Desafios Matemáticos

Prévia do material em texto

CURSO DE MATEMÁTICA 2008 
 
 
 
 
 www.cursodomario.com.br - 1 
 
 
 
 
 
DESAFIOS MATEM˘TICOS 
 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 1 
 
EU TENHO O DOBRO DA IDADE QUE TU TINHAS QUANDO EU TINHA A TUA IDADE. 
QUANDO TU TIVERES A MINHA IDADE, A SOMA DAS NOSSAS IDADES SERÁ DE 45 ANOS. 
QUAIS SÃO AS NOSSAS IDADES??? 
 
Solução: 
 
Tu TINHAS uma idade que chamaremos de x e hoje TEM uma idade que chamaremos de y. 
Eu TENHO o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a tua idade atual y (o dobro de x) , ou seja, eu 
TENHO 2x anos. 
ENTÃO: 
Tu TINHAS x e agora tem y. 
Eu TINHA y e agora tenho 2x. 
Portanto temos que: 
y-x = 2x-y 
2y=3x 
x=(2/3).y 
ENTÃO, substituindo o valor de x, temos: 
Tu TINHAS (2/3).y e agora tem y.Eu TINHA y e agora tenho (4/3).y 
Agora preste atenção na segunda frase: 
QUANDO TU TIVERES A MINHA IDADE, A SOMA DAS NOSSAS IDADES SERÁ DE 45 ANOS. 
Tu tem y, e para ter a minha idade, que é (4/3).y, deve-se somar a tua idade y com mais (1/3).y 
Somando y + (1/3)*y você terá a minha idade, ou seja, você terá (4/3)*y. 
Como somamos (1/3).y à sua idade, devemos somar à minha também, ou seja: 
Agora eu tenho (4/3).y + (1/3).y, logo eu tenho (5/3).y 
A soma de nossas idades deve ser igual a 45 anos: 
(4/3).y + (5/3).y=45 
(9/3).y=45 
3y=45 
y=15 
No início descobrimos que x=(2/3).y, portanto x=(2/3).15, logo x=10. 
FINALMENTE: QUAIS SÃO AS NOSSAS IDADES??? 
COMO DISSEMOS NO INÍCIO, A TUA IDADE ATUAL É y, OU SEJA, 15 ANOS. 
E A MINHA IDADE É 2x, OU SEJA, 2.10, QUE É IGUAL A 20 ANOS. 
PORTANTO AS IDADES SÃO 20 E 15 ANOS!!! 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 
 
 CURSO DE MATEMÁTICA 2008 
 
 
 
 
 www.cursodomario.com.br - 2 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIO 2 
 
UM AUTOMÓVEL COMPORTA DOIS PASSAGEIROS NO BANCO DA FRENTE E TRÊS NO 
BANCO DE TRÁS. CALCULE O NÚMERO DE ALTERNATIVAS DISTINTAS PARA LOTAR O 
AUTOMÓVEL UTILIZANDO 7 PESSOAS, DE MODO QUE UMA DESSAS PESSOAS NUNCA 
OCUPE UM LUGAR NOS BANCOS DA FRENTE. 
 
Solução: 
 
São 7 pessoas, sendo que uma nunca pode ir num banco da frente. 
Vamos chamar essa pessoa de João, por exemplo. Então primeiro vamos calcular o número de maneiras de 
lotar o automóvel SEM o João, usando apenas as outras seis pessoas: 
Como temos 6 pessoas e 5 lugares no carro então calculamos o arranjo de 6 elementos, tomados 5 à 5: 
A6,5= 720 
Agora vamos calcular o número de maneiras de lotar o automóvel COM o João. 
Sabemos que o João não pode estar nos bancos da frente, portanto ele deve estar em um dos três bancos de 
trás. Então fixamos o João em um dos lugares traseiros (então sobram 4 lugares no carro), e depois 
calculamos o número de maneiras de colocar as outras 6 pessoas nesses 4 lugares, ou seja, um arranjo de 6 
elementos, tomados 4 a 4: 
A6,4= 360 
O João pode estar em qualquer um dos três bancos de trás, portanto devemos multiplicar esse resultado por 
3: 
3 x A6,4= 3 x 360 = 1080 
O número total de maneiras de lotar o automóvel é a soma dos dois arranjos (COM João e SEM João). 
Portanto número total é 720+1080 = 1800 maneiras!!! 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 3 
 
AS IDADES DE DUAS PESSOAS HÁ 8 ANOS ESTAVAM NA RAZÃO DE 8 PARA 11; AGORA 
ESTÃO NA RAZÃO DE 4 PARA 5. QUAL É A IDADE DA MAIS VELHA ATUALMENTE? 
 
Solução: 
 
Chamaremos de y a idade da pessoa mais nova. 
Chamaremos de x a idade da pessoa mais velha. 
O problema diz que agora (atualmente) as idades estão na razão de 4 para 5. Então: 
y/x = 4/5 (equação 1) 
O problema diz que há 8 anos as idades estavam na razão de 8 para 11. Então: 
(y-8)/(x-8) = 8/11 (equação 2) 
Isolando y na equação 1: 
y = 4x/5 
Colocando esse valor de y na equação 2 temos: 
((4x/5)-8)/(x-8) = 8/11 
(4x/5)-8 = 8/11.(x-8) 
 
 CURSO DE MATEMÁTICA 2008 
 
 
 
 
 www.cursodomario.com.br - 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo o mmc dos dois lados temos: 
(4x-40) / 5 = (8x-64) / 11 
11.(4x-40) = 5.(8x-64) 
44x-440 = 40x-320 
44x-40x = 440-320 
4x = 120 
x= 30 
Portanto a idade da pessoa mais velha é 30 anos!!! 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 4 
 
EXISTEM N TRIÂNGULOS DISTINTOS COM OS VÉRTICES NOS PONTOS DA FIGURA. QUAL É 
O VALOR DE N ? 
 
 N 
 N N 
 N N 
 N N N N 
 N N 
 N N 
 
Solução: 
 
Podemos notar que a figura é parecida com um "A". 
Temos 13 pontos no total. Portanto o total de combinações entre eles é: 
C13,3 = 286 
Porém, nós queremos apenas as que formam triângulos, então temos que subtrair todas as combinações que 
não formam triângulos, ou seja, as combinações em que os pontos são COLINEARES. Temos 3 situações 
onde isso acontece: 
Na "perna esquerda" do "A", temos 6 pontos colineares que não podem ser combinados entre si, pois não 
formam triângulos. 
Na "perna direita" do "A", temos a mesma situação. 
E no meio temos 4 pontos colineares que também não podem ser combinados entre si. 
Temos que subtrair essa 3 situações do total. Então o número de triângulos que podem ser formados é: 
C13,3 - C6,3 - C6,3 - C4,3 = 286 - 20 - 20 - 4 = 242 
Portanto podem ser formados 242 triângulos distintos!!! 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 
 
 
 
 
 CURSO DE MATEMÁTICA 2008 
 
 
 
 
 www.cursodomario.com.br - 4 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIO 5 
 
UM HOMEM GASTOU TUDO O QUE TINHA NO BOLSO EM TRÊS LOJAS. EM CADA UMA 
GASTOU 1 REAL A MAIS DO QUE A METADE DO QUE TINHA AO ENTRAR. QUANTO O 
HOMEM TINHA AO ENTRAR NA PRIMEIRA LOJA? 
 
Solução: 
 
Vamos considerar que quando o homem entrou na primeira loja ele tinha N reais. Então o nosso objetivo é 
achar o valor de N. 
O problema diz que em cada loja o homem gastou 1 real a mais do que a metade do que tinha ao entrar. 
 
LOJA 1 
O homem entrou com N. 
O homem GASTOU: 
(N/2)+1. 
Portanto o homem FICOU com: 
N - ((N/2)+1) 
= N-(N/2)-1 
= (2N-N-2) / 2 
= (N-2)/2 
 
LOJA 2 
O homem entrou com (N-2)/2 
O homem GASTOU: 
( (N-2)/2 )/2 + 1 = (N-2)/4 + 1 = (N+2)/4 
Portanto o homem FICOU com: 
(N-2)/2 - ((N+2)/4) 
= (2N-4-N-2) / 4 
= (N-6)/4 
 
LOJA 3 
O homem entrou com (N-6)/4 
O homem GASTOU: 
( (N-6)/4 )/2 + 1 
= (N-6)/8 + 1 
= (N+2)/8 
Portanto o homem FICOU com ZERO REAIS, porque o problema diz que ele gastou tudo o que tinha nas 
três lojas. Então concluímos que o dinheiro que ele ENTROU na loja 3 menos o dinheiro que ele GASTOU 
na loja 3 é igual a ZERO: 
 
(N-6)/4 - ((N+2)/8) = 0 
(2N-12-N-2) / 8 = 0 
2N-12-N-2 = 0 
N-14 = 0 
N =14 
 CURSO DE MATEMÁTICA 2008 
 
 
 
 
 www.cursodomario.com.br - 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
PORTANTO, QUANDO O HOMEM ENTROU NA PRIMEIRA LOJA ELE TINHA 14 REAIS !!! 
 
Solução 02: 
 
Vamos representar através de um fluxo, o que ocorreu desde sua entrada na 1ª loja, até a saída na última e 
em, seguida, percorrer o fluxo de "trás para frente", aplicando operações inversas. Cabe lembrar que a 
quantia que tinha ao entrar em cada loja (que representarei por N1, N2 e N3) fica sempre dividida por 2 e, 
em seguida, subtraída de 1 real. 
 
(N1)/2 - 1 (saiu da loja 1 com N2) 
(N2)/2 - 1 (saiu da loja 2 com N3) 
(N3)/2 - 1 (saiu da loja 3 com zero, já que gastou tudo o que possuía). 
 
