Dimensionamento de Pilares - Roldão Araújo

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DDiimmeennssiioonnaammeennttoo ddee PPiillaarreess 
Pilares são peças estruturais de eixo reto, usualmente dispostos na vertical, que 
geralmente transmitem cargas axiais de compressão com ou sem momento fletor. 
Pilares-parede são elementos de superfície plana, usualmente dispostos na vertical 
e submetidos preponderantemente à compressão. Podem ser compostos por uma ou 
mais superfícies associadas. Para que se tenha um pilar-parede, em alguma dessas 
superfícies, a menor dimensão deve ser menor que 1/5 da maior, ambas consideradas 
na seção transversal do elemento estrutural. 
Fluxo de carga: lajes → vigas → pilares (maiores coef. seg.) → fundações. 
9 Avaliação das Cargas: 
A dimensão dos pilares depende da carga atuante. Essa carga pode ser avaliada 
pelo critério de área de influência, supondo-se uma carga média distribuída de 10 kN/m2 
em cada pavimento. 
9 Seção Transversal: 
A seção transversal dos pilares não deve apresentar largura menor que 19 cm. Em 
casos especiais, permite-se a consideração de dimensões entre 19 cm e 12 cm, desde 
que se multipliquem as ações a serem consideradas no dimensionamento por um 
coeficiente adicional γn, de acordo com o indicado na tabela abaixo: 
b ≥19 18 17 16 15 14 13 12 
γn 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 
b → menor dimensão da seção transversal do pilar; 
γn → coeficiente que majora os esforços solicitantes de cálculo finais dos pilares, 
quando do seu dimensionamento. 
Ex.: Para b = 12 cm o coeficiente de majoração final será: γc x γn = 1,4 x 1,35 = 1,89. 
 
 
 
 
 
 
 
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 Classificação dos Pilares quanto à Esbeltez: 
odem ser desprezados. 
 de 2ª ordem 
s utilizando-se o 
efeitos de 2ª ordem são avaliados pelo 
 Tipologia dos Pilares
9
λ ≤ λ1 – Pilares Curtos: Os efeitos de 2ª ordem p
λ1 < λ ≤ 90, onde λ1 = 35 – Pilares Medianamente Esbeltos: Os efeitos
são avaliados por processos simplificados baseados no “Pilar Padrão”. 
90 < λ ≤ 140 – Pilares Esbeltos: Os efeitos de 2ª ordem são avaliado
processo do “Pilar Padrão” acoplado a diagramas M-N-1/r para a curvatura crítica. Deve 
ser considerado o efeito da deformação lenta. 
140 < λ ≤ 200 – Pilares Muito Esbeltos: Os 
método geral. Deve ser considerado o efeito da deformação lenta. 
 
 9
 
 
 
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Modelo Estrutural → O pilar de contraventamento é responsável pela resistência ao 
vento mais o efeito de 2ª ordem associado à carga vertical própria e dos pilares 
contraventados. 
 
 
 
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Situação Básica de Projeto de Pilares Contraventados: 
 ter em geral sua força normal Pilar intermediário: são os pilares centrais, que podem
suposta centrada desde que hajam vigas passando pelo seu eixo nas duas direções. 
 
 pilares submetidosPilar de extremidade: são os orça normal suposta a uma f
excêntrica em apenas uma direção, gerando uma flexão normal composta. 
 
 a uma Pilar de canto: são os pilares submetidos força normal suposta excêntrica nas 
duas direções, gerando uma flexão oblíqua composta. 
 
