grafico duplo recíproco, como fazer

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Utilização do MS Excel para calcular 
KM e Vmax a partir do gráfico de 
Lineweaver-Burke 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rodrigo César dos Santos Vida 
2008 
 
 
ÍNDICE 
 
 
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 3 
 
2 TÓPICOS EM CINÉTICA ENZIMÁTICA.............................................................. 4 
2.1 SOBRE AS ENZIMAS........................................................................................... 4 
2.2 A CONSTANTE DE MICHAELIS-MENTEN E VELOCIDADE MÁXIMA.............................. 5 
 
3. FUNÇÕES LINEARES........................................................................................ 7 
3.1 TERMOS DE UMA FUNÇÃO LINEAR....................................................................... 7 
3.2 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA FUNÇÃO ....................................................... 8 
3.3 REGRESSÃO LINEAR ....................................................................................... 10 
 
4 USANDO O MS EXCEL..................................................................................... 14 
4.1 FÓRMULAS E CÁLCULOS .................................................................................. 15 
4.1.1 Digitando uma fórmula .......................................................................... 15 
4.1.2 Utilizando o assistente de fórmulas....................................................... 16 
4.2 CALCULANDO Y EM FUNÇÃO DE X .................................................................... 18 
4.3 CALCULANDO OS COEFICIENTES “A” E “B” DE UMA FUNÇÃO LINEAR ..................... 19 
4.3.1 Calculando o coeficiente “A”.................................................................. 19 
4.3.2 Calculando o coeficiente “B”.................................................................. 19 
4.3.3 Calculando o coeficiente de correlação................................................. 19 
4.4 CRIANDO GRÁFICOS DE REGRESSÃO LINEAR COM O MS EXCEL ........................ 20 
 
5 ANALISANDO KM E VMAX .............................................................................. 22 
5.1 O GRÁFICO DE LINEWEAVER-BURKE................................................................. 23 
 
6. REFERÊNCIAS................................................................................................. 28 
 3 
1 INTRODUÇÃO 
 
 O estudo da cinética enzimática é um importante tópico dentro do 
conteúdo programático da disciplina de bioquímica ou enzimologia. A regressão 
linear é um assunto importante e útil em diversas áreas de conhecimentos. Com 
base nela podemos montar uma curva de calibração e analisar se os dados são 
ou não confiáveis. 
 Para compreender as regressões lineares deve-se primeiro 
compreender as funções lineares, suas características e suas resoluções. 
 O Microsoft Excel (MS Excel) é uma ferramenta simples que pode 
ser facilmente operada para a resolução de todos esses cálculos e de uma 
infinidade de outros. Dentre eles, a determinação da constante de Michaelis-
Menten e da velocidade máxima observadas em uma reação, uma alternativa à 
resolução em papel milimetrado, mais confiável e rápida de fazer. 
 Esse trabalho tem por objetivo introduzir ao leitor as facilidades de se 
utilizar o MS Excel para determinação dessas constantes. Inclui rápidas 
explicações sobre cinética enzimática, explicações sobre funções lineares e os 
métodos de resolução de uma regressão linear manualmente e pelo MS Excel, 
bem como os passos para se criar um gráfico e, finalmente, como calcular as 
constantes de Michaelis-Menten e velocidade máxima. 
 4 
2 TÓPICOS EM CINÉTICA ENZIMÁTICA 
 
 A cinética enzimática, por definição, estuda os processos catalisados 
por enzimas, especialmente a velocidade da reação. As enzimas são 
macromoléculas protéicas com capacidade catalítica capazes de catalisar (ou 
seja, acelerar) reações químicas sobre outras moléculas, denominadas substrato. 
 As enzimas possuem sítio de ligação com o qual se ligam ao 
substrato e catalisam a reação, convertendo o substrato (S) ao produto da catálise 
(P). A enzima não sofre reação durante o processo, de modo que ao fim da reação 
permanece inalterada. 
 
