Sistemas Numéricos

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Sistemas Numéricos
Organização e Arquitetura de Computadores
Introdução
Historicamente, existiram vários sistemas de numeração com bases diferentes. 
Por exemplo, os babilônios adotaram um sistema de numeração cuja base é 60 - Seu uso conserva-se até hoje nas medidas de ângulos e de tempo.
Acredita-se que o primeiro sistema foi o decimal, ou base dez, em decorrência dos dedos da mão que o homem possui, e que ele utiliza para representar mais facilmente as quantidades.
Em regra, qualquer número inteiro maior ou igual a um pode ser utilizado como base de um sistema de numeração. 
Nas diferentes áreas de computação, os sistemas mais comuns são: o binário ou base dois, o hexadecimal ou base 16 e o octal ou base 8.
Introdução
O sistema de numeração com o qual estamos mais familiarizados é o decimal, cujo alfabeto é formado por 10 dígitos. 
Se trabalhasse com o sistema decimal um computador precisaria codificar 10 níveis de referência para caracterizar os 10 dígitos do sistema utilizado. 
A desvantagem de usar o sistema decimal em um computador se deve ao fato de que quanto maior o número de interpretações maior a probabilidade de erro. 
Para decidir que está lendo o número 5 a máquina precisaria ter certeza de que o que leu não é: 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9.
Introdução
Foi identificado que o sistema de numeração mais seguro deveria ser aquele com o menor número de símbolos (dígitos).
Um possível problema no uso de máquinas binárias: o número binário precisa de mais dígitos para ser escrito do que o decimal. 
Exemplo: quatro em decimal é representado como 4, sua representação em binário é 100. 
Conseqüência: o computador binário seria mais preciso, porém muito lento porque a leitura da informação iria requerer mais tempo. 
Uma solução seria o uso de dispositivos eletrônicos baseados na tecnologia dos semicondutores, como os transistores.
Unidades de Medida
Unidade de Medida
Equivalência
1 Bit
0 ou 1
1 Byte
8 bits
1Kilobyte(KB)
1.024 bytes
1 Megabyte (MB)
1.024kilobytesou 1.048.576 bytes
1 Gigabyte (GB)
1.024 Megabytes ou 1.073.741.824 bytes
1 Terabyte (TB)
1.024 Gigabytes ou 1.099.511.627.776 bytes
1 Petabyte (PB)
1.024Terabytes
....
Decimal
Binário
Hexadecimal
Octal
0
0000
0
0
1
0001
1
1
2
0010
2
2
3
0011
3
3
4
0100
4
4
5
0101
5
5
6
0110
6
6
7
0111
7
7
8
1000
8
10
9
1001
9
11
10
1010
A
12
11
1011
B
13
12
1100
C
14
13
1101
D
15
14
1110
E
16
15
1111
F
17
Sistema Decimal
O sistema decimal ou base 10 usa os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. 
O sistema decimal é o mais utilizado pelas pessoas no seu cotidiano. A representação de um número qualquer na base dez pode ser considerada da seguinte forma:
5326 = 5000 + 300 + 20 + 6 ou 
5 x 1000 + 3 x 100 + 2 x 10 + 6 ou, ainda,
5 x 103 + 3 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100
Sistema Binário
O sistema binário possui esse nome porque possui apenas dois algarismos, zero e um. 
Esse sistema de numeração é o mais utilizado em computadores em razão de sua maior rapidez na execução das operações matemáticas e também por ocupar um número menor de bits para armazenar a informação, quando comparado ao sistema decimal. 
Podemos observar que a representação do número 1101001 na base 2 será, na base 10, equivalente a:
 
1101001(2) = 1 x 26 + 1 x 25 + 0 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 105(10)
Sistema Hexadecimal
Esta base é utilizada para que possa facilitar a programação em Linguagem de Máquina (Assembly), pois, tem a propriedade de reduzir o tamanho dos números binários para apenas 2 algarismos no máximo, o que facilita a formatação dos dados na digitação.
O sistema hexadecimal ou base 16 equivale aos algarismos de 0 a 15, assim representados:
 		0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F.
 
Os algarismos alfabéticos correspondem a: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15. A Tabela 3 mostra a representação de números Hexadecimais e seus equivalentes em Decimal e Binário.
Podemos observar que a representação do número 3BF4C(16) será, na base dez, equivalente a:
 3 x 164 + B x 163 + F x 162 + 4 x 161 + C x 160 = 245580(10).
Sistema Octal
O sistema de numeração octal possui os algarismos zero a sete (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). 
Podemos observar que a representação do número 546218 será, na base dez, equivalente a:
 54621(8) = 5x84 + 4x83 + 6x82 + 2x81 + 1x80 = 22929(10). 
Mudanças de Bases Matemáticas
Mudança da Base 10 para Qualquer Base “b”: 
Exemplo: O número decimal 183, seria na base 2 o seguinte número:
183 / 2 = 91 	sobra 1
91 / 2 = 45	sobra 1
45 / 2 = 22	sobra 1
22 / 2 = 11	sobra 0
11 / 2 = 5	sobra 1
5 / 2 = 2	sobra 1
2 / 2 = 1	sobra 0
1 / 2 = 0	sobra 1
Pegando os restos das divisões de baixo para cima, teremos o número convertido para a base 2: 10110111
Mudança de Qualquer Base para a Base 10:
Exemplo: mudança da base 2 para a base 10 do número 10110111
 Da direita para a esquerda temos:
			1 x 20 = 1
			1 x 21 = 2
			1 x 22 = 4
			0 x 23 = 0
			1 x 24 = 16
			1 x 25 = 32
			0 x 26 = 0
			1 x 27 = 128
	 		183
10110111(2) = 183(10)
Mudança da Base Binária para a Base Hexadecimal:
Exemplo: O número binário 10110111 poderá ser representado em hexadecimal da seguinte forma:
a) Separe-o primeiramente em grupos de 4 bits da direita para a esquerda: 1011 0111
b) Para cada grupo, calcule o seu valor decimal e determine o caractere correspondente em hexadecimal:
 
	1011 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11 (decimal) = B (hexadecimal)
	0111 = 0 + 4 + 2 + 1 = 7 (decimal) = 7 (hexadecimal)
 
c) Portanto o número final, na base 16 é: B7
Mudança da Base Binária para a Base Octal:
Uma particularidade do sistema octal é que cada caractere representativo da base 8 corresponde a 3 caracteres na base 2. 
Por exemplo: O número binário 110111 poderá ser representado em octal da seguinte forma:
a) Separe-o primeiramente em grupos de 3 bits da direita para a esquerda: 110 111
b) Para cada grupo, calcule o seu valor decimal e determine o caractere correspondente em hexadecimal:
 
	110 = 4 + 2 + 0 = 6 (decimal) = 6 (octal)
	111 = 4 + 2 + 1 = 7 (decimal) = 7 (octal)
 
c) Portanto o número final, na base 8 é: 67