Resoluções de Problemas de Engenharia Química - EXCEL

Prévia do material em texto

EXCEL APLICADO À 
ENGENHARIA QUÍMICA: 
CONCEITOS E RESOLUÇÕES 
DE PROBLEMAS 
 
 
 
 
 
 
 
Peterson Yamagushi Gomes de Medeiros 
Hugo Andersson Dantas Medeiros 
SOBRE OS AUTORES 
 
Peterson Yamagushi Gomes de Medeiros é engenheiro químico graduado pela 
Universidade Federal Rural do Semi-Árido (UFERSA). Membro associado ao Grupo 
de Pesquisa em Termofluidodinâmica Aplicada (GPTA), vinculado ao 
departamento de Engenharia Química da Universidade Federal do Ceará (UFC). 
Atualmente exerce a função de técnico em célula PVT à altas pressões, além de 
exercer pesquisas na área de engenharia química com ênfase em propriedades 
de líquidos iônicos. 
 
Hugo Andersson Dantas Medeiros é engenheiro químico graduado pela 
Universidade Federal Rural do Semi-Árido (UFERSA). Membro associado ao Grupo 
de Pesquisa Fluidos da Indústria do Petróleo, vinculado ao Centro de Engenharias 
da Universidade Federal Rural do Semi-Árido. Atualmente exerce a função de 
analista técnico de laboratório além de exercer pesquisas na área de engenharia 
química com ênfase em simulação de plantas industriais para a produção de 
biodiesel utilizando o simulador comercial UNISIM®. 
 
 
RESUMO 
 
O presente material tem como objetivo principal auxiliar o(a) estudante do curso 
de engenharia química na resolução de problemas, mas também serve como 
embasamento para o profissional de áreas correlatas resolver e aprender sobre 
a dinâmica dos problemas envolvendo o MS-EXCEL®. Este material dá ênfase na 
resolução de diversos problemas, então os conceitos introdutórios do MS-EXCEL® 
não serão o foco. Serão apresentadas noções que abrangem desde os conceitos 
básicos até os intermediários desta ferramenta. O material é organizado em dois 
capítulos, onde o primeiro aborda algumas ferramentas básicas para auxiliar na 
resolução dos problemas encontrados nas disciplinas do curso de Engenharia 
Química, como o Solver, o Atingir Meta e outros recursos. O segundo trata do 
uso de métodos numéricos para equações algébricas não lineares e como estes 
são essenciais nos problemas envolvendo essas equações. Ao final dos dois 
capítulos serão resolvidos exercícios com o objetivo de fixar os conceitos e ajudar 
na visualização das ferramentas. 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 5 
CAPÍTULO 1....................................................................................................................... 6 
1.1 O ATINGIR META ..................................................................................................... 6 
1.2 O SOLVER ................................................................................................................ 7 
1.3 IMPORTANDO DADOS DO BLOCO DE NOTAS (ARQUIVOS .txt) PARA A PLANILHA 
DO MS-EXCEL® ............................................................................................................... 7 
1.4 PROBLEMAS .......................................................................................................... 12 
Problema 1: Balanço de massa em um tanque de formulação. (Princípios de 
Processos Químicos) ............................................................................................... 12 
Problema 2: Cálculo do volume molar utilizando uma equação de estado. 
(Termodinâmica) ..................................................................................................... 18 
Problema 3: Estimativa da pressão de vapor do n-Decano em uma ampla faixa de 
temperatura. (Termodinâmica) .............................................................................. 22 
Problema 4: Reator Bioquímico ou Biorreator. (Engenharia Bioquímica) ............. 27 
Problema 5: Cálculo da porosidade em uma operação de Fluidização. (Operações 
Unitárias I) ............................................................................................................... 35 
Problema 6: Cálculo da temperatura de saída em um processo de troca térmica. 
(Termodinâmica) ..................................................................................................... 41 
Problema 7: Determinação da permeabilidade, k, e do fator “c” em um experimento 
de permeametria. (Operações Unitárias I) ............................................................. 45 
Problema 8: Cálculo flash em um sistema multicomponente em equilíbrio líquido-
vapor (ELV). (Termodinâmica) ................................................................................. 49 
Problema 9: Cálculo do volume parcial molar de uma mistura binária. (Físico-
Química) .................................................................................................................. 55 
Problema 10: Encontrando a constante cinética de uma reação. (Reatores I) ...... 60 
CAPÍTULO 2..................................................................................................................... 66 
2.1 MÉTODOS NUMÉRICOS ........................................................................................ 66 
2.2 Método do Ponto Fixo, MPF (substituição direta) ............................................... 68 
2.3 Método da Bisseção .............................................................................................. 70 
2.4 Método de Newton-Raphson ............................................................................... 74 
2.5 Método da Secante ............................................................................................... 77 
2.6 PROBLEMAS .......................................................................................................... 80 
Problema 1: Concentração de saída em um reator CSTR (Reatores – Modelagem e 
Simulação de Processos). ........................................................................................ 80 
Problema 2: Modelagem de um tanque esférico (Modelagem e Simulação de 
Processos). ............................................................................................................... 85 
 
 
 
 
 
5 
 
INTRODUÇÃO 
 
 O MS-Excel® é uma ferramenta poderosa na resolução de problemas das 
diversas áreas do conhecimento, e na engenharia, se torna uma ferramenta 
indispensável na didática e nas aplicações. A sua capacidade de realizar tarefas 
múltiplas desde a organização, elaboração de resultados gráficos, funções pré-
determinadas e até mesmo um ambiente voltado para programação (VBA), torna 
o MS-Excel® de suma importância no aprendizado tanto para uso acadêmico 
quanto profissional. O grande atrativo deste Software é ser uma ferramenta de 
baixo custo quando comparado a outros softwares que tenham funções 
semelhantes e por estarem facilmente disponíveis nos computadores de 
universidades, torna-se ainda mais motivadora à aprendizagem e o estudo do 
mesmo. 
 Na engenharia química, suas diversas áreas (termodinâmica, operações 
unitárias, reatores, fenômenos de transporte, etc.) podem utilizar o MS-Excel® 
na resolução de seus problemas, de modo que, os mesmos podem ser 
visualizados de uma forma melhor e como consequência, solucionados de 
maneira mais rápida. Com isso, este material irá ajudar o(a) estudante de 
Engenharia Química a ter noções de como essa ferramenta é necessária tanto no 
curso de graduação como na sua vida profissional. 
 Deve-se enfatizar que o conteúdo que será exposto nesse material é 
voltado para o(a) estudante que apresenta noções básicas de MS-Excel®. Sendo 
assim, torna-se mais didática a forma de resolução dos problemas. Diante disso, 
a organização do texto se dá de forma que os problemas resolvidos serão 
comentados e explicados passo a passo os conceitos necessáriospara a aplicação 
e não necessariamente mostrar a parte mais básica da ferramenta. 
 O primeiro capítulo mostra os conceitos das ferramentas Atingir Meta e 
Solver e como importar dados de bloco de notas (arquivos .txt) por intermédio 
de um arquivo .pdf e no final, serão resolvidos vários problemas que envolvem 
essas e outras ferramentas da planilha do MS-Excel®. O segundo capítulo detalha 
métodos numéricos para equações algébricas não lineares e como eles podem 
auxiliar e facilitar os cálculos, e novamente serão resolvidos alguns problemas. 
 A criatividade de cada um deve ser utilizada para a resolução dos 
problemas de engenharia, mas acreditamos que esse material abre um leque de 
oportunidades para a dinâmica do aprendizado individual. 
 
 
 
 
6 
 
CAPÍTULO 1 
 
 Neste capítulo introdutório serão mostradas duas ferramentas essências 
para a resolução de problemas comumente encontrados nas disciplinas do curso 
de Engenharia Química: o Atingir Meta e o Solver. Também será mostrado como 
importar dados de arquivos-texto para a planilha do Excel e como sua aplicação 
é importante para a criação de bancos de dados. Ao fim do capítulo, serão 
resolvidos vários problemas com aplicações dessas ferramentas e de outros 
recursos do Excel. Para todos os desenvolvimentos dos problemas, serão 
mostradas abordagens das resoluções e algumas aplicações e funções 
necessárias. 
 
Recomendações: como alguns conceitos e aplicações do Excel que aqui serão 
abordados não contém um texto explicando, pois como foi mencionado 
anteriormente, acreditamos que o leitor esteja apto a identificar essas funções e 
ferramentas básicas, recomendamos que se algum procedimento feito aqui não 
esteja tão claro (como plotar um gráfico de dispersão, colocar um número em 
notação científica, colocar margens nas células, etc.), procure em apostilas ou 
em vídeo-aulas como fazer isso. Isto se faz necessário para o material se tornar 
mais dinâmico e ter melhor aproveitamento. 
 
1.1 O ATINGIR META 
 
Função: Encontrar o resultado desejado ajustando um valor de entrada. 
 Em outras palavras, se você conhece a equação e também o resultado que 
se deseja obter (tanto o valor de entrada quando o de saída), mas não tem 
certeza sobre o valor de entrada ou de saída necessário para chegar à sua 
“meta”, esse recurso é aplicável. É utilizado como um teste de hipóteses (esse 
recurso é encontrado na barra de ferramentas seguindo o caminho: 
Dados>Teste de Hipóteses). 
 Na Engenharia Química muitas vezes nos deparamos com equações que 
os dados de entrada são insuficientes para a resolução, de maneira que deseja-
-se saber tal valor para que a equação se torne consistente. Em alguns casos 
esse valor é difícil de ser analiticamente isolado e para isso o Atingir Meta é 
utilizado. Em problemas de trocadores de calor, por exemplo, a aplicação mais 
usual é desejarmos saber a temperatura de saída do fluido, para tanto, esse 
recurso é indispensável. 
OBS: A aplicação do Atingir Meta será mostrada apenas durante a resolução dos 
problemas. 
7 
 
1.2 O SOLVER 
 
Função: Realiza cálculos iterativos em sistemas de multivariáveis, com o objetivo 
de se encontrar um valor (máximo ou mínimo) para uma equação escrita em uma 
célula do Excel. 
Em outras palavras, com o Solver é possível adotar restrições ou limites 
sobre os valores de outras células que tenham equações. Na utilização dessa 
função, as variáveis de decisão (células variáveis), como o próprio nome sugere, 
irão variar dentro de um intervalo de restrições, até obter um valor para célula 
objetivo (células que contém as equações) que satisfaça todas as restrições 
estabelecidas, assim o Solver ajusta os valores nas células variáveis de decisão a 
fim de satisfazer os limites sobre as células de restrição e dar como o resultado 
o que você deseja para a célula objetiva. 
 Quando os problemas começam a se tornar de certa forma mais 
complexos, exigindo uma determinada condição a mais, em que o Atingir Meta 
não fornece (como as restrições, por exemplo), o Solver se torna uma função 
mais poderosa. Nas aplicações de engenharia, que muitas vezes são necessárias 
encontrar as melhores soluções para um modelo, utilizar o Solver é a melhor 
saída. 
A simplicidade de resolver problemas utilizando o Solver que seriam 
complexos para resolver analiticamente é ainda mais facilitada pela escolha de 
três algoritmos ou métodos de solução na caixa de diálogo parâmetros do Solver, 
são eles: Gradiente Reduzido Generalizado (GRG) Não Linear - para 
problemas simples não lineares; LP Simplex – para problemas lineares e 
Evolucionário – para problemas complexos. 
OBS: A aplicação do Solver e como é feita a sua instalação no Excel serão 
mostradas na resolução dos problemas. 
 
