TOPOGRAFIA BÁSICA-PRÁTICA

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TOPOGRAFIA BÁSICA 
PRÁTICA N° 01
GONIOLOGIA
GONIOLOGIA - É a parte da Topografia que se encarrega do estudo dos ângulos utilizados 
na execução de seus trabalhos.
 A GONIOLOGIA é dividida em: 1) Goniometria
 2) Goniografia
Goniometria - É a parte da Goniologia que se encarrega da medição dos ângulos no campo.
Goniografia - É a parte da Goniologia que se encarrega da representação gráfica ou 
geométrica dos ângulos.
 
 N
 α B 
 W E 
 A
 α = 55° 10’
 S 
 GONIOMETRIA GONIOGRAFIA
Goniômetro - Todo aparelho usado para medir ângulos. Nas operações topográficas, o 
goniômetro comumente empregado é o TEODOLITO.
Limbo - Círculo graduado, onde fazemos as leituras dos ângulos horizontais e verticais. É a 
parte especializada dos teodolitos.
CLASSIFICAÇÃO DOS LIMBOS:
1) QUANTO AO SISTEMA DE GRADUAÇÃO:
Centesimal - limbo dividido em 400 unidades ( grados )
Sexagesimal - limbo dividido em 360 unidades (graus, minutos e segundos)
11
N.M.
S
A
B
α
ESCALA
A
TRANSFERIDOR
 0g 
 0o
 300g 100g 270o 90o
 200g 180o 
 
 CENTESIMAL SEXAGESIMAL
2) - QUANTO AO SENTIDO DE GRADUAÇÃO:
 
 Levógiro (anti-horário)
Dextrógiro (horário)
Conjugado (anti-horário e horário )
Quadrantes 
Misto
 0o 0o 0o 
 
 
 90o 270o 270o 90o 270o 90o 
 
 
 180o 180o 
 180o 
 LEVÓGIRO DEXTRÓGIRO CONJUGADO
 
 
 0o 0o
 
 90o 90o 270o 90o
 
 0o 180o
 QUADRANTE MISTO
LEITURA DE ÂNGULOS
 
12
0°
0°
90° 90°
90°
180°
270°
 0°
Valor angular do limbo (l) - o valor angular de um limbo corresponde ao valor da sua 
menor divisão
 30o 40o
 1o ⇒ 
 
 
 
 
 80 90
 30' ⇒ 
 
 60 70
 20’ ⇒ 
 
NÔNIO OU VERNIER: É um arco adicionado ao limbo, de mesma curvatura e graduado de 
modo especial, que permite fazer leituras menores que o menor valor 
angular do limbo.
OBS : 1 ) A graduação do nônio tem o mesmo sentido da graduação do limbo. 
2 ) Em instrumentos que utilizam nônio e limbo , o índice de leitura é o zero do 
nônio.
PRINCÍPIO BÁSICO DA CONSTRUÇÃO DO NÔNIO
 l = Valor angular do limbo
É o valor de menor graduação do limbo.
 d = Aproximação efetiva : ( d )
É a menor leitura angular feita por um goniômetro dotado de nônio.
 α = Valor angular do nônio.
 n = Número de divisões do nônio.
m = número de divisões do limbo tomado para construir o nônio.
No espaço reservado para a construção do nônio terá sempre uma divisão a mais que o 
limbo. Isto é, no espaço equivalente a 9 divisões do limbo teremos 10 divisões no nônio. 
Portanto, as divisões do nônio são sempre menores que as divisões do limbo. O 
13
funcionamento dos instrumentos se baseia nessa diferença de valores angulares do limbo e 
nônio.
 L2
 α nônio
 l limbo
 L1
 
 n = m + 1 ⇒ m = n - 1 (01)
 d = l - α ⇒ α = l - d (02)
L1 = l x m (03) Como L1 = L2 ⇒ (03) = (04) , então: 
L2 = α x n (04) 
 
 L x m = α x n (05)
Substituindo-se (01) e (02) em (05) , temos:
l ( n - 1 ) = n ( l - d ) ⇒ l . n - l = l . n - d . n ⇒ d . n = l
 d = ln ( 06 ) APROXIMAÇÃO EFETIVA DO NÔNIO.
 
Exemplos: 
 01)Teodolito TV - M 3 l = 30’
 n = 30
 d = ln = 
30 
30 = 1
′
′ 
 Menor valor que podemos medir com o Teodolito Vasconcelos é 1'
 02) Teodolito FUJI : l = 20’
 n = 60
 
14
 20 = = = 60
02
n
l
′′
′d
 Menor valor que podemos medir com o Teodolito FUJI é 20"
EXEMPLOS DE ESQUEMAS DE LEITURAS
1) l = 30’ ⇒ d = ln = 
30
3 0 = 1
′
′ ( Menor valor que podemos medir).
 n = 30
 
 LEITURA = 81o 18’
 0 18 O TRAÇO 30
 81O 82O 83O 84O
2) l = 1g ⇒ d = ln = 
1
2 5 = 0 ,0 4
g
 n = 25
 
 
 LEITURA = 53,48 g 
 1 2 O TRAÇO
 
 0 25
 
TOPOGRAFIA BÁSICA
PRÁTICA N o 02
15
NÔNIO
LIMBO
53 g 54 g 55 g
NÔNIO
LIMBO
ÓRGÃOSE PARTES COMPONENTES DOS GONIÔMETROS (Teodolitos)
Instrumentos modelo: Teodolito World
1) ÓRGÃO DE SUSTENTAÇÃO :
• Tripés ⇒ Fixos
 Telescópicos, móveis ou reguláveis
- Pratos: Circulares
 Triangulares
- Parafuso de fixação do instrumento no prato.
 
