Concreto armado III

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Sobre o autor 
Nome do professor 
 
Arthur Almeida Tavares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O autor do caderno de estudos é o Engenheiro Civil Arthur Almeida Tavares, 
natural de Itaperuna/RJ, Bacharel em Engenharia Civil pela UniRedentor (2015), 
Especialista em Docência do Ensino Superior pela FAVENI (2018), Especialização 
em andamento em Estruturas de Concreto e Fundações (UNIP). Atua como 
Engenheiro Civil projetista, especificamente em projetos de estruturas de concreto 
armado em um escritório especializado em projetos e responsável técnico de obras 
privadas, é professor de curso de aperfeiçoamento em softwares de cálculo 
estrutural e softwares em estrutura BIM, atua como orientador externo da 
UniRedentor em Trabalhos de Conclusão de Curso (TCC), na área de cálculo 
estrutural. 
 
 
 
 
 
 
Apresentação 
 
 
 
 
 
Olá querido aluno (a), seja muito bem-vindo (a)! 
 
Continuando os estudos do concreto armado. Tendo em vista que já foi 
estudado o concreto armado I e II, onde nós vimos as generalidades desse material, 
vimos o comportamento do mesmo nas estruturas, dimensionamos elementos a 
flexão simples, cisalhamento de vigas, Torção, Escadas, Rampas, Aderência e 
Ancoragem dos elementos de concreto, os Estados Limites de Serviço, 
Reservatórios e começamos os estudos dos pilares. Continuaremos a aprofundar 
nossos conhecimentos sobre esse incrível material que é o Concreto Armado! 
Neste caderno especificamente, iremos dar continuidade aos estudos dos 
pilares, agora fazendo o dimensionamento propriamente dito, incluindo os 4 métodos 
de dimensionamento e suas peculiaridades, vamos ver ainda sobre a estabilidade do 
edifício, o dimensionamento de pilares e vigas paredes, o efeito da fadiga, e o 
dimensionamento das lajes planas (cogumelos) e das lajes nervuradas. 
Este caderno foi desenvolvido em concordância com todas as normas 
vigentes e atualizadas dos órgãos competentes, e as melhores bibliografias 
disponíveis. 
 
. 
. 
. 
 
Bons estudos! 
 
 
 
Objetivos 
 
 
 
 
A disciplina de Concreto Armado III, tem por finalidade a continuação dos 
estudos de um dos materiais mais difundidos nos canteiros de obras de todo o 
mundo, o estudo dos pilares, os pilares e as vigas paredes, os conceitos de 
estabilidade global, lajes nervuradas, lajes lisas (cogumelo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este caderno de estudos tem como objetivos: 
 
➢ Considerações sobre a estabilidade global dos pilares 
(Edificações); 
➢ Dimensionamento dos pilares; 
➢ Dimensionamento de pilares e vigas parede; 
➢ Dimensionamento de lajes nervuradas; 
➢ Dimensionamento de lajes cogumelo. 
 
 
 
Sumário 
 
 
AULA 01 - PILARES - PARTE I 
1 PILARES – PARTE I ......................................................................................... 13 
1.1 Introdução ................................................................................................... 13 
1.2 Métodos de cálculo ................................................................................... 13 
1.2.1 Método geral .............................................................................................. 13 
1.2.2 Pilar padrão ................................................................................................. 15 
1.2.3 Método da curvatura aproximada .......................................................... 17 
1.2.4 Método da rigidez K aproximada ............................................................. 17 
1.3 Cálculo simplificado .................................................................................. 18 
1.3.1 Flexão composta normal ........................................................................... 18 
1.3.2 Flexão composta oblíqua .......................................................................... 20 
 
AULA 02 - PILARES - PARTE II 
2 PILARES – PARTE II ........................................................................................ 41 
2.1 Introdução ................................................................................................... 41 
2.2 Disposições construtivas ............................................................................ 41 
2.2.1 Cobrimento das armaduras ...................................................................... 41 
2.2.2 Armaduras longitudinais ............................................................................ 42 
2.2.3 Limites da taxa de armadura longitudinal ............................................... 42 
2.2.4 Número mínimo de barras ......................................................................... 43 
2.2.5 Espaçamento das barras longitudinais .................................................... 43 
2.2.6 Armaduras transversais .............................................................................. 44 
2.2.7 Espaçamento máximo dos estribos .......................................................... 46 
2.2.8 Estribos suplementares ............................................................................... 46 
 
AULA 03 - CONSIDERAÇÕES SOBRE O CÁLCULO DOS PILARES - PARTE I 
3 CONSIERAÇÕES SOBRE O CÁLCULO DOS PILARES – PARTE 1 ................... 54 
3.1 Introdução ................................................................................................... 54 
3.2 Estruturas indeslocáveis ou de nós fixos ................................................... 55 
3.3 Processos simplificados para a consideração dos efeitos de segunda 
ordem .......................................................................................................... 62 
3.4 Consideração da fluência do concreto ................................................... 68
 
 
 
AULA 04 - CONSIDERAÇÕES SOBRE O CÁLCULO DOS PILARES - PARTE II 
4 CONSIERAÇÕES SOBRE O CÁLCULO DOS PILARES – PARTE 2 ................... 79 
4.1 Introdução ................................................................................................... 79 
4.2 Efeito de segunda ordem nos pilares-parede ......................................... 79 
4.3 Flambagem local das lâminas dos pilares-parede ................................ 80 
4.4 Dimensionamento de pilares-parede incluindo os efeitos da 
flambagem local ........................................................................................ 92 
4.5 Imperfeições geométricas localizadas em pilares-parede ................... 97 
 
AULA 05 - CÁLCULO DOS PILARES CONTRAVENTADOS - PARTE I 
5 CÁLCULO DOS PILARES CONTRAVENTADOS – PARTE I ............................ 110 
5.1 Introdução ................................................................................................. 110 
5.2 Situações de projeto dos pilares ............................................................. 110 
5.3 Situações de cálculo dos pilares ............................................................ 113 
5.3.1 Pilares intermediários ................................................................................ 113 
5.3.2 Pilares de extremidade ............................................................................ 116 
5.3.3 Pilares de canto ........................................................................................ 119 
 
AULA 06 - CÁLCULO DOS PILARES CONTRAVENTADOS - PARTE II 
6 CÁLCULO DOS PILARES CONTRAVENTADOS – PARTE II ........................... 132 
6.1 Introdução ................................................................................................. 132 
6.2 Exemplos de dimensionamentos ............................................................ 132 
6.3 Simplificações para os pilares contraventados dos edifícios .............. 132 
 
AULA 07 - ANÁLISE DAS ESTRUTURAS DE CONTRAVENTAMENTO 
7 ANÁLISE DAS ESTRUTURAS DE CONTRAVENTAMENTO ............................. 161 
7.1 Introdução ................................................................................................. 1617.2 Processo simplificado para repartição das forças horizontais ............. 162 
7.2.1 Sistemas isostáticos ................................................................................... 164 
7.2.2 Sistemas hiperestáticos ............................................................................ 165 
7.3 Imperfeição geométricas globais dos edifícios .................................... 169 
 
 
 
 
 
AULA 08 - REVISÃO AV2 
8 EXERCÍCIOS DE REVISÃO PARA AV1 ........................................................ 182 
 
AULA 09 - VIGAS-PAREDE E CONSOLOS 
9 VIGAS-PAREDE E CONSOLOS ................................................................... 189 
9.1 Introdução ................................................................................................. 189 
9.2 Tensões em vigas-parede ....................................................................... 190 
9.3 Critérios de dimensionamento das vigas-parede de concreto armado .. 
.................................................................................................................... 192 
9.3.1 Cálculo da armadura do banzo tracionado ........................................ 193 
9.3.2 Armadura de suspensão .......................................................................... 195 
9.3.3 Verificação das tensões de compressão nos apoios ........................... 196 
9.4 Consolos curtos ......................................................................................... 200 
 
AULA 10 - LAJES NERVURADAS 
10 LAJES NERVURADAS .................................................................................. 222 
10.1 Introdução ................................................................................................. 222 
10.2 Prescrições da NBR6118: 2014 ................................................................. 224 
10.3 Cálculo dos esforços em lajes nervuradas ............................................ 225 
 
AULA 11 - LAJES COGUMELO 
11 LAJES COGUMELO ..................................................................................... 246 
11.1 Introdução ................................................................................................. 246 
11.2 Cálculo dos esforços pelo método dos pórticos virtuais ...................... 248 
11.3 Lajes lisas com vigas de borda ............................................................... 256 
 
AULA 12 - PUNÇÃO 
12 PUNÇÃO .................................................................................................... 274 
12.1 Introdução ................................................................................................. 274 
12.2 Procedimento de cálculo ........................................................................ 274 
12.3 Armadura de flexão superior .................................................................. 284 
 
AULA 13 - FUNDAÇÕES - PARTE I 
13 FUNDAÇÕES – PARTE I ............................................................................... 295 
13.1 Introdução ................................................................................................. 295 
 
 
13.2 Tipos de estruturas de fundação ............................................................. 296 
13.3 Distribuição das pressões de contato ..................................................... 300 
13.4 Sapatas rígidas sob paredes ................................................................... 305 
 
AULA 14 - FUNDAÇÕES - PARTE II 
14 FUNDAÇÕES – PARTE II .............................................................................. 325 
14.1 Sapatas rígidas isoladas .......................................................................... 325 
14.2 Sapatas contínuas sob pilares ................................................................. 330 
14.3 Vigas de equilíbrio .................................................................................... 333 
 
AULA 15 - FUNDAÇÕES - PARTE III 
15 FUNDAÇÕES – PARTE III ............................................................................. 347 
15.1 Blocos rígidos sob estacas ....................................................................... 347 
15.2 Blocos de concreto massa ...................................................................... 362 
15.3 Sapatas e blocos flexíveis........................................................................ 367 
15.4 Vigas e placas sobre base elástica ........................................................ 371 
 
AULA 16 - REVISÃO AV2 
16 EXERCÍCIOS DE REVISÃO PARA AV2 ........................................................ 379 
 
 
 
 
 
Iconografia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pilares – Parte I 
Aula 1 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Nesta aula daremos continuidade aos estudos dos pilares, tendo em vista que 
uma pequena parcela de pilares já foi estudada no concreto armado II, iremos partir 
da aula de número 14 do concreto armado II. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
➢ Entender os diferentes tipos de modelos de cálculos de pilares e 
saber a correta utilização de cada um deles. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 13 
 
 
Olá Aluno! Vamos estudar um pouco mais sobre os pilares? 
Nesta daremos continuidade aos estudos que foram iniciados no 
concreto armado II. 
Vamos lá? 
1 PILARES – PARTE I 
1.1 Introdução 
Na aula de número 14 do concreto armado II, demos início aos estudos dos 
pilares, lá foi visto toda a parte de cargas nos pilares, as características geométricas 
nos pilares, as dimensões mínimas, o comprimento equivalente, Raio de giração, 
índice de esbeltez, as classificações dos pilares quando sua posição na edificação, 
classificação quanto a esbeltez, a excentricidade inicial dos pilares, a excentricidade 
acidental (locais e globais), excentricidade de forma, excentricidade suplementar, 
esbeltez limite e a excentricidade de segunda ordem. A partir de agora 
continuaremos os estudos, mais focados nos dimensionamentos. 
1.2 Métodos de cálculo 
Apresentam-se conceitos do método geral de dimensionamento, do pilar 
padrão e dos métodos simplificados, indicados pela NBR 6118 (2014). 
1.2.1 Método geral 
O método geral consiste em estudar o comportamento da barra à medida que 
se dá o aumento do carregamento ou de sua excentricidade. É aplicável a qualquer 
tipo de pilar, inclusive nos casos em que as dimensões da peça, a armadura ou a 
força aplicada são variáveis ao longo do seu comprimento. A utilização desse 
método se justifica pela qualidade dos seus resultados, que retratam com maior 
precisão o comportamento real da estrutura, pois considera a não-linearidade 
geométrica, de maneira bastante precisa. Considere-se o pilar da Figura 1 
engastado na base e livre no topo, sujeito à força excêntrica de compressão Nd. 
 