 
1.3 IMPORTANDO DADOS DO BLOCO DE NOTAS (ARQUIVOS .txt) PARA 
A PLANILHA DO MS-EXCEL® 
 
É bastante comum para um(a) estudante de Engenharia Química ficar 
sempre buscando dados de propriedades ou até mesmo tendo que estimá-los, 
no entanto, a maioria das fontes disponíveis que facilitam a importação de dados 
é através de arquivo .pdf. É notório que quando copiamos esses dados direto de 
um arquivo .pdf e colamos na planilha do Excel, os dados são inseridos todos 
desorganizados, o que se torna uma tarefa tediosa para tentar organizá-los. 
8 
 
Figura 1 – Dados copiados dos coeficientes das equações de Antoine e Wagner para calcular a pressão de 
vapor em uma determinada faixa de temperatura. 
Dessa forma, uma maneira mais fácil de importar os dados contidos em um 
arquivo .pdf é repassando primeiro para um bloco de notas (arquivo .txt) e 
posteriormente para a planilha do Excel de modo que se possa ter os dados bem 
mais organizados em cada célula. 
Suponha que desejamos repassar os dados1 dos coeficientes da Equação de 
Antoine ou de Wagner para o cálculo da pressão de vapor de compostos puros, 
juntamente com a faixa de temperatura a qual o método calcula (Figura 1), afim 
de criar um banco de dados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O primeiro passo depois de copiar os dados, é abrir um bloco de notas e 
colá-los. Após colá-los no bloco de notas, eles serão exibidos como mostra a 
Figura 2 abaixo. É importante ressaltar que arquivos que contenham muitos 
valores para passar pra o bloco de notas, sejam copiados página por página, isso 
para que o bloco de notas não fique “cheio” e na hora da importação para o 
Excel, muitas vezes podem ficar mais desorganizados ainda. 
 
 
1 POLING, B. E.; PRAUSNITZ, J. M.; O’CONNEL, J. P. The Properties of Gases and Liquids. 
5th. ed. New York: McGraw-Hill, 2001. 
9 
 
Figura 2 - Bloco de notas (arquivo .txt) com os dados copiados do arquivo .pdf. 
 
 
Antes de inserir os dados em uma planilha do Excel, é preciso salvar o 
bloco de notas, senão, não serão repassados, pois o Excel irá detectar o arquivo 
.txt como “vazio”. 
Atalho para salvar: (CTRL+S). 
 
 Em seguida vá para o Excel e na aba Dados vá em Obter Dados 
Externos>De Texto. Após selecionar o arquivo de texto no diretório onde o 
mesmo é localizado, insira-o. A Figura 3 ilustra a seguinte caixa de diálogo que 
irá aparecer. 
 
Figura 3 - Caixa de diálogo Assistente de Importação de Texto – etapa 1 de 3. 
 
10 
 
Note que nela são mostradas as opções “Delimitado” e “Largura Fixa” em 
que a primeira se refere a caracteres como vírgulas ou tabulações que separam 
cada campo e a segunda à campos que são alinhados em colunas com espaços 
entre cada campo. 
 Para o exemplo mostrado aqui, a opção “Delimitado” é amelhor escolha, 
pois no bloco de notas os dados estão dispostos de forma aleatória e como cada 
campo está separado por tabulações2 esta opção atende melhor às necessidades. 
 
 Ao avançar, a caixa de diálogo correspondente à etapa 2 aparecerá como 
a seguir. 
 
Figura 4 - Caixa de diálogo Assistente de Importação de Texto – etapa 2 de 3. 
 
 
 
Abaixo do título da caixa de diálogo é enfatizado que esta tela permite que 
você defina os delimitadores contidos em seus dados, em que você pode ver 
como seu texto é afetado na visualização. Neste caso, perceba que os dados 
separados pela opção “Espaço” é a mais adequada e os mesmos irão ser 
importados para o Excel quase todos organizados, como mostra a Figura 5 
abaixo. Após realizar essas etapas, avance e escolha uma célula para serem 
importados. 
 
 
 
 
 
2 Tabulações são marcas definidas na régua que através da tecla TAB permitem avançar texto 
para uma posição predefinida. 
11 
 
Figura 5 - Dados importados através de um arquivo .txt para o Excel. 
Figura 6 - Resultado final da importação dos dados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que os dados não estão totalmente organizados como desejado, isso 
porque os nomes de alguns componentes são compostos. Aqui nesta etapa final 
o que nos resta é organizar os dados fazendo alguns ajustes e o banco de dados 
estará igual ao pretendido, como mostra a Figura 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
Com os conceitos mostrados até aqui e com o seu conhecimento, seja ele 
básico, intermediário ou até mesmo avançado, acreditamos que será capaz de 
enriquecer ainda mais o aprendizado na resolução dos problemas. 
Adiante serão resolvidos alguns problemas que são comumente tradados 
nas disciplinas do curso de Engenharia Química. Bom aprendizado! 
 
 
1.4 PROBLEMAS 
 
Nesta seção serão resolvidos alguns problemas que o(a) aluno(a) pode se 
deparar ao longo do curso de Engenharia Química nas mais variadas disciplinas. 
Estarão dispostos de forma que o leitor possa aprender de uma maneira 
dinâmica e fácil, englobando o passo a passo para a resolução dos mesmos e 
mostrando as ferramentas utilizadas na planilha do Excel, além de mostrar em 
qual disciplina o tipo de problema é tratado. 
 
**************************************************************** 
 
Problema 1: Balanço de massa em um tanque de formulação.3 (Princípios de 
Processos Químicos) 
 
Um tanque de formulação é alimentado por três correntes, produzindo 1.000 
kg/h de uma mistura com 30,8 % da substância A, 35 % da substância B e 34,2 
% da substância C. As correntes C1, C2 e C3 tem composições mostradas na figura 
abaixo. Quais as vazões totais em massa das correntes de entrada? 
 
 
 
3 MOURA, L. F. Excel para Engenharia: formas simples para resolver problemas complexos. 1. ed. São 
Paulo: EdUFSCar, 2007. 
13 
 
Solução: 
Antes de iniciarmos os balanços de massa, é necessário fazer algumas 
hipóteses para a simplificação do problema, são elas: 
 
• O sistema está em regime estacionário; 
• Não há reação química. 
 
Neste caso, realizando os balanços global e para cada componente, temos 
que 
 
Balanço global: C1 + C2 + C3 = M = 1000 
Balanço de A: 0,18C1 + 0,23C2 + 0,67C3 = 0,308∙1000 
Balanço de B: 0,54C1 + 0,37C2 + 0,10C3 = 0,35∙1000 
Balanço de C: 0,28C1 + 0,40C2 + 0,23C3 = 0,342∙1000 
 
 
Com isso temos que 
C1 + C2 + C3 = M = 1000 
0,18C1 + 0,23C2 + 0,67C3 = 308 
0,54C1 + 0,37C2 + 0,10C3 = 350 
0,28C1 + 0,40C2 + 0,23C3 = 342 
 
É importante notar que a soma dos balanços de massa por componente é 
igual ao balanço de massa global. Também, esse sistema é linearmente 
dependente, e é preciso eliminar uma das equações para encontrarmos os 
resultados das vazões de entrada dos componentes. Para isso, resolveu-se 
eliminar o balanço de C, resultando assim no sistema visto abaixo. 
 
C1 + C2 + C3 = M = 1000 
0,18C1 + 0,23C2 + 0,67C3 = 308 
0,54C1 + 0,37C2 + 0,10C3 = 350 
 
14 
 
Esse será o sistema a ser utilizado na planilha do Excel para a resolução 
do nosso problema. 
 
Uma breve revisão de matrizes: 
________________________________________________________________ 
O sistema de equações lineares resultante pode ser escrito na forma Ax=b, 
onde 
 
𝐴 = (
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
) , 𝑥 = (
𝑥1
𝑥2
𝑥3
) , 𝑏 = (
𝑏1
𝑏2
𝑏3
) 
 
Em que 𝐴 é a matriz dos coeficientes, 𝑥 é o vetor de incógnitas e 𝑏 é o 
vetor dos termos independentes. 
Como desejamos encontrar os valores de (
𝑥1
𝑥2
𝑥3
), que para o nosso caso é 
(
𝐶1
𝐶2
𝐶3
), basta multiplicar o vetor dos termos independentes 𝑏 pela matriz inversa 
de 𝐴, pois explicitando x na equação Ax=b, temos que 
 
 
 
𝑥 = 𝐴−1𝑏 (1) 
________________________________________________________________ 
 
Dessa forma, o sistema de equações lineares resultante é escrito em 
termos de matrizes como 
 
[
1,0 1,0 1,0
0,18 0,23 0,67
0,54 0,37 0,10
] ∙ [
𝐶1
𝐶2
𝐶3
] = [
1000
308
350
] 
 A X = B 
 
E é com ele que iremos resolver o nosso problema. 
15 
 
Figura 7.1 - Formato de planilha para a resolução do problema. 
Agora, em sua planilha do Excel, organize-a de forma semelhante à Figura 
1.1 abaixo. Isso ajuda na visualização da resolução do problema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para calcular a matriz inversa de A no Excel, o primeiro passo é selecionar 
as células da matriz inversa na planilha, ou seja, selecionar de L3 a N5. Essa 
matriz necessariamente deve ser do mesmo “tamanho” da matriz original, como 
a matriz A é do tipo 3x3, obrigatoriamente a inversa deve ser uma 3x3 também. 
 
Depois de selecionar toda a matriz, pressione “=” de modo que agora 
deve-se inserir a função, neste caso a função que calcula a matriz inversa no 
Excel é dada pela sintaxe MATRIZ.INVERSO. Após dar dois cliques para 
selecionar a função, note que o parâmetro de entrada da equação é uma matriz. 
Em outras palavras, você seleciona a matriz original como parâmetro de entrada 
para a função MATRIZ.INVERSO calcular o inverso da matriz original. A Figura 
1.2 abaixo mostra como fica esse procedimento. 
 
16 
 
Figura 1.2 - Cálculo da matriz inversa no Excel. 
 
 
 
CUIDADO: Para calcular uma matriz no Excel depois de ter selecionado os dados 
de entrada para a função MATRIZ.INVERSO, não pressiona-se “Enter”, mas sim 
CTRL+SHIFT+ENTER, e assim o Excel retornará os valores em cada célula do 
intervalo necessário. Caso tivesse sido pressionado “Enter” sem pressionar 
CTRL+SHIFT, o Excel retornaria um único valor para uma única célula. 
 