2) ÓRGÃOS DE MANOBRA :
• Parafusos calantes ou niveladores
• Parafuso de fixação do movimento geral
• Parafuso de fixação do limbo horizontal
• Parafuso de fixação do limbo vertical e da luneta
• Parafuso ou alavanca de fixação da agulha da bússola.
3) ÓRGÃOS DE AJUSTE:
• Parafuso de chamada do movimento geral
• Parafuso de chamada do movimento do limbo horizontal
• Parafuso de chamada do movimento da luneta e limbo vertical
• Parafuso de enfoque do objeto visado
• Parafuso de enfoque dos fios do retículo ( Ocular )
* Os parafusos de chamada também podem ser chamados de parafusos tangenciais 
 
4) ÓRGÃO DE VISADA :
• Luneta ⇒ Terrestre - imagem direta
 Astronômica - imagem invertida
5) ÓRGÃOS DE LEITURA : FIO VERTICAL 
• Limbo horizontal e Vernier FIO SUPERIOR 
• Limbo vertical e Vernier FIO MÉDIO
• Fios reticurares FIO INFERIOR
16
 FIOS RETICURARES
6) ÓRGÃOS ACCESSÓRIOS :
• Prumos ⇒ Fio de Prumo ( Teodolito TV M3 )
Bastão ( Teodolito Kern )
 Prumo ótico ( Teodolito Fuji )
• Níveis de bolha ⇒ Tubulares ou cilíndricos 
 Esféricos ou circulares
• Bússolas ⇒ Circulares ( TV M3 )
 Declinatórias ( Fuji )
• Lupas ⇒ Fixas ( Fuji )
 Separadas ( TV M3 )
• Alça e massa de mira
PRÁTICA DE MANEJO COM OS TEODOLITOS
( Medição de ângulos horizontais )
MARCHA:
17
A
1. Materializar os pontos topográficos O , A e B;
2. Estacionar e centralizar o teodolito no ponto topográfico O;
3. Nivelar o teodolito com o auxílio dos parafusos calantes
- Deixar o parafuso de fixação do movimento geral solto.
4. Coincidência dos zeros do limbo horizontal com o do nônio ou vernier;
- Fixar o parafuso do movimento geral;
- Soltar o parafuso de fixação do limbo horizontal;
- Aproximar os zeros do limbo horizontal e do nônio ou vernier;
- Prender o parafuso de fixação do limbo horizontal;
- Atuar no parafuso de chamada do movimento do limbo horizontal até a 
perfeita coincidência dos zeros.
5. Visar a baliza no ponto topográfico A
- Soltar o parafuso do movimento geral;
- Visar a baliza pela alça e massa de mira;
- Prender o movimento geral;
- Atuar no parafuso de chamada do movimento geral até a coincidência do Fio
 vertical do retículo com o eixo da baliza ( na sua parte mais inferior );
5. Visar a baliza no ponto topográfico B
- Soltar o parafuso de fixação do limbo horizontal;
- Visar a baliza em B com o auxílio da alça e massa de mira;
- Prender o movimento do limbo;
- Atuar no parafuso de chamada do limbo horizontal até a coincidência do Fio
 vertical do retículo com o eixo da baliza ( na sua parte mais inferior ).
6. Proceder a leitura do ângulo vertical AÔB e anotar em caderneta apropriada;
TOPOGRAFIA BÁSICA
PRÁTICA No 03
MANEJO COM OS TEODOLITOS: Medição dos ângulos internos de um triângulo.
18
O
B
MATERIAIS NECESSÁRIOS: • Teodolito com respectivo tripé
 • Baliza ( 01 )
 • Caderneta de campo ( modelo anexo )
 • 03 piquetes 
 • 01 marreta.
MARCHA:
1. Materializar um polígono com três lados;
 1
 0 2
2. Estacionar o teodolito sobre o ponto topográfico que corresponde ao vértice ( 0 ). 
3. Centralizar o instrumento com o auxílio do fio de prumo;
4. Nivelar o instrumento. Coloque inicialmente um dos níveis da base do instrumento 
paralelo à linha que une dois parafusos calantes e, atuando sobre estes, centrar a bolha. 
Atuar no terceiro calante e nivelar o outro nível. Após as operações anteriores, se a bolha 
não permanecer no centro recomenda-se repetir as operações.
5. Zerar o limbo horizontal, soltando o parafuso de fixação do mesmo procurando coincidir 
o zero do limbo com o zero do nônio, prendendo a seguir o referido movimento. Atuando 
agora no parafuso de chamada do movimento do limbo, fazer a perfeita coincidência dos 
zeros do limbo e nônio;
6. Visar a baliza sobre o ponto 1 utilizando o movimento geral. Quando o fio vertical (FV) 
do retículo estiver próximo ao eixo da baliza bloqueie o movimento geral e atue no 
parafuso de chamada do movimento geral para ajustar a visada. Dessa forma, fica definido 
um lado do ângulo e o limbo permanece zerado. 
7. Soltar o movimento do limbo horizontal e visar a baliza colocada sobre o ponto 
topográfico 2. Em seguida, bloquear o movimento do limbo. Atuar no parafuso de 
chamada do limbo e fazer com que o FV coincida com o eixo da baliza;
8. Ler o ângulo horizontal ( ângulo interno) e anotar na caderneta de campo (modelo anexo);
9. Repetir as operações ( 2,3,4,5,6,7 e 8 ) nos pontos topográficos seguintes (pontos 1 e 2);
10. Fazer a verificação do erro angular de fechamento.
EXEMPLO :
 CADERNETA DE CAMPO
19
ESTAÇÕES PONTOSVISADOS
ÂNGULOS
INTERNOS OBS.
Verificação do erro de fechamento angular :
A soma dos ângulos internos de um polígono regular é obtida por:
Si = 180o (n-2)
Como estamos sujeitos a erros no processo de medição, é necessário estabelecer uma 
tolerância para os erros cometidos. Emprega-se como limite de erro a expressão abaixo: 
TOLERÂNCIA = 5’ n , onde : n = número de lados da poligonal
Quando o erro angular excede a tolerância deve-se repetir a medição dos ângulos. 
TOPOGRAFIA BÁSICA 
PRÁTICA N o 04
MANEJO COM OS TEODOLITOS
 Medição de Azimutes
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Azimute de um alinhamento
É um ângulo horizontal medido a partir do meridiano ( verdadeiro ou magnético), no 
sentido horário, até o plano vertical que contém o alinhamento considerado.
 NM 1
 
