MODELAGEM MATEMÁTICA - 1

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MODELAGEM 
MATEMÁTICA
Unidade 1
CEO 
DAVID LIRA STEPHEN BARROS
Diretora Editorial 
ALESSANDRA FERREIRA
Gerente Editorial 
LAURA KRISTINA FRANCO DOS SANTOS
Projeto Gráfico 
TIAGO DA ROCHA
Autoria 
GLAUCO ANTÔNIO DO NASCIMENTO
RAFAELA RODRIGUES OLIVEIRA AMARO
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Glauco Antônio do Nascimento
Sou formado em Gestão de Negócios e em Licenciatura em 
Matemática. Possuo MBA em Gestão Empresarial e experiência 
técnico-profissional na área de Tecnologia da Informação (TI) 
há mais de 29 anos. Na área da educação, atuei por seis anos 
como professor no ensino fundamental, médio, técnico e 
superior (graduação e pós-graduação) de grandes universidades. 
Como sou apaixonado pelo que faço e adoro transmitir minha 
experiência de vida àqueles que estão iniciando em suas 
profissões e estudos, fui convidado pela Editora Telesapiens a 
integrar seu elenco de autores independentes. Estou muito feliz 
em ajudá-lo nesta fase de muito estudo e trabalho. Conte comigo!
Rafaela Rodrigues Oliveira Amaro
Sou formada em Matemática, especialista em Metodologia 
do Ensino de Matemática e pós-graduada em Design Educacional. 
Possuo uma ampla experiência no âmbito da educação, em sala 
de aula e na elaboração de material didático para diferentes 
níveis de ensino da Matemática. Apaixonada por esta disciplina 
e pelo processo de sua transmissão, busco a elaboração de um 
material de fácil compreensão. Por isso, fui convidada pela Editora 
Telesapiens a integrar seu elenco de autores independentes. 
Estou muito feliz em poder auxiliá-lo nesta fase de muito estudo 
e trabalho. Conte comigo!
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Expressões algébricas (Operações e operadores) ................ 10
Expressões algébricas .......................................................................................10
Monômio ............................................................................................................15
Grau de um monômio ........................................................................16
Monômios semelhantes.....................................................................16
Polinômios...........................................................................................................17
Tipos de polinômio .............................................................................18
Grau de polinômio com uma variável ............................................. 18
Grau de polinômio com mais de uma variável .............................. 19
Operações envolvendo monômios ................................................................20
Adição de monômios ..........................................................................20
Subtração de monômios ...................................................................21
Multiplicação de monômios .............................................................. 23
Divisão de monômios .........................................................................25
Potenciação de monômios ................................................................26
Propriedades das operações envolvendo monômios ................................ 27
Comutatividade ...................................................................................27
Associatividade ....................................................................................28
Elemento neutro .................................................................................28
Elemento inverso ................................................................................29
Operações polinomiais .....................................................................................30
Fatoração ..............................................................................................31
Caso 1 – Fator comum .........................................................32
Caso 2 – Agrupamento ........................................................32
Caso 3 – Trinômio quadrado perfeito .............................. 33
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Caso 4 – Trinômio do tipo x2 + Sx + P ............................... 35
Caso 5 – Diferença de dois quadrados ............................ 36
Caso 6 – Soma de dois cubos ............................................ 36
Caso 7 – Diferença de dois cubos ..................................... 37
Equação do 1.º grau ................................................................. 39
Igualdade e Incógnita ........................................................................................39
Propriedades de uma igualdade ....................................................................41
Solução de uma equação do 1.º grau com uma incógnita ........................ 45
Situações-problema que recaem em equação ............................................ 50
Funções do 1.º grau ................................................................. 56
A ideia de função ...............................................................................................56
Função afim ou função de 1.º grau ................................................................59
Raiz ou zero da função .....................................................................................63
Casos particulares .............................................................................................67
Elaboração e interpretação de gráficos lineares ................. 71
Plano cartesiano ................................................................................................72
Representação gráfica de uma função do 1.º grau ..................................... 77
Interpretação gráfica do zero de uma função ..............................................81
Representação gráfica dos casos particulares ............................................. 83
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Com o objetivo de desenvolver o raciocínio lógico por 
meio de um processo organizado e consistente, a matemática 
exige passos e uma interpretação coerente, tanto de fórmulas 
quanto de problemas que surgem no nosso dia a dia. A disciplina 
Modelagem Matemática faz parte da cadeia de ciências 
exatas do ensino superior, com forte aplicação na educação 
profissional. Sua principal finalidade é a de promover a prática 
da aritmética, da álgebra elementar, da geometria plana e sólida 
e da trigonometria. Tem, ainda, grande influência na física e 
na Tecnologia da Informação (TI). No caso específico desta 
publicação, a modelagem matemática cumprirá a função de 
aplicar os conhecimentos básicos dessa ciência nas situações 
e contextos práticos da vida profissional, sobretudo em temas 
relacionados com a Tecnologia da Informação (TI) e áreas 
profissionais relacionadas aos setores produtivos. 
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Olá! Seja bem-vindo à Unidade 01. Nosso objetivo é 
auxiliá-lo no desenvolvimento das seguintes competências até o 
fim desta etapa de estudos:
1. Classificar os números, bem como estar plenamente 
familiarizado com as expressões algébricas.
2. Interpretar e resolver situações-problemas com ajuda 
das propriedades dos conjuntos e solucionar problemas 
envolvendo equações do primeiro grau.
3. Aplicar as funções de primeiro grau nas atividades 
de medição e monitoramento de diversas grandezas 
físicas.
4. Elaborar gráficos dos mais diversos tipos, tais como 
linha, barra, pizza, entre outros, para descrever o 
comportamento dos números gerados por funções de 
primeiro grau.
Preparado para uma viagem rumo ao conhecimento? Ao 
trabalho!
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Expressões algébricas 
(Operações e operadores)
OBJETIVO
Ao término deste capítulo, você será capaz 
de identificar e diferenciaros monômios dos 
polinômios, assim como conhecerá o processo 
de fatoração com base em seus casos mais 
recorrentes na matemática. Além disso, conhecerá 
as operações possíveis de serem realizadas com 
os polinômios, bem como as propriedades que 
amparam o importante fundamento matemático!
Expressões algébricas
Como você escreveria matematicamente a seguinte 
operação: um mais dois vezes três?
a. 1 + 2 × 3
b. (1 + 2) × 3 ou
c. 1 + (2 × 3)?
Será que um símbolo aparentemente simples como o 
parênteses faz alguma diferença no resultado dessa conta? 
Deduza a resposta desse questionamento por meio do valor 
obtido em cada situação:
a. 1 + 2 × 3 = 7
b. (1 + 2) × 3 = 9
c. 1 + (2 × 3) = 7
As situações representadas anteriormente são 
denominadas expressões numéricas.
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Perceba que, para resolver uma expressão numérica, 
alguns cuidados em relação à ordem da resolução das operações 
devem ser considerados, pois existe uma hierarquia entre elas. 
Observe:
1.º - Resolver potenciações e radiciações;
2.º - Resolver multiplicações e divisões;
3.º - Resolver adições e subtrações.
Se a expressão numérica apresentar outros símbolos, 
deve-se respeitar também a hierarquia de resolução:
1.º - Resolver as operações que estiverem dentro dos 
parênteses ( );
2.º - Resolver as operações que estiverem dentro dos 
colchetes [ ];
3.º - Resolver as operações que estiverem dentro das 
chaves { }.
No entanto, existem expressões matemáticas em que 
serão representados “valores desconhecidos”. Neste caso, 
indicaremos genericamente, esse valor por meio de uma 
variável, ou seja, uma letra para representar um “número que 
não conhecemos”. Por exemplo: A sentença “um número mais 
três” pode ser representada como x + 3.
Essa maneira de representar uma situação envolvendo 
operações e valores desconhecidos é chamada de expressão 
algébrica.
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DEFINIÇÃO
Expressão algébrica é a forma utilizada para 
representar um problema matemático (sentença 
matemática), que envolve uma ou mais operações 
com constantes e variáveis.
Exemplo:
• + 3 · (x + 2)
• – (–y) · 3 – (z – 4)
• 6a + 6b + 12
Em uma expressão algébrica, os números são denominados 
“constantes” e as letras são as “variáveis”.
DEFINIÇÃO
Constantes são os elementos de uma expressão 
que nunca mudam de valor, isto é, são valores 
fixos.
6a + 6b + 12
Note que 6 e 12 são as constantes que compõem 
essa expressão, pois não se alteram.
DEFINIÇÃO
As variáveis, também conhecidas como “literais” ou 
“incógnitas”, são os elementos de uma expressão 
algébrica que podem assumir qualquer valor 
numérico e são representados por letras.
6a + 6b + 12
Note que a e b são as variáveis que dessa expressão. 
Se considerarmos a = 1 e b = 2, o resultado da 
expressão (valor numérico) será igual a 30. No 
entanto, se forem atribuídos outros valores a essas 
incógnitas, o resultado será outro.
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Exemplo: você sabia que a escala de medição de 
temperatura utilizada no Brasil é diferente da utilizada nos 
Estados Unidos da América? Aqui, medimos a temperatura 
em graus Celsius (oC), enquanto, nos EUA, assim como em 
vários outros países de influência anglo-saxônica, a escala 
aplicada é a Fahrenheit (oF). Em um dia de verão naquele 
país, a temperatura ambiente pode variar entre 73 oF a 93 
oF. Você tem ideia de quanto isso representaria na escala 
Celsius? A expressão que calcula uma temperatura em 
graus Fahrenheits, dado o seu valor em graus Celsius, é 
dada por:
9
5 C + 32 = F
em que C é a variável que representa a temperatura em 
graus Celsius e F é a sua correspondência em Fahrenheits. 
Dessa forma, uma temperatura de 27 oC equivale a quantos 
graus Fahrenheit?
Solução: para solucionar o problema proposto, vamos 
substituir o valor da temperatura definido por 27 oC na 
expressão apresentada. Portanto:
9
5 C + 32 = F → 
9
5 ∙ 27 + 32 = 80,6 °F
Note que, para solucionar essa expressão, multiplicamos 
o número 27 por 9, depois, dividimos o resultado por 5. 
Após essas duas operações, somamos o resultado ao valor 
32. Isso ocorre, pois, para determinar o valor numérico de 
uma expressão algébrica, utilizamos a ordem de resolução 
das operações, assim como fizemos para uma expressão 
numérica.
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VOCÊ SABIA?
Expressões numéricas e algébricas podem ser 
simplificadas, isto é, reescritas de maneira mais 
simples. A simplificação é um processo que 
facilita a resolução de expressões algébricas, 
pois tem por objetivo reduzi-las, gerando outra 
expressão equivalente com menos termos, ou 
seja, simplificada. Isso tudo gerará o resultado 
real de maneira mais rápida e eficiente, tornando 
o processo de resolução mais objetivo, o que 
evita muitos cálculos e o consequente risco de 
ocorrência de erros.
É necessário manter a organização da solução para que 
não ocorra perda de referência na montagem e a consequente 
manipulação da expressão.
Simplificar expressões é uma atividade que pode ter 
início com a simplificação de frações, ou seja, dividindo-se o 
numerador e o denominador pelo mesmo número em cada uma 
delas. Isso seria o mesmo que eliminar todos os fatores comuns, 
obtendo uma fração mais simples equivalente à fração inicial. 
Exemplo: simplificação da fração 2040 :
20 ∶2
40 ∶2
 = 
10 ∶2
20 ∶2
 = 
5 ∶5
10 ∶5
 = 
1
2
Ao simplificar uma fração, deve-se dividir numerador e 
denominador pelo mesmo valor. No exemplo, dividimos 2040 
por 2 e obtivemos 1020 . Em seguida, fizemos a simplificação 
por 2 novamente, obtendo 510 e, por fim, simplificamos 
por 5, obtendo 12 que é uma fração irredutível (não 
pode mais ser simplificada). Pegue uma calculadora e 
faça o teste: divida o numerador (20) pelo denominador 
(40) e anote o resultado. Faça o mesmo para as outras 
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frações. Qual número você obteve? Foi o mesmo? Isso 
ocorre, pois as quatro frações são equivalentes entre si, 
ou seja, representam o mesmo número racional, porém, 
estão escritas de maneiras diferentes. Observe ainda, que 
poderíamos ter realizado a simplificação percorrendo 
outro caminho, por exemplo: dividindo numerador e 
denominador por 20. De modo, chegaríamos direto em 1
2
. 
