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SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 1 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática 2008 www.cursoanglo.com.br 2008 N • Í • V • E • L 3 Treinamento para Olimpíadas de Matemática AULAS 4 a 6 Ângulos (em polígonos e na circunferência) Proposição 1 Se duas retas são paralelas, cada par de ângulos alternos e internos são congruentes e reciprocamente. Proposição 2 A soma das medidas dos três ângulos internos de um triân- gulo é 180°. Proposição 3 A medida de um ângulo externo de um triângulo é igual a soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele. Proposição 4 A soma das medidas dos ângulos agudos de um triângulo retângulo é 90°. α + β = 90° α β β = ∠ A + ∠ C A B C β ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180° A B C transversal α β paralelas r s Se r//s, então α = β RelacionadosConceitos SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 2 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática Proposição 5 Qualquer ponto da bissetriz de um ângulo é eqüidistante dos lados do ângulo. Proposição 6 — Triângulos isósceles Se dois lados de um triângulo são congruentes, os ângulos opostos a estes lados são congruentes e reciprocamente. Proposição 7 Se uma reta é tangente a uma circunferência, então ela é perpen- dicular ao raio no ponto de tangência. Proposição 8 — Ângulos na circunferência (inscrito e central) Proposição 9 Na mesma circunferência ou em circunferências congruentes, arcos congruentes tem cordas congruentes e reci- procamente. Proposição 10 A soma dos ângulos internos de um Polígono Convexo de n lados é 180° (n – 2). Assim uma soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360°. A B C D Se AB = CD, então AB = CD A B α 1 2α = AB A B α α = AB A raio I tangente a circunferênciaT ponto de tangência AT IT d α’ α d’ bissetriz α = α’ e d = d’ 2008 Proposição 11 Um quadrilátero cíclico(inscrito) é um quadrilátero com todos os seus vértices pertencentes à uma mesma circunferência. Os ângu- los opostos de um quadrilátero cíclico são suplementares. A recí- proca também é verdadeira 1. (OBM) Três quadrados são colados pelos seus vértices entre si e a dois bastões verticais, como mostra a figura. Qual a medida do ângulo x? a) 39º d) 44º b) 41º e) 46º c) 43º 2. (OBM) Na figura, o lado AB —— do triângulo eqüilátero ABC é paralelo ao lado DG —— do quadrado DEFG. Qual é o valor, em graus, do ângulo x? a) 80° d) 110° b) 90° e) 120° c) 100° 3. (Treinamento OBMEP) Na figura, os dois triângulos ABC e FDE são eqüiláteros. Qual é o valor do ângulo x? a) 30° d) 60° b) 40° e) 70° c) 50° B 75° A D 65° G C H E F x° x G A D B C E F x75° 126°30° ClasseEm C B A D ∠ A + ∠ C = 180° ® Antonio Gutierrez www.agutie.com SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 3 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática 2008 SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 4 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática 4. (Treinamento OBMEP) No triângulo KLM temos KL = KM, KT = KS e ∠LKS = 30°. Qual a medida, em graus, do ângulo T SˆM? a) 10° d) 25° b) 15° e) 30° c) 20° 5. (OLIMPÍADA ITALIANA) Na figura abaixo ABCDE representa um pentágono regular e ABP um triângulo eqüilátero. Qual é a medida do ângulo BCP? a) 45° d) 66° b) 54° e) 72° c) 60° 6. (OLIMPÍADA ITALIANA) Considerando que no círculo da figura abaixo, o ângulo BÂC mede 35° e que CD é um diâ- metro, podemos afirmar que o ângulo B CˆD mede a) 35º d) 55º b) 45º e) 60º c) 50º 1. (OBM) A figura mostra dois quadrados sobrepostos. Qual é o valor de x + y em graus? a) 270 d) 360 b) 300 e) 390 c) 330 x y CasaEm A B C O D A B CE D P K T Mx S L 2008 2. (OLIMPÍADA AMERICANA) No trapézio ABCD de lados paralelos AB e CD, a diagonal BD e o lado AD tem igual comprimento. Se o ângulo D CˆB mede 110° e o ângulo CBˆD mede 30°, então