Slides de Aula – Unidade III Estatística

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Profa. Ana Carolina Bueno
UNIDADE III
Estatística
Suponha que um conjunto de 10 peças contenha oito em boas condições (B) e duas 
defeituosas (D). Qual a probabilidade de que as duas peças selecionadas 
sejam boas? 
 Resposta = 0,6222
Exemplo 1
a) Se escolhermos aleatoriamente um dos dez algarismos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), qual 
a probabilidade de escolhermos 0 ou 1?
b) Considerando o mesmo conjunto de números, qual a probabilidade de obtermos 
um número ímpar ou um número superior a 6?
Exemplo 2
 Dois carros são selecionados em uma linha de produção com 12 carros, 
5 deles defeituosos. 
a) Qual é a probabilidade de o segundo carro ser defeituoso, dado que o primeiro 
carro era defeituoso? Resposta: 0,3636
b) Determine a probabilidade de ambos os carros serem defeituosos. 
Resposta: 0,1515
Exemplo 3
Um banco de sangue cataloga os tipos sanguíneos – inclusive o fator RH positivo ou 
negativo – dos doadores que doaram durante os últimos cinco dias. O número dos 
que doaram cada tipo sanguíneo está relacionado na tabela a seguir. 
Um dos doadores é selecionado ao acaso. Qual a probabilidade:
a) De o doador ter tipo sanguíneo O ou A. (R: 0,8508)
b) De um doador ter tipo sanguíneo O e RH negativo. (R: 0,0685)
c) De o doador ter tipo sanguíneo B ou ser Rh negativo. (R: 0,2469)
d) De um doador ter tipo sanguíneo A, dado que é Rh positivo. (R: 0,4041)
Exemplo 4 
Fator RH
Tipos sanguíneos
O A B AB Total
Positivo 156 139 37 12 344
Negativo 28 25 8 4 65
Total 184 164 45 16 409
Exemplo 4 
Fator RH
Tipos sanguíneos
O A B AB Total
Positivo 156 139 37 12 344
Negativo 28 25 8 4 65
Total 184 164 45 16 409
Um fabricante de lâmpadas para faróis automotivos testa as lâmpadas sob 
condições de alta umidade e alta temperatura, usando a intensidade e vida útil como 
parâmetros de interesse. A tabela mostra a performance de 130 lâmpadas. Assinale 
a alternativa incorreta.
a) A probabilidade de que uma lâmpada selecionada 
aleatoriamente seja insatisfatória sob qualquer
critério é de 1,54%.
b) A probabilidade de que a intensidade seja satisfatória 
é de 92,31%.
Interatividade
Vida útil
Satisfatória Insatisfatória
Intensidade Satisfatória 117 3
Insatisfatória 8 2
c) A probabilidade de que ela tenha intensidade satisfatória ou vida útil satisfatória 
é de 1,88%.
d) Os eventos intensidade e vida útil são eventos não excludentes.
e) A probabilidade de que tenha intensidade insatisfatória e vida útil satisfatória 
é de 6,15%.
Interatividade
Relação entre as possíveis ocorrências de um experimento e a probabilidade dessa 
ocorrência. É dividida em:
 Distribuições de probabilidades discretas, 
sendo que a principal é a distribuição binomial.
 Distribuições de probabilidades contínuas, 
sendo que a principal é a distribuição normal.
Distribuições de probabilidades
Ocorrências Probabilidade
CaCa 27,04%
CaCo 24,96%
CoCa 24,96%
CoCo 23,07%
 Apresentam exatamente dois resultados complementares.
 Em processos industriais, as peças falham ou não falham. 
 Em propaganda, um consumidor reconhece um produto ou não.
 Lançar uma moeda 5 vezes e observar o número de caras.
 Numa linha de produção, observar 10 itens tomados 
ao acaso e verificar quantos estão defeituosos.
Distribuição binomial
 Todos os possíveis 
resultados associados 
às suas probabilidades 
correspondentes.
Distribuição de probabilidades binomial
Fonte: livro-texto.
 Dado que 10% das pessoas são canhotas, suponha que queiramos achar 
a probabilidade de obter exatamente 3 estudantes canhotos em uma turma 
de 15 estudantes. Algumas carteiras são adaptadas para estudantes canhotos 
e a probabilidade resultante poderia afetar o número de tais carteiras a serem 
encomendadas para as salas de aula.
Exemplo – pessoas canhotas
Condições:
 O número de provas (15) é fixo.
 As provas são independentes porque o fato de um estudante ser canhoto ou 
destro não afeta a probabilidade de outro estudante ser canhoto.
 Cada prova tem duas categorias de resultados: o estudante é canhoto ou não é.
 A probabilidade (0,1) permanece constante para os diferentes estudantes.
Exemplo – pessoas canhotas
 Identificar n, x, p e q.
 Para x = 0, 1, 2, 3, ……, n
 n = número de provas 
 x = número de sucessos em n provas 
 p = probabilidade de sucesso em qualquer prova 
 q = probabilidade de falha em qualquer prova (q = 1–p) 
Exemplo de pessoas canhotas
 Identificar n, x, p e q.
 Com 15 estudantes em uma turma, temos n = 15.
 Queremos 3 estudantes canhotos (sucessos), e assim x = 3.
 A probabilidade de um estudante ser canhoto (sucesso) é 0,1 e, assim p = 0,1.
 A probabilidade de falha (não canhoto) é 1 – 0,1 = 0,9, 
logo q = 0,9.
 x e p devem ambos referir-se ao mesmo conceito de 
“sucesso”.
Exemplo – pessoas canhotas 
 Utilização da fórmula da probabilidade binomial.
 Utilização de tabela.
 Utilização de programas estatísticos.
Métodos para determinar a distribuição binomial
 Para x = 0, 1, 2, 3, ……, n
 n = número de provas 
 x = número de sucessos em n provas 
 p = probabilidade de sucesso em qualquer prova 
 q = probabilidade de falha em qualquer prova (q = 1–p) 
Fórmula da probabilidade binomial
 Determine a probabilidade de obter 3 estudantes canhotos em uma turma 
de 15 estudantes, dado que 10% da população é canhota. 
 Isto é, determine P(3), se n = 15, x = 3, p = 0,1, q = 0,9.
Exemplo – pessoas canhotas 
xnx qp
xxn
n
xP 