 
P á g i n a | 14 
 
 
Figura 1: Pilar sujeito à compressão excêntrica. 
 
Fonte: PINHEIRO (2007) 
Sob a ação do carregamento, o pilar apresenta uma deformação que, por sua 
vez, gera nas seções um momento incremental Nd. y, provocando novas 
deformações e novos momentos (Figura 2). Se as ações externas (Nd e Md) forem 
menores que a capacidade resistente da barra, essa interação continua até que seja 
atingido um estado de equilíbrio para todas as seções da barra. Tem-se, portanto, 
uma forma fletida estável (Figura 2.a). Caso contrário, se as ações externas forem 
maiores que a capacidade resistente da barra, o pilar perde estabilidade (Figura 2.b). 
A verificação que se deve fazer é quanto à existência da forma fletida estável. 
Figura 2: Configurações fletidas. 
 
Fonte: PINHEIRO (2007) 
P á g i n a | 15 
 
 
A estabilidade será atingida quando o pilar parar numa forma deformada 
estável, como mostra a Figura 3, de flecha a, com equilíbrio alcançado entre 
esforços internos e externos, respeitada a compatibilidade entre curvaturas,deformações e posições da linha neutra, assim como as equações constitutivas dos 
materiais e sem haver, na seção crítica, deformação convencional de ruptura do 
concreto ou deformação plástica excessiva do aço. 
Figura 3: Deformada estável. 
 
Fonte: PINHEIRO (2007) 
1.2.2 Pilar padrão 
Como o método geral é extremamente trabalhoso, tendo em vista o número 
muito grande de operações matemáticas, torna-se inviável a utilização desse método 
sem o auxílio do computador. 
A NBR 6118 (2014) permite a utilização de alguns métodos simplificados, 
como o do pilar padrão e o do pilar padrão melhorado, cujas aproximações são 
relativas às não-linearidades física e geométrica. Por definição, pilar padrão é um 
pilar em balanço com uma distribuição de curvaturas que provoque na sua 
extremidade livre uma flecha a dada por: 
 
P á g i n a | 16 
 
 
𝑎 = 0,4. (
𝑙²
𝑟
)
𝑏𝑎𝑠𝑒
= 
𝑙²𝑒
10
 . (
1
𝑟
)
𝑏𝑎𝑠𝑒
 
 
A elástica do pilar, indicada na Figura 4, é admitida senoidal, dada pela 
equação abaixo: 
Figura 4: Elástica do pilar padrão 
 
Fonte: PINHEIRO (2007) 
𝑦 = −𝑎. 𝑠𝑒𝑛. (
𝜋
𝑙
 . 𝑥) 
Nessas condições, tem-se: 
 
𝑦′ = −𝑎.
𝜋
𝑙
 . 𝑐𝑜𝑠. (
𝜋
𝑙
 . 𝑥) 𝑦" = 𝑎. (
𝜋
𝑙
)
2
. 𝑠𝑒𝑛. (
𝜋
𝑙
. 𝑥) 
 
Como: 
1
𝑟
 ≅ 
𝑑²𝑦
𝑑𝑥²
 
 
Para a seção média, tem-se: (
1
𝑟
)
𝑥=𝑙/2
= (𝑦")𝑥=𝑙/2 = 𝑎. (
𝜋
𝑙
)
2
 
 
Assim, a flecha máxima pode ser: 𝑎 = 
𝑙2
𝜋2
 . (
1
𝑟
)
𝑥=𝑙/2
 
 
Para o caso do pilar em balanço, tem-se: 𝑎 = 
𝑙²𝑒
10
 . (
1
𝑟
)
𝑏𝑎𝑠𝑒
, em que 𝜋2 ≅ 10. 
 
P á g i n a | 17 
 
 
Obtendo-se a flecha máxima, pode-se obter também o momento total, já que 
o momento de 2º ordem pode ser obtido facilmente pela equação a seguir. 
 
𝑀2,𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑁. 𝑎 
 
𝑀2,𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑁.
𝑙²𝑒
10
 . (
1
𝑟
)
𝑏𝑎𝑠𝑒
 
1.2.3 Método da curvatura aproximada 
O método do pilar padrão com curvatura aproximada é permitido para pilares 
de seção constante e de armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo e λ ≤ 
90. A não-linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo-se 
que a configuração deformada da barra seja senoidal. A não-linearidade física é 
levada em conta através de uma expressão aproximada da curvatura na seção 
crítica. 
A excentricidade de 2a ordem e2 é dada por: 𝑒2 = 
𝑙²𝑒
10
 .
1
𝑟
 
 
1/r é a curvatura na seção crítica, que pode ser avaliada pela expressão: 
1
𝑟
= 
0,005
ℎ(𝑣 + 0,5)
 ≤ 
0,005
ℎ
 
 
H é a altura da seção na direção considerada; 
V = Nsd/(Ac.Fcd) é a força normal adimensional. 
 
Assim, o momento total máximo no pilar é dado por: 𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡 = (∝𝑏 . 𝑀1𝑑,𝑎 +
 𝑁𝑑 .
𝑙²𝑒
10
 .
1
𝑟
) ≥ 𝑀1𝑑,𝐴 
1.2.4 Método da rigidez K aproximada 
O método do pilar padrão com rigidez κ aproximada é permitido para λ ≤ 90 
nos pilares de seção retangular constante, armadura simétrica e constante ao longo 
do comprimento. A não-linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, 
P á g i n a | 18 
 
 
supondo-se que a deformada da barra seja senoidal. A não-linearidade física é 
levada em conta através de uma expressão aproximada da rigidez. 
O momento total máximo no pilar é dado por: 
𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡 = 
𝛼𝑏 .𝑀1𝑑,𝐴
1 − 
𝜆²
120. 𝜅/𝜗
 ≥ 𝑀1𝑑,𝐴 
 
Onde, 𝜅 é o valor da rigidez adimensional, dado aproximadamente por: 
 
𝜅 = 32. (1 + 5.
𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡
ℎ.𝑁𝑑
) . 𝜈 
 
Observa-se que o valor da rigidez adimensional κ é necessário para o cálculo 
de Md,tot, e para o cálculo de κ utiliza-se o valor de Md,tot. Assim, a solução pode 
ser obtida por tentativas. Usualmente, poucas iterações são suficientes. 
1.3 Cálculo simplificado 
A NBR6118: 2014, no item 17.2.5, apresenta processos aproximados para o 
dimensionamento à flexão composta normal e à flexão composta oblíqua. 
1.3.1 Flexão composta normal 
O cálculo para o dimensionamento de seções retangulares ou circulares com 
armadura simétrica, sujeitas a flexo-compressão normal, em que a força normal 
reduzida (ν) seja maior ou igual a 0,7, pode ser realizado como um caso de 
compressão centrada equivalente, em que: 
𝑁𝑠𝑑,𝑒𝑞 = 𝑁𝑠𝑑 . (1 + 𝛽.
𝑒
ℎ
) e 𝑀𝑠𝑑,𝑒𝑞 = 0 
 
𝜈 = 
𝑁𝑠𝑑
𝐴𝑐.𝐹𝑐𝑑
 
𝑒
ℎ
= 
𝑀𝑠𝑑
𝑁𝑠𝑑.ℎ
 
 
𝛽 = 
1
(0,39 + 0,01. 𝛼) − 0,8
𝑑′
ℎ
 
 
P á g i n a | 19 
 
 
Sendo o valor de 𝛼 dado por: 
𝛼 = − 
1
𝛼𝑠
, 𝑠𝑒 𝛼𝑠 < 1 𝑒𝑚 𝑠𝑒çõ𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 
𝛼 = 𝛼𝑠, 𝑠𝑒 𝛼𝑠 > 1 𝑒𝑚 𝑠𝑒çõ𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 
𝛼 = 6, 𝑠𝑒 𝛼𝑠 < 6 𝑒𝑚 𝑠𝑒çõ𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 
𝛼 = −4, 𝑒𝑚 𝑠𝑒çõ𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 
 
Supondo que todas as barras sejam iguais, 𝛼𝑠 é dado por: 𝛼𝑠 = 
(𝑛ℎ−1)
(𝑛𝑣−1)
 
 
O arranjo de armadura adotado para o detalhamento (figura 5) deve ser fiel 
aos valores de 𝛼𝑠 e 
𝑑′
ℎ⁄ pressupostos. 
Figura 5: Arranjo de armadura caracterizado pelo parâmetro 𝜶𝒔 
 
Fonte: PINHEIRO (2007) 
P á g i n a | 20 
 
 
1.3.2 Flexão composta oblíqua 
Nas situações de flexão simples ou composta oblíqua, pode ser adotada a 
aproximação dada pela expressão de interação: 
 
[
𝑀𝑟𝑑,𝑥
𝑀𝑟𝑑,𝑥𝑥
]
𝛼
+ [
𝑀𝑟𝑑,𝑦
𝑀𝑟𝑑,𝑦𝑦
]
𝛼
= 1 
 
MRd, x; MRd, y são as componentes do momento resistente de cálculo em 
flexão oblíqua composta, segundo os dois eixos principais de inércia x e y, da seção 
bruta, com um esforço normal resistente de cálculo NRd igual à normal solicitante 
NSd. Esses são os valores que se deseja obter; 
MRd, xx; MRd, yy são os momentos resistentes de cálculo segundo cada um 
dos referidos eixos em flexão composta normal, com o mesmo valor de NRd. Esses 
valores são calculados a partir do arranjo e da quantidade de armadura em estudo; 
α é um expoente cujo valor depende de vários fatores, entre eles o valor da 
força normal, a forma da seção, o arranjo da armadura e de suas porcentagens. Em 
geral pode ser adotado α = 1, a favor da segurança. No caso de seções 
retangulares, pode-se adotar α = 1,2. 
 
