Problemas de Matemática: Razão e Proporção

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Professor Douglas Léo 
Matemática 
 
 
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7 – (CESPE – UNB) 
 Uma empresa admitiu um funcionário no mês de outubro deste ano, sabendo que, já em janeiro de 
1997, ele terá 25% de aumento de salário. A empresa deseja que o salário desse funcionário, a partir de 
janeiro, seja de R$ 1.500,00. Assim a empresa admitiu-o com salário de X reais. Então, X satisfaz 
à condição. 
1.170 ≤ x ≤ 1.190,00 
 
8 - (CESPE – UNB – TRT – Téc. Jud.-2002) 
 Considere que a cesta básica tenha seu preço majorado a cada mês, de acordo com a inflação mensal. 
Se, em dois meses consecutivos, a inflação foi de 5% e 10%, então a cesta básica, nesse período, foi 
majorada em exatamente 15%. 
 
9 - (CESPE-UNB-TCU) 
Um microcomputador, com determinada configuração, é vendido nas lojas A e B. O preço na loja A é R$ 
180,00 mais alto que na loja B. Se a loja A oferecer um desconto de 5%, os preços nas duas lojas serão 
iguais. Se X representa o preço do microcomputador na loja B, em reais, então X satisfaz ä condição: 
 
A) X ≤ R$ 3.000,00 
B) R$ 3.000,00 < X ≤ R$ 3.500,00 
C) R$ 3.500,00 < X ≤ R$ 3. 700,00 
D) R$ 3.700,00 < X ≤ R$ 3. 900,00 
E) X >R$ 3.900,00 
 
10– (UNB – CESPE – TEC.JUD.- STM – 2004) 
 1. 0,00, 
 $ 1.100,00 
 
 
 
 
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RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
RAZÃO 
A razão de duas ou mais grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que expressam as suas 
medidas, consideradas na mesma unidade. Grandezas são características dos objetos possíveis de serem 
comparadas e cujas medidas podem ser adicionadas, subtraídas ou divididas uma pela outra. 
Notação e terminologia 
A razão dos números A e B pode ser expressa como: 
• A razão de A para B 
• A está para B 
• A:B 
• Um número racional que é o quociente da divisão de A por B 
Os números A e B são algumas vezes chamados de termos, sendo A é o antecedente e B o consequente. 
A razão de duas ou mais grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que expressam as suas 
medidas, consideradas na mesma unidade. Grandezas são características dos objetos possíveis de serem 
comparadas e cujas medidas podem ser adicionadas, subtraídas ou divididas uma pela outra. 
A razão de duas ou mais grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que expressam as suas 
medidas, consideradas na mesma unidade. Grandezas são características dos objetos possíveis de serem 
comparadas e cujas medidas podem ser adicionadas, subtraídas ou divididas uma pela outra. 
Assim, o conceito de razão nos permite fazer comparações de grandeza entre dois números. Por exemplo, 
para saber quantas vezes o número 100 é maior do que o número 2 (ou em outras palavras, qual a razão 
entre 100 e 2), procedemos da seguinte forma: (100: 2 = 50) 
Portanto, o número 100 é 50 vezes maior do que o número 2. 
 
PROPORÇÃO 
Uma igualdade entre duas ou mais razões forma uma proporção, vale lembrar que razão é a divisão 
 ú , q ≠ 0 / . O 
 
 
 
 
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ou A : B = C : D 
A está para B assim como C está D. 
 
 
As proporções possuem uma enorme aplicabilidade em situações problema envolvendo informações 
comparativas, na regra três a proporcionalidade é usada no intuito de calcular o quarto valor com base nos 
três valores estabelecidos pelo problema. 
 
 
 
 
PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES 
• PROPRIEDADE DA SOMA 
 
 
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CONSTANTE K DE PRPORCIONALIDADE 
 
 
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1 (CESPE- UNB/TST – Analista Jud.-2008) Os números 1.264 e 1682 estão nessa ordem, na razão 3/4. 
2 (UNB – CESPE – TJDFT –TEC.JUD. 2008) Uma manicure, um policial militar, um arquivista e uma auxiliar 
de administração são todos moradores de Ceilândia e unidos pela mesma missão. Vão assumir um trabalho 
até então restrito aos gabinetes fechados do Fórum da cidade. Eles vão atuar na mediação de conflitos, 
como representantes oficiais do TJDFT. Os quatro agentes comunitários foram capacitados para promover 
acordos e, assim, evitar que desentendimentos do dia-a-dia se transformem em arrastados processos 
judiciais. E isso vai ser feito nas ruas ou entre uma xícara de café e outra na casa do vizinho. O projeto é 
inédito no país e vai contar com a participação do Ministério da Justiça, da Ordem dos Advogados do Brasil 
(OAB), da Universidade de Brasília (UnB), do Ministério Público do Distrito Federal e dos Territórios e da 
Defensoria Pública. 
 Internet: <www2.correioweb.com.br>, acessado em 23/1/2001 (com adaptações). 
 - - 
 5 
 7. , na referida semana, se o 
policial militar promo 70 , 63. 
 
