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TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MECÂNICA DOS FLUIDOS COMPUTACIONAL FUNDAMENTOS E COORDENADAS GENERALIZADAS CLOVIS R. MALISKA Laboratório de Simulação Numérica em Mecânica dos Fluidos e Transferência de Calor - SINMEC Departamento de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Santa Catarina ' ( 1 "' /\111/i.~1..,, e 111 llf 11111 11 11·11 <'X iHl.c• 11l.t• 1 <•111 sido, <' •li gern.I, (•udNeçada aos pesquisadores e para c·rn 1,, 1111 n~ ele· f opirw; PSJH'c·Hirns. A forma d(' organização deste livro objet.ivon o ap11·11diwdo pn11lnt i110 e· a busca coHstante ela intrrpreta<;ão geom(·trica e física. t u1 rn l'11C'i 1i1 :11 o Pnf <'IH li mcnt.o, pr incipalme11te em coordenadas geuera.liza.clas. No 1111111 dn S<'~1111da pm·t.e, s3o a.pr<'sentados exemplos que refletem os t.ra- 1 >nl llrn; clP 1H"sq11isa <'de orieut.ação de t.ei;es e dissertações, bem como os projetos e IP 111f.c•r1u.;no <·01 11 c11tµ rcsas. desenvolvidos pelo aut.or e seus colegas do SI:JMEC L11liornt ôrio de Simulação l\'urnérica rm Mecânica dos Fluidos e Transferência cl1• C'alor. Os proft'ssores e os alunos de graduação e pós-graclm1ção do SIN- ~'lliX' cont.rihuíram, de modo sig1üficativo, para o atnadure<:imento desta área c•111 uosso DC'parta lllent.o. A todos, e em especial ao Prof. Antonio Fábio, que <'sl.c'vc· comigo desde o início destas atividades. deixo meus sinceros a.gradeci- uu'utos. De uma. forma direta a lgumas pe:ssoas contribuíram decisivamente para a rc•a lização d<:'Ste livro. Gm;ta.ria de agradecer ao João Flávio, por t"er realizado, <·0111 a paciência que a tarefa <:'xige, o excelente trabalho de edição de meu texto digitado cm Tt;X; à Ana Lúcia, pelo des<:'nho da maioria das figuras, feitos .'ic' lllJH'<' com muita dedicação; ao Marcos Livramento, por sempre ter a solução d<' como fa.zcr quando a parafernália de aplicativos e equipamentos compu- tacionais não sã.o compatíveis; ao Axel, por sua incansável aj uda em outras nt ividades, permitindo-me tempo para. dedica r ao livro, e ao meu filho Clovis .Ir. , que. desde bastante novo, muit,o tem me a uxiliado na área. computacional. Nosso la.7.cr tem sido, freqüentemente , discutir nossas a tividades de pesquisa. 13olsis t,fü1 de iniciação científica cio SINMEC também cólabora.ram digitando <'q11nçoes e fo.zeudo figuras . Para não cometer injustiças, peço a eles desculpas por não nominá-los. Agrndeço também ao Sr. Pedro, à Sra. Talita e ao Sr. Francisco, ela LTC, pela am{wel acolhida que recebi quando manifestei interesse cm publicar meu li vro<' 1><'la ajuda durante a preparação do texto. f.'innlnl('nt.<', coloco meu endereço eletrônico, rnaliska@sinmec. ufsc. br , à dis- posic;úo do leitor para sugestões e comentários sobre o texto e indie<.\Ção dos prn1sív<'is C'rros <'ncontrados. Clovis R. ?vlaliska Setembro de 1995 Sumário Prefácio Sumário 1. Introdução 1.1 - Preliminares 1.2 - Diferenças Finitas, Volumes F initos e Elementos Finitos 1.3 - Objetivos e Escopo do Presente Text.o . . . . . . . . J .4 - Problemas de Interesse 2. Aspecto~ l\tlatemáticos das Equações de Con- servaçao ..... . . . .. .... .. . 2.1 - Níveis de Formulaçã.o dos Modelos . . . . . . 2.2 - Problemas Elípticos, Parabólicos e Hiperbólicos 2.3 - Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Obtenção das Equações Aproximadas - Aspectos Gerais .. . ... . ..... . . . 3.1 - A Tarefa elo :Ylétodo Numérico . . . . . . . . . . . . 3.2 - O Método de Diferenças Finitas - MDF . . . . . ; , . . 3.3 - Formulações Explícita, Totalmente Implícita e Implícita ' 3.4 - Consistência, Estabilidade e Convergência 3.5 - Conclusões 3.6 - Exercícios . .• 4. Obtenção das Equações Aproximadas - Volumes Finitos ..... .. ... . 4.1 - Introcltição . . . . . . . . . 4.2 - O Método elos Volumes Finitos . 4.3 - Condução Unidimensional 11-ansiontc 4.4 - Linearizaçã.o do Termo Fonte 4.5 - Condições de Contorno . 4.6 - Aproximação ela Equação Geral da Condução 4.7 - Estrutura da Ma.t.riz ele Coeficientes ix Xl 1 1 4 7 9 11 11 16 21 24 24 25 26 33 34 34 36 36 36 38 45 46 51 5.4 xii G. U. M11.li8k11. 11.s ' l1l'at.u111l1ut.o das Não-linearidades .... . . ...... ''·º -So!uc;H.o do Sistema Linear de Equações . . . . . . . . . 4.10 - Cuidados Gerais na Obtenção elas Equações Aproximadas 4.11 - Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Convecção e Difu são - Funções d e Interpolação 5.1 - Introdução . . .... - .... - ..... 5.2 - A Dificuldade do Problema Convectivo-Dominante 5.3 - Funções de Interpolação - Suporte F ísico 5.4 - Funções de Interpolação Unidimensionais 5.5 - Difusão Numérica ou Falsa Difusão 5.6 - Outras Funções de Interpolação 5. 7 - Conclusões 5.8 - Exercícios . . . . . . . . . . . 6. Convecção e Difusão Tridimensional de <!> 6.1 - Introdução ...... .. . . . 6.2 - Integração ela Equação para</> em 3D 6.3 - Formulação Explícita . . . . . . 6.4 - Formulação Totalmente Implícita . . 6.5 - Exercícios . . . . . . . . . . . . ·- 7. D e terminação do Campo d e Velocidades - A co- plamento P - ll . .. .. ... . 7. l - Introdução ... .. ... ... 7.2 - Sis tema de Equações a Ser Resolvido 7.3 - O Acoplamento Pressão-Velocidade: Características 7.4 - Métodos para Tratamento do Acoplamento P - V . . 7.5 - Condições de Contorno para P e P' . . . . . . . . . 7.6 - Os Métodos de .Acoplamento e o Arranjo Co-localizado 7.7 - Condições de Contorno para as Out.ras Vai·iáveis 7.8 - Conclusões 7.9 - Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. E scoa m entos a Qua lquer Velocidade - Acopla- mento P- V / p . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1 - fotrodução ...... .. ... .. ...... 8.2 - Acoplamento Pressão-Velocidade e Pressão-Densidade . 8.3 - Acoplamento Temperatura-Velocidade 56 57 65 68 73 73 74 79 82 87 94 104 105 106 106 106 111 114 115 117 117 117 119 126 140 142 146 153 154 155 i55 156 164 X.il - Conclusões X.!') - ExC'rdC'ios . li. P roble m as Bi e Tridimensionais P arabólicos !l. I - Introdução !J.2 - Problemas Bidimensionais Parabólicos Externos o.:3 - Problemas Bidimensionais Parabólicos Internos !J.11 - Problemas Tridimensionais Pa1·abólicos Externos O.G - Problemas Tridimensiona.is Parabólicos Internos D.G - c 'onclusões . . . . . . . . . . . . . . . . 9.i - Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . Surmírio 1 O. R ecomendações Gerais p a ra Concepção e Teste xiii 165 165 167 167 168 170 170 173 179 179 do Programa . . . . . . . . . . . 180 10.l - Introdução . . . . . . . . . . . . . 180 10.2 - Os Requisitos para o Analista l\;umérico 180 10.3 - Escrevendo Seu P rograma . . . . . 181 10.4 - Executando Seu Programa . . . . . . 184 10.5 - Escolhendo Problemas-Testes. Buscando Erros 186 L0.6 - Observando às Características da Solução 193 10.7 - Conclusões . . . . . . . . . '. . . . . . . 197 11. Discretização Coincid ente com a Fronteira 198 11.1 - Introdução . . . . . . . . . . . . . 198 11 .2 - Malhas Estruturadas e Não-estruturadas . . . 200 11.3 - Domínio Físico e Domínio n·ansformado . . . 11.4 - n·atamento das Fronteiras Obtidas por Cortes 11.5 - Conclusões . . . . . . . . . . . . 11.6 - Exercícios l 2. Transformação de Coordenadas 202 221 222 223 225 12. l - 'Introdução . . . . . . . . . . . . 225 12.2 - Sistemas de Coordenadas Curvilíneas 226 12.3 - Comprimento ao Longo de um Eixo Coordenado 229 12.4 - Áreas no Sistema de Coordenadas Curvilíneas . . 231 12.5 - Vetores de Base . . . . . . . . . . . . . . . 233 12.6 - Representação de Vet.ores no Sistema de Coordenadas Cur- vilíneas . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 12.7 - Exemplo de uma Transformação Não-ortogonal 245 12.8 - Conclusões 250 12.9 - Exercícios 250 X IV e. R. J\iíali.skri 13. Geração do Sistema de Coordenadas Curvilíneas 252 13. l - Introdução . . . . . . . . . . . . . .252 13.2 - Ylotivação para Uso de Equações Elípticas . . . . . . 254 13.3 - Transform ação elas Equações ele Geração . . . . . . . 260 13.4 - Condições de Contorno para as Equações Transformadas 266 13.5 - Solução Numérica das EquaçÕ('S de Geração Transformadas 268 13.6 - Outros Sistemas Elípticos de Geração de Coordenadas . . 271 13.7 - Sistemas Parabólicos e Hiperbólicos ele Geração de Coorde- nadas . . . . . . . . · . . . . . . . . . . 272 13.8 - Métodos Algébricos de Geração de Coordenadas . 274 13.9 - Transformações Analíticas 13.10 - Obteru:.:ão elas Métricas Numericamente 13.11 - Exercícios . . . . . . . . . . . . . 14. Transformação das Equações de Conservação 14.1 - Introdução . . . 14.2 - A Transformação 14.3 - Conclusões 14.4 - Exercícios 15. Obtenção das Equações Aproximadas 15.1 - Introdução . . . . . . 15.2 - Integração das Equações . 15.3 - Condições de Contorno . . 15.4 - A Técnica de 1foitiblocos 15.5 - Exercícios (16. M alhas Não-estruturadas 16.1 - Introdução . . . . . . . . 16.2 - Construção cios Volumes Finitos . 16.3 - Formulações Usando os Diagramas ele Voronoi 16.4 - Formulação UsaJ1Clo o Volume Criado pela Media.triz 16.5 - Solução do Sistema. Linear 16.6 - Condições de Contorno . 16.7 - Conclusões 17. Aplicações . 17.1 - Introdução 17.2 - Problemas Ilustrativos 280 282 284 286 286 287 295 295 298 298 299 322 328 333 335 335 336 339 355 360 361 363 364 364 364 17.3 - Visualização Científica . l l pforên cias Bibliogr áficas Í 11dice Alfabético Swnário xv 399 407 420 1 . ' f 1 CAPÍTULO UM Introdução .. 