 Após ter sido feito esse procedimento, a matriz inversa de A que a planilha 
nos retorna é 
[
−3,669 4,405 7,178
5,608 −7,182 −7,993
−0,940 2,773 0,816
] 
 
 Tendo posse da matriz inversa de A, o que nos resta é multiplicar essa 
matriz pelo vetor dos termos independentes b, de acordo com a Eq. (1). 
 A sintaxe para realizar a multiplicação entre matrizes é MATRIZ.MULT. 
Analogamente ao passo anterior, deve-se selecionar o intervalo que contenha a 
matriz cuja qual queremos saber os valores, neste caso é a matriz X e o seu 
intervalo vai de F18 a F20. 
 
17 
 
Figura 1.3 - Cálculo das incógnitas do problema. 
OBS: Como iremos multiplicar uma matriz 3x3 por umamatriz 3x1, o resultado é 
uma matriz 3x1, justamente a que desejamos encontrar. 
 
Depois de selecionar toda a matriz, pressione “=” de modo que agora 
deve-se inserir a função MATRIZ.MULT e no Excel aparecerá 
=MATRIZ.MULT(matriz1; matriz2). Selecione as duas (A-1 e b) e sua planilha 
deve ficar da seguinte maneira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Novamente, não esqueça de pressionar CTRL+SHIFT+ENTER. 
 
Com isso, as vazões de C1, C2 e C3 são respectivamente 200 kg/h, 600 
kg/h e 200 kg/h. 
 
A nível de conferência, substitua esses valores no Balanço Global. A soma 
é exatamente 1000 kg/h. 
 
 
 
18 
 
Problema 2: Cálculo do volume molar utilizando uma equação de estado. 
(Termodinâmica) 
 
Deseja-se calcular o volume molar do propano puro utilizando a equação de 
estado do tipo Virial a uma temperatura de 300 K em uma faixa de pressão 
variando entre 5 e 100 bar. Compare os resultados obtidos da equação do Virial 
com os obtidos utilizando a equação de estado do gás ideal. 
A equação do Virial truncada no segundo termo pode ser descrita como 
𝑧 = 
𝑃𝑉𝑚
𝑅𝑇
= 1 +
𝐵
𝑉𝑚
+
𝐶
𝑉𝑚
2 + ⋯ 
Onde Bpropano = -348,5 cm3/mol e Cpropano = 17,6∙103 cm6/mol2 
 
 
Solução: 
 
A equação do Virial é indicada estritamente para cálculos de propriedades 
de gases, como o volume molar. Nota-se que a equação proposta pelo problema 
tem grau igual a 2, então para que se encontre o valor do volume molar para 
cada pressão do sistema deve-se encontrar o valor de suas raízes, sendo essa 
raiz igual ao volume molar do gás propano à 300 K em uma determinada pressão. 
Isolando todos os termos em um só lado da equação, temos 
 
𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑧𝑒𝑟𝑜 = 
𝑃𝑉𝑚
𝑅𝑇
− 1 +
𝐵
𝑉𝑚
+
𝐶
𝑉𝑚
2 = 0 
 
Dessa forma podemos utilizar o Atingir Meta para encontrar o valor das 
raízes de tal equação. 
 É importante citar que, os valores de temperatura (𝑇) e a constante dos 
gases (𝑅) devem estar com suas unidades consistentes com as dos coeficientes 
da equação do Virial. 
 A figura 2.1 ilustra como os dados podem ser organizados em uma planilha 
do Excel, bem como a equação 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑧𝑒𝑟𝑜 pode ser escrita. 
 
 
19 
 
Figura 2.1 - Dados da questão e função zero. 
 
 
 
 Após a 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑧𝑒𝑟𝑜 ter sido escrita no Excel, deve-se escolher um valor 
para ser utilizado como “chute inicial” para o volume molar e então chamar o 
Atingir Meta. Para chama-lo na planilha, basta ir na aba Dados e em seguida 
Teste de Hipóteses>Atingir Meta. 
Uma estimativa inicial razoável é o volume molar calculado pela equação 
do gás ideal (V = RT/P). A Figura 2.2 mostra qual o valor obtido para a função 
zero utilizando tal estimativa. 
 
 
Figura 2.2 - Valor obtido utilizando a estimativa inicial. 
 
 
 Note que o valor obtido para a 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑧𝑒𝑟𝑜 é de fato, bem próximo a zero. 
Porém, nós como engenheiros ou estudantes de engenharia química, devemos 
nos atentar que a equação do gás ideal é utilizada apenas como um modelo 
inicial, onde a mesma se ajusta a uma faixa de temperatura e pressão baixas. 
Dessa maneira, utilizamos o Atingir Meta para que haja um “refino” quanto ao 
valor do volume molar encontrado. 
 A Figura 2.3 mostra o procedimento para utilizar o atingir meta na 
resolução do problema 
20 
 
Figura 2.3 - Utilizando o Atingir Meta. 
 
 
O que aconteceu no procedimento foi: a 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑧𝑒𝑟𝑜 (célula F2) foi 
definida para atingir o valor de zero, alterando o volume molar (célula E2), que 
é o procedimento que desejamos. 
Com isso, a Figura 2.4 mostra o resultado obtido após ser utilizado o 
recurso Atingir Meta. 
 
Figura 2.4 - Obtenção do valor do volume molar utilizando o Atingir Meta. 
 
 
Feito isso, repetimos o mesmo passo para todos os valores de pressão na 
qual o problema propôs, de maneira que, pode-se construir um gráfico de 
dispersão (ver Figura 2.5) para a melhor visualização dos resultados e analisar 
21 
 
Figura 2.5 - Volume molar para toda a faixa de pressão e gráfico de dispersão para os resultados obtidos. 
graficamente o quanto a equação do gás ideal diverge da realidade quando seu 
cálculo é feito para valores de pressões mais elevadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
Problema 3: Estimativa da pressão de vapor do n-Decano em uma ampla faixa 
de temperatura. (Termodinâmica) 
 
Utilizando os dados experimentais de pressão de vapor reportados por Chirico et. 
al. (1989)4 para o n-Decano, estime as pressões de vapor para a mesma faixa de 
temperatura reportada e compare os dados estimados com os experimentais 
através do Desvio Relativo Absoluto. 
 
 
Solução: 
 Para o cálculo da pressão de vapor de um componente, deve-se utilizar 
uma equação que estime os valores com uma boa precisão dentro da faixa de 
temperatura considerada para cada componente. Na literatura, vários modelos 
são encontrados para o cálculo dessa propriedade, sendo a equação de Antoine 
a mais amplamente utilizada. Isso se dá pelo fato da simplicidade dessa equação 
e por necessitar de apenas três parâmetros correlacionados de dados 
experimentais (cada composto tem as suas constantes de Antoine), além de 
estimar bons valores de pressão de vapor. Porém, outras equações podem 
estimar valores melhores, dependendo da faixa de temperatura analisada. 
 Chirico et. al. (1989) através de estudos em laboratório mostraram que a 
equação de Cox5 estima valores de pressões de vapor com bastante precisão na 
faixa de temperatura analisada. Com isso, utilizaremos esta equação para estimar 
os valores que queremos. 
 A equação de Cox é escrita como mostra a equação 3.1 abaixo 
 
 𝑙𝑛
𝑃
𝑃𝑟𝑒𝑓
= (1 −
𝑇𝑟𝑒𝑓
𝑇
) exp (𝐴 + 𝐵𝑇 + 𝐶𝑇2) (3.1) 
 
Onde 𝑃 é a pressão de vapor dada em kPa, 𝑃𝑟𝑒𝑓 é a pressão de referência 
e tem o valor de 101.325 kPa, 𝑇𝑟𝑒𝑓 é a temperatura de referência e foi escolhida 
como sendo a temperatura normal no ponto de ebulição, em K; 𝑇 é a temperatura 
do sistema em K e 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são as constantes da equação de Cox. 
 Dessa maneira, a equação de Cox fica escrita como 
 
4 CHIRICO, R. D.; NGUYEN, A.; STEELE, W. V.; STRUBE, M. M. Vapor Pressure of n-Alkanes Revisited. New 
High-Precision Vapor Pressure Data on n-Decane, n-Eicosane, and n-Octacosane. J. Chem. Eng. Data. 
1989; 34: 149-156. 
5 COX, E. R. Hydrocarbon Vapor Pressures. Ind. Eng. Chem. 1936; 28: 613-616. 
23 
 
 
𝑙𝑛
𝑃
𝑃𝑟𝑒𝑓
= (1 −
𝑇𝑏
𝑇
) exp (𝐴 + 𝐵𝑇 + 𝐶𝑇2) 
(3.2) 
 
 
 De maneira a facilitar a resolução deste problema na planilha do Excel, 
escreveremos (1 −
𝑇𝑏
𝑇
) = D e (𝐴 + 𝐵𝑇 + 𝐶𝑇2) = E, logo a equação se torna 
 
 𝑙𝑛
𝑃
𝑃𝑟𝑒𝑓
= 𝐷 ∙ exp ∙ E (3.3) 
 
 Para eliminarmos o ln desta equação, multiplicamos ambos os lados da 
equação por 𝑒, pois ln 𝑒𝑛 = 𝑛, com isso, a expressão se torna 
 
 𝑃 = 𝑃𝑟𝑒𝑓 ∙ 𝑒𝑥𝑝
(𝐷∙𝑒𝑥𝑝∙𝐸) (3.4) 
 
 Como esta equação está explícita em P que é o que desejamos calcular, é 
ela que usaremos na planilha do Excel. 
 
 A Figura 3.1 abaixo mostra os dados experimentais do n-Decano retirados 
de Chirico et. al. (1989) 
 
Figura 3.1 - Valores experimentais de pressão de vapor do n-Decano reportados por Chirico 
et. al. (1989). 
 
 
 
As constantes A, B e C da equação de Cox para o n-Decano são 
respectivamente 2.96081, -0.00190111 K-1 e 1.60359E-06 K-2. 
24 
 
Figura 3.3 - Equação que representa o termo D. 
Figura 3.4 - Equação que representa o termo E.Na seção 1.3 aprendemos como importar dados de arquivos .txt para o 
Excel por intermédio de um arquivo .pdf. Neste caso, após a importação dos 
dados experimentais na planilha do Excel, a mesma deve ser organizada como 
se sugere abaixo na Figura 3.2. 
 
Figura 3.2 - Planilha para o cálculo das pressões de vapor do n-Decano. 
 
