1° ESTÁGIO - CÁLCULO 3

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Universidade Federal de Campina Grande - UFCG A
Ca´lculo Diferencial e Integral III
Professor: Luiz Antoˆnio da Silva Medeiros
Aluno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Data: . . . / . . . /2009
Primeira Avaliac¸a˜o
1 (1.5 Pts) Descreva o domı´nio e a imagem da func¸a˜o f, onde f(x, y) =
√
16− x2 − y2. Desenhe
pelo menos treˆs curvas de n´ıvel no domı´nio da func¸a˜o e esboc¸e a superf´ıcie.
2 (1.0 Pts) Considerando que a equac¸a˜o x3−2y2+xy = 0 define y como uma func¸a˜o de x, encontre
o valor de ∂y
∂x
no ponto P (1, 1).
3 (1.5 Pts) Encontre os limites, caso existam:
a) lim
(x,y)→(0,0)
eysen(x)
x
b) lim
(x,y)→(0,0)
x4
x4 + y2
4 (1.5 Pts) Encontre uma equac¸a˜o para o plano que seja tangente a` supref´ıcie z = ln(x2 + y2) no
ponto P (1, 0, 0).
5 (1.5 Pts) A derivada de f(x, y) em P0(1, 2) na direc¸a˜o de i+ j e´ 2
√
2 e na direc¸a˜o de −2j e´ −3.
Qual e´ a derivada de f na direc¸a˜o de −i− 2j?
6 (1.5 Pts) Resolva apenas uma das questo˜es abaixo:
6.1) Seja f : R2 → R uma func¸a˜o com derivadas parciais cont´ınuas e suponha que a equac¸a˜o
f( y
x
, z
x
) = 0 define z como uma func¸a˜o diferencia´vel de x e y, ou seja, z = g(x, y). Mostre
que
x
∂g
∂x
+ y
∂g
∂y
= g
nos pontos nos quais D2f(
y
x
, g(x,y)
x
) 6= 0, em que D2f indica a derivada parcial de f em
relac¸a˜o a` segunda varia´vel.
6.2) Prove pela definic¸a˜o que lim
(x,y)→(1,−1)
x3 + y = 0
7 (1.5 Pts) Sejam f(x, y) =
{
xy2)
x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
e u = (a, b) um vetor unita´rio (a2 + b2 =
1).
a) Mostre que a derivada direcional de f na direc¸a˜o u existe na origem.
b) Mostre que f e´ cont´ınua, apesar de na˜o ser diferencia´vel.
c) As derivadas parciais de f sa˜o cont´ınuas na origem?
Universidade Federal de Campina Grande - UFCG B
Ca´lculo Diferencial e Integral III
Professor: Luiz Antoˆnio da Silva Medeiros
Aluno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Data: . . . / . . . /2009
Primeira Avaliac¸a˜o
1 (1.5 Pts) Descreva o domı´nio e a imagem da func¸a˜o f, onde f(x, y) = 4− x2− y2. Desenhe pelo
menos treˆs curvas de n´ıvel no domı´nio da func¸a˜o e esboc¸e a superf´ıcie.
2 (1.0 Pts) Considerando que a equac¸a˜o x2 + y2 + xy − 7 = 0 define y como uma func¸a˜o de x,
encontre o valor de ∂y
∂x
no ponto P (1, 1).
3 (1.5 Pts) Encontre os limites, caso existam:
a) lim
(x,y)→(0,0)
xsen(y)
x2 + 1
b) lim
(x,y)→(0,0)
x2 − xy√
x−√y
4 (1.5 Pts) Encontre uma equac¸a˜o para o plano que seja tangente a` supref´ıcie z = ex
