único cuidado que devemos ter é quanto o algarismo zero, uma vez que um número não pode
começar com o algarismo zero, por exemplo: 023 este é o número vinte e três, possui dois algarismos, já 120 é o número cento e vinte que possui três
algarismos. Portanto, para iniciar temos cinco possibilidades, já para a segunda e terceira posição temos seis possibilidades para cada, uma vez que o zero
poderá ser usado nestas posições. Assim temos:
centena dezena unidade
5 6 6
Pelo PFC: 5 . 6 . 6= 180 números
06. RESOLUÇÃO:
Neste problema devemos ter bastante atenção no fato de desejarmos números ímpares. Para um número ser ímpar, este deve ser terminado por um
algarismo impar. No nosso caso as possíveis terminações são {3, 5, 7, 9}, portanto, temos quatro possibilidades para finalizar o número desejado. Para
iniciar o número temos cinco possibilidades, uma vez que não podemos iniciar com o número zero. Para a segunda posição podemos utilizar qualquer um
dos seis algarismos iniciais. Assim temos:
centena dezena unidade
5 6 4
Pelo PFC: 5 . 6 . 4= 120 números
07. RESOLUÇÃO:
Para que o número seja par, a casa das unidades deve ser ocupada pelo algarismo 4; portanto, essa tem apenas uma possibilidade. Fixando o algarismo 4
como algarismo das unidades, temos:
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ANÁLISE COMBINTÓRIA
milhar centena dezena unidade
5 4 3 1
Pelo PFC: 5 . 4 . 3. 1 = 60 números
08. RESOLUÇÃO:
Neste problema devemos ter bastante atenção no fato de desejarmos números ímpares e com algarismos distintos. Para um número ser ímpar, este deve ser
terminado por um algarismo impar. No nosso caso as possíveis terminações são {3, 5, 7, 9}, portanto, temos quatro possibilidades para finalizar o número
desejado. Para iniciar o número temos quatro possibilidades, uma vez que não podemos iniciar com o algarismo que vamos finalizar e nem com o zero.
Para a segunda posição podemos utilizar quatro algarismos, já que não podemos usar o algarismo que iniciou e nem o que terminou o número, mas
podemos utilizar o zero. Assim temos:
centena dezena unidade
4 4 4
Pelo PFC: 4 . 4 . 4= 64 números
09. RESOLUÇÃO:
Sabe-se que o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9). Portanto, podemos concluir que: para a 1ª posição,
temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente
que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Assim temos:
1ª letra 2ª letra 3ª letra 1º algarismo 2º algarismo 3º algarismo 4º algarismo
26 26 26 10 10 10 10
Pelo PFC: 26.26.26.10.10.10.10 placas
10. RESOLUÇÃO:
Como pode haver repetição e, sendo t o total de placas que podem ser formadas, temos:
1ª letra 2ª letra 3ª letra 1º algarismo 2º algarismo 3º algarismo 4º algarismo
4 4 4 5 5 5 5
Pelo PFC: 4.4.4.5.5.5.5 = 40.000 placas
11. RESOLUÇÃO:
Conforme o enunciado, não pode haver repetição.
Sendo t o total de placas que podem ser formadas, temos:
1ª letra 2ª letra 3ª letra 1º algarismo 2º algarismo 3º algarismo 4º algarismo
4 3 2 5 4 3 2
Pelo PFC: 4.3.2.5.4.3.2 = 2.880
12. RESOLUÇÃO:
Possibilidades:
presidente vice-presidente secretário
5 8 6
Pelo PFC: 5.8.6 = 240
13. RESOLUÇÃO:
Temos:
Escolha da rua para ir de S1 a S2 Escolha da rua para ir de S2 a S3
5 3
Pelo PFC: 5.3 = 15
14. RESOLUÇÃO:
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ANÁLISE COMBINTÓRIA
Inicialmente, vamos escolher as linhas para ir de A a C (ida):
Escolha da linha para ir de A a B: 3 linhas;
Escolha da linha para ir de B a C: 4 linhas;
 Agora, vamos escolher as linhas de C a A (volta):
Escolha da linha para voltar de C a B: 3 linhas, pois não podemos voltar na mesma linha utilizada para ir de B a C;
Escolha da linha para voltar de B a A: 2 linhas, pois não podemos voltar na mesma linha utilizada para ir de A a B;
 Pelo PFC: 3 x 4 x 3 x 2 = 72 linhas.