 
 
Após isso, vamos inserir as equações que representam os termos D e E, e 
as mesmas são mostradas como ficam na planilha nas Figuras a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
Figura 3.5 - Inserção da equação de Cox para o cálculo da pressão de vapor do n-Decano. 
OBS: As células que são constantes, isto é, não alteram o seu valor, são eles: 
Tref, Pref, A, B e C, devem ser fixadas na planilha. Para fazer isso, basta pressionar 
a tecla “F4” no valor a ser fixado e na equação vai aparecer o símbolo $ entre a 
letra e o número que representa a célula na planilha (ex. a célula que tem o valor 
da constante A é a célula H4 e quando a mesma é fixada ficará como sendo 
$H$4) 
 
O próximo passo é inserir a equação do cálculo da pressão de vapor e 
calcular o Desvio Relativo Absoluto, onde o mesmo é dado pela Eq. (3.5) abaixo 
 
 
 𝐷𝑅𝐴(%) = |
𝑃𝑣𝑎𝑝𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 − 𝑃𝑣𝑎𝑝𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎
𝑃𝑣𝑎𝑝𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙
| 100 (3.5) 
 
 
 
A inserção da Eq. (3.5) na planilha é mostrada na Figura 3.5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo a planilha final com todos os cálculos é mostrada a seguir. 
 
 
26 
 
Figura 3.6 - Pressões de vapor e DRA's calculados no Excel. 
 
 
 
De acordo com os valores obtidos de Desvios Relativos Absolutos, nota-se 
que para o n-Decano, o modelo proposto por Cox (1936) calcula muito bem as 
pressões de vapor em toda a faixa de temperatura analisada, onde desvios 
menores que 1 % são observados. 
 
 
Considerações finais: Este tipo de problema foi proposto para incentivar e 
encorajar o(a) aluno(a) a observar a gama de informações em que artigos 
científicos podem conter e como estes são importantes para a contribuição dos 
dados experimentais das propriedades. Também, para encorajar a utilizar 
modelos propostos para comparar com dados reportados na literatura. 
 
 
 
 
 
 
27 
 
Problema 4: Reator Bioquímico ou Biorreator. (Engenharia Bioquímica) 
 
 
Em um determinado processo, um biorreator foi 
utilizado para a obtenção de certo produto. O mesmo 
possui um volume V = 100 L e foi alimentado com 
uma vazão volumétrica de 4 L/h. As concentrações 
iniciais de células (X0) e substrato (S0) na entrada do 
reator são 0,05 g/L e 10 g/L respectivamente. 
Sabendo-se também que µmáx = 0,2 h-1, Ks = 1 g/L, 
YX/S = 0,5 gcélula/gsubtrato e YP/X = 0,2 gproduto/gcélula, 
pede-se: determinar as concentrações de célula, 
substrato e produto, em g/L na saída do reator. 
 
 
Solução: 
Antes de apresentar todo o equacionamento que será utilizado na resolução deste 
problema, recomendamos que o leitor veja a obra de Schmidell6 (mais 
precisamente o Capítulo 6). Nela, você encontrará o formalismo matemático e 
hipóteses para se chegar nas equações que serão mostradas. 
Algumas hipóteses para a simplificação do problema são: 
• O sistema está em regime estacionário; 
• O sistema opera com um volume constante; 
 
 Após serem feitas as considerações e hipóteses para se chegar no 
equacionamento, os seguintes balanços de massa são apresentados para as 
células, o substrato e o produto, respectivamente. 
 
Balanço de células: 
 
 
𝑑(𝑋 ∙ 𝑉)
𝑑𝑡
= 𝑋0 ∙ 𝑄 − 𝑋 ∙ 𝑄 + 𝜇𝑚á𝑥
𝑆
𝐾𝑠 + 𝑆
𝑋 ∙ 𝑉 (4.1) 
 
Onde o termo de geração de células é dado pelo modelo de Monod. 
 
6 SCHMIDELL, W.; LIMA, U. A.; AQUARONE, E.; BORZANI, W. Biotecnologia Industrial Volume 2. 1. ed. 
São Paulo: Blucher, 2007. 
28 
 
Figura 4.1 - Planilha organizada para a resolução do problema. 
Balanço de substrato: 
 
 
𝑑(𝑆 ∙ 𝑉)
𝑑𝑡
= 𝑆0 ∙ 𝑄 − 𝑆 ∙ 𝑄 −
1
𝑌𝑋/𝑆
∙ 𝜇𝑚á𝑥 ∙
𝑆
𝐾𝑠
∙ 𝑋 ∙ 𝑉 (4.2) 
 
Balanço do produto: 
 𝑃 = 𝑃0 + (𝑋 − 𝑋0) ∙ 𝑌𝑃/𝑋 (4.3) 
 
 De acordo com as hipóteses adotadas, os termos do lado esquerdo dos 
balanços de célula e substrato são nulos. Então temos que 
 
Balanço de células: 
 𝑋0𝑄 − 𝑋 ∙ 𝑄 + 𝜇𝑚á𝑥
𝑆
𝐾𝑠 + 𝑆
𝑋 ∙ 𝑉 = 0 (4.4) 
Balanço de substrato: 
 𝑆0 ∙ 𝑄 − 𝑆 ∙ 𝑄 −
1
𝑌𝑋
𝑆
∙ 𝜇𝑚á𝑥 ∙
𝑆
𝐾𝑠
∙ 𝑋 ∙ 𝑉 = 0 (4.5) 
Balanço do produto: 
 𝑃 = 𝑃0 + (𝑋 − 𝑋0) ∙ 𝑌𝑃/𝑋 (4.6) 
 
 Agora, em sua planilha do Excel, organize-a de forma semelhante à Figura 
4.1 abaixo. Isso ajuda na visualização da resolução do problema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
Figura 4.2 - Eq. (4.4) inserida na célula D2. 
Figura 4.3 - Eq. (4.5) inserida na célula E2. 
 As células D2 e E2 ocuparão as funções que serão utilizadas pelo Solver, Eq. 
(4.4) e (4.5), respectivamente. Após serem inseridos os balanços de massa de 
células e substrato nas células D2 e E2 do Excel, elas serão mostradas de acordo 
com as Figuras 4.2 e 4.3 abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
Figura 4.4 - Eq. (4.6) inserida na célula E7. 
 Após serem inseridas e clicando em “Enter”, as duas células (D2 e E2) 
assumirão os valores de 0,2 e 40, respectivamente. Também é notório que as 
células E5 e E6 ainda estão vazias, isso porque são nelas que querermos 
determinar os valores (concentração final de células e de substrato) para certas 
condições impostas, e consequentemente, determinar a concentração de 
produtos. 
 
Condições matemáticas do problema: 
• Balanço de células ser igual a zero; 
• Balanço de substrato ser igual a zero. 
 
Condições físicas do problema: 
• A concentração de células na saída é igual a concentração da entrada, isso 
porque não foi especificada nenhuma taxa de morte celular. 
• A concentração de substrato na saída tem que ser menor do que a 
concentração na entrada, pois o substrato está sendo consumido. 
 
 De maneira análoga, o balanço para o produto, Eq. (4.6), deve ser inserida 
na célula E7. O resultado dessa inserção é mostrado na Figura 4.4 abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
Figura 4.5 - Localização do Solver na planilha do Excel. 
 Da Figura 4.4, percebemos que as células correspondentes aos balanços de 
massa ainda não estão zeradas, ou seja, não estão representando as condições 
matemáticas do problema. 
 Na seção 1.2, vimos que quando desejamos encontrar valores cujos quais 
estão sujeitos a restrições, como é o caso em que as equações devem ser 
zeradas, a concentração de células inicial deve ser a mesma na saída e a 
concentração de substrato na saída tem que ser menor do que a concentração 
na entrada; o Solver se apresenta como uma ferramenta essencial na resolução 
deste problema. Sendo assim, será mostrado como chamar o Solver no Excel e 
como preencher seus campos na caixa de diálogo para aplicarmos as condições. 
 
Utilizando o Solver 
 
 O solver vai procurar o valor de concentração de células e de substratos que 
zere as duas equações presentes nas células D2 e E2, ou seja, o Solver vai 
procurar uma raiz das equações. 
 Para utilizá-lo, basta ir na aba Dados no Excel e essa ferramenta se 
encontrará no “final” da aba (no canto superior direito), como mostra a Figura 
4.5 abaixo.OBS: Caso o Solver não esteja habilitado no Excel, os passos para habilitá-lo são 
os seguintes: 
 
Primeiramente clique na aba Arquivo e depois em Opções. Na janela de diálogo 
que aparece em seguida, vá em Suplementos e onde aparece a opção 
Gerenciar (no canto inferior da caixa de diálogo) escolha a opção Suplementos 
do Excel e clique em Ir. Assim que a caixa de diálogo Suplementos 
disponíveis aparecer, marque o Solver e clique em OK. Pronto! O solver já 
estará habilitado na planilha no local indicado na Figura 4.5 acima. 
 
 
32 
 
 Assim que o Solver estiver aberto, uma janela igual à mostrada a seguir 
deve aparecer. 
Figura 4.6 - Janela do Solver. 
 
 
 
 Na opção Definir Objetivo, você deve definir a célula que contém a 
primeira equação a ser zerada, ou seja, deve selecionar a célula D2. Em seguida 
na opção Para:, marque Valor de: 0 e em Alterando Células Variáveis 
marque as células que corresponderão aos valores de X e S (as células E5 e E6), 
aparecerá $E$5:$E$6. Com isso você define que a equação deve ser igual a zero 
alterando as concentrações de células e substratos (é o que queremos). 
 
 Na mesma caixa de diálogo, pode-se definir o restante das condições que 
desejamos. Então basta clicar na opção Adicionar e a seguinte caixa irá aparecer 
 
 
 
Figura 8 - Caixa de diálogo para adicionar a(s) restrição(ões). 
 
 
 
33 
 
 No campo Referência de Célula você irá selecionar a próxima restrição 
matemática (fazer a segunda equação ter o valor de 0), ou seja, a célula E2. As 
próximas restrições serão: 
• $E$2 = 0 Eq. (4.5) 
• $E$5 >= $B$2 X >= X0 
• $E$6 <= $B$3 S <= S0 (substrato sendo consumido) 
 
 
 Sendo assim, a Janela do Solver irá ficar da seguinte maneira 
 
Figura 4.8 - Janela do Solver após adicionar as restrições. 
 
 
 
 Por fim, basta selecionar o método GRG Não Linear (por se tratar de um 
problema simples não linear, ver seção 1.2) na opção Selecionar um Método 
de Solução e clicar em Resolver. 
 
 
 Pronto! O solver nos deu o valor da concentração de células, do substrato e 
do produto, que correspondem respectivamente a 3,964 g/L, 0,246 g/L e 0,783 
g/L. 
 
 O resultado final pode ser visto na planilha do Excel na Figura 4.9 abaixo 
(note que as equações que precisavam ser zeradas ficaram em uma ordem de 
10-10, ou seja, podemos considera-las nulas). 
 
34 
 
Figura 4.9 - Planilha finalizada do problema. 
 