Monômio 
Observe a expressão a seguir: 
9
5 C + 32 = F
Você se lembra dela? Nós a utilizamos para indicar 
a conversão da unidade de temperatura Celsius para a 
Fahrenheit. Nessa expressão, é possível observar claramente um 
agrupamento de variável e constante que se multiplicam entre 
si. Este é o caso do agrupamento: 9 ∙ c
5
 e, para ele, atribuímos o 
nome “monômio”.
DEFINIÇÃO
Monômio é uma expressão algébrica simplificada 
envolvendo a multiplicação entre números e letras. 
Um monômio ou termo algébrico é formado por 
uma parte numérica (coeficiente) e uma parte 
literal (letra).
Exemplo:
• No monômio 10x4, o coeficiente é 10 e a parte literal é x4.
• No monômio 9
5
c, o coeficiente é 9
5
 e a parte literal é C.
• No monômio x2 y, o coeficiente é 1 e a parte literal é x2 y.
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É possível realizar todas as operações matemáticas básicas 
entre monômios. Logo, os monômios podem ser compreendidos 
como constantes ou variáveis dentro de uma expressão. Portanto, 
uma expressão algébrica é constituída de dois ou mais termos que 
podem ser uma constante, uma variável ou um monômio.
Grau de um monômio
DEFINIÇÃO
Podemos identificar o grau de um monômio por 
meio da soma dos expoentes de suas variáveis. Ou 
seja, dizemos que um monômio é de primeiro grau 
quando possui apenas uma variável elevada ao 
expoente 1. Se houver uma segunda variável nesse 
monômio, mesmo que não possua um expoente 
explícito, dizemos que ele é de segundo grau.
Observe alguns exemplos: 
Exemplo:
• 4x Monômio de primeiro grau (1)
• 4xy Monômio de segundo grau (1 + 1 = 2)
• 16x2 y Monômio de terceiro grau (2 + 1 = 3)
• 5mnpq Monômio de quarto grau (1 + 1 + 1 + 1 =4)
Monômios semelhantes
DEFINIÇÃO
Dois ou mais monômios são semelhantes quando 
a sua parte literal é a mesma. Em outras palavras, 
um monômio é semelhante ao outro quando as 
variáveis envolvidas em sua operação algébrica 
são idênticas. 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/operacao-com-numeros-inteiros.htm
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Vejamos alguns exemplos: 
Exemplo:
• 4x é semelhante a 8x.
• 4xy2 é semelhante a xy
2
4 .
Polinômios
DEFINIÇÃO
Polinômio é uma expressão algébrica formada 
pela adição algébrica (adição ou subtração) de 
monômios não semelhantes.
Exemplo:
• 3ab + 4c – 2b → Três monômios.
• x – 16x2 y – 8 → Dois monômios e uma constante.
• 2ab + 3bc – 49c → Três monômios e uma constante.
Não existe um limite de termos para um polinômio. 
Portanto, genericamente, podemos expressá-lo por meio da 
seguinte notação matemática:
an ∙ xn + a(n–1) ∙ x(n–1) + ⋯ +a2 ∙ x2 + a1 ∙ x1
em que:
 • an representa o coeficiente do enésimo termo. 
 • xn representa a variável do enésimo termo.
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Tipos de polinômio
Os polinômios podem ser classificados de acordo com a 
quantidade de termos que possuem, entrando na contagem os 
monômios que o compõem e a constante caso ela exista. Assim, 
um polinômio pode ser:
 • Binômio: quando possui apenas dois termos algébricos.
 • Trinômio: quando possui três termos algébricos.
 • Polinômio: quando possui mais de três termos 
algébricos.
Exemplo:
• 8x – 16x2 y → Binômio
• 3a – 9b2 + 1 → Trinômio 
• 5p2 + 25pq + 2q – 7p → Polinômio
Grau de polinômio com uma variável
DEFINIÇÃO
Quando o polinômio possui somente uma variável, 
seu grau é definido pelo maior valor que o expoente 
dessa variável assume na expressão.
Por exemplo, o polinômio 2x2 + 3x + 4 possui apenas 
a variável x e o maior expoente com o qual essa variável se 
apresenta na expressão é 2. Dessa forma, dizemos que esse 
polinômio é de segundo grau. Vejamos outros exemplos: 
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Exemplo:
• x + 2x – 4 → Primeiro grau 
• 3 + 12y – 2y2 → Segundo grau
• x3 + 3x2 – 6x – 18 → Terceiro grau
Grau de polinômio com mais de uma 
variável
DEFINIÇÃO
Quando o polinômio possui mais de uma variável, 
seu grau é definido pela soma dos expoentes das 
variáveis do monômio de maior grau.
Por exemplo, o polinômio 2x2 y2 + 3x2 + 4y possui duas 
variáveis: x e y. Se somarmos os expoentes de cada monômio, 
teremos:
2x2 y2 → soma dos expoentes = 4 → quarto grau
3x2 → soma dos expoentes = 2 → segundo grau
4y → soma dos expoentes = 1 → primeiro grau
Assim, o monômio de maior grau é 2x2 y2, logo, o polinômio 
é de quarto grau. Observe outros exemplos:
Exemplo:
x + 2y – 4 Primeiro grau 
3x – 12xy + 8y Segundo grau
x2 + 3xy2 – 6x + 18 Terceiro grau
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Operações envolvendo monômios
É possível efetuar quaisquer operações aritméticas entre 
monômios e polinômios. Em algumas delas, chegaremos a 
resultados simplificados, mas, em outras, isso não será possível. 
Além disso, é importante destacarmos que o resultado de uma 
operação algébrica entre monômios resultará em outro monômio 
ou em uma expressão algébrica mais simplificada, porém, nunca 
em uma constante, a menos que:
 • As variáveis sejam substituídas por valores numéricos;
 • Haja a subtração de dois monômios opostos, o que 
resultaria em zero; 
 • Haja a divisão de dois monômios idênticos, o que 
resultaria na constante unitária (1).
Adição de monômios
Antes de explicarmos o real significado da adição de 
monômios, recorreremos à sua aplicação no mundo real. Imagine 
que você tenha 3 maçãs e 2 bananas em casa e tenha resolvido ir 
às compras. No mercado, você pensa: quantas bananas e maçãs 
eu devo comprar? Depois de refletir, você decide comprar mais 1 
maçã e 3 bananas.
Após a realização de suas compras, ao chegar em 
casa, você terá 4 maçãs e 5 bananas. Perceba que, neste caso, 
estamos considerando duas frutas diferentes: “maçã” e “banana” 
e, portanto, contamos as quantidades de maçãs e bananas 
separadamente. É assim que trabalharemos com as operações 
envolvendo monômios: só podemos somar ou subtrair monômios 
que sejam semelhantes, ou seja, “maçã com maçã” e “banana 
com banana”. Não podemos misturar as frutas diferentes, pois 
elas são variáveis diferentes. 
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DEFINIÇÃO
Para adicionar dois ou mais monômios 
semelhantes, deve-se somar os coeficientes e 
repetir a parte literal. Se não forem semelhantes, 
eles não poderão ser somados, devendo-se deixá-
los indicados.
Observe alguns exemplos envolvendo a adição de 
monômios:
Exemplo:
• 8x2 y + 16x2 y → (8 + 16)x2 y → 24x2 y
• 3a + 9b2 + a + b2 → (3 + 1)a + (9 + 1)b2 → 4a + 10b2
• a + b + 2a + 3c → (1 + 2)a + b + 3c → 3a + b + 3c
Portanto, para adicionar monômios, basta somar os 
coeficientes dos termos semelhantes e multiplicar os resultados 
pelos seus respectivos termos. 
Subtração de monômios
De forma similar à adição, para subtrair monômios, não 
podemos fazer operações com frutas que são diferentes. Ou seja: 
“maçã menos maçã” e “banana menos banana”. A quantidade de 
maçãs que você tem não pode ser subtraída pela quantidade de 
bananas e vice-versa.
DEFINIÇÃO
Chamamos de subtração de monômios, a operação 
algébrica que envolve a diferença entre dois ou 
mais monômios, os quais podem ser semelhantes 
ou não. Se forem semelhantes, deve-se subtrair 
os coeficientes e repetir a parte literal. Se os 
monômios não forem semelhantes, não poderão 
ser subtraídos, devendo-se deixá-los indicados.
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Exemplo:
• 8x2 y + 16x2 y → (8 – 16)x2 y →–8x2 y
• 3a – 9b2 – a – b2 → (3 – 1)a + (–9 – 1)b2 → 2a – 10b2
• a – b – 2a – 3c → (1 – 2)a – b – 3c → a – b – 3c
É importante que, ao realizar uma adição ou uma 
subtração com monômios, você não esqueça das regras de sinais 
para essas operações. Observe a figura 1:
Figura 1 – Regra de sinais para adição e subtração
Dois números com o 
mesmo sinal
Repete o sinal e SOMA 
os valores.
Exemplos:
a) +2 + 3 = +5
b) –2 – 3 = –5
Dois números com 
sinais diferentes
Deixa o sinal do número 
mais distante do zero e 
faz a DIFERENÇA entre 
os valores.
Exemplos:
a) -2 + 3 = +1
b) +2 – 3 = –1
Fonte: Elaborado pelos autores (2022).
Agora observe mais alguns exemplos envolvendo a 
aplicação da regra de sinais apresentada na figura 1:
Exemplo:
• –2x2 y - 16x2 y → (–2 – 16)x2 y → –18x2 y
• 2a –3a - 5b2 + 6b2 → (2 – 3)a +(–5 + 6) b2 → –a + b2
• –10a – b + 12a + 4 → (–10 + 12)a – b + 4 → 2a – b + 4
No entanto, se você precisar eliminar parênteses de um 
termo ou ainda, resolver uma multiplicação ou uma divisão, 
deverá utilizar-se de outra regra de sinais. Para te ajudar a 
lembrar, observe o quadro 2:
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Quadro 2 – Regra de sinais para a multiplicação, divisão e eliminar parênteses
Fonte: Elaborado pelos autores (2022).
Desse modo, toda vez que um coeficiente qualquer estiver 
multiplicando um monômio, uma variável, um simples número, 
ou se precisar eliminar os parênteses do monômio, aplique a 
regra de sinais disposta no quadro 2. Observe:
Exemplo:
• –(–16x2 y) → 16x2 y
• –4 (–5y) → 20y
• –4 (–5 (–2k)) → –40k
Multiplicação de monômios
Acredite, multiplicar monômio é mais fácil que comer 
bananas ou maçãs! No contexto matemático, a explicação é a de 
que, diferente da adição e da subtração, quando trabalhamos 
com o produto entre monômios, não há muita preocupação com 
os parênteses. Em outras palavras, basta multiplicar todos os 
coeficientes e variáveis entre si que resultará sempre em outro 
monômio.
Por exemplo, se você possui duas bananas e duas maçãs 
e deseja dobrar a quantidade de bananas e triplicar a quantidade 
de maçãs, você terá quatro bananas e seis maçãs.
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Contudo, assim como não é possível somarmos bananas 
com maçãs, também não podemos multiplicá-las entre si, pois se 
tratam de variáveisdiferentes.
DEFINIÇÃO
Denomina-se multiplicação de monômios, a 
operação algébrica que envolve o produto 
entre dois ou mais monômios, os quais podem 
ser semelhantes ou não. Independentemente 
de serem semelhantes ou não, o resultado da 
multiplicação entre eles será igual ao produto de 
seus coeficientes (constantes) multiplicado pelo 
produto das variáveis entre si.
Exemplo:
• 3x2 y ∙ 15x2 y → (3 ∙ 15)∙ x2 ∙ x2 ∙ y ∙ y → 45x4 y2
• -3a ∙ 9b2 ∙ a ∙ (-b2) → [-3 ∙ 9 ∙ 1 ∙ (-1)] ∙ a∙b2 ∙ a ∙ b) →-27a2 b3
Analisemos os exemplos apresentados. Perceba que, no 
primeiro caso, simplesmente multiplicamos os dois coeficientes 
entre si e, na sequência, multiplicamos todas as variáveis. Note 
que, para multiplicar variáveis semelhantes, basta repeti-las uma 
única vez e elevá-las a uma potência equivalente à soma de todos 
os seus expoentes. No caso em questão, ficamos com x(2+2) e y(1+1), 
resultando em x4 e y2, respectivamente.