E + S  ES  EP  E + P 
 
 
2.1 Sobre as enzimas 
 
 As enzimas possuem sítios de ligação (centros catalíticos) para com 
o substrato, muitas delas mais de um. Dessa forma, podemos concluir que ao 
aumentarmos a concentração do substrato, aumenta-se também a velocidade da 
reação. Isso é verdadeiro até uma determinada concentração do substrato, 
quando apesar de aumentarmos a concentração do substrato (mantendo a 
concentração da enzima), a velocidade da reação não se modifica. Chamamos 
esse ponto de velocidade máxima (Vmax). 
 Os sítios catalíticos são extremamente sensíveis ao substrato com o 
qual são colocados. Assim há uma especificidade por parte das enzimas para com 
determinados substratos. De fato, para certos substratos há apenas uma enzima 
específica capaz de catalisar uma reação com eficiência. 
 Algumas enzimas podem ser influenciadas por outros elementos 
presentes no meio. Algumas enzimas possuem um sítio de ligação especial onde 
elementos moduladores podem se ligar influenciando na reação: moduladores 
negativos diminuem a velocidade da enzima, enquanto os positivos aumentam-na. 
As enzimas com tal propriedade são denominadas enzimas alostéricas. 
 5 
2.2 A constante de Michaelis-Menten e velocidade máxima 
 
 Como já vimos as enzimas são saturáveis. Isso implica que um 
gráfico de velocidade enzimática não será linear, mas a partir de determinada 
concentração de substrato descreverá uma curva. 
 
 
 
 A concentração do substrato é, portanto, fator determinante para 
atingir a velocidade máxima, como mostrado no gráfico acima. A constante de 
Michaelis-Menten (KM) fornece a quantidade de substrato necessária para se 
atingir a metade da velocidade máxima. A medida da velocidade máxima é a 
medida da quantidade de substrato convertida em produto em dado período de 
tempo, e pode ter como unidade M.min-1. A unidade de KM é a mesma para a 
medida do substrato (mM, M...). 
 Um erro bastante comum é acreditar que KM será numericamente 
igual a metade de Vmax. Observe que KM diz respeito a uma medida de 
concentração de substrato, enquanto Vmax é a medida da velocidade de 
transformação do substrato em produto. Podemos concluir que o quociente de KM 
por Vmax não necessariamente será igual a 2. 
 Conhecer as concentrações de KM e Vmax são importantes pois 
garantem o uso racional das enzimas. Muitos catalisadores enzimáticos são 
sintetizados em pouca quantidade ou são comercialmente caros e, portanto, 
 6 
devem ser usados com sapiência. Para calcular esses valores há diferentes 
metodologias. Existem disponíveis no mercado programas baseados em 
regressão não linear, capazes de fornecer respostas precisas a partir do gráfico da 
curva da cinética enzimática. No entanto, nem sempre temos acesso fácil a tais 
programas sofisticados. 
 Outra forma de calcular KM e Vmax é utilizando a plotagem dos 
dados em papel milimetrado, onde a curva é linearizada e as informações são 
obtidas através da regressão linear dos coeficientes da equação. Esse método 
pode ainda ser utilizado no programa MS Excel, mais simples e fácil de ser 
encontrado em computadores domésticos, e que fornece dados bastaste precisos 
e confiáveis. 
 7 
3. FUNÇÕES LINEARES 
 
3.1 Termos de uma função linear 
 
 Uma função é uma equação matemática com pelo menos uma 
incógnita, onde para cada valor atribuído haverá valores referentes, ou em função 
deste. Trata-se de relações matemáticas especiaisentre dois objetos. 
 No caso das equações lineares (de primeiro grau) as funções 
apresentam a seguinte formulação básica: 
 
  abxxf  
 
 Onde X são os valores conhecidos (atribuídos) e Y são os valores 
determinados em função da X segundo a equação. Matematicamente falando, X 
corresponde ao conjunto domínio e Y, ao conjunto imagem da equação. Os 
termos “b” e “a” são coeficientes da equação, onde “b” é chamado de inclinação 
da reta e “a” é o termo independente. 
 Em uma função linear, para cada valor X atribuído, é possível 
calcular o valor de um – e apenas um – Y correspondente. Os valores atribuídos 
para X podem ser feitos de maneira aleatória. Observe a função abaixo: 
 
  42  xxf 
 
 Para calcular esses valores correspondentes de Y, basta substituir os 
valores atribuídos para X na equação. 
 