Exercício Resolvido – Dimensionamento de pilar pelo 
método da curvatura aproximada e pelo método da rigidez 
K aproximada. 
Será feito o dimensionamento do pilar P5 (figura 6 e 7), 
utilizando-se o método da curvatura aproximada e pelo método da rigidez K 
aproximada, segundo a norma NBR6118: 2014. 
Dados: 
• aço CA-50 
• 𝑓𝑐𝑘 = 25 Mpa; 
• 𝐶𝑛𝑜𝑚 = 25 mm e d’=4 cm; 
• 𝑁𝑘 = 650 𝑘𝑛; 
• Comprimento do pilar: 290 cm (Figura 2); 
• Seção transversal: 15x45 cm; 
P á g i n a | 21 
 
 
• Carga total na viga Pk = 24 kn/m. 
Figura 6: Planta de Forma. 
 
Fonte: PINHEIRO (2007) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 22 
 
 
Figura 7: Corte. 
 
Fonte: PINHEIRO (2007) 
Resolução: Como a menor dimensão do pilar é inferior a 19 cm, no 
dimensionamento deve-se multiplicar as ações por um coeficiente adicional γn, 
indicado na Tabela abaixo da apostila de concreto armado II, na qual b é a menor 
dimensão da seção transversal do pilar. Dessa forma, tem-se: 
 
𝛾𝑛 = 1,20. (𝑏 = 15𝑐𝑚) → 𝑁𝑑 = 𝛾𝑓 . 𝛾𝑛 . 𝑁𝑘 = 1,4.1,2.650 = 1092 𝑘𝑛 
 
𝜈 = 
𝑁𝑑
𝑏. ℎ. 𝑓𝑐𝑑
= 
1092
15.45.
2,5
1,4
= 0,91 
 
1. Comprimento equivalente, raio de giração e índice de esbeltez 
Vamos calcular agora o comprimento equivalente do pilar que deve ser o 
menor entre os seguintes valores: 
 
𝑙𝑒 ≤ {
𝑙0 + ℎ = 250 + 15 = 265𝑐𝑚
𝑙 = 290𝑐𝑚
 
 
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O valor de Le é o comprimento do pilar entre as vigas, h é a altura do pilar no 
plano do corte, analisando o plano nós estamos verificando que o pilar está com sua 
menor direção voltada para o cálculo (b). 
 
Vamos calcular agora o raio de giração e o índice de esbeltez, só substituir os 
valores na formulação. 
 
𝑖 = 
ℎ
√12
= 
15
√12
= 4,33 𝑐𝑚 
 
𝜆 = 
𝑙𝑒
𝑖
= 
265
4,33
= 61,2 
 
Podemos observar que o valor encontrado para o índice de esbeltez 
encontrado,é de um pilar abaixo dos 90, portanto um pilar robusto. 
2. Excentricidade inicial 
Para o cálculo da excentricidade inicial, devem ser definidas algumas 
grandezas. 
 
A. Vão efetivo da viga 
O vão efetivo da viga V6 é calculado conforme a figura abaixo. 
Figura 8: Vão efetivo da viga. 
 
Fonte: PINHEIRO (2007) 
P á g i n a | 24 
 
 
𝐿𝑒𝑓 = 𝑙0 + 𝑎1 + 𝑎2 
 
𝑎1 ≤ {
1
2⁄ . 𝑡1 = 
15
2⁄ = 7,5 𝑐𝑚
1
2⁄ . ℎ = 
40
2⁄ = 20 𝑐𝑚
→ 𝑎1 = 7,5 𝑐𝑚 
 
𝑎2 ≤ {
1
2⁄ . 𝑡2 = 
45
2⁄ = 22,5 𝑐𝑚
1
2⁄ . ℎ = 
40
2⁄ = 20 𝑐𝑚
→ 𝑎2 = 20 𝑐𝑚 
 
 
𝐿𝑒𝑓 = 𝑙0 + 𝑎1 + 𝑎2 = 462,5 + 7,5 + 20 = 490 𝑐𝑚 
 
Observe que o valor de 462,5 cm vem da seguinte forma: a planta de forma 
nos apresenta um valor de 492,5 cm porém essa medida é dos eixos d nossa viga, 
precisamos encontrar o valor entre os pilares, não é difícil de se conhecer tal valor, 
vamos lá: primeiro vamos pegar o valor de 492,5 cm e diminuir a metade da viga que 
passa pelo P5, ou seja, 492,5 cm – 7,5 cm = obtemos um valor de 485 cm, agora 
com esse valor nós diminuímos metade do pilar P8, tendo em vista que a viga V3 
passa pelo centro dele, 485 cm - 22,5 cm = 462,5 cm com isso temos o valor entre 
os pilares, agora fica fácil de se obter o valor do vão efetivo da nossa viga. 
 
B. Momento na ligação viga-pilar 
Para o cálculo dos momentos na ligação viga-pilar, será considerado o 
esquema apresentado na figura abaixo. Portanto, para o caso em estudo, temos: 
(figura 9). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 25 
 
 
Figura 9: Esquema estático para cálculo do momento de ligação viga-pilar. 
 
Fonte: PINHEIRO (2007) 
Figura 10: Esquema estático para o pilar em estudo. 
 
Fonte: PINHEIRO (2007) 
𝑟𝑠𝑢𝑝 = 𝑟𝑖𝑛𝑓 = 
𝐼
𝑙𝑒
= 
45.15³
12
265
2
= 
12656,25
132,5
= 95,5𝑐𝑚³ 
 
P á g i n a | 26 
 
 
𝑟𝑣𝑖𝑔𝑎 = 
𝐼𝑣𝑖𝑔𝑎
𝑙𝑒𝑓
= 
15.40³
12
490
=
80000
490
= 163,3 
 
𝑀𝑒𝑛𝑔 = 
𝑃. 𝑙²
12
= 
24.4,90²
12
= 48,02 𝑘𝑛.𝑚 
𝑀𝑠𝑢𝑝 = 𝑀𝑒𝑛𝑔 .
3 . 𝑟𝑠𝑢𝑝
3 . 𝑟𝑠𝑢𝑝 + 4 . 𝑟𝑣𝑖𝑔 + 3 . 𝑟𝑖𝑛𝑓
= 48,02 .
3. 95,5
3 . 95,5 + 4 . 163,3 + 3 . 95,5
= 11,22 𝑘𝑛.𝑚 
𝑀𝑖𝑛𝑓 = 𝑀𝑒𝑛𝑔 .
3 . 𝑟𝑖𝑛𝑓
3 . 𝑟𝑖𝑛𝑓 + 4 . 𝑟𝑣𝑖𝑔 + 3 . 𝑟𝑠𝑢𝑝
= 48,02 .
3. 95,5
3 . 95,5 + 4 . 163,3 + 3 . 95,5
= 11,22 𝑘𝑛.𝑚 
𝑀𝑣𝑖𝑔𝑎 = 𝑀𝑠𝑢𝑝 + 𝑀𝑖𝑛𝑓 = 11,2 + 11,2 = 22,44 𝑘𝑛.𝑚 
 
O momento total no topo e base do pilar em estudo resulta em: 
𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑝𝑜 = − 𝑀𝑑,𝑏𝑎𝑠𝑒 = 1,4 . 1,2 . 11,22 = 18,85 𝑘𝑛.𝑚 = 1885 𝑘𝑛. 𝑐𝑚 
 
C. Excentricidade inicial no topo e na base do pilar 
Vamos calcular agora a excentricidade inicial do pilar, tanto no topo, quanto 
na base, tendo em vista que o pilar tem a mesma seção em todo o lance. 
 
𝑒𝑖 = 
𝑀𝑑
𝑁𝑑
= 
1885
1092
= 1,73𝑐𝑚 
 
D. Momento mínimo 
Vamos calcular agora o momento mínimo nesse pilar. 
 
𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 𝑁𝑑 . (0,015 + 0,03 . ℎ) = 1,4 . 1,2 . 650 . (0,015 + 0,03 . 0,15) = 21,29 𝑘𝑛.𝑚 
 
E. Verificação de dispensa dos efeitos de 2ª ordem 
Vamos verificar se é possível dispensar a verificação do pilar para efeitos de 
2ª ordem. Para pilares bi apoiados sem cargas transversais e sendo os momentos 
de 1ª ordem nos extremos do pilar 𝑀𝑎 = − 𝑀𝑏 = 18,85 𝑘𝑛.𝑚 < 𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛 =
21,29 𝑘𝑛.𝑚, tem-se segundo o item 15.8.2 da NBR 618:2014. 
𝛼𝑏 = 1,00 
P á g i n a | 27 
 
 
 
Considerando 𝑒1 = 0, resultamos: 
𝜆1 = 
25 + 12,5 .
𝑒′
ℎ⁄
𝛼𝑏
= 
25
1
= 25 
35 ≤ 𝜆1 ≤ 90 → 𝜆1 = 35 
 
Como 𝜆 = 61,2 > 𝜆1 = 35 → Devem ser considerados os efeitos de 2ª 
ordem. 
Como não podemos desconsiderar os cálculos dos efeitos da 2ª ordem, 
teremos que partir para os métodos da curvatura aproximada ou da rigidez K 
aproximada. Iremos realizar os dois cálculos e fazer um breve comparativo. 
 
F. Método da curvatura aproximada 
𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 𝑁𝑑 . (0,015 + 0,03 . ℎ) = 1,4 . 1,2 . 650 . (0,015 + 0,03 . 0,15) = 21,29 𝑘𝑛.𝑚 
(𝑀1𝑑,𝐴 = 18,85 𝑘𝑛.𝑚) < (𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 21,29 𝑘𝑛.𝑚), 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑀1𝑑,𝐴 = 21,29 𝑘𝑛.𝑚 
1
𝑟
= 
0,005
ℎ(𝜈 + 0,5)
 ≤
0,005
ℎ
 
1
𝑟
= 
0,005
0,15(0,91 + 0,5)
= 0,0236 
0,005
ℎ
= 
0,005
0,15
= 0,033 
0,0236 < 0,033, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 
1
𝑟
= 0,0236 
𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡 = 𝛼𝑏 .𝑀1𝑑,𝐴 + 𝑁𝑑 .
𝑙²𝑒
10
 .
1
𝑟
= 1,0 . 21,29 + 1,4 . 1,2 . 650 .
2,65²
10
 . 0,0236
= 39,39 𝑘𝑛.𝑚 
𝑒𝑡𝑜𝑡 = 
𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡
𝑁𝑑
= 
39,39
1,4 . 1,2 . 650
= 3,61𝑐𝑚 
𝜇 = 
𝜈 . 𝑒𝑡𝑜𝑡
ℎ
= 
0,91 . 3,61
15
= 0,22 
𝑑′
ℎ
=
4
15
= 0,27 ≅ 0,25 
 
 Vamos utilizar o ábaco A-5 de Venturini (1987), para achar o valor de 𝜛, com 
os dados já calculados anteriormente. Para usar a tabela de Venturini é muito 
P á g i n a | 28 
 
 
simples, basta você utilizar o valor de 
𝑑′
ℎ
 para encontrar qual tabela vai utilizar, como 
no nosso caso o valor foi de 0,25 iremos utilizar a tabela A-5, depois precisamos dos 
valores de 𝜇 = 0,22 e o valor de 𝜈 = 0,91 ≅ 0,90, com isso vamos encontrar qual a 
curva 𝜔 que iremos utilizar, no nosso caso encontramos o valor de 𝜔 = 0,90, com 
isso é só substituir na formula da área de aço, segue: 
𝐴𝑠 = 
𝐴𝑐 . 𝑓𝑐𝑑
𝑓𝑦𝑑
 . 𝜛 = 
15.45.
2,5
1,4
50
1,15
. 0,9 = 27,72 . 0,9 = 24,95 𝑐𝑚² 
 
Vamos verificar agora, se com essa área de aço encontrada nosso pilar 
obedece a taxa de armadura imposta pela norma. 
Taxa de armadura: 𝜌 = 
𝐴𝑠
𝐴𝑐
= 
24,95
15.45
= 3,70% < 8% → ok! 
 