 3 - (UNB-CESPE-FUB-2008) 
Uma empresa tem em seu quadro de pessoal 84 empregados, e a razão entre o número de homens e 
mulheres é, nessa ordem, igual a 4/3 . A propósito dessa situação, julgue os itens a seguir. 
4 - (CESPE – UNB – SMA – SE - 2004 ) 
 Julgue o item a seguir 
I– Se uma corda de 30 metros de comprimento é dividida em duas partes, cujos comprimentos estão na 
razão 2 : 3, então o comprimento da menor parte é inferior a 14 metros. 
5 - (CESPE – UNB – PRF – 2008 ) 
 
 
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 Ficou pior para quem bebe 
 O governo ainda espera a consolidação dos dados do primeiro mês de aplicação da Lei Seca para avaliar 
seu impacto sobre a cassação de CNHs. As primeiras projeções indicam, porém, que as apreensões subirão, 
no mínimo, 10%. Antes da vigência da Lei Seca, eram suspensas ou cassadas, em média, aproximadamente 
155.000 CNHs por ano. 
Se as previsões estiverem corretas, a média anual deve subir para próximo de 170.000. A tabela a seguir 
mostra esses resultados nos últimos anos (fonte: DENATRAN). 
 
 , 00 , 
 , nesse mesmo ano, para cada 5 CNHs suspensas, 3 eram . , 
 
 
A) inferior a 24.000. 
B) superior a 24.000 e inferior a 25.000. 
C) superior a 25.000 e inferior a 26.000. 
D) superior a 26.000 e inferior a 27.000. 
E) superior a 27.000. 
 
DIVISÃO PROPORCIONAL 
 
1 – Divisão em partes diretamente 
 
 
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7 É PROIBIDO REPRODUZIR OU COMERCIALIZAR www.estudioaulas.com.brproporcionais. 
(x, y, z,…. ) 
 , b, … 
 
 
 
2 – Divisão em partes Inversamente proporcionais. 
 (x, y, z,…. ) iretamente proporcionais a a, b, 
 
 
 
 
 
3 – Divisão proporcional composta 
 (x, y, z,…. ) 
 , b, … 1 , , 3 
 
 
 
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4 – Divisão proporcional mista 
 
 (x, y, z,…. ) 
 , b, … , 1 , , 3 
 
 
 1-(CESPE- UNB-TST – Analista Jud.-2008) Julgue o item seguinte: 
 I – Os números 135, 189 e 297 são diretamente proporcionais aos números 5, 7 e 11, respectivamente. 
 
2-(CESPE- UNB-TST – Analista Jud.-2008) b 70 , 3 
 , b 
 2, 3 e 5. 
Com base ne , julgue os itens a seguir. 
 
3 – (UNB – CESPE – TEC.JUD.- STM – 2004) 
 
 
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 b , 0 
 , 
 3, , . 
 13 horas. 
4 - (UNB-CESPE-FUB-2008) 
 
Considerando que as idades de 3 pessoas sejam números diretamente proporcionais aos números 13, 17 e 
19 e sabendo que a soma das idades dessas 3 pessoas é igual a 98, julgue os itens subseqüentes. 
 
I - A soma das idades das duas pessoas mais jovens é inferior a 62. 
 
II - A diferença entre a idade do mais velho e a do mais moço é superior a 14. 
 
5 - (UNB-CESPE-BRB-2001) 
 A , , 
 000, z . A , 
 , 000, , 3, 5 , 
 uas faltas. 
 
D , A : 
A) 7 
B) 10 
C) 12 
D) 14 
E) 20 
 
 6 - (UNB-CESPE-BRB-2005) 
 
 
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 x y , , b 
b 
 b . 
 
 x y 5 e 3, nessa ordem e com a mesma constante de 
propor , x – y , , b , para cada 
cliente, mais de R$ 15,00. 
 
 7 - (UNB – CESPE – ME - 2008) 
 z , 
 . . 
 2, 5 e 11, 
respectivamente. 
 
Com ref b b , , R$ 
 .3 0,00 , julgue os itens seguintes. 
 
 - b mensal superior a R$ 1.200,00. 
 - A 
 R$ 3.300,00. 
 