2+y2 no ponto
P (0, 0, 1).
5 (1.5 Pts) A derivada de f(x, y, z) em um ponto P e´ maior na direc¸a˜o de v = i + j − k. Nessa
direc¸a˜o, o valor da derivada e´ 2
√
3.
a) Qual e´ o gradiente de f em P?
b) Qual e´ a derivada de f em P na direc¸a˜o de i+ j?
6 (1.5 Pts) Resolva apenas uma das questo˜es abaixo:
6.1) Seja f : R2 → R uma func¸a˜o com derivadas parciais cont´ınuas e suponha que a equac¸a˜o
f( y
x
, z
x
) = 0 define z como uma func¸a˜o diferencia´vel de x e y, ou seja, z = g(x, y). Mostre
que
x
∂g
∂x
+ y
∂g
∂y
= g
nos pontos nos quais D2f(
y
x
, g(x,y)
x
) 6= 0, em que D2f indica a derivada parcial de f em
relac¸a˜o a` segunda varia´vel.
6.2) Prove pela definic¸a˜o que lim
(x,y)→(2,−1)
x3 + y = 7
7 (1.5 Pts) Seja f(x, y) =
{
x2y + x2sen( 1
x
) se x 6= 0
0 se x = 0
e u = (a, b) um vetor unita´rio (a2 + b2 =
1).
a) Mostre que f e´ diferencia´vel em todos os pontos.
b) A derivada parcial ∂f
∂x
e´ cont´ınua nos pontos em que x = 0?
Universidade Federal de Campina Grande - UFCG / CCT
Unidade Acadêmica de Matemática e Estatística - UAME
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III - Período: 2006.1
1o Estágio - Elétrica - 07/08/2006
Professor:________________________________________
Aluno:_________________________________________
Escolha 2 questões do Grupo I e 3 questões do Grupo II
Grupo I
1. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de xy + y2x− 2z = 0 no ponto (1, 1, 1) que seja
paralela ao plano yz.
2. Descreva as curvas de nível das funções abaixo, e determine se seus domínios são abertos ou
fechados.
(a) f(x, y) = x2 − 4y2;
(b) f(x, y) = y + x2 − 3x.
3. Um circuito elétrico simples consiste em um resistor R e uma força eletromotriz V . Em certo
instante, V é 80 volts e aumenta à taxa de 5 volts/min, enquanto R é 40 ohms e decresce à
razão de 20 ohms/min. Use o fato de que I =
V
R
, e uma regra da cadeia, para achar a taxa à
qual a corrente I (em ampères) varia.
Grupo II
1. Seja W = 5x2 − xy + 2y, e ∆x e ∆y incrementos de x e y, respectivamente.
(a) Determine ∆W ;
(b) Mostre, através da definição de diferenciabilidade, que W é uma função diferenciável;
(c) Sem usar a deinição, como podemos justificar a diferenciabilidade de W .
2. Calcule os seguintes limites, se existirem. Caso não exista, justifique.
a) lim
(x,y)→(0,0)
√
2x− y − 2
2x− y − 4
b) lim
(x,y,z)→(0,0,0)
x2 + xy + z2
yx+ yz − 2x2
c) lim
(x,y)→(0,0)
arctgxy
xy
(Sugestão: Use o fato de que 1− x
2y2
3
<
arctgxy
xy
< 1)
3. Seja f(x, y) =