 
 
 
MATERIAIS NECESSÁRIOS: • Teodolito com tripé
 • ( 01 ) baliza
 • ( 03 ) piquetes 
 • ( 01) marreta
PROCEDIMENTO:
1. Materializar a poligonal topográfica com três lados (triângulo) no campo.
 
 NM NM
 
 0 
 NM 12
2. Estacionar o teodolito no vértice 0
 Centralizar, nivelar e zerar o teodolito.
3. Soltar a alavanca de fixação da agulha imantada da bússola.
4. Orientar a luneta para o meridiano magnético, com o movimento geral solto e o limbo 
horizontal zerado. Essa orientação consiste em deixar a objetiva voltada para o norte 
magnético. Após a orientação, bloquear o movimento geral.
5. Liberar o movimento do limbo, visar o ponto 1 e anotar na caderneta de campo o azimute 
do alinhamento 0-1;
21
0
6. Liberar novamente o movimento do limbo, visar o ponto 2 e anotar na caderneta o 
azimute do alinhamento 0-2;
7. Repetir as operações ( 2, 3, 4, 5 e 6) nos vértices 1 e 2;
8. Calcular os ângulos internos a partir dos azimutes lidos;
9. Fazer a verificação do erro angular de fechamento.
 Si = 180o (n-2) 
 Si = Soma dos ângulos internos
 n = no de lados do polígono
 TOLERÂNCIA = n'5
CADERNETA DE CAMPO
EST PONTOS VISADOS AZIMUTES
ÂNGULOS 
INTERNOS DIST RUMOS OBS
0 12
1 20
2 10
 
 OBS.:
A coluna referente aos rumos tem a finalidade de, apenas, verificar se os rumos de 
cada alinhamento apresentados no limbo da bússola correspondem aos azimutes lidos no 
limbo horizontal do teodolito. 
 TOPOGRAFIA BÁSICA
PRÁTICA No 05
MEDIÇÃO INDIRETA DE DISTÂNCIAS
( ESTADIMETRIA)
22
1 - Equipamento necessário:
 • Teodolito (luneta com fios estadimétricos);-
 • Mira ou Estádia
2 - Mira ou Estádia: Régua graduada, utilizada em Topografia para medição indireta de 
distâncias pelo processo estadimétrico.
3 - Classificação das Miras 
TIPO MATERIAL GRADUAÇÃO COMPRIMENTO 
 Encaixe Madeira Direta 3,00 metros
 Dobrável Plástico Invertida 4,00 metros
 Alumínio
 SUBDIVISÕES
 1,00 cm x 1,00 cm
 0,50 cm x 0,50 cm
 
 Imagem apresentada pela luneta do teodolito
 
 
 
 FM
 
4 - Leitura de Mira: 
a) IMAGEM DIRETA
 Fio Superior (FS) = 1,53 m
 Fio Médio (FM) = 1,44 m
 Fio Inferior (FI) = 1,35 m
b) IMAGEM INVERTIDA
Imagem apresentada pela luneta do teodolito
 
23
F.M.
FS
FI
15
14
16
13
 
 
 FM
 
Fio Superior = 1,350 m
Fio Médio = 1,455 m
Fio Inferior = 1,560 m
5) Leitura de Ângulo Vertical
 Teodolito WORLD
Leitura: lo 30' + 13' = 1o 43'
DISTÂNCIA REDUZIDA (dr)
 dr = m g cos2 α
m = F S - F I (leitura estadimétrica)
g = 100 (constante instrumental)
 α = ângulo de inclinação
24
1020
030
0
13o
F.M.
FI
FS
14
15
13
16
TOPOGRAFIA BÁSICA 
PRÁTICA N o 06
LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO POR IRRADIAÇÃO
OBS: 1) Trabalho de campo em grupos.
 2) Desenho individual (feito em casa).
MATERIAIS NECESSÁRIOS: • Teodolito com tripé;
 • baliza ;
 • piquetes;
 • marreta;
 • mira falante.
Procedimento:
1. Materializar a poligonal topográfica no campo, isto é, escolher os vértices que caracterizam 
o polígono 
 0 
 
 1
 NM
 4
 ♦ A
 2
 
 3
2. Materializar a sede de irradiação (Ponto A), dentro da área e instalar o instrumento neste 
ponto. Soltar o movimento da agulha imantada da bússola, obtendo dessa forma, a direção 
do meridiano magnético (NM) que passa por A. Como a leitura dos ângulos será feita no 
limbo da bússola, não é necessário zerar o limbo horizontal do teodolito.
3. Soltar o movimento horizontal do teodolito, visar uma baliza colocada no ponto 0 e ler o 
RUMO do alinhamento A-0, anotando-o na caderneta de campo;
4. Ainda no ponto 0, trocar a baliza pela mira e efetuar as leituras dos fios superior, médio e 
inferior, anotando os valores lidos na caderneta de campo;
5. Medir a altura do instrumento ( i ) ;
6. Fazer a leitura do ângulo vertical no limbo do instrumento e anotar na caderneta de campo;
 
