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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECOˆNCAVO DA BAHIA - UFRB CENTRO DE CIE`NCIA E TECNOLOGIA EM ENERGIA E SUSTENTABILIDADE A´LGEBRA LINEAR - 2017.1 Bacharelado Interdisciplinar em Energia e Sustentabilidade Lista 01 - Matrizes e Sistemas Lineares Aluno(a): Professor: Jaqueline Azevedo I - Matrizes (1) Sejam: A = [ 1 2 3 2 1 −1 ] , B = [ −2 0 1 3 0 1 ] , C = −12 4 , D = [ 2 −1 ], E = 1 03 −1 4 2 e F = [ 1 0 0 1 ] . Calcule, quando possı´vel: (a) A+ B (b) B+ F (c) A · C (d) C · A (e) Et + (−A) (f) C · D+ 2E− At (g) Ct · E− 3D (h) E · F+ At − Bt (2) Dadas as matrizes A = [ aij ] 2×2, tal que aij = { i+ j , se i = j 0 , se i 6= j e B = [ bij ] 2×2, tal que bij = 2i− 3j, enta˜o A+ B e´ igual a: (a) [ −1 4 −1 −2 ] (b) [ 1 −4 −1 −2 ] (c) [ −1 4 1 2 ] (d) [ 1 −4 1 2 ] (e) [ 1 4 1 2 ] (3) Sendo as matrizes M = [mij]2×3, N = [nij]a×b, P = [pij]c×4, Q = [qij]d×e, e´ possı´vel determinar M+ N, N · P e P−Q, se: (a) b− a = c− d (b) a = b = c = d = e− 1 (c) b = a+ 1, c = d = e = 4 (d) a · b = 6, a+ 1 = b = c = d = e− 1 (e) b = c = d = a+ c 2 (4) O valor de x para que [ −2 x 3 1 ] · [ 1 −1 0 1 ] seja uma matriz sime´trica e´: (a) −1 (b) 0 (c) 1 (d) 2 (e) 3 (5) Uma matriz quadrada A e´ ortogonal quando A e´ inversı´vel e A−1 = At. (a) Determine se possı´vel x e y em R a fim de que a matriz A = [ √ 2 x y √ 2 ] seja ortogonal. (b) Mostre que o produto de duas matrizes ortogonais e´ ortogonal. (6) Reduza as matrizes abaixo a` forma reduzida escalonada e determine o posto e a nulidade das mesmas. 1 2 (a) A = 1 1 1 31 0 −1 1 0 1 2 2 (b) B = [ 1 −4 3 2 ] (c) C = 6 3 −4−4 1 −6 1 2 −5 (d) D = 0 1 3 −22 1 −4 3 2 3 2 −1 (7) Usando as operac¸o˜es elementares sobre linhas, determine se as matrizes abaixo sa˜o inversı´veis e, em caso afirmativo, determine a sua inversa. (a) A = [ 1 3 2 7 ] (b) B = 2 5 14 1 2 0 4 1 (c) C = 1 2 60 1 5 2 3 7 (d) D = [ 1 2 3 4 ] (e) E = 4 2 34 5 6 7 8 8 (8) Determine, se possı´vel, o valor de x para que a matriz A = 0 2x 1x2 0 −x x+ 1 x3 0 seja: (a) sime´trica (b) antissime´trica 3 II - Sistemas Lineares (9) Resolva os seguintes sistemas: (a) S1 = x+ 2y− z = 2 2x− y+ 3z = 9 3x+ 3y− 2z = 3 (b) S2 = 2x− 3y+ z = 2 3x+ 2z = 0 5y− 2w = −5 y− z+ w = −4 (10) Determine a soluc¸a˜o do sistema abaixo, considerando o corpo dos nu´meros complexos. { 2x+ (i− 1)y+ w = 0 3y− 2iz+ 5w = 0 (11) Considere o sistema de equac¸o˜es lineares S = 3x− 5y+ 12z− w = −3 x+ y+ 4z− w = −6 2y+ 2z+ w = 5 (a) Determine a soluc¸a˜o do sistema; (b) Acrescente a equac¸a˜o 2z + kw = 9 no sistema acima, e enta˜o discuta a soluc¸a˜o do novo sistema em func¸a˜o do paraˆmetro real k; (c) Admita, agora, que o sistema S, dado, seja homogeˆneo, isto e´, todos os termos indepen- dentes, das varia´veis, sa˜o iguais a zero. Adicione a equac¸a˜o 2z− y− 2w = 0 neste sistema homogeˆneo, e enta˜o obtenha a sua soluc¸a˜o. (12) Um bio´logo colocou treˆs espe´cies de bacte´ria (denotadas por I, II e III) em um tubo de ensaio, onde elas sera˜o alimentadas por treˆs fontes diferentes de alimentos (A, B e C). A cada dia sera˜o colocadas no tubo de ensaio 2.300 unidades de A, 800 unidades de B e 1.500 unidades de C. Cada bacte´ria consome um certo nu´mero de unidades de cada alimento por dia, como mostra a tabela abaixo.Quantas bacte´rias de cada espe´cie podem coexistir no tubo de ensaio de modo a consumir todo o alimento? Alimento Bacte´ria 1 Bacte´ria 2 Bacte´ria 3 A 2 2 4 B 1 2 0 C 1 3 1 (13) A tabela abaixo da´ a quantidade de proteı´na, carboidrato e gordura existentes em 1 Kg das rac¸o˜es R1, R2 e R3. Pergunta-se: (a) Que quantidade de cada uma destas rac¸o˜es deve ser dada a um animal que precisa receber 0,7 Kg de proteı´na, 1,1 Kg de carboidrato e 1,8 Kg de gordura? 4 Rac¸a˜o Proteı´na Carboidrato Gordura R1 0,1 0,2 0,3 R2 0,1 0,3 0,4 R3 0,1 0,1 0,2 (b) Qual o custo mı´nimo para alimentar um animal, sabendo-se que os prec¸os das rac¸o˜es R1, R2 e R3 sa˜o R$ 1,50, R$ 3,00 e R$ 2,00, respectivamente? (14) Usando apenas as teorias dos sistemas de equac¸o˜es lineares e de escalonamento gaussiano, pro- cure balancear, de forma mı´nima, a seguinte equac¸a˜o quı´mica, ou seja, determine os valores de x, y, z e w inteiros positivos, na expressa˜o abaixo: xAl(OH)3 + yH2SO4 −→ zAl2(SO4)3 + wH2O (15) Construir o polinoˆmio interpolador quadra´tico dos pontos A = (1, 4), B = (−1, 10), C = (2, 7). (16) Determine os valores de a e b que tornam o seguinte sistema possı´vel e determinado S = 3x− 7y = a x+ y = b 5x− 3y = 5a = 2b x+ 2y = a+ b− 1 (17) Calcule o valor de k para que o sistema linear homogeˆneo admita apenas soluc¸o˜es pro´prias. S = x− y− z = 0 x− 2y− 2z = 0 2x+ ky+ z = 0 (18) Discuta, segundo o paraˆmetro m, os seguintes sistemas lineares: (a) S1 = x+ y+ z = 0 x− y+mz = 2 mx+ 2y+ z = −1 (b) S2 = mx+ y− z = 4 x+my+ 2z = 0 y− z = 2 Bom Estudo!
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