xy
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
a) Determine fx(0, 0) e fy(0, 0);
b) A função f é diferenciável na origem? Por que?
4. Três resistores R1, R2 e R3 estão associados em paralelo. Denotemos por R a resistência total.
Se as medidas de R1, R2 e R3 são 100, 200 e 600 ohms, respectivamente, com erro máximo de
±1% em cada medida, aproxime, usando diferenciais, o erro máximo no valor calculado de R.
(OBS: Para as derivadas de R com relação a Ri, use a notação
∂R
∂Ri
.)
2
Universidade Federal de Campina Grande - UFCG / CCT / UAME
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III Turno: Manhã
Prof.:___________________________ Data: 12/08/2006
Aluno(a):___________________________ Período: 2006.1
Reposição da Primeira Avaliação
1. Mostre que lim
(x,y)→(0,0)
3x2y
x2 + y2
= 0 através da definição de limite.
2. Considere a função f(x, y) =
√
x + y + 1
x2 − 1 .
a) Determine e faça um esbôço do seu domínio.
b) Determine se domínio de f é aberto ou fechado. Justifique.
c) Mostre que lim
(x,y)→(−1,0)
f(x, y) não existe.
3. Considerando-se as funções abaixo, descreva e faça um esboço da superfície de nível
que contém o ponto P dado.
f(x, y, z) = z − x2 − y2 e P (1, 1, 2);
g(x, y, z) = 2x2 − y2 + z em P (1, 1,−1).
4. Utilize diferenciais para estimar a quantidade de metal em uma lata cilíndrica
fechada de 10cm de altura e 2cm de raio, sabendo que o metal das tampas de
cima e de baixo tem 0, 1cm de espessura e o da lateral tem espessura de 0, 05cm.
5. Considere a função
f(x, y) =
{ xy
x2 + y2
, xy 6= 0
0 , xy = 0
.
Mostre que f possui derivadas parciais nulas em (0, 0), e que f não é diferenciável
em (0, 0).
6. Defina função diferenciável. Depois disso, mostre que se f é diferenciável em (x0, y0),
então ela é contínua em (x0, y0).
7. Suponha que substituamos coordenadas polares x = r cos θ e y = r sen θ em uma
função diferenciável w = f(x, y).
a) Mostre que
∂w
∂r
= fx cos θ + fy sen θ e
1
r
∂w
∂θ
= −fx sen θ + fy cos θ.
b) Resolva as equações no ítem a) para expressar fx e fy em termos de
∂w
∂r
e
∂w
∂θ
.
c) Mostre que (fx)
2 + (fy)
2 =
(
∂w
∂r
)2
+
1
r2
(
∂w
∂θ
)2
.
1
Universidade Federal de Campina Grande - UFCG R
Ca´lculo Diferencial e Integral III
Professor: Luiz Antoˆnio da Silva Medeiros
Aluno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Data: . . . / . . . /2009
Reposic¸a˜o da Primeira Avaliac¸a˜o
1. (1.5 Ptos) Descreva o domı´nio da func¸a˜o f(x, y) = e−x
2
−y
2
. Desenhe pelo menos treˆs curvas de
n´ıvel no domı´nio da func¸a˜o e esboc¸e a superf´ıcie.
2. (1.5 Ptos) Calcule os limites abaixo, caso existam.
a) lim
(x,y)→(0,0)
x4 + x2y2 + y4
x2 − xy + y2
b) lim
(x,y)→(0,0)
xysen(y)
x2 + y2
c) lim
(x,y)→(0,0)
x3y3 − 1
xy − 1
3. (1.5 Ptos) Uma func¸a˜o f(x, y) e´ homogeˆnea de grau n, sendo n um nu´mero natural diferente de
zero, se f(tx, ty) = tnf(x, y) para todos t, x e y. Mostre que para uma tal func¸a˜o
x
∂f
∂x
(x, y) + y
∂f
∂y
(x, y) = nf(x, y)
4. (1.0 Pto) Encontre a derivada de f(x, y, z) = xyz na direc¸a˜o do vetor velocidade da he´lice
r(t) = cos(3t)i + sen(3t)j + 3tk
em t = π
3
.
5. (1.5 Ptos) Considere a func¸a˜o f(x, y) = xΦ(x
y
) onde Φ(u) e´ uma func¸a˜o diriva´vel de uma varia´vel.
Mostre que os planos tangentes do gra´fico passam pela origem.
6. (1.5 Ptos) Seja f(x, y) = xy
2
x2+y2
. Considerando ε > 0, mostre que existe um δ > 0 tal que, para
todo par (x, y) de nu´meros reais
se 0 <
√
x2 + y2 < δ ⇒ |f(x, y)− 0| < ε
Interprete o resultado.
7. (1.5 Ptos) E´ poss´ıvel extender a func¸a˜o f(x, y) = x
3
x2+y2
a` origem de maneira a tornar f dife-
rencia´vel na origem? Justifique.
BOA SORTE !
Universidade Federal de Campina Grande (UFCG) / Centro de Ciências e Tecnologia (CCT) / Unidade Acadêmica 
de Matemática e Estatística (UAME) 
 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III (2109051) – Turno: Manhã 
Professor(a): __Jaime Alves Barbosa Sobrinho________________ Período: 2010.1 
Aluno(a): _____________________________________________________ Nota: ________________ 
 