Aplicando operações inversas, teremos do fim para o início: 
(0 + 1) x 2 = 2 
(2 + 1) x 2 = 6 
(6 + 1) X 2 = 14 
 
Logo, possuía ao entrar na 1ª loja R$14,00. 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 6 
 
DETERMINE O MENOR NÚMERO NATURAL CUJA: 
 
DIVISÃO POR 2 TEM RESTO 1; 
DIVISÃO POR 3 TEM RESTO 2; 
DIVISÃO POR 4 TEM RESTO 3; 
DIVISÃO POR 5 TEM RESTO 4; 
DIVISÃO POR 6 TEM RESTO 5; 
DIVISÃO POR 7 TEM RESTO 0. 
 
Solução: 
 
Suponhamos que estamos procurando o número X. Observe essas condições exigidas pelo problema: 
X dividido por 2 dá resto 1 
X dividido por 3 dá resto 2 
e assim por diante até: 
X dividido por 6 dá resto 5 
Então, podemos notar que o resto dá sempre uma unidade a menos do que o divisor. 
Isso significa que o número seguinte ao número X, ou seja, X+1, será divisível por 2,3,4,5 e 6. 
Bom...já que X+1 é divisível por esses cinco números, então o número X+1 pode ser igual a 4x5x6=120. 
Portanto, se X+1 é igual a 120, o número X que estamos procurando é 119, que também é divisível por 7. 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
 CURSO DE MATEMÁTICA 2008 
 
 
 
 
 www.cursodomario.com.br - 6 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIO 7 
 
CONSIDERE OS NÚMEROS OBTIDOS DO NÚMERO 12345, EFETUANDO-SE TODAS AS 
PERMUTAÇÕES DE SEUS ALGARISMOS. COLOCANDO ESSES NÚMEROS EM ORDEM 
CRESCENTE, QUAL É O LUGAR OCUPADO PELO NÚMERO 43521? 
 
Solução: 
 
Colocando-se as permutações obtidas pelos 5 algarismos em ordem crescente: 
 
1xxxx => P4 = 4! = 24 
2xxxx => P4 = 4! = 24 
3xxxx => P4 = 4! = 24 
41xxx => P3 = 3! = 6 
42xxx => P3 = 3! = 6 
431xx => P2 = 2! = 2 
432xx => P2 = 2! = 2 
4351x => P1 = 1! = 1 
 
Somando todas elas: 
24+24+24+6+6+2+2+1 = 89 
 
Então o número 43521 está na posição 89+1 = 90. 
 
Resposta: O número 43521 está na 90º posição. 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 8 
 
COLOQUE OS NÚMEROS 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 E 9 DISPOSTOS NAS 9 CASAS DE UM TABULEIRO 
DE JOGO DA VELHA DE MANEIRA QUE A SOMA DOS 3 ALGARISMOS DE QUALQUER RETA E 
QUALQUER DIAGONAL RESULTE 15. 
 
Solução: 
 8 1 6 
 3 5 7 
 4 9 2 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 9 
 
Num sítio existem 21 bichos, entre patos e cachorros. Sendo 54 o 
total de pés desses bichos, calcule a diferença entre o número 
de patos e o número de cachorros. 
 
 
 CURSO DE MATEMÁTICA 2008 
 
 
 
 
 www.cursodomario.com.br - 7 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
O total de patos e cachorros é 21: 
P+C = 21 
O total de pés é 54. Patos tem 2 patas e cachorros tem 4 patas. então: 
2P+4C = 54 
Portanto temos duas equações. Isolando P na primeira temos: 
P = 21-C 
Substituindo na segunda equação temos: 
2(21-C)+4C = 54 
42-2C+4C = 54 
2C = 54-42 
2C = 12 
C = 6 
Agora basta encontrar o P: 
P = 21-C 
P = 21-6 
P=15 
 
Há 15 patos e 6 cachorros, portanto a diferença é 15-6 = 9. 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 10 
 
Se eu leio 5 páginas por dia de um livro, eu termino de ler 16 dias antes do que se eu estivesse lendo 3 
páginas por dia. Quantas páginas tem o livro? 
 
Solução: 
 
Sendo N o número de páginas do livro, temos: 
N/5 = (N/3)-16 
(N/5)-(N/3) = -16 
(3N-5N)/15 = -16 
3N-5N = -16*15 
-2N = -240 
N = 120 
 
O livro possui 120 páginas! 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 
 
 
 
 
 CURSO DE MATEMÁTICA 2008 
 
 
 
 
 www.cursodomario.com.br - 8 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIO 11 
 
Com os algarismos x, y e z formam-se os números de dois algarismos xy e yx, cuja soma é o número de três 
algarismos zxz. Quanto valem x, y e z? 
 
Solução: 
 
xy e yx são números de 2 algarismos, que somados resultam o número de três algarismos zxz. 
xy+yx = zxz 
O maior número que pode ser formado somando dois números de 2 algarismos é: 
99+99 = 198 
Ora, se o número zxz é de 3 algarismos, e o maior número que ele pode ser é 198, então concluímos que 
z=1. 
Se z=1 o resultado da soma é 1x1. 
Os valores de x e y que satisfazem a equação xy+yx = 1x1 são os seguintes: 
x=2 e y=9, ou seja 29+92 = 121 
 
Resposta: x=2 , y=9 , z=1 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 12 
 
Deseja-se descobrir quantos degraus são visíveis numa escada rolante. Para isso foi feito o seguinte: duas 
pessoas começaram a subir a escada juntas, uma subindo um degrau de cada vez enquanto que a outra subia 
dois . Ao chegar ao topo, o primeiro contou 21 degraus enquanto o outro 28. Com esses dados foi possível 
responder a questão. Quantos degraus são visíveis nessa escada rolante? (obs: a escada está andando). 
 
Solução: 
 
Bom...para facilitar vamos dar nome as pessoas: 
 
GUSTAVO sobe 2 degraus por vez 
MARCOS sobe 1 degrau por vez. 
 
Conforme diz o enunciado, quando GUSTAVO chegou ao topo ele contou 28 degraus. Como ele anda 2 por 
vez, na verdade o GUSTAVO deu 14 passos. Então quando ele chegou no topo, o MARCOS havia andado 
14 degraus, pois ele anda 1 por vez (faça o desenho que você entenderá melhor). 
 
Lembre-se que a escada está andando. Então ao mesmo tempo que GUSTAVO andou 28 e o MARCOS 
andou 14, a escada havia andado sozinha X degraus. O enunciado diz que quando MARCOS chegou ao 
topo ele contou 21 degraus. Como ele está no 14, ainda faltam 7 para ele chegar ao topo (ou seja, falta 
metade do que ele já andou - 7 é metade de 14). Portanto durante esses 7 que faltam, a escada andará 
sozinha mais X/2 degraus (pois se em 14 degraus ela andou X, em 7 ela andará X/2). 
 
 
 
 CURSO DE MATEMÁTICA 2008 
 
 
 
 
 www.cursodomario.com.br - 9 
 
 
 
 
 
 
 
FEITO! O número de degraus visíveis para o GUSTAVO e para o MARCOS deve ser o mesmo. Então 
basta montar a equação: 
 
28+X = (14+X)+(7+(X/2))28+X = 21+(3X/2) 
28-21 = (3X/2)-X 
7 = X/2 
X = 14 
 
Se X=14, o número de degraus visíveis é (o GUSTAVO andou 28+X no total): 
28+14 = 42 degraus 
Note que para o MARCOS o resultado deve ser o mesmo: 
(14+X)+(7+(X/2)) = (14+14)+(7+14/2) = 28+14 = 42 degraus 
 
Resposta: SÃO VISÍVEIS 42 DEGRAUS NA ESCADA ROLANTE!!! 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 13 
 
Joãozinho, um rapaz muito indiscreto, sabendo da reação de uma senhora, que conhecia há algum tempo, 
quando falaram em idade, resolveu aprontar. Numa reunião social, na presença de todos, perguntou-lhe a 
idade. A senhora respondeu: 
 
- Tenho o dobro da idade que tu tinhas, quando eu tinha a idade que tu tens menos quatro anos. Daqui a 
cinco anos a soma de nossas idades será 82 anos. 
 
Se você fosse um dos presentes, você concluiria que a senhora tem que idade? 
 
Solução: 
 
O modo de resolver esse problema é o mesmo do desafio 1. 
 
Aplique o mesmo método e você encontrará que 
 
A SENHORA TEM 40 ANOS. 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 14 
 
Um comerciante compra uma caixa de vinho estrangeiro por R$1.000,00 e vende pelo mesmo preço, depois 
de retirar 4 garrafas e aumentar o preço da dúzia em R$100,00. Então, qual é o número original de garrafas 
de vinho na caixa? 
 
 
 
 
 CURSO DE MATEMÁTICA 2008 
 
 
 
 
 www.cursodomario.com.br - 10 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
Sendo N o número de garrafas e P o preço de cada garrafa, temos: 
 
N.P = 1000 => P=1000/N 
Tira-se 4 garrafas 
Aumenta o preço da dúzia em R$100,00 
(N-4).P+((N-4)/12).100) = 1000 
Colocando N-4 em evidência: 
(N-4) (P + 100/12) = 1000 
(N-4) (1000/N + 100/12) = 1000 
(1000N-4000)/N + (100N-400)/12 = 1000 
 
Resolvendo essa equação chegamos a equação de segundo grau: 
 
100N2 - 400N - 48000 = 0 
Aplicando Bhaskara encontramos x=24. 
 
Resposta: HAVIAM 24 GARRAFAS NA CAIXA 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 15 
 
Uma pessoa, ao preencher um cheque, inverteu o algarismo das dezenas com o das centenas. Por isso, pagou 
a mais a importância de R$270,00. Sabendo que os dois algarismos estão entre si como 1 está para 2, 
calcule o algarismo, no cheque, que foi escrito na casa das dezenas. 
 
Solução: 
 
No cheque foi escrito: ...xxxABx 
Mas o correto seria: ...xxxBAx 
 
Ou seja, na casa das dezenas do cheque foi escito B (é o que queremos achar). 
 