1 .1 - Preliminares O uso de técnicas numéricas para a solução de complexos problemas da engenharia e da física. é, hoje, uma realidade, graças ao desenvolvimento de computadores de alta velocidade e de grande capacidade de armazenamento. Em função dessa disponibilidade computacional, que cresce exponencialmente, o desenvolvimento de algoritmos para a solução dos mais diversos problemas tem recebido enorme atenção dos analistas numéricos. A ampla aceitação dos modelos numéricos pela comunidade interessada na solução desses problemas explica-se pela grande versatilidade e relativa simplicidade de aplicação destas técnicas. O seguinte exemplo, extraído de [16], com a devida atualização das informações, demonstra o crescimento vertiginoso da eficiência computacional (equipamentos + algoritmos) nos últ imos anos. A solução do escoamento tur- bulento supersônico sobre um aerofólio, usando computadores do tipo IBM 704, existentes na década de 60, consumiria um tempo de computação de aproxima- damente 30 anos, com um custo de 10 milhões de dólares. O mesmo problema, utilizando os computadores atua.is, requer minut()S de CPU êofn eusto de cen- tenas de dólares. Outra i·evolução acontecida no campo da fabricação de equipamentos com- putacionais foi o aparecimento das estações de trabalho. Atualmente, 'elas se apresentam com capacidade de armazenamento e velocidade de processa- mento que permitem a solução de quase todos os problemas numéricos de in- teresse da engenharia. Seus preços, por outro lado, são extremamente baixos, quando comparados com os dos supercomputadores. Mesmo para os grandes problemas, que representam uma pequena parcela dos problemas cotidianos de engenharia e · que fogem da capacidade das estações, praticamente todo o procedimento de cálculo pode ser nelas realizado, deixando-se para os super- computadores apenas as execuções finais em malha refinada. Além disso, as estações possuem capacidades gráficas que permitem que os resultados sejam imediatamente visualizados e interpretados. A integração com programas de CAD, indispensáveis para definição da geometria de solução e posterior geração da malha, fica extremamente facilitada com o uso de estações de trabalho. Em resumo, ficará cada vez mais fácil, tanto no meio a.caclêmico-cio11t.ífko como no i11dw-1tria,l, o w;o ele t6cnicns numórica."S parli soluçãü <I<· prnhlor1111:; -..... ' de <'11g1•11lmrin, 11111a vez qne os custos para a aquisição cios equipamentos nc- tesr-;1írios H('rno n1.da vez menores. A seguir, é feita uma avaliação da potcncia- licln.d<• das diversa:; ferramentas disponíveis para esse fim. O 011gcnliciro 01 1 projetista incumbido de resolver um determina.do pro- bl<•ma trm a sua disposição, fu ndamentalmente, três ferramentas: 1. métodos analíticos; 2. métodos numéricos (experimentação numérica.); e 3. experimentação em laboratório. Os métodos analíticos e os numéricos formam a classe dos métodos teóricos, pois ambos objetivam resolver equações diferenciais. A di~erença está apenas na complexidade da equação que cada. método pode atacar. Os métodos analíticos têm a desvantagem de ser aplicáveis apenas em problemas cujas hipóteses sim- plifica.tivas os desviam demasiadamente do fenômeno físico real Além disso, são aplicados, normalmente, a geometrias simples e condições de contorno também simples. Obviamente, as soluções analfticas não devem ser descartadas e uma das suas importantes aplicações é, exatamente, para validar casos limites de modelos numéricos e auxiliar no desenvolvimento de métodos numéricos ma.is robustos. Uma vantagem significativa é a obtenção da solução em forma fe- chada, requerendo baixíssimos tempos de computação. Se um método analítico for suficiente pax·a resolver o problema de interesse dentro dos níveis de pre- cisão e exigência necessários, ele deve ser preferido. Uma regra básica que deve ser observada em engenharia é o uso da ferramenta adequada ao tamanho do problema em questão. Com relação à experimentação em labora.tório, sua grande vantagem é. o fato de tratar com a configuração real. Ela é, entretanto, de altíssimo custo e muitas vezes não pode ser realizada, por questões ele segurança, como é o caso da transferência de calor no núcleo de reatores nucleares, ou pela dificuldade de reprodução das condições reais, como, por exemplo, no escoamento supersônico a grandes altitudes ou na simulação de reservatórios de petróleo. Na ausência de modelos matemáticos estabelecidos e em geometrias extremamente complexas, muitas vezes é a única alternativa de que o projetista dispõe. A experimentação numérica (uso de técnicas numéricas) , por sua vez, pra- ticamente não apresenta restrições, podendo resolver problemas com complica- · das condições de contorno, definidos em geometrias arbitrárias e apresentando resultados com uma rapidez fantástica. Os dados obtidos devem ser, entre- tanto, confiáveis e este é um ponto de extrema importância a ser observado pelo a.1alista. Existem dois níveis de erros que podem estar presentes na solução numérica quando os resultados são comparados com a realidade de um problema físico: no primeiro nível estão os erros numéricos propriamente ditos, resultado da má solução das equações diferenciais. Para detectá-los, os resultados devem ser comparados com outras soluções, analíticas ou numéricas, verificando-se se a equação diferencial foi corretamente resolvida. Aspectos como precisão ela. soluçfü> e' <'Onvcrgência do algoritmo são testados nesta fase , que pode ser duuna.da dr validação numérica. Esse processo atesta a qualidade do modelo 1111m6rico. No segu.ndo nível estão os erros, resultado do uso de equações dife- 1·c1uciais que não representam adequadamente o fenômeno. A validação física, port.anto, preocupa-se com a fidelidade do modelo matemático para com o pro- l>l<11na físico em questão. Na visão da engenharia, este é o ponto que interessa. Logo, a feua- 111r11ta numérica é adequada e confiável quando se está de posse de um método numérico que resolva corretamente as equações diferenciais, e de um modelo uuüernático que, sabidamente, represente com fidelidade o fenômeno físico. É l>oin lembrar que nada ajuda, do ponto ele vista. da engenharia, ter um excelente 111odelo numérico, se o modelo matemático (istoé, as equações diferenciais esco- lh idas) não representa o fenômeno que se quer modelar. A nossa preocupação, neste livro, será apenas com os aspectos do modelo numérico, apesar de, sem- pre que possível, enfatizarmos a importância de não perder de vista a física do fenômeno que está. sendo modela.do. A Fig. 2.1 detalha os dois níveis de validação. A comparação dos resultados L numéricos (RN) com os resultados analíticos (RA), se existirem, ou com ou- / tros resultados numéricos, caracteriza a validação numérica. Por outro lado, a 1 compar ação de RN com os resultados experimentais (RE) identifica a. validação 1. física. .../ Observa-se que qualquer processo de obter os resultados de um problema físico é suscetível a erros, No caso, os procedimentos que·podem levar a distan- ciar a realidade física dos resultados obtidos encontram-$e listados nas chaves. Portanto, sempre que ist.o for constatado, deve-se conferir esses procedimentos. Alguns exemplos da penet ração da simulação numérica !\ª indústria são importantes como motivação. No projeto de aviões, por exemplo, o uso de técnicas numéricas diminui, sensivelmente, o t rabalho de labórat:ório. Atual- mente, as grandes companhias já utilizam o computador em larga escala, in- clusive revolucionando o projeto em detalhes, o que não seria possível com o uso do túnel de yento apenas. Um exemplo marcante é o 'caso do projeto cio Boeing 737-300, que apresenta uma nova dimensão cio reator e uma nova posição do mesmo em relação à asa. No 737-200, o reator é de menor dimensão e colocado sob a asa, enquanto no 737-300 o mesmo é posicionado avança.do em relação à asa. A atual configuração do 737-300 só foi possível porque inúmeros experimentos numéricos foram realizados. Diz-se hoje, entre os especialistas, que o 737-300 não estaria no mercado se não fosse a ajuda prestada pela si- mulação numérica [120]. Diferentes testes realizados não conseguiram determi- nar a condição adequa.da de projeto. Uma varredura experimental completa elas opções possíveis no túnel de vento consumiria meses, com custos extrema- mente elevados e sem a garantia de determinar a configuração adequada [28]. Outra restrição ao projet o era a pequena distância entre a asa e o solo, também resolvida pela via numérica. 4 C. R. M11li.~k" Ai11d1t rnn1 n•lnção ao 737·300, a simulação numérica foi extensivamente usada na <·orrobornção dos testes de vôo necessários para certificar o aparelho j unLo nos órgãos oficiais. Um desses testes foi o do vôo à baixa. velocidade com os ftap.~ abertos. Para esta situação, 18 configurações foram analisadas e algumas "surpresas" surgidas durante o vôo foram previstas pelas simulações, cujos resultados ainda permitiram descobrir algumas limitações dos túneis de vento nos testes à baixa velocidade [120]. Estes exemplos mostram que, se o modelo matemático representativo do fenômeno já é conhecido e validado, não é mais lógico usar a experim'entação ele labora.tório, uma. vez que os computa.dores e os métodos numéricos podem resolver tal modelo matemático. Ou seja, não faz sentido usar o laboratório para produzir os mesmos da.dos que podem ser obtidos pelo computa.dor com um custo sensivelmente menor. A tendência que se observa , portanto, é a realização de experiências em laboratório cada vez mais sofisticadas com o intuito de usar os resultados na corroboração de modelos matemáticos e numéricos , na investigação e entendi- mento de novos fenômenos, que ainda necessitam ser matematicamente mode- lados, e na avaliação final de um determinado projeto. O laboratório deixará, certamente, de realizar a tarefa repeti tiva, que ficará a cargo do computa.dor . O que deve ser buscado, portanto, é a associação adequada da simulação numérica com selecionadas experiências em laboratório. A união dessas técnicas resul- tará em um projeto melhor e mais barato. Não há dúvida de que este é o caminho da engenharia moderna, onde a simulação desempenhará , cada vez mais, um papel decisivo nos custos e qualidade do projeto, caminhando lado a lado com a experimentação de laboratório. É importante salientar que esta.mos observando, por enquanto em maior escala aperias em países ma.is desenvolvidos, que as técnicas numérica::> não estão presentes apenas na solução de complexos problemas a cargo de institutos de pesquisas e universidades. Ela.s já fazem parte das ferramentas diárias dos engenheiros em muitas empresas de grande e médio porte. Neste trabalho, a atenção é voltada para a modelação de problemas que envolvem escoamento ele fluidos com ou sem transferência de calor. A solução desses problemas requer o manuseio das equações de Navier-Stokes, altamente não- lineares, acopladas às equações da conservação da massa e energia. Os métodos disponíveis para o tratamento dessas equações são brevemente discu- tidos a seguir. 