!)!(
!
)(
Exemplo – pessoas canhotas 
xnx qp
xxn
n
xP 


!)!(
!
)(
1233153 9,01,0
!3!.12
!15
9,01,0
!3)!315(
!15
)3( 

 P
282,0001,0
6
2730
282,0001,0
1.2.3!.12
!12.13.14.15
)3( P
1283,0)3( P
Uso da tabela de distribuição binomial
Fonte: Autoria própria.
p
Exemplo – pessoas canhotas
0,12853
Fonte: Autoria própria.
 Determine a média, a variância e o desvio padrão de obter 3 estudantes canhotos 
em uma turma de 15 estudantes.
Média e Desvio padrão – pessoas canhotas
pn 
qpn 2
qpn 
 Determine a média, a variância e o desvio padrão de obter 3 estudantes canhotos 
em uma turma de 15 estudantes.
Média e Desvio padrão – pessoas canhotas
pn 
qpn 2
estudantes16,19,01,015 
5,11,015 
²35,19,01,0152 estudantes
qpn 
Um engenheiro de inspeção extrai uma amostra de 15 itens aleatoriamente 
de um processo de fabricação sabido produzir 85% dos itens aceitáveis. Qual 
a probabilidade de que 10 dos itens extraídos sejam aceitáveis?
a) 4,49%
b) 9,85%
c) 15,0%
d) 47,5%
e) 85%
Interatividade
 Variáveis aleatórias contínuas são as susceptíveis de tomar qualquer valor real 
num dado intervalo.
Exemplos:
 O peso de um indivíduo.
 O comprimento de uma folha.
 Pesos das moedas produzidas.
 Altura de mulheres adultas.
 Tempo entre as chegadas dos clientes em um banco. 
 Quantidade em uma garrafa de refrigerante.
Variável aleatória contínua
30 40 50 60 70 80 90 100
0.000
0.015
0.030
P eso
De
ns
ida
de
 