Por isso a pessoa pagou R$270,00 a mais, portanto fazendo a subtração o resultado será 270: 
 
...xxxABx 
...xxxBAx 
---------------- 
...000270 
 
Portanto devemos ter AB - BA = 27 
O exercício diz que A e B estão entre si como 1 está para 2. Daí sabemos que A é o dobro de B, ou seja: 
A=2B. 
 
 
 CURSO DE MATEMÁTICA 2008 
 
 
 
 
 www.cursodomario.com.br - 11 
 
 
 
 
 
 
 
Sabendo disso, existem 4 valores possíveis para A e B: 
 
B=1 e A=2 => 21-12 = 9 => não pode ser esse (pois AB-BA=27) 
B=2 e A=4 => 42-24 = 18 => não pode ser esse (pois AB-BA=27) 
B=3 e A=6 => 63-36 = 27 => esses são os valores (pois AB-BA=27) 
B=4 e A=8 => 84-48 = 36 => não pode ser esse (pois AB-BA=27) 
 
Portanto os valores são A=6 e B=3. 
 
Resposta: O algarismo escrito no cheque na casa das dezenas foi o 3. 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 16 
 
Corte uma torta em 8 pedaços, fazendo apenas 3 movimentos (3 cortes). 
 
Solução: 
 
Basta fazer dois cortes verticais e um corte horizontal. Ao fazer dois cortes verticais (pode ser em forma de 
X), a torta estará dividida em 4 pedaços. Quando fizermos o corte horizontal, o número de pedaços será 
multiplicado por 2, ou seja, teremos 8 pedaços em apenas 3 cortes. 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 17 
 
O menor múltiplo de 1998 que possui apenas os algarismos 0 e 9 é 9990. Qual é o menor múltiplo de 1998 
que possui apenas os algarismos 0 e 3? 
 
Solução: 
 
1998 = 2 ´ 999 = 2 ´ 33 ´ 37. Um número formado apenas pelos algarismos 0 e 3 é múltiplo de 33 se e 
somente se o número de algarismos 3 é múltiplo de 9 (pois ao dividi-lo por 3 obtemos um número que 
possui apenas os algarismos 0 e 1 que deve ser múltiplo de 9, o que ocorre se e só se o número de 
algarismos 1 é múltiplo de 9). 
 
 Assim, o número desejado deve ter pelo menos 9 algarismos 3, e deve terminar por 0, por ser par. O 
menor número com essas propriedades é 3333333330, que é múltiplo de 1998 pois é par, é múltiplo de 33 e 
é múltiplo de 37 por ser múltiplo de 111 (é igual a 111 ´ 30030030). 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 
 
 
 
 
 CURSO DE MATEMÁTICA 2008 
 
 
 
 
 www.cursodomario.com.br - 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIO 18 
 
 Em uma reta há 1999 bolinhas. Algumas são verdes e as demais azuis (poderiam ser todas verdes ou 
todas azuis). Debaixo de cada bolinha escrevemos o número igual à soma da quantidade de bolinhas verdes 
à direita dela mais a quantidade de bolinhas azuis à esquerda dela. Se, na seqüência de números assim 
obtida, houver exatamente três números que aparecem uma quantidade ímpar de vezes, quais podem ser 
estes três números? 
 
Solução: 
 
 Este é um problema de Olimpíada Matemática. Se as 1999 bolinhas são de uma mesma cor, a sucessão de 
números é crescente ou decrescente. Cada número aparece uma vez só e há 1999 (portanto, não há 
exatamente 3 números que se repetem um número ímpar de vezes (1 é ímpar). Logo, há bolinhas das duas 
cores. 
 Dada uma distribuição das bolinhas que tem em certa posição uma bolinha azul A e na posição seguinte 
uma bolinha vermelha R, se há a bolinhas azuis à esquerda de A e r bolinhas vermelhas à sua direita, então 
há a + 1 bolinhas azuis à esquerda de R e r – 1 bolinhas vermelhas à sua direita. O número escrito embaixo 
de A é n = a + r e o número escrito embaixo de R é a + 1 + r – 1 = n. 
 Se trocamos de lugar A e R, e não mexemos em nenhuma outra bolinha, na nova distribuição há a 
bolinhas azuis à esquerda de R e r – 1 bolinhas vermelhas à sua direita, enquanto que à esquerda de A há a 
bolinhas azuis e, à sua direita, r – 1 bolinhas vermelhas. Os números escritos embaixo de R e A são a + r – 
1= n – 1 e a + r – 1 = n – 1. Os números escritos embaixo das outras bolinhas não mudam. 
 Então, depois da troca, o número n se repete duas vezes menos e o número n – 1 se repete duas vezes 
mais. Os números que se repetem uma quantidade ímpar de vezes serão os mesmos em ambas 
configurações. 
 Portanto, basta estudar a configuração na qual todas as bolinhas vermelhas são consecutivas, a partir da 
primeira, e todas as azuis são consecutivas, a partir da última vermelha. 
 Sejam a , b , as quantidades de bolinhas vermelhas e azuis, respectivamente; então a + b = 1999. Embaixo 
da primeira bolinha (é vermelha) está o número a – 1, na seguinte, a – 2, depois a – 3, e assim por diante, até 
ter 0 na última bolinha vermelha (na posição a ). Então, embaixo da primeira bolinha azul há 0, na segunda 
1 e assim por diante, atéa última, que tem b – 1 embaixo. 
 Se a < b , os números 0, 1, 2, …, a – 1 aparecem duas vezes (quantidade par) e os números a , a + 1, a + 
2, …, b – 1 aparecem uma vez (quantidade ímpar). Se há exatamente 3 números que aparecem uma 
quantidade ímpar de vezes, estes são a , a + 1 e a + 2 = b – 1. Portanto, a + b = 2a + 3, donde a = 998, e os 
três números que se repetem uma quantidade ímpar de vezes são 998, 999 e 1000. 
 Se a > b , os três números que aparecem uma quantidade ímpar de vezes são b , b +1 e b + 2 = a – 1, 
donde a + b = 2b + 3 e os tres números são, novamente, 998, 999 e 1000. 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 
 
 
 
 
 CURSO DE MATEMÁTICA 2008 
 
 
 
 
 www.cursodomario.com.br - 13 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIO 19 
 
 Forme o número 24 usando apenas os números 3, 3, 7, 7, uma vez cada. Você pode usar as operações +, -, 
x, /, e também os parênteses, se achar necessário. 
 
Solução: 
A solução pode ser a seguinte: (3+(3/7)) x 7 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 20 
 
 Ache um número que tenha sua raiz quadrada maior do que ele mesmo. 
 
Solução: 
 
Qualquer número entre 0 e 1. 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 21 
 
 A Maria e o Manuel disputaram um jogo no qual são atribuídos 2 pontos por vitória e é retirado um ponto 
por derrota. Inicialmente cada um tinha 5 pontos. Se o Manuel ganhou exatamente 3 partidas, e a Maria no 
final ficou com 10 pontos, quantas partidas eles disputaram? 
 
Solução: 
 
Se o Manuel ganhou exatamente 3 partidas, a Maria perdeu três pontos. Como no final a Maria ficou com 
10 pontos é porque ganhou 8 pontos, logo 4 partidas. Realizaram portanto 3+4=7 partidas. 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 22 
 
 Um relógio digital marca 19:57:33. Qual o número mínimo de segundos que devem passar até que se 
alterem todos os algarismos? 
 
Solução: 
 
Os algarismos estarão todos alterados, pela primeira vez, quando o relógio marcar 20:00:00, ou seja, quando 
se passarem 147 segundos. 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 23 
 
Para numerar as páginas de um livro, consecutivamente desde a primeira página, são usados 852 algarismos. 
Quantas páginas tem o livro? 
 
 CURSO DE MATEMÁTICA 2008 
 
 
 
 
 www.cursodomario.com.br - 14 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
Como existem 9 números naturais com 1 algarismo, 90 números com 2 algarismos e 900 números com 3 
algarismos são necessários: 
9 algarismos para numerar as primeiras 9 páginas; 
90 x 2 = 180 algarismos para numerar as seguintes 90 páginas; 
900 x 3 = 2700 algarismos para numerar as seguintes 900 páginas. 
Como 180+9 < 852 < 2700 então o número x de páginas do livro tem 3 algarismos e satisfaz a equação: 
 
3 (x-99) + 189 = 852 
 
O livro possui 320 páginas. 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 24 
 
Você tem 10 soldados. Forme 5 filas com 4 soldados em cada uma. 
 
Solução: 
 
Os soldados são dispostos como mostrado na figura abaixo, em forma de estrela. Dessa maneira existirão 5 
filas, e cada fila possuirá 4 soldados. 
 
 O 
 O o o O 
 o o 
 o 
 O O 
 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 25 
 
Substitua o asterisco x por um número natural, para que a subtração abaixo seja verdadeira. 
x/x - x/6 = x/12 
 
Solução: 
 
x/x é igual a 1. Substituindo esse valor na equação temos: 
1- (x/6) = (x/12) 
1 = (x/12) + (x/6) 
1 = (x+2x)/12 
1 = 3x/12 
1 = x/4 
x = 4 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 CURSO DE MATEMÁTICA 2008 
 
 
 
 
 www.cursodomario.com.br - 15 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIO 26 
 
Um pequeno caminhão pode carregar 50 sacos de areia ou 400 tijolos. Se foram colocados no caminhão 32 
sacos de areia, quantos tijolos pode ainda ele carregar? 
 
Solução: 
 
1 saco de areia = 8 tijolos. 
Se o caminhão pode carregar ainda 18 sacos então pode carregar 18 ´ 8 = 144 tijolos. 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 27 
 
COLOQUE OS NÚMEROS 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 E 9 DISPOSTOS NAS 16 CASAS DO TABULEIRO DE 
DAMAS 4X4 DE MANEIRA QUE A SOMA DOS 4 ALGARISMOS DE QUALQUER RETA E 
QUALQUER DIAGONAL RESULTE 34. 
 