1.2 - Diferenças Finitas, Volumes Finitos e Elementos Finitos Com o grande desenvolvimento experimentado pelos métodos numéricos e a conseqüente penetração dos mesmos na engenharia, não raramente se t ravam discussões acaloradas a respeito da eficiência do método das diferença.e; finitas Introdttçao 5 ( M 1)1•') <' elementos finitos (MEF). Minha intervenção neste ponto polêmico t1 .. w H«' a.o fato de ter observado, ao longo dos últimos 10 anos, que muitas 1111111111,çõcs acerca desses métodos são oriundas do desconhecimento ele sua na- l 1111•;-,a. Um breve histórico é importante para o entendimento. O MDF sempre 1!11 «' ll1prcgado pelos analistas da área de escoamento de fluidos, enquanto o ~11·~ 1 ·' o foi para a área estrutural, na solução de problemas da elasticidade. Os ., prnhlP111as, do ponto ele vista físicq, são completa.mente diferentes. Os de escoa- 11111111.0 são altamente não-lineares (equações de Navier-Stokes) , enquanto os da 1•lm1t.iddade não possuem os termos convectivos, não-lineares, e assemelham-se 11 problc>mas puramente difusivos de transferência de" calor. Foi natural, por- t 1111t.o, o fato de os pesquisadores do MDF terem se concentrado na tentativa d1• dominar as não-linearidades dos termos convectivos e no problema do difícil 1wopl ~1.mento entre as equações, dificuldades não encontradas em problemas de Pl11.Ht.iC'idade. Por muito tempo foi deixado para segundo plano o problema do l 1 1~l.amento de geometrias complexas, e o MDF teve todo o seu desenvolvimento lms<'ado nos sistemas coordenados ortogonais, como o cartesiano, o cilíndrico e o !IHférico. Por esta razão, muitas pessoas ainda vinculam o MDF com malhas l'lll'l.CSianas, equivoca.damente, uma vez que ele pode ser aplicado a qualquer t.lpo de malha, mesmo a não-estruturada usada em elementos finitos. Por outro lado, o MEF sempre teve a vantagem de usar malhas não- t•Ht.ruturadas, o que permite que problemas em geometrias complexas possam 1wr resolvidos. O MEF não teve penetração forte na área de fluidos por muito t.1•rnpo, porque se acreditava que a equação diferencial a ser resolvida necessi- l 1wa de um princípio variacional para que o método pudesse ser aplicado. Como 11 oquação de Navier-Stokes não tem esta propriedade, a aplicação do MEF em fluidos foi retardada. Até o início da década de 70, t inha-se, portanto, o MDF com grande ex- 1wl'iência na área de fluidos, mas sem habilidades para. tratar geoll!etrias com- 11l<•xas; e o MEF, hábil no tratamento da: geometria, mas sem ferramentas para 1 rntar os termos convectivos presentes nas equações do movimento. Mesmo 1111pla.ntando a questão do princípio variacional, através do uso, do método de c:nlerkin e outras variantes, o MEF não teve sucesso imediato em problemas de• fluidos, uma vez que o método de Galerkin (que é equivalente ao uso de diferenças centrais no MDF) é adequado a.penas para. problemas puramente difusivos. O uso do método de Galerkin em elementos finitos é equivalente ao uso de diferenças centrais em diferenças finitas , ambos produzindo instabilidade em problemas de convecção dominante. Estee outros problemas similares, que possuem a adequada interpretação física pelo não-funcionamento, motivaram P<'Hquisas para o aprimoramento do método dos volumes finitos (MVF), no qual as equações aproximadas são obtidas através de balanços de conservação da propriedade envolvida (massa, quantidade de movimento, entalpia, etc.) no volume elementar. A observação do caráter físico de cada termo da equação • G C. R. Mriliska diferencial permitiu que métodos mais robustos fossem desenvolvidos . A pos- sibilidade de associar a interpretação física com a matemática influiu de modo considerável para que praticamente todos os analistas envolvidos com o MDF passassem a usar o MVF, visto que ambos, por serem equivalentes para uma série de problemas, levam muitas pessoas a. ·confundi-los. Importantes desen- volvimentos foram então realizados no MVF, mas ainda em. coordenadas orto- gonais , principalmente cartesianas. Uma grande transformação, motivada pelo aparecimento de equipamentos mais velozes, processou-se na década de 70. Em meados dessa década, os sistemas coordenados ortogonais convencionais começarnm a ceder espaço para os sistemas coordenados generalizados coincidentes com a fronteira do domínio, e o MVF passou a resolver problemas de fluidos em geometrias irregulares. Nos últimos 15 anos , foi espantoso o crescimento experimentado pelo MVF em coordenadas coincidentes com a fronteira. P raticamente todos os grandes pacotes hoje disponíveis no mercado para a solução de problemas de escoamento de fluidos com transferência de calor empregam coordenadas generalizadas no âmbito do MVF. Paralelamente, o MEF passou a empregar outras funções de interpolação para permitir o tratamento adequado dos termos convectivos não-lineares. As funções do tipo Petrov-Galerkin, que nada mais são do que a ponderação entre os efeitos difusivos e convectivos, semelhantes aos esquemas híbridos emprega- dos em volumes finitos, possibilitaram um expressivo avanço do MEF na área de escoamento de fluidos. Recentes formulações, onde estas funções são desen- volvidas ao longo da linha de corrente, também equivalente aos esquemas skew usados em volumes finitos, permitiram que o MEF pa.ssasse, também, a t ratar problemas ele fluidos minimizando os efeitos de difusão numérica. Atualmente, um grande esforço de pesquisa está sendo dedicado ao desen- volvimento de métodos em volumes finitos, usando malhas não-estruturadas, semelhantes, portanto, àquelas usadas em elementos finitos. No panorama atual, observa-se que am.bos os métodos (MVF e MEF) estão resolvendo problemas altamente convectivos, inclusive com ondas de choque, em geometrias arbitrárias, mostrando que existe entre eles uma forte seme- lhança em termos de generalidade. Se olharmos do ponto de vista ma.temático, não poderia ser diferente, uma vez que todos os inétodos numéricos podem ser derivados do método dos resíduos ponderados, empregando-se diferentes funções peso. Por exemplo, o MDF surge quando a função peso é feita igual à função delta no ponto em consideração; o MVF aparece quando esta função peso é feita igual a. 1 no volume elementar, e a zero em todos os outros volu- mes elementares; já o MEF-Galerl~in surge quando estas funções peso são feitas iguais às funções tentativas. Logo, não existe sentido em argumentar que um determinado método é sempre superior a outro, visto que eles são derivados do mesmo princípio e diferem apenas na. forma de minimização escolhida.. O que se t!ilm, na. prática, são diferentes graus de experiência dos diver~os métodos para diferentes problemas. folmrlu(·tw i /\ prnf'<•rrncia. pcl'l:mal deste autor pelo n16toclo dos volumes fi ni t.os ( MV I•') 1111111 prnblc'111ns do csC"oainento do f-luidos é j usLificada primeiro pela. <'H<·ola s<'· 1•,111tl11 IH\ s11<\ formação e, segundo, pelo fato de o ~1VF, ao cria.r suas cquaçõ<'s 1111 oxi111adm;1 estar realizando um balanço da propriedade em nível de volu- 1111 •11 (l lo1i1c•11tares. Se o que se busca com o método numérico é a solução clH. 1•q1111<;1t0 dil'crcncial que representa a conservação da propriedade em nível de• p1111to (infinitesimal), parece lógico que as equações aproximadas (que formam 11 MiHt.Pma linear) representem a conservação em nível ele volumes elementares (dlHcrcl.o). A depuração de um programa computacional também fica mais 11\t'il quando o analista tem etapas a serem conferidas. Como no MVF os ba- l1111ços de conservação devem ser satisfeitos em nível de volumes elementares, para qualquer tamanho de malha, todos os princípios de conservação podem ser rlu•<"<-\.dos cm uma malha bastante grosseira. Ou seja., quase tudo pode ser feito 1111111useando-se poucos resultados em execuções rápidas no computador. Em 011t.ros métodos, pode-se a.penas conferir a solução com uma malha refinada. Recentes desenvolvimentos mostram também o MEF aplicado em nível ele volumes elementares, sendo denominado método dos elementos finitos baseado 110 volume de controle, conhecido na literatura internacional como CVFEM Control Volume Finite Element Method, cujo objetivo é obter as equações apro- ximadas em nível de volumes elementares em uma base de elementos finitos. Muitos autores, principalmente aqueles ligados ao MEF clássico, não conside- rnm o CVFEM como um MEF. Entretanto, foge do nosso escopo aprofundar t•sta e outras questões específicas. Um outro método que vem ganhando destaque· e espaço é o método dos olemêntos no contorno (Boundary Element Method - BEM, da literatura inter- nacional). Sua vantagem é a possibilidade de tratar apenas com a discretização da fronteira, sem necessidade de discretizar o domínio interno. O método é apli- cado quando é possível transferir a influência. do operador do domínio para a fronteira. Apesar de atraente, é um método que ainda está' longe de responder às solicitações dos problemas complexos resolvidos pelos outros métodos. Sem dúvida, é uma área de pesquisa que merece esforços . 