 - b , juntos, o mesmo que . 
 
 8 - (CESPE – UNB – MCT/2008) 
 , 
 7, 5 e 3, respecti 
 R$ 1.000,00, R$ .000,00 
 R$ 4.000,00 e que a folha salarial mensal da empresa com esses prof 
de R$ 58.000,00, julgue os itens seguintes 
 
 
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 - 25. 
 - , 
 R$ 1 .000,00 s. 
 - 8 e inferior a 12. 
 
 9 - (CESPE – UNB – CHESF - 2002) 
 b R$ .000,00 x . 
 b 5 dias; o outro, 4 dias e meio; e o terceiro, 8 dias. Tinham respectivamente a idade de 20 
anos, 22 anos e 6 meses, 26 anos e 8 meses. 
 
 , , b 
 b . 
 
 b , julgue os itens abaixo. 
 
I O marceneiro que trabalhou 5 dias recebeu 2/3 da quantia recebida pelo marceneiro que trabalhou 8 
dias. 
II O marceneiro mais jovem foi o que recebeu a menor quantia. 
 b b 1 b 
 
IV A soma das quantias recebidas pelo marceneiro mais jovem e pelo marceneiro mais velho perfaz 11 15 
 b . 
A : 
A) 0. 
B) 1. 
C) 2. 
 
 
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D) 3. 
E) 4. 
 
10 – (CESPE –UNB–GDF–SGA – SE - 2004) 
 A Secretaria de Educação do GDF destinou verba para reformar 3 salas de aula em uma escola do Plano 
Piloto. A distribuição da verba para a reforma de cada sala será feita proporcionalmente à quantidade de 
alunos que cada sala comporta. Sabendo-se que uma das salas comporta 30 alunos; outra,40; e a 
terceira, 45. 
Julgue os itens que se seguem. 
I – Se a verba para reforma da sala que comporta 40 alunos for de R$2.000,00, então para a reforma das 
outras salas caberá um total superior a R$4.000,00. 
II – Se a verba destinada à escola foi de R$ 6.900,00, então a uma das salas caberá a quantia de R$ 1. 
800,00. 
 
REGRA DE TRÊS 
 1 - (CESPE–UNB–TRT– Téc. Jud.-2002) 
 Considerando que todos os consultores de uma empresa desempenhem as suas atividades com a mesma 
eficiência e que todos os processos que eles analisam demandem o mesmo tempo de análise, se 10 
homens analisam 400 processos em 9 horas, então 18 homens analisariam 560 processos em mais de 8 
horas. 
 
 
2 – (UNB – CESPE – TEC. JUD. - STM -2004) 
 
 
 
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3 - (CESPE – UNB – ANCINE - 2005) 
 
 
4 - (CESPE– UNB – MDS – 2006) 
 
 
 
5 - (CESPE – UNB – IPAJM - 2006) 
 
 
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6 –(UNB – CESPE – MRE – 2008) 
 
 
 
 
 
 
7 – (UNB – CESPE – MEC – 2009) 
 
 
 
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 ú , 
Para desenvolver a matemática hoje estudada, inúmeras mudanças na organização de todos os 
conceitos matemáticos foram necessárias. A concepção dos conjuntos numéricos recebeu maior rigor 
em sua construção com George Cantor, que pesquisou a respeito do número infinito. Cantor iniciou 
diversos estudos sobre os conjuntos numéricos, constituindo, assim, a teoria dos conjuntos. 
A construção de todos os conjuntos numéricos que hoje possuímos parte de números inteiros usados 
apenas para contar até os números complexos que possuem vasta aplicabilidade nas engenharias, nas 
produções químicas, entre outras áreas. Definir conjunto é algo tão primitivo que se torna uma tarefa 
difícil. Entretanto, compreendemos conjunto como uma coleção de objetos, números, enfim, elementos 
com características semelhantes. 
Sendo assim, os conjuntos numéricos são compreendidos como os conjuntos dos números que possuem 
características semelhantes. Nesta seção, a concepção desses conjuntos será abordada, visando à 
compreensão dos elementos que constituem cada um dos conjuntos numéricos. 
 