 
 
 
 É importante notar que as condições foram estabelecidas, isto é, a 
concentração de células aumentou pelo fato de que foram formadas mais células 
ao longo do processo e a concentração de substrato diminuiu, pois o mesmo foi 
sendo consumido ao longo do processo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
Problema 5: Cálculo da porosidade em uma operação de Fluidização.7 
(Operações Unitárias I) 
 
Um leito é composto por 6 kg de partículas esféricas 
com 1 mm de diâmetro. A massa específica das 
partículas é de 2,5 g/mL. Sabe-se que a porosidade 
da mínima fluidização é de 0,40. A altura de leito fixo 
é de 0,5 m e o diâmetro do leito é de 10 cm. A massa 
específica do fluido é de 1 g/mL e a viscosidade de 1 
cP. Calcule a porosidade do leito quando o mesmo é 
fluidizado com uma vazão de 9,8 L/min. 
 
Solução: 
Antes de apresentar todo o equacionamento que será utilizado na resolução deste 
problema, recomendamos que o leitor veja a obra de Cremasco8 (mais 
precisamente os capítulos 10 e 11). Nela, você encontrará todas as deduções e 
hipóteses para se chegar nas equações que serão mostradas. 
 
Após aplicar os balanços de forças para as fases fluida e sólida, 
respectivamente, obtém-se as equações fundamentais que servirão como base 
para o desenvolvimento das demais: 
 
 
−
∆𝑃
𝐿
= 𝑚 Eq. de Darcy (5.1) 
e 
 𝑚 = (1 − 𝜀)(𝜌𝑠 − 𝜌𝑓)𝑔 (5.2) 
 
Observa-se da Eq. (5.2) que a força resistiva se iguala ao peso aparente 
(empuxo) da fase particulada por unidade de volume, com isso, a ação 
gravitacional age em sentido contrário à alimentação de fluido no leito. É 
importante ressaltar que o início da fluidização ocorre quando a força resistiva 
associada à interação entre as partículas expandidas, devido ao escoamento do 
fluido ser ascendente, iguala-se ao peso aparente das partículas. 
 
7 MOREIRA, M. F. P. Operações Unitárias da Engenharia Química utilizando o Excel/VBA. 1. ed. Rio de 
Janeiro: E-papers, 2017. 
8 CREMASCO, M. A. Operações Unitárias em Sistemas Particulados e Fluidomecânicos. 1. ed. São Paulo: 
Blucher, 2012. 
36 
 
 Assumindo que a perda de carga no meio poroso possa ser dada pela 
Equação de Ergun, uma vez que a porosidade resultante não estará muito acima 
da faixa recomendada, obtém-se a Eq. (5.3) abaixo. 
 
 −
∆𝑃
𝜌
=
(1 − 𝜀)
𝜀3
𝑓∗𝐿𝑞2
𝐷𝑝
 (5.3) 
 
 Onde ∆𝑃 é a queda de pressão, 𝜌 é a massa específica do fluido, 𝜀 é a 
porosidade do leito, 𝑓∗ é um parâmetro dado em funções de outras variáveis, 𝐿 
é a altura do leito fixo, 𝑞 é a vazão de fluido e 𝐷𝑝 é o diâmetro da partícula. 
 Após fazer as devidas considerações e manipulações matemáticas, 
podemos escrever a Eq. (5.3) na forma geral da equação de Ergun, dada pela 
Eq. (5.4) abaixo. 
 
 150 [
(1 − 𝜀)²
𝜀3
]
𝜇
(𝜙𝐷𝑝)²
𝑞 + 1,75 (
1 − 𝜀
𝜀3
)
𝜌
𝜙𝐷𝑝
𝑞2 = (1 − 𝜀)(𝜌𝑝 − 𝜌)𝑔 (5.4) 
 
 
 Em que 𝜇 é a viscosidade dinâmica, 𝜙 é a esfericidade da partícula, 𝜌𝑝 é 
a massa específica da partícula e 𝑔 é a aceleração da gravidade. 
 Para facilitar os cálculos na planilha do Excel, recomendamos que escreva 
a Eq. (5.4) como sendo X + Y – Z = 0, onde 
 
X = 150 [
(1−𝜀)²
𝜀3
]
𝜇
(𝜙𝐷𝑝)²
𝑞 ; Y = 1,75 (
1−𝜀
𝜀3
)
𝜌
𝜙𝐷𝑝
𝑞2 e Z = (1 − 𝜀)(𝜌𝑝 − 𝜌)𝑔 
 
 Neste caso, 
 
 𝑋 + 𝑌 − 𝑍 = 𝐹𝑢𝑛çã𝑜𝑍𝑒𝑟𝑜 (5.5) 
 
 
Agora, em sua planilha do Excel, organize-a de forma semelhante à Figura 
5.1 abaixo. Isso ajuda na visualização da resolução do problema. 
37 
 
Figura 5.1 - Planilha organizada para a resolução do problema. 
 
 
 Nas células E9, G9 e I9 estarão as funções que representam os termos A, 
B e C respectivamente, e estarão inseridas nas células como mostram as figuras 
5.2, 5.3 e 5.4 abaixo. 
 
Figura 5.2 - Inserção do Termo A. 
 
38 
 
Figura 5.3 - Inserção do Termo B. 
 
 
Figura 5.4 - Inserção do Termo C. 
 
 
 Note que os Termos A e B aparecem “#DIV/0!”, isso porquê a célula F12 
que representa o valor da porosidade do leito, está vazia, e o Excel reconhece 
uma célula vazia como o valor de zero. 
 Sabendo disso, notamos que é preciso “chutar” um valor inicial de 
porosidade para que se possa utilizar o recurso do Atingir Meta para sabermos o 
valor da porosidade que faça com que a 𝐹𝑢𝑛çã𝑜𝑍𝑒𝑟𝑜 tenha um valor nulo que 
satisfaça o critério da Eq. (5.5). 
 Do enunciado do problema, sabemos que o valor da porosidade de mínima 
fluidização é 0,40 e também sabemos que o valor máximo de porosidade é 1. Ou 
39 
 
Figura 5.6 - Usando o Atingir Meta. 
seja, devemos “chutar” um valor que esteja entre o intervalo 0,40 < ε < 1. Para 
critério de resolução, escolhemos o valor 0,50 para a porosidade como chute 
inicial. 
 Também devemos inserir a Eq. (5.5) que representa a 𝐹𝑢𝑛çã𝑜𝑍𝑒𝑟𝑜. Neste 
caso, a planilha deverá ficar como a Figura 5.5 abaixo. 
Figura 5.5 - Planilha depois da inserçãode todas as equações. 
 
 
Agora vá em Dados>Teste de Hipóteses>Atingir Meta e faça o que 
se segue na Figura 5.6. 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
O que foi feito: O Atingir Meta definiu a célula F14 (FunçãoZero) para 
atingir o valor de zero alterando o valor da porosidade que atribuímos no “chute 
inicial”. 
Com isso, esse recurso nos deu a resposta de que a porosidade do leito é 
de 0,748. 
 
Dica: A nível de curiosidade e como forma de praticar os conceitos até aqui 
aprendidos, use também o Solver para resolver este problema e note que essa 
ferramenta vai nos retornar o mesmo valor de porosidade do leito, para isso 
deve-se inserir as restrições físicas que sabemos: $F$12 <= 1 e $F$12 >= 0,4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
Problema 6: Cálculo da temperatura de saída em um processo de troca 
térmica.9 (Termodinâmica) 
 
Qual é a temperatura final, quando uma quantidade de calor igual a 0,4∙106 BTU 
é adicionada a 25 lb-mol de amônia (inicialmente a uma temperatura de 500 ͦ F) 
em um processo com escoamento em regime estacionário à pressão atmosférica 
(1 atm)? Sabe-se que a relação entre a capacidade calorífica da amônia e a 
temperatura é dada pela seguinte equação: 
𝐶𝑝
𝑅
= 𝐴 + 𝐵𝑇(𝐾) + 
𝐶
𝑇(𝐾)2
 
Tendo os valores das constantes para amônia de A = 3,578; B = 3,02∙10-3 e C = 
-1,86∙104. 
 
 
Solução: 
 
 Apesar do Excel nos auxiliar na resolução de exercícios, nós, como 
engenheiros e alunos de Engenharia Química, devemos saber identificar o nosso 
problema e saber qual caminho a seguir para resolvê-lo. 
 O problema trata de um processo de aquecimento, então a princípio deve 
ser feito um balanço de energia para chegar a um modelo que represente bem o 
processo. Assim, um modelo simplificado de um processo que ocorra em regime 
estacionário, fluxo constante, onde pode-se desconsiderar as formas de energia 
cinética e potencial e levando em consideração que não ocorre trabalho 
(escoamento e eixo) no sistema, temos que: 
 
 ∆𝐻 · 𝑛 = 𝑄 (6.1) 
 
Onde ∆𝐻 é a variação de entalpia do sistema, 𝑛 é o número de mols e 𝑄 
é a quantidade de calor fornecida ao sistema. 
Através dos estudos de termodinâmica, podemos saber que a variação de 
entalpia pode ser dada através da integração da capacidade calorífica à pressão 
constante entre a temperatura inicial e final do processo como mostra a Eq. (6.2) 
abaixo. 
 
9 SMITH, J. M.; VAN NESS, H. C.; ABBOTT, M. M. Introdução à Termodinâmica da Engenharia Química. 
7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007. 
42 
 
Figura 6.1 - Dados da questão e equação da variação de entalpia. 
 ∆𝐻 = 𝑅 ∫ 𝐶𝑝𝑑𝑇 →
𝑇𝑓
𝑇𝑖
∆𝐻 = 𝑅 · [𝐴 · (𝑇𝑓 − 𝑇𝑖) +
𝐵
2
· (𝑇𝑓
2 − 𝑇𝑖
2) − 𝐶 · (
1
𝑇𝑓
−
1
𝑇𝑖
)] (6.2) 
 
 Como a entalpia é uma função de estado, apenas com os valores de 𝑇𝑖 e 
𝑇𝑓 podemos calcular a variação de entalpia de um processo. 
 A seguir serão demonstradas as etapas para a solução do problema. 
 A partir do modelo encontrado pelo balanço de energia podemos calcular 
a variação de entalpia molar na forma 
∆𝐻 =
𝑄
𝑛
=
0,4 · 106 𝐵𝑇𝑈
25 𝑙𝑏 − 𝑚𝑜𝑙
= 16.000
𝐵𝑇𝑈
𝑙𝑏 − 𝑚𝑜𝑙
 