X Y f(x) = 2x + 4  y = 2x + 4 
-3 -2 y = 2 * (-3) + 4 = -2 
-2 0 y = 2 * (-2) + 4 = 0 
-1 2 y = 2 * (-1) + 4 = 2 
0 4 y = 2 * 0 + 4 = 4 
1 6 y = 2 * 1 + 4 = 6 
2 8 y = 2 * 2 + 4 = 8 
3 10 y = 2 * 3 + 4 = 10 
 8 
 
3.2 Representação gráfica de uma função 
 
 As funções possuem uma representação gráfica baseada em 
coordenadas (X,Y) em um plano cartesiano. A coordenada abcissa (horizontal) 
corresponde aos valores definidos para X, e a coordenada ordenada (vertical) 
corresponde aos valores encontrados para Y. 
 No caso do exemplo anterior, quando colocados no plano cartesiano, 
os valores descreverão o seguinte gráfico: 
 
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
 
 
 Podemos observar que as funções do primeiro grau são ditas 
lineares, pois sua representação gráfica sempre tende à linearização. Um gráfico é 
a representação visual de uma função, e a partir dele podemos tirar importantes 
conclusões: 
 
 O ponto em que o gráfico toca o eixo X (ou seja, onde Y = 0) corresponde à 
raiz da equação. A raiz de uma equação é fornecida quando igualamos a 
função à zero. Nas funções lineares, há apenas uma raiz, e ela sempre está 
presente. 
 9 
 O termo independente “A” é a coordenada onde o gráfico toca o eixo Y (pois 
então X = 0) quando ambos os eixos possuem a mesma origem. 
 
 A inclinação da reta “B” define o ângulo de inclinação do gráfico. Se o valor de 
“B” é positivo, diz-se ter um gráfico crescente. Quando o valor de “B” é 
negativo, um gráfico decrescente. 
 
 No caso de uma equação quadrática (de segundo grau, onde há uma 
incógnita X elevada ao quadrado). O gráfico é definido como uma parábola que 
corta o eixo X em dois pontos, evidenciando duas raízes distintas (o X’ e X’’ da 
fórmula de Bháskara), apenas em um ponto, no caso de raízes coincidentes 
(quando  = 0) ou não tocar em ponto algum, no caso de não houver raízes 
(quando  < 0). No caso de uma equação do primeiro grau, todas as funções 
possuem raízes, mesmo que não estejam demonstradas no gráfico. 
 10 
3.3 Regressão linear 
 
 Nos modelos clássicos estudados temos a equação (função) linear e 
utilizamos valores de X para determinar Y, seguido da representação gráfica. Mas 
no caso de termos o gráfico, ou os valores de X e Y, precisamos determinar a 
equação que originou esses valores. Para isso utilizamos a regressão linear, 
também chamada técnica dos quadrados múltiplos. 
 Deve-se observar que a regressão é característica da função 
utilizada, sendo assim temos regressões logarítmicas, potenciais, de média móvel 
e polinomiais, onde a ordem define o expoente maior (quadráticas, de terceiro 
grau, etc). Quando nos referimos a uma regressão de ordem um, ou seja, uma 
função de primeiro grau, estamos tratando de uma regressão linear. 
 Os termos de uma função linear podem ser calculados através das 
seguintes fórmulas: 
 
N
xx
N
yxxy
B 2
2 )(



 xdemédiaBydemédiaA  
 
 Note a necessidade de primeiro se determinar o valor de “B” para 
depois determinar o termo independente “A”. 
 
N Número de termos da determinação, ou de pontos na reta. 
x Somatória dos valores de X. 
y Somatória dos valores de Y. 
xy Somatória dos produtos entre X e Y. 
x² Somatória dos valores dos quadrados de X. 
(x)² Somatória de X elevada ao quadrado. 
 
 As médias de X e Y (Mx e My) são obtidas pela soma de X dividido 
pelo número de termos (N), ou seja, a média aritmética simples dos valores. 
 
 11 
UM EXEMPLO... 
O quadro abaixo demonstra os valores sugeridos para X e Y: 
 
X Y 
-3 -8 
-2 -5 
-1 -2 
0 1 
 
Pede-se a função geratriz desses valores. 
 