7. Repetir as operações (3), (4), (5) e ( 6 ) para os pontos topográficos (1), (2), (3) e (4);
19
8. Completar a caderneta de campo calculando as distâncias reduzidas;
 α2cos g m= dr ⇒ g = 100
 m = FS -FI
9. Efetuar o desenho topográfico em escala conveniente.
CADERNETA DE CAMPO 
EST PONTOS VISADOS RUMOS
LEITURA DE MIRA ANGULO 
VERTICAL
DIST.
REDUZIDA OBS.FS FM FI
TOPOGRAFIA BÁSICA
20
PRÁTICA N o 07
LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO POR CAMINHAMENTO
POR MEIO DE ÂNGULOS HORÁRIOS
MATERIAIS NECESSÁRIOS: • Teodolito com tripé;
• Baliza (01);
• Piquetes (04);
• Marreta (01).
Ângulos horários são ângulos horizontais medidos no sentido horário. Dependendo 
do sentido em que se caminha ao longo do polígono, os ângulos medidos podem ser internos 
ou externos.
Quando o caminhamento é feito no sentido horário, os ângulos horizontais medidos 
são externos e quando é feito no sentido anti-horário os ângulos horizontais medidos são 
internos.
Cálculo de Azimutes:
Conhecendo-se os ângulos horários medidos pode-se calcular os azimutes dos 
alinhamentos ao longo da poligonal a partir do azimute do primeiro alinhamento. O azimute 
inicial é obtido por meio de uma bússola. 
Fórmula para o cálculo dos azimutes
Azimute calculado = azimute anterior + ângulo horário
 < 180º => +180º
 > 180º < 540º => -180º
 > 540º => -540º
Procedimento de campo:
21
0
1 2
3
4
5
a
NM
Azimute de 0-1 = 145º 00’
 1 – Materializar um polígono no campo;
 2 – Centralizar e nivelar o teodolito na estação 0;
 3 – Visar a estação anterior (ré);
 4 – Ligar o limbo horizontal (o limbo ficará zerado automaticamente);
 5 – Acionar o limbo vertical (movimente a luneta verticalmente);
 6 - Acionar o parafuso do limbo horizontal e visar a baliza na estação 1 (vante);
 7 - Ler o ângulo horário;
 8 – Medir a altura do instrumento;
 9 – Fazer as leituras dos fios estadimétricos na mira;
10 – Ler o ângulo zenital;
11 - Repetir o procedimento nas estações seguintes.
Observação:
Os dados deverão ser anotados na caderneta a seguir. Os azimutes deverão ser calculados 
a partir da estação1. Embora o azimute do primeiro alinhamento seja lido a partir de uma 
bússola, ao final do levantamento deverá ser calculado. Ressalte-se que a diferença entre o 
azimute lido e calculado na estação 0 deverá coincidir com o erro angular obtido a partir da 
soma dos ângulos internos ou externos. Isso comprovará que o cálculo dos azimutes foi feito 
corretamente.
Caderneta de campo
Azimute lido na estação 0 = 
EST. VISADAS ÂNG. AZM. LEITURA DE MIRA ALT. ANG. OBS.
RÉ VANTE HOR. CALC. FI FM FS INST. ZEN.
 Obs.: Após a execução do levantamento deve-se fazer a verificação do erro angular antes de 
par prosseguimento aos trabalhos de escritório.
22
 TOPOGRAFIA BÁSICA
TRABALHO PRÁTICO 
LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO PLANI-ALTIMÉTRICO
CAMINHAMENTO POR ÂNGULOS HORÁRIOS
Obs. As aulas seguintes são destinadas ao trabalho prático da disciplina. Trata-se do 
levantamento topográfico plani-altimétrico de uma área a ser definida no campus da 
UFV. A coleta dos dados necessários ao levantamento será feita em grupos. A seguir é 
apresentado o modelo da caderneta de campo a ser utilizado. O trabalho de escritório 
será desenvolvido em grupos com número menor de integrantes, a ser definido. Esse 
trabalho consta, ainda, do preenchimento de mais três planilhas conforme modelos 
anexos e da apresentação da planta topográfica correspondente ao levantamento. A 
planta será feita por meio das coordenadas retangulares absolutas, em papel 
milimetrado, formato A-3, na escala 1:500 ou 1:1000 e representação do relevo em 
curvas de nível com equidistância vertical a ser definida.
Turma prática:.......... Grupo:.............. Azimute inicial:...................
CADERNETA DE CAMPO
EST
VISADAS ÂNG.
HOR.
AZM.
CALC.
LEIT. DE MIRA ALT.
INST.
ANG.
ZEN. OBS.RÉ VANTE FI FM FS
CADERNETA DE ESCRITÓRIO
EST. AZIM. DIST. DIF. DE NÍVEL COTAS COTAS OBS
23
CALC. REDUZ. CORRIG.+ -
CÃLCULO DE COORDENADAS RETANGULARES
EST AZM. DIST. ABSC. RELAT. ORD. RELAT. ABS. ORD.CALC. RED. CALC. COR. CALC. COR. ABSOL. ABSOL.
CÁLCULO ANALÍTICO DE ÁREA
24
Est. Abcissas Ordenadas Soma binária Diferença Binária Áreas Duplas∑x ∑y ∆ x ∆ y ∑x∆ y ∑y∆ x
TOPOGRAFIA BÁSICA 
 
PRÁTICA No 10
DETERMINAÇÃO DE ÁREAS
25
1) PROCESSO DIRETO:
 A área é avaliada por meio das medidas obtidas diretamente no terreno. Isso se 
aplica quando o terreno tem a forma de polígono regular ( quadrado, retângulo , etc.).
 Ex: área de lotes urbanos
 12 m
 