 É necessário converter as unidades de entalpia molar para J∙mol-1, devido 
a equação da capacidade calorífica à pressão constante ter sido obtida com a 
temperatura em Kelvin. Assim, divide-se a variação de entalpia molar por um 
fator de conversão onde, onde 1 J∙mol-1 equivale a 0,4299 BTU∙lb-mol-1, com isso 
∆𝐻 = 16.000 𝐵𝑇𝑈 · 𝑙𝑏 − 𝑚𝑜𝑙−1 ∗ 
1 𝐽 𝑚𝑜𝑙−1
0,4299 𝐵𝑇𝑈 · 𝑙𝑏 − 𝑚𝑜𝑙−1 
= 37,218 𝐽 𝑚𝑜𝑙−1 
 No passo que segue, deve-se converter a temperatura inicial (𝑇𝑖) para 
escala Kelvin; 
𝑇𝑖 = 
500 [℉] + 459,67 
1,8
= 533,15 𝐾 
 Todos os dados iniciais da questão já podem ser implementados em uma 
planilha do Excel. A Figura 6.1 mostra como deve ser escrita a Eq. (6.2) bem 
como devem ser organizados os dados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
 Percebe-se que após ser pressionado o “Enter” se obtém um resultado 
igual a “#DIV/0!”. Isso se dá pelo fato de não ter sido atribuído nenhum valor 
para a temperatura final do processo, dessa maneira a equação da variação de 
entalpia terá um termo sendo dividido por zero. 
 Neste momento é preciso atribuir um valor para a célula de temperatura 
final (célula B12). Diante de um processo de aquecimento temos que, a 
temperatura final do processo nunca será menor que a temperatura inicial. Dessa 
forma, atribuímos um valor qualquer acima de 𝑇𝑖, escolhemos essa temperatura 
como sendo 900 K. 
 Para sabermos se o valor de temperatura final está correto, a condição da 
equação obtida a partir do balanço de energia deve ser atendida. Se não, 
utilizamos o Atingir Meta para testar valores até que essa condição seja satisfeita. 
Agora basta seguir o caminho Dados>Teste de Hipóteses>Atingir Meta 
fazendo 
 
 ∆𝐻 − 
𝑄
𝑛 
= 0 = 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑧𝑒𝑟𝑜 (6.3) 
 
 Podemos testar valores de temperatura final até que a “função zero” seja 
igual ou aproximadamente zero. Dessa maneira, encontraremos o valor da 
temperatura final. A Figura 6.2 ilustra como deve ser feito essa etapa. 
 
Figura 6.2 - Detalhes para utilização do Atingir Meta neste problema. 
 
44 
 
 Após clicar em “OK” o Atingir Meta realizará cálculos por tentativas até que 
a condição da Eq. (6.3) seja atingida. Dessa forma, pode-se encontrar um valor 
de temperatura final igual a 1250,20 K, como mostra a Figura 6.3. 
 
Figura 6.3 - Resultado obtido utilizando o Atingir Meta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
Problema 7: Determinação da permeabilidade, k, e do fator “c” em um 
experimento de permeametria. (Operações Unitárias I) 
 
A permeabilidade, k, e o fator “c” podem ser determinados 
experimentalmente por permeametria, segundo um 
conjunto de medidas de vazão volumétrica do fluido e da 
queda de pressão no leito. Sabendo que o fluido de 
percolação é o ar a 25 ͦ C (massa específica 1,187 kg/m³ e 
a viscosidade 0,018 cP) e a distância entre as tomadas de 
pressão é de 1,6 cm; o meio tem área de seção transversal 
igual a 1,8 cm², porosidade de 38 % como também a 
relação Vazão x Queda de pressão é dada pela tabela 
abaixo. Determine k em cm² e c (adimensional) para um 
meio constituído por esferas de vidro. 
Q [cm³/s]x10-4 ΔP [cmHg] 
2,09 2,4 
3,02 4,45 
3,48 5,6 
10,7 33,9 
15,7 58,6 
 
 
Solução: 
 A discussão da fluidodinâmica em leitos fixos é incialmente analisada em 
termos da força resistiva m presente na equação de Forchheimer abaixo. 
 
 𝑚 = −
𝑑𝑃
𝑑𝑧
=
𝜇
𝑘
[1 +
𝑐𝜌√𝑘
𝜇
𝑞] 𝑞 (7.1) 
 
 Em que − 𝑑𝑃 𝑑𝑧⁄ é o gradiente de pressão (força motriz do 
escoamento), 𝜇 é a viscosidade do fluido, 𝑘 é a permeabilidade do meio, 𝑐 é um 
fator adimensional, 𝜌 é a massa específica do fluido e 𝑞 é a velocidade superficial 
(vazão por unidade de área). 
 
 
46 
 
 Na situação em que o escoamento do fluido na matriz porosa é lento, tem-
se 
 
 
𝑐𝜌√𝑘
𝜇
𝑞 ≪ 1 (7.2) 
 
Resultando assim no que é conhecida como a Lei de Darcy 
 
 −
𝑑𝑃
𝑑𝑧
=
𝜇
𝑘
𝑞 (7.3) 
 
A integração da Eq. (7.1) para o escoamento incompressível, resulta em 
 
 
1
𝑞
(−
∆𝑃
𝐻
) =
𝜇
𝑘
+
𝑐𝜌
√𝑘
𝑞 (7.4) 
 
Da Eq. (7.4), nota-se que a mesma tem um comportamento de uma 
equação do tipo y = b + ax, em que o coeficiente angular é 
𝑐𝜌
√𝑘
 e o coeficiente 
linear é𝜇
𝑘
. Graficamente, podemos visualizar esse comportamento na Figura 7.1 
abaixo. 
 
 Figura 7.1 - Representação gráfica da Equação 7.4 
 
47 
 
Figura 7.2 - Planilha para a resolução do problema. 
Em posse dessas informações, vemos que deve-se calcular os valores de 
𝑞, tendo em vista que esse é a único parâmetro que não temos os valores 
numéricos (k e c também não temos, mas esses são os parâmetros que 
desejamos calcular). 
Para termos os resultados consistentes, devemos passar os nossos dados 
fornecidos no enunciado para o Sistema Internacional de Unidades (SI). A Tabela 
7.1 mostra os dados no SI. 
 
Tabela 7.1 - Dados do problema nas unidades no SI. 
ρ [kg/m³] 1,187 
μ [kg/m∙s] 1,8E-05 
H [m] 1,6E-02 
A [m²] 1,8E-03 
 
 Com isso, os dados de vazão volumétrica, queda de pressão, eixo da 
abscissa 𝑞 e da ordenada 
1
𝑞
(−
∆𝑃
𝐻
) são apresentados na tabela 7.2 a seguir. 
 
Tabela 7.2 - Dados necessários para encontrar os coeficientes angular e linear. 
Q [m³/s] ΔP [Pa] q [m/s] 1/q(-ΔP/H) 
3,483E-04 3199,74 0,1935 1033507,752 
5,033E-04 5932,84 0,2796 1326189,199 
5,800E-04 7466,05 0,3222 1448256,13 
1,783E-03 45196,28 0,9905 2851860,172 
2,617E-03 78126,91 1,4539 3358506,001 
 Agora, na sua planilha do Excel, organize-a de forma semelhante à Figura 
7.2. 
 
 
 
 
 
 
48 
 
Figura 7.3 - Resultado final na planilha do Excel. 
 Para encontrarmos os coeficientes angular e linear da Eq. (7.4), basta 
fazer o gráfico de 
1
𝑞
(−
∆𝑃
𝐻
) em função de 𝑞, exibir a linha de tendência e a equação 
do gráfico. O resultado final deste processo é visualizado na Figura 7.3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sabendo que 𝑏 =
𝜇
𝑘
 e 𝑎 =
𝑐𝜌
√𝑘
 , encontramos facilmente a permeabilidade 
k e o fator “c”. 
 
 k = 2,245∙10-7 cm² e c = 7,983 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
Problema 8: Cálculo flash em um sistema multicomponente em equilíbrio 
líquido-vapor (ELV). (Termodinâmica) 
 
Uma mistura isotérmica de hidrocarbonetos e CO2 é dada a seguir na tabela 
abaixo, incluindo as razões de equilíbrio de cada componente e suas respectivas 
frações molares de uma composição global de alimentação de 1000 mol. Calcule 
a fração de alimentação que é vaporizada no tanque flash. 
Componente Razão de Equilíbrio (valor K) moles na alimentação 
CO2 0,9 11,2 
CH4 2,7 895,7 
C2H6 0,38 52,6 
C2H8 0,098 19,7 
i-C4H10 0,038 6,8 
n-C4H10 0,024 4,7 
C5H12 0,075 3,8 
C6H14 0,00019 3,1 
C7H16+ 0,0007 2,4 
 
 
Solução: 
 
 Quando um fluxo de líquido saturado passa por um processo de redução 
de pressão ao passar por uma válvula de estrangulamento ou outro dispositivo, 
forma-se um sistema bifásico líquido-vapor e o líquido evapora parcialmente. Se 
o sistema for constituído de apenas um componente líquido saturado, uma parte 
do líquido é imediatamente “flashehado” em vapor. Para o caso de um sistema 
líquido saturado ser multicomponente, o vapor que é “flasheado” é rico em 
componentes mais voláteis da mistura. 
 Pode-se visualizar um sistema de tanque flash como mostrado na Figura 
8.1. 
Figura 8.1 - Esquema de um tanque flash. 
 
50 
 
 Para o desenvolvimento do nosso modelo, considere um sistema 
constituído de um mol de espécies químicas, que não reagem, com uma 
composição global representada pelo conjunto de frações molares zi. Seja L os 
moles de líquido com frações molares xi e V os moles de vapor com frações 
molares yi, o balanço de massa para esse sistema é: 
 
 𝐹𝑧𝑖 = 𝐿𝑥𝑖 + 𝑉𝑦𝑖 (8.1) 
 
 Considerando as fases líquida e vapor como sendo ideais, temos da Lei de 
Raoult que 
 
 
𝑃𝑖
𝑠𝑎𝑡
𝑃
=
𝑦𝑖
𝑥𝑖
= 𝐾𝑖 (8.2) 
 
 Embora o valor K não adicione qualquer coisa ao conhecimento 
termodinâmico do ELV, ele serve como uma medida de “leveza” de uma espécie 
constituinte, isto é, sua tendência para estar na fase vapor. Quando Ki > 1, a 
espécie i exibe uma concentração mais elevada na fase vapor; quando Ki < 1, a 
espécie i exibe uma concentração maior na fase líquida (do enunciado do 
problema, note que o metano é o componente mais volátil da mistura). Também, 
o uso de valores K é conveniente em cálculos computacionais permitindo a 
eliminação de um conjunto de frações molares (yi ou xi) para usar o outro. 
 Explicitando 𝑦𝑖 da Eq. (8.2) e substituindo-o no balanço de massa (Eq. 
8.1), temos 
 
 𝐹𝑧𝑖 = 𝐿𝑥𝑖 + 𝑉𝐾𝑖𝑥𝑖 (8.3) 
 
 Resolvendo a Eq. (8.3) para a fração molar da fase líquida temos 
 
 𝑥𝑖 =
𝐹𝑧𝑖
(𝐿 + 𝑉𝐾𝑖)
 (8.4) 
 
 Sabemos do balanço de massa total que L = F – V, então substituindo na 
Eq. (8.4), temos que 
51 
 
 𝑥𝑖 =
𝑧𝑖
1 + 𝛽(𝐾𝑖 − 1)
 (8.5) 
 
 Onde 𝛽 = 𝑉 𝐹⁄ . 
A razão V/F é a fração de alimentação que é vaporizada e que queremos 
encontrar. 
Para acharmos um modelo que calcule 𝛽, devemos ter em mente que 
∑ 𝑥𝑖𝑖 = 1 ou alternativamente que ∑ 𝑦𝑖 = ∑ 𝐾𝑖𝑥𝑖 = 1𝑖𝑖 . No entanto, verificou-se 
que a combinação ∑ (𝑦𝑖 − 𝑥𝑖) = 0𝑖 nos leva a um modelo conhecido como a 
Equação de Rachford-Rice10 
 
 ∑ 
𝑧𝑖(𝐾𝑖 − 1)
1 + 𝛽(𝐾𝑖 − 1)
= 0
𝑖
 (8.6) 
 
 Verificamos agora que para acharmos o valor da fração de alimentação 
que é vaporizada (𝛽), o que necessita ser feito é: encontrar um valor para 𝛽 que 
faça a Eq. (8.6) ser igual a zero usando o Solver do Excel. 
 Organize a sua planilha do Excel como sugere a Figura 8.2 abaixo. 
Figura 8.2 - Planilha inicial para os cálculos. 
 