Vamos detalhar nosso pilar agora, com 24,95 cm² podemos adotar a bitola de 
16 mm, cujo cada barra tem um valor de área de aço de: 2 cm². Com isso 12 barras 
dariam 24 cm², ficando um pouco fora do calculado, então, vamos adotar, 14 barras 
de 16 mm, com um total de 28 cm². Outra alternativa é subir a bitola, podemos 
adotar a barra de 20 mm cuja área é de 3,15 cm², utilizaremos então: 𝑁𝑏 = 
24,95
3,15
=
7,92 ≈ 8 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠. 8 barras de 20 mm nos proporcionam uma área de 25,2 cm², 
gastando menos aço que as 14 barras de 16 mm. Fica a critério do projetista. No 
nosso exercício utilizaremos as 8 barras de 20 mm. 
 
G. Estribos 
Vamos dimensionar agora os estribos para o nosso pilar. 
 
1. Diâmetro 
∅𝑡 ≥ {
∅𝑙
4⁄ = 
20
4⁄ = 5 𝑚𝑚
5 𝑚𝑚
, portanto o diâmetro será de 5mm. 
2. Espaçamento 
∅𝑡 ≤ {
15 𝑐𝑚 (𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑜 𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟)
12 . ∅𝑙 = 12 . 2 = 24 𝑐𝑚
20 𝑐𝑚
, portanto iremos adotar 15cm 
3. Estribo suplementar 
20. ∅𝑡 = 10 𝑐𝑚 
P á g i n a | 29 
 
 
 
Vamos entender como funciona os estribos suplementares, o valor 
encontrado dá-se referência à distância a partir das faces dos pilares, descontado 
seu cobrimento, observe a imagem a baixo para o melhor entendimento. 
Figura 11: Detalhe Tipo. 
 
Fonte: o autor. 
Podemos observar que as medidas estão em milímetros para melhor 
entendimento. Vamos observar ainda, que os 10 cm de proteção dos estribos não 
conseguem atingir as barras centrais, portanto teremos que adotar estribos 
suplementares para as quatro barras centrais. Esse estribo suplementar tanto pode 
ser o gancho, como poderia ser dois estribos no lugar apenas de um, como foi feito 
na imagem acima, neste exemplo utilizaremos o gancho, e logo a seguir segue um 
exemplo com dois estribos. 
 
 
 
 
P á g i n a | 30 
 
 
Figura 12: Detalhe Tipo. 
 
Fonte: o autor. 
Exemplo com a utilização de dois estribos ao invés de utilizar os ganchos 
como estribos suplementares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 31 
 
 
Figura 13: Detalhe Tipo. 
 
 Fonte: o autor 
H. Método da rigidez K aproximada 
Vamos partir para o segundo método de dimensionamento deste mesmo pilar, 
no final faremos um pequeno comparativo entre os dois métodos. Para isso vamos 
relembrar as formulações do método da rigidez K aproximada. 
 
𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡 = 
𝛼𝑏 .𝑀1𝑑,𝐴
1 − 
𝜆²
120 . 𝜅 𝜈⁄
 ≥ 𝑀1𝑑,𝐴 
 
𝜅 = 32 . (1 + 5 .
𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡
ℎ . 𝑁𝑑
) . 𝜈 
 
P á g i n a | 32 
 
 
 Vamos observar que o valor da rigidez adimensional 𝜅 é necessário para o 
cálculo de 𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡 e parao cálculo de 𝜅 utiliza-se do valor de 𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡. Dessa forma, só 
se obtém o valor através de iterações (tentativas). 
• 1ª iteração 
Será adotado para a primeira iteração, o valor do momento total do método 
anterior. 
 
(𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡)1.0 = 39,39 𝑘𝑛.𝑚 → (
𝜅
𝜈⁄ )1.0 = 32 . (1 + 5 .
39,39
0,15 .1,2 .1,4 .650
) = 70,48 
(𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡)1.1 = 
1,0 . 21,29
1 − 
61,20²
120 . 70,48
= 38,21 𝑘𝑛.𝑚 
 
Para a segunda iteração, podemos adotar como estimativa razoável a média 
entre os dois valores anteriores: 
 
(𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡)2.0 = 
39,39 + 38,21
2
= 38,80 𝑘𝑛.𝑚 
 
• 2ª iteração 
(𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡)2.0 = 38,80 𝑘𝑛.𝑚 → (
𝜅
𝜈⁄ )2.0 = 32 . (1 + 5 .
38,80
0,15 .1,2 .1,4 .650
) = 69,90 
(𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡)2.1 = 
1,0 . 21,29
1 − 
61,20²
120 . 69,90
= 38,47 𝑘𝑛.𝑚 
 
Adotando a média dos dois últimos valores, temos: 
 
(𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡)3.0 = 
38,80 + 38,47
2
= 38,64 𝑘𝑛.𝑚 
 
Podemos parar por aqui, você pode continuar as iterações para convergir 
para melhores os resultados, porém podemos perceber que os valores encontrados 
estão bem próximos entre eles. 
 
𝑒𝑡𝑜𝑡 = 
𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡
𝑁𝑑
= 
38,64
1,4 . 1,2 . 650
= 0,0354 = 3,54 𝑐𝑚 
P á g i n a | 33 
 
 
 
𝜇 = 
𝜈 . 𝑒𝑡𝑜𝑡
ℎ
= 
0,91 . 3,54
15
= 0,21 
 
 Utilizando o ábaco A-5 de Venturini (1987), obtém-se: 
 
𝜔 = 0,88 → 𝐴𝑠 = 
𝐴𝑐 . 𝐹𝑐𝑑
𝐹𝑦𝑑
 . 𝜔 = 
15 . 45 .
2,5
1,4
50
1,15
 . 0,86 = 27,7 . 0,88 = 24,39 𝑐𝑚² 
 
Taxa de armadura: 𝑝 = 
24,39
15 𝑥 45
= 3,61 % (2 % menor que o anterior) 
 
 
 
 
 
 O dimensionamento também pode ser feito usando 
programas computacionais, como por exemplo os encontrados 
gratuitamente no site: 
 
www.cesec.ufpr.br/concretoarmado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo 
 
 
 
 
Nesta aula vimos: 
 
✓ Os métodos de cálculo dos pilares de concreto armado, segundo a 
norma vigente; 
✓ Os métodos de cálculo simplificados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Complementar 
 
 
 
 
 
Para enriquecer o conhecimento assista a alguns vídeos 
complementares sobre diversos temas, veja: 
 
Veja este vídeo de operários armando um pilar de concreto 
armado: 
https://www.youtube.com/watch?v=4cdpRrriAbU. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências 
 
Básica: 
ARAÚJO, J. M. Curso de concreto armado. 4. ed. Rio Grande/RS: Ed. DUNAS, 
2014. v.1. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118. Projeto de 
estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro: Abnt, 2014. 
 
CARVALHO, C. B. Concreto armado I: de acordo com a NBR6118/2014. Belo 
Horizonte: Unihorizontes, 2017. 
 
CARVALHO, C. B. Concreto armado II: de acordo com a NBR6118/2014. Belo 
Horizonte: Unihorizontes, 2017. 
 
CARVALHO, R. B.; FILHO, J. R. F. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais 
de concreto armado: segundo a NBR 6118:2014. 4. ed. São Carlos: Ed. EDUFScar, 2014. 
 
FUSCO, P. B. Estruturas de concreto. Rio de Janeiro: Ed. Guanabara Dois S. A., 
1981. 
 
FUSCO, P. B. Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo: Ed. PINI, 
1994. 
 
LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Construção de concreto – Princípios básicos do 
dimensionamento de estruturas de concreto armado. Vol. 1. Rio de Janeiro: Ed. 
Interciência, 1982. 
 
LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Construção de concreto – Princípios básicos 
sobre a armação de estruturas de concreto armado. Vol. 1. Rio de Janeiro: Ed. 
Interciência, 1978. 
 
PINHEIRO, L. M. Fundamentos do concreto e projetos de edifícios. Apostila. São 
Paulo: Escola de Engenharia de São Carlos, 2007. 
 
SÜSSEKIND, J. C. Curso de concreto Vol. 1. Porto Alegre: Ed. Globo, 1985. 
 
Complementar: 
MARTHA, L. F. Ftool – two-dimensional frame analysis tool. Versão educacional 
2.09. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro – PUC-Rio. Departamento de 
Engenharia Civil e Tecgraf/PUC-Rio – Grupo de tecnologia em Computação Gráfica. 
Disponível em: http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool. Acesso em: 10 jan. 2018. 
 
VENTURINI, W. S.; RODRIGUES, R. O. Dimensionamento de peças retangulares 
de concreto armado solicitadas à flexão reta. São Carlos, SP: EESC/USP, 1987. 
 
http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool
 
 
AULA 1 
Exercícios 
 
 
 
 
 
 
Dimensione o pilar P8 (figura 14 e 15), utilizando-se o 
método da curvatura aproximada, segundo a norma NBR 6118 
(2014). 
Dados: 
• aço CA-50 
• 𝑓𝑐𝑘 = 25 Mpa; 
• 𝐶𝑛𝑜𝑚 = 25 mm e d’=4 cm; 
• 𝑁𝑘 = 650 𝑘𝑛; 
• Comprimento do pilar: 290 cm; 
• Seção transversal: 15x45 cm; 
• Carga total na viga Pk = 24 kn/m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 38 
 
 
Figura 14: Exercício. 
 
Fonte: PINHEIRO (2007) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 39 
 
 
Figura 15: Exercício. 
 