Para facilitar os cálculos e evitar erros, sugerimos a utilização de 
uma tabela de resoluções como a que exibimos a seguir. É fortemente sugerido 
sempre realizar todos os cálculos antes de inseri-los na fórmula. 
 
x y xy x² 
-3 -8 24 9 
-2 -5 10 4 
-1 -2 2 1 
0 1 0 0 
x -6 y -14 xy 36 x² 14 
(x)² 36 My -3,5 
Mx -1,5 
 
 Substituindo na fórmula da regressão linear, obtemos: 
 
3
4
3614
4
14636




B
 1)5,13()5,3( A 
 
 Assim podemos concluir que a equação linear de onde derivam os 
resultados apresentados no início do exemplo é 3x+1, o que demonstra ser 
verdadeiro, pois quando substituímos na expressão obtida os valores de X 
sugeridos obtemos exatamente os resultados de Y sugeridos (a “prova real”). 
 12 
 Em alguns casos, quando realizamos a “prova real”, observamos que 
mesmo colocando os resultados para X sugeridos no início do exercício os 
resultados de Y são levemente diferentes daqueles sugeridos. Esse fenômeno 
acontece principalmente quando os valores para A e B obtidos não são valores 
inteiros. Isso se deve porque nem sempre os valores de X para a variável Y 
respondem perfeitamente a uma função, como demonstrado no exemplo anterior. 
Muitas experiências práticas que utilizam valores conhecidos para se 
determinar outros (X determinando Y) são influenciados por diferentes variáveis e 
limitações do próprio experimento. A regressão linear fornece os resultados mais 
prováveis dentro de um horizonte de eventos. É possível, no entanto, mensurar 
essa confiabilidade através do cálculo do coeficiente R², também chamado 
coeficiente de Pearson ou coeficiente de correlação. R² está compreendido entre 0 
e 1, que respectivamente representam totalmente incorreto e totalmente confiável 
(0% de acerto e 100% de acerto, ou accuracy). Dessa forma podemos condicionar 
os resultados a níveis confiáveis e, se necessário, excluir os resultados que 
sofreram muita variação por fatores alheios ao experimento, como problemas com 
diluição ou tempo de leitura incompatível com a técnica. 
R pode ser calculado com base na seguinte expressão: 
 
   )²(²)²(²
)(
yyNxxN
yxxyNR


 
 
N Número de termos da determinação, ou de pontos na reta. 
x Somatória dos valores de X. 
y Somatória dos valores de Y. 
xy Somatória dos produtos entre X e Y. 
x² Somatória dos valores dos quadrados de X. 
y² Somatória dos valores dos quadrados de Y. 
(x)² Somatória de X elevado ao quadrado. 
(y)² Somatória de Y elevado ao quadrado. 
 
 Observe a necessidade de se elevar ao quadrado o resultado obtido 
para R (apenas R² corresponde ao coeficiente de correlação). 
 13 
 No exemplo anterior, obteremos para R² o seguinte cálculo: 
 
x y xy x² Y² 
-3 -8 24 9 64 
-2 -5 10 4 25 
-1 -2 2 1 4 
0 1 0 0 1 
x -6 y -14 xy 36 x² 14 y² 94 
(x)² 36 (y)² 196 
 
   
1
19694436144
)146(364



R 
 
 O quadrado de 1 é 1, e portanto a confiabilidade na regressão obtida 
é de 100%. Prova disso é que os valores sugeridos para X geram por essa 
expressão, os valoressugeridos para Y sem a menor diferença. 
 Agora, observe os seguintes valores: 
 
X Y 
15 31 
30 61 
45 92,6 
60 122,9 
75 151,5 
90 180 
105 210 
 
 A expressão obtida através de regressão linear é Y = 1,98X + 2,15. 
Esses valores foram aproximados. R² obteve 0,9997, o que significa que os 
valores de X, quando substituídos nessa expressão, vão gerar valores de Y 
diferentes. Essa diferença é notoriamente pequena, mas mesmo pequenas 
diferenças podem arruinar pesquisas ou denotar falhas nos procedimentos. 
 14 
4 USANDO O MS EXCEL 
 
