Aula9b-Distribuição t

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4/23/14	
1	
Universidade	
  Federal	
  de	
  Goiás	
  
Escola	
  de	
  Agronomia	
  e	
  Engenharia	
  de	
  Alimentos	
  
Engenharia	
  Florestal	
  
Disciplina: Estatística e Experimentação Florestal	
Professor: Evandro Novaes	
Inferência Estatística e Amostragem 
Distribuição t	
Capítulo 4	
Slides: A. S. Coelho	
4. 	
Inferência Estatística e Amostragem���
	
a. Conceitos Básicos���
	
b. Tipos de Amostragem���
	
c. Distribuição de t (Student) e Intervalo de 
	
Confiança	
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2	
população	
 distribuição Normal	
y1	
y2	
y3	
⋮	
y∞	
⋮	
amostra 1	
amostra 2	
amostra 3	
amostra 4	
amostra ∞	
µˆ1
µˆ2
µˆ3
µˆ4
µˆ∞
}
} distribuição de t	
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3	
A estatística t de Student	
t = y − µsy
t = y − µs
n
com n − 1 graus de liberdade	
sy =
s2
n
Desvio padrão das médias	
ou Erro Padrão	
Conforme n aumenta t se aproxima de z	
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4	
Conforme n aumenta t se aproxima de z	
A distribuição de t	
ttab−ttab 0
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5	
Olhando na tabela t	
3.25	
-3.25	
n = 10	
g.l. = 9	
α = 0.01	
Utilizando a tabela t	
•  Sabe-se que a média de produtividade do clone GG100, 
em uma dada região de Goiás, é de μ= 42m3/haŸano. 
Nessa mesma região amostrou-se 30 indivíduos desse 
clone, obtendo-se: e	
•  Qual a probabilidade de que em uma segunda amostra de 
mesmo tamanho obtenha-se um valor de produtividade 
tão ou mais alto do que esse?	
€ 
x = 45
€ 
s = 5
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6	
No entanto, na maioria das 
vezes não conhecemos μ	
Temos interesse em estimar esse parâmetro	
Medida pontual ( ) contém erro	
x
Precisamos de um intervalo de confiânça	
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A distribuição de t	
ttab−ttab 0
γ = P −ttab ≤ t ≤ ttab( )
t = y − µsy
γ = P −ttab ≤
y − µ
sy
≤ ttab
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
γ = P −ttab ≤
y − µ
sy
≤ ttab
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
γ = P −ttab . sy ≤ y − µ ≤ ttab . sy( )
γ = P −y − ttab . sy ≤ −µ ≤ −y + ttab . sy( )
γ = P y + ttab . sy ≥ µ ≥ y − ttab . sy( )
γ = P y − ttab . sy ≤ µ ≤ y + ttab . sy( )
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Intervalo de Confiança	
γ = P y − ttab . sy ≤ µ ≤ y + ttab . sy( )
e = ttab . sy
γ = P y − e ≤ µ ≤ y + e( )
ICγ = y ± e
Exercício 1	
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Intervalo de Confiança	
-  Se o intervalo de confiança for de 95%, podemos 
afirmar que o parâmetro populacional μ está 
contido no intervalo?	
-  Não, mas temos confiança de 95% que sim, pois a 
probabilidade de que o intervalo contenha μ é 
de 0,95.	
-  Ou seja, se repetíssemos a amostragem 100x e 
calculássemos 100 IC, em média somente 5 
intervalos não conteriam μ	
Intervalo de Confiança	
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10	
Exercício 2	
Exercício 3	
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11	
Cálculo de tamanho da amostra	
e = ttab . sy sy = s
2
n
e = ttab .
s2
n
e
ttab
=
s2
n
e2
ttab2
=
s2
n n =
s2 . ttab2
e2
 
γ = 0,95 : ttab  2⇒ n =
4s2
e2
Exercício 10	
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12	
Exercício 11	
Exercício 13	
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13	
Binomial aproxima-se 
da Normal	
Quando n ≥ 30 e p não é próximo de 0 ou 1	
np ≥ 5	
A taxa de germinação de um lote de sementes é de 60%. Em uma amostra de 25 
sementes, quantas germinarão em média?	
µ = 25 . 0,6 ∴ µ = 15 sementes
n = 25
p = 0,6
µ = np
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Distribuição de probabilidade da variável x	
µ = np
σ 2 = np(1− p)
µ = 25 . 0,6 ∴ µ = 15 sementes
€ 
σ2 = 3,6
✓  A média da distribuição das proporções é dada por: 	
✓  A variância da distribuição das proporções é dada por:	
Se a variável de interesse for x/n (proporção ou frequência 
de casos)	
µ = p
σ 2 = p(1− p)n
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A taxa de germinação de um lote de sementes é de 60%. Em uma amostra de 25 
sementes, que proporção das sementes germinarão em média? Qual a variância 
esperada para esta proporção?	
n = 25
p = 0,6
µ = 0,6 = 60%µ = p
σ 2 = p(1− p)n σ
2 =
0,6 . 0,4
25 = 0,0096 = 0,96%
Cálculo de tamanho da amostra (proporções)	
spˆ =
p(1− p)
n e = ttab .
p(1− p)
n
e
ttab
=
p(1− p)
n
e2
ttab2
=
p(1− p)
n n =
p(1− p). ttab2
e2
 
γ = 0,95 : ttab  2⇒ n =
4 p(1− p)
e2
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Exercícios 8 e 9	
Exercício 12