1.3 - Objetivos e Escopo do Presente Texto Com o desenvolvimento da área de Mecânica. dos Fluidos Computacio- nal (CFD) , muitos livros-texto foram publicados. A maioria deles é, entro- tanto, dirigida ao pesquisador ou a.o aluno já familiarizado com as metodologias numéricas modernas. · A minha observação da. área., nos últ imos anos, revela que, apesar do <'S· pantoso crescimento no uso de métodos computacionais, principalmente c•111 coordenadas generalizadas, o iniciante em métodos numéricos em coordenadnfl generalizadas não possui um texto que apresente os desenvolvimentos da 1111· • todologia de forma gradual, permitindo o aprendizado ~la.tino e culminando 8 C. R. M aliska com o desenvolvimento de seus próprios programas computacionais. Este texto tem, exatamente, o objetivo de preencher esta lacuna. O texto divide-se em duas partes: a primeira preocupa-se em apresentar os conceitos básicos do método dos volumes finitos e, a segunda., o uso de coordenadas generalizadas no método dos volumes finitos. Na primeira parte, por simplicidade, os desenvolvimentos serão realizados utilizando o sistema cartesiano de coordenadas, sem prejuízo do entendimento completo daquilo que se buscará estudar, uma vez que toda a formulaçáo básica serve para qualquer sistema coordenado. O texto é assim organizado com o objetivo de torná-lo mais didático. O Cap. 1 faz a introdução e tece considerações sobre os métodos numéricos atualmente disponíveis para resolver problemas de Mecânica dos Fluidos e Transferência de Calor. O Cap. 2 discute aspectos matemáticos das equações de conservação. Esses dois capítulos discorrem sobre os assuntos em uma lin- guagem adequada para os já iniciados. Isto não deve., entretanto, preocupar, porque o início do curso propriamente dito ·está reservado ao Cap. 3, e a não- absorção completa das informações dos Caps. 1 e 2 não prejudicará o aprendi- zado. Os Caps. 3 e 4 . apresentam a formt~lação para problemas de condução unidimensional, sempreprocurando mostrar que os conceitos adquiridos com estes problemas são gerajs. Nos Caps. 5 e 6, o importante problema das funções de interpolação é abordado. O campo de velocidades é considerado conhecido e a maneira de calculá-lo, tratando, portanto, com o sistema de equações diferenciais parciais, é tarefa para o Cap. 7. Ainda no Cap. 7, discorre-se sobre os mais corren- tes métodos para trat ar o acoplamento pressão-velocidade e a aplicá.Çã.o das condições de contorno. No Ca.p. 8 é apresentada uma moderna metodologia para resolver proble- mas para qualquer regime de velocidade, uma linha de pesquisa de vanguarda que vem atraindo a atenção dos pesquisadores, enquanto no Cap. 9 são discu- tidos problemas tridimensionais parabólicos. -/ O Cap. 10 traz recomendações para aqueles que estão desenvolvendo seus programas, principalmente os iniciantes, para teste e depuração dos programas, sugerindo soluções analíticas para comparações, critérios de convergência, ~te. Na segunda parte é abordada a solução de problemas usando coordena.- das generalizadas coincidentes com a fronteira ( boundary-fitted coordínates) . O Cap. 11 define plano físico e plano transformado, preocupando-se com que o leitor tenha claros os procedimentos usados em um mapeamento de uma malha arbitrária para um plano computacional regular. ~ O Cap. 12 preocupa-se com a transformação de coordenadas, buscando dar a interpretação geométrica das grandezas matemáticas envolvidas. A ex- periência mostra que a não-familia.rida.de física e geométrica. com o tensor métrico, métricas da transformação, jacobia.no, velocidades contra.variantes e covariantes, componentes físicas, etc. dificulta o domínio da metodologia. Introdt~çao 9 O Cap . . 1.3 discute a geração do sistema de coord~nadas generalizadas. t l mNodo diferencial e métodos algébricos são a.presentados. No Cap. 14 as 1·q1111ço<'s de conservação escritas no plano (x,y,z) são transformadas para o pl11110 C'Omputacional (sistema de cool'denadas generalizadas) . Mais uma vez 1•111'11.t.iza.-se o entendimento físico da transformação. No Cap. 15 as equações aproximadas no plano computacional são obtidas. < > processo é idêntico ao apresentado na primeira parte, com a diferença de que, 11µ,orn, os balanços de conservação são realizados em volumes elementares irre- p.11larcs. Ainda nesse capítulo, os métodos de acoplamento vistos na primeira pnrl.<' são estendidos para coordenadas generalizadas. O Cap. 16 é reservado para introduzir 'OS conceitos básicos da formulação 11H11udo malhas não-estruturadas. Volumes ele controle obtidos tanto com os d111.µ;ramas de Voronoi, como com o método da mediatriz são considerados . O cll'H<'11volvimento de métodos numéricos usando volumes finitos com malhas não- 1•sl r11t.uradas é uma linha de pesquisa recente, que deverá receber importantes 1 onl ribuições cm um futuro breve. O Cap. 17 apresenta uma série ele problemas resolvidos pelo fJ.utor e seus 1·olc•ga.s, usando coo.rdenadas gcneraliu idas, nas áreas ele desenvolvimento de li•1Tamentas numéricas e de aplicações , como aerodinâmica subsônica e su- p1•rsônica, escoamentos ambientais, simulação de reservatórios de petróleo, pro- l1IPmas de transferência dê calor e mecânica dos fluidos, etc. A metodologia que será apresentada neste texto pode ser empregada em 1111ia série de problemas de interesse prático. A próxima seção procura apre- liPnt.ar parte deste universo. l.4 - Problemas de Interesse O escoamento de fluidos com ou sem transferência. de calói:' está envolvido, prnticamente, em todos os processos de produção de energia, nos fenômenos 11111bientais, nos projetos de equipamentos térmicos, na engenharia aeronáutica " aeroespacial, engenharia de reatores, bioengenharia, etc. A Fig. 1.1 procura iclC'lltificar a lgumas áreas onde, cada vez mais, as , técnicas numéricas são em- pregadas. Os exemplos mostrados são, na realidade, classes de problemas. No raso da int.eração fluido-est,rutura, enquadram-se todos aqueles problemas onde l'St..amos interessados na determinação da força (geralmente dinâmica) sobre cs- t ruturas, tais como trocadores de calor, aviões, automóveis, etc. Existe uma interação interdisciplinar no projeto global de equipamentos. Por <>xemplo, o campo de temperatura.<i em uma estrutura de um reator nuclear é um dado de entrada para modelos computacionais que determinam as tensões nessa estrutura. Outro exemplo é o da interação fluido-estrutura que ocorre nas aeronaves. A excitação na estrutura, devido ao escoa.me~ provoca vibrações que, por sua vez, modificam o escoamento, criando uma situação física que requer a solução de um problema acoplado de bastante complexidade. A lista 10 C. fl.. M nli8krt ele problemas iutercssantes é longa e fica como exercício ao leitor imaginar os inúmeros problemas de engenharia que podem beneficiar-se com as técnicas numéricas modernas. COMBUSTÃO AERODINÃMJCA SIMULAÇÃO DE RESERVATÓRIOS DE PETRÓLEO PREVISÃO CLIMÁTICA POLUIÇÃO AMBIENTAL Fig. 1.1 - Exemplos de problemas de interesse. CAPÍTULO DOIS Aspectos Matemáticos das Equações de Conservação 2.1- Níveis de Formulação dos Modelos A obtenção da solução de qualquer problema. físico requer a habilidade da 1•1·l11,\ft0 elo rnodelo matemático correspondente. O modelo matemático deve ser f 11 1 qtH' possa. ser resolvido com tempos de computação não-proibitivos e que os 1111111lr.ados obtidos bem representem o fenômeno físico em questão. Obviamente, 11fi11gir este objet ivo não é uma tarefa. fácil. A Fig. 2.1 mostra, de maneira PHquemá.tica., a t arefa exigida. ao buscar-se a solução de nm problema. Para a obtenção do sistema de equações, representado na Fig. 2.1 pelo q11n.dro Modelo Matemático, a decisão importante a ser tomada é com relação 1111 nível no qual os balanços de conservação sã.o realizados. Citando os extre- 111os, os balanços de couservação podem ser feitos t.anto em nível molecular, ol'iginaudo urna. equação para. cada molécula, como :sobrP volumes de controle, q11c podem até, em cleterminfl.das di.reçõ0s, coincidir com o domínio de solução. Nrsses ext.remos, varia muito a complexidade dos métodos numéricos adequa- dos a cada situação. A Tab. 2.1 mostra. os níveis do formulação dos modelos. Obviamente, a. solução de problemas dentro do nível 1 é cómp11tacional- 1110nte impraticável. No nível 2 também o é, pelo fato de se ter que resolver 11i; equações diferenciais para intervalos de tempo da ordem das flutuações tur- lnllentas. Existem, atualmente, tentativas para atacar o problema neste nível. Drntro dos . níveis 3 e 4 é qne hoje se acomodam os modelos que resolvem os problemas de transferência. de calor e massa em fluidos de interesse da enge- 11 l1aria. As equações de conservação da massa, quantidade de movimento e energia, para os níve is 2 e 3, escritas no sistema ca.rtesia.no de coordenadas, são dadas por (12) ôp ô Ôt +_ ÔXj (pu,;) = Q \. ô ( ) ô ( ) ôP ô ( ôtti ) su-- PUi + - PUjUi = - - + - µ- + .. Ôt ÔXj ÔXi ÔXj ÔXj ô ô â ( kôT) r - (pT)+ -(puiT) = - - - +S Ôt ÔXj ÔXj Cp ÔXj (2.1) (2.2) (2.3) .. • Leis de conservação, como quantidade ...... PROBLEMA FÍSICO de movimento, massa, energia, etc. N MÉTODOS MÉTODOS TEÓRICOS q ~ EXPERIMENTAIS • Relações constitutivas, modelos de turbulência, etc. ~ a. ... <e BANCADADE 1 l 1 ~ Condições de contorno ?:-MODELO .. TESTES EM LABORATÓRIO MATEMÁTICO r- • Integrações espaciais e temporais ___.,-----....... • Tratamento das não-linearidades • Concepção · MÉTODOS e acoplamentos do experimento NUMÉRICOS • Natureza da malha • Leis de • Funções de interpolação similaridade MÉTODOS • Etc. • Qualidade doo ANALÍTICOS equipamentos ·[1 1 1• Método de solução dos de medição sistemas lineares __,~ • Escolha do tamanho da • Processamento 1 Solução exata malha dos dados das • Escolha do tamanho do • Etc. 1 equações intervalo de tempo diferenciais • Critérios de convergência dos t t:i t &"""" dclos - .. 