 30 m
2) - PROCESSO INDIRETO
2.1) A área do terreno é avaliada a partir da área do desenho.
 A área do terreno é determinada indiretamente a partir da área do desenho que 
representa sua projeção horizontal. 
 Nesse caso, emprega-se a fórmula:
 
 St = área do terreno
 Sd = área do desenho
 N = denominador da escala Sd 12 
 St N2
 
Obs.:
Caso o desenho tenha duas escalas, a fórmula anterior passa a:
 
Processos de determinação da Sd :
2.1.1 - Geométrico:
⇒ Decomposição do polígono em figuras geométricas simples, tais como:
 triângulos, retângulos, trapézios, etc. A área total do desenho será igual a soma 
 das áreas dessas figuras parciais;
⇒ Fórmulas: Trapézios; Simpson; Poncelet;
2.1.2 - Mecânico:
Método do Planímetro: PLANÍMETRO é um instrumento que nos permite avaliar a área de 
uma superfície plana limitada por um contorno qualquer.
26
ÁREA = 12 X 30 m = 360 m2
St = Sd x N2
Sd
1
1
ESCALA 1 : N
St = Sd x N1 x N2
 Constituição:
 Fixa Polo
 • Duas hastes articuladas
 Traçadora Estilete
 • Órgão registrador 
 Sd = área do desenho
 Lp = leitura do planímetro
 Us = unidade de superfície
Derterminação da Unidade de Superfície (Us):
⇒ Planímetro de braço fixo: Cada Us corresponde a 10 mm2 .
 EXEMPLO: Escala = 1:2000
 Lp = 2864
 Sd = ?
 Sd = Lp . Us = 2864 x 10 mm2 = 28640 mm2
 St = Sd . N2 = 28640 mm2 x 2000 2 = 114560 x 106 mm2
 = 114560 m2 = 11,4560 ha
⇒ Planímetro de braço móvel : Em alguns planímetros de braço móvel a Us vem 
registrada na haste traçadora. Essa unidade é válida para a escala registrada na 
haste. Para utilizar o planímetro de braço móvel em desenhos confeccionados em 
várias escalas, deve-se determinar a unidade de superfície como segue:
TAMBOR
DISCO
27
Orgão registrador
POLO
ESTILETE200 cm 1:50
NÔNIO
Sd = Lp . Us
 Como o instrumento é utilizado para determinar a área do desenho,a Unidade de 
superfície é calculada como se o desenho estivesse na escala de 1:1. A escala do desenho será 
utilizada para determinar a área do terreno ( como visto no exemplo do cálculo da área com 
planímetro de braço fixo).
Us = 200 cm
2
 = 20000
2500
 = 8 mm 2
502
EXEMPLO:
 Escala do desenho = 1:500
 Lp = 6940
 Us = 40 cm 1:20
 Determinar a área do terreno em metros quadrados e em hectares.
 
 Us = 40 cm2 / 202 = 4000 mm2 / 400 = 10 mm2
 Sd = Lp . Us = 6940 x 10 mm2 = 69.400 mm2 
 St = Sd . N2 = 69.400 mm2 x 5002 = 17.350 x 106 mm2 
 St = 17.350 m2 = 1,7350 ha.
Determinação da leitura do planímetro:
A leitura do planímetro é constituída de quatro algarismos:
1o algarismo - lido no disco
2o e 3o algarismos - lido no tambor
4o algarismo - lido no vernier
2.2 - A área do terreno é obtida a partir dos valores das coordenadas plano-retangulares 
determinadas por meio dos dados do levantamento topográfico. 
Determinação analítica da área do terreno
Nesse processo, a área do terreno é obtida a partir das coordenadas retangulares pela 
fórmula:
2 Sx = (x0 + x1) (y0 - y1) + (x1 + x2 ) ( y1 - y2) + ( x(n-1) + xn ) ( y(n-1) - yn ) + (xn + x0 ) ( yn - y0 ) (eixo dos X)
28
2 Sy = (y0 + y1) (x0 - x1) + (y1 + y2 ) (x1 - x2) + (y(n-1 ) + yn ) (x(n-1 ) - xn ) + (yn + y0 ) ( xn - x0) (eixo dos Y)
2 S = Duplo da área do polígono.
(xo + x1 ); ( x1 + x2 ); (x(n - 1) + xn ); (xn + xo ) representam a soma binária das 
abscissas;
(xo - x1 ); (x1 - x2 ); ( x(n - 1 ) - xn ) ; (xn - x0 ) representam a diferença binária entre as 
abscissas.
OBS: De modo semelhante ( y0 + y1 ); ...........(yn + yo ) e (yo - y1 );.........(yn - yo ) 
representam a soma e a diferença binária entre as ordenadas.
 A fórmula anterior pode ser organizada em forma de planilha. A planilha a seguir 
mostra um exemplo de como se calcular a área de um polígono topográfico a partir das 
coordenadas absolutas de seus vértices pelo processo analítico.
Determinação de área pelo processo analítico
(dados da aula teórica)
EST X Y Soma Binária Diferença Binária Área Dupla
∑X ∑Y ∆x ∆y ∑X ∆y ∑Y∆x
0 200,00 200,00 
1 256,26 179,75 456,26 379,75 -56,26 20,25 9239,2650 -21364,7350
2 331,11 208,13 587,37 387,88 -74,85 -28,38 -16669,5606 -29032,81803 358,35 127,66 689,46 335,79 -27,24 80,47 55480,8462 -9146,9196
4 319,95 64,57 678,30 192,23 38,40 63,09 42793,9470 7381,6320
5 206,27 79,42 526,22 143,99 113,68 -14,85 -7814,3670 16368,7832
0 200,00 200,00 406,27 279,42 6,27 -120,58 -48988,0366 1751,9634
 2S 34042,0940 -34042,0940
S = 34042,0940 / 2 = 17021,047m
S = 1,7021 ha
29
TOPOGRAFIA BÁSICA 
PRÁTICA No 11
PRÁTICA DE MANEJO COM OS NÍVEIS DE LUNETA
NIVELAMENTO GEOMÉTRICO SIMPLES 
(Projeto de uma rede de drenagem pluvial)
⇒ TRABALHO DE CAMPO:
Material necessário:
• Nível de luneta ou Nível de precisão;
• Balizas;
• Trena;
• Mira ou Estádia;
• Caderneta de campo.
Procedimento:
• Locação e estaqueamento do eixo da rede ( 5,00 em 5,00 m);
 OBS: Caso haja mudança de declividade do terreno no intervalo do 
 estaqueamento, deve-se materializar a mudança com estacas intermediárias.
• Nivelamento geométrico simples do eixo locado, anotando todos os valores de leitura de 
mira do terreno na caderneta de campo;
• Contranivelamento para verificação do erro de fechamento. 
CADERNETA DE CAMPO 
ESTACAS LEIT. MIRA DIF. NÍVEL COTAS OBS:+ -
30
⇒ TRABALHO DE ESCRITÓRIO:
• Desenho do perfíl;
• Cálculo da linha de Greide 
• Cálculo das alturas de cortes e aterros.
CADERNETA DE ESCRITÓRIO
ESTACAS COTAS ALTURAS OBS:TERRENO GREIDE CORTE ATERRO
DESENHO DO PERFIL
31
TOPOGRAFIA BÁSICA
PRÁTICA No 12
NIVELAMENTO GEOMÉTRICO
Sistematização de Terrenos
 