 O MS Excel, programa distribuído pela Microsoft Corporation, é um 
editor de planilhas matemáticas carregado com funções que permitem cálculos 
simples e avançados. Baseado em suas funções, podemos calcular os valores de 
Y em função de X, bem como os coeficientes de uma equação, ou seja, regredir à 
função geratriz a partir dos resultados obtidos, por exemplo, numa curva de 
calibração. 
 Esse capítulo tem por objetivo explicar os conceitos mais simples de 
utilização de fórmulas e gráficos para que o leitor seja capaz de analisar um 
gráfico de cinética enzimática e calcular os valores de KM e Vmax sem 
complicações. Mais informações sobre as funções do MS Excel podem ser obtidas 
gratuitamente em sites especializados (vide capítulo 6 deste trabalho). 
 Esse pequeno tutorial foi feito baseando-se na versão 2003 do MS 
Excel, mas por se tratar da base de inserção de dados, como criação de tabelas e 
digitação de fórmulas, é perfeitamente funcional em versões anteriores e 
posteriores. A posição dos botões e cores exibidas pode variar conforme a versão, 
mas não sua utilidade e funcionalidade. 
 15 
4.1 Fórmulas e cálculos 
 
4.1.1 Digitando uma fórmula 
 
 O MS Excel baseia-se no uso de fórmulas matemáticas e na relação 
entre as células que compõe a planilha. Sempre que um dado é digitado ele passa 
a fazer parte de uma célula, e assim passa a ter uma coordenada de localização. 
 As funções mais complexas possuem um título, que deve ser 
digitado entre o sinal de igual e antes dos parênteses. O sinal de igual (=) inicia 
toda e qualquer fórmula, e entre os parênteses devem ser colocados os números 
ou as coordenadas para que a fórmula tenha o que calcular. 
 Os dados a serem calculados podem estar na forma de números ou 
na forma das coordenadas das células. Tecle “Enter” para exibir a resposta. 
Observe abaixo: 
 
=RAIZ(9) : calcula a raiz de 9. 
=SOMA(C1;C3) : soma os valores contidos nas células C1 e C3. 
=CONTAR.VAZIO(A1:A11) : conta o número de células vazias no intervalo. 
 
 
 
 
 
 Para mais informações sobre como usar as funções avançadas (que 
possuem um nome), consulte o “assistente de fórmulas”. Uma breve descrição 
desse assistente é dada no capítulo 4.3.1 desse trabalho. 
 As funções matemáticas básicas (adição, subtração, multiplicação e 
divisão) podem ser feitas a partir de símbolos simples e diretos (+, -, *, / 
respectivamente). Esse método poupa tempo, pois ao invés de digitarmos o nome 
da função, podemos digitar os dados diretamente. Além disso, podemos mesclar 
números digitados diretamente na fórmula e números digitados em outras células, 
através de suas coordenadas (C1, D2, H13...). Dessa forma podemos escrever: 
 16 
=(2+2) : soma 2 com 2. 
=(5*3+1) : multiplica 5 e 3 e soma 1. 
=((2/5)*(7/8)) : divide 2 por 5 e multiplica pelo resultado de 7 dividido por 8. 
=(C1+C5) : soma os valores contidos nas células C1 e C5. 
=(D1*5-3) : Multiplica D1 por 5 e subtrai 3 do resultado. 
 
 
 
 
 
 Observe que os parênteses são utilizados para se organizar as 
ações. Assim =(2+4/2) é igual a 4, enquanto =((2+4)/2) é igual a 3. Os parênteses 
são resolvidos primeiro, mas na ausência deles é empregada a regra de primeiro 
efetuar as operações de divisão e multiplicação e depois somar ou subtrair. 
 
 
4.1.2 Utilizando o assistente de fórmulas 
 
 Certifique-se de que todos os dados necessários de X e Y já estão 
digitados e que a célula onde o cursor se encontra é a célula onde você deseja 
que a resposta seja inserida. Para abrir o assistente de fórmulas, clique sobre a 
pequena seta à direita do botão de auto-soma, então clique em “Mais funções...”. 
Você pode optar por selecionar os dados antes ou depois de iniciar o assistente. 
 
 
 17 
 Na janela que abrir, digite um nome relativo à fórmula que deseja ser 
efetuada, ou digite diretamente o nome dela, e tecle “enter” para procurar entre as 
fórmulas listadas. Selecionada a fórmula requerida, tecle “OK” para selecionar os 
argumentos da função (os dados necessários à sua execução): 
 
 
 
 Clique sobre o botão com uma seta vermelha localizado na extremidade 
direita de cada caixa de texto para minimizar a janela. 
 