Solução: 
 5 16 3 10 
 4 9 6 15 
 14 7 12 1 
 11 2 13 8 
 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 28 
 
Quantos são os possíveis valores inteiros de x para que (x+99)/(x+19)seja um número inteiro? 
 
Solução: 
 
Podemos escrever a expressão da seguinte forma: 
 
(x+99)/(x+19)=1+ [80/(1+19)] 
 
Este número é inteiro se, e somente se, x + 19 for divisor de 80. Como 80 tem 20 divisores inteiros, então 
existem 20 valores de x. 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 29 
 
Corte 10 algarismos do número 1234512345123451234512345, para que o número restante seja o maior 
possível. 
 
 
 
 CURSO DE MATEMÁTICA 2008 
 
 
 
 
 www.cursodomario.com.br - 16 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
O maior número restante é 553451234512345. Para ver isto, podemos supor que os cortes são feitos da 
esquerda para a direita. Se deixarmos de cortar todos os quatro primeiros algarismos, o número que resta 
começará por 1, 2, 3 ou 4. Logo, menor que o número acima. Feito isto, se deixarmos de cortar a segunda 
seqüência 1234, o número que resta terá na primeira ou segunda casa, da esquerda para a direita, 1, 2, 3 ou 
4. Ainda menor que o número acima. Os dois primeiros 5 devem permanecer, pois retirando-se um deles, 
completamos 9 retiradas e aí algum algarismo da terceira seqüência 1234 aparecerá na 1a ou na 2a casa. 
Finalmente devemos cortar a seqüência 12, que ocupa a 11a e 12a posição. 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
DESAFIO 30 
 
Encontre dois números de três algarismos cada um, usando cada um dos dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 exatamente 
uma vez, de forma que a diferença entre eles (o maior menos o menor) seja a menor possível. 
 
Solução: 
 
Este é um problema da Olimpíada Brasileira de Matemática. 
 
Para que a diferença seja a menor possível, os números devem ser os mais próximos possíveis. Assim, os 
algarismos das centenas devem ser consecutivos. A melhor escolha é aquela em que as dezenas formadas 
pelos algarismos restantestenham a maior diferença possível, o que ocorre para as dezenas 65 e 12. 
Assim, os algarismos das centenas devem ser 3 e 4. O menor número começado por 4 é 412 e o maior 
começado por 3 é 365, cuja diferença é 47. 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
DESAFIO 31 
 
Determine o próximo número da sequência: 2,10,12,16,17,18,19,... 
 
Solução: 
 
O próximo número da sequência 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ... é 200. 
É a sequência de todos os números que começam com a letra D. 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
DESAFIO 32 
 
Determine o próximo número da sequência: 5,11,19,29,41,... 
 
Solução: 
 
O próximo número da sequência 5,11,19,29,41,... é 55. 
A sequência é formada somando-se a cada termo um número par, à partir do 6: 
5+6 = 11+8 = 19+10 = 29+12 = 41+14 = 55. 
------------------------------------------------------------------------------ 
 CURSO DE MATEMÁTICA 2008 
 
 
 
 
 www.cursodomario.com.br - 17 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIO 33 
 
Três homens querem atravessar um rio. O barco suporta no máximo 130 kg. Eles pesam 60, 65 e 80 kg. 
Como devem proceder para atravessar o rio, sem afundar o barco? 
 
Solução: 
 
Os homens de 60 e 65kg atravessam. Um deles volta. O que pesa 80kg atravessa sozinho. O barco volta 
com o que havia ficado. Finalmente os de 60 e 65kg atravessam, e os três estarão do outro lado do rio. 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
DESAFIO 34 
 
Quantos noves existem entre 0 e 100? 
 
Solução: 
 
Existem 20 noves entre 0 e 100. Um em cada algarismo das unidades (9,19,29,39,...99), e mais os dez noves 
da dezena 9 (90, 91,92...99). 
No total 10+10 = 20 noves. 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
DESAFIO 35 
 
Uma pessoa vai comprar um presente e leva R$1.200,00. Quando lhe perguntam quanto custou o presente 
ela disse: 
 - "Sobrou troco, mas não direi nem o troco nem o preço do presente. Digo apenas que o preço do presente, 
sendo lido ao contrário é o valor de 9 presentes." 
Quanto custou o presente? 
 
Solução 01: 
 
Seja o preço do presente expresso como um número de quatro algarismos, desprezando os centavos, como 
abcd (isto é, R$ abcd,00), onde a é 1 ou 0 (para R$abcd,00 ser menor ou igual a R$1.200,00) e b, c e d, é 
claro, estão entre 0 e 9. Lido ao contrário, o preço do presente seria dcba, que deve ser igual ao valor de 
nove presentes. 
Para podermos equacionar esta informação, temos que ter em conta a notação decimal posicional, isto é, 
abcd significa a milhares, b centenas, c dezenas e d unidades, ou 1000a+100b+10c+d. Da mesma forma, 
dcba significa 1000d+100c+10b+a. Fica assim: 
1000d+100c+10b+a = 9(1000a+100b+10c+d) 
ou 
1000d+100c+10b+a = 9000a+900b+90c + 9d 
 
 
 
 
 CURSO DE MATEMÁTICA 2008 
 
 
 
 
 www.cursodomario.com.br - 18 
 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo: 
(1000-9)d + (100-90)c + (10-900)b +(1-9000)a = 0 
ou 
991d + 10c -890b -8999a = 0 
 
Observe-se que 991 e 10 não têm fatores em comum, e, portanto, neste caso, não podemos reduzir os 
coeficientes da equação. Temos aqui uma única equação com quatro incógnitas. Uma estratégia seria ir 
substituindo por tentativas valores para a, b, c e d. 
Pode-se, porém, como Diofanto, a partir daqui, utilizar o algoritmo das frações contínuas. 
Isolamos à esquerda o termo com o menor coeficiente: 
10c = 8999a + 890b - 991d 
Dividimos toda a equação pelo coeficiente: 
c = (8999/10)a + (890/10)b - (991/10)d 
Separando as partes inteiras das frações, 
c = 899a + (9/10)a + 89b - 99d - (1/10)d 
ou 
c = 899a + 89b - 99d + (1/10)(9a - d) 
Como a, b e c devem ser números inteiros, (1/10)(9a -d) também terá de ser. Isso, é claro, só acontecerá se 
(9a -d) for múltiplo de 10. 
Todavia, como a, b, c e d representam os dígitos do valor do presente, têm de estar entre 0 e 9. Com essa 
restrição, (9a-d) só pode ser o múltiplo trivial de 10, isto é, 0. 
Fica assim, 9a - d = 0 
ou 
d = 9a 
Retornando este resultado à equação anterior, fica 
c = 899a + 89b - 99x9a + (1/10)(9a - 9a) 
ou 
c = 899a + 89b - 891a 
c = 8a + 89b 
Como c está entre 0 e 9 e os coeficientes de a e b são positivos, resulta que b tem de ser igual a 0 para que c 
não exceda 9. Resulta assim, 
c = 8a 
Lembremos ainda que a é 1 ou 0. 
Mas a=0 resulta o caso trivial a=0, b=0, c=0 e d=0, ou seja o preço R$0000,00 e, corretamente, 9 x 0000$00 
= 0000$00. 
Temos, então, a=1 que resulta c = 8 e, retornando à equação anterior, d=9a => d=9. 
Assim obtemos, finalmente, o preço do presente (R$abcd,00) como R$1089,00 que, invertido, resulta 
R$9801 = 9 x R$1089, como desejado. 
RESPOSTA: o presente custou R$1089,00 
 
 
 
 
 
 
 
 CURSO DE MATEMÁTICA 2008 
 
 
 
 
 www.cursodomario.com.br - 19 
 
 
 
 
 
 
 
Solução 02: 
 
Se a quantia reservada para o presente era R$1.200,00, devemos supor que o preço estava em torno de R$ 
1.000,00. 
Portanto, estávamos em busca de um número de 4 algarismos, sendo 1 o primeiro deles. O último algarismo 
só poderia ser o 9, pois só assim poderíamos inverter o número e obter 9 vezes o primeiro. Assim, sabemos 
que o número é 1ab9. 
Achar a e b é relativamente fácil, pois o número é múltiplo de 9, já que seu inverso também o é (pois é um 
número que vale nove vezes o preço do presente). Temos então o número 1ab9. Para que tal número seja 
múltiplo de 9, é preciso que a soma a+b seja 8. Os pares a e b que satisfazem essa condição são os 
seguintes: 0 e 8; 1 e 7; 2 e 6; 3 e 5; 4 e 4; 5 e 3; 6 e 2; 7 e 1 e finalmente, 8 e 0. 
Testando o primeiro par, o que parece mais lógico, pois o preço é menor que R$ 1.200,00, chegamos a R$ 
1.089,00, que é o preço do presente. (1089 X 9 = 9801). 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
DESAFIO 36 
 
Quatro amigos vão ao museu e um deles entra sem pagar. Um fiscal quer saber quem foi o penetra: 
– Eu não fui, diz o Benjamim. 
– Foi o Pedro, diz o Carlos. 
– Foi o Carlos, diz o Mário. 
– O Mário não tem razão, diz o Pedro. 
Só um deles mentiu. Quem não pagou a entrada? 
 
Solução: 
 
Pedro não pagou! 
Mário e Carlos não podem ambos ter dito a verdade, pois somente um entrou sem pagar. 
Se Mário não falou a verdade, então o que os outros três afirmaram é correto. Conclui-se que Pedro entrou 
sem pagar. Se Mário tivesse dito a verdade, teríamos uma contradição: a afirmação de Pedro seria 
verdadeira, mas a de Carlos seria falsa. 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
DESAFIO 37 
 
Dona Panchovila comprou duas balas para cada aluno de sua sala. Mas os meninos da classe fizeram muita 
bagunça, e a professora resolveu distribuir as balas de maneira diferente: cinco para cada menina e apenas 
uma para cada menino. Qual a porcentagem de meninos na sala? 
 