DEFINIÇÃO : Sistematizar um terreno é uma operação topográfica que consiste colocar a sua 
superfície em planos uniformes, com declividades adequadas de acordo com 
cada tipo de projeto a ser executado.
CAMPOS DE APLICAÇÃO:
EM OBRAS CIVÍS: Estradas, núcleos habitacionais, pátio de secagem de grãos, distritos 
industriais, campos de futebol, etc.
EM AGRICULTURA: Irrigação superficial em sulcos e por inundação, conservação de solos, 
construção de viveiros para criação de camarões e peixes, etc.
Sistematização de um terreno para construção de um pátio de secagem de grãos 
Conforme as especificações acima, o pátio deverá ficar com declividades do eixo 
central para as laterais bem como no sentido longitudinal. Para atingir esse objetivo os 
trabalhos necessários serão divididos em duas etapas:
A) Trabalho de Campo
- Locação e estaqueamento do eixo longitudinal do pátio (5m)
- Abertura das seções transversais (esquadro de trena)
- Nivelamento geométrico do eixo e das seções.
Obs.: As anotações de campo são feitas na rede de quadrículas conforme convenção a seguir.
 -1% -1% 
 -2%
 
Especificações:
32
Para o cálculo das cotas pode-se estipular um valor de cota para uma das estacas da 
rede de quadrículas (por exemplo estaca 0). A partir da cota dessa estaca e da leitura de mira 
feita na referida estaca será estabelecida a altura do plano de visada que servirá para o cálculo 
das demais cotas do terreno.
Exemplo:
A seguir é apresentada uma rede de quadrículas com 9 estacas. 
Cota estipulada para a estaca 0 igual a 10,000m
Altura do plano de visada = 10,000 + 1,340 = 11,340
Como o nivelamento foi realizado a partir de apenas uma posição do nível no terreno, 
a altura do plano de visada é constante para toda a área.
Cota da estaca 1 = 11,340 – 1,470 = 9,870
Cota da estaca 2 = 11,340 – 1,140 = 10,200
Após o cálculo das cotas do terreno é realizada a etapa de escritório.
 No da Leitura
 estaca de mira
 Cota do
 terreno
 0 1,340 1 1,470 2 1,140 
 10,000 9,870 10,200
 3 1,780 4 1,940 5 1,840 
 9,560 9,400 9,500
 6 2,000 7 1,840 8 3,000 
 9,340 9,500 8,340
33
B) Trabalho de escritório:
Para atender às especificações do projeto (declividades), as cotas do terreno deverão 
ser alteradas, isto é, será necessário fazer cortes e/ou aterros. Essas novas cotas são 
denominadas cotas de GREIDE. O ideal num trabalho de sistematização é que a soma das 
alturas de cortes seja aproximadamente igual à de aterros de modo que a movimentação de 
terra fique restrita à área. Nesse caso, para obter as cotas de greide deve-se partir de uma cota 
inicial (arbitrária) para uma determinada estaca e a partir dela obter as outras cotas tomando 
por base as declividades pré-estabelecidas. Os valores obtidos nessa tentativa levará a um 
resultado que poderá ser alterado para que os cortes feitos sejam suficientes para fazer os 
aterros e vice-versa.
Para fazer as anotações da etapa de escritório, recomenda-se apresentar uma nova rede 
de quadrículas e nos vértices das mesmas, fazer as anotações como segue:
Para obter o plano de sistematização do terreno partiremos de uma cota da estaca 1 
igual a 9,800m. Esse é um valor arbitrado, poderia ser um outro qualquer.
Segundo as especificações do projeto, os eixos longitudinais (direção 0-6, 1-7 e 2-8) 
deverão ter uma declividade de -2%. Supondo que cada quadrícula tenha 10m de lado, as 
cotas de greide serão obtidas como se segue:
Cálculo das cotas do eixo longitudinal central:
Declividade do eixo = -2%
Estaqueamento = 10m
100m - 2,0m
10m x x = - 0,20m
O valor de x corresponde ao desnível (negativo) que deve haver entre estacas 
consecutivas dos eixos longitudinais, isto é, cada cota será reduzida desse valor, já que o eixo 
terá declividade descendente.
Cota de 1 = 9,800 (arbitrada)
Cota de 4 = 9,800 - 0,200 = 9,600
Cota de 7 = 9,600 - 0,200 = 9,400
As cotas dos eixos transversais serão calculadas a partir das cotas do eixo central, 
calculadas anteriormente. Ressalta-se que as cotas irão decrescer do eixo central para as 
laterais de um valor correspondente à declividade de -1%, como especificado. Os cálculos são 
apresentados a seguir:
 No da Cota 
 estaca terreno
 Cota - Corte
 Greide + Aterro 
34
Cálculo das cotas dos eixos transversais:
Declividade do eixo = -1%
Estaqueamento = 10m
100m - 1,0m
10m x x = - 0,10m
Cota de 1 = 9,800 (arbitrada)
Cota de 0 = 9,800 - 0,100 = 9,700
Cota de 2 = 9,800 - 0,100 = 9,700
Cota de 4 = 9,600 
Cota de 3 = 9,600 - 0,100 = 9,500
Cota de 5 = 9,600 - 0,100 = 9,500
Cota de 7 = 9,400
Cota de 6 = 9,400 - 0,100 = 9,300
Cota de 8 = 9,400 - 0,100 = 9,300
Cálculo das alturas de cortes e aterros:
Para obter as alturas de cortes e aterros as cotas de greide são comparadas com as 
cotas do terreno. Quando a cota do terreno natural for maior do que a do projeto (greide), 
teremos uma altura de corte correspondente à diferença entre essas cotas. Em caso contrário, 
teremos aterro. No quadriculado a seguir, estão apresentados os cortes precedidos de sinal 
negativo e aterros com sinais positivos. Observa-se que na estaca 5 não houve corte e nem 
aterro já que a cota do projeto coincide com a do terreno.
 