 
 
 Use o mouse para selecionar a célula ou o intervalo de dados com as 
informações necessárias à execução da fórmula (uma pequena descrição do 
tipo de informação necessária ao funcionamento correto da fórmula é 
fornecida na parte de baixo da janela dos parâmetros). 
 
 Clique novamente no botão vermelho para retornar à janela dos argumentos. 
Se houver outros argumentos, execute o item anterior até fornecer 
informações suficientes para a conclusão da tarefa. Clique “OK” para finalizar. 
 18 
4.2 Calculando Y em função de X 
 
 Para calcular qualquer função no MS Excel podemos usar as 
fórmulas descritas acima. Como as funções do primeiro grau são, na realidade, 
multiplicações de coeficientes com incógnitas somados ou subtraídos por outro 
coeficiente, podemos usar o método rápido de inserção de fórmulas: usando os 
sinais algébricos /, *, -, e +. 
 A função a ser estudada é f(x)=2x+1. 
 Primeiro digitamos os valores de X, que são definidos por nós 
mesmos. Usaremos nesse exemplo o seguinte conjunto: {-2, -1, 0, 1, 2}. Esses 
valores deverão ser escritos na forma de coluna (fig.1). 
 Em seguida, selecione a célula imediatamente ao lado do primeiro 
valor de X. Digite a fórmula para a expressão que queremos utilizar. Para a 
expressão 2x+1 a função a ser digitada deverá ser =(2*célula+1). No lugar de 
“célula” deve ser inserida a coordenada do primeiro valor de X. No exemplo 
mostrado na figura 2, o primeiro valor de X encontra-se na coordenada A3, então 
a fórmula é =(2*A3+1). (fig.2). 
 Posicione o cursor sobre a célula que contém o primeiro valor de Y. 
Note que há um pequeno quadrado no canto inferior direito das células 
selecionadas. Esse é o comando autopreenchimento. Posicione o mouse sobre 
esse pequeno quadrado – ele tomará a forma de uma cruz –, clique e arraste 
expandindo o conteúdo para baixo até atingir a última célula que seja adjacente a 
um valor de X (fig.3). Solte o mouse. A fórmula =(2*célula+1) foi copiada e 
aplicada às células abaixo automaticamente. Os valores de Y foram calculados. 
 
 FIG 1 FIG 2 FIG 3 
 
 19 
4.3 Calculando os coeficientes “A” e “B” de uma função linear 
 
 Para calcular os coeficientes da regressão linear, podemos digitar as 
fórmulas diretamente na célula de resposta, ou usar o assistente de fórmulas para 
obter os resultados, pesquisando pelos nomes das fórmulas. 
 Quando digitamos uma fórmula que trabalha com seqüência de 
dados, temos que informar o intervalo de células. Esse intervalo é informado com 
o uso de dois pontos (:). Assim, digitar B1:B4 significa o intervalo B1, B2, B3 e B4. 
 
 
4.3.1 Calculando o coeficiente “A” 
 
Para obter o termo independente de uma função linear, digite a 
fórmula =INTERCEPÇÃO(valores_de_Y;valores_de_X) na célula de resposta. Nos 
campos de “valores de Y e X” devem ser informados os intervalos de células quecontém os dados para Y e X, respectivamente. Observe atentamente que se deve 
primeiro informar o intervalo Y e depois o intervalo X. 
 
 
4.3.2 Calculando o coeficiente “B” 
 
 Digite a fórmula =INCLINAÇÃO(valores_de_y;valores_de_x) para 
executar a fórmula do termo de inclinação da reta. 
 
 
4.3.3 Calculando o coeficiente de correlação 
 
 Digite a fórmula =RQUAD(valores_de_y;valores_de_x) para obter o 
resultado para o coeficiente de correlação R² direto. Existe uma alternativa a essa 
fórmula: =PEARSON(matriz1;matriz2), que fornece como resultado apenas R, 
sendo necessário eleva-lo ao quadrado em seguida. 
 20 
4.4 Criando gráficos de regressão linear com o MS EXCEL 
 
 Antes de criar seu gráfico, certifique-se de que os dados necessários 
de X e Y estão digitados na planilha. 
 