Fonte: PINHEIRO (2007) 
 
 
 
 
 
Pilares – Parte II 
Aula 2 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Nesta aula daremos continuidade aos estudos dos pilares, vamos agora 
estudar as prescrições normativas ao detalhamento do pilar. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
➢ Entender as disposições construtivas dos pilares e armar 
corretamente esse pilar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 41 
 
 
2 PILARES – PARTE II 
2.1 Introdução 
Veremos agora as disposições construtivas para os pilares impostas pela 
NBR 6118 (2014). 
2.2 Disposições construtivas 
Serão considerados o cobrimento das armaduras dos pilares e alguns 
aspectos relativos às armaduras longitudinais e às transversais. 
2.2.1 Cobrimento das armaduras 
O cobrimento das armaduras é considerado no item 7.4.7 da NBR 6118 ( 
2014). Cobrimento mínimo é o menor valor que deve ser respeitado ao longo de todo 
o elemento considerado. Para garantir o cobrimento mínimo (cmin), o projeto e a 
execução devem considerar o cobrimento nominal (cnom), que é o cobrimento 
mínimo acrescido da tolerância de execução (∆c). Assim, as dimensões das 
armaduras e os espaçadores devem respeitar os cobrimentos nominais, 
estabelecidos na Tabela 1, para ∆c = 10 mm. 
 
𝐶𝑛𝑜𝑚 = 𝐶𝑚𝑖𝑛 + Δ𝑐 
Tabela 1: Valores de Cnom em pilares de concreto armado para 𝚫𝒄 = 𝟏𝟎𝒎𝒎. 
Classe de 
agressividade 
𝐶𝑛𝑜𝑚 (𝑚𝑚) 
I II III IV 
25 30 40 50 
Fonte: NBR 6118 (2014) 
Nas obras correntes, o valor de ∆c deve ser maior ou igual a 10 mm. Quando 
houver um adequado controle de qualidade e rígidos limites de tolerância da 
variabilidade das medidas durante a execução, pode ser adotado o valor ∆c = 5 mm, 
mas a exigência de controle rigoroso deve ser explicitada nos desenhos de projeto. 
Permite-se, então, redução de 5 mm dos cobrimentos nominais prescritos na Tabela 
1. Os cobrimentos são sempre referidos à superfície da armadura externa, em geral 
P á g i n a | 42 
 
 
à face externa do estribo. O cobrimento nominal deve ser maior que o diâmetro da 
barra. A dimensão máxima característica do agregado graúdo utilizado não pode 
superar em 20% o cobrimento nominal, ou seja: 
𝑑𝑚𝑎𝑥 ≤ 1,2. 𝑐𝑛𝑜𝑚 
2.2.2 Armaduras longitudinais 
A escolha e a disposição das armaduras devem atender não só à função 
estrutural como também às condições de execução, particularmente com relação ao 
lançamento e adensamento do concreto. Os espaços devem permitir a introdução do 
vibrador e impedir a segregação dos agregados e a ocorrência de vazios no interior 
do pilar (item 18.2.1 da NBR 6118 2014). As armaduras longitudinais colaboram para 
resistir à compressão, diminuindo a seção do pilar, e também resistem às tensões de 
tração. Além disso, têm a função de diminuir as deformações do pilar, especialmente 
as decorrentes da retração e da fluência. O diâmetro das barras longitudinais não 
deve ser inferior a 10 mm e nem superior a 1/8 da menor dimensão da seção 
transversal (item 18.4.2.1 da NBR 6118 2014): 
 
10 𝑚𝑚 ≤ ∅𝑙 ≤ 
𝑏
8⁄ 
2.2.3 Limites da taxa de armadura longitudinal 
Segundo o item 17.3.5.3 da NBR 6118 (2014), a armadura longitudinal 
mínima deve ser: 
 
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛= 0,15.
𝑁𝑑
𝑓𝑦𝑑
 ≥ 0,004 . 𝐴𝑐 
 
O valor máximo da área total de armadura longitudinal é dado por: 𝐴𝑠,𝑚𝑎𝑥 =
8%. 𝐴𝑐. 
A maior área de armadura longitudinal possível deve ser 8% da seção real, 
considerando-se inclusive a sobreposição de armadura nas regiões de emenda. 
P á g i n a | 43 
 
 
2.2.4 Número mínimo de barras 
A ABNT NBR 6118 (2014), no item 18.4.2.2, estabelece que as armaduras 
longitudinais devem ser dispostas de forma a garantir a adequada resistência do 
elemento estrutural. Em seções poligonais, deve existir pelo menos uma barra em 
cada vértice; em seções circulares, no mínimo seis barras distribuídas ao longo do 
perímetro. A Figura abaixo apresenta o número mínimo de barras para alguns tipos 
de seção. 
Figura 16: Número mínimo de barras. 
 
 
Fonte: PINHEIRO (2007) 
2.2.5 Espaçamento das barras longitudinais 
O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido 
no plano da seção transversal, fora da região de emendas, deve ser igual ou 
superior ao maior dos seguintes valores (Figura abaixo): 
 
𝑎 ≥ {
20 𝑚𝑚
∅𝑙
1,2. 𝑑𝑚á𝑥 (𝑑𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑜 𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜)
 
 
Esses valores se aplicam também às regiões de emenda por transpasse 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 44 
 
 
Figura 17: Espaçamento entre as barras da armadura longitudinal 
 
Fonte: PINHEIRO (2007) 
Quando estiver previsto no plano de execução da concretagem o 
adensamento através de abertura lateral na face da fôrma, o espaçamento das 
armaduras deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador. O 
espaçamento máximo sl entre os eixos das barras deve ser menor ou igual a duas 
vezes a menor dimensão da seção no trecho considerado, sem exceder 40 cm, ou 
seja: 
 
𝑆𝑙 ≤ {
2. 𝑏
40𝑐𝑚
 
 
Para Leonhardt e Mönnig (1978) esse espaçamento máximo não deve ser 
maior do que 30 cm. Entretanto, para pilares com dimensões até 40 cm, basta que 
existam as barras longitudinais nos cantos. 
2.2.6 Armaduras transversais 
A armadura transversal de pilares, constituída por estribos e, quando for o 
caso, por grampos suplementares, deve ser colocada em toda a altura do pilar, 
sendo obrigatória sua colocação na região de cruzamento com vigas e lajes (item 
18.4.3 da ABNT NBR 6118 (2014). Os estribos devem ser fechados, geralmente em 
torno das barras de canto, ancorados com ganchos que se transpassam, colocados 
em posições alternadas. 
P á g i n a | 45 
 
 
Os estribos têm as seguintes funções: 
a) garantir o posicionamento e impedir a flambagem das barras longitudinais; 
b) garantir a costura das emendas de barras longitudinais; 
c) confinar o concreto e obter uma peça mais resistente ou dúctil. 
 
De acordo com a ABNT NBR 6118 (2014), o diâmetro dos estribos em pilares 
não deve ser inferior a 5 mm nem a 1/4 do diâmetro da barra isolada ou do diâmetro 
equivalente do feixe que constitui a armadura longitudinal, ou seja: 
 
∅𝑡 ≥ {
5𝑚𝑚
∅𝑙
4⁄
 
 
Em pilares com momentos nas extremidades (portanto, nos pilares em geral), 
e nos pré-moldados, Leonhardt e Mönnig (1978) recomendam que se disponham, 
nas suas extremidades, 2 a 3 estribos com espaçamento igual a st/2 e st/4 (Figura 
abaixo). 
Figura 18: Estribos adicionais nos extremos e ganchos alternados. 
 
Fonte: LEONHARDT; MONNING (1978) 
Fusco (1994) ainda comenta que, de modo geral, nos edifícios, os estribos 
não são colocados nos trechos de intersecção dos pilares com as vigas que neles se 
P á g i n a | 46 
 
 
apoiam. Isso decorre do fato de a presença de estribos nesses trechos dificultar 
muito a montagem da armadura das vigas. A NBR 6118 (2014) deixa claro que é 
obrigatória a colocação de estribos nessas regiões. 
2.2.7 Espaçamento máximo dos estribos 
O espaçamento longitudinal entre estribos, medido na direção do eixo do pilar, 
deve ser igual ou inferior ao menor dos seguintes valores: 
 
𝑆𝑡 ≤ {
20 𝑐𝑚
𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜
12∅𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎ç𝑜 𝐶𝐴 − 50
25∅𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎ç𝑜 𝐶𝐴 − 25
 
 
Permite-se adotar o diâmetro dos estribos ∅𝑡 < ∅𝑙/4, desde que as 
armaduras sejam constituídas do mesmo tipo de aço e o espaçamento respeite 
também a limitação (fyk em MPa): 
 
𝑆𝑚á𝑥 = 90.000 . (
∅2𝑡
∅2𝑙
) .
1
𝑓𝑦𝑘
 
2.2.8 Estribos suplementares 
Sempre que houver possibilidade de flambagem das barras da armadura, 
situadas junto à superfície, devem ser tomadas precauções para evitá-la. A NBR 
6118 (2014, item 18.2.4) considera que os estribos poligonais garantem contra 
flambagem as barras longitudinais situadas em seus cantos e as por eles 
abrangidas, situadas no máximo à distância de 20φt do canto, se nesse trecho de 
comprimento 20φt não houver mais de duas barras, não contando a do canto (Figura 
abaixo). 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 47 
 
 
Figura 19: Proteção contra a flambagem das barras longitudinais. 
 
Fonte: PINHEIRO (2007) 
Quando houver mais de duas barras no trecho de comprimento 20φt ou 
barras fora dele, deve haver estribos suplementares. Se o estribo suplementar for 
constituído por uma barra reta, terminada em ganchos, ele deve atravessar a seção 
do pilar e os seus ganchos devem envolver a barra longitudinal. 
Se houver mais de uma barra longitudinal a ser protegida junto à extremidade 
do estribo suplementar, seu gancho deve envolver um estribo principal em um ponto 
junto a uma das barras, o que deve ser indicado no projeto de modo bem destacado, 
como indicado na Figura abaixo. Essa amarra garantirá contra a flambagem essa 
barra encostada e mais duas no máximo para cada lado, não distantes dela mais de 
20φt. No caso da utilização dessas amarras, para que o cobrimento seja respeitado, 
é necessário prever uma distância maior entre a superfície do estribo e a face do 
pilar. 
Figura 20: Estribos suplementares e ganchos. 
 
Fonte: PINHEIRO (2007) 
É oportuno comentar que a presença de estribos suplementares pode 
dificultar a concretagem. Uma alternativa seria concentrar as barras nos cantos, para 
evitar os estribos suplementares. 
P á g i n a | 48 
 
 
A ABNT NBR 6118 (2014) comenta ainda que, no caso de estribos curvilíneos 
cuja concavidade esteja voltada para o interior do concreto, não há necessidade de 
estribos suplementares. Se as seções das barras longitudinais se situarem em uma 
curva de concavidade voltada para fora do concreto, cada barra longitudinal deve ser 
ancorada pelo gancho de um estribo reto ou pelo canto de um estribo poligonal 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo 
 
 
 
 
Nesta aula vimos: 
 
✓ As disposições construtivas normativas; 
✓ Os detalhamentos pertinentes aos pilares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Complementar 
 
 
 
 
 
 
Para enriquecer o conhecimento assista a alguns vídeos 
complementares sobre diversos temas, veja: 
 
Veja este artigo de comparação entre pilares de 
concreto e pilares de aço: 
http://www.inicepg.univap.br/cd/INIC_2006/inic/inic/07/INIC00
0071ok.pdf. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências 
 
Básica: 
ARAÚJO, J. M. Curso de concreto armado. 4. ed. Rio Grande/RS: Ed. DUNAS, 
2014. v.1. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118. Projeto de 
estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro: Abnt, 2014. 
 