15. RESOLUÇÃO:
Escolhe-se uma posição qualquer para ser colocada a primeira pedra. Escolhida a posição A, há 3 possibilidades de cores para esta posição, a próxima a
ser escolhida deve ser uma das posições ao lado por apresentar restrição. Escolhida a posição B, há 2 possibilidades (exceto a cor escolhida para A),
seguindo para posição C são 2 possibilidades (exceto a escolhida na B) e finalmente para a posição D, na qual somente 1 possibilidade (não pode ser a cor
escolhida na C nem na A). Pelo princípio multiplicativo, são 3 x 2 x 2 x 1 = 12 possibilidades. A posição de escolha inicial não importa, porém as escolhas
posteriores deveriam ser em ciclo (horário ou anti-horário) por causa da restrição.
16. RESOLUÇÃO:
Na questão, temos 8 possibilidades para o 1º lugar, 7 para o 2º, 6 para o 3º e 5 para o 4º. Pelo PFC, temos:
1º colocado 2º colocado 3º colocado 4º colocado
8 7 6 5
Logo, o total de maneiras diferentes de ocorrer a classificação dos quatro primeiros colocados é dado por: 8 x 7 x 6 x 5 = 1680.
17. RESOLUÇÃO:
Ao escolher a camisa, têm-se quatro alternativas multiplicadas pelas cinco alternativas das calças e multiplicadas pelas três alternativas dos sapatos, Pelo
PFC, temos:
camisas calças sapatos
4 5 3
Logo, a quantidade de formas diferentes que se pode utilizá-las é dado por: 4 x 5 x 3 = 60.
18. RESOLUÇÃO:
Com base no enunciado, não existe restrição.
De fora do shopping para o andar térreo temos 4 possibilidades, do térreo para o primeiro andar teremos 5 possibilidades e do primeiro ao segundo andar
há 3 possibilidades. Assim temos:
Acessar o andar térreo Ir do térreo para o 1º pavimento Ir do 1º para o 2º pavimento
4 5 3
Pelo PFC: 4.5.3 = 60
19. RESOLUÇÃO:
Conforme o enunciado tem restrição: algarismos distintos
Para ser divido por 2 os números devem terminar em 4, 6 e 8
1ª possibilidade:
milhar centena dezena unidade
6 5 4 1
Pelo PFC: 6.5.4.1 = 120
2ª possibilidade:
milhar centena dezena unidade
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ANÁLISE COMBINTÓRIA
6 5 4 1
Pelo PFC: 6.5.4.1 = 120
3ª possibilidade:
milhar centena dezena unidade
6 5 4 1
Pelo PFC: 6.5.4.1 = 120
Logo, 3. 120 = 360 são divisíveis por 2
20. RESOLUÇÃO:
No diagrama a seguir, cada “casa” indica uma posição na sequência de 7 unidades, em que a cidade A deve ocupar a primeira e a última posição. As
cidade B, C, D, E e F devem ser distribuídas nas posições intermediárias. Assim temos:
1º ponto 2º ponto 3º ponto 4º ponto 5º ponto 6º ponto 7º ponto
1 5 4 3 2 1 1
Pelo PFC, temos: 1.5.4.3.2.1.1 = 120
Como cada sequência possui uma única simétrica, que não precisa ser examinada, temos que o número de sequências que João precisa analisar é 60. Logo,
o tempo mínimo necessário, em minuto, para essa análise é 60.1,5 = 90 minutos.
21. RESOLUÇÃO:
Princípio Aditivo da Contagem (PAC), temos:
Total de alunos: n(AUB) = ?
n(A) = 18
n(B) = 23
n(A∩B) = 8
Logo:
n(AUB) = n(A) + n(B) – n(A∩B)n(AUB) = 18 + 23 – 8
n(AUB) = 33
22. RESOLUÇÃO:
Princípio Aditivo da Contagem (PAC), temos:
Total de alunos: 500 alunos
Não possuíam os antígenos A e B = 225
Participam do evento: 500 – 225 = 275 alunos
n(A) = 115
n(B) = 235
n(A∩B) = ?