1 RE RA RN 1 • Etc. RESULTADOS Fig. 2.1 -Métodos de solução Aspectos Matemáticos das Equações de Conservação 13 Tabela 2.1 - Níveis de formulação dos modelos. Nível em que os Informações Tipo de equação balanços de conservação necessárias resultante são efetuados .. Conservação Massa molecular, para cada molécula leis de t roca de QM, Equação para V«L~ campos de forças: cada molécula elétricos, magnéticos, etc. Balanços onde: Propriedades refletindo Conjunto de tm ~ t ~ tt o comportamento molecular equações diferenciais Lm « L « Lt p, µ, k, etc. parciais Fornecer p, µ, Balanços onde: k, et c., e as tensões Conjunto de t » tt de Reynolds, relações de equações L » Lt transferência de calor e diferenciais massa turbulenta • P.arc.iais . Balanços onde o Fornecer as condições de Equaçõçs diferenciais, volume de controle contorno nas direções onde parciais, ordinárias coincide com o domínio o volume de controle o.u algébricas de solução em alguma(s) coincide com o domínio 1.: 1 .. ,,.: 1.,: / ,: /,m: J,, : direção ( ões) de solução tempo médio sobre os quais os balanços de conservaçã\ sã.o realizados tempo entre colisões moleculares escala de tempo para turbulência comprimento médio sobre os quais os balanços de conservação são realizados livre caminho médio entre as moléculas <'Scala de comprimento para turbulência 14 C. R. Ma.liska. As Eqs. (2.1), (2.2) e (2.3) podem ser escritas para um campo escalar geral </>, neste caso expandindo os termos, como ô ' ô ô ô ôt (pcp) + ôx (pu<fa) + ôy (pvé) + ôz (pw<fa) = (2.4) ~ (r<1> ª<P) + ~ (r<t> ª <P) + ~ (rq, 8<1> ) + s,, ôx ôx ôy ôy ôz ôz A Eq. (2.4) representa a conservação da massa, quando S"' for igual a zero e cj> = 1. As equações do movimento nas três direções coordenadas são obtidas fazendo-se </> igual a tt, v e w com o apropriado termo fonte, que, neste caso, inclui o gradiente de pressão. A equação da energia é obtida. fazendo-se <I> == T, também com o termo fonte apropriado. f ef> representa o produto da difusividade pela massa específica da propriedade transportada em consideração. Para. as equações de NA.vier-Stokes f <P = J.I. e para a cqua<;ão da energia r1 == k/cv, quando o escoamento é laminar, e é igual a /;tfetivo e (k/cp)rfetivo, quando o escoamento for tmbulento. A Tab. 2.2 mostra os valores de Sr!> para as diversas variá.veis, no caso tridimensional compressível. O primeiro termo do lado esquerdo da Eq. (2.4) é o termo temporal e serve para avançar a solução no tempo, seguindo-se o transiente real ou um transicnte distorcido. Fisicamente, representa a variação da. propriedade </> dentro do volume de controle. Os outros termos, ainda do la.do esquerdo da. equação, representam o balanço convectivo da variável</>. São, numericamente, os termos mais delicados para tra.tamenLo, devido às não-linearidades. Os prirudros três termos do lado direito representam o balanço dos fluxos difusivos. enquanto o termo fonte é responsável por acomodal· todos aqueles termos que não se encaixam na forma apres0nfada pela Eq. (2.4). O termo fonte coutém o gradiente de pressão, quando <jJ for as componentes do vetor velocidade. A Eq. (2.4) pode, ainda, representar a conservação de outras proprieda- des, como, por exemplo, energia cinética turbulenta (k) e dissipação da energia 'cinética. turbulenta(€), gerando outras duas equações diferenciais que se acres- centam ao sistema quando o modelo (k-c) é usado para modelar problemas de escoamentos turbulentos. Para. um problema monofásico com mais de um com- ponente na fase, a concentração de cada componente (C) pode ser calculada com a Eq. (2.4), empregando-se os parâmetros mostrados na Tab. 2.2. O fechamento do problema. é obtido com a equação de estado p = p(P,T) (2.5) obtendo-se assim, para um pr9blema tridimensional compressível, seis equações (conservação da. massa, Navier-Stokes nas três direções, energia. e estado), para seis incógnitas p, u , v, w , P e T. A .~711:tl.os M nlm1uílicos das Eqwiço<'s <fo Conse1·urtçâo l G T a b e la 2.2 - Valores de</>, r 9 e stl>. 11:q1n1.çiiD de conservação </> r<P s<ti . IVlassa global 1 o o 8 8 2 -Bx + (JX (wrfi - 3 ~I \l . V) + < l1111 11t,idade de movimento cm x li ~i ô ( ôv ) + D ( ôw ) âP Q1i W(Ji Fz µ 'dX - dit B + ô (~tôv _ zp.\i . \l) + y OyOy :J <luantidade de movimento em y V µ 8 ( ôu) + ô ( ôw) ôP Qx µFy Oz µ(Jy - 1Jy B ô ( âw 2 \J V) z + 7'iZ Wtfz - 3µ ' + c.iuanticlade de movimento em z w µ â ( ôu) + ô ( âv) ôP <n µ crz 7fii . µõZ - a;: Energia" T .!!_ .L DP + E..°ip e., c1, 7:JT , c1, Massa de um componente i e pD o * <l> é o termo de dissipação viscosa. A equação ~ara ·<1> pode ser encont1:ada 11111 (12). ) 16 C. n. Maliska 2.2 - Problemas Elípticos, Parabólicos e Hiperbólicos 2.2.1 - Introdução A classificação dos problemas em elípticos, parabólicos e hiperbólicos pode ser feita facilmente, de acordo com o tipo da equação que governa o fenômeno, utilizando-se a relação entre os coeficientes da equação diferencial parcial. Esse tipo de classificação é puram ente matemático e pouco ajuda na escolha do método numérico. Considerando, ainda, que os problemas de transferência de calor e mecânica dos fluidos são governados por sistemas de equações, a clas- sificação do sistema é sempre mista. Por exemplo, as equações de conservação para escoamentos cornpressívcis formam um sistema de equações denominado misto hiperbólico/parabólico, se os termos transientes· sã.o mantidos, e misto elíptico/hiperbólico, se os mesmos são desprezados. É mais didático não clas- sificar o sistema de equa.ções como um todo , mas sim apontar o caráter das equações em cada, direção coordenada. Por exemplo, a equação do movimento transiente, considerando-se os efeitos viscosos em todas as d ireções coordena- das, é uma equação. parabólica no tempo e elíptica no espaço. A seguir , são dados exemplos dessas classes ele problemas . 2.2.2 - Problemas Parabólicos e Hiperbólicos Do ponto de vü; t.a numérico, é importante reconhecer as características das equações para que se possa tirar vantagens computacionais, como tempo de computação e armazenamento das variáveis. E é precisamente interpretando as vantagens computaCionais que é mais útil definir os problemas de transferência de calor e mecânica dos fluidos em problenrns que permitem a sua solução pelo processo de marcha. cm uma determinada coordenada (temporal ou espacial) e aqueles que não permitem este procedimento. Procurando compatibilizar esta definição com a definição matemática, po- demos dizer que problemas hiperuólicos e parabólicos permitem o procedimento de marcha, enquanto os elípticos não o permitem. Problemas de marcha são aqueles que não nccessiL:nn de condições de contorno a jusante, isto é, depen- dem apenas de informações a. montante. Os termos convectivos das equações de Navier-Stokes são termos parabólicos, sendo fácil e11te11der que, se não existir outro meio de transporte da propriedade presente na equação, não será possível que informações a jusante sejam transmitidas a montante, uma vez que as in- formações da convecção viajam apenas no sentido da velocidade e levadas por ela. A Fig. 2.2 mostra o clássico problema parabólico do escoamento bidimen- " sional sobre uma placa plana. Neste problema os efeitos de difusão na direção x são desprezados e não existem efeitos de pressãO a montante (uma vez que não Aspectos Matemá.t.icos deis Equações <lc Conset'tmçao 17 1•xiHtem obstciculos ao escoamento). Logo, na direção x, resta apenas o termo <"Onvectivo, não havendo necessidade, portanto, de condições de contorno a ju- sante. O problema, ent.ão, é solucionado marchando-se das condições iniciais <' resolvendo-se um problema unidimensional elíptico em cada estação x . A solução marcha até onde exista interesse em obtê-la. Computacionalmente, existe uma grande vantagem neste tratamento, pois o armazenamentonecessário é apenas correspondente a duas estações: a de cálculo e a montante, ao passo que, se o tratamento for elíptico, necessita-se do armazenamento global. Ainda mais importante é o fato ele que a solução com- pleta é um conjunto de soluções unidimensionais independentes, extremamente mais rápida do que a solução envolvendo todos os pontos da malha. Observe que neste problema a ordem da mais alta derivada em x (a do t.ermo convectivo) é 1, sendo necessária, por esta razão, apenas uma condição de contorno para o eixo :i: . Essa condição é a do início da placa. Através da ordem das derivadas é, também, uma forma de identificar se o problema é parabólico ou elíptico em urna dada direção. A diferença entre a marcha parabólica e a marcha hiperbólica é que a primeira ::;e <lá ao longo de uma coordenada, e a segunda ao longo das carac- terísticas do problema. A dificuldade da marcha hiperbólica está no fato de que, geralmente, não sabemos as condições de contorno elo problema elíptico na(s) outra(s) direção(ões). Quando isso acontece, fica mais fácil tratar o problema eHptica.mente em todas as direções. · Seção de cálculo u .. --- Necessidade de armazenamento de ~ variáveis em duas estações. ..... ---~ ---- t Condições iniciais (x • O) ~ Fig. 2.2 - Camada limite sobre placa plana. . . . , .. X 18 C. R. Maliska 2.2.3 - Proble m as E lípticos Os problemas elípticos são aqueles nos quais as informações físicas se trans- mitem em todas as direções coordenadas. Efeitos difusivos e de pressão são efei- tos elípticos os quais, se presentes no fenômeno, requerem o estabelecimento de condições de contorno em ambos os sentidos da coordenada em consideração. Ou seja, esses efeitos viajam também no sentido contrário ao da velocidade, conferindo característica.5 elípticas ao escoamento. . É fácil entender fisicamente que, em um dado meio, quando acontecer uma elevação de temperatura em algum ponto, o calor se transmitirá. em todas as direçôes, de acordo com o