CARVALHO, C. B. Concreto armado I: de acordo com a NBR6118/2014. Belo 
Horizonte: Unihorizontes, 2017. 
 
CARVALHO, C. B. Concreto armado II: de acordo com a NBR6118/2014. Belo 
Horizonte: Unihorizontes, 2017. 
 
CARVALHO, R. B.; FILHO, J. R. F. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais 
de concreto armado: segundo a NBR 6118:2014. 4. ed. São Carlos: Ed. EDUFScar, 2014. 
 
FUSCO, P. B. Estruturas de concreto. Rio de Janeiro: Ed. Guanabara Dois S. A., 
1981. 
 
FUSCO, P. B. Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo: Ed. PINI, 
1994. 
 
LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Construção de concreto – Princípios básicos do 
dimensionamento de estruturas de concreto armado. Vol. 1. Rio deJaneiro: Ed. 
Interciência, 1982. 
 
LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Construção de concreto – Princípios básicos 
sobre a armação de estruturas de concreto armado. Vol. 1. Rio de Janeiro: Ed. 
Interciência, 1978. 
 
PINHEIRO, L. M. Fundamentos do concreto e projetos de edifícios. Apostila. São 
Paulo: Escola de Engenharia de São Carlos, 2007. 
 
SÜSSEKIND, J. C. Curso de concreto Vol. 1. Porto Alegre: Ed. Globo, 1985. 
 
Complementar: 
MARTHA, L. F. Ftool – two-dimensional frame analysis tool. Versão educacional 
2.09. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro – PUC-Rio. Departamento de 
Engenharia Civil e Tecgraf/PUC-Rio – Grupo de tecnologia em Computação Gráfica. 
Disponível em: http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool. Acesso em: 10 jan. 2018. 
 
VENTURINI, W. S.; RODRIGUES, R. O. Dimensionamento de peças retangulares 
de concreto armado solicitadas à flexão reta. São Carlos, SP: EESC/USP, 1987. 
 
http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool
 
 
AULA 2 
Exercícios 
 
 
 
 
 
 
1) Quais os modelos de cálculo disponíveis para os pilares e qual sua 
utilização individualmente? 
 
2) Quais as principais medidas que devemos nos preocupar para o correto 
dimensionamento dos estribos dos pilares? 
 
3) Pensando na seção geométrica dos pilares, quais os números mínimos de 
barras para cada tipo de seção geométrica? 
 
4) Quais as preocupações no correto espaçamento entre as barras 
longitudinais? O que pode acarretar no mau dimensionamento desse espaçamento? 
Qual a finalidade dos estribos suplementares? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Consideração sobre o cálculo dos 
pilares – Parte I 
Aula 3 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Nesta aula continuaremos a estudar sobre os pilares, agora iremos fazer 
várias considerações sobre os cálculos, vendo principalmente sobre os critérios 
normativos. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
➢ Entender o que são estruturas de nós fixos e de nós móveis; 
➢ Entender a consideração sobre os efeitos de segunda ordem nos 
pilares; 
➢ Entender como é a consideração da fluência nos pilares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 54 
 
 
3 CONSIERAÇÕES SOBRE O CÁLCULO DOS PILARES – PARTE 1 
Olá Aluno! Vamos continuar estudando sobre os pilares de 
concreto armado? Nesta aula iremos analisar várias considerações 
que fazemos nos cálculos dos pilares. Vamos lá? 
3.1 Introdução 
Os pilares podem ser classificados como curtos, moderadamente esbeltos e 
esbeltos. Os pilares curtos são aqueles para os quais não há necessidade de se 
considerar os efeitos de segunda ordem. Para esses pilares, os esforços solicitantes 
obtidos na configuração deformada (teoria de segunda ordem) são 
aproximadamente iguais aos esforços calculados na configuração indeformada 
(teoria de primeira ordem). Em geral, admite-se que os efeitos de segunda ordem 
possam ser desprezados quando esses causam um acréscimo nos esforços 
solicitantes de no máximo 10%. 
Para os pilares moderadamente esbeltos, os efeitos de segunda ordem são 
importantes e não podem ser desprezados. Entretanto, esses efeitos podem ser 
considerados através de processos simplificados. Em geral, nesses processos, 
arbitra-se uma configuração deformada para o eixo do pilar e calcula-se o máximo 
momento fletor solicitante ao longo do eixo. Com o momento máximo e com o 
esforço normal, admite-se a seção transversal do pilar em flexo-compressão. 
Nos pilares esbeltos, os efeitos de segunda ordem são tão importantes que 
não se pode admitir o emprego de processos simplificados. Para esses pilares é 
exigida uma análise rigorosa, que leva em conta a não linearidade física decorrente 
do comportamento mecânico dos materiais, bem como a não linearidade geométrica. 
De um modo geral, a maioria dos pilares dos edifícios se enquadra nas 
categorias de pilares curtos ou moderadamente esbeltos. Somente em poucos casos 
especiais é que eles devem ser considerados como pilares esbeltos. 
Quanto à sua principal função na estrutura, os pilares podem ser classificados 
como pilares contraventados e pilares de contraventamento. Esses últimos fazem 
parte da subestrutura de contraventamento. A subestrutura de contraventamento é 
uma parte da estrutura cuja principal função é resistir às ações horizontais. Na 
verdade, todas as partes da estrutura oferecem resistência às ações horizontais. 
P á g i n a | 55 
 
 
Entretanto, é conveniente separar aqueles elementos que, devido à sua elevada 
rigidez, absorvem maior parte desses esforços. Como exemplo de elementos 
estruturais de contraventamento, tem-se as paredes estruturais e os pilares-parede 
das caixas dos elevadores e das escadas dos edifícios. 
O contraventamento deve possuir uma rigidez suficiente para garantir que os 
deslocamentos horizontais da estrutura sejam pequenos. Se este não for o caso, a 
estrutura como um todo deve ser analisada considerando-se os efeitos de segunda 
ordem. Essa análise é bastante complexa e exige técnicas numéricas apropriadas 
para a consideração das não linearidades físicas e geométrica. 
Por outro lado, se a rigidez de contraventamento é suficiente, admite-se que a 
estrutura seja indeslocável (ou de nós fixos). Rigorosamente falando, a estrutura é 
“quase indeslocável”. Neste caso, os esforços solicitantes podem ser obtidos a partir 
de uma análise de primeira ordem (linearidade geométrica). Como uma 
aproximação, despreza-se, também, a não linearidade física. 
Em uma estrutura indeslocável, os efeitos de segunda ordem nos pilares são 
localizados. Eles serão considerados ou não, conforme o pilar seja classificado como 
esbelto, moderadamente esbelto ou curto. Dessa forma, consegue-se uma 
significativa simplificação nos cálculos. 
Sempre que possível, devem-se tomar as providências necessárias para 
garantir que a estrutura possa ser considerada indeslocável. Segundo Leonhardt, 
“somente um engenheiro sem habilidade arcaria com as preocupações deixando 
para o proprietário os problemas de custos que surgem em sistemas de pórticos 
deslocáveis de vários andares”. A seguir, apresenta-se um critério para verificar se 
uma estrutura pode ser considerada indeslocável. O restante da aula é dedicado às 
considerações teóricas relativas ao cálculo dos esforços solicitantes nos pilares 
contraventados. 
3.2 Estruturas indeslocáveis ou de nós fixos 
Uma estrutura aporticada de edifício pode ser considerada indeslocável 
quando, sob a ação de forças horizontais, seus nós sofrem deslocamentos 
pequenos, que não chegam a introduzir esforços globais de segunda ordem 
significativos. Entretanto, os esforços de primeira ordem, provocados pelas forças 
horizontais, devem sempre ser calculados considerando-se a deslocalibilidade da 
P á g i n a | 56 
 
 
estrutura. Apenas os esforços locais de segunda ordem é que podem ser obtidos na 
hipótese de que a estrutura é indeslocável. 
Assim, efetuada a análise linear (teoria de primeira ordem), considera-se cada 
pilar como uma barra isolada e articulada nas extremidades, onde são aplicados os 
esforços obtidos na análise linear. 
Para garantir a indeslocabilidade, pode ser necessário projetar elementos 
estruturais especiais, como paredes estruturais ou pilares-parede. A necessidade 
desses elementos depende basicamente da altura do edifício e de suas cargas. 
Edifícios baixos e leves podem dispensar os elementos especiais de 
contraventamento, pois a própria estrutura aporticada principal é suficiente para 
garantir a indeslocabilidade. Entretanto, deve-se ter uma atenção especial quando a 
estrutura é projetada em laje cogumelo. Nesse caso, em virtude da ausência das 
vigas, não há a formação dos verdadeiros pórticos e a rigidez fica reduzida. A falta 
das alvenarias de vedação pode agravar ainda mais o problema. 
O grande problema das estruturas deslocáveis é relativo a instabilidade 
global, já que os deslocamentos horizontaisnos vários andares criam 
excentricidades crescentes da força normal nos pilares. Na figura abaixo, 
apresentam-se duas situações distintas. 
Observando a figura abaixo-a, verifica-se que os momentos fletores nos 
pilares crescem sensivelmente à medida que se aproxima das fundações. 
Acrescentando um elemento rígido ao pórtico, os deslocamentos horizontais no nível 
dos pisos podem ser desprezados, como indicado na figura abaixo-b. Neste caso, os 
pilares podem ser analisados isoladamente, andar por andar, como se eles fossem 
engastados elasticamente nos nós e os efeitos de segunda ordem são localizados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 57 
 
 
Figura 21: Efeito da deslocabilidade horizontal 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
De acordo com o CEB/78, podem ser consideradas indeslocáveis as 
estruturas para as quais as seguintes desigualdades são atendidas: 
∝ = ℎ𝑡𝑜𝑡. √
𝐹𝑣
𝐸𝑐𝑠 . 𝐼𝑐
 ≤ 0,2 + 0,1𝑛 , 𝑠𝑒 𝑛 ≤ 3 
 
∝ = ℎ𝑡𝑜𝑡 . √
𝐹𝑣
𝐸𝑐𝑠 . 𝐼𝑐
 ≤ 0,6 , 𝑠𝑒 𝑛 ≥ 4 
 
Onde: 
∝ = parâmetro de instabilidade; 
𝑛 = número de pavimentos; 
ℎ𝑡𝑜𝑡 = altura total da edificação, medido do topo da fundação ou de um nível 
indeformável; 
𝐸𝑐𝑠 . 𝐼𝑐 = soma das rigidezes à flexão das ações dos elementos verticais na 
direção considerada; 
𝐹𝑣 = soma de todas as cargas verticais de serviço. 
 