Logo:
n(AUB) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
275 = 115 + 235 – n(A∩B)
275 – 350 = – n(A∩B)
n(A∩B) = 75 alunos tem o antígeno AB = 75/500 = 15%
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ANÁLISE COMBINTÓRIA
23. RESOLUÇÃO:
5!.8!/4!.7! = 5.4!.8.7!/4!.7! = 5.8 = 40
24. RESOLUÇÃO:
[n(n-1)! + (n+1)n(n – 1)!]/(n – 1) = 15 → (n – 1)![n + n(n + 1)]/(n – 1)! = 15
n + n(n + 1) = 15 → n² + 2n – 15 = 0 
Resolvendo a equação n² + 2n – 15 = 0, obtemos:
n = 3 ou n = - 5 (não convém). Logo: S = {3}
25. RESOLUÇÃO:
Resolvendo (n + 2)!/n! = 12 obtemos: 
(n + 2)(n + 1) n!/n! = 12 → (n + 2)(n + 1) = 12
n² + 3n – 10 = 0 
Resolvendo n² + 3n – 10 = 0 → n = 2 ou n = - 5 (não convém)
S = {2}
26. RESOLUÇÃO:
Condição de existência: n pertence ao naturais e n ≥ 2
Resolvendo [n! + 2(n – 1)!]/(n – 2)! = 18 obtemos:
[n! + 2(n – 1)!]/(n – 2)! = 18 → [n(n – 1)(n-2)! + 2(n – 1)(n – 2)!]/(n – 2)! = 18
(n – 1).(n - 2)!(n + 2)/(n – 2) = 18 → (n – 1).(n + 2) = 18
n² + n – 20 = 0 → n = 4 ou n = - 5 (não convém)
S = {4}
27. RESOLUÇÃO:
Resolvendo A10,3 + A6,2 obtemos:
A10,3 = 10!/(10 – 3) ! = 10.9.8.7!/7! = 10.9.8 = 720
A6,2 = 6!/(6 – 2)! = 6. 5. 4!/4! = 6.5 = 30
A10,3 + A6,2 = 720 + 30 = 750
28. RESOLUÇÃO:
Resolvendo a equação An,2 + A(n+1), 2 = 18: obtemos:
n!/(n – 2)! + (n + 1)!/(n – 1)! = 18
n.(n – 1).(n – 2)!/(n – 2)! + (n+1).n.(n – 1)/(n – 1)! = 18
n.(n – 1) + (n + 1).n = 18 → n² – n + n² + n = 18
2n² = 18 → n² = 9, logo n = 3 ou n = - 3 (não convém)
S = {3}
29. RESOLUÇÃO:
Resolvendo C7,5 - C6,0 obtemos:
C7,5 = 7!/5!.(7-5)! = 7!/5!.2! → 7.6.5!/5!.2.1 = 21
C6,0 = 6!/0!.(6 – 0)! = 6!/1.6! = 1
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ANÁLISE COMBINTÓRIA
C7,5 - C6,0 = 21 – 1 = 20
30. RESOLUÇÃO:
Indicando por n o número de jogadores, temos:
Cn,2 = 78 → n!/2!.(n – 2)! = 78
n.(n-1).(n-2)!/2!.(n-2)! 78 → n² – n – 156 = 0
Resolvendo a equação do 2º grau n² – n – 156 = 0, temos n = 13 ou n = - 12 (não convém)
Somente 13 jogadores participaram da 1ª fase do torneio.
31. RESOLUÇÃO:
Como a ordem dos elementos componentes não altera o grupo, que participam do campeonato, trata-se de combinação simples.
C8,2 = 8!/2!(8 – 2)! = 8.7.6!2.1.6! = 28
32. RESOLUÇÃO:
33. RESOLUÇÃO:
Fixando as letras C e O na primeira e na sétima posição, respectivamente, sobram cinco letras para serem distribuídas nas cinco posições intermediárias:
C
A D E R N
O
FIXO FIXO
P5 = 5! = 120
34. RESOLUÇÃO:
FUTE BOL
F U T E BOL
Como BOL é fixo, temos apenas: P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24
Portanto, há 24 anagramas.