a medida x, em graus, do ângulo ADˆB é a) 80 d) 110 b) 90 e) 120 c) 100 3. (OLIMPÍADA AUSTRALIANA) Determine, em graus, o valor de S: S = u + v + w a) 90 d) 150 b) 90 e) 180 c) 120 4. (Treinamento para Olimpíada Colombiana) ABC é um triângulo. D é um ponto do lado BC tal que BD = 2 e DC = 1. Sabendo que: ∠ACD = 45º e ∠ADB = 60º. A medida, em graus, do ângulo ABˆC é a) 55 d) 75 b) 60 e) 90 c) 70 5. (Treinamento para Olimpíada Canadense) Na figura abaixo, ∠QAB = ∠QAC = 10°, ∠QBA = 20° e ∠QBC = 100°. Então, a medida, em graus, do ângulo ACˆQ é a) 10 d) 25 b) 15 e) 30 c) 20 6. (OBM) Constrói-se o quadrado ABXY sobre o lado AB do heptágono regular ABCDEFG, exteriormente ao heptá- gono. Determine a medida do ângulo BXˆC, em radianos. (π radianos equivale a 180°) a) d) b) e) c) π 14 3 28 π3 7 π 3 14 π π 7 20° 100° 10° 10° Q A B C v w u A B CD x SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 5 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática 2008 SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 6 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática 7. (OBM) Se girarmos o pentágono regular, ao lado, de um ângulo de 252°, em torno do seu centro, no sentido horário, qual figura será obtida? a) d) b) e) c) 8. (OBM) Na figura, quanto vale x? a) 6° b) 12° c) 18° d) 20° e) 24° 9. (OBM) Na figura, a reta PQ toca em N o círculo que passa por L, M e N. A reta LM corta a reta PQ em R. Se LM = LN e a medida do ângulo PNL, em graus, é α, com α � 60°, quanto mede o ângulo LRP? a) 3α – 180° d) b) 180° – 2α e) α c) 180° – α 10. (OLIMPÍADA AMERICANA) Na figura abaixo, ABCDE é um pentágono regular. P é um ponto interno a este pentá- gono de modo que ∠PAE = 48° e ∠PCD = 42°, nestas condições a medida do ângulo CPE, em graus, é a) 132 b) 148 c) 150 d) 160 e) 168 90 2 ° − α P QR M L N α 2x3x 4x 5x 6x 2008 B P E D C A 48.0° 42.0° 11. (OLIMPÍADA ARGENTINA) Seja ABC um triângulo tal que AB = AC. Seja ADC um triângulo tal que AC = CD. Seja AB perpendicular a CD. Nestas condições, sendo x e y medidas, em graus, dos ângulos ADC e ABC res- pectivamente (figura), podemos afirmar que x + y = a) 130° b) 135° c) 145° d) 150° e) 155° 12. (OLIMPÍADA ITALIANA) Um triângulo eqüilátero DEF é construído por pontos (vértices) D, E e F pertencentes aos lados AB, BC e CA, respectivamente, de um triângulo ABC. Se β e α são medidas, em graus, dos ângulos BDE e DFA respectivamente, determinados por esta construção conforme figura abaixo, e ∠BAC = 46°, então α – β = a) 13° b) 14° c) 15° d) 16° e) 17° 13. (OLIMPÍADA ITALIANA) Dado os ângulos Â, Bˆ,Cˆ e Dˆ , quanto vale a soma Ê + Fˆ? a) Â + Bˆ + Cˆ + Dˆ b) c) 360° – Â – Bˆ – Cˆ – Dˆ d) 360° + Â + Bˆ – Cˆ – Dˆ e) nenhuma das alternativas. ˆ ˆ ˆ ˆA B C D+ + + 2 A B C D E F B D F E C A 46° α β D B A C x y SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 7 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática 2008 SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 8 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática 14. (OLIMPÍADA ITALIANA) ABC é um triângulo retângulo em B, não isósceles e D é o ponto de interseção da circun- ferência de diâmetro BC com a hipotenusa. Qual das afirmações abaixo é falsa? a) ∠BFD = 2 ⋅ ∠BAC b) DF = FA c) DF divide o ângulo BDA ao “meio”. d) DF divide o segmento BA ao meio. e) FD = FB 15. (OLIMPÍADA ITALIANA) Em um triângulo ABC, retângulo em B, traçam-se as bissetrizes internas CE e AD, confor- me figura abaixo. Sendo F e G projeções ortogonais de E e D sobre a hipotenusa AC, respectivamente, podemos afirmar que a medida, em graus, do ângulo FBG, é a) 20° d) 50° b) 30° e) 16° c) 45° 16. (OLIMPÍADA CANADENSE) ABCD é um quadrilátero convexo tais que AB = AD = 1, ∠BAD = 80° e ∠BCD = 140°, então AC = a) b) 1c) d) 2 e) 3 3 2 1 2 80° 140° A 1 1 B D C B CD GE F A AB C D F 2008
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