valor da condutibilidade térmica. A difusão de calor, bem como de massa e quantidade de movimento, são fenômenos elípticos e, portanto, requerem condiçôes de contorno em toda a fronteira do domínio. Também é fácil perceber que uma perturbação de pressão em um ponto do domínio se transmitirá em todas as direções. Basta jogar urna pedra na água e verificar que não existe direção preferencial para a propagação da perturbação. Elfpt;oo 111111111 ~1111111111 .. X Jllllllllll Parabólico .. X Hiperbólico X Fig. · 2.3 - Caracterização das coordenadas. Observe, ainda, que os termos difusivos possuem derivadas de segunda or- dem, requerendo, portanto, condições de contorno nos dois extremos do domínio de solução no eixo considerado. A Fig. 2.3 mostra o domínio de influência de um ponto P sobre o escoa- mento nos casos elíptico, parabólico e hiperbólico. Considerando a coordenada Asvectos Matemáticos das Equações de Consernação 19 ,,. mostrada, uma perturbação no ponto P irá influenciar o domínio a montante •' a jusante de P, no caso elíptico; apenas a jusante de P , no caso par abólico; e 11,pcnas a jusante de P e em uma determinada região (obviamente não conhe- rida) no caso hiperbólico. O primeiro problema não admite o procedimento de ' marcha, enquanto os outros dois o permitem. Para dar mais um exemplo e finalizar esta seção, considere o escoamento 1mpersônico sobre o corpo ele revolução apresen~ado na Fig. 2.4, onde apenas um plano é m ostrado, devido à simetria. A região de escoamento é dividida <'m três partes. Na região I a velocidade é constante e igual a u 00 (escoamento não perturbado) . A região II é de Ma.eh < 1, subsônica e, portanto, elíptica, <' a região III é supersônica (hiperbólica), conseqüentemente, admitindo um procedimento de marcha para a solução. A Fig. 2.5 mostr11 um possível sistema de coordenadas generalizadas para a solução deste problema. __.. __.. Uoo (M > 1) _.. (I ) _.. _.. __.. __.. ...... _.. _.. Choque ~ Região supersôtúca ( ill ) Fig. 2.4 - Escoamento supersônico sobre um corpo rombudo. Vamos iniciar os comentários sobre a física deste problém'a, considerando a equação pe Euler, isto é, sem a existência de termos viscosos. A região II é uma região elíptica, porque, devido à presença do corpo , a ondã de pressão formada "viaja" em sentido :contrário ao escoamento, com a velocidade do som local. Quando o escoamento tem velocidade igual à velocidade com que viaja a informação, estabelece-se a onda. de choque e, a. montante dessa onda, temos a região I, onde o escoamento é não perturbado. Quanto ma.is alta a velocidáde do escoamento, mais perto do corpo se dará a. onda de choque. É fácil ver que, quando o escoamento é subsônico, n~ existe a formação de onda de choque, porque a onda de pressão que via.ja{em sentido contrário ao escoamento propaga-se até o infinito. O escoamento não tem condições, neste caso, de impedir a. propagação, pois sua velocidade é menor. A região III é totalmente supersônica. Pela inexistência de efeitos difu- sivos (escoamento invíscido) e de pressão (o corpo não possui reentrâncias ou saliências nesta região), os efeitos se propagam apenas a j usante. Essa carac- terística permite que a região III possa ser resolvida por um processo de marcha. ... 20 C. R. Maliska Caso considerássemos os efeitos viscosos, a região III apresentaria. a formação da camada. limite viscosa perto do corpo, podendo, se desejado, ser dividida em outras duas, onde o problema da camada limite seria resolvido interativa- mente com o escoamento invíscido (supersônico). Nesta região, o problema é mais uma vez de marcha ao longo do corpo. O mais conveniente é continuar resolvendo a região III como um único domínio , e a interação entre os efeitos viscosos e invíscidos seria então levada em consideração automaticamente. Até agora comentamos as características físicas específicas ~e cada região do escoamento, sugerindo um modelo numérico adequado para cada uma delas. Obviamente, as regiões I,II e III podem ser resolvidas como um único domínio de cálculo, evitando-se separar os problemas em regiões cujas fronteiras não são conhecidas. Este é o procedimento adotado neste texto e que será. mostrado no Cap. 15. Fig. 2.5 - Sistema de coordenadas para o problema da Fig. 2.4 . 2.2.4 - Transiente Real e Dis torcido Considere-se o problema da transferência de calor bidimensional transiente em uma placa com condutibilidade térmica dependente ela tempera.fora . De · acordo com nossas definições, este problema é parabólico no tempo e elíptico 11as duas direções espaciais. Se. para este problema não esLivermos interessa.dos na. solução transiente, mas apenas na de regime permanente, duas maneiras de atacar o problema podem ser empregadas. A primeira, mantendo o termo tran- sientc, requer a solução do problema bidimensional espacial para cada tempo. A .~Jl('ci.os Mátmnát,icos das Equaçõ<1s rfo Gonse1'V<içào 21 1 '11 11111 11110 <'!'li.amos interessados no transiente real, podemos avançar no tempo , 11111 vc·~ q11<' recalculamos a matriz dos coeficientes, que é variável devido à 11 ln1;no da condutibilidade térmica. O transiente seguido resulta distorcido, p11lr1 11 problema não foi convergido para cada intervalo de tempo. /\ H<'guuda maneira é retirar o termo transiente da equação. Da mesma l11111m que na anterior, o problema deverá ser resolvido diversas vezes, pois de- 1•1•11t H<'I' 'tLualizacla a matriz dos coeficientes que dependem da condutibilidade t 1•111dr11 H. qual, por sua vez, depende da temperatura. Estas sucessivas iterações "'11ilv1dmn a realizar a marcha distorcida no tempo, se o termo transiente for 11111111.ido. O C'nsinamento extraído é que, existindo ou não o termo transiente nas • 111111<;ô<'s, se as mesmas forem resolvidas necessitan do de algum tipo de iteração, 11 111 or<'dimento é equivalente a marchar no tempo. Por esta razão, nos proble- 11 111'1 it.c•rativosé sempre recomendável manter a coordenada tempo, seguin do-se , 1 t m11Hicnte real ou distorcido, de acordo com a solução desejada. Ou seja, nu- 1111 1drnmente, a manutenção da coordenada tempo não aqarreta complicações 11dll'ionais e devemos tiúu· proveito disto, criando métodos numéricos onde o 11v11 1iço no tempo pode ser usado como um parâmetro de relaxaçã.o. Desta l111111a, o coeficiente de relaxação fica controlável pelo usuário. Vale lembrar que, em um problema onde apenas a solução de regime per- 11111 11 c•11te é desejada e o termo transiente foi mantido, a estimativa do campo ili• variáveis para iniciar o processo iterativo faz o papel dos valores iniciais da 111dAvel. :J.3 - Exercícios 2.1 - Para se familiarizar com as equações de conservação, escreva as 11:qH. (2.1) a (2.3), termo a termo, para as seguintes situações: , a.. Incompressível viscoso. b. Compressível viscoso. c. Compressível invíscido (~uações de Euler). Existe ~ecessidade de alguma outra equação, além das citadas, para fechamento dos proble- mas? d . A equação da energia na forma apresentada pel~Eq. (2 .3) considera. o cp constante. Como fica esta equação se o cp não for constante? Quais são as expressões de </>, r<1> e S para este ca ? e. Usando a Eq. (2.2) , mostre que os termos fonte S'"" su e sw contêm apenas a.s forças de campo e de pressão, se p e µ são constantes. 2.2 - Considere o escoamento bidimensional incompressível, com tra.ns- l1•n•ncia de calor, de dois componentes formando uma única fase com concen- 1 rnc;ões C1 (x, y) e C2(x, y) . Escreva o sistema de equações diferencia.is .parciais q11<' deve ser resolvido para a determin ação de todas as variáveis envolvidas, 22 C. R. M o.liska ou seja, tt , v, P , T , C1 e C2. Quais seriam as condições de contorno para essas variáveis, para a situação em que o escoamento é de ar seco sobre uma lâmina d'água, admitindo-se a superfície da água rígida? y O; , T; ' 20 '. Fig. 2.6 - Escoamento entre placas paralelas. Prob. 2.3. 2.3 - PaJ:a o problema do escoamento bidimensional incompressível entre duas placas planas paralelas, conforme a Fig. 2.6, escreva, em coordenadas cartesianas, a forma da equação da energia adequada ao problema. Dê as condições de contorno necessárias para os casos em que a velocidade (ou o número de Peclet, para ser mais rigoroso) tende a zero e ao infinito. 2.4 - A equação â â âP â · ( âu ) - (puu) + -(pvu) = - - + - µ.- âx ây âx ây ây (2.6) é a equação do movimento para o escoamento sobre uma placa plana após terem sido feita.s a.s hipóteses da camada limite. De acordo com a forma de definir coordenadas elípticas e parabólicas apresentadas no texto, . classifique esta equação e diga quais as condições de contorno necessá1·ias para a sua solução. Comente, também, sobre a forma de determinar o gradiente de pressão em tais problemas. 2.5 - Para o problema bidimensional de condução de calor mostrado na. Fig. 2.7, onde existe uma geração de calor uniforme q"' , por unidade de tempo e volume, qual é a restrição que deve ser obedecida para que na face norte seja possível aplical· uma condição de fluxo prescrito? Se isto não for respeitado, quais serão as conseqüências do ponto de vista de obtenção da solução? 2.6 - A equação governante do movimento vibratório de uma mola sob tensão fixada em seus extremos é dada por Ô2'U â2u -= c2 -ât2 âx2 (2.7) A .~vectos M ntemáticos das Eq·uações rle Conser·7mç'io 23 1111tl11 11. (•o d0slocamcnto, to tempo, x a coordenada espacial e e uma constante. 1 'l 11 ~H ifiq 11t' 0sta. equação e dê as condições de contorno necessárias para a solução il1 •Ml I' probl('ma. y ~ 1 b ~ ~ - ~ (w2) > ~ m (:2) l ~ . - q"' ( :3) - \..-isolado X I••- - ---- a - - - - - - Fig. 2. 