P á g i n a | 58 
 
 
Segundo a NBR6118: 2014, o limite 0,6 deve ser usado quando o 
contraventamento é formado pela associação de pórticos e pilares-parede. Ele pode 
ser aumentado para 0,7 quando o contraventamento for constituído exclusivamente 
por pilares-parede. Por outro lado, esse limite deve ser reduzido para 0,5 quando o 
contrraventamento for constituído apenas por pórticos. 
As equações anteriores limitam os efeitos globais de segunda ordem a um 
máximo em torno de 10% dos respectivos efeitos de primeira ordem na estrutura. 
Dessas equações verifica-se que, quanto mais alto for o edifício e quanto maiores 
forem as cargas verticais, maior rigidez de contraventamento será necessária para 
garantir a indeslocabilidade. 
Para o cálculo do momento de inércia 𝐼𝑐, adotam-se apenas as seções 
transversais de concreto sem a inclusão das armaduras. O módulo de deformação 
longitudinal secante, 𝐸𝑐𝑠, pode ser obtido empregando-se a relação 
 
𝐸𝑐𝑠 = 0,85 . 21500 . (
𝑓𝑐𝑘 + 8
10
)
1
3⁄
 , 𝑀𝑝𝑎 
 
Quando a rigidez do pilar de contraventamento varia ao longo do seu eixo, é 
necessário determinar uma rigidez equivalente. O mesmo deve ser feito quando o 
contraventamento é constituído por pórticos. 
Usualmente, considera-se que a rigidez equivalente seja a rigidez de um pilar 
de seção constante, engastado na base e livre no topo, da mesma altura que a 
estrutura real, que, submetido ao carregamento horizontal da estrutura, apresente o 
esmo deslocamento horizontal no topo. O valor da rigidez equivalente, determinado 
desta maneira, depende do tipo de carregamento usado na análise. 
Para calcular a rigidez equivalente de um pórtico ou de um pilar se seção 
variável, pode-se aplicar uma força horizontal 𝐹ℎ no topo do pilar ou do pórtico, como 
sugerido pelo CEB. Se U representa o deslocamento obtido na direção da força a 
rigidez equivalente, 𝐸𝐼𝑒𝑞, é dada por: 
 
𝐸𝐼𝑒𝑞 = 
𝐹𝐻 . ℎ𝑡𝑜𝑡
3
3 . 𝑈
 
 
Onde, ℎ𝑡𝑜𝑡 é a altura do pórtico ou do pilar de seção variável. 
P á g i n a | 59 
 
 
Alternativamente, o pórtico pode ser carregado com uma carga horizontal p, 
uniformemente distribuída ao longo de sua altura. Para a análise do pórtico, essa 
carga uniforme é substituída por um conjunto de forças horizontais concentradas nos 
níveis das lajes. Se U presenta o deslocamento horizontal no topo do pórtico, a 
rigidez equivalente é dada por: 
 
𝐸𝐼𝑒𝑞 = 
𝑝 . ℎ𝑡𝑜𝑡
4
8 . 𝑈
 
 
➢ Procedimento recomendado 
➢ A NBR6118 (2014) também apresenta um segundo critério para a 
verificação da indeslocabilidade horizontal dos edifícios, o qual é baseado na 
avaliação de um coeficiente de amplificação de momentos, denominado de 
coeficiente 𝛾𝑧. Por esse critério, a estrutura pode ser considerada indeslocável (ou 
de nós fixos, segundo a nomenclatura utilizada na norma) se resultar 𝛾𝑧 ≤ 1,10. 
 
A. Parâmetros de instabilidade para contraventamento feito por paredes 
estruturais e/ou pilares-parede. Se o contraventamento é constituído exclusivamente 
por paredes estruturais e/ou pilares-parede, a estrutura é considerada indeslocável 
quando: 
 
𝛼 = ℎ𝑡𝑜𝑡 . √
𝐹𝑣
𝐸𝑐𝑠 . 𝐼𝑐
 ≤ 𝛼𝑙𝑖𝑚 
 
Onde 𝐸𝑐𝑠 é o módulo secante do concreto, 𝐼𝑐 é o momento de inércia da 
seção de concreto simples e 𝛼𝑙𝑖𝑚 é função do número de andares n do edifício e do 
estado de fissuração do elemento de contraventamento. 
 
As expressões de 𝛼𝑙𝑖𝑚 são as seguintes, conforme o caso: 
• Para elementos não fissurados: 
 
𝛼𝑙𝑖𝑚 = 0,67 . √1 − 
0,60
𝑛
 
Highlight
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• Para elementos fissurados 
 
𝛼𝑙𝑖𝑚 = 0,47 . √1 − 
0,60
𝑛
 
 
Observa-se que o valor de 𝛼𝑙𝑖𝑚 depende do estado de fissuração da parede 
ou do pilar-parede de contraventamento. As tensões de tração no concreto, para as 
cargas horizontais e as cargas verticais de cálculo que atuam no elemento estrutural, 
podem ser determinadas como para um material elástico linear submetido à flexo-
compressão. Comparando a tensão de tração máxima em cada andar com a 
resistência à tração característica inferior do concreto, 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓, determina-se o estado 
de fissuração do elemento estrutural. A princípio, pode-se fazer uma interpolação 
linear entre os valores dados nas equações anteriores, com base no tamanho do 
trecho do pilar-parede que se encontra fissurado. 
B. Parâmetros de instabilidade para contraventamento feito por pórticos 
Se o contraventamento é feito exclusivamente por pórticos, é necessário 
determinar sua rigidez equivalente 𝐸𝐼𝑒𝑞. Neste caso, recomenda-se o emprego da 
equação: 
𝐸𝐼𝑒𝑞 = 
𝑝 . ℎ𝑡𝑜𝑡
4
8 . 𝑈
 
 
Na análise dos pórticos para cálculo do deslocamento horizontal U, considera-
se a rigidez 𝐸𝐼 = 0,70 . 𝐸𝑐𝑠 . 𝐼𝑐, para os pilares, e 𝐸𝐼 = 0,35 . 𝐸𝑐𝑠 . 𝐼𝑐, para as vigas. A 
estrutura é considerada indeslocável se: 
𝛼 = ℎ𝑡𝑜𝑡 . √
𝐹𝑣
𝐸𝐼𝑒𝑞
 ≤ 𝛼𝑙𝑖𝑚 
 
Onde: 
𝛼𝑙𝑖𝑚 = 0,66 . √1 − 
0,39
𝑛
 ≤ 0,62 
 
P á g i n a | 61 
 
 
C. Parâmetros de instabilidade para contraventamento feito pela associação 
de pórticos com paredes e/ou pilares parede 
A rigidez equivalente da associação é obtida como para os pórticos. A 
príncipio, considera-se 𝐸𝐼 = 0,70 . 𝐸𝑐𝑠 . 𝐼𝑐 para uma parede ou pilar-parede. Porém, se 
ficar comprovado que esse elemento está fissurado para as cargas de cálculo, deve-
se repetir a análise do conjunto considerando 𝐸𝐼 = 0,35 . 𝐸𝑐𝑠 . 𝐼𝑐 para o mesmo. 
Uma vez determinada a rigidez equivalente, emprega-se a equação 
𝛼 = ℎ𝑡𝑜𝑡 . √
𝐹𝑣
𝐸𝐼𝑒𝑞
 ≤ 𝛼𝑙𝑖𝑚, para comprovar a indeslocabilidade. Neste caso, a 
expressão de 𝛼𝑙𝑖𝑚 é dada por: 𝛼𝑙𝑖𝑚 = 0,74 . √1 − 
0,53
𝑛
 ≤ 0,72 
 
Na tabela 1, indicam-se os valores de 𝛼𝑙𝑖𝑚 calculados com as expressões 
anteriores em função do número n de andares do edifício. 
Tabela 1: Valores limites para o parâmetro de instabilidade (𝜶𝒍𝒊𝒎) 
 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
P á g i n a | 62 
 
 
Não deve ser esquecido que as alvenarias de vedação, as quais não são 
incluídas no cálculo. Dão uma contribuição muito importante para a rigidez da 
estrutura. Dessa forma, resultará uma margem adicional de segurança em relação à 
indeslocabilidade horizontal da estrutura. 
3.3 Processos simplificados para a consideração dos efeitos de segunda 
ordem 
Diversos processos simplificados para a consideração dos efeitos de segunda 
ordem têm sido apresentados nas normas de projeto. Na maioria desses processos, 
admite-se uma configuração deformada para o eixo do pilar e arbitra-se ovalor da 
curvatura última da seção mais solicitada. Em geral, os processos são limitados aos 
pilares de seção transversal constante ao londo do eixo, inclusive a armadura. Seja 
o pilar da figura abaixo, submetido a uma força normal de cálculo 𝐹𝑑e aos momentos 
de primeira ordem 𝑀1𝑑 aplicados nos seus extremos. 
Figura 22: Deformada do eixo do pilar 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
P á g i n a | 63 
 
 
Para a deformada do eixo do pilar, pode-se admitir a função senoidal: 
 
𝑤 (𝑥) = 𝑒2 . 𝑠𝑒𝑛 .
𝜋𝑥
𝑙
 
 
Onde 𝑒2 é o deslocamento transversal máximo em 𝑥 = 
𝑙
2⁄ . 
A curvatura aproximada do eixo do pilar, 𝜒 , é dada por: 
𝜒 = − 
𝑑2 𝑊
𝑑𝑥2
 
 
Introduzindo a expressão de W e diferenciado, resulta: 
𝜒 = 
𝜋2
𝑙2
 . 𝑒2 . 𝑠𝑒𝑛 .
𝜋𝑥
𝑙
 
 
A curvatura máxima 𝜒𝑢 ocorre na seção central e vale: 
𝜒𝑢 = 
𝜋2
𝑙2
 . 𝑒2 
 
Dessa equação, pode-se obter a excentricidade de segunda ordem, 𝑒2, em 
função da curvatura última. Considerando 𝜋2 ≅ 10, chega-se a: 
𝑒2 = 
𝑙2
10
 . 𝜒𝑢 
 
Assim, o momento fletor de segunda ordem, 𝑀2𝑑, é dado por: 
𝑀2𝑑 = 𝐹𝑑 . 𝑒2 
 
E o momento total é 𝑀𝑑 = 𝑀1𝑑 + 𝑀2𝑑. 
Com o esforço normal 𝑁𝑑 = 𝐹𝑑 e com o momento fletor 𝑀𝑑, dimensiona-se a 
seção transversal em flexo-compressão. 
A seguir, são apresentadas as expressões para a curvatura última fornecidas 
pela NBR 6118 e pelo CEB. 
 