Solução: 
 
Se a professora der uma bala a menos para cada menino, pode dar três balas a mais para cada menina. Isso 
significa que o número de meninos é o triplo do número de meninas. É o mesmo que dizer que 3/4 da classe 
– ou 75% dela – são meninos. 
------------------------------------------------------------------------------CURSO DE MATEMÁTICA 2008 
 
 
 
 
 www.cursodomario.com.br - 20 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIO 38 
 
Elevei um número positivo ao quadrado, subtraí do resultado o mesmo número e o que restou dividi ainda 
pelo mesmo número. O resultado que achei foi igual: 
a) Ao próprio número 
b) Ao dobro do número 
c) Ao número mais 1 
d) Ao número menos 1 
 
Solução: 
 
Vamos chamar o resultado desejado de n, e o número inicial de x. Pelo enunciado, temos que: 
n = (x2 – x) / x. 
Com a fatoração, descobrimos que: 
n = (x–1) . x / x. 
Simplificando, temos que n = x–1, ou o número menos 1. 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
DESAFIO 39 
 
Uma calculadora tem duas teclas: D, que duplica o número, e T, que apaga o algarismo das unidades. Se 
uma pessoa escrever 1999 e apertar em seqüência D,T, D e T, o resultado será qual número? 
 
Solução: 
 
O número 1999 duplicado dá 3998. Pressionando a tecla T, tem-se 399. Apertando D, temos o dobro de 399, 
que é 798. Com a tecla T apagamos o algarismo da unidade, obtendo 79. 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
DESAFIO 40 
 
De três irmãos - José, Adriano e Caio -, sabe-se que ou José é o mais velho ou Adriano é o mais moço. 
Sabe-se também, que ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais velho. Então quem é o mais velho e quem 
é o mais moço dos três irmãos? 
 
Solução: 
 
A segunda afirmação determina que José não é o mais velho, portanto a partir da primeira afirmação 
concluímos que Adriano é o mais moço. Se Adriano é o mais moço, Caio é o mais velho. 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
 
 
 
 
 
 CURSO DE MATEMÁTICA 2008 
 
 
 
 
 www.cursodomario.com.br - 21 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIO 41 
 
Em uma balança, quatro amigos matemáticos A,B,C,D resolveram se pesar em dupla e depois tentar 
descobrir quem é mais pesado que quem. Quando se pesavam, a balança indicava a dupla mais pesada, 
tendendo para um dos lados. Com relação ao peso, um deles anotou assim: 
Na primeira experiência, verificamos que (a+b) > (c+d) 
Na segunda experiência, verificamos que (d+b) = (c+a) 
Na terceira experiência, verificamos que (a+d) < c 
Determine a ordem do mais leve para o mais pesado. 
 
Solução: 
 
D < A < C < B 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
DESAFIO 42 
 
Dispõe-se de nove garrafas em fila. As cinco primeiras estão cheias de cerveja e as quatro últimas, vazias. 
Movendo somente duas garrafas, como tornar a fileira com garrafas alternadamente cheias e vazias. 
 
Solução: 
 
Temos 9 garrafas sendo que as 5 primeiras estão cheias e as 4 últimas vazias. 
Para que fiquem alternadamente cheias e vazias, basta despejar a garrafa 2 na garrafa 7 e a garrafa 4 na 
garrafa 9, voltando as duas para os seus respectivos lugares. 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
DESAFIO 43 
 
A média mensal de ovos postos pelas aves na Suécia são na proporção de 35 ovos por mês. O Sr. Thomas 
Dhalin, um pequeno proprietário do interior do país decidiu incrementar sua fazenda comprando um pato. 
Quantos ovos, de acordo com as estatísticas, ele terá comercializado ao final de um ano? 
 
Solução: 
 
Patos não botam ovos. 
Infelizmente o Sr. Larsen não terá nenhum ovo ao final de um ano. 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
DESAFIO 44 
 
Um bolsa tem 27 bolas de bilhar que parecem idênticas. É certo que há uma bola defeituosa que pesa mais 
que as outras. Dispomos de uma balança com 2 pratos. Demonstre que se pode localizar a bola defeituosa 
como somente três pesagens. 
 
 
 CURSO DE MATEMÁTICA 2008 
 
 
 
 
 www.cursodomario.com.br - 22 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
Compare 9 bolas quaisquer com outras 9 e deixa as nove restantes na caixa. Se a balança se equilibra, a bola 
mais pesada estará entre as nove bolas que ficaram na caixa e se não, estará entre as nove do prato que mais 
pesou. Dividimos em 3 grupos de 3 esse conjunto e repetirmos a operação. Dessa forma, com duas pesadas 
teremos isolado a bola mais pesada de um grupo de 3 bolas. 
Se repetirmos a operação uma terceira vez, teremos isolado a bola mais pesada das outras. 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
DESAFIO 45 
 
Uma aranha tece sua teia no marco de uma janela. Cada dia duplica a superfície feita anteriormente. Dessa 
forma tarda 30 dias para cobrir o vazio da janela. Se em vez de uma aranha, fossem duas, quanto tempo 
demoraria para cobrir o vazio. 
 
Solução: 
 
Cada dia a superfície duplica. Então quando uma aranha tiver coberto meio vão no 29º dia, a outra aranha 
também o terá feito, e o vazio será preenchido. 
Resposta: 29 dias 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
DESAFIO 46 
 
Buscando água, uma rã caiu em um poço de 30 metros de profundidade. Na sua busca por sobrevivência, a 
obstinada rã conseguia subir 3 metros cada dia, sendo que a noite resbalava e descia 2 metros. Quantos dias 
a rã demorou para sair do poço? 
 
Solução: 
 
28 dias 
Quando a rã chegar ao 27º dia, já terá subido 27m. No 28º dia, ela sobe mais 3m, e alcança os 30m, antes 
que desça os 2m. 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
DESAFIO 47 
 
Você tem 3 xícaras de café e 14 saquinhos de açúcar. Como adoçar as 3 xícaras utilizando um número 
ímpar de saquinhos em cada uma? 
 
Solução: 
 
Pode-se colocar 1 saquinho em cada xícara. 
Em nenhum momento foi dito que deveriam ser usados todos os saquinhos. 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
 CURSO DE MATEMÁTICA 2008 
 
 
 
 
 www.cursodomario.com.br - 23 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIO 48 
 
Repartir 9 maçãs entre 12 crianças, de modo que nenhuma maçã seja dividida em mais de 4 partes. 
 
Solução: 
 
Divida 6 maçãs ao meio, e dê cada uma dessas 12 partes à uma criança. 
As 3 maçãs que sobraram divida em 4 partes cada uma, dando um total de 12 partes, uma para cada criança. 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
DESAFIO 49 
 
Clodoémerson possui diversas bolas de 10 cm de diâmetro. Colocando uma por vez, quantas bolas ele 
poderá colocar em uma caixa vazia, de forma cúbica, com 1 metro de lado? 
 
Solução: 
 
Clodoémerson poderá colocar apenas uma bola na caixa, pois quando colocar a primeira bola, a caixa já não 
estará mais vazia!!! 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
DESAFIO 50 
 
Dois amigos bêbados compraram 8 litros de vinho. Eles estavam caminhando, e na metade do caminho, 
decidem separar-se, repartindo antes o vinho igualmente. 
Para realizar as medidas há um barril de 8 litros (onde está o vinho), uma vasilha de 5 e outra de 3 litros. 
Como eles podem fazer para repartir igualmenteo vinho? 
 
Solução: 
 
Seguimos os seguintes passos: 
Enchemos a vasilha de 3 litros. 
Passamos os 3 litros para a vasilha de 5 litros. 
Enchemos outra vez a vasilha de 3 litros. 
Enchemos a vasilha de 5 litros com a outra, sendo que sobrará 1 na de 3. 
Esvaziamos a de 5 no barril. 
Enchemos o litro da vasilha pequena na de 5. 
Enchemos a de 3 e esvaziamos na de 5, que como já tinha 1, terá 1+3 = 4. 
No barril sobra 4 litros para o outro amigo. 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
 
 
 
 
 
 CURSO DE MATEMÁTICA 2008 
 
 
 
 
 www.cursodomario.com.br - 24 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIO 51 
 
Jarbas: "Mariclaudinete, qual é a idade de seus 3 filhos???" 
Mariclaudinete: "A soma de suas idades é 13, seu produto é igual a tua idade." 
Jarbas: "Desculpe, mas estão faltando dados!" 
Mariclaudinete: "Tens razão, o maior tem o cabelo ruivo" 
Jarbas: "Ah...agora sim consigo adivinhar!!!" 
 
Quais são as idades dos 3 filhos de Mariclaudinete??? 
 
Solução: 
 
Visto que a soma das idades deve ser igual a 13, temos 14 possibilidades (excluindo os casos em que algum 
filho tem 0 anos, pois em tal caso o produto seria 0, que não é a idade de Jarbas). Destas 14 possibilidades, 
somente 2 casos (1,6,6 e 2,2,9) nos quais o produto dá o mesmo resultado (36). Visto que faltam dados para 
Jarbas, ele necessariamente deve ter 36 anos. 
Então a resposta é (2,2,9) pois há um filho maior, segundo o enunciado do problema. 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
DESAFIO 52 
 
Uma mãe tem 6 filhos e 5 batatas. Como pode distribuir as batatas uniformemente entre os 6 filhos? (Não 
vale fração) 
 
Solução: 
 
Faz um purê! HAHAHAHAHAHA !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
DESAFIO 53 
 
Dois trens estão na mesma via, separados por 100 Km. Começam a se mover um em direção ao outro, a uma 
velocidade de 50Km/h. No mesmo momento, uma supermosca sai da 1ª locomotiva de um dos trens e voa a 
100 Km/h até a locomotiva do outro trem. Apenas chega, dá meia volta e regressa até a primeira 
locomotiva, e assim vai e vem de uma locomotiva para a outra até que os dois trens se chocam e assim 
morre no acidente. Que distância percorreu a supermosca? 
 