 
10 RACHFORD, H.H. and RICE, J.D. Procedure for Use of Electrical Digital Computers in Calculating Flash 
Vaporization Hydrocarbon Equilibrium. Journal of Petroleum Technology. Sec. 1, p. 19, Oct. 1952. 
52 
 
 Como mostra na planilha, devemos calcular a fração molar de líquido na 
alimentação utilizando a Eq. (8.7) abaixo. 
 
 𝑥𝑖 =
𝑛𝑖
𝑛
 (8.7) 
 
 Onde 𝑥𝑖 é a fração molar do líquido i na alimentação, 𝑛𝑖 é o número de 
moles do componente i na alimentação e 𝑛 é o número total de moles da mistura 
de alimentação. 
 Desse modo, temos os resultados dados a seguir na Figura 8.3 
 
Figura 8.3 - Frações molares da alimentação. 
 
 
 Devemos agora implementar a equação de Rachford-Rice na planilha, bem 
como “chutarmos” um valor inicial para a fração que é vaporizada. Sabemos que 
a restrição física do problema é que a fração vaporizada esteja entre 0 a 100 % 
(0 < β <1), então adotaremos uma fração de 0,5 como chute inicial. Também 
sabemos que os moles de líquido são dados por (1 − 𝛽)𝑧𝑖 e os de vapor são 𝛽𝑧𝑖. 
Podemos visualizar esse procedimento na Figura 8.4. 
 
53 
 
Figura 8.5 - Cálculo da fração que evapora utilizando o Solver. 
Figura 8.4 - Planilha para calcular a fração molar que evapora. 
 
 O que deve ser feito agora em diante na sua planilha é fazer a célula F11 
ir para o valor de 0 variando a célula E13, bem como colocar as restrições físicas 
• $E$13 <= 1 
• $E13$ >= 0 
Esse procedimento é mostrado na Figura 8.5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 
 
 Após pressionar “Resolver”, o Excel nos retorna um valor de β = 0,9649 
ou 96,5 % de fração de alimentação que evapora. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
 
Problema 9: Cálculo do volume parcial molar de uma mistura binária.11 (Físico-
Química) 
 
As misturas de ciclo-hexano e diversos alcanos de cadeias longas foram 
investigas por Aminabhavi et al. [T. M. Aminabhavi, V.B. Patil, M. I. Aralaguppi, 
J. O. Ortego, and K. C. Hansen, J. Chem. Eng. Data 41, 526 (1996).] Entre os 
dados publicados Figuram os das massas específicas das soluções de ciclo-
hexano e pentadecano em função da fração molar do ciclo-hexano (xc) a 298,15 
K. 
xc 0,6965 0,7988 0,9004 
ρ [g/cm³] 0,7661 0,7674 0,7697 
Calcule o volume parcial molar de cada componente na solução que tem a fração 
molar do ciclo-hexano igual a 0,7988. 
Dados: Mciclo-hexano = 84,16 g∙mol-1 e Mpentadecano = 212,41 g∙mol-1 
 
 
Solução: 
 
 O volume parcial molar de uma substância A em uma mistura é a variação 
de volume da mistura por mol de A adicionado a um grande volume da mistura. 
Os volumes parciais molares dos componentes de uma mistura variam com a 
composição, pois as vizinhanças de cada tipo de molécula se alteram à medida 
que a composição passa da de A puro para a de B puro. 
 A definição do volume parcial molar de uma substância J em uma 
determinada composição é: 
 
 𝑉𝐽 = (
𝜕𝑉
𝜕𝑛𝐽
)
𝑃,𝑇,𝑛
 (9.1) 
 
 Nota-se que o volume parcial molar é o coeficiente angular da curva do 
volume total da mistura em função do número de mols de J, quando a pressão, 
a temperatura e os números de mols dos outros componentes são constantes. 
 Volumes parciais molares podem ser medidos de diversas maneiras. Um 
dos métodos consiste em medir a dependência entre o volume e a composição e 
 
11 ATKINS, P.; DE PAULA, J. Físico-Química Volume 1. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012. 
56 
 
ajustar o volume observado a uma função do número de mols de um dos 
componentes. Uma vez que a função seja encontrada, seu coeficiente angular 
pode ser determinado em qualquer composição de interesse. 
 Sabendo disso, esse é o método que utilizaremos para resolver este 
problema. 
 Escrevendo a Eq. (9.1) para o ciclo-hexano e para o pentadecano, temos 
 
 𝑉𝑐 = (
𝜕𝑉
𝜕𝑛𝑐
)
𝑃,𝑇,𝑛𝑝
 (9.2) 
e 
 𝑉𝑝 = (
𝜕𝑉
𝜕𝑛𝑝
)
𝑃,𝑇,𝑛𝑐
 (9.3) 
 
 
 Nessas equações os subscritos 𝑐 e 𝑝 denotam o ciclo-hexano e o 
pentadecano, respectivamente. 
 Sabe-se que 
 𝑥𝑐 =
𝑛𝑐
𝑛𝑐 + 𝑛𝑝
 (9.4) 
 
Para acharmos os números de mols de ciclo-hexano e pentadecano em 
função das frações molares de ciclo-hexano (xc) dadas no enunciado, basta 
explicitarmos 𝑛𝑐 e 𝑛𝑝 da Eq. (9.4), com isso temos que 
 
 𝑛𝑐 =
𝑥𝑐𝑛𝑝
1 − 𝑥𝑐
 (9.5) 
e 
 𝑛𝑝 =
(1 − 𝑥𝑐)𝑛𝑐
𝑥𝑐
 (9.6) 
 
 
 Agora organize a sua planilha do Excel de maneira similar à mostrada na 
Figura 9.1 abaixo. 
57 
 
Figura 9.1 - Planilha inicial para a resolução do problema. 
 
 
Admitamos que 1 mol de cada substância está presente no sistema, então 
as equações 9.5 e 9.6 serão inseridas no Excel como mostram as Figuras abaixo. 
 
Figura 9.2 - Inserção da Eq. (9.5) na planilha. 
 
 
 
Figura 9.3 - Inserção da Eq. (9.6) na planilha. 
 
58 
 
 Com os valores de 𝑛𝑐 e 𝑛𝑝 é possível calcularmos os volumes de acordo 
com a equação abaixo 
 
 𝑉 =
𝑚
𝜌
=
𝑛𝑐𝑀𝑐 + 𝑛𝑝𝑀𝑝
𝜌
 (9.7) 
 
 Em que a massa pode ser expressa como a soma ponderada entre o 
número de mols das espécies e suas massas molares. 
 Inserindo a Eq. (9.7) no Excel, fazendo primeiramente 𝑛𝑝 constante e 
depois 𝑛𝑐 constante (pela definição do volume parcial molar), ambos 1 mol, o 
resultado na planilha do Excel é mostrado na Figura 9.4 (OBS: lembre-se de fixar 
os valores das massas molares pressionando F4 nas células onde ambas se 
encontram). 
 
Figura 9.4 - Cálculo dos volumes. 
 
 
 Como dito no início da resolução, vamos medir a dependência entre o 
volume e a composição e ajustar o volume observado a uma função do número 
de mols dos componentes. Para isso basta fazer o gráfico de Vc em função de nc 
e depois de Vp em função de np, o coeficiente angular de ambas as funções serão 
os volumes parciais molares que queremos para o ciclo-hexano e para o 
pentadecano, como mostra a Figura 9.5 abaixo 
 
 
59 
 
Figura 9.5 - Resultado final. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como observado, os volumes parciais molares se apresentam constantes 
na faixa de concentrações analisadas. Além disso, os dois gráficos apresentaram 
comportamentos lineares com nenhum ponto fora da reta (R2 = 1) talvez devido 
ao número limitados de dados reportados. 
 Com isso, temos que 
 
Vc = 108,96 cm³∙mol-1 e Vp = 279,26 cm³∙mol-1 
 
 
 
 
 
 
60 
 
Problema 10: Encontrando a constante cinética de uma reação. (Reatores I) 
 
O verde de malaquita é um corante químico que ao ser diluído pode ser utilizado 
como fungicida no setor agrícola e também pode ser utilizado com indicador ácido 
base. 
A reação balanceada proposta entre o verde de malaquita com hidróxido de sódio 
é dada por: 
 
𝐶23𝐻25𝐶𝑙𝑁2 + 𝑁𝑎𝑂𝐻 → 𝐶23𝐻25𝑂𝐻𝑁2 + 𝑁𝑎𝐶𝑙 
 
Foram obtidos dados experimentais em um laboratório de engenharia química 
para obtenção de uma curva de calibração (Absorbância em função da 
concentração). 
𝑦 = 63752𝑥 
A tabela abaixo representa valores de absorbância obtidos experimentalmente. 
Com o auxílio da curva de calibração, determine a constante cinética da reação. 
DADOS: A concentração inicial do verde de malaquita é igual a 7 ∙ 10−5 𝑚𝑜𝑙/𝐿 
Pode-se assumir que a reação ocorreu em um reator batelada. 
Amostra t [s] ABS 
1 5 0,4058 
2 39 0,1455 
3 71,4 0,0681 
4 88,8 0,0363 
5 132 0,02 
6 148,2 0,0139 
7 189 0,007 
8 244,8 0,0065 
9 261 0,0046 
10 306,6 0,0039 
11 372 0,0036 
12 391,8 0,0021 
13 437,4 0,0018 
14 483 0,0014 
15 568,8 0,0014 
16 613,2 0,0005 
17 631,2 0,0004 
18 672,6 0,0004 
19 721,2 0,002 
20 737,4 0,0005 
21 798,6 0,0002 
61 
 
Solução: 
 
O primeiro passo a se tomar para resolução de problemas de reatores é fazer 
algumas considerações, como 
• Considerando que a reação é de pseudoprimeira ordem; 
• Assumindo que o volume da solução de hidróxido de sódio é bem menor 
que o volume utilizado da solução de verde de malaquita, podemos dizer 
que a reação depende apenas da concentração do verde de malaquita. 
Logo, temos que 
 