Reposição da 1ª Prova – 07 de Junho de 2010 
 
Questão 1: (2,0 pts) Considere a função 2yxz −= . Determine: 
a) Determine D( f ) e Im( f ); 
 b) Representar geometricamente as curvas de níveis 0, 1, 2 e o gráfico de f. 
 
Questão 2: (1,0 pt) Justifique se os seguinte limite existe e caso positivo determine o seu valor: 
24
2
)0,0(),(
2
lim
yx
yx
yx +→
 
Questão 3: (1,0 pt) Justifique se existe algum número IRL∈ para o qual a função ),( yxf , a seguir, seja con-
tínua no ponto (2,0). Caso positivo determine esse valor L. 




=
≠−<=
−−
−−
)0,2(),(;
420;),(
42
22
yxL
yxeyxf
yx
yx
 
 
Questão 4: (1,0 pt) Considere xyyxez x lnln ++= . Sem calcular as derivadas de 2ª ordem, justifique se as 
derivadas mistas 
yx
z
∂∂
∂2 e 
xy
z
∂∂
∂2 coincidem. Comprove a sua resposta calculando as derivadas. 
Questão 5 (2,0 pts) Desenhe um diagrama e escreva a fórmula da regra da cadeia para calcular 
u
w
∂
∂
 e 
v
w
∂
∂
, onde 
),( vufw = , ),( yxgu = e ),( yxhv = . Utilize-a para justificar que se ),( 2222 xyyxfw −−= , então 
0=
∂
∂
+
∂
∂
y
w
x
x
w
y . 
Questão 6 (1,5 pts) Calcule as derivadas 
x
z
∂
∂
 e 
y
z
∂
∂
, para a função definida implicitamente por 
0)(sen)(sen)(sen =+++++ zxzyyx , em ),,( πππP . 
 
Questão 7: (2,0 pts) Calcule a taxa de variação (velocidade de crescimento) da temperatura 
22240),( xyyxyxT +−= , quando se caminha (varia) na direção do vetor v = (2,3), uma unidade de comprimento. 
 
a) a partir do ponto P(1, 3); 
b) a partir do ponto P(1, 3), em que direção (e sentido) a temperatura mais cresce (ou decresce) e qual essa 
velocidade (taxa) de crescimento (ou decrescimento); 
c) a partir do ponto P(1, 3), determine direções (e sentido) em que a velocidade de decrescimento da tempe-
ratura seja -4. 
d) Em P(1, 3), existe direção (e sentido) em que a velocidade de crescimento é 6? 
 
Questão 8: (1,5 pt) Encontre a equação para o plano tangente e a reta normal, no ponto P0(2,-3,18), da superfície 
do IR
3
 determinada pela equação 432),,( 22 −=−+−−+= zyxxyyxzyxF . 
 
 
OBS: Serão pontuados apenas os primeiros 10,0 pontos trabalhados! 
 
– ☺ Estudo, Paciência e Atenção ⇔ Boas Provas ♥ – 
 (Boa Copa e Festas Juninas) 
 
 
– ☺ Estudo, Paciência e Atenção ⇒Boas Provas ☺ – 
Universidade Federal de Campina Grande (UFCG) / Centro de Ciências e Tecnologia (CCT) / Unidade Acadêmica 
de Matemática e Estatística (UAME) 
 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III (2109105) – Turno: Manhã 
Professor(a): __Jaime Alves Barbosa Sobrinho________________ Período: 2010.1 
Aluno(a): _____________________________________________________ Nota: _______________________ 
 
Reposição da 1ª Prova (B) – 05 de Julho de 2010 
 
Questão 1: (1,5 pts) Considere a função 3),( xyyxfz −== . Determine: 
a) Determine D( f ) e Im( f ); 
 b) Se a função f representa o potencial elétrico (tensão elétrica), determine as curvas equipotenciais (curvas 
de níveis) para os potenciais 0, 1, 2. 
c) Faça um esboço (idéia) do gráfico de f, considerando as curvas equipotenciais encontrada. 
 
Questão 2: (1,0 pt) Justifique se os seguinte limite existe e caso positivo determine o seu valor: 
26
3
)0,0(),(
2
lim
yx
yx
yx +→
 
Questão 3: (1,5 pt) Identifique o domínio da função ),( yxf , a seguir, e justifique se f é contínua em todo esse 
domínio. 





=
≠−<= 







−−
−−
)2,2(),( ; 2
430 ;),(
2
1
23
43
yx
yxyxf
yx
yx
 
Questão 4 (2,0 pts) Desenhe um diagrama e escreva a fórmula da regra da cadeia para calcular 
x
w
∂
∂
 e 
y
w
∂
∂
, onde 
),( vufw = , ),( yxgu = e ),( yxhv = . Utilize-a para justificar que se ),( 3333 xyyxfw −−= , então 
022 =
∂
∂
+
∂
∂
y
w
x
x
w
y . 
Questão 5 (1,0 pts) Calcule as derivadas 
x
z
∂
∂
 e 
y
z
∂
∂
, para a função definida implicitamente por 
22ln3ln2 =−++ xzexe yz , em )2ln,3ln,1(P . 
 