Já no segundo exemplo, um fator complicador foi inserido 
na questão: alguns monômios estavam com sinal negativo. 
Note que resolvemos isso da seguinte maneira: isolamos os 
coeficientes por intermédio de parênteses, com seus respectivos 
sinais, e os multiplicamos nos valendo da regra de multiplicação 
de sinais, assim como foi apresentado na figura 2.
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Divisão de monômios
Para dividir monômios, basta dividir todos os coeficientes 
e variáveis entre si. Por exemplo, se você tem quatro bananas e 
seis maçãs, e deseja dividir a quantidade de bananas por dois e a 
quantidade de maçãs por três, você chegará ao devido resultado. 
Contudo, assim como não é possível somarmos ou multiplicarmos 
bananas com maçãs, também não podemos dividi-las entre si, 
pois se tratam de variáveis diferentes.
DEFINIÇÃO
Conceitua-se divisão de monômios, a operação 
algébrica que envolve o quociente entre dois ou 
mais monômios, os quais podem ser semelhantes 
ou não. Independentemente de serem, ou não, 
semelhantes, o resultado da divisão entre eles 
será equivalente ao quociente de seus coeficientes 
(constantes) multiplicado pelo quociente das 
variáveis entre si.
Exemplo:
• 15x2 y ÷ 3x2 y → (15 ÷ 3) ∙ (x2 ÷ x2) ∙ (y ÷ y) → 5
• –6a2 b3 ÷ 3ab2 → (–6 ÷ 3) ∙ (a2 ÷ a) ∙ (b3 ÷ b2) → –27ab
Analisemos os dois exemplos apresentados. Perceba que, 
no primeiro caso, simplesmente dividimos os dois coeficientes 
entre si e, na sequência, multiplicamos pela divisão entre cada 
uma das variáveis. As variáveis do monômio dividendo são 
exatamente iguais às do monômio divisor, logo, o resultado 
dessa divisão é igual a um.
Já no segundo exemplo, dois fatores complicadores se 
apresentam na questão: um deles é o sinal negativo do coeficiente 
dividendo. Nesse caso, resolvemos aplicando a regra dos sinais 
(ver quadro 2). Como as variáveis não são idênticas, ao dividi-las 
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usamos a propriedade da divisão de potências de mesma base 
(repete-se a base e subtraem-se os expoentes), ou seja, a(2-1) = a 
e b(3-2) = b.
Potenciação de monômios
Sabemos que a potenciação não é uma operação tão 
corriqueira quanto as outras quatro operações básicas da 
aritmética. Desse modo, recordaremos o que isso significa.
DEFINIÇÃO
A multiplicação de fatores iguais é chamada de 
potenciação. Em uma potenciação, o fator que 
se repete é a base e a quantidade de vezes que 
ele repete chama-se expoente. O resultado desta 
operação é denominado potência. 
Assim, se elevarmos o número 2 ao expoente 3, isto é, 
23 (lê-se: “dois elevado à terceira potência” ou “dois elevado ao 
cubo”), obteremos o resultado da multiplicação de 2 por ele 
mesmo três vezes consecutivas. Ou seja:
23 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8
Exemplo:
• 22 = 2 ∙ 2 = 4 → Dois ao quadrado é igual a 4
• 23 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8 → Dois ao cubo é igual a 8
• 24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 16 → Dois à quarta potência é igual a 16
• 25 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 32 → Dois à quinta potência é igual a 32
E no caso dos monômios? Como se processa a 
potenciação?
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DEFINIÇÃO
A potenciação de um monômio é igual à potenciação 
de cada um de seus termos multiplicados entre si.
Exemplo:
• (2x)2 = 22 ∙ x2 = 4x2
• (3y)3 = 33 ∙ y3 = 27y3
• (6x4 y3)2 = 62 ∙ (x4)2 ∙ (y3)2 = 36x8 y6
Note que no terceiro exemplo, utilizamos a propriedade 
da potência de potência para operar com as variáveis, ou seja, 
quando há uma potência de uma potência, deve-se repetir a base 
e multiplicar os expoentes, logo, (x4)2 = x4 ∙ 2 = x8 e (y3)2 = y3 ∙ 2 = y6.
Propriedades das operações 
envolvendo monômios
Assim como os números reais, os monômios também 
apresentam propriedades inerentes às suas operações com 
outros monômios e constantes. São essas as propriedades 
polinomiais: comutatividade, associatividade, elemento neutro e 
elemento inverso. 
Comutatividade
DEFINIÇÃO
Segundo a propriedade comutativa, a ordem dos 
fatores não altera o resultado da soma ou do 
produto.
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Exemplo:
• 3x + 8x = 8x + 3x
• –5p – 6q = –6q – 5p
• a ∙ b ∙ c = b ∙ c ∙ a = c ∙ b ∙ a
Associatividade
DEFINIÇÃO
Pela propriedade associativa em uma adição ou em 
uma multiplicação e pode-se associar os termos de 
formas diferentes (mudar os agrupamentos) sem 
alterar o resultado.
Exemplo:
• (5y + 2y) + 6y = 5y + (2y + 6y) = 13y
• –4m + (2m –3m) = (–4m + 2m) – 3m = –5m
• 8x – 2x + (x – 2x) – x = 8x + (– 2x + x – 2x) – x = 8x – 2x + 
x – 2x – x = 4x
Elemento neutro
DEFINIÇÃO
Chamamos de elemento neutro, qualquer número 
cuja aplicação em uma operação algébrica não 
altere o seu resultado.
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O elemento neutro da adição é o zero. Assim, qualquer 
número adicionado à zero tem como resultado o próprio número. 
Portanto, o elemento neutro da adição de monômios é o número 
zero.
Exemplo:
• 0 + 8x = 8x
• 3x + 0 = 3x
• 5y + 0 = 5y
• 12s + 0 = 12s
Na multiplicação, o elemento neutro é o número 
um. Assim, qualquer número multiplicado por um, tem, como 
resultado, o próprio número. Portanto, o elemento neutro da 
multiplicação de monômios é o número 1 (um).
Exemplo:
• 1 ∙ 8x = 8x
• 5y ∙ 1 = 5y
• 12s ∙ 1 = 12s
Elemento inverso
Você sabe o que é o inverso de um número? Engana-se 
quem pensa que é o seu negativo. O negativo, na realidade, é o 
oposto do número. Por exemplo, o oposto de 8 é –8. Entretanto, 
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o inverso de 8 é 18 . Para evitar qualquer dúvida sobre esse 
assunto, preste atenção na definição a seguir:
DEFINIÇÃO
O elemento inverso de um número é aquele que, 
multiplicado por esse mesmo número, é igual a 
um. Logo, o elemento inverso de um monômio ax, 
é igual a 1
ax
 ou (ax)-1.
Por exemplo, se multiplicarmos o número 8 por 18 , o 
quociente dessa divisão será um. Portanto, o elemento inverso 
de 8 é 18 . O mesmo resultado será encontrado se elevarmos o 
número 8 a um expoente –1.
Exemplo:
• 8 ∙ 8–1 = 1
• 8–1 ∙ 8 = 1
• 18 ∙ 8 = 1
• 8 ∙ 18 = 1
Operações polinomiais
Agora que sabemos como efetuar as operações básicas 
entre monômios em uma expressão algébrica, chegou a hora 
praticar o que aprendemos e compreender a realização de 
operações algébricas entre polinômios. No entanto, antes 
disso, é importante saber que é necessário simplificar alguns 
polinômios que podem se apresentar de forma muito extensa, 
dificultando os cálculos. Podemos simplesmente reduzir os 
termos semelhantes, realizando operações entre os monômios 
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semelhantes ou reduzindo as constantes. Em outras situações, 
será necessário transformar certos polinômios em formatos 
convencionais. Por isso, iniciaremos os nossos estudos voltando 
nosso olhar para a fatoração de polinômios.
Fatoração
Muitas vezes, em nosso dia a dia, é necessário converter 
certas informações em um formato que, mesmo sem mudar o 
seu significado, seja mais bem compreendido e interpretado. Por 
exemplo, para calcular a área do seu apartamento, uma opção 
será decompô-lo em pequenosquadrados e retângulos, a fim de 
aplicar a fórmula da área e chegar à dimensão do todo, concorda?
Mas o que é fatorar? Fatorar é escrever em forma de 
fatores, ou seja, escrever como uma multiplicação. Veja, por 
exemplo, a decomposição do número 27 em fatores primos: 
Figura 2 – Fatoração do número 27
Fonte: Elaborado pelos autores (2022).
Realizando o processo das divisões sucessivas, note que 
27:3 = 9. Dividindo novamente por 3, obtém-se 3. Finalmente, 
3:3 = 1. Como o fator 3 aparece três vezes, temos que a forma 
fatorada do número 27 é 3∙3∙3 ou 33.
A fatoração é uma forma de representação de expressões 
algébricas com a soma polinomial de constantes e variáveis por 
meio de produtos notáveis.
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O processo de fatoração pode ser dividido em casos, que 
é o que estudaremos na sequência.
Caso 1 – Fator comum
No primeiro caso de fatoração, todos os monômios da 
expressão devem ter, pelo menos, algum termo em comum, pois 
este será colocado em destaque (em evidência).
Exemplo: temos a – ab como a expressão que possui 
dois monômios, a e ab, e o termo em comum é a. Logo, 
deixaremos o termo a em evidência. Depois, dividiremos 
a e ab (monômios) por a (pois é o termo colocado em 
evidência). Ora, a ∶ a = 1, pois todo número (ou letra) dividido 
por ele mesmo é igual a 1. E, ab ∶ a = b, pois a ∶ a = 1, o que gera 
1b como resultado da fatoração ou, ainda, simplesmente b. 
Portanto, a fatoração de a – ab será:
a – ab = a ∙ (1 – b)
Caso 2 – Agrupamento
No segundo caso de fatoração é preciso agrupar os termos 
semelhantes e colocá-los em evidência. Quando aplicamos o 
caso de fatoração por agrupamento, utilizamos a fatoração por 
termos comuns.
Exemplo: na expressão ab + 3b + 7a + 21, observamos 
que não há um termo comum a todos para colocá-lo em 
evidência, no entanto, se observarmos os termos dois a 
dois, encontraremos um termo para colocar em evidência 
em cada agrupamento. Veja:
ab + 3b + 7a + 21 = b ∙ (a + 3) + 7 ∙ (a + 3)
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Note que os termos b∙(a + 3) e 7∙(a + 3) possuem um fator 
em comum: (a+3). Logo, poderemos, novamente, utilizar o caso 
do fator comum em evidência, reagrupando os termos:
b ∙ (a + 3) +7 ∙(a + 3) = (a + 3) ∙ (b + 7)
Portanto, a expressão algébrica fatorada ficará 
solucionada no seguinte formato:
ab + 3b + 7a + 21 =(a + 3)(b + 7).
Caso 3 – Trinômio quadrado perfeito
Nesse caso de fatoração, a expressão tem que ser um 
trinômio (três monômios ou dois monômios e uma constante) e 
ele precisa ser um quadrado perfeito. 
Entretanto, nem todo trinômio é um quadrado perfeito. 
Afinal, o que é um quadrado perfeito? Quadrado perfeito é um 
número que pode ser representado por outro número elevado 
ao quadrado.
Exemplo:
• 36 é um quadrado perfeito, porque 62 = 36.
• 144 é um quadrado perfeito, porque 122 = 144.
E quanto a um trinômio? Como identificar se ele é, ou 
não, um quadrado perfeito?
Trinômio quadrado perfeito é todo aquele que pode 
ser fatorado no formato (a ± b)2, em que a e b são os termos do 
trinômio a2 ± 2ab + b2.
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Antes de prosseguimos, é necessário recordar como se 
resolve o quadrado de uma expressão do tipo (a ± b)2. Basta elevar 
o primeiro termo ao quadrado, somar (ou subtrair) com o dobro 
do produto do primeiro pelo segundo e, por fim, somar com o 
quadrado do segundo, ou seja, o resultado será a2 ± 2ab + b2.