Solução: 
 
Visto que os dois trens estão na mesma velocidade, eles se chocarão na metade do trajeto, e, portanto, cada 
um corre 50 Km. Em conseqüência, como sua velocidade é de 50 km/h demoram exatamente 1 hora para se 
chocarem. Este é o tempo que a mosca fica voando, e, portanto, como sua velocidade é de 100 km/h, a 
distância que correu é de 100 quilômetros. 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
 
 CURSO DE MATEMÁTICA 2008 
 
 
 
 
 www.cursodomario.com.br - 25 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIO 54 
 
Calcular o valor do seguinte produto: 
 
(x-a)(x-b)(x-c) ... (x-z) = ? 
 
Solução: 
O produto (x-a)(x-b)(x-c) ... (x-z) vale ZERO. 
Justificativa: existe um fator dessa multiplicação que é o (x-x), que vale 0. 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
DESAFIO 55 
 
4 amigos devem cruzar uma frágil ponte de madeira. É noite, e é indispensável usar uma lanterna para 
cruzar. A ponte somente pode suportar o peso de 2 pessoas e os amigos possuem apenas uma lanterna. 
Camila demora 8 minutos para cruzar, Manolito demora 4 minutos, Carlos demora 2 e Romerito 1 minuto. 
Como devem fazer para cruzar para o outro lado, os 4, levando apenas 15 minutos? 
 
Solução: 
 
Devem passar primeiro Carlos e Romerito (2 m). Volta Romerito com a lanterna (3 m). Passam Camila e 
Manolito (11 m). Volta Carlos com a lanterna (13 m). Por último cruzam de novo Carlos e Romerito (15 
minutos). 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
DESAFIO 56 
 
Dois caçadores saíram para abater marrecas em uma caçada à beira de um grande lago. Eis que surge um 
bando de marrecas, comandadas por um líder e guiadas por uma marreca batedora. Ao avistar os caçadores, 
imediatamente a marreca batedora altera a rota do bando, levando suas companheiras para um local seguro. 
Lá chegando, comenta com a marreca líder: 
 - Chegamos ilesas, toda a centena! 
A marreca líder, retruca: 
 - Você deve estar estressado. Desaprendeu até a contar. Falta muito para chegarmos a cem. Faça você 
mesmo a conta: Duplique nosso número, acrescente mais a metade e mais um quarto, e não esqueça de 
incluir você na conta. Dessa forma conseguirás acertar a conta. 
Qual é o número real de marrecas? 
 
Solução: 
 
Seja x o número real de marrecas. Segundo o enunciado, formamos a equação: 
2x + x/2 + x/4 + 1 = 100 
Resolvendo essa equação, encontramos x=36. 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
 
 CURSO DE MATEMÁTICA 2008 
 
 
 
 
 www.cursodomario.com.br - 26 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIO 57 
 
Como medirias os 11 minutos que são necessários para cozinhar um biscoito, com duas ampulhetas de 8 e 5 
minutos respectivamente? 
 
Solução: 
 
Colocamos as duas ampulhetas de uma vez só, e quando terminar o de 5 minutos, faltará no de 8, 3 minutos 
para terminar. Nesse momento damos a volta no de 5 minutos. 
Quando terminar o de 8, totalmente (levamos ao total 8 minutos), no de 5 ficaram 2 minutos para terminar. 
Nesse preciso momento damos a volta no de 5 que tardará 3 minutos para terminar, que somados aos 8 que 
haviam passado, somarão 11 minutos no total. 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
DESAFIO 58 
 
Um peregrino se dirige para meditar em uma capela situada em cima de um monte. O peregrino sobe esta 
encosta com um ritmo de 2 Km/h e desce em um ritmo de 6 Km/h. Qual será a velocidade média que o 
peregrino terminará (considerar ida e volta) a peregrinação? 
 
Solução: 
 
Chamamos de e o espaço em quilômetros que mede o monte, e t o tempo em segundos que o peregrino 
demora para descer. Como ele sobe 3 vezes mais lento, demorará 3t segundos para subir. Logo no total 
demora 4t segundos para subir e descer. 
A velocidade média é o espaço total percorrido (2e quilômetros) dividido pelo tempo (4t segundos), e 
levando em conta que o peregrino desce a 6 Km/h temos que: 
V = 2e/4t = 0,5 . e/t = 0,5 . 6 = 3 Km/h. 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
DESAFIO 59 
 
Ana Carolina é uma grande fumante, no entanto decidiu parar de fumar. "Acabarei com os vinte e sete 
cigarros que sobraram!", e ainda afirmou: "Jamais voltarei a fumar". Era costume da Ana Carolina fumar 
exatamente dois terços de cada cigarro. Não tardou muito em descobrir que com a ajuda de uma fita adesiva 
poderia juntar três tocos de cigarros e fazer outro cigarro. Com 27 cigarros, quantos pode fumar antes de 
abandonar o fumo para sempre? 
 
Solução: 
 
Depois de fumar 27 cigarros, Ana Carolina juntou os tocos de cigarro necessários para fazer 9 cigarros mais. 
Estes 9 cigarros deixaram tocos para fazer outros 3. Então com os últimos 3 tocos de cigarro, fez um ultimo 
cigarro. 
Total: 40 cigarros 
------------------------------------------------------------------------------CURSO DE MATEMÁTICA 2008 
 
 
 
 
 www.cursodomario.com.br - 27 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIO 60 
 
O preço de custo de um chocolate é R$ 0,20 cada. A fábrica de chocolate, calcula que se vender cada 
chocolate por ‘x’ reais, os consumidores comprarão 10 – x chocolates por dia. Qual o preço de venda do 
chocolate que maximiza a o lucro do dono da empresa? 
 
Solução: 
 
Preço de custo dos (10-x) chocolates: 
(10-x) . 0,20 = 2 - 0,20x 
Preço de venda dos (10-x) chocolates: 
(10-x) . x = 10x - x2 
Lucro nos (10-x) chocolates: 
L(x) = (10x - x2) - (2 - 0,20x) 
L(x) = 10x - x2 - 2 + 0,20x 
L(x) = -x2 + 10,20x -2 
Derivando temos: 
L'(x) = -2x+10,20 
L'(x)=0 => -2x+10,20 = 0 => x = 5,10 
Resposta: O preço do chocolate a R$5,10 maximiza o lucro da empresa. 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
DESAFIO 61 
 
Agripino observava da murada de um navio, a subida da maré. Dessa murada pende uma escada de 8 metros 
de comprimento. Os degraus têm 20 centímetros de intervalo um do outro e o último toca a água. A maré 
sobe ‘a razão de 35 centímetros por hora. Quando estarão os dois primeiros degraus cobertos de água? 
 
Solução: 
 
Nunca, pois o navio sobe junto com a escada. 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
DESAFIO 62 
 
Luiz Eduardo comprou várias galinhas campeãs em por ovos. Ao testar a eficiência das galinhas, ele 
observou que de minuto em minuto o número de ovos na cesta duplicava. Em duas horas a cesta estava 
cheia. A que horas a cesta estava pela metade? 
 
Solução: 
 
1h 59 min, pois como o número de ovos duplica a cada minuto e às 2h a cesta estava cheia, significa que no 
minuto anterior a cesta estava pela metade. 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
 
 CURSO DE MATEMÁTICA 2008 
 
 
 
 
 www.cursodomario.com.br - 28 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIO 63 
 
Davi Gama teve um sonho: um octogenário, sem ter muito o que fazer, refletia sobre a sua vida. O ancião 
verificou que a diferença entre os cubos dos algarismos de sua idade era igual ao quadrado da idade de seu 
bisneto. Ao acordar, Davi Gama, queria saber a idade que os dois tinham. 
 
Solução: 
 
O ancião tinha 87 anos e seu bisneto tinha 13 anos. 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
DESAFIO 64 
 
10 vezes 10 é igual a 100. 
Quanto é R$10,00 vezes R$10,00 ??? 
 
Solução: 
 
Não é possível realizar essa multiplicação! 
Podemos multiplicar um número real por um valor monetário. Por exemplo: 
10 vezes R$10,00 é igual a R$100,00. 
Mas não podemos multiplicar dinheiro por dinheiro, 
ou seja, não podemos efetuar a operação R$10,00 vezes R$10,00, 
pois não saberíamos quantas vezes multiplicar a quantia de R$10,00. 
Resposta: Não é possível! 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
DESAFIO 65 
 
Em uma sala onde estão 100 pessoas, sabe-se que 99% são homens. Quantos homens devem sair para que a 
porcentagem de homens na sala passe a ser 98%? 
 
Solução: 
 
CUIDADO: Não basta um homem sair para a porcentagem cair para 98%, pois se um homem sair, teremos 
um percentual de homens correspondente a: 
98/99 é aproximadamente 0,9899 ou 98,99% 
Precisamos resolver a seguinte equação: 
(99-x)/(100-x)=98/100 -> 100.(99-x)=98.(100-x) 
9900-100x=9800-98x -> 100x-98x=9900-9800 -> 2x=100 -> x=50 
Resposta: devem sair 50 homens! 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
 
 
 
 CURSO DE MATEMÁTICA 2008 
 
 
 
 
 www.cursodomario.com.br - 29 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIO 66 
 
Um cachorro persegue uma lebre. Enquanto o cachorro dá 5 pulos, a lebre dá 8 pulos. Porém, 2 pulos de 
cachorro valem 5 pulos de lebre. Sendo a distância entre os dois igual a 36 pulos de cachorro, qual deverá 
ser o número de pulos que o cachorro deve dar para alcançar a lebre? 
 