Temos então os seguintes conjuntos numéricos: 
Conjunto dos números Naturais (N); 
Conjunto dos números Inteiros (Z); 
Conjunto dos números Racionais (Q); 
Conjunto dos números Irracionais (IR); 
 
 
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Conjunto dos números Reais (R); 
Conjunto dos números Complexos (C); 
Este último conjunto numérico possui uma seção especial para ele (Números complexos) 
 
Conjunto dos números Naturais (N) 
N = {0, 1, , 3, 4, …………} 
 
Conjunto dos números Inteiros (Z) 
Z = {…..-4, -3, -2, -1, 0, 1, , 3, 4…..} 
Subconjuntos de Z 
Z* = {…..-4, -3, -2, -1, 1, , 3, 4…..} 
Z+
 = {0, 1, , 3, 4…..} I 
Z+
*= {1, , 3, 4…..} I 
Z- = {…..-4, -3, -2, -1, 0} Inteiros não positivos 
Z-
* = {…..-4, -3, -2, -1} Inteiros negativos. 
OBS: Os inteiros correspodem os negativos, o zero e os positivos. 
 
Conjunto dos números Racionais (Q) 
São todos os números que podem ser colocados em forma de fração 
 
OBS: Os racionais correspondem todos os Inteiros, os decimais exatos, as raízes exatas e as dízimas 
periódicas. 
 
 
 
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Conjunto dos números Irracionais (IR) 
Obs: Correspondem todos os números infinitos aperiódicos, 
 I = {…. - 0,3 46…, π, , √,..} 
 
Conjunto dos números Irracionais (IR) 
Obs: Correspondem todos os números infinitos aperiódicos, 
 I = {…. - 0,3 46…, π, , √,..} 
 
Conjunto dos números Reais (R) 
Obs: Correspondem todos os Naturais, Inteiros, Racionais e irracionais. 
 
 
 
 
 
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1-N , 1 , q . ? 
 
 
Dividendo = quociente x divisor + resto; 
O q ú q q , pois se fosse 
igual ao divisor, daria para divider 
 
 
 
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 - N , 5 da segunda 
parcel , q ? 
x + y = S 
x + + y − = + 3 
 
Resposta: O total ficará adicionado 3 unidades 
 
3 - N , . - 13 , 1 
subtraindo-se 10 da terceira, q ? 
x + y + z = 58 
x + 13 + y + 21 + z - 10 
x + y + z + 13 + 21 – 10 = 82 
58 + 13 + 21 – 10 = 82 
 
4 - N , 1 , q q , uma 
unidade menor que . ? 
D = q x d + r 
D =13 x 12 + 11 = 167 
 
 
 
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20 É PROIBIDO REPRODUZIR OU COMERCIALIZAR www.estudioaulas.com.br 
 
 - q 3 ,00 
 60,00 q 0,00 q 
 . ? 
 
Primeiro:325 
Segundo: 325 - 60 = 265 
primeiro + segundo = 325 + 265 = 590 
Terceiro: 590 -250 = 340 
 = primeiro + segundo + terceiro =590 + 340 = 930,00 
 
1 - (CESPE - UnB – TJDFT - 97) 
Julgue os itens seguintes, referentes a números inteiros e racionais, em que mmc representa o mínimo 
múltiplo comum e mdc, o máximo divisor comum. 
I – A soma de dois inteiros ímpares é sempre ímpar. 
II – mmc(mdc(12, 8), mdc(10, 5)) = 20. 
III – 7/15 < 5/11 
IV – A raiz quadrada de um número inteiro positivo nem sempre é um número inteiro. 
 
Estão certos apenas os itens 
(A) II e IV. 
 
(B) III e IV. 
(C) I, II e III. 
(D) I, II e IV 
(E) II, III e IV 
 
2 - (CESPE - UnB–FUNDAC -PB - 2008) 
 
 
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21 É PROIBIDO REPRODUZIR OU COMERCIALIZAR www.estudioaulas.com.br 
 
 Julgue os itens a seguir. 
I – Existem números naturais que não são números inteiros. 
II – A cada número inteiro corresponde outro número inteiro que, somado ao primeiro, dá como resultado 
o número zero. 
III – Todo número racional é um número real. 
IV – O número real representado pela dízima periódica 0,333... não é um número racional. 
 
2 - (CESPE - UnB–FUNDAC -PB - 2008) 
 Julgue os itens a seguir. 
I – Existem números naturais que não são números inteiros. 
II – A cada número inteiro corresponde outro número inteiro que, somado ao primeiro, dá como resultado 
o número zero. 
III – Todo número racional é um número real. 
IV – O número real representado pela dízima periódica 0,333... não é um número racional. 
 
3 - (CESPE - UnB – PMRB - 2007) 
Em uma divisão de números naturais, a soma do divisor com o quociente é igual a 50, o divisor é igual a 9 
vezes o quociente e o resto é o maior possível. Então o dividendo é um número natural maior que 270. 
 