Exemplo:
• x2 + 12x + 36 é um trinômio quadrado perfeito, pois x2 = x ; 
36 = 6; e, 12 x =2∙1x∙6, portanto, x2 + 12x + 36 = (x+6)2. 
• x2 y4 – 18xy4 + 81y4 é um trinômio quadrado perfeito, 
pois x2 y4 = xy2 ; 81y4 = 9y2; e, –18xy4 = –2∙1xy2∙9y2, 
portanto, x2 y4 – 18xy4 + 81y4 =(xy2 – 9y2)2 .
Fatorar um trinômio quadrado perfeito é extrair a raiz 
quadrada do primeiro termo, somar (ou subtrair) com a raiz 
quadrada do terceiro termo e elevar tudo ao quadrado. 
VOCÊ SABIA?
Você sabe por que os trinômios do tipo a2 ± 2ab + b2 
são chamados de quadrados perfeitos? 
Observe o cálculo da área de um quadrado cujos lados 
medem a+b:
Figura 3 – Operações com polinômio
Fonte: Elaborado pelos autores (2022).
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Para calcular a área de um quadrado, basta fazer “lado 
vezes lado”, ou seja, a medida do lado elevada ao quadrado: 
Área = (a+b)2 = (a+b)∙(a+b)=a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2
Caso 4 – Trinômio do tipo x2 + Sx + P
Neste quarto caso, diferente do último, o trinômio não 
deve formar um quadrado perfeito, mas somar o produto dos 
dois últimos termos. É por esse motivo que é chamado de 
trinômio do tipo x2 + Sx + P, em que S é a soma e P é o produto.
Exemplo: dada a expressão algébrica y2 – 5y + 6, sabemos 
que se trata de um trinômio, mas seus dois membros das 
extremidades não estão elevados ao quadrado, o que descarta 
a possibilidade de ser um quadrado perfeito. Assim, o único 
caso de fatoração para essa expressão algébrica é x2 + Sx + P. 
Observe se o trinômio está em ordem decrescente de seus 
expoentes (do maior para o menor). Em caso positivo, basta 
encontrar dois números que, somados, resultem em –5 e 
que o produto deles resulte em 6. Façamos as tentativas 
para que o produto resulte em 6:
• 2 ∙ 3 = 6
• (–2) ∙ (–3) = 6
• 6 ∙ 1 = 6
• –6 ∙ (–1) = 6
Devemos, entre essas possibilidades, encontrar uma em 
que a soma dos números seja igual a –5. Concluímos que 
–2 + (–3) = –5. Logo, a forma fatorada é: (y – 2) ∙ (y – 3).
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Caso 5 – Diferença de dois quadrados
Esse caso de fatoração só pode ser utilizado em 
expressões algébricas que possuem dois monômios que estejam 
elevados ao quadrado.
Exemplo:
• Fatore a expressão algébrica 9x2 - 81
• Extraia a raiz quadrada de cada um dos monômios: 
9x2 = 3x e 81 = 9
• A forma fatorada da expressão 9x2 - 81 é o produto da 
soma pela diferença desses dois resultados, ou seja, 
(3x + 9)∙(3x - 9).
Caso 6 – Soma de dois cubos
Ao fatorar expressões algébricas compostas por dois 
monômios (binômio) em que haja, entre eles, a operação de 
adição, esse binômio é elevado ao cubo, ou seja, à terceira 
potência.
Exemplo: dados dois números quaisquer (x e y), se 
somarmos ambos, obteremos x + y. Ao elaborarmos uma 
expressão algébrica com os dois números, teremos:
• x2 – xy + y2 : agora, multiplicaremos as duas expressões 
encontradas.
• (x + y) ∙ (x2 – xy + y2): utilize a propriedade distributiva.
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• x3 – x2 y + xy2 + x2 y – xy2 + y3: una os termos semelhantes.
• x3 + y3 é uma expressão algébrica de dois termos. 
Ambos estão elevados ao cubo e somados.
Assim, x3 + y3 é a forma geral da soma de dois cubos, em 
que x e y poderão assumir qualquer valor real. A forma fatorada 
de x3 + y3 será (x + y)∙(x2 – xy + y2).
Exemplo: escreva a forma fatorada de 27x3 + 1000.
Como a expressão é a soma de dois cubos, podemos 
escrever (3x)3 + 103. Logo, x = 3x e y = 10. Basta usarmos a 
forma geral da soma de dois cubos e fazer as substituições:
(x + y)∙(x2 - xy + y2) → (3x + 10)∙((3x)2 - 3x∙10 + 102) 
(3x+10)∙(9x2 - 30x + 100)
Portanto, a forma fatorada de 27x3 + 1000 é igual a 
(3x+10)∙(9x2 – 30x + 100).
Caso 7 – Diferença de dois cubos
A fatoração de expressões algébricas é semelhante 
ao sexto caso. A diferença reside na operação entre os dois 
monômios, que, nesse caso, é uma subtração.
Exemplo: escreva a forma fatorada de r3 - 64.
Como a expressão é a diferença de dois cubos, podemos 
escrever (r)3 – 43. Logo, x = r e y = 4. Basta usarmos a forma 
geral da soma de dois cubos e fazer as substituições:
(x – y)∙(x2 + xy + y2) → (r-4)∙(r2 + r∙4 + 42) → (r – 4)∙(r2 +4r + 16)
Portanto, a forma fatorada de r3 – 64 é igual a (r - 4)∙(r2 + 4r + 16)
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/6-caso-fatoracao-soma-dois-cubos.htm
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RESUMINDO
Gostou do que lhe apresentamos? Aprendeu 
mesmo? Agora, só para termos a certeza de que 
você realmente entendeu o tema de estudo destecapítulo, resumiremos tudo o que estudamos. 
Você deve ter aprendido que os monômios  são 
expressões algébricas compostas por uma 
parte literal que recebe o nome “variável” e por 
coeficientes. Já os polinômios  se caracterizam 
pela junção de dois ou mais monômios. Também 
explicamos as propriedades que embasam esses 
conceitos e os casos mais recorrentes de fatoração, 
os quais, basicamente, se dão no processo de 
representação de um número ou expressão como 
um produto de fatores.
 
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Equação do 1.º grau
OBJETIVO
Ao término deste capítulo, você será capaz de 
identificar uma equação de 1.º grau e saberá aplicá-
la como um dispositivo que possibilita a resolução 
de diferentes problemas, além de compreender 
algumas estratégias para encontrar a solução ou 
raiz deste tipo de equação.
Igualdade e Incógnita
No capítulo anterior, voltamos nossos estudos para 
as sentenças matemáticas que são compostas por variáveis e 
constantes, as chamadas expressões algébricas. 
Em uma expressão algébrica, as variáveis ou “valores 
desconhecidos” são números que não conhecemos e, por este 
motivo, são representados por letras. Observe a situação a 
seguir:
Exemplo: represente algebricamente a sentença “um 
número mais cinco”.
• Um número (valor desconhecido) → x
• Mais (adição entre os termos) → +
• Cinco (constante) → 5
Portanto, a representação algébrica da frase “um número 
mais cinco” é x + 5.
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Importante destacar que podemos utilizar qualquer 
letra para indicar valores desconhecidos, porém, nos textos 
matemáticos você encontrará, na maior parte das vezes, as letras 
x, y e z.
Note também, que na situação representada, x + 5, não 
é possível afirmar qual é o valor numérico correspondente à 
variável, ou seja, x pode assumir qualquer valor numérico.
Observe agora a seguinte situação:
Exemplo: qual é o número que adicionado a cinco resulta 
em quinze?
• Número desconhecido adicionado a cinco → x+5
• Resulta em quinze → =15
A representação algébrica da sentença é x + 5 = 15. 
Deseja-se, encontrar o valor numérico que torna a sentença 
verdadeira. Qual número que somado à 5 resulta em 15? Como o 
resultado é 15 e eu já tenho 5, pela operação inversa da adição, 
a subtração, temos 15 – 5 = 10. Logo, o valor desconhecido é 10, 
ou seja, x = 10. 
Note que nessa situação, x + 5 = 15, é possível encontrar 
o valor numérico que deixa a sentença verdadeira. Se no lugar 
do x utilizarmos o número 10, obtemos 10 + 5 = 15. Além disso, 
observe que esta situação apresenta a igualdade entre duas 
sentenças, ou seja, há informações antes e depois do símbolo de 
igual (=). Temos, portanto, o que chamamos de equação. 
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DEFINIÇÃO
Toda igualdade que contém pelo menos uma 
letra que representa um valor desconhecido é 
denominada equação. Em uma equação, a letra é 
chamada de incógnita.
Podemos classificar as equações quanto ao grau (maior 
expoente da incógnita) e quanto à quantidade de incógnitas. Veja 
os exemplos:
Exemplo:
• mx + 10 
→ Expressão algébrica com duas 
variáveis.
• 2r – 4 = 20
→ Equação do 1.º grau com uma 
incógnita.
• x + y = 5x + 10
→ Equação do 1.º grau com duas 
incógnitas.
• y2 – 18y + 81 = 0
→ Equação do 2.º grau com uma 
incógnita.
• x3 – 27x = 45
→ Equação do 2.º grau com uma 
incógnita.
Neste capítulo, daremos ênfase à resolução de equações 
do 1.º grau com uma incógnita.
Propriedades de uma igualdade 
Em uma equação, a igualdade (=) indica que o valor que 
vem antes dela (1.º membro) é o mesmo do que vem depois dela 
(2.º membro). Portanto, valem:
 • Propriedade reflexiva da igualdade: para qualquer 
número a, temos a = a.
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 • Propriedade simétrica da igualdade: para quaisquer 
números a e b, se a = b, então b = a.
 • Propriedade transitiva da igualdade: para quaisquer 
números a, b e c, se a = b e b = c, então a = c.
 • Princípio aditivo da igualdade: se a=b, então, para 
qualquer número c, temos a + c = b + c.
 • Princípio multiplicativo da igualdade: se a = b, então, 
para qualquer número c, temos a∙c = b∙c.
Figura 4 – Balança de pratos
Fonte: Pixabay.
Para resolver uma equação do 1.º grau com uma 
incógnita, utilizaremos os princípios aditivo e multiplicativo da 
igualdade. Isto significa que as operações realizadas no primeiro 
membro também devem ser realizadas no segundo membro a 
fim de manter a igualdade. Isto ocorre, pois a equação pode ser 
comparada a uma balança de pratos em equilíbrio.
 • Para facilitar sua compreensão, observe os seguintes 
exemplos numéricos:
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Exemplo:
a) A igualdade 5 + 3 = 8 está em equilíbrio, pois 5 mais 3 
resulta em 8. Caso eu adicione 10 ao primeiro membro, 
mas não adicione 10 ao segundo membro, a igualdade 
perderá o equilíbrio. Assim, para se manter a igualdade:
(5 + 3) + 10 = (8) + 10
b) A igualdade 2∙15 = 3∙10 está em equilíbrio, pois 2∙15 é 
igual a 30 e 3∙10 também resulta em 30. Caso eu multiplique 
o primeiro membro por –2, por exemplo, para que a 
igualdade seja mantida, precisarei multiplicar o segundo 
membro pelo mesmo fator –2, ou seja:
(2 ∙ 15) ∙ (–2) = (3 ∙ 10) ∙ (–2) 
Portanto, para resolver equações, tenha sempre em 
mente que você está utilizando uma igualdade, e que ela deverá 
ser mantida. 
Como isso funciona se utilizarmos a ideia de “valores 
desconhecidos” (incógnitas)? Veja exemplos em que, a partir dos 
princípios aditivo e multiplicativo, resolveremos uma equação.
Exemplo: para qual valor de x a igualdade x + 5 = 16 é 
verdadeira?
Desejamos saber qual é o número que deve ser colocado no 
lugar da incógnita x, de tal maneira que igualdade 5 + x = 16 
seja verdadeira. Note que, pelo princípio aditivo, é possível 
adicionar (-5) em ambos os membros:
x + 5 + (–5) = 16 + (–5)
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Resolvendo as operações algébricas, temos:
x + 5 – 5 = 16 – 5 → x + 0 = 11→ x = 11
Logo, a igualdade é verdadeira quando x é igual a 11.
