Inequações do Primeiro e Segundo Grau

Prévia do material em texto

INEQUAÇÃO
Inequação é uma sentença matemática que apresenta pelo menos um valor desconhecido (incógnita) e representa uma desigualdade.
Nas inequações usamos os símbolos:
> maior que
< menor que
≥ maior que ou igual
≤ menor que ou igual
Exemplos
3x - 5 > 62
b) 10 + 2x ≤ 20
Inequação do Primeiro Grau
Uma inequação é do 1º grau quando o maior expoente da incógnita é igual a 1. Podem assumir as seguintes formas:
ax + b >0
ax + b < 0
ax + b ≥ 0
ax + b ≤ 0
Sendo a e b números reais e a ≠ 0
Resolução de uma inequação do primeiro grau.
Para resolver uma inequação desse tipo, podemos fazer da mesma forma que fazemos nas equações.
Contudo, devemos ter cuidado quando a incógnita ficar negativa.
Nesse caso, devemos multiplicar por (-1) e inverter a símbolo da desigualdade.
Exemplos
a) Resolva a inequação 3x + 19 < 40
Para resolver a inequação devemos isolar o x, passando o 19 e o 3 para o outro lado da desigualdade.
Lembrando que ao mudar de lado devemos trocar a operação. Assim, o 19 que estava somando, passará diminuindo e o 3 que estava multiplicando passará dividindo.
3x < 40 -19
x < 21/3
x < 7
b) Como resolver a inequação 15 - 7x ≥ 2x - 30?
Quando há termos algébricos (x) dos dois lados da desigualdade, devemos juntá-los no mesmo lado.
Ao fazer isso, os números que mudam de lado tem o sinal alterado.
15 - 7x ≥ 2x - 30
- 7x - 2 x ≥ - 30 -15
- 9x ≥ - 45
Agora, vamos multiplicar toda a inequação por (-1). Para tanto, trocamos o sinal de todos os termos:
9x ≤ 45 (observe que invertemos o símbolo ≥ para ≤)
x ≤ 45/9
x ≤ 5
Portanto, a solução dessa inequação é x ≤ 5.
Resolução usando o gráfico da inequação
Uma outra forma de resolver uma inequação é fazer um gráfico no plano cartesiano.
No gráfico, fazemos o estudo do sinal da inequação identificando que valores de x transformam a desigualdade em uma sentença verdadeira.
Para resolver uma inequação usando esse método devemos seguir os passos:
1º) Colocar todos os termos da inequação em um mesmo lado.
2º) Substituir o sinal da desigualdade pelo da igualdade.
3º) Resolver a equação, ou seja encontrar sua raiz.
4º) Fazer o estudo do sinal da equação, identificando os valores de x que representam a solução da inequação.
Exemplo
Resolva a inequação 3x + 19 < 40.
Primeiro, vamos escrever a inequação com todos os termos de um lado da desigualdade:
3x + 19 - 40 < 0
3x - 21 < 0
Essa expressão indica que a solução da inequação são os valores de x que tornam a inequação negativa (< 0)
Encontrar a raiz da equação 3x - 21 = 0
x = 21/3
x = 7 (raiz da equação)
Representar no plano cartesiano os pares de pontos encontrados ao substituir valores no x na equação. O gráfico deste tipo de equação é uma reta.
Identificamos que os valores < 0 (valores negativos) são os valores de x < 7. O valor encontrado coincide com o valor que encontramos ao resolver diretamente (exemplo a, anterior).
Inequação do Segundo Grau
Uma inequação é do 2º grau quando o maior expoente da incógnita é igual a 2. Podem assumir as seguintes formas:
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c ≥ 0
ax2 + bx + c ≤ 0
Sendo a, b e c números reais e a ≠ 0
Podemos resolver esse tipo de inequação usando o gráfico que representa a equação do 2º grau para fazer o estudo do sinal, da mesma forma que fizemos no da inequação do 1º grau.
Lembrando que, nesse caso, o gráfico será uma parábola.
Exemplo
Resolver a inequação x2 - 4x - 4 < 0?
Para resolver uma inequação do segundo grau é preciso encontrar valores cuja expressão do lado esquerdo do sinal < dê uma solução menor do que 0 (valores negativos).
Primeiro, identifique os coeficientes:
a = 1
b = - 1
c = - 6
Utilizamos a fórmula de Bhaskara (Δ = b2 - 4ac) e substituímos pelos valores dos coeficientes:
Δ = (- 1)2 - 4 . 1 . (- 6)
Δ = 1 + 24
Δ = 25
Continuando na fórmula de Bhaskara, substituímos novamente pelos valores dos nossos coeficientes:
x = (1 ± √25) / 2
x = (1 ± 5) / 2
x1 = (1 + 5)/ 2
x1 = 6 / 2
x1 = 3
x2 = (1 - 5) / 2
x1 = - 4 / 2
x1 = - 2
EXERCÍCIOS
Questão 1 (PM Pará 2012). Baseado na figura abaixo, o menor valor inteiro par que o número x pode assumir para que o perímetro dessa figura seja maior que 80 unidades de comprimento é:
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14
 
Resolução:
Calculando o perímetro (lembrando que o perímetro é a soma de todos os lados):
P = x + 5 + 3x + 8 + x + 5 + 6x -8
P = 11x + 10
 
Queremos que 11x + 10 seja maior que 80.
11x + 10 > 80
 
Vamos resolver a inequação:
11x + 10 > 80
11x > 80 – 10
x > 70/11
x > 6,36
O menor inteiro par será 8.
 