- 1%- 1%
 0 10,000 1 9,870 2 10,200
 9,700 - 0,300 9,800 - 0,070 9,700 - 0,500
 3 9,560 4 9,400 5 9,500
 9,500 - 0,060 9,600 + 0,200 9,500
 6 9,340 7 9,500 8 8,340
 9,300 - 0,040 9,400- 0,100 9,300 + 0,960
 -2%
35
Balanceamento de cortes e aterros:
O balanceamento visa igualar as alturas de cortes e aterros. Para atender a essa 
exigência, o plano de sistematização deverá ser alterado de uma altura correspondente à 
diferença entre cortes e aterros dividida pelo número de estacas. Se a soma das alturas de 
cortes for superior à de aterros o plano deverá ser elevado, em caso contrário, rebaixado.
Pelo exemplo anterior temos:
Soma das alturas de cortes = ∑C = 1,070m
Soma das alturas de aterros = ∑A = 1,160
Número de estacas = N = 9
010,0
9
160,1070,1
−=
−
=
−
=
∑ ∑
N
AC
Alteração
Nesse caso, como temos altura de aterros maior do que a de cortes, o plano de 
sistematização deve ser rebaixado de 0,010m. Em vez de utilizar como cota da estaca 1 o 
valor 9,800 deve-se utilizar 9,800 – 0,010 = 9,790. Refazendo os cálculos a partir de 9,790 
encontraremos ∑C = 1,140m e ∑A = 1,140m.
Plano de sistematização recalculado
 
- 1%- 1%
 0 10,000 1 9,870 2 10,200
 9,690 - 0,310 9,790 - 0,080 9,690 - 0,510
 3 9,560 4 9,400 5 9,500
 9,490 - 0,070 9,590 + 0,190 9,490 - 0,010
 6 9,340 7 9,500 8 8,340
 9,290 - 0,050 9,390 - 0,110 9,290 + 0,950
 -2%
36
TOPOGRAFIA BÁSICA
PRÁTICA No 13
NIVELAMENTO GEOMÉTRICO COMPOSTO
NIVELAMENTO GEOMÉTRICO COMPOSTO: É uma sucessão de nivelamentos 
geométricos simples interligados. Esse tipo de nivelamento é empregado quando o terreno 
apresenta desníveis acentuados ou o eixo e/u a área a serem nivelados são relativamente 
extensos. No nivelamento geométrico composto há necessidade de instalar o nível mais de 
uma vez. 
DEFINIÇÕES:
ALTURA DE UM PONTO QUALQUER: É a distância vertical compreendida entre o 
ponto considerado e uma superfície de nível tomada como referência.
COTAS: É a altura de um ponto obtida a partir de uma superfície de nível de 
comparação arbitrária.
ALTITUDES: As alturas dos pontos são denominadas altitudes quando a superfície de 
nível de comparação corresponde ao nível médio dos mares prolongado através dos 
continentes.
VISADA DE RÉ: É a primeira visada que se faz após a instalação do nível no terreno. 
VISADAS DE VANTE: São todas as outras visadas que se faz em um nivelamento 
geométrico simples a partir da visada de ré, independente do sentido de visada. Deste modo, 
para cada estação instrumento, temos uma única visada de ré e uma ou mais visadas de vante.
VISADA DE VANTE PROPRIAMENTE DITA: É a última visada feita antes da 
mudança do instrumento para uma nova posição
ERRO DE CÁLCULOS DO NIVELAMENTO GEOMÉTRICO COMPOSTO: Para 
qualquer nivelamento geométrico composto, comprova-se que não há erro no cálculo de cotas 
da seguinte maneira:
∑ Visadas de ré - ∑ visadas vante propriamente ditas = Cota final - Cota inicial.
ERRO DE NIVELAMENTO: Para obter o erro, a operação de nivelamento deverá ser 
repetida partindo-se do final do eixo para o início A essa operação denominamos contra 
nivelamento. O erro será determinado comparando-se a diferença de nível do nivelamento 
com a do contranivelamento. Nesse caso a tolerância é dada pela seguinte expressão:
T = 2 c k onde c = 50 mm / km
 k = comprimento do eixo nivelado em km.
ALTURA DO PLANO DE VISADA: Em nivelamento geométrico, a altura do plano 
de visada é a distância vertical compreendida entre a linha de visada do nível de luneta e a 
superfície de nível de referência.
37
EXEMPLO DE UM NIVELAMENTO GEOMÉTRICO COMPOSTO: 
Na figura abaixo, observa-se que para determinar as cotas do terreno das estacas 
enumeradas é necessário estacionar o nível em três posições (A, B e C). As posições 
escolhidas devem permitir a ligação de um nivelamento ao subseqüente. Dessa forma, as 
cotas estarão relacionadas à mesma SNC.
CADERNETA DE CAMPO
EST
PONTO VISADAS PLANO 
COTAS OBS
VISADO RÉ VANTE VISADA
A
0 2,10 12,10 10,00 estacas a
1 2,00 10,10 cada 10m
B
1 0,50 10,60 10,10
2 2,15 8,45
3 2,30 8,30
C
3 0,70 9,00 8,30
4 1,50 7,50
5 2,40 6,60
 2,10 A 2,00
 0,50 2,15 B 2,30
 0 1
 0,70 C 1,50 2,40
 