Questão 6: (2,0 pts) Calcule a taxa de variação (velocidade de crescimento) da tensão elétrica (potencial 
elétrico) xzyzxyzyxV lnlnln),,( ++= , quando se caminha na direção do vetor v = (0,4,3), uma unidade de 
comprimento. 
a) a partir do ponto P(1, 1, 1); 
b) a partir do ponto P(1, 1, 1), em que direção (e sentido) a tensão elétrica mais cresce (ou decresce) e qual 
essa velocidade (taxa) de crescimento (ou decrescimento); 
c) a partir do ponto P(1, 1, 1), determine direções (e sentido) em que a velocidade de decrescimento da 
tensão elétrica seja -3. 
d) Em P(1, 1, 1), existe direção (e sentido) em que a velocidade de crescimento da tensão elétrica é 4? 
 
Questão 7: (1,5 pt) Determine os pontos críticos da função dada e classifique-os como extremos locais (máximos 
ou mínimos locais) ou pontos de sela. 
332545 −−−+= yxyxz 
Questão 8: (1,5 pt) Determine a equação do plano tangente a superfície do gráfico de 22 yxz += e paralelo ao 
plano yxz += 2 . 
 
OBS: A nota será atribuída até o limite máximo de 10,0 pontos acertados! 
Universidade Federal de Campina Grande (UFCG) / Centro de Ciências e Tecnologia (CCT) / Unidade Acadêmica 
de Matemática e Estatística (UAME) 
 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III (2109105) – Turno: Manhã 
Professor(a): __Jaime Alves Barbosa Sobrinho________________ Período: 2010.1 
Aluno(a): _____________________________________________________ Nota: _______________________ 
 
Reposição da 1ª Prova (A) – 05 de Julho de 2010 
 
Questão 1: (1,5 pts) Considere a função 3),( yxyxfz −== . Determine: 
a) Determine D( f ) e Im( f ); 
 b) Se a função f representa o potencial elétrico (tensão elétrica), determine as curvas equipotenciais (curvas 
de níveis) para os potenciais 0, 1, 2. 
c) Faça um esboço (idéia) do gráfico de f, considerandoas curvas equipotenciais encontrada. 
 
Questão 2: (1,0 pt) Justifique se os seguinte limite existe e caso positivo determine o seu valor: 
62
3
)0,0(),(
2
lim
yx
xy
yx +→
 
Questão 3: (1,5 pt) Identifique o domínio da função ),( yxf , a seguir, e justifique se f é contínua em todo esse 
domínio. 





=
≠−<= 







−−
−−
)0,2(),( ; 2
420 ;),(
2
1
42
22
yx
yxyxf
yx
yx
 
Questão 4 (2,0 pts) Desenhe um diagrama e escreva a fórmula da regra da cadeia para calcular 
x
w
∂
∂
 e 
y
w
∂
∂
, onde 
),( vufw = , ),( yxgu = e ),( yxhv = . Utilize-a para justificar que se ),( 2222 xyyxfw −−= , então 
0=
∂
∂
+
∂
∂
y
w
x
x
w
y . 
Questão 5 (1,0 pts) Calcule as derivadas 
x
z
∂
∂
 e 
y
z
∂
∂
, para a função definida implicitamente por 
2ln32ln2 =−++ xyexe zy , em )3ln,2ln,1(P . 
 
Questão 6: (2,0 pts) Calcule a taxa de variação (velocidade de crescimento) da tensão elétrica (potencial 
elétrico) xzyzxyzyxV lnlnln),,( ++= , quando se caminha na direção do vetor v = (3,0,4), uma unidade de 
comprimento. 
a) a partir do ponto P(1, 1, 1); 
b) a partir do ponto P(1, 1, 1), em que direção (e sentido) a tensão elétrica mais cresce (ou decresce) e qual 
essa velocidade (taxa) de crescimento (ou decrescimento); 
c) a partir do ponto P(1, 1, 1), determine direções (e sentido) em que a velocidade de crescimento da tensão 
elétrica seja 3. 
d) Em P(1, 1, 1), existe direção (e sentido) em que a velocidade de decrescimento da tensão elétrica é -4? 
 
Questão 7: (1,5 pt) Determine os pontos críticos da função dada e classifique-os como extremos locais (máximos 
ou mínimos locais) ou pontos de sela. 
332545 −−−+= xyxyz 
Questão 8: (1,5 pt) Determine a equação do plano tangente a superfície do gráfico de 22 yxz += e paralelo ao 
plano yxz 2+= . 
 
OBS: A nota será atribuída até o limite máximo de 10,0 pontos acertados!