 Selecione o intervalo de dados necessários à regressão linear (coluna com 
os valores de X e coluna com os valores de Y). 
 Clique sobre o botão “assistente de gráfico”. 
 Na janela que abrir, como tipo do gráfico, selecione “dispersão(XY)”, e 
como subtipo o modelo que apresenta pontos não conectados por linhas. 
Clique em “avançar”. 
 Passe a etapa dois clicando em “avançar”. 
 Na etapa três, digite o nome do gráfico e dos eixos (opcional). Clique em 
“avançar”. 
 Na etapa quatro, selecione o local do gráfico (se flutuando na planilha ou 
como nova planilha). Clique em “concluir”. 
 
O resultado obtido é semelhante ao mostrado abaixo: 
 
 
 
 21 
 A regressão linear é representada graficamente como uma linha 
(uma função do primeiro grau) que passa tocando ou mais proximamente à 
maioria dos pontos descritos originalmente pelos dados. No MS Excel, essa linha 
é denominada “linha de tendência”. 
 
 Clique sobre o gráfico. 
 Na barra de menus, clique em “gráfico” e depois em “adicionar linha de 
tendência”. 
 Selecione a opção “linear”, e depois clique na aba “opções”. 
 Marque as caixas “exibir equação no gráfico” e “exibir valor de R-quadrado 
no gráfico”. 
 Clique em OK. 
 
 O resultado obtido deverá ser similar a este mostrado abaixo: 
 
 
 
 Observe que através da opção gráfico é possível obter a equação da 
regressão linear e o R² diretamente. 
 22 
5 ANALISANDO KM E VMAX 
 
 Nos estudos envolvendo enzimas, é de importante relevância as 
informações conhecidas como Constante de Michaelis-Menten (KM) e Velocidade 
Máxima (Vmax). A velocidade máxima é a concentração de substrato em que a 
enzima apresenta sua velocidade máxima, e KM representa a concentração de 
substrato em que a enzima apresenta metade da velocidade máxima. 
 Por exemplo, na reação envolvendo glioxalato obtiveram-se os 
seguintes resultados: 
 
Glioxalato 
(mM) 
Velocidade de transformação 
(M.min-1) 
1,00 2,5 
0,75 2,44 
0,60 2,08 
0,50 1,89 
0,40 1,67 
0,33 1,39 
0,25 1,02 
 
 Nota-se pelo gráfico que há pouca variação da velocidade máxima 
acima de certa concentração de substrato (a velocidade máxima): 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
SUBSTRATO
VE
LO
C
ID
A
D
E
 
 
 23 
 A partir do gráfico mostrado anteriormente não é possível calcular 
KM e Vmax sem o uso de programas baseados em regressão não-linear. No 
entanto, linearizando a curva e obtendo os coeficientes da regressão, é possível 
que analisemos essas constantes. O gráfico linearizado é conhecido como gráfi 
ode Lineweaver-Burke, ou gráfico do duplo recíproco. 
 
 
5.1 O gráfico de Lineweaver-Burke 
 
 Nesse modelo gráfico, o ponto em que a reta intercepta os eixos X e 
Y correspondem respectivamente ao inverso de KM e inverso da velocidade 
máxima, conforme o modelo abaixo: 
 
 Para se obter esse gráfico, primeiro, é necessário inverter todos os 
valores da velocidade e da concentração do substrato. Isso é feito dividindo-se 1 
pelo valor. No MS Excel efetue =(1/célula). 
 
Glioxalato 
(mM) 
Velocidade de transformação 
(M.min-1) 
1 0,4 
1,333333 0,409836 
1,666667 0,480769 
2 0,529101 
2,5 0,598802 
3,030303 0,719424 
4 0,980392 
 24 
 
 O resultado disso é um gráfico que tende à linearização, como 
exibido abaixo: 
 
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
1/SUBSTRATO
1/
VE
LO
C
ID
A
D
E
 
 
 O gráfico de Lineweaver-Burke deve passar mais proximamente aos 
pontos e portanto equivalem à regressão linear, ou linha de tendência: 
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
1/SUBSTRATO
1/
VE
LO
C
ID
A
D
E
 