Solução: 
 
Há uma relação inversa entre os pulos do cachorro e os da lebre, ou seja, um pulo da lebre vale por 2/5 
pulos do cachorro. Podemos, então, escrever: 
 
 nº de pulos valor do pulo 
pulos do cachorro 5 2 
pulos da lebre 8 5 
 
Como a relação entre os pulos é inversa, efetuaremos uma multiplicação invertida, ou seja, iremos 
multiplicar os 5 pulos do cachorro pelo valor do pulo da lebre (5) e multiplicaremos os 8 pulos da lebre pelo 
valor do pulo do cachorro (2). Assim teremos: 5 x 5 = 25 (para o cachorro) e 8 x 2 = 16 (para a lebre). 
 
A cada instante, o cachorro estará tirando uma diferença de 25 - 16 = 9 pulos. Como a distância que os 
separa é de 36 pulos de cachorro, segue-se que o cachorro terá de percorrer essa distância 36/9 = 4 vezes até 
alcançar a lebre. Agora, multiplicando-se o fator do cachorro (25) por 4, teremos: 25 x 4 = 100 pulos do 
cachorro. 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
DESAFIO 67 
 
Uma garrafa com sua rolha custa R$1,10. Sabendo que a garrafa custa R$1,00 a mais que a rolha, qual é o 
preço da rolha? E qual é o preço da garrafa? 
 
Solução: 
 
Sendo G a garrafa, e R a rolha, basta resolver o sistema com as duas equações: 
1) G + R = 1,10 
2) G = R+1 
Resolvendo esse sistema, obtemos R=0,05 e G=1,05. 
Resposta: A garrafa custa R$1,05 e a rolha custa R$0,05. 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CURSO DE MATEMÁTICA 2008 
 
 
 
 
 www.cursodomario.com.br - 30 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIO 68 
 
Calculando-se: 1094 - 94, e somando-se todos os algarismos do resultado obtido, que valor iremos obter? 
 
Solução: 
 
 10000...........000 (94 ZEROS) 
 + - 94 
 -------------------- 
 
 0.........99999906 
 (92 NOVES) 
 
Logo, a soma de todos os algarismos do resultado será: 92 x 9 + 6 = 834 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
DESAFIO 69 
 
Waneska tem uma bolsa de amêndoas que pesa 2600Kg. Ela dispõe de uma balança de 2 pratos e de 2 pesos 
de 20 e 30 gramas. Com 3 únicas pesagens, como Waneska consegue separar 300 gramas de amêndoas? 
 
Solução: 
 
No prato 1 colocamos as 50 gramas e no prato 2 colocamos amêndoas até que ocorra equilíbrio. Temos, 
portanto 50 gramas de amêndoas. 
Essas 50 gramas de amêndoas, juntamos com os pesos no prato 1, temos portanto 100 gramas no total. 
Enchemos de amêndoas no prato 2 até que haja equilíbrio, pelo que temos 100 gramas em cada lado. 
Retiramos os pesos do prato e passamos as 50 gramas de amêndoas para o prato 2 que contem 100 gramas, 
temos portanto 150 gramas. 
Enchemos amêndoas no prato 1 até que haja equilíbrio com o prato 2, e temos um total de 150+150 = 300 
gramas de amêndoas. 
------------------------------------------------------------------------------DESAFIO 70 
 
De quantos modos diferentes podemos escrever o número 497 como a soma de dois números naturais 
primos? 
 
Solução: 
 
De nenhuma maneira, vejamos porque: 
Se o número 497 é a soma de dois números naturais, como ele é impar, deve ser obtido da soma de um PAR 
e um ÍMPAR (já que a soma de dois pares é par, o mesmo ocorrendo com a soma de dois ímpares). 
Logo, nosso problema consiste em obter dois números primos (um par e um ímpar), que somados dêem o 
resultado 497. 
 
 CURSO DE MATEMÁTICA 2008 
 
 
 
 
 www.cursodomario.com.br - 31 
 
 
 
 
 
 
 
Como o único número par que é primo é o 2, já temos a primeira parcela, o que obriga a segunda parcela ser 
igual a 495 (para a soma dar 497). Como 495 não é primo (termina em 5, logo é múltiplo de 5), nosso 
problema não tem solução. 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
DESAFIO 71 
 
Em uma estante há 10 livros, cada um com 100 folhas. Uma traça faminta come desde a primeira folha do 
primeiro livro até a última folha do último livro. 
Quantas páginas a traça faminta comeu? 
 
Solução: 
 
( Breve colocaremos a resposta deste desafio. Garantimos a você que a resposta não é 1000. Pense bem! ) 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
DESAFIO 72 
 
Numa seqüência, 
 
O primeiro é o próprio primo 
O segundo seria seu mais perto primo 
não fosse o par para atrapalhar 
Dois do segundo dá o terceiro 
E o penúltimo, dez vezes o primeiro 
Entre eles há uma regra geral 
Qual é, de um quinteto, o número final ? 
 
Solução: 15 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
DESAFIO 73 
 
Não quebre sua cabeça, mas diga como cortar o desenho em quatro peças iguais, de modo que cada uma das 
peças tenha um X 
 
 X O O O 
 O X O X 
 O X 
 O O 
 
 
Solução: X O O O X O X 
 O X O O O 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
 CURSO DE MATEMÁTICA 2008 
 
 
 
 
 www.cursodomario.com.br - 32 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIO 74 
 
Uma mulher vai ter um filho. Se for menino, faltará mais um filho para o número de filhos ser igual ao de 
filhas. Se for menina, o número de filhas será igual ao de meninos. Quantos filhos e filhas ela tem agora? 
 
Solução: 3 meninos e 5 meninas 
------------------------------------------------------------------------------ 
 
DESAFIO 75 
 
 Se eu leio 5 páginas por dia de um livro, eu termino de ler 16 dias antes do que se eu estivesse lendo 3 
páginas por dia. Quantas páginas tem o livro? 
 
Solução: 
Sendo N o número de páginas do livro, temos: 
N/5 = (N/3)-16 
(N/5)-(N/3) = -16 
(3N-5N)/15 = -16 
3N-5N = -16x15 
-2N = -240 
N = 120 
O livro possui 120 páginas! 
----------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 76 
 
 Um comerciante compra uma caixa de vinho estrangeiro por R$1.000,00 e vende pelo mesmo preço, 
depois de retirar 4 garrafas e aumentar o preço da dúzia em R$100,00. Então, qual é o número original de 
garrafas de vinho na caixa? 
 
 Solução: 
Sendo N o número de garrafas e P o preço de cada garrafa, temos: 
NxP = 1000 => 
P=1000/N 
Tira-se 4 garrafas 
Aumenta o preço da dúzia em R$100,00 
(N-4)xP+((N-4)/12)x100) = 1000 
Colocando N-4 em evidência: 
(N-4) (P + 100/12) = 1000 
(N-4) (1000/N + 100/12) = 1000 
(1000N-4000)/N + (100N-400)/12 = 1000 
Resolvendo essa equação chegamos a equação de segundo grau: 
100N2 - 400N - 48000 = 0 
Aplicando Bhaskara encontramos N=24. 
 HAVIAM 24 GARRAFAS NA CAIXA 
----------------------------------------------------------------------------- 
 CURSO DE MATEMÁTICA 2008 
 
 
 
 
 www.cursodomario.com.br - 33 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIO 77 
 
Determine o menor inteiro cuja representação decimal consiste somente de 1's e que é divisível pelo número 
333...333 formado por 100 algarismos iguais a 3. 
 
Solução: 
 
Seja d = 3n, onde d é o número formado por exatamente 100 três e n o número formado por exatamente 100 
uns. Portanto, o número procurado X = 1111...111 (formado por k uns) deve ser divisível por n e por 3 (n 
não é divisível por 3 porque a soma de seus algarismos é igual a 100 que não é divisível por 3). Se k é um 
número da forma k = 100q + r onde r pertence ao intervalo [0, 100) então 
N = M + R, onde M = 111...111000...000 (100q uns e r zeros) e R = 111...111(r uns). Como n é divisível 
por n então, N é divisível por n se, e somente se, R = 0 ou seja, se r = 0 e consequentemente se, e somente 
se, k for divisível por 100. Se k = 100q então a soma dos algarismos de N é igual a 100q e esta soma será 
divisível por 3. Portanto, o menor número N formado apenas por uns que é divisível por d consiste de 300 
uns. 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
DESAFIO 78 
 
Eu tenho o dobro da idade que você tinha quando eu tinha a idade que você tem. Quando você tiver a minha 
idade, a soma de nossas idades será 45 anos. Quais são as nossas idades agora? 
 
Solução: 
 
 
Você tinha uma idade que chamaremos de X e hoje você tem uma idade que chamaremos de Y. 
Eu TENHO o dobro da idade que você tinha quando eu tinha a tua idade atual Y (o dobro de X) , ou seja, eu 
TENHO 2X anos. 
ENTÃO: 
 
Tu TINHAS X e agora tem Y. 
Eu TINHA y e agora tenho 2X. 
Portanto temos que: 
y-x = 2x-y 
2y=3x 
x=(2/3).y 
ENTÃO, substituindo o valor de x, temos: 
Tu TINHAS (2/3).y e agora tem y.Eu TINHA y e agora tenho (4/3).y 
Agora preste atenção na segunda frase: 
QUANDO TU TIVERES A MINHA IDADE, A SOMA DAS NOSSAS IDADES SERÁ DE 45 ANOS. 
Tu tem y, e para ter a minha idade, que é (4/3).y, deve-se somar a tua idade y com mais (1/3).y 
Somando y + (1/3).y você terá a minha idade, ou seja, você terá (4/3).y 
Como somamos (1/3).y à sua idade, devemos somar à minha também, ou seja: 
Agora eu tenho (4/3).y + (1/3).y, logo eu tenho (5/3).y 
 CURSO DE MATEMÁTICA 2008 
 
 
 
 
 www.cursodomario.com.br - 34 
 
 
 
 
 
 
 
A soma de nossas idades deve ser igual a 45 anos: 
(4/3).y + (5/3).y=45 
(9/3).y=45 
3y=45 
y=15 
No início descobrimos que x=(2/3).y, portanto x=(2/3).15, logo x=10. 
Finalmente, quais são as nossas idades? 
Como dissemos no início, a sua idade atual é de Y ou seja, 15 anos. A minha idade é de 2X ou seja, 2.10 
que é 20 anos. 
20 e 15 anos. 
----------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 79 
 
AS IDADES DE DUAS PESSOAS HÁ 8 ANOS ESTAVAM NA RAZÃO DE 8 PARA 11; AGORA 
ESTÃO NA RAZÃO DE 4 PARA 5. QUAL É A IDADE DA MAIS VELHA ATUALMENTE? 
 