Você pode facilmente conferir se, de fato, a resposta 
encontrada está correta, substituindo o valor obtido na equação 
original e verificando se ela satisfaz a igualdade. Fazendo a 
verificação, se x = 11, então:
x + 5 = 16
11 + 5 = 16
16 = 16 (V)
Portanto, a resposta obtida é realmente a solução da 
equação.
Exemplo: calcule o valor de x que satisfaz a igualdade 2x = 60.
Desejamos saber qual é o valor de x que satisfaz (deixa 
verdadeira) a igualdade 2x = 60. Note que, pelo princípio 
multiplicativo, é possível multiplicar ambos os membros 
por 1
2
. Assim, temos:
2x ∙ 12 = 60 ∙ 
1
2
Resolvendo as operações algébricas:
2x
1 ∙ 
1
2 = 
60
1 ∙ 
1
2 → 
2x
1 = 
60
2 → x = 30
Logo, a igualdade é verdadeira quando x é igual a 30.
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Assim como no exemplo anterior, você pode conferir se 
a resposta encontrada está correta, substituindo o valor obtido 
na equação original realizando a verificação da resposta. Logo, 
se x = 30, então: 
2x = 60
2∙30 = 60
60 = 60 (V)
Portanto, a resposta obtida é realmente a solução da 
equação. 
Solução de uma equação do 1.º 
grau com uma incógnita
Vimos que uma equação do 1.º grau com uma incógnita 
pode ser escrita na forma ax + b = c, onde a, b e c são números 
reais, tal que a≠0 (número real diferente de zero) e x é a incógnita 
(valor desconhecido). Encontrar a raiz ou a solução de uma 
equação é resolvê-la, ou seja, calcular o valor numérico que, ao 
ser substituído no lugar da incógnita, torna a sentença verdadeira.
Vimos na situação apresentada no início do capítulo, 
que “o número adicionado a 5 resulta em 15” é o 10, ou seja, na 
equação x + 5 = 15, a solução ou raiz da equação é x = 10. Mas, 
como devemos proceder? Quais passos devemos seguir para 
resolver uma equação desse tipo? 
No tópico anterior, você pode observar dois exemplos em 
que utilizamos os princípios aditivo e multiplicativo da igualdade. 
Tais propriedadesgarantem que podemos efetuar operações, 
desde que em ambos os membros, afim de manter a igualdade, 
ou seja, sem alterar a igualdade. Você deve ter notado que nas 
duas situações apresentadas, a incógnita ficou sozinha em um 
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dos membros da equação. Este será o nosso objetivo ao resolver 
uma equação: deixar a incógnita isolada. E como faremos isso? 
Vamos a mais um exemplo:
Exemplo: determine a solução da equação x – 4 = 6.
Para deixar a incógnita isolada no 1.º membro da equação, 
note que, pelo princípio aditivo, é possível adicionar +4 em 
ambos os membros. Assim, temos:
x – 4 + (+4) = 6 + (+4)
Resolvendo as operações algébricas e reduzindo os termos 
semelhantes:
x – 4 + 4 = 6 + 4
x = 6 + 4
Perceba que o termo –4 que estava no 1.º primeiro membro 
“sumiu”, ou seja, foi anulado quando adicionamos o seu 
oposto +4. Em contrapartida, ele “apareceu” no 2.º membro 
com a operação inversa, isto é, no 1.º membro estava 
subtraindo enquanto que no 2.º membro ficou somando. 
Resolvendo a operação restante, temos que x = 10 . Logo, 
10 é a solução da equação.
Para deixar a incógnita isolada no primeiro membro, 
utilizamos a operação inversa da subtração, ou seja, a conta que 
“desfaz” a subtração. Então, perceba que o número que estava 
subtraindo em um membro “passou” para o outro membro 
com a sua operação inversa (adicionando). Será que o mesmo 
acontece no caso do princípio multiplicativo? Vejamos:
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Exemplo: determine a solução da equação –7x = 70.
Para deixar a incógnita isolada no 1.º membro da equação, 
note que, pelo princípio multiplicativo, é possível multiplicar 
por – 17 mbos os membros. Assim, temos:
–7∙x∙(- 17 ) = 70∙(–
1
7
)
Resolvendo as operações algébricas e reduzindo os termos 
semelhantes:
–7∙x
1
 ∙ ( 1–7 ) = 
70
1 ∙ (
1
–7 )
–7∙x
–7
 = 70–7
x = 70–7
Perceba que o termo –7 que estava multiplicando a 
incógnita no 1.º primeiro membro “sumiu”, ou seja, virou 
o elemento neutro da multiplicação quando multiplicamos 
os membros por – 17 . Ou seja, foi “transformado” no número 
1, pois 1∙x = x. Em contrapartida “apareceu” no 2.º membro 
com a operação inversa da multiplicação, isto é, no 2.º 
membro ficou dividindo o termo que já está lá. Resolvendo 
a operação restante, temos que x = –10 .
Para deixar a incógnita isolada no primeiro membro, 
utilizamos a operação inversa da multiplicação, ou seja, a conta 
que “desfaz” a multiplicação. Então, perceba que o número que 
estava multiplicando em um membro “passou” para o outro 
membro com a sua operação inversa (dividindo).
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Observe:
Quadro 1 – Resolução da equação x – 4 = 6.
x – 4 = 6
PROCESSO COMPLETO PROCESSO PRÁTICO
x – 4 = 6
x – 4 + (+4) = 6 + (+4)
x – 4 + 4 = 6 + 4
x + 0 = 6 + 4
x = 10
x – 4 = 6
x = 6 + 4
x = 10
Fonte: Elaborado pelos autores (2022).
Note que, ao comparar os dois processos de resolução, 
existe uma forma prática de fazer as operações indicadas. Nela 
utilizaremos direto a ideia de operações inversas. Lembre-se que 
este método só é possível devido às propriedades da igualdade. 
Assim, para resolver uma equação de forma prática, deve-se isolar 
(deixar sozinhos) os elementos desconhecidos (incógnitas) em 
um dos membros da equação. Ao mudar um termo de membro 
(antes do igual ou depois do igual), devemos manter a igualdade 
e, por este motivo, utilizaremos a ideia de operação inversa: se o 
termo está somando, ao mudar de membro, passará subtraindo; 
se está multiplicando, ao mudar de membro, passará dividindo 
e vice-versa.
Exemplo: qual é o valor de x, para que a igualdade 3x – 4 = 
5 seja verdadeira?
1. Separar os termos, deixando todos os termos com 
incógnita em um dos membros e as constantes em outro 
membro. Para isso, o número 4 que está subtraindo 
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passará para o 2.º membro somando. Depois, associar 
os termos semelhantes. Assim, temos: 
3x – 4 = 5
3x = 5 + 4
3x = 9
2. Deseja-se calcular o valor de 1 ∙ x = x. Portanto, o 
coeficiente da incógnita (3) que está multiplicando 
no 1.º membro, passará para o 2.º membro com a 
operação inversa, ou seja, dividindo:
x = 93
x = 3
Portanto, o valor de x que torna a equação verdadeira é 3.
Vejamos mais um exemplo de resolução de equação do 
1.º grau com uma incógnita utilizando o processo prático: 
Exemplo: determine a raiz da equação 5x + 2 = 4x – 11. 
Determinar a raiz de uma equação é encontrar o valor de x 
que satisfaz a equação, isto é, que satisfaz a igualdade. Para 
tal, usaremos o roteiro descrito anteriormente. Neste caso, 
observe que há mais elementos para serem “organizados” 
antes da resolução da equação. Seguindo o roteiro, temos 
que:
1. Deixar todos os termos com incógnita em um dos 
membros e as constantes em outro membro. Lembre-
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se que ao mudar de membro, o termo deve mudar de 
operação (operação inversa). Assim, temos: 
5x + 2 = 4x – 11
5x + 2 – 4x = –11
5x – 4x = –11 – 2
2. Agora, associamos os termos semelhantes e efetuamos 
as operações que forem necessárias.
5x – 4x = –11 – 2
x = –13
Portanto, a raiz da equação é –13.
Situações-problema que recaem 
em equação
Muitas situações matemáticas podem ser resolvidas se 
organizarmos as informações representando-as por meio de 
uma equação. Vejamos alguns passos para a montagem e a 
consequente resolução desses problemas:
Passo 1: Leia com atenção o problema, verificando as 
informações que são dadas e as que precisam ser encontradas.
Passo 2: Represente o valor desconhecido por uma letra.
Passo 3: Escreva uma equação que contenha essa letra e 
atenda às informações da situação.
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Passo 4: Resolva a equação, encontrando o valor da 
incógnita. Se necessário, verifique se o valor encontrado satisfaz 
a igualdade.
Passo 5: Finalize interpretando a resposta obtida e 
escrevendo a resposta. 
Vejamos alguns exemplos de como uma situação pode 
ser modelada matematicamente por uma equação.
Exemplo: a soma de três números consecutivos é igual a 
78. Quais são esses números?
Solução: para r resolver o problema, precisamos 
representar algebricamente a situação. Deseja-se somar 
três números consecutivos, ou seja, três números seguidos 
um do outro de tal maneira que a soma resulte em 78. 
Considerando como x um valor desconhecido e o seu 
antecessor e o seu sucessor, podemos representar da 
seguinte maneira:
• Antecessor (número que vem antes dele): x – 1;
• Número: x;
• Sucessor (número que vem depois): x + 1.
Portanto, a situação pode ser representada da seguinte 
forma:
(x – 1) + x + (x + 1) = 78
Realizando as somas algébricas e reduzindo os termos 
semelhantes, temos:
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x – 1 + x + x + 1 = 78
3x = 78
x = 78
3
x = 26
Substituindo o valor de x temos que:
• Antecessor (número que vem antes dele): x – 1 = 26 – 1 = 
25;
• Número: x =2 6;
• Sucessor (número que vem depois): x + 1 = 26 + 1 = 27.
Então, os números consecutivos que, ao serem somados 
resultam em 78, são: 25, 26 e 27.
Exemplo: (Cesgranrio, 2014) José viaja 350 quilômetros 
para ir de carro de sua casa à cidade onde moram seus 
pais. Numa dessas viagens, após alguns quilômetros, ele 
parou para um cafezinho. A seguir, percorreu o triplo da 
quantidade de quilômetros que havia percorrido antes de 
parar. Quantos quilômetros ele percorreu após o café?
A) 87,5.
B) 125,6.
C) 262,5.
D) 267,5.
E) 272,0.
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Solução: esse é um tipo de problema em que devemos 
pensar “de trás para frente” para determinarmos o 
valor atribuído a sua incógnita. No trecho do enunciado: 
“Percorreu o triplo da quantidade de quilômetros que havia 
percorrido antes de parar”, José percorreu uma distância 
desconhecida d. Portanto,
• Quantidade percorrida antes de parar: d.
• Triplo da quantidade percorrida: 3d.
De acordo com o problema, José percorre uma distânciaantes do cafezinho e depois, percorre mais o triplo da 
distância percorrida. Então, ele percorreu: d + 3d. Como o 
total percorrido até a casa dos pais é de 350 km, a equação 
que descreve o problema é:
d + 3d = 350
Resolvendo a equação temos:
4d = 350 → d = 3504 → d = 87,5 km
Após o café, José percorreu o triplo de d, ou seja, 3∙87,5 = 
262,5 km.
Note que essa solução satisfaz as condições do problema, 
pois, somando o que José percorreu antes do café (87,5 km) 
com o percorrido após essa refeição (262,5 km), obtemos 
os 350 km que é a distância de sua casa até a cidade em 
que os pais moram.
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Exemplo: Ana usa um terço do seu salário com alimentação, 
a quarta parte com transporte e a sexta parte com despesas 
tais como água, energia elétrica e telefone. Sabendo que 
neste mês sobrou R$ 1.200,00, qual é o valor do salário de 
Ana?
Solução: 
• Salário de Ana: x.
• Um terço do salário: x3 ; Quarta parte do salário: 
x
4 ; 
Sexta parte do salário: x
6
A equação que descreve o problema é: 
x
3 + 
x
4 + 
x
6 +1200=x
O mínimo múltiplo comum (mmc) entre 3, 4 e 6 é 12, então, 
podemos reescrever a equação equivalente à equação 
dada, obtendo:
4x
12 + 
3x
12 + 
2x
12 + 
14400
12 = 
12x
12
Como os denominadores são iguais, podemos multiplicar 
ambos os membros da equação por 12 para eliminarmos 
a fração, assim:
4x + 3x + 2x + 14400 = 12x → 9x + 14400 = 12x → 
14400 = 12x – 9x → 14400 = 3x
Pela propriedade reflexiva:
3x = 14400 → x = 14400
3
 → x = 4800
Portanto, o salário de Ana é igual a R$ 4.800,00.