Observe que a partir dos dados fornecidos o gráfico de Lineweaver-
Burke não toca os eixos. Isso porque na prática não existem concentrações 
negativas para serem utilizadas. É necessário então projetar a linha do gráfico à 
 25 
sua esquerda, de forma a fazê-lo tocar os eixos X e Y. É importante manter o 
ângulo de inclinação constante, não alterando assim os coeficientes da regressão. 
Plotando os dados em papel milimetrado, os pontos serão contados 
manualmente, e nesse caso uma diferença de frações de milímetros poderá 
alterar substancialmente o cálculo final. O seguinte método de determinação dos 
pontos é mais exato, e sendo efetuado pelo MS Excel, poderá ter dezenas de 
casas decimais de precisão. 
A partir dos dados fornecidos para a criação do gráfico de 
Lineweaver-Burke (1/X e 1/Y), devem-se obter os coeficientes da regressão linear. 
 
 
158,0194,0)(  xxf 97,0² R 
 
 Com base nos dados obtidos da regressão, podemos considerar o 
seguinte: 
 
 O coeficiente “A” é o ponto onde o gráfico toca o eixo Y (onde X = 0). 
 O ponto em que o gráfico toca o eixo X é a raiz da equação (onde a 
equação está igualada a zero). 
 
Sendo assim, podemos concluir que as coordenadas (X;0) e (0;Y) 
serão (-0,814;0) e (0;0,158). Com esses dados podemos projetar o gráfico à sua 
esquerda, fazendo com que toque os eixos nas coordenadas descritas: 
 
 26 
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-2 -1 0 1 2 3 4 5
1/SUBSTRATO
1/
VE
LO
C
ID
A
D
E
 
 Agora podemos calcular a velocidade máxima e o KM usando as 
coordenadas encontradas. 
 
329,6
158,0
11

Y
VMAX 228,1814,0
11



X
KM 
 
 O quociente entre KM e Vmax equivale ao termo “B” da regressão: 
 
194,0
329,6
228,1

VMAX
KMB 
 
 Através da relação acima podemos definir o valor de KM sem a 
necessidade de definir o ponto que intercepta o eixo X – apenas tendo calculado 
os termos da regressão e Vmax: 
 
228,1329,6194,0
329,6
194,0  KMKM 
 
 Assim, podemos concluir que a velocidade máxima da reação é 
6,329 M.min-1 e KM é igual a 1,228 mM. 
 
 27 
6. MAIS INFORMAÇÕES 
 
- Mais informações sobre a cinética enzimática e bioquímica podem ser acessadas 
nos seguintes endereços: 
PT.WIKIPEDIA.ORG 
EN.WIKIPEDIA.ORG 
HTTP://XYZT.ATOMIC-HOSTING.COM/VI/ENZIMAS.HTM 
HTTP://WWW.BIOQ.UNB.BR/INDEX_BR.PHP 
 
 
- Mais informações sobre o MS Excel podem ser obtidas nos seguintes endereços: 
HTTP://WWW.USD.EDU/TRIO/TUT/EXCEL/ 
HTTP://WWW.BAYCONGROUP.COM/EL0.HTM 
HTTP://WWW.APOSTILANDO.COM/DOWNLOAD.PHP?COD=165&CATEGORIA=OFFICE 
 
 
- Departamento de Bioquímica da Universidade Estadual de Londrina (UEL) 
HTTP://WWW2.UEL.BR/CCE/BIOQUIMICA/ 
 
 
- Contato com o autor 
rodrigo84vida@hotmail.com 
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7. REFERÊNCIAS 
 
MURRAY, R. K.; GRANNER, D. K. et al. Harper: bioquímica. 6ª. Edição. Atheneu 
Editora São Paulo. São Paulo. 1990. 
 
LOROWITZ, W. Using Microsoft Excel to Plot and Analyze Kinetic Data. 
Weber StateUniversity. <faculty.weber.edu/wlorowitz/3053/kineticsexcel.pdf> em 
09/03/2008. 
 
 
 
 
 
- As imagens dos gráficos nas páginas 5 e 23 desse trabalho foram retiradas da 
página de cinética enzimática da Wikipédia brasileira, disponível no endereço 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Cin%C3%A9tica_enzim%C3%A1tica, em 21/10/2008. 
 
- Excel, MS Excel e Microsoft Excel são marcas registradas de Microsoft 
Corpotration. Todos os direitos reservados à Microsoft Corporation.