Solução: 
 
Chamaremos de y a idade da pessoa mais nova. 
Chamaremos de x a idade da pessoamais velha. 
O problema diz que agora (atualmente) as idades estão na razão de 4 para 5. Então: 
y/x = 4/5 (equação 1) 
O problema diz que há 8 anos as idades estavam na razão de 8 para 11. Então: 
(y-8)/(x-8) = 8/11 (equação 2) 
Isolando y na equação 1: 
y = 4x/5 
Colocando esse valor de y na equação 2 temos: 
((4x/5)-8)/(x-8) = 8/11 
(4x/5)-8 = 8/11.(x-8) 
Fazendo o mmc dos dois lados temos: 
(4x-40) / 5 = (8x-64) / 11 
11.(4x-40) = 5.(8x-64) 
44x-440 = 40x-320 
44x-40x = 440-320 
4x = 120 
x= 30 
Portanto a idade da pessoa mais velha é 30 anos!!! 
----------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 
 
 
 
 
 CURSO DE MATEMÁTICA 2008 
 
 
 
 
 www.cursodomario.com.br - 35 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIO 80 
 
UM HOMEM GASTOU TUDO O QUE TINHA NO BOLSO EM TRÊS LOJAS. EM CADA UMA 
GASTOU 1 REAL A MAIS DO QUE A METADE DO QUE TINHA AO ENTRAR. QUANTO O 
HOMEM TINHA AO ENTRAR NA PRIMEIRA LOJA? 
 
Solução: 
 
Vamos considerar que quando o homem entrou na primeira loja ele tinha N reais. Então o nosso objetivo é 
achar o valor de N. 
O problema diz que em cada loja o homem gastou 1 real a mais do que a metade do que tinha ao entrar. 
LOJA 1: 
O homem entrou com N. 
O homem GASTOU: 
(N/2)+1. 
Portanto o homem FICOU com: 
N - ((N/2)+1) = N-(N/2)-1 = (2N-N-2) / 2 = (N-2)/2 
LOJA 2: 
O homem entrou com (N-2)/2 
O homem GASTOU: 
( (N-2)/2 )/2 + 1 = (N-2)/4 + 1 = (N+2)/4 
Portanto o homem FICOU com: 
(N-2)/2 - ((N+2)/4) = (2N-4-N-2) / 4 = (N-6)/4 
LOJA 3: 
O homem entrou com (N-6)/4 
O homem GASTOU: 
( (N-6)/4 )/2 + 1 = (N-6)/8 + 1 = (N+2)/8 
Portanto o homem FICOU com ZERO REAIS, porque o problema diz que ele gastou tudo o que tinha nas 
três lojas. Então concluímos que o dinheiro que ele ENTROU na loja 3 menos o dinheiro que ele GASTOU 
na loja 3 é igual a ZERO: 
(N-6)/4 - ((N+2)/8) = 0 
(2N-12-N-2) / 8 = 0 
2N-12-N-2 = 0 
N-14 = 0 
N = 14 
PORTANTO, QUANDO O HOMEM ENTROU NA PRIMEIRA LOJA ELE TINHA 14 REAIS 
----------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CURSO DE MATEMÁTICA 2008 
 
 
 
 
 www.cursodomario.com.br - 36 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIO 81 
 
DETERMINE O MENOR NÚMERO NATURAL CUJA: 
 
· DIVISÃO POR 2 TEM RESTO 1; 
· DIVISÃO POR 3 TEM RESTO 2; 
· DIVISÃO POR 4 TEM RESTO 3; 
· DIVISÃO POR 5 TEM RESTO 4; 
· DIVISÃO POR 6 TEM RESTO 5; 
· DIVISÃO POR 7 TEM RESTO 0. 
 
Solução: 
 
Suponhamos que estamos procurando o número X. Observe essas condições exigidas pelo problema: 
X dividido por 2 dá resto 1. 
X dividido por 3 dá resto 2. 
e assim por diante até: 
X dividido por 6 dá resto 5. 
Então podemos notar que o resto dá sempre uma unidade a menos do que o divisor. 
Isso significa que o número seguinte ao número X, ou seja, X+1, será divisível por 2,3,4,5 e 6. 
Bom...já que X+1 é divisível por esses cinco números, então o número X+1 pode ser igual a 4x5x6=120. 
Portanto, se X+1 é igual a 120, o número X que estamos procurando é 119, que também é divisível por 7. 
----------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 82 
 
Com os algarismos x, y e z formam-se os números de dois algarismos xy e yx, cuja soma é o número de três 
algarismos zxz.Quanto valem x, y e z? 
 
Solução: 
 
xy e yx são números de 2 algarismos, que somados resultam o número de três algarismos zxz. 
xy+yx = zxz 
O maior número que pode ser formado somando dois números de 2 algarismos é: 
99+99 = 198 
Ora, se o número zxz é de 3 algarismos, e o maior número que ele pode ser é 198, então concluímos que 
z=1. 
Se z=1 o resultado da soma é 1x1. 
O valores de x e y que satisfazem a equação xy+yx = 1x1 são: 
x=2 e y=9, ou seja 29+92 = 121. 
Resposta: x=2, y=9 e z=1 
----------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 
 
 CURSO DE MATEMÁTICA 2008 
 
 
 
 
 www.cursodomario.com.br - 37 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIO 83 
 
Deseja-se descobrir quantos degraus são visíveis numa escada rolante. Para isso foi feito o seguinte: duas 
pessoas começaram a subir a escada juntas, uma subindo um degrau de cada vez enquanto que a outra subia 
dois . Ao chegar ao topo, o primeiro contou 21 degraus enquanto o outro 28. Com esses dados foi possível 
responder a questão. Quantos degraus são visíveis nessa escada rolante? (obs: a escada está andando). 
 
 Solução: 
Essa questão é realmente muito boa! 
Bom...para facilitar vamos dar nome as pessoas: 
GUSTAVO sobe 2 degraus por vez 
MARCOS sobe 1 degrau por vez. 
Conforme diz o enunciado, quando GUSTAVO chegou ao topo ele contou 28 degraus. Como ele anda 2 por 
vez, na verdade o GUSTAVO deu 14 passos. Então quando ele chegou no topo, o MARCOS havia andado 
14 degraus, pois ele anda 1 por vez (faça o desenho que você entenderá melhor). 
Lembre-se que a escada está andando. Então ao mesmo tempo que GUSTAVO andou 28 e o MARCOS 
andou 14, a escada havia andado sozinha X degraus. O enunciado diz que quando MARCOS chegou ao 
topo ele contou 21 degraus. Como ele está no 14, ainda faltam 7 para ele chegar ao topo (ou seja, falta 
metade do que ele já andou - 7 é metade de 14). Portanto durante esses 7 que faltam, a escada andará 
sozinha mais X/2 degraus (pois se em 14 degraus ela andou X, em 7 ela andará X/2). 
FEITO! O número de degraus visíveis para o GUSTAVO e para o MARCOS deve ser o mesmo. Então 
basta montar a equação: 
28+X = (14+X)+(7+(X/2)) 
28+X = 21+(3X/2) 
28-21 = (3X/2)-X 
7 = X/2 
X = 14 
Se X=14, o número de degraus visíveis é (o GUSTAVO andou 28+X no total): 
28+14 = 42 degraus 
Note que para o MARCOS o resultado deve ser o mesmo: 
(14+X)+(7+(X/2)) = (14+14)+(7+14/2) = 28+14 = 42 degraus 
Resposta: SÃO VISÍVEIS 42 DEGRAUS NA ESCADA ROLANTE!!! 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 84 
 
Um número n de 3 algarismos, dividido por 2, 3, 5 ou 7 deixa resto 1. Sendo m o número de valores 
possíveis de n, podemos afirmar que m é igual a: 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 28 
 
 
 
 CURSO DE MATEMÁTICA 2008 
 
 
 
 
 www.cursodomario.com.br - 38 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
 
Sendo n o número procurado, teremos: 
n dividido por 2 deixa resto 1 
n dividido por 3 deixa resto 1 
n dividido por 3 deixa resto 1 
n dividido por 7 deixa resto 1 
Sabemos que: DIVIDENDO = DIVISOR x QUOCIENTE + RESTO, ou em termos simbólicos: D = dq + r 
Podemos escrever: 
n = 2q + 1 onde q Î N (conjunto dos números naturais). 
Concluímos que n - 1 = 2q e, portanto n -1 é múltiplo de 2. 
Analogamente, n = 3q' + 1 de onde deduzimos que n - 1 = 3q' onde q' é um número natural. Logo, n - 1 é 
múltiplo de 3. 
Pelo mesmo raciocínio, n - 1 é múltiplo de 5 e, também de 7. 
Ora, se n - 1 é múltiplo de 2, de 3, de 5 e de 7, será também múltiplo do produto 2.3.5.7, ou seja n - 1 é 
múltiplo de 210. 
Portanto, podemos escrever: 
n - 1 = 210.k onde k é um número inteiro. 
Daí, vem: n = 210k + 1 
Como o número possui 3 algarismos,