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RESUMINDO
Neste capítulo, vimos que uma equação do 1.º grau 
é toda sentença matemática que apresenta uma 
igualdade e na qual existe uma ou mais incógnitas 
(letras que indicam números desconhecidos). 
Diversas situações podem ser resolvidas se 
representarmos as informações por meio de uma 
equação.
 
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Funções do 1.º grau
OBJETIVO
Ao término deste capítulo, você terá compreendido 
um pouco mais a respeito das funções do 1.º grau 
e será capaz de modelar situações-problema 
de temáticas variadas por meio de uma função. 
Vamos lá!
A ideia de função
Observe a seguinte situação: O perímetro de uma figura 
geométrica plana é calculado somando a medida de todos os 
lados da figura. Então, qual é o perímetro de um quadrado que 
tem o lado medindo ℓ?
Figura 5 – Quadrado com lado medindo ℓ 
Fonte: Elaborado pelos autores (2022).
Podemos relacionar a medida do comprimento do lado de 
um quadrado com o seu perímetro? A resposta é sim! Suponha 
que o lado do quadrado é igual a 1 cm. Então, o perímetro desse 
quadrado é igual a 1 + 1 + 1 + 1 = 4cm. Agora, sem considerar 
uma unidade de medida de comprimento específica, veja como 
fica o valor do perímetro para quadrados com outras dimensões: 
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Tabela 1 – Relação entre a medida do lado de um quadrado e seu perímetro
MEDIDA DO LADO PERÍMETRO
1 1 + 1 + 1 + 1 = 4
2 2 + 2 + 2 + 2 = 8
5 5 + 5 + 5 + 5 = 20
10 10 + 10 + 10 + 10 = 40
⋮ ⋮
ℓ ℓ + ℓ + ℓ + ℓ = 4 ℓ
Fonte: Elaborado pelos autores (2022).
Note que o perímetro de um quadrado é “4 vezes a 
medida do comprimento do lado”. Assim, se o lado medir ℓ, então 
o perímetro será igual 4ℓ. Ou seja, o perímetro de um quadrado 
depende da medida do lado, portanto, dizemos que o perímetro 
é dado em função do lado. A fórmula matemática ou regra 
ou lei de formação da função que fornece o perímetro P de um 
quadrado é dada por: P = 4ℓ.
Com esta fórmula, podemos escolher qualquer valor 
real positivo (pois estamos falando da medida do lado de um 
quadrado) que vamos obter somente um resultado possível para 
o valor do perímetro do quadrado.
Corrida de táxi, conta telefônica e conta de luz, são 
situações em que o valor a ser pago depende de um valor pré-
fixado adicionado a outro valor que varia em função do consumo 
do serviço. 
Já o tempo de viagem entre duas cidades vai depender da 
velocidade média desenvolvida pelo veículo ao longo do trajeto. 
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Ou ainda, quando uma indústria lança um produto 
o preço final, leva em consideração os custos da produção e 
distribuição. E esses valores vão depender de outras despesas, 
tais como, custo de matéria-prima, aluguel do prédio, salário dos 
funcionários, energia, entre outros.
Perceba que nas situações apresentadas há uma relação 
de dependência entre as grandezas. Logo, essas situações 
podem ser representadas (modeladas) em uma linguagem 
matemática que chamaremos de função.
SAIBA MAIS
Com a necessidade de explicar os fenômenos da 
natureza que eram observados é que surgiram as 
primeiras ideias das relações de dependência entre 
grandezas que hoje chamamos de funções. O conceito 
de função foi evoluindo, desde os registros dos povos 
babilônios, por volta de 2.000 a. C., até contribuições de 
Galileu-Galilei, Isaac Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz, 
entre outros matemáticos. Saiba mais a respeito dos 
aspectos históricos associados à evolução do conceito de 
função com o artigo “Aspectos históricos sobre função 
matemática” do blog InfoEscola, clicando no QR-Code.
Depois, aprofunde seus estudos, com o artigo “O conceito 
de função: uma análise histórico epistemológica” 
que faz parte do acervo de publicações advindas do 
Encontro Nacional de Educação Matemática (ENEM), 
clique no QR-Code.
https://www.infoescola.com/matematica/aspectos-historicos-sobre-funcao-matematica/
http://www.sbem.com.br/enem2016/anais/pdf/6006_2426_ID.pdf
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Função afim ou função de 1.º grau
DEFINIÇÃO
 Denomina-se função polinomial do 1.º grau ou 
função afim, qualquer função ƒ definida de ℝ 
(conjunto dos números reais) em ℝ, cuja lei de 
formação pode ser escrita como um polinômio do 
1.º grau, isto é, na forma ƒ(x) = ax + b, em que a 
e b são números reais dados e a≠0 (a é um valor 
diferente de zero).
As funções são, portanto, regras que relacionam cada 
elemento de um conjunto (domínio) a um único elemento de 
outro conjunto (imagem que está dentro do contradomínio). 
Assim, cada elemento x do domínio da função tem um único 
elemento correspondente a ele que foi “transformado” pela 
função ƒ, um elemento ƒ(x) ou y, que está no conjunto imagem 
da função. Logo, também podemos representar a lei ou regra de 
formação da função por y = ax + b.
Em uma função, o valor que pode ser “escolhido” (x) é a 
variável independente, e o valor obtido a partir dessa escolha 
(y) é a variável dependente. Quando o maior expoente da 
variável independente é 1, ou seja, x1 = x , a função é do 1.º grau.
Exemplo:
• y = x – 10 → Função do 1.º grau.
• ƒ(x) = x2 + 5 → Função do 1.º grau.
• g(x) = 12x → Função do 1.º grau.
Para você compreender melhor como a função polinomial 
do 1.º grau ou função afim pode ser aplicada em situações 
diversas, vamos observar alguns exemplos: 
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Exemplo: o custo C, em reais, para se produzir uma 
quantidade x de um determinado produto é dado pela 
função C(x) = 15x + 85. Qual será o custo para produzir 30 
unidades desse produto?
Solução: como deseja-se produzir 30 unidades do produto, 
essa é a nossa variável independente, logo, devemos 
calcular o valor de C(x) quando x = 30: 
C(30) = 15∙30 + 85 → C(30) = 450 + 85 → C(30) = 535 reais.
Portanto, o custo para produzir 30 unidades desse produto 
é de R$ 535,00. 
Exemplo: o salário de uma vendedora é composto por 
duas partes: uma fixa de R$ 1.200,00 e uma variável 
correspondente a 15% de comissão calculada sobre o 
total de vendas que ela faz durante o mês. Qual é a lei 
de formação que representa o salário mensal dessa 
vendedora? 
Solução: vamos chamar de ƒ(x) o valor do salário que a 
vendedora recebe mensalmente em função da variável x 
relativa ao total de vendas feitas por ela. No problema, o 
salário é composto por uma parte fixa de R$ 1.200,00 e 
outra variável, correspondentea 15% do total de vendas. 
Logo, a parte variável do salário dela pode ser representada 
por:
15% de x= 15100 ∙ x = 0,15 ∙ x = 0,15x
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Assim, a lei de formação da função que representa o 
salário que a vendedora recebe mensalmente em função 
das vendas que fez é igual a: 
ƒ(a) = 1200 + 0,15x
Vamos a mais um exemplo!
Exemplo: para alugar um carro popular em uma 
determinada locadora de veículos, paga-se uma taxa fixa 
de R$ 60,00 mais R$ 0,75 por quilômetro rodado. Se um 
cliente alugar um carro nessas condições e percorrer 1.200 
km qual será o valor pago por ele? 
Solução: uma das possibilidades de resolução é escrever 
a lei de formação da função que representa o valor a 
ser pago em função dos quilômetros rodados. Assim, se 
chamarmos de f(x), o valor a ser pago e x os quilômetros 
rodados, a fórmula será:
ƒ(x) = 60 + 0,75x
Do enunciado da problematização, sabemos que o cliente 
percorreu 1.200 km, então:
ƒ(1200) = 60 + 0,75 ∙ 1200
ƒ(1200) = 60 + 900
ƒ(1200) = 960 reais.
Portanto, o cliente que alugar um carro nas condições 
apresentadas no problema pagará R$ 960,00.
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Exemplo: para produzir x unidades de um determinado 
produto, o custo ƒ(x), em reais, é igual a um valor fixo 
de R$ 15,00 mais R$ 0,50 por unidade fabricada. Nestas 
condições:
a) Qual é a lei de formação que descreve essa função?
b) Para produzir apenas um produto, qual será o custo?
c) E para produzir 15 unidades? 
d) Quantas unidades foram fabricadas se o custo foi de 
R$ 175,00?
Solução: do enunciado da problematização, temos que o 
custo ƒ é dado em função da quantidade x de unidades 
fabricadas. Além disso, o custo do produto é formado por 
um valor fixo de R$ 15,00 mais R$ 0,50 por unidade. Então, 
temos que:
a) A regra ou lei de formação que descreve a função é 
ƒ(x) = 15 + 0,5x.
b) Para produzir somente uma unidade, ou seja, x = 1 o 
custo será:
ƒ(x) = 15 + 0,5x → ƒ(1) = 15 + 0,5∙1→ƒ(1) = 15 + 0,5 → 
 ƒ(1) = R$ 15,50.
O custo para produzir uma unidade do produto será de 
R$ 15,50.
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c) Já o custo para 15 unidades produzidas, será:
ƒ(x) = 15 + 0,5x → ƒ(15) = 15 + 0,5 ∙ 15 → ƒ(15) = 15 + 7,5 → 
ƒ(15) = R$ 22,50.
O custo para produzir 15 unidades do produto será de 
R$ 22,50.
d) Se o custo ƒ(x) foi de R$ 175,00, desejamos saber quantas 
unidades do produto foram fabricadas. Para tal, faremos 
a substituição na lei de formação da função, obtendo o 
seguinte:
ƒ(x) = 15 + 0,5x
175 = 15 + 0,5 ∙ x
175 - 15 = 0,5 ∙ x
0,5 ∙ x = 160
x = 1600,5
x = 320 unidades
Logo, foram produzidas 320 unidades do produto.
Raiz ou zero da função
Calcular o valor da raiz ou zero de uma função é competência 
essencial para os estudos envolvendo funções. Vimos no capítulo 
anterior que a raiz de uma equação do 1.º grau, nada mais é do 
que o valor da incógnita que faz a igualdade ser verdadeira. Mas, 
qual é o significado de calcular a raiz de uma função?
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Seja ƒ: ℝ → ℝ uma função de 1.º grau. Quando calculamos 
ƒ(x) = 0, ou seja, ax + b = 0, desejamos encontrar o valor de x para 
qual função se anula. Nesse caso, dizemos que encontramos o 
“zero da função” ou a “raiz da função”. Veja o seguinte exemplo:
Exemplo: seja g(x) uma função polinomial do 1.º grau 
definida no conjunto dos reais cuja lei de formação é g(x) = 
2x – 8
3
. Determine o zero ou raiz desta função.
Solução: calcular o zero ou raiz da função é determinar 
para qual valor de x a função se anula, ou seja, g(x)=0. 
Substituindo na lei de formação da função e realizando as 
operações indicadas, temos:
0 = 2x – 8
3
 → 0 ∙ 3 = 2x – 8 → 0 = 2x – 8 → 8 = 2x → 2x = 8 → 
x = 8
2
 → x = 4
Portanto, o zero da função é 4, pois, quando x = 4 a função 
g(x) se anula.
Se você desejar conferir se realmente encontrou o zero da 
função, basta fazer a verificação da resposta. Se x = 4,então:
g(4) = 2 ∙ 4 – 83
g(4) = 8 – 8
3
g(4) = 03
g(4) = 0
Logo, constatamos que o número 4 é a raiz (zero) da função.
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Confira mais um exemplo do cálculo da raiz de uma 
função afim.
Exemplo: seja y : ℝ → ℝ uma função afim, definida por y = 
1,5x + 3. Calcule a raiz dessa função. 