 10,00 2 3
 
 4
 
 5
 
 SNC 
38
 
Após a execução do nivelamento, é feito a representação do perfil do terreno que 
permitirá a elaboração do projeto.
O desenho do perfil é feito em papel milimetrado. O perfil representa a interseção de 
um plano vertical com o alinhamento do terreno. Para o seu traçado utilizam-se duas escalas, 
uma para o eixo horizontal onde são representadas as estacas e outra, de denominador menor, 
no eixo vertical onde são representadas as cotas do terreno.
A elaboração do projeto dependerá das especificações a serem atendidas. Suponha que 
pretende-se construir um canal de drenagem e que o mesmo deverá ter uma profundidade 
mínima de 1,0m ao longo de seu trajeto. Nesse caso, numa primeira tentativa, lançaríamos 
uma linha de greide sob a superfície com profundidade inicial e final igual a 1,0m. Percebe-se 
no perfil que, na estaca 2, a profundidade mínima não seria atendida (linha pontilhada), então 
a alternativa é, na estaca 2, aprofundar a linha de greide originando dois trechos com 
declividades distintas. Em seguida é apresentado o cálculo das declividades dos trechos 0-2 e 
2-5. Com as declividades definidas, calcula-se as cotas da linha correspondente ao fundo do 
canal e posteriormente os cortes a serem feitos no terreno. 
DESENHO DO PERFIL
 COTAS
 escala
 1:100
 11
 10
 9
 8
 7
 6
 5
 0 1 2 3 4 5 
 ESTACAS 
 escala 1:500 
Declividade do trecho 0-2: 
Comprimento do trecho = dr = 20,00m
Cota de 0 = 9,00
Cota de 2 = 8,45 – 1,00 = 7,45  dn = 9,00 – 7,45 = 1,55
Declividade = d
39
GREIDE
%75,7100
00,20
55,1100 === xx
dr
dnd
Cálculo das cotas do trecho 0-2:
A cota de 0 é igual a 9,00m conforme se vê no perfil mostrado anteriormente. A cota 
de 1 será igual à cota de 0 menos o valor do desnível correspondente à declividade de 7,75%, 
isto é:
100 ------------- 7,75
10 --------------- x x = 0,775m
Cota 1 = 9,00 - 0,775 = 8,225Como na estaca 2 está previsto um corte de 1,00m, a cota dessa estaca será igual a 
8,45m (terreno) menos 1,00m, isto é, 7,45m. As cotas calculadas encontram-se na caderneta 
de escritório, a seguir.
Declividade do trecho 2-5:
 
Comprimento do trecho = dr = 30,00m
Cota de 2 = 7,45
Cota de 5 = 6,60 – 1,00 = 5,60  dn = 7,45 – 5,60 = 1,85
%17,6100
00,30
85,1100 === xx
dr
dnd
Cálculo das cotas do trecho 2-5:
A cota de 2 é igual a 7,45m conforme calculado anteriormente. A cota de 3 será igual 
à cota de 2 menos o valor do desnível correspondente à declividade de 6,17%, isto é:
100 ------------- 6,17
10 --------------- x x = 0,617m
Cota 3 = 7,45 - 0,617 = 6,83m.
A cota de 4 é igual a 6,83 – 0,617 = 6,21m
A cota de 5 é igual a 6,21 – 0,617 = 5,60m
Ao comparar as cotas da linha de greide com as do terreno teremos cortes ou aterros. 
Como se trata de um canal, os valores encontrados correspondem às profundidades do canal 
ao longo das estacas, como se vê na caderneta a seguir.
CADERNETA DE ESCRITÓRIO
40
ESTACAS
COTAS ALTURAS
OBS.
TERRENO GREIDE CORTES ATERROS
0 10,00 9,00 1,00 estacas a
1 10,10 8,23 1,87 cada 10m
2 8,45 7,45 1,00
3 8,30 6,83 1,47
4 7,50 6,21 1,29
5 6,60 5,60 1,00
41
	Fórmula para o cálculo dos azimutes