 
 
 
 
 
 
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 Efeitos das Imperfeições Locais: 9
 
Nas estruturas reticuladas: 
imensão do pilar na direção considerada, em metros) 
 Efeito de 2
h03,0015,0e min,a += (h → d
Em cada uma das duas direções, deve-se considerar: 
min,ai ee ≥ 
 
a Ordem Local: 9
 
 
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Pilar Padrão: 
 
Expressão da NBR 6118 para λ < 90: 
r
12e ⋅= l
10
e2 , onde o valor aproximado da curvatura 1/r é dado por: 
0,005
h0,5)h(v
0,005
r
1 ≤+= , onde 0,005 ≅ 0,0035 + 0,00207, sendo 0,0035 de εuc e 0,00207 
de εyd. 
cdc
sdNv =
fA ⋅ 
Exemplo 1 – Determinar o momento máximo de 2a ordem para o pilar abaixo: 
 
fck = 25 MPa 
951
200
3463
h
463
y
e
máx ,,
,l, =⋅=⋅=λ → λmáx < 90 
∴Pilar medianamente esbelto, sendo possível utilizar as expressões 
da NBR 6118. 870
41
2500045020
411000
fA
N
v
cdc
sd ,
,
,,
, =
⋅⋅
⋅=⋅= 
 
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11 m250m01820
0,5)h(v
0,005
r
1 −− ≤+=+= ,, 
∴
0,5)0,20(0,87
0,005 =
m016001820
10
3
r
1
10
e
22
e
2 ,,
l =⋅=⋅= 
M2dy = 1000⋅1,4⋅0,016 = 22,4 kN⋅m na seção C. 
Para direção x, 23
450
463
h
463
y
e =⋅=⋅=λ
,
,, <
de 2a ordem nessa direção. 
 
3l 35, e assim, pode-se desprezar o efeito 
9 Armaduras: 
Os pilares são armados com barras longitudinais e estribos. 
Armaduras Longitudinais: 
A armadura longitudinal e o concreto tem a função de resistir às cargas axiais e 
 o valor mínimo expresso a seguir: 
ν = Nd / (Ac . fcd
rmal em termos admensionais. 
 tabela a seguir, fornece valores para ρmin, com o uso de aço CA-50 e considerando 
γc = 15. 
min 
momentos fletores. A taxa de armadura deve ter
ρmin = (As / Ac) =
onde: ν é o valor da força no
 0,15 (fcd / fyd) ν ≥ 0,40% 
) 
A
 1,4 e γ = 1,s
 valores de ρ (%)
fck ⇒ 20 25 30 35 40 45 50 
valores de 
ν 
- - - - - - - 
0,1 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 
0,2 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 
0,3 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 
0,4 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,444 0,493 
0,5 0,400 0,400 0,400 0,431 0,493 0,554 0,616 
0,6 0,400 0,400 0,444 0,518 0,591 0,665 0,739 
0,7 0,400 0,431 0,518 0,604 0,690 0,776 0,863 
0,8 0,400 0,493 0,591 0,690 0,789 0,887 0,986 
A maior armadura possível em pilares deve ser 8% da seção real, Ac, 
considerando-se inclusive a sobrepos existente em regiões de 
 
ição de armadura 
emenda. 
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Armadura Longitudinal Máxima e Mínima 
c
d
AA
0
0
,
, ≤
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
 enda
 
Armad
expansão lateral do pilar, que é medida pelo coeficiente de poisson. Os 
stribos ajudam a evitar esta expansão, confinando o núcleo de concreto. Quanto 
nais e dos estribos, melhor o confinamento, e 
tará sujeito a um estado de tensão triaxial. 
 esforço cortante, quando 
houver, e prevenir a flambagem das barras longitudinais. 
A armadura transversal de pilares, constituída por estribos, deve ser colocada em 
o obrigatória sua colocação na região de cruzamento com 
vig
sydf 8%≤
4%
N
15
 (inclusive nas seções de em s) 
uras transversais: 
Os estribos servem para confinar o núcleo de concreto. A carga axial tende a 
provocar 
e
menor o espaçamento das barras longitudi
o núcleo es
A armadura transversal também serve para combater o
toda a altura do pilar, send
as e lajes. 
O diâmetro (φt) dos estribos em pilares não deve ser inferior a 5 mm nem a 1/4 do 
diâmetro da barra isolada ou do diâmetro equivalente do feixe que constitui a armadura 
longitudinal. 
Distribuição transversal: 
As armaduras longitudinais devem ser dispostas na seção transversal de forma a 
garantir a adequada resistência do elemento estrutural.Em seções poligonais, deve existir pelo menos uma barra em cada vértice; em 
seções circulares, no mínimo seis barras distribuídas ao longo do perímetro. 
O espaçamento livre entre as armaduras, medido no plano da seção transversal, 
fora
 barra, do feixe ou da luva; 
metro máximo do agregado, inclusive nas emendas. 
a 10 mm. 
 da região de emendas, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores: 
- 2 cm; 
- diâmetro da
- no mínimo 1,2 vez o diâ
O espaçamento máximo entre as barras deve ser de 40 cm. 
O diâmetro (φl) das barras não poderá ser inferior 
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O e
 garantir a 
costur
 