Solução: calcular a raiz ou o zero da função é determinar 
para qual valor de x a função se anula, ou seja, y = 0. 
Substituindo na lei de formação da função e realizando as 
operações indicadas, temos:
0 = 1,5x + 3 → 0 – 3 = 1,5x → –3 = 1,5x → 1,5x = –3 → 
 x= – 31,5 → x = 2
Portanto, o zero da função é 2, pois, quando x = 2 a função 
y se anula.
Analogamente ao que fizemos no exemplo anterior, vamos 
verificar se realmente o número 2 é a raiz (zero) da função. 
Se x = 2, então:
y = 1,5 → 2 – 3 → y = 3 – 3 → y = 0
Logo, constatamos que o número é a raiz (zero) da função.
Exemplo: dada a função afim ƒ: ℝ → ℝ, cuja lei de formação 
é f(x) = –2x + 3. Verifique a raiz desta função é igual a 10.
Solução: para verificar se um número é raiz da equação, 
existem duas possibilidades, a saber: (1) Calculamos ƒ(x) = 0 
e determinamos a raiz, confirmando ou não, que o valor 
indicado é raiz; (2) Substituímos o valor indicado, no caso 
x = 10, e calculamos ƒ(10). Se a resposta for igual a zero. 
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então é raiz. Optamos pela segunda opção. Portanto, se x = 10 
então:
ƒ(x) = –2x + 3
ƒ(10) = –2 ∙ 10 + 3
f(10) = –20 + 3
f(10) = –17
Como f(x) = –17 quando x = 10, então 10 não é raiz da 
função f(x) = –2x + 3.
Caso o exercício solicitasse, poderíamos calcular o valor da 
raiz. Observe:
f(x) = –2x + 3
–2x + 3 = 0
–2x = –3
x = –3–2 → x = 
3
2
Exemplo: sejam as funções f, g e h reais cujas leis de 
formação são dadas por:
a) f(x) = 10
b) g(x) = 3x
c) h(x) = x
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Calcule a raiz das funções, quando houver.
Solução: calcular a raiz da função é determinar para qual 
valor de x ela se anula, ou seja, y=0. Substituindo na lei de 
formação da função e realizando as operações indicadas, 
temos:
a) Quando ƒ(x)= 0 → 10 = 0 (Falso). Note que esta função 
não possui variável independente. Logo, ela não possui 
raiz. 
b) Quando g(x) = 0 → 3x = 0 → x = 03 = 0 . Zero é raiz desta 
função.
 c) Quando h(x) = 0 → x = 0. Zero é raiz desta função.
Neste último exemplo, você notou algo de diferente nas 
funções ƒ, g e h? Conforme a definição que vimos, uma 
função afim pode ser escrita na forma ƒ(x) = ax + b com 
a≠0. Perceba que nestes três casos, a lei de formação da 
função não corresponde à forma geral. Esses três exemplos 
são o que chamamos de casos particulares da função 
polinomial do 1.º grau. Esse será o nosso objeto de estudo 
no próximo item. 
Casos particulares
Definimos que uma função ƒ é chamada de função 
polinomial do 1.º grau ou função afim, definida de ℝ em ℝ, ou 
seja, ƒ: ℝ → ℝ quando pode ser escrita na forma 
ƒ(x) = ax + b
Sendo a e b números reais e a≠0.
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No entanto, existem alguns casos particulares de função 
afim que devemos levar em consideração. Vejamos quais são 
eles:
 • Função Constante: É a função ƒ: ℝ → ℝ cuja lei é 
definida por ƒ(x) = b. Note que neste tipo de função não 
há variável independente, pois a=0. 
 • Função Linear: É a função ƒ: ℝ → ℝ cuja lei é definida 
por ƒ(x) = ax. Neste tipo de função não há a constante, 
pois b=0.
 • Função Identidade: É a função ƒ: ℝ → ℝ cuja lei é 
definida por ƒ(x) = x. Neste caso, a = 1 e b = 0. Logo, para 
quaisquer valores definidos para x o valor da função 
será exatamente o mesmo. 
Exemplo: considere as funções ƒ(x), g(x) e h(x) as funções 
reais definidas por: 
• ƒ(x) = 10
• g(x) = 3x
• h(x) = x
Calcule o valor das funções quando x for:
a) –1
b) 0
c) 1
d) 2
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Solução: a situação proposta pede para que façamos o 
cálculo da variável dependente de cada uma das funções 
dadas, quando o valor da variável independente x for igual 
à –1, 0,1 e 2. Para facilitar a visualização, organizaremos as 
informações em um quadro. Veja:
Quadro 1 – Cálculo das variáveis dependentes nas funções f(x),g(x) e h(x)
x f(x) = 10 g(x) = 3x h(x) = x
–1 ƒ(–1) = 10 g(–1) = 3 ∙(–1) = -3 h(–1) = –1
0 ƒ(0) = 10 g(0) = 3∙0 = 0 h(0) = 0
1 ƒ(1) = 10 g(1) = 3∙1 = 3 h(1) = 1
2 ƒ(2) = 10 g(2) = 3∙2 = 6 h(2) = 2
Fonte: Elaborado pelos autores (2022).
O que você pôde perceber em cada uma das funções? 
Note que a função ƒ é constante, a função g é linear e a função 
h é identidade. Como foi o comportamento das variáveis 
dependentes em relação a cada um dos casos? 
No nosso exemplo, a função constante foi representada 
por ƒ(x) = 10. Observe que o valor encontrado para ƒ(x) foi 
sempre o mesmo, independentemente do valor atribuído a x. 
Isso aconteceu, pois não há a variável independente.
Já no exemplo de função linear, representado por 
g(x) = 3x, os valores obtidos para as variáveis dependentes foram 
mudando conforme mudávamos o valor de x. Neste exemplo, a 
variável dependente é o triplo da variável independente. Além 
disso, note que o zero da função é exatamente quando x = 0.
E no exemplo de função identidade, representado por 
h(x) = x, os valores das variáveis dependentes são exatamente 
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iguais aos valores das variáveis independentes. Ou seja, para x = –1 
temos h(–1) = –1, para x = 1 temos h(1) = 1 e assim por diante. 
Note ainda, que o zero da função é exatamente quando x = 0. 
Mais adiante, estudaremos o comportamento de uma 
função polinomial do 1.º grau ou função afim e de seus casos 
particulares, de forma gráfica.
RESUMINDO
Neste capítulo vimos que as funções são relações 
de dependência entre grandezas. As funções 
polinomiais de 1.º grau, também denominadas 
de funções afim, são polinômios de grau 1. Vimos 
ainda, que o valor que anula a lei de formação 
de uma função é chamado de “raiz” ou “zero 
da função”. Estudamos como elaborar a lei de 
formação de uma função afim e casos particulares. 
Lembre-se que determinar a raiz de uma função é 
uma tarefa que envolve fundamentos da álgebra, 
os quais estão diretamente relacionados com a 
equação de 1.º grau.
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Elaboração e interpretação de 
gráficos lineares
OBJETIVO
Ao término deste capítulo, você será capaz de 
visualizar o esboço do gráfico de uma função 
polinomial do 1.º grau, bem como compreender 
como funciona a construção desse tipo de gráfico 
e as estruturas que o compõem. Motivado(a) para 
desenvolver essas competências? Vamos lá!
A interpretação de gráficos é uma competência essencial 
nos dias atuais, tanto na matemática quanto para a compreensão 
de diferentes informações pertinentes à nossa vida e que nos 
são apresentadas constantemente. Por ser uma forma mais 
dinâmica de apresentar dados, os gráficos estão cada vez mais 
presentes e recorrentes em nosso cotidiano.
Após a coleta de dados de uma pesquisa, por exemplo, 
as informações podem ser organizadas em um quadro ou tabela 
e, posteriormente, podem ser apresentadas em um gráfico. 
Existem diferentes tipos de gráficos: barras, colunas, setores 
(pizza), linhas, pictogramas entre outros.
Provavelmente, você já se deparou com alguns deles 
em jornais, revistas, reportagens, na televisão ou em sites. No 
entanto, é importante ressaltar que a escolha para cada categoria 
desses gráficos se baseia no objetivo da apresentação de tais 
dados.
Assim também acontece com as funções. As informações 
podem ser organizadas em quadros ou tabelas, determinando 
pontos que, posteriormente, serão plotados em um plano 
cartesiano mostrando graficamente o comportamento da função. 
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Para começarmos nossos estudos sobre essa temática, 
é necessário entender algumas premissas relacionadas à 
geometria euclidiana plana que nos serão úteis, tais como: plano 
cartesiano, abscissas, ordenas, pares ordenados, quadrantes e 
coordenadas cartesianas.
Plano cartesiano
O plano cartesiano é uma região do plano formada por 
duas retas numeradas, perpendiculares entre si (que formam 
90º entre elas e têm um ponto em comum). Essas retas recebem 
o nome de “eixos”. Na horizontal, temos o eixo x ou eixo das 
abscissas e na vertical temos o eixo y ou eixo das ordenadas. 
O ponto onde os eixos se interceptam é denominado de origem.
O “endereço” de cada ponto plotado no plano cartesiano 
é composto por duas informações: uma relacionada ao x e outra 
ao y. Por isso, as coordenadas (x, y) do ponto recebem o nome 
de par ordenado. A origem, por exemplo, é o ponto que tem 
coordenadas (0, 0). 
Os eixos cartesianos dividem o plano em quatro regiões 
que são denominadas quadrantes. A ordem de nomenclatura 
dos quadrantes segue o sentido anti-horário, a partir do 
quadrante em que os valores são positivos tanto para abscissas 
quanto para ordenadas. Observe a figura a seguir que representa 
o sistema de eixos ortogonais:
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Figura 6 – Representação do sistema de eixos ortogonais
Fonte: Elaborado pelos autores (2022).
Agora, observe a representação gráfica do ponto de 
coordenadas (1,2):
Figura 7 – Representação gráfica do ponto de coordenadas (1,2) no plano cartesiano
Fonte: Elaborado pelos autores (2022).
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Veja alguns exemplos de localização de pontos no plano 
cartesiano:
Exemplo: localize no plano cartesiano os seguintes pontos:
• A = (2, 1)
• B = (3, 0)
• C = (–1, 3)
• D = (3, –1)
• E = (–2, –1)
• F = (0, 2)
Solução: para localizar os pontos no plano cartesiano, 
lembre-se que a primeira informação que aparece no par 
ordenado é relacionada ao eixo x ou eixo das abscissas 
(eixo horizontal), enquanto que a segunda informação 
é referente ao eixo y ou eixo das ordenas (eixo vertical). 
Localizamos o número no eixo x e por ele traçamos uma 
reta perpendicular ao eixo (reta que forma 90° com o 
eixo). Em seguida, localizamos o número no eixo y e por 
ele traçamos uma reta perpendicular ao eixo. Veja a 
representação da localização do ponto A na figura a seguir:
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Figura 8 – Localização do ponto de coordenadas (2,1) no plano cartesiano
Fonte: Elaborado pelos autores (2022).
Na figura, a reta r é perpendicular ao eixo x e a reta s 
é perpendicular ao eixo y. O lugar geométrico formado pela 
interseção dessas duas retas é o ponto que tem coordenadas 
(2,1) que, no nosso exemplo, foi denominado de ponto A.
A figura a seguir apresenta a localização de todos os 
pontos indicados em nosso exemplo. Confira:
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Figura 9 – Localização dos pontos n A,B,C,D,E,F o plano cartesiano
Fonte: Elaborado pelos autores (2022).
Analisando a solução do exemplo, podemos constatar 
que se uma das coordenadas é igual a zero, o ponto fica em 
cima de um dos eixos, como aconteceu com o ponto B que tem a 
ordenada igual a zero, e por este motivo, ficou em cima do eixo x. 
Enquanto o ponto F ficou em cima do eixo y, pois tem abscissa 
igual a zero.
O ponto A está no 1.º quadrante, pois tem ambas as 
coordenadas com valores positivos. No 2.º quadrante está o 
ponto C, pois tem valor negativo na abscissa e valor positivo na 
ordenada. Já o ponto E está no 3.º quadrante, pois ambos os 
valores das coordenadas são negativos e o ponto D está no 4.º 
quadrante, pois tem valor positivo na abscissa e valor negativo 
na ordenada.
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Posto isso, podemos prosseguir para a representação 
gráfica de um gráfico.