 −𝑟𝐴 = 𝑘𝐶𝐴 (10.1) 
 
 
Sabendo que a reação ocorreu em um reator batelada e partindo do 
pressuposto em que o mesmo não tem fluxo de entrada e saída, temos que o 
balanço molar para esse tipo de reator é dado por 
 
 −
1
𝑉
𝑑𝑁𝐴
𝑑𝑡
= −𝑟𝐴 (10.2) 
 
 
 Fazendo o balanço em relação ao componente A (verde de malaquita), 
temos 
 
 −
1
𝑉
𝑑𝐶𝐴 ∙ 𝑉
𝑑𝑡
= −𝑟𝐴 (10.3) 
 
 
 É importante frisar que o sinal de menos (-) é apenas representativo, 
utilizamos quando estamos tratando de consumo de reagentes. Sabendo que a 
lei de velocidade foi considerada como de pseudoprimeira ordem, temos 
 
 −
1
𝑉
𝑑𝐶𝐴 ∙ 𝑉
𝑑𝑡
= 𝑘𝐶𝐴 (10.4) 
62 
 
 Integrando a equação 10.4, obtemos 
 
 
 − ln |
𝐶𝐴
𝐶𝐴0
| = 𝑘𝑡 (10.5) 
 
 
 Sabe-se que 𝐶𝐴 = 𝐶𝐴0(1 − 𝑋), assim 
 
 − ln|1 − 𝑋| = 𝑘𝑡 (10.6) 
 
 
 Percebe-se que foi possível encontrar uma equação linear. 
 A partir da curva de calibração dada no enunciado da questão e com os 
valores de absorbância mostrados na tabela, podemos calcular os valores da 
concentração de verde de malaquita em cada tempo. A Figura 10.1 demonstra 
os resultados de concentração obtidos. 
 
63 
 
Figura 10.1 - Cálculo da concentração utilizando valores de absorbância. 
 
 
Para melhor visualização dos resultados obtidos, podemos plotar um gráficoda concentração em função do tempo. Nesse momento, é importante o leitor ter 
um olhar crítico ao seu resultado, de maneira que o mesmo deve saber qual 
comportamento o gráfico deve ter. Como estamos tratando da concentração de 
um reagente em função tempo, o gráfico deve ser decrescente, como mostra a 
Figura 10.2 abaixo. 
 
Figura 10.2 - Concentração em função do tempo. 
 
 
0,00E+00
1,00E-06
2,00E-06
3,00E-06
4,00E-06
5,00E-06
6,00E-06
7,00E-06
0 100 200 300 400 500 600 700 800
C
o
n
ce
n
tr
aç
ão
 [
m
o
l/
L]
Tempo [s]
64 
 
De maneira semelhante à concentração, podemos calcular o valor da 
conversão em cada tempo, pois temos os valores da concentração inicial do 
reagente, bem com o valor referente à concentração em cada tempo, logo 
 
 𝑋 = 1 −
𝐶𝐴
𝐶𝐴0
 (10.7) 
 
 A Figura 10.3 ilustra os valores obtidos de conversão em relação ao tempo. 
 
 Figura 10.3 - Valores de conversão para cada tempo. 
 
 
Em seguida podemos plotar um gráfico de conversão em função do tempo 
para melhor visualização. 
 
 
 
 
65 
 
Figura 10.4 - Conversão em função do tempo. 
 
 
 
Por fim, a partir da equação obtida após o balanço molar, percebemos que 
se plotarmos um gráfico de − ln|1 − 𝑋| em função do tempo, fizermos uma 
regressão linear, o valor do coeficiente angular da reta que se ajusta aos pontos 
será igual a constante cinética da reação. A Figura 10.5 ilustra o gráfico obtido. 
 
Figura 10.5 - -ln(1-X) em função do tempo 
 
 
 
Dessa forma, pode-se dizer que a constante cinética da reação entre o 
verde de malaquita e hidróxido de sódio é 𝑘 = 0,0217 𝑠−1. 
 
 
 
90,00%
91,00%
92,00%
93,00%
94,00%
95,00%
96,00%
97,00%
98,00%
99,00%
100,00%
0 200 400 600 800 1000
X
Tempo [s]
y = 0,0217x + 2,5493
R² = 0,9811
0
1
2
3
4
5
6
7
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-
ln
(1
-X
)
Tempo [s]
66 
 
CAPÍTULO 2 
 
 Neste capítulo serão mostrados métodos numéricos para resolução de 
equações algébricas não-lineares que são essenciais para resolver modelos 
matemáticos de engenharia química um pouco mais complexos. 
 Ao passo que for sendo mostrado os diferentes métodos numéricos, 
sempre que possível mostraremos como organizar sua planilha do Excel para 
facilitar as resoluções dos problemas e, ao final do capítulo, serão resolvidos 
alguns problemas de engenharia química com as planilhas pré-determinadas. 
Além disso, para todos os desenvolvimentos dos problemas, serão mostradas as 
abordagens e as aplicações necessárias para a resolução. 
 
 
2.1 MÉTODOS NUMÉRICOS 
 
 Os métodos numéricos têm um papel estrutural e de caráter essencial na 
formação dos cursos de engenharia. São técnicas pelas quais os problemas 
matemáticos são formulados de modo que possam ser resolvidos com operações 
aritméticas. Os métodos numéricos procuram desenvolver processos de cálculo 
(algoritmos), utilizando uma sequência finita de operações aritméticas básicas, 
por meio de várias etapas repetidas (iterações), facilitando assim a resolução dos 
problemas que seriam resolvidos de forma tediosa analiticamente. As razões para 
se estudar métodos numéricos para aplicá-los na engenharia são: 
• Ferramentas extremamente poderosas na resolução de problemas; 
• Meios eficientes para o aprendizado do uso de computadores; 
• Fornecem um meio para o(a) aluno(a) ou profissional reforçar o 
entendimento da matemática; 
• Acelera a resolução de problemas que seriam bastante demorados para 
se resolver analiticamente, dentre outas. 
Com isso, nas seções seguintes, serão abordados os principais métodos 
numéricos utilizados para se resolver problemas de engenharia química. 
 
Raízes de uma equação não linear 
 
 Muitos problemas de engenharia necessitam resolver uma equação não 
linear na forma 
 
𝑓(𝑥) = 0 
67 
 
 Adiante, serão mostrados métodos numéricos para encontrarmos a(s) 
raiz(es) de uma equação algébrica não linear, ou seja, métodos que encontrem 
𝑥 que zerem uma equação. 
 A maneira mais eficiente de saber qual o melhor chute inicial para usar em 
um determinado método é primeiramente, dada uma equação, plotar o gráfico 
da mesma e observar qual valor aproximado em que a função toca o eixo x. Isso 
nos garante a saber onde a raiz da equação está presente e diminui as chances 
de darmos um chute errado, onde o método pode não convergir ou necessitar 
de muitas iterações para se obter a resposta. Para isso, deve-se plotar dados de 
x e f(x) no Excel e observar o comportamento do gráfico. 
 Para ilustramos os métodos numéricos mais usuais para uma equação não 
linear, faremos aqui um exemplo típico na engenharia química, que consiste em 
encontrar o volume molar de um composto a uma determinada temperatura e 
pressão, utilizando a equação de estado cúbica de van der Waals e utilizaremos 
esse exemplo para demonstrar os métodos abordados. A equação de van der 
Waals é dada por 
 
 (𝑃 +
𝑎
𝑉2
) (𝑉 − 𝑏) = 𝑅𝑇 (1) 
 
 Em que 
𝑎 =
27
64
(
𝑅2𝑇𝑐
2
𝑃𝑐
) 
 
𝑏 =
1
8
𝑅𝑇𝑐
𝑃𝑐
 
 
 Para a Eq. (1) tomar a forma de 𝑓(𝑥) = 0 basta passar 𝑅𝑇 para o lado 
esquerdo, dessa forma 
 
 𝑓(𝑉) = (𝑃 +
𝑎
𝑉2
) (𝑉 − 𝑏) − 𝑅𝑇 = 0 (2) 
 
 Desde que a temperatura e a pressão não sejam tão altas, podemos 
comparar o volume molar da equação de vdW com o valor dado pela equação de 
estado do gás ideal. Lembrando que a Eq. (1) leva em consideração a não 
idealidade de um gás, então o valor do volume molar do gás ideal vai servir 
apenas para compararmos os valores obtidos pela equação de vdW e analisarmos 
esse efeito de não idealidade. 
68 
 
Figura 1 - Raízes da equação de van der Waals para a amônia a 250 ͦ C e 10 atm. 
Plotando a equação 
 
 No Excel, uma tabela de dados e o gráfico da equação de van der Waals 
é dada para a amônia a 10 atm e 250 ͦC (Figura 1). Da equação do gás ideal tem-
-se que o volume molar da amônia é 4,29 L∙gmol-1, onde é bem próxima da raiz 
dada pela equação de vdW. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Da Figura 1 é possível notar que existe uma raiz real entre 3 e 5 L∙gmol-1, 
as outras raízes são complexos conjugados. 
 
 
2.2 Método do Ponto Fixo, MPF (substituição direta) 
 
 Dada uma função f (x) contínua no intervalo [a,b] onde existe uma única 
raiz, f (x) = 0, é possível transformar tal equação em uma equação equivalente 
x = g (x) e, a partir de uma aproximação inicial x0, gerar uma sequência {xk} de 
aproximações para ε pela relação. Uma vez que g (x) é tal que f (ε) = 0. 
69 
 
Figura 2 - Planilha para o método do ponto fixo. 
 Em que ε é a tolerância. Essa tolerância geralmente é determinada pelo 
problema e na maioria dos casos, para se ter um resultado muito parecido com 
a raiz desejada, possui um valor de 1∙10-5. 
 Em termos de iterações, x = g (x), se torna 
 
 𝑥𝑘+1 = 𝑔(𝑥𝑘) (3) 
 
 Onde 𝑘 é a contagem da iteração. 
 
 Para calcularmos o volume molar usando esse método, faremos a Eq. (1) 
assumir a forma x = g (x), neste caso 
 
 𝑉
(𝑘+1) =
𝑅𝑇
(𝑃 +
𝑎
𝑉2(𝑘+1)
)
+ 𝑏 (4) 
 
 Como vimos na Figura 1, a raiz está localizada um pouco depois de V = 4. 
E neste ponto conseguimos enxergar que quando se tem o gráfico montado para 
visualizarmos onde a raiz se encontra, é possível diminuir o número de iterações 
“chutando” um valor próximo do valor real da raiz. Com isso, atribuindo a iteração 
inicial (𝑘 = 0) o valor de V = 4, temos que 
 
 𝑉(4)(1) =
(0,08206 
𝐿 ∙ 𝑎𝑡𝑚
𝑚𝑜𝑙 ∙ 𝐾)(523,15 𝐾)
(10 𝑎𝑡𝑚 +
4,23845
42(1)
)
+ 0,03756 (5) 
 
 No Excel,