A. Expressão da NBR 6118 
De acordo com a NBR 6118, a curvatura última é dada por: 
 
P á g i n a | 64 
 
 
𝜒𝑢 = 
0,005
(𝜐0 + 0,5). ℎ
 
 
𝜐0 = 
𝐹𝑑
𝐴𝑐 . 𝑓𝑐𝑑
 
 
Sendo 𝐴𝑐 a área da seção de concreto e h a sua altura na direção 
considerada. Para o emprego da expressão: 
𝜒𝑢 = 
0,005
(𝜐0 + 0,5). ℎ
 
 
Quando 𝜐0 < 0,5, deve-se adotar o valor 𝜐0 = 0,5. 
 
B. Expressão do CEB 
De acordo com o CEB, a curvatura última é dada por: 
 
𝜒𝑢 = 
3,5 ‰+ 
𝑓𝑦𝑑
𝐸𝑠
⁄
 ℎ
 , 𝑠𝑒 𝜐0 ≤ 0,425 
 
𝜒𝑢 = 
3,5 ‰+ 
𝑓𝑦𝑑
𝐸𝑠
⁄
(
𝜐0
0,425⁄ ) . ℎ
 , 𝑠𝑒 𝜐0 > 0,425 
 
Na figura abaixo, apresentam-se as variações da curvatura última em função 
do esforço normal reduzido 𝜐0, de acordo com essas duas normas. Para o emprego 
da formulação do CEB, admite-se que o aço é o CA-50. 
Observa-se pela figura que a expressão da NBR 6118 fornece um maior valor 
para a curvatura última, desde que 𝜐0 ≥ 0,5. Uma vez que o momento de segunda 
ordem é diretamente proporcional à curvatura, conclui-se que o processo da NBR 
6118 fornece mais armadura que o processo do CEB, para 𝜐0 ≥ 0,5. Se 𝜐0 < 0,5, 
obtém-se maior armadura com o processo do CEB. Resta comparar essas 
armaduras com aquela teoricamente extra. A armadura exata é obtida empregando-
se algum algoritmo que leva em conta, de forma rigorosa, as não linearidade físicas 
e geométricas. 
P á g i n a | 65 
 
 
Figura 23: Variações da curvatura última. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
De acordo com os critérios da NBR 6118, as armaduras devem ser calculadas 
empregando-se os coeficientes parciais de segurança 𝛾𝑐 = 1,4, 𝛾𝑠 = 1,15, 𝛾𝑓 = 1,4. 
De acordo com o CEB, as resistências de cálculo dos materiais são dadas 
por: 
𝑓𝑐𝑑 = 
𝑓𝑐𝑘
𝛾𝑛 . 𝛾𝑐
 
𝑓𝑦𝑑 = 
𝑓𝑦𝑘
𝛾𝑛 . 𝛾𝑠
 
 
Onde, 𝛾𝑐 = 1,5, 𝛾𝑠 = 1,15 e 𝛾𝑛 = 1,2. 
 
Observa-se que para o emprego do processo simplificado do CEB, o fator de 
minoração da resistência à compressão do concreto passa para 1,8 e o fator de 
minoração da tensão de escoamento do aço é igual a 1,38. Isto fará com que a 
armadura calculada por esse processo seja bem superior àquela que é considerada 
exata dentro dos padrões de segurança da NBR 6118. Assim, para evitar a adoção 
de padrões de segurança diferentes em cada processo simplificado, os mesmos são 
comparados adotando-se sempre 𝛾𝑐 = 1,4, 𝛾𝑠 = 1,15, 𝛾𝑓 = 1,4. 
P á g i n a | 66 
 
 
Nas tabelas 2 e 3, comparam-se as taxas mecânicas de armadura obtidas 
através dos processos aproximados com as taxas exatas. Nessas tabelas, 𝜔 
representa a taxa exata enquanto 𝜔1 e 𝜔2 são os valores encontrados empregando-
se o processo na NBR 6118 e o processo do CEB, respectivamente. O pilar é 
birrotulado e possui a seção transversal indicada na figura abaixo. 
Figura 24: Seção transversal e situação de projeto dos pilares 
 
Fonte: Araújo (2014) 
Analisando as tabelas conclui-se que, em geral, os dois processos fornecem 
uma solução satisfatória. Para pequenos valores da excentricidade relativa de 
primeira ordem, ambos os processos fornecem uma solução a favor da segurança. 
Para valores altos da excentricidade de primeira ordem, os dois processos ficam 
contrários à segurança. Porém, o erro é pequeno e essa não é uma situação muito 
frequente nos pilares dos edifícios. 
 
 
 
 
 
 
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Tabela 2: Comparação dos processos aproximados com a solução “exata” - 𝝀 = 𝟒𝟓. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Tabela 3: Comparação dos processos aproximados com a solução “exata” - 𝝀 = 𝟕𝟓. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
A NBR 6118 apresenta, também, um segundo processo simplificado para a 
consideração dos efeitos de segunda ordem, o qual é derivado do “método do 
momento majorado” do ACI. Nesse segundo processo, denominado na NBR 6118 
de “método do pilar-padrão com rigidez Κ aproximada”, o momento total é obtido a 
partir de uma amplificação do momento de primeira ordem. 
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A precisão dos dois processos adotados pela NBR 6118 é equivalente. 
Entretanto, o processo apresentado anteriormente é mais simples e já tem o seu uso 
consagrado no meio técnico. Além disso, o denominado “método do pilar-padrão 
com rigidez Κ aproximada” só é permitido para seções retangulares. Por isso, o 
método adotado será empregado o processo da NBR 6118, definido pelas equações 
a seguir para pilares com índice de esbeltez 𝜆 ≤ 90. 
 
𝑒2 = 
𝑙2
10
 . 𝜒𝑢 
 
𝜐0 = 
𝐹𝑑
𝐴𝑐 . 𝑓𝑐𝑑
 
3.4 Consideração da fluência do concreto 
A fluência do concreto pode ter uma importância significativa na capacidade 
resistente dos pilares. Em virtude da fluência, os deslocamentos transversais do eixo 
dos pilares crescem com o tempo, aumentando os momentos fletores solicitantes. 
Na análise estrutural, a fluência pode ser considerada adequadamente com o 
emprego de modelos reológicos. Esses modelos são obtidos pela associação de 
molas e amortecedores, o que permite simular as parcelas das deformações 
elásticas e viscoelásticas do concreto. Em geral, adotam-se os modelos básicos de 
Maxwell ou de Kelvin, ou uma associação dos mesmos, o que dá origem às 
denominadas cadeias reológicas. 
Adotando o modelo de Maxwell para representar o comportamento 
viscoelástico do concreto e considerando um pilar birrotulado, sem carga transversal 
nem momentos nas extremidades, mas possuindo uma imperfeição inicial do eixo 
descrita por uma função senoidal, é possível demonstrar que a fluência causa uma 
excentricidade adicional dada por: 
𝑒𝑐 = 𝑒1 . [𝑒
𝜑∞ .𝐹𝑔
𝑃𝑒− 𝐹𝑔 − 1] 
 
P á g i n a | 69 
 
 
Onde, 𝑒𝑐 = excentricidade adicional de fluência, 𝑒1 = excentricidade de 
primeira ordem da força normal de longa duração 𝐹𝑔, 𝑒 = base do logaritmo 
neperiano, 𝜑∞ = coeficiente final de fluência, 𝑃𝑒 = carga de flambagem de Euler. 
 
A carga de Euler é dada por: 
 
𝑃𝑒 = 
𝜋2 . 𝐸𝑐𝑠 . 𝐼𝑐
𝑙𝑒
2 
 
Onde: 𝐸𝑐𝑠 é o módulo de deformação longitudinal secante do concreto, 𝐼𝑐 é o 
momento de inércia das seções do pilar, sem a inclusão das araduras, e 𝑙𝑒 é o 
comprimento de flambagem. 
A expressão: 
 
𝑒𝑐 = 𝑒1 . [𝑒
𝜑∞ .𝐹𝑔
𝑃𝑒− 𝐹𝑔 − 1] 
 
é adotada pelo CEB/78, sendo mantida no CEB/90. Essa expressão também 
foi incluída na NBR 6118. Entretanto, a NBR 6118 só exige a consideração da 
fluência nos casos em que 𝜆 > 90, sendo, inexplicavelmente, omissa quanto aos 
critérios para sua dispensa. Não se deve, de forma alguma, considerar que a 
fluência possa ser desprezada se 𝜆 < 90. 
De acordocom o CEB/78, pode-se dispensar a consideração da fluência no 
dimensionamento dos pilares em qualquer um dos seguintes casos: 
a) Índice de esbeltez pequeno: 𝜆 ≤ 50; 
b) Excentricidade relativa de primeira ordem alta: 
𝑒1
ℎ
 ≥ 2 
c) Carga predominante de curta duração: 𝐹𝑔 ≤ 0,2 . 𝐹𝑘 
 
Em qualquer outra situação, é obrigatória a consideração da fluência. 
Nos pilares dos edifícios, em geral, a força normal de longa duração, 𝐹𝑔, é 
muito próxima da força total de serviço, 𝐹𝑘, . Nessas condições, o item C nunca será 
atendido. Além disso, nas situações correntes, a excentricidade relativa de primeira 
ordem, 
𝑒1
ℎ
, é bem inferior a 2, o que indica que o item B não deve ocorrer nos pilares 
P á g i n a | 70 
 
 
de edifícios. Dessa forma, pode-se simplificar o critério e desprezar a fluência 
somente quando 𝜆 ≤ 50. Como outra simplificação a favor da segurança, pode-se 
admitir que 𝐹𝑔 = 𝐹𝑘, o que é coerente com as condições usuais de carregamento 
dos edifícios. Essas simplificações são empregadas ao longo do caderno. 
 
Exercício Resolvido 01 
Verificar se o pilar-parede da figura abaixo é suficiente 
para garantir a indeslocabilidade de um edifício de 8 andares, 
cuja altura total desde a fundação é igual a 25 m. A soma de 
todas as cargas verticais de serviço é igual a 25.000 kN e o 
concreto possui 𝑓𝑐𝑘 = 20 𝑀𝑝𝑎. 
Figura 25: Pilar-parede de contraventamento. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Resolução: 
O Primeiro passo é encontrar as coordenadas do centroide da 
peça: 
𝑥𝑐 = 2 𝑚 ; 𝑦𝑐 = 0,63 𝑚 
 
 
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Agora, os momentos de inércia: 
𝐼𝑥 = 3,02 𝑚
4 (𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑦); 𝐼𝑦 = 0,54 𝑚
4 (𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑥) 
 
 
O módulo de elasticidade (deformação) secante: 
𝐸𝑐𝑠 = 0,85 𝑥 21500 (
20 + 8
10
)
1
3⁄
 ≅ 25760 𝑀𝑝𝑎 
𝐸𝑐𝑠 = 25760𝑥10
3 𝑘𝑁/𝑚2 
 
Como o contraventamento é constituído somente pelo pilar-parede, a 
indeslocabilidade será garantida se a equação 
𝛼 = ℎ𝑡𝑜𝑡 . √
𝐹