7 - Condução bidimensional. Prob. 2.5. \ CAPÍTULO TRÊS Obtenção das Equações Aproximadas Aspectos Gerais 3.1 - A Tarefa do M ét odo N um érico A tarefa de um método numérico é resolver uma ou mais equações diferen- ciais, substituindo as derivadas existentes na equação por expressões algébricas que envolvem a função incógnita. Um método analítico que tivesse a habili- dade de resolver tais equações nos daria a solução em uma forma fechada e seria pos.sível, então, calcular os valores das variáveis dependentes em nível infinitesimal, isto é, para um número infinito de pontos. · Por outro lado, quando decidimos fazer uma aproximação numérica da equação diferencial, aceitamos ter a solução para um número discreto de pon- tos, esperando que, quanto maior for este número de pontos, mais próxima da solução exata será a nossa soiução aproxi_mada (ou numérica). É fácil entender então que, se decidirmos calcular 100 valores da variável no domínio, teremos 100 incógnitas, sendo necessárias 100 equações algébricas para o fechamento, formando um sistema de 100 equações a 100 incógnitas. Se quisermos tornar mais precisos nossos cálculos, aumentando o número ele incógnitas, o sistema li- near a ser resolvido, logi camente, também vai aumentando, proporcionalmente, em número de equações. O esforço computacional também cresce e de forma não-linear. A Fig. 3.1 exemplifica a tarefa do método numérico, na qual uma equação diferencial escrita. em nível infinitesimal e definida para o domínio D é transfor- mada em um sistema de equações algébricas. Para isto, as derivadas da função existentes na equação diferencial devem ser substituídas p·elos valores discretos da função. A maneil·a de obter essas equações algébricas é que caracteriza o tipo do método numérico: Nossa preocupação, neste texto, será apenas com o método dos volumes finitos. Exi1:1 tem, entretanto, algumas considerações que devem ser feitas e que valem para qualquer método. Para tanto, usaremos, inicialmente, o método· ele diferenças finitas, aproveitando também para apresentar e comentar aspec- tos desse método, que foi intensivamente usado no passado em problemas ele escoamento de fluidos e transferência de calor. Obtençcio das Eqiiaçoes Aproximadcis A.~pectos Gerais 25 :1.2- O M étodo de Diferenças Finitas - MDF O primeiro passo para a obtenção das equações aproximadas é promover a tllM<'l't' f,izac;ão do domínio de interesse,.isto é, dividi-lo em células elementares. \ pt•Hnr do não ser necessário, é comum no MDF usar discretização estruturada ( m11st.ruída usando um sistema. coordenado) a.través de coordenadas ortogonais, 1111110 cartesianas, cilíndricas, esféricas, conforme mostrado na Fig. 3.1 para o 1 llHO bidimensional. A Fig. 3.2 mostra uma discretizaçã.o unidimensional que ~t1 1'1Í usada ao longo deste capítulo. D +. ôD Equação diferencial .t(<P)=O e Condições de contorno Método nwnérico Sistema de equações algébricas (A) C<PJ = [B] Fig. 3.1 - A tarefa do método numérico. Considere-se a seguinte equação dife.rencial do problema de condução tran- siente unidimensional ôT ô2T - =a- - ôt ôx2 (3.1) onde T é a temperatura, t o tempo e a a difusividade térmica . A tarefa é representar as derivadas espacial e temporal por expres~ algébricas. Usando sérios de Taylor em torno de P , os valores ela temperalura em E e W podem ser calculados por TE = Tp + - ÂX + - -- + - -- + .. . + . . . ôT 1 ô 2 T 1 Âx 2 ô 3 T 1 Âx 3 ôx P ôx2 P 2! 8x3 P 3! (3.2) Tw = Tp - - ~x + - - - - - - - + · · · - · · · 8T 1 8 2 T 1 Â x 2 asr 1 Âx3 8x P 8x2 P 2! 8x3 P 3! (3.3) ;, 26 C. R. M aliska Dessas equações podemos encontrar as aproximações numéricas das deri- vadas parciais. Usando as Eqs. (3.2) e (3 .3), encontramos, respectivamente, ôT' = Ts-Tp + O (~x) ÔX p ~X (3.4) õJ'I = Tp -Tw +O(~x) ÔX p ~X (3.5) que são as aproximações numéricas , para a frente e para trás, da derivada de primeira ordem. Observe que os erros de truncamento são da ordem de ~x. Somando a Eq. (3 .3) com a Eq. (3.2), obtém-se ô2TI __ Te+Tw-2Tp O(A )2 Ô 2 A 2 + .uX X p .uX (3.6) que é a aproximação numérica para a derivada de segunda ordemem d.iferenças centra.is. Neste caso, o erro de truncamento é da. ordem de (~x)2 • 'Il-abalhando com as expansões da funçã.o em série de Taylor, é possível, usando mais termos da série, representar derivadas de qualquer ordem. Logicamente, quanto maior for a ordem da deriva.da., e de acordo com a ordem desejada para o erro de truncamento, mais pontos serão necessários em torno de P. As aproximações dadas pelas Eqs. (3.4) a (3.6) sã.o suficientes para o nosso exemplo. O leitor interessado pode consultar [4J, onde uma completa ta.bela de aproximações numéricas de derivadas pode ser encontrada. A seguir, as diferentes formulações são empregadas no contexto do método dai diferenças finitas. w p E 1414--- Ô.X ----·1>1'+4--- Ô.X ----·' Fig. 3.2 - Discretização unidimensional. 3.3- Formulações Explícita, Totalmente Implíc ita e Implícita Considere-se a Eq. {3.1) do problema de difusão de calor tra.nsientc que deverá ser aproximada numericamente usando as Eqs. (3.4) a (3.6). A apro- ximação do termo t ransiente, de acordo com a Eq. (3.4), onde a variável iudc- pendcnte agora é o tempo, é da.da por Obtenção das Equações Aproximadas Aspectos Gerais 27 ôT 1 = Tp - Tf, +O (ó.t) (3.7) ôt p ó.t onde Tp e T'j, são os valores da t.emperatura do ponto P no nível de tempo no qual se busca a .solução e no anterior, respectivamente. Lembre que as temperaturas no nível de tempo anterior são conhecidas cm todos os pontos do dom ínio. Uma questão importante surge agora com relação ao nível de tempo no qual será avaliado o lado direito da Eq. (3.1) . Lembrando que este termo representa ------os fl~xos~~ e que estamos avançando a. solução de um nível de tempo para outro, devemos decidir se vamos avaliar esses fluxos no início, no fim ou em uma posição intermediária do intervalo ele tempo. Denotando por 8 a posição, no intervalo de tempo, de avaliação cio termo difusivo, temos a seguinte aproximação num~rica para a Eq. (3.1). Tp - Tf, ri + rei, - 2ri 6.t =a 6.x2 (3.8) A partir da. Eq. (3.8) podemos gerar todas as formulações, as quais são discutidas a seguir. 3.3.1 - Formulação Explícita Escolhendo 8 = O, teremos a formulação exp lícita, onde todas as tem- peraturas vizinhas a P são avaliadas no instante anterior e, portanto, já são conhecidas. É possível explicitar a incógnita da equação (Tp) em função de temperaturas vizinhas, toda. conhecidas. Como temos uma equ~ção para cada ponto discre~o e, em cada uma destas equações,. as temperaturas vizinhas são sempre do instante anterior, a formulação explícita dá. origem a. um· conjunto de equações algébricas que podem ser resolvidas uma. a uma', obtendo-se a temperatura em cada ponto do espaço para. o novo nível de tempo. Devemos <'nfatiza.r que, pelo fato de as equações não serem acopib.clas entre si, não existe a necessidade de resolver uma matriz. Por isso a denorAÍnação conjunto e não sistema de equações. )Jestc ponto, é conveniente apresentarmos um exemplo, <'mpregando a formulação descrita. Imagine-se o problema ela condução unidimensional tI'ansiente sendo resol- vido na malha mostrada na Fig. 3.3. No instante de tempo inicial, a distribuição ele• tcmp<'ratura é dada por T1 = O, T2 =O, T3 = O, T1 =O e Tõ = O, quando, r<'pentinamente, a temperatura T1 passa para 100 e T5 é maJ1tida em zero. A física deste problema nos ensina que o calor começa a penetrar o domínio, au- 111<'11t.a11do a sua temperatura, até que o regime permanente seja atingido. Os div<•rsos p<'rfis ele temperatura com o tempo são exponenciais, saindo de 100 (f('tll(H'rnt.11r11. da fac<' <'S((u<'l'cla) <' ch<'ganclo a O (tcmpC'rnt.ura da face dir<'ita), rn111'or111<' ntost.rn, <'sq11<'1111tt.ic:u11<•11t.C' n Pig. 3.4. 28 C. R. M aliska 1 • 2 3 r. __ ! t.x 4 • 5 • Fig. 3.3 - Malha para o problema unidimensional tra.nsiente. A Eq. (3.8), considerando a formulação explícita, tem a forma Tp = (1 - 2r) Tf, + rTf; + rTw e ·d d cró.t 1 · 1. ºdad ons1 eran o r = (.6.x)2 = 2, por s1mp ic1 e, temos Tp = ~ (Tf; + Tfv) (3.9) (3.10) de onde podemos obter o conjunto de três equações para avançar as tempera- turas dos pontos 2, 3 e 4 no tempo. As equações ficam T2 = ~ (T3 +Tf) T3 = ~(T.f+ Tí) T4 = ~ (Tt + T3) (3.11) Observe-se que essas equações não são acopladas entre si e podem ser resolvidas uma a uma, tantas vezes quantos fore~n os níveis de tempo desejados. Se for de interesse mudar o 6.t ao longo do tempo, basta mudar o valor der e obter novas equações. A Tab. 3.1 mostra os valores da. temperatura para alguns intervalos ele tempo. Continuando-se a evolução ao longo do tempo, iremos determinar a solução ele regime permanente, dada por 100, 75 , 50, 25 e O. :'-Jeste caso, quando o regime é permanente, a Eq. (3.1) fica reduzida. à derivada segunda igual a zero. Como a aproximação numérica dessa derivada reproduz o perfil linear, a solução numérica. de regime permanente é a própria solução exata, urna vez que a solução exata é uma reta e, portanto, o númem de pontos espaciais não influencia a solução. Ou seja, a solução é independente do tamanho da malha. A distribuição espacial de temperatura ao longo elo tempo, entretanto, não está correta, visto que seu comportamento é exponencial no espaço e no tempo. Para captar adequadamente o t ransientc, malhas refinadas no espaço e no tempo são necessárias. A formulação explícita possur!u:ma limitação importante com relação ao ·1i tamanho do intervalo de tempo que pode ser adotado para avanÇar a solução. Para este problema simples que estamos analisando, onde as aproximações numéricas foram de derivadas para a frente no tempo e diferenças centrais no Obtenç<i.o <ln.~ Eqirnçôes Aproxirna.das Aspectos Gerais 29 Tab e la 3.1 - Solução numérica da Eq. (3.1). '1'1•111 po o 1 2 3 4 Regime permanente Po11I o 1 100 100 100 100 100 100 l 10111.o 2 o 50 50 62,5 62,5 75 Ponto 3 o o 25 25 37,5 ·50 Pouto 4 o o o 12,5 12,5 25 l 'm1to 5 o o o o o o T 100 Solução de regime permanente 2 3 4 5 X Fig. 3.4 - Comportamento da solução transicntc. 