Esper
spaçamento longitudinal entre estribos, medido na direção do eixo do pilar, para 
garantir o posicionamento, impedir a flambagem das barras longitudinais e
a das emendas de barras longitudinais nos pilares usuais, deve ser igual ou 
inferior ao menor dos seguintes valores: 
- 20 cm;
- menor dimensão da seção; 
- 12φl para CA-50, onde φl é o diâmetro da armadura longitudinal. 
a: 
φl espera 
10 mm 50 cm 
12,5 mm 60 cm 
16,0 mm 70 cm 
20,0 mm 80 cm 
acima 100 cm 
 
Travamento das Barras Longitudinais: 
 
Consideram-se travadas as barra tam 2 enos do canto do estribo ou de 
onto de amarração intermediário. 
s s que di 0φt ou m
p
 
(dois estribos poligonais) (um estribo poligonal e uma 
barra com gancho) 
(barra com gancho envolvendo o 
estribo principal) 
 
 
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Seções a serem analisadas em um pilar 
 
 
Nd 
que Nd.e
 
Seção Cen
Nd s menores 
que Nd.e
 
1, onde: 
Seções de Pé 
 acompanhada dos momentos iniciais MTd e MPd, não se adotando valores menores
a, onde ea = 0,015+0,03h. 
tral 
 acompanhada do momento inicial Mcd = αc.Ma, não se adotando valore
a, mais o momento de 2ª ordem M2 = Nd.e2. 
Os efeitos de 2ª ordem locais devem sempre ser considerados quando λ >λ
b
1 α=λ , onde 
1e51225 + , h/ 901
b
≤λ≤α 
35
hN
h
d
1 ⋅=/ (excentricidade de 1 ordem) 
Mcd ae
a
b M
4060 ,, +=α , 140 b, 
 
bM ≤α≤
a - Maior valor, em módulo, dos momentos das extremidades do pilar 
.ea
 
M
Mb - Positivo se tracionar a mesma face que Ma, e negativo caso contrário. 
αb = 1 caso Ma < Nd , em módulo. 
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Exemplos: 
Ma = 100 kN⋅m ; Mb = 70 kN⋅m 
320
100
70)(4060
M
M
4060
a
b
b ,,,,, =−+=+=α 
como 140 b ≤α≤, → α = 0,40 b
Mc = 100⋅0,4 = 40 kN⋅m 
10140
M
he cd ,/ =⋅== 67
201200hNd
1 ⋅ 
40
0827
40
167051225he51225
b
1
1 ,
,
,
,,/, =⋅+=α
+=λ
como 9035 1
b
≤λ≤α → 58740
3535
b
1 ,,
==α=λ 
9513463463 e ,,l, =⋅=⋅=λ 
200hy ,
< λ1
Obs.: não considerar efeito de 2a ordem 
 
 
 
Ma = 100 kN⋅m ; Mb = 70 kN⋅m 
880bb ,,,,, =+=+=α 100
704060
M
M
4060
a
como 140 b ≤α≤, → αb = 0,88 0k! 
Mc = 100⋅0,88 = 88 kN⋅m 
370
20
1
1200hN
88M
d
cd
1 ,=⋅=⋅ he / =
880880b ,,α
62951225he51225 1
1
,,/, =⋅+=+=λ 
como 
370,
901
b
≤λ≤α → 
35 839
880b
1 ,,
==α=λ 
3535
951
200
3463
h
463
y
e ,
,
,l, =⋅=⋅=λ > λ1 e λ < 90 
Obs.: considerar o efeito de 2a ordem 
 