 As grandes amostras de certas variáveis aleatórias permitem construir gráficos que 
têm aparência típica.
Curva normal
f(x) = 1
√(2πσ2)
- (x – μ)2
2σ2
exp .
Fonte: Autoria própria.
 Uma variável aleatória contínua tem distribuição normal se essa distribuição 
é simétrica e apresenta a forma de um sino.
Distribuição normal
f(x)
µ
σ
µ = média
σ = desvio padrão
X
Fonte: Autoria própria.
Distribuição normal
Fonte: Autoria própria.
 A variável Z possui média 0e desvio-padrão 1.
 Z é variável contínua que representa o número de desvios a contar da média.
Distribuição normal padronizada
Fonte: Autoria própria.
 As probabilidades 
associadas à 
distribuição normal 
padronizada são 
facilmente obtidas 
em tabelas.
Distribuição normal padronizada – tabela 
Fonte: Autoria própria.
Análise gráfica
Fonte: livro-texto.
 Uma empresa fabrica termômetros que devem acusar 0ºC no ponto de 
congelamento da água. Testes feitos em uma grande amostra desses termômetros 
revelaram que, no ponto de 0ºC, alguns acusavam valor inferior a 0ºC e outros 
acusavam valor superior. Suponha que a leitura média seja 0ºC e que o desvio-
padrão das leituras seja 1,00ºC. Admita também que a distribuição de frequência 
dos erros se assemelhe a uma distribuição normal.
Distribuição normal – exemplo 
Escolhido um termômetro aleatoriamente, determine a probabilidade de que:
a) No ponto de congelamento da água o termômetro marque entre 0ºC e +1,58ºC.
Distribuição normal – exemplo 
Fonte: Autoria própria.
 0,9429 – 0,5000
 0,4429
Distribuição normal – exemplo 
0,9429
Escolhido um termômetro aleatoriamente, determine a probabilidade de que:
b) No ponto de congelamento da água, o termômetro marque -1,65º C.
Continuando o exemplo do termômetro
Fonte: Autoria própria.
Usando a tabela da distribuição normal
Escolhido um termômetro aleatoriamente, determine a probabilidade de que:
c) No ponto de congelamento da água, o termômetro marque entre -1,65º C 
e 1,58º C.
 P(-1,65) = 0,0495
 P(1,58) = 0,9429
 P(-1,65<X<1,58) = 0,8934 
Continuando o exemplo do termômetro
Fonte: Autoria própria.
Escolhido um termômetro aleatoriamente, determine a probabilidade de que:
d) No ponto de congelamento da água, o termômetro marque um valor maior que 
1,58º C.
 P(X>1,58) = 1,0000 – 0,9429
 P(X>1,58) = 0,0571
Continuando o exemplo
Fonte: Autoria própria.
Em relação à curva da distribuição normal ou curva de Gauss, são dadas 
as afirmações a seguir.
I. É assimétrica em relação ao seu valor médio.
II. A área compreendida entre a curva e o eixo das abcissas é igual a 1.
III. É tanto mais achatada quanto maior for a média.
IV. A variável Z possui média 0 e desvio-padrão 1.
Assinale a alternativa com as afirmações incorretas.
a) I e II
b) I e III
c) II e III
Interatividade
d) II e IV
e) I, II, III e IV
 Para calcular probabilidades associadas à distribuição normal, usa-se um artifício. 
Sabe-se que, se X tem distribuição normal com média μ e desvio-padrão σ, 
a variável
 tem distribuição normal padronizada. 
 μ é a média aritmética
 σ é o desvio-padrão
 Z valores que indicam a distância ao longo da escala 
horizontal
Probabilidade na distribuição normal padronizada



X
Z
 Suponha um consultor investigando o tempo que os trabalhadores de uma fábrica 
levam para montar determinada peça. Suponha que análises da linha de produção 
tenham calculado tempo médio de 75 segundos e desvio padrão de 6 segundos
Distribuição normal – Exemplo de normalização
Escala de Z
Escala de X
Fonte: Autoria própria.
a) Suponha que o consultor queira saber qual a probabilidade de um trabalhador 
levar um tempo entre 75 e 81 segundos para montar uma peça, ou seja, 
P(75 ≤ X ≤ 81). Determine esta probabilidade.
Exemplo
Fonte: Autoria própria.
Escala de Z
Escala de X
Exemplo – resolvendo 
1
6
7581
2 



 
X
Z
0
6
7575
1 



 
X
Z
Fonte: Autoria própria.
Escala de Z
Escala de X
 P(75<x<81)
 0,8413 – 0,5000
 0,3413
Exemplo – resolvendo 
0,8413
Fonte: Autoria própria.
b) Qual a probabilidade de um trabalhador levar um tempo entre 66 e 81 segundos 
para montar uma peça?
Sendo
Então P(X=66) = 
 P(66<X<81) = 0,7745 
Continuando o exemplo
Fonte: Autoria própria.
Escala de Z
Escala de X
Continuando o exemplo
Fonte: Autoria própria.
A duração de certo componente eletrônico tem média de 850 dias e desvio-padrão 
de 40 dias. Sabendo que a duração é normalmente distribuída, calcule a 
probabilidade de esse componente durar:
a) Entre 800 e 950 dias.
b) Mais de 750 dias.
Distribuição normal – outros exemplos
a) Entre 800 
e 950 dias
Distribuição normal – outros exemplos
5,2
40
850950
2 

Z
25,1
40
850800
1 



 
X
Z
8882,04938,03944,021 PP
3944,01P
4938,02 P
b) Mais de 750 dias
 Então, 
Distribuição normal – outros exemplos
9938,05,04938,021 PP
4938,01P
5,02 P
Outros exemplos
 O tempo gasto no exame vestibular de uma universidade tem distribuição Normal, 
com média de 120 min. e desvio padrão de 15 min. 
Sorteando um aluno ao acaso, qual a probabilidade de que ele termine o exame 
antes de 100 minutos?
a) 50%
b) 40,82%
c) 20%
d) 9,18%
e) 1%
Interatividade
ATÉ A PRÓXIMA!