4 - (CESPE - UnB – FUNDAC -PB - 2008) 
 
 
 
 
 
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A tabela acima, relativa ao estado do Pará, mostra, para alguns anos do período entre 1992 e 2002, a 
fração de domicílios particulares com telefone em relação ao total de domicílios. Com base nessas 
informações, julgue os itens a seguir. 
5- (CESPE --UnB – SGAAC -2008) 
Para ser considerado apto em uma entrevista de emprego, um indivíduo deverá acertar,pelo menos, 3/4 
das questões de um teste. Se o teste tiver 12 questões e o indivíduo acertar 8 dessas questões, ele será 
considerado apto. 
6 (CESPE/UnB–MCT/2008) 
Acerca dos números reais, julgue o próximo item. 
I - A metade de 800 somada à terça parte de 800 mais a sexta parte de 800 é igual a 800. 
 
7 - (CESPE -UnB – FUNDAC -PB - 2008) 
Certa quantia em reais foi dividida entre três irmãos. Um deles ficou com 1/4 da quantia, outro ficou com 
3/5 e o terceiro, com o restante. Então, o terceiro ficou com uma fração da quantia igual a 
(A) 7/20 
(B) 5/20 
(C) 3/20 
(D) 1/20 
 
 8 - (CESPE - UnB – FUNDAC -PB -2008) 
Dois amigos compraram uma pizza e a dividiram em duas partes iguais. Com a chegada de outros três 
amigos, eles repartiram cada um dos dois pedaços da pizza em cinco pedaços iguais. Considerando que 
cada um dos cinco amigos comeu a mesma quantidade da pizza, o número de pedaços que coube a cada 
um é igual a 
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 
 
 
9 - (CESPE/UnB–PCRR/2003) 
 
 
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Paulo recebe mensalmente R$ 900,00 de salário. Este mês, ele dividirá, em partes iguais, com seus colegas 
de trabalho Diego e Renato, um prêmio de R$ 549,00, ganho em um concurso interno da empresa em que 
trabalham. Além disso, Paulo deverá descontar de seu salário dois vales recebidos na forma de 
adiantamento no valor de R$ 145,00 cada. Considerando essa situação hipotética, julgue os itens 
subseqüentes. 
 
I - O resultado da expressão: 
900 + 549 : 3 – 2 × 145 
representa corretamente o valor, em reais, que Paulo receberá este mês. 
 
10 - (CESPE/UnB–FCPTN/07) 
Em uma soma de quatro parcelas, adicionaram-se 32 unidades à primeira parcela, subtraíram-se 25 
unidades da segunda parcela e adicionaram-se 12 unidades à terceira parcela. Para que o resultado da 
soma permaneça inalterado, à quarta parcela devem-se 
 
A) adicionar 7 unidades 
(B) subtrair 15 unidades 
(C) adicionar 18 unidades 
(D) subtrair 19 unidades 
 
11 – (CESPE–UNB – TRT– Aux. Jud. – 2002) 
 Considere que, em um grupo de galinhas e porcos, existam 60 cabeças e 150 pés. Então, o número de 
galinhas é o triplo do de porcos. 
 
 
12 – (CESPE – UNB – TRT – Aux. Jud.– 2002) 
Se Carlos gasta um terço do seu salário com aluguel e a metade com alimentação e ainda lhe sobram R$ 
80,00, então o salário de Carlos é maior que R$450,00. 
 
 
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13 – (CESPE – UNB – TRT – Aux.Jud.– 2002) 
 Se a soma de três números ímpares consecutivos é 51, então a soma dos dois números pares que estão 
entre esses números ímpares é maior que 36. 
 
14 – (CESPE – UNB – TJ – PE – 2001) 
 Um menino levava frangos para serem vendidos em uma feira, ao preço unitário de R$ 10,00. No caminho, 
porém, devido a um descuido, fugiram 10 de seus frangos. Para não ter prejuízo, o menino teve de vender 
o restante dos frangos ao preço unitário de R$ 15,00. 
Nessa situação hipotética, a princípio, a quantidade de frangos que o menino levava era: 
 (A) menor que 15 
(B) maior que 15 e menor que 25 
(C) maior que 25 e menor que 35 
(D) maior que 35 e menor que 40 
(E) maior que 40 
 
15 – (CESPE – UNB – STJ - Téc. Jud.-2004) 
Do total de funcionários de uma repartição pública, metade faz atendimento ao público, um quarto cuida 
do cadastramento dos processos e um sétimo faz as conferências. Os três funcionários restantes realizam 
serviços de apoio, contratados com recursos especiais. Sabendo que nenhuma das funções é cumulativa, 
julgue os itens a seguir. 
 I – Nessa repartição, trabalham mais de 25 funcionários.