 
Questão 2 (CBM-RJ 2013). A solução de 4 – 3x > -2 é:
a)x < 2
b)x < 1
c)x < 6
d)x > 2
e)x > 6
 
Resolvendo a inequação do primeiro grau:
4 – 3x > -2
– 3x > -2 – 4
– 3x > -6
3x < 6
x = 6/3
x = 2
 
 
Questão 3 (CMB 2012 – Cesgranrio). Qual é o menor valor inteiro que satisfaz a desigualdade apresentada a seguir?
9x + 2(3x – 4) > 11x – 14
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2
 
Resolvendo a inequação do primeiro grau:
9x + 2(3x – 4) > 11x – 14
9x + 6x – 8 > 11x – 14
15x – 8 > 11x – 14
15x – 11x > – 14 + 8
4x > – 6
x > -6/4
x > -3/2
 
Como -3/2 = -1,5, o menor valor inteiro que satisfaz a inequação é -1.
 
 
Questão 4 (CAERN 2010 – FGV). O conjunto de todas as soluções reais da inequação 2x + 1 < 3x + 2 é
a) ]-∞, -1[
b) ]-∞, 1[
c) ]-1, +∞[
d) ]1, +∞[
e) ]-1, 1[
 
Resolvendo a inequação do primeiro grau:
2x + 1 < 3x + 2
2x – 3x < 2 – 1
-x < 1
x > -1
A solução da inequação é o conjunto de números reais maiores que -1. Logo, S = ]-1, +∞[.
 
As raízes da equação são -2 e 3. Como o a da equação do 2º grau é positivo, seu gráfico terá a concavidade voltada para cima.
Pelo gráfico, observamos que os valores que satisfazem a inequação são: - 2 < x < 3
Podemos indicar a solução usando a seguinte notação:
EXERCÍCIOS
I) EXERCÍCIOS PARA REVISÃO
1) Resolva as inequações abaixo U = N
Sendo N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, .....} o valores da solução da equação
devem está neste conjunto
a) 2x + 5 < -3x +40
2x + 3x < 40 - 5
5x < 35
x < 35/5
x < 7
S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) 6(x - 5) -2(4x +2) > 100
6x - 30 -8x - 4 > 100
6x -8x > 100 + 30 + 4
- 2x > 134 . (-1)
2x < -134/2
x < - 67
S = Φ
c) 7x - 9 < 2x + 16
7x -2x < 16 + 9
5x < 25
x < 25/5
x < 5
S = [0,1, 2, 3, 4}
d) -(8 - 4x - 7) ≤ 2x + 7
- 8 + 4x + 7 ≤ 2x + 7
4x - 2x ≤ 7 + 8 - 7
2x ≤ 8
x ≤ 8/2
x ≤ 4
S = { 0, 1, 2, 3, 4}
 
2) Resolva as inequações em U = Z
Os valores da solução da equação devem está no conjunto
Z = ..... -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4, 5, .......}
a) 2x + 5 ≥ -3x +40
2x + 3x ≥ 40 - 5
5x ≥ 35
x ≥ 35/5
x ≥ 7
S = {7, 8, 9, 10,11,12,......}
b) 6(x - 5) -2(4x +2) ≥ 80
6x - 30 -8x - 4 ≥ 80
6x - 8x ≥ 80 + 30 + 4
- 2x ≥ 114 . (-1)
2x ≤ -114
x ≤ 114/2
x ≤ -57
S = {....., - 61, - 60, - 59, - 58, - 57}
c) 20 - (7x + 4) < 30
20 - 7x - 4 < 30
- 7x < 30 + 4 - 20
- 7x < 14 . (-1)
7x > -14
x > - 14/7
x > -2
S = { -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, .....}
d) -(8 - 5x) ≤ 2x + 7
-8 + 5x ≤ 2x + 7
5x - 2x ≤ 7 + 8
3x ≤ 15
x ≤ 15/3
x ≤ 5
S = { ..... - 6, - 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
 
3) Resolva as inequações em U = R
a) 8x - 10 > 2x + 8
8x -2x > 8 + 10
6x > 18
x > 18/6
x > 3
S = { x € R / x > 3}
b) 2(3x +7) < -4x + 8
6x + 14 < - 4x + 8
6x + 4x < 8 - 14
10 < - 6
x < - 6/10
x < -3/5
S = { x € R / x < -3/5}
c) 20 - (2x +5) ≤ 11 + 8x
20 - 2x - 5 ≤ 11 + 6x
- 2x - 6x ≤ 11 - 20+ 5
- 8x ≤ - 15 (- 1)
8x ≥ 15
x ≥ 15/8
S = { x € R / x ≥ 15/8}
d) 20 - 2(3x + 4) + 2(3 - 7x) > 2(-x+5) -7x +9
20 - 6x - 8 + 6 - 14x > - 2x + 10 - 7x + 9
- 6x - 14x + 2x + 7x > 10 + 9 - 20 + 8 - 6
9x - 20x > 27 - 26
- 11x > 1 . (-1)
11x < - 1
x < - 1/11
S = { x € R / x < - 1/11
II) OBSERVAÇÃO:
Quando houver denominador você procede da seguinte forma:
a) tira o mmc dos denominadores
b) escreve o mmc no denominador de cada fração correspondente
c) divide o mmc por cada denominador da inquação original
d) multiplicao resultador por cada numerador.
d) "corta" os denominadores. Com isso as inequaçõe ficam semelhantes as que estão nos exercícios acima!
 
4) resolva as inequações abaixo em U = R
.......2x + 8         x - 3       10
a) ————  + ———— > ——
.........3               6           4
.
.......x -   10      x + 3      12
b) ————  + ——— ≤ ——
..........3             6          4