∴
r
1
10
e
2
e
2 ⋅= l e M2d = Nd⋅e2 
 
 
 
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Caso Geral de Dimensionamento para Seções Retangulares com Armaduras 
Simétricas 
Nas figuras apresentadas a seguir, têm-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplos: 
ck = 25 MPa 
 = 500 MPa 
 = 2 cm 
iso a piso = 2,8
ilares contraventados 
rédio com 10 pav. 
f
fyk
c
p 0 m 
p
P
1o pavimento 
 
Pilar P4 (35 x 50) Nd = 225⋅10⋅1,07 = 2408 kN 
 
9 Excentricidades Acidentais: 
m0,030,50,030,0150,03h0,015eax =⋅+=+= 
m0,0260,350,030,0150,03h0,015eay =⋅+=+= 
9 Excentricidades de 2a Ordem: 
ley ≤ 2,8 m ; 2,8 – 0,5 + 0,35 = 2,65 m 
226
350
652463
h
463
y
e
máx ,,
,,l, =⋅=⋅=λ ; Ma = Mb = 0 
∴αb = 1∴λ1 = 35 ∴λmáx < λ1 (podem ser desprezadas) 
asta verificar, portanto as ações de pé e de topo. B
351
41
20000500350
412408
fA
N
cdc
d
d ,
,
,,
, =
⋅⋅
⋅=⋅=υ 
caso a) µdx = υd⋅eax/h = 1,35⋅0,03/0,5 
µdx = 0,08 (despreza) 
caso b) µdy = υd⋅eay/h = 1,35⋅0,026/0,35 
µdy = 0,1 → ρ = 2,9% (ábaco) 
As = 0,029⋅(50⋅35) = 50,75 cm2 
 
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1φ 
2cm
 
 
 Armadura longit. = 16 φ 20mm → Asef = 50,4 cm2
 
Pilar P3 (25 x 55) Nd = 137
Mx = 20,6 kN⋅m ∴
⋅10⋅1,07 = 1466 kN 
01410
1466
620 ,, = m ex =
9 Excentricidades Acidentais: 
 
m0,0230,250,0350,010,03h0,015eax =+= =⋅+ 
Max = 33,7 kN⋅m 
0,03h0,015eay m0,0320,550,030,015 =⋅+=+=
May = 46,9 kN⋅m 
9 Excentricidades de 2
 
a Ordem: (M = M = 2a b 0,6 kN⋅m) 
ley ≤ 2,8 m ; 2,8 – 0,5 + 025 = 2,55 m 
335552 ,, = 
250,
463
h
463
y
e
máx ,
l, ⋅=⋅=λ
 
 
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Ma = 20,6 kN
Como M
Mc = 1⋅
Mc ≥ Max
ei
⋅m (menor que Max = 33,7 kN⋅m) 
a < Max → αb = 1 
20,6 = 20,6 kN⋅m 
 = 33,7 kN⋅m , portanto, Mc = 33,7 kN⋅m 
/h = 0,023/0,25 = 0,092 
351526
1
092051225he512
b
1 ≥=⋅+=α
+ ,,,/, 
podem ser desprezado pois λmáx ≅ λ1 = 35 
basta verificar, portanto as ações de topo e pé. 
25
1 =λ
 
041411466 ,
,
,⋅υ 
⋅
µdx = 0,1 → ρ = 1,7% (ábaco) 
 
caso b) 
0,0141/0,25 
µdy = 0,06 (despreza) 
 
A = 0,017 (55 25) = 23,38 cm
 
41
20000550250fA cdc
d
d
,,
=
⋅⋅
=⋅=
N
caso a) 
µdx = υd⋅eax/h = 1,04 0,023/0,25 µdy = υd⋅eay/h = 1,04⋅
s ⋅ ⋅ 2
Armadura longit. = 12 φ 16mm 
→ Asef = 24 cm2
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	Dimensionamento de Pilares