35. RESOLUÇÃO:
Restrição: não possuem consoantes consecutivas
Devem-se permutar as consoantes nas posições 1, 3, 5 e 7 e as vogais nas posições 2, 4 e 6 (é a única maneira em que as consoantes não ficam
consecutivas. Assim temos:
1ª posição 2ª posição 3ª posição 4ª posição 5ª posição 6ª posição 7ª posição
M I L I T A R
P4.P32 = 4!. 3!/2! = 4.3.2.1.3.2!/2! = 72
36. RESOLUÇÃO:
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Temos, conforme o enunciado anagramas iniciados por vogais e com as consoantes todas juntas.
Iniciadas por vogal: 3 possibilidades → 3 (A, E, O)
Os anagramas de A, E e O → 3!
Os anagramas das consoantes juntas SRGNT → 5!
Logo, temos: 3.5!.3! = 2160
37. RESOLUÇÃO:
Há três possibilidades para o preenchimento da primeira posição: A, U, ou O. Para cada volgal fixada na primeira posição, sobram quatro letras para serem
distribuídas nas posições posteriores:
A, E ou O
3
P4 = 4!
Temos então: 3.4! = 72
38. RESOLUÇÃO:
Temos quatro consoantes: PSTL
Para cada consoante fixada na sétima posição, sobram seis letras para serem distribuídas nas seis posições anteriores:
P, S, T ou L
4
 P6 = 6! 
Temos então: 4.6! = 2.880
39. RESOLUÇÃO:
Palavra analisada: COMBATE
Vogais: A, E, O
Consoantes: C, M, B, T
Observa-se que existem três possibilidades para o preenchimento da primeira posição e quatro possibilidades para o preenchimento da última posição
(sétima). Fixadas uma vogal e uma consoante na primeira e na sétima posição, respectivamente, sobram cinco letras para serem distribuídas nas posições
intermediárias:
A, E, O C, M, B, T
3 possibilidades 4 possibilidades
3 P5 4
Assima temos: 3.5!.4 = 3.5.4.3.2.1.4 = 1440 anagramas que começam por vogal e terminal por consoantes
40. RESOLUÇÃO:
Palavra a ser analisada: COMBATE
As letras C, O, M podem ocupar, respectivamente, as seguintes posições: 1ª, 2ª e 3ª - 2ª 3ª e 4ª - 3ª, 4ª e 5ª - 4ª, 5ª e 6ª – 5ª, 6ª e 7ª
COM: equivale a um único elemento nas permutações
Analisemos cada caso:
1º caso
C O M 4 3 2 1
4.3.2.1 = P4 = 4!
2º caso
4 C O M 3 2 1
4.3.2.1 = P4 = 4!
3º caso
4 3 C O M 2 1
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4.3.2.1 = P4 = 4!
4º caso
4 3 2 C O M 1
4.3.2.1 = P4 = 4!
5º caso
4 3 2 1 C O M
4.3.2.1 = P4 = 4!
Assim temos: 5.P4 = 5.4! = 5.4.3.2.1 = 120
41. RESOLUÇÃO:
Temos:
PANTANAL: 8!/3!2! = 8.7.6.5.4.3!/3!.2! = 3.360 = 
GENERAL: 7!/2! = 7.6.5.4.3.2!/2! = 2520
MINEIRO: 7!/2! = 7.6.5.4.3.2!/2! = 2520
COMBATENTE: 10!/2!2! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2!/2!.2! = 907200
BANANADA: 8!/4!2! = 840
42. RESOLUÇÃO:
Palavra a ser analisada: CORREDOR
Fixando uma letra R na primeira posição, sobram as letras C, O, R, R, E e D, O que devem ser distribuídas nas sete posições posteriores:
R
1 7!/2!.2!
7.6.5.4.3.2!/2!.2! = 1260
43. RESOLUÇÃO:
Palavra a ser analisada: GRAVATA
Consoantes: G, R, V, T
Fixando a letra G na primeira posição, sobram: R,A,V,A,T e A que devem ser distribuídas nas seis posições posteriores:
1ª situação
G
1 6!/3! = 6.5.4.3!/3! = 120
2ª situação
R
1 6!/3! = 6.5.4.3!/3! = 120
 
3ª situação
V
1 6!/3! = 6.5.4.3!/3! = 120
3ª situação
T
1 6!/3! = 6.5.4.3!/3! = 120
Logo, temos: 4.120 = 480
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