1·~p11.c.;o, é possível mostrf.l!t, utilizando a análise de von Neumann [4,118], que 1 < 1 /2. Observando a Eq. (3.9), vemos que isto significa manter o coeficiente tl1• /'f> positivo. Uma prática importante em esquemas explícitos, portanto, 11 manter este coeficiente sempre positivo. Conseqüentemente, podemos dizer 11111• o intervalo de tempo em formulações explícitas éfimitado pela estabilidade, 1111m vez que, sendo o mesmo bastante restrito pela Eftabiliclade, a precisão, em 11.11ml, fica satisfeita. · :l.:L2 - Formulação Tota lmente Implícita Se na Eq. (3.8) o va lor de e for feito igual a 1, teremos a formulação l11111l111ente implícita, com a seguinte equação discretizada ( 1 ) T º Tp - + 2 = Tg + T w + _e r _ r (3.12) 30 C. R. M aliska onde podemos consLa.tar que não existe mais a possibllidacle do coeficiente ne- gativo para T$. Essa formulação dá origem a um sistema de equações, uma vez que as equações estão agora acopladas entre si. Na Eq. (3.12), as tempe- raturas Te e Tw estão sendo calculadas no mesmo nível de tempo de Tp, o que caracteriza o acoplamento. Para essa equação simples em consideração, tal formulação é incondicionalmente estável e o intervalo de tempo é limitado por precisão . Observe-se que esta formulação é chamada totalmente implícita, porque os valores das temperaturas que entré),m no cálculo do fluxo difusivo são feitos iguais aos valores no fim do intervalo de tempo. Considerando novamente r = ~ , o sistema de equações resultante para esta formulação é dado por T2 = ~ ((T3 + T1) + 2Tf) T3 = ~ ((T4 + T2) + 2rn T4 = ~ ((T;.; + T3) + 2T4') Observe-se que a Eq. {3.12) pode ser escri ta na forma {3.13) (3.14) que, fazendo P = 2, 3 e 4, 01igina o sistema de equações dado pelas Eqs. (3.13), reproduzido a seguir como ·' ' Ai T2 = A;T3 + B2 A}.,T3 = A~T4 + A~uT2 + B3 A~T<t = A!,T3 + B4 (3.1 5) onde as temperaturas T1 e Tr, foramincluídas nos termos independentes B 2 e B4 , respectivamente, pois as mesmas são conhecidas das condições de contorno. Nessas equações foi adot ada uma notação ma.is rigorosa. para. os coeficien- tes, que não será seguida mas merece ser explicada enquanto estamos ainda no início cio texto. Primeiramente, reconheça. que cada uma das equações que formam o sistema (3.15) foi obtida da aplicação do método numérico para um ponto( ou célula) da malha . . Portanto, todos os coeficientes que aparecem em uma equação sã.o coeficientes pertencentes àquele ponto para o qual a equação foi escrita.. Por exemplo, o coeficiente A1:> é o coeficiente ce,ntral da célula 3, enquanto A~ e A~ são os coeficientes leste e oeste ela célula 3, respectivamente. O coeficiente A~, por exemplo, que é um coeficiente da. célula 3, tem a tarefa de conectar a célula 3 com a célula vizinha a leste, que, na numeração que ado- tamos, é a. célula 4. O sobrescrito indicando a que célula pertence o coeficiente, conforme mencionaÇo, será, doravante, omitido. . A solução elo sistema ele equações lineares (3.15) fornece-nos as tempera- turas T2, T3 e T4 . l)pvc SC'l' Lmnbém reconhecido que o sistema (3.13) pode ser escrito na 1111'11111. 11u1.tridal como 11\t [ 1,00 - 0,25 0, 00 [A][T) = [B] (3 .16) -0, 25 O, 00 l [ T2 l [ B2 l 1. 00 -0, 25 T3 Da - 0. 25 1, 00 T1 B4 Note-se que os zeros que aparecem na matriz de éoeficientes ~ão existem t1 xpliC'itamente nas Eqs. (3 .13), pois a forma de escrever estas equações envolve tq Hm<\S as temperaturas que estão ligadas à célula em questão. Como T4 não t1•111 ligação com T2, o coeficiente é, logicamente, zero. O mesmo acontece com f'., <'m relação a T4. Imagine, agora, que nossa. malha t ivesse não apenas três lrw6gnitas, mas, por exemplo, uma centena. É fácil ver que nossa matriz de 1'o<'íicientes teria 100 linhas por 100 colunas. Em cada linha, teríamos apenas :i rncficientes não-nulos com os 97 restantes nulos. Antecipando os acontecimentos do próximo capítulo, vale lembrar que quando métodos iterativos são usados para resolver o sistema linear , trabalha- HI' npenas com os não-zeros da matriz, ao passo que em soluções diretas, como 11llmina.ção de Gauss, por exemplo, todos os elementos da matriz tomam parte 1111s operaç.ões. Como, em geral, as matrizes obtidas n':\ aplicação de métodos numéricos são bastante esparsas, aconselha-se o uso de métodos iterativos para 11v itar operações com zeros. Pàra o caso com três equações e três incógnitas, é fácil resolver o sistema li- 111•ar por substituição. Quando o número de pontos aumenta.consideravelmente, 111étoclos eficientes de solução de sistemas lineares devem ser empregados. Note que o sistema (3.13) deve ser resolvido para. cada intervalÓ cÍe tempo, pois o problema ~m consideração é transiente. Se o interesse for a solução de regime permanente, bastará. faz~ r ~ 00 (infinito a.va.nço no tempo) e resolver o sis- t.rma linear resultante. Novamente, a soluÇ<1.o de regime permanente é igual à <'xata, pelas razões já expostas. 3.3.3 - Formulação Implícita I Na formulação implícita, os valores das temperaturas que entram no cál- culo do fluxo difusivo são tornados como uma média. dos valores dessas tempe- raturas no começo e no fim do intervalo de tempo. O mais conhecido método nesta classe é o ele Crank-Nicolson, onde a temperatura é tomada como uma média aritmética entre as temperaturas Ti e Tp, como Ti = 8Tp + (1 - 8) Tp (3.17) 32 C. R. Mali.~ka É importante observar que basta ser () diferente de zero para que as equações fiquem~acoplad_Sts , cara.tterizando a implicitude entre as mesmas. É comum, na literatura, denominar-se a formulação com () = 1 de formulação implícita e não totalmente implícita, como aqui denominada. A razão para isto é que a grande maioria dos métodos usa () = 1, por razões de estabilidade. A Fig. 3.5 ilustra, para os três tipos de formulações, as conexões existentes entre o ponto P e seus vizinhos, no instante de tempo de cálculo e no instante de tempo anterior. A figura mostra que, quando existem conexões no mesmo nível de tempo de cálculo da solução, as equações são acopladas entre si e é necessária a solução de um sistema linear para obter-se os resultados. 0 = O- Expllcira L~ w p E t w p E t +~ t 0 <0< 1- .w p E t W P E ~~-..~~---. .......... --~~---~~-t+~t 0 = 1 - Totalmente implícita w p E t Fig. 3.5 - T ipos ele conexões nas formulações estudadas. i. Fica como tarefa .ao leitor (ver P rob. 3.4) obter o sistema de equações equivalente ao sistema dado pelas Eqs. (3.13) para o caso ele() = & . Obt.mçrio das Equetçocs Apmximaclas Aspecto,, Gemis 33 a.4 - Consistência, Estabilidade e Convergência Em geral, os problemas práticos de interesse da engenharia e da física 1 IM origem a sistemas de equações complexos sobre cujos comportamentos ma- l 1•111áticos pouco se conhece. Por exemplo, quando temos um problema gover- 111~do por uma única equação, e ainda linear, existem ferramentas matemáticas que podem provar se uma determinada aproximação numérica é estável e con- vPrgente. Quando estamos trabalhando com sistemas de equações não-lineares, 1'(180lvidas em geral de forma seqüencial, onde acoplamentos delicados estão pre- 1w11tes, é muito difícil provar matematicamente que uma aproximação numérica (1 mitável e convergente. Seria um presente maraviJhoso aos usuários de métodos 1111méricos se os analistas numéricos pudessem fornecer as condições (tamanho do malha, tamanho do intervalo de tempo, coeficientes de relaxação, etc.) para que as aproximações numéricas dos problemas acoplados e não-lineares fossem 1•stáveis e convergentes. Por não se ter esses parâmetros é que simular numericamente, a lém de 1•xigir o perfeito conhecimento da física do problema, requer experiência para c•ncontrar os parâmetros que levem o processo iterativo para convergência. Um dos requisitos fundamenta.is de uma aproximação numérica é que ela rC'produza a equação diferencial quando os tamanhos da malha espacial e tem- poral tendam a zero. Isto é, os erros ele truncamento· devem tender a zero quando a malha tender a um infinito número de pontos. A aproximação numérica que possuir essa característica é dita consistente. Em resumo, as rquações discretizadas devem tender às equações diferenciais, quando a ma- lha tender a zero. Aparentemente, esta é uma questão óbvia, mas existem <tproximações na quais os erros de truncamento crescem com o, refinamento da malha [4]. Felizmente, todo modelo numérico desenvolvido a partir das equações nà forma conserva.tiva usando volumes finitos é consistente. · .. Outra característica importante desejada é que a. soluçáo numérica ob- tida seja a solução exata das equações discretizadas, ou seja, tenha estabili- dade. Aqui, diversos fatores interferem, tais com7 erros de arredondamento de máquina, que vão se multiplicando e podem/nstabilizar a solução; difi- culdades de tratamentos de acoplamentos entre as variáveis, fazendo com que algumas variáveis evoluam mais rapidamente que outras, provocando instabili- dades, etc. A questão da estabilidade é o mais sério problema na obtenção da solução numérica, exatamente pela falta de conhecimento das características matemáticas das aproximações, conforme já discutido. Consistência e estabilidade são condições necessárias e suficientes para a conver gência. A solução numérica é convergente quando é estável e tende' para a solução das equações diferenciais quando a malha é refinada. 34 C. R . Maliska 3.5 - Conclus ões Os assuntos tratados neste capítulo, apesar de terem sido apresentados no âmbito do método de diferenças finitas, aplicam-se a qualquer metodologia numérica. A idéia de apresentá-los dessa forma. permitiu que o método de diferenças finitas também fosse enfocado. Nos próximos capítulos, quando o método dos volumes finitos for estudado, os assuntos aqui vistos permitirão traçar os paralelos entre os dois métodos. Será.
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