Representação gráfica de uma 
função do 1.º grau
Para representar uma função do 1.º grau graficamente, 
precisaremos identificar pares ordenados que satisfaçam a lei de 
formação da função, ou seja, vamos atribuir convenientemente 
valores para a variável independente x e calcular o valor 
numérico da variável dependente y = ƒ(x) correspondente. Em 
seguida, localizaremos, no plano cartesiano, o ponto formado 
pelo par ordenado(x, y). Finalizaremos, “ligando” os pontos a 
fim de esboçar a curva que representa a função dada. Para você 
compreender melhor, observe o seguinte exemplo:
Exemplo: esboce o gráfico da função ƒ: ℝ → ℝ, descrita pela 
lei de formação ƒ(x) = x + 2.
Solução: Para esboçar o gráfico da função, precisamos 
definir alguns pontos que a compõem, para podermos 
ter uma ideia do “formato” da curva relacionada à função. 
Observe a tabela a seguir: 
Tabela 1 – Pontos que pertencem à função ƒ(x) = x + 2 
x ƒ(x)=x+2 (x,y)
–2 ƒ(–2) = –2 + 2 = 0 (–2, 0)
–1 ƒ(–1) = –1 + 2 = 1 (–1, 1)
0 ƒ(0) = 0 + 2 = 2 (0, 2)
1 ƒ(1) = 1 + 2 = 3 (1, 3)
2 ƒ(2) = 2 + 2 = 4 (2, 4)
Fonte: Elaborado pelos autores (2022).
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Agora, vamos localizar os pares ordenados no plano 
cartesiano:
Figura 10 – Localização dos pontos que pertencem à função ƒ(x) = x + 2
Fonte: Elaborado pelos autores (2022).
Como a função está definida no conjunto dos números 
reais, podemos considerar a variável x assumindo todos os 
valores reais possíveis. Desse modo, é possível unir os pontos 
por uma linha contínua e, assim, teremos o esboço do gráfico da 
função. Observe a figura a seguir:
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Figura 11 – Gráfico da função ƒ(x) = x + 2
Fonte: Elaborado pelos autores (2022).
Note que o gráfico da função que representamos é 
uma reta não perpendicular ao eixo x Será que isso acontecerá 
em outras funções polinomiais do 1.º grau? Vejamos mais um 
exemplo para confirmar ou refutar nossa hipótese.
Exemplo: esboce o gráfico da função g: ℝ → ℝ, descrita pela 
lei de formação g(x) = –x.
Solução: de forma análoga ao exemplo anterior, vamos 
definir alguns pontos que compõem a função. Observe a 
tabela: 
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Tabela 2 – Pontos que pertencem à função g(x)=-x
x g(x) = –x (x,y)
–2 ƒ(–2) = –(–2) = +2 (–2, 2)
0 ƒ(0) = – 0 = 0 (0, 0)
2 ƒ(2) = –(+2) = –2 (2, –2)
Fonte: Elaborado pelos autores (2022).
Localizando os pontos no plano e traçando o esboço do 
gráfico da função, temos: 
Figura 12 – Localização dos pontos que pertencem à função g(x) = –x
Fonte: Elaborado pelos autores (2022).
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Note que, neste caso, a função também é uma reta não 
perpendicular ao eixo x. Isso nos leva a concluir que, de fato, o 
gráfico de uma função polinomial do 1.º grau ou função afim é 
sempre uma reta não perpendicular ao eixo x.
Portanto, para esboçar o gráfico deste tipo de função, 
basta definir dois pontos, pois por dois pontos só passa uma 
reta.
Interpretação gráfica do zero de 
uma função
No capítulo anterior, estudamos que o zero ou raiz de uma 
função é valor da variável independente x que anula a função, ou 
seja, é o valor de x tal que ƒ(x) = 0. Mas, geometricamente, o que 
o zero da função representa?
Retomando os dois exemplos anteriores, temos as 
funções ƒ(x) = x + 2 e g(x) = –x funções polinomiais do 1.º grau 
definidas no conjunto dos números reais. Para calcular o zero ou 
raiz dessas funções, devemos considerar ƒ(x) = 0. Assim,
ƒ(x) = 0 → x + 2 = 0 → x = 0 – 2 → x = –2
Portanto, quando x = –2, ƒ(x) = 0. Como ƒ(x) = y, o par 
ordenado (-2,0) é o ponto que representa o zero (raiz) da função 
ƒ.
De maneira análoga, se g(x) = 0, então:
g(x) = 0 → –x = 0 → (-1) ∙ (–x) = (–1) ∙ 0 → x = 0
Portanto, quando x = 0, g(x) = 0. Logo, o par ordenado (0, 0) 
é o ponto que representa o zero (raiz) da função g.
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Nas figuras observa-se que as retas que representam as 
funções interceptam o eixo x exatamente quando ƒ(x) = 0 e g(x) = 0. 
Em outras palavras, quando a ordenada (informação do eixo y) 
é igual a zero, a função “corta” o eixo das abscissas (eixo x). Na 
figura a seguir, as duas funções estão plotadas no mesmo plano 
cartesiano, veja:
Figura 13 – Gráfico das funções ƒ(x) = x + 2 e g(x) = –x
Fonte: Elaborado pelos autores (2022).
Note que no ponto (-2,0) a função ƒ(x) = x + 2 intercepta 
o eixo das abscissas e a função g(x) = –x intercepta o eixo x no 
ponto que no ponto (0,0).
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Assim, geometricamente, o zero da função afim (função 
polinomial do 1.º grau) corresponde à abscissa do ponto em 
que a função corta o eixo .
Representação gráfica dos casos 
particulares
Estudamos no capítulo anterior, as características de 
casos particulares de função afim: função constante, função 
linear e função identidade.
Observe a seguir, exemplos da representação gráfica 
dessas funções:
Exemplo: sejam ƒ, g e h funções reais definidas por: 
• ƒ(x) = 3
• g(x) = 2x
• h(x) = x
Esboce o gráfico dessas funções no plano cartesiano.
Solução: vimos anteriormente, que funções polinomiais 
do 1.º grau são retas, portanto, para esboçar o gráfico é 
suficiente definir dois pontos que estejam na reta. Assim, 
escolheremos convenientemente valores para a variável 
independente x que será a abscissa do ponto. Em seguida, 
realizamos as substituições nas funções e calculamos o 
valor da variável dependente (y), obtendo a ordenada do 
ponto. Veja o quadro a seguir para x = 0 e x = 2:
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Quadro 2 – Cálculo das variáveis dependentes nas funções e ƒ(x), g(x) e h(x)
x f(x) = 3 PAR ORDENADO g(x)=2x
PAR 
ORDENADO h(x) = x
PAR 
ORDENADO
0 f(0) = 3 (0, 3) g(0) = 2∙0 = 0 (0,0) h(0) = 0 (0, 0)
2 f(2) = 3 (2, 3) g(2) = 2∙2 = 4 (2,4) h(2) = 2 (2, 2)
Fonte: Elaborado pelos autores (2022).
Portanto, os pontos (0,3) e (2,3) passam pela reta que 
representa a função ƒ(x) = 3. Os pontos (0,0) e (2,4) passam 
pela reta que representa a função g(x) = 2x e os pontos (0,0) e 
(2,2) estão na reta que representa a função h(x) = x. Lembre-se 
também que no nosso exemplo a função f é constante, pois a=0, 
ou seja, não há a variável independente. A função g é linear, pois 
b=0, isto é, não há constante. Já a função h é identidade, pois a=1 
e b=0. Agora, observe como essas funções ficam representadas 
no plano cartesiano:
Figura 14 – Gráfico das funções ƒ (x) = 3, g(x) = 2x e h(x) = x
Fonte: Elaborado pelos autores (2022).
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Note que a função constante é uma reta paralela ao 
eixo x que passa pelo ponto de coordenadas (0,3). Logo, para 
uma função constante ƒ:ℝ → ℝ cuja lei é definida por ƒ(x) = b, o 
gráfico será uma reta paralela ao eixo x, passando pelo ponto 
(0,b). 
Veja que a função linear é uma reta que passa pela 
origem do sistema e representa a proporcionalidade direta. 
No nosso exemplo (função g), para cada x real escolhido, o valor 
y correspondente é igual ao “dobro de x”.
A função identidade, por sua vez, é uma reta em que, 
cada x real, corresponde a um y tal que y = x. Em outras palavras, 
a função é uma reta que passa pelos pontos que possuem o 
mesmo valor para abscissa e ordenada, ou seja, (–2, –2); 
(–1, –1); (0, 0); (1, 1); (2, 2), e assim por diante. Assim, a função 
identidade é reta bissetriz dos quadrantes ímpares. 
RESUMINDO
A representação gráfica de uma função do 1.º grau 
é uma reta, e são necessários, no mínimo, dois 
pontos para a sua construção. Para tal, definimos 
valores para x, os quais, após serem substituídos 
na lei de formação da função, possibilitam a 
determinação de y e o consequente encontro do 
par ordenado (x,y) que será localizado no plano 
cartesiano e possibilitará traçar o esboço do gráfico 
que representa a função.
86 MODELAGEM MATEMÁTICA
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DANTE, L.R. Teláris matemática – 9.º ano: Ensino Fundamental. 3. 
ed. São Paulo: Ática, 2018.
GIOVANNI, J.R.; BONJORNO, J.R; GIOVANNI JÚNIOR, J.R. Matemática 
fundamental: uma nova abordagem – Ensino Médio. São Paulo: 
FTD, 2002.
LIMA, E.L.; CARVALHO, P.C.P.; WAGNER, E.; MORGADO, A.C. A 
Matemática do Ensino Médio. 9. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2006.
LIMA, E.L.; CARVALHO, P.C.P.; WAGNER, E.; MORGADO, A.C. Temas 
e Problemas Elementares. 2. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2006.
SANTOS, et al. Matemática – Ensino Médio. 5. ed. São Paulo: Ática, 
2000.SMOLE, K.C.S.; DINIZ, M.I. Matemática: ensino médio. 6. ed. São 
Paulo: Saraiva, 2010. 
RE
FE
RÊ
N
CI
A
S
	1.3.1_Comutatividade
	_bookmark18
	1.3.4_Existência_de_elemento_inverso
	_bookmark21
	1.4_Polinômios
	_bookmark22
	1.4.4_Grau_de_polinômio_com_uma_variável
	_bookmark26
	1.2.4__Caso_4_-_Trinomio_do_tipo_X2_+_SX
	1.2.6__Caso_6_-_Soma_de_dois_cubos
	1.2.7_Caso_7_-_Diferença_de_dois_cubos
	_bookmark16
	2.2.1_Aplicando_a_regra_básica
	_bookmark33
	_Hlk117629496
	3.2_Resolvendo_uma_função_do_primeiro_gr
	_bookmark37
	4.3_Elaborando_o_gráfico
	_bookmark42
	Expressões algébricas (Operações e operadores)
	Expressões algébricas
	Monômio 
	Grau de um monômio
	Monômios semelhantes
	Polinômios
	Tipos de polinômio
	Grau de polinômio com uma variável
	Grau de polinômio com mais de uma variável
	Operações envolvendo monômios
	Adição de monômios
	Subtração de monômios
	Multiplicação de monômios
	Divisão de monômios
	Potenciação de monômios
	Propriedades das operações envolvendo monômios
	Comutatividade
	Associatividade
	Elemento neutro
	Elemento inverso
	Operações polinomiais
	Fatoração
	Caso 1 – Fator comum
	Caso 2 – Agrupamento
	Caso 3 – Trinômio quadrado perfeito
	Caso 4 – Trinômio do tipo x2 + Sx + P
	Caso 5 – Diferença de dois quadrados
	Caso 6 – Soma de dois cubos
	Caso 7 – Diferença de dois cubos
	Equação do 1.º grau
	Igualdade e Incógnita
	Propriedades de uma igualdade 
	Solução de uma equação do 1.º grau com uma incógnita
	Situações-problema que recaem em equação
	Funções do 1.º grau
	A ideia de função
	Função afim ou função de 1.º grau
	Raiz ou zero da função
	Casos particulares
	Elaboração e interpretação de gráficos lineares
	Plano cartesiano
	Representação gráfica de uma função do 1.º grau
	Interpretação gráfica do zero de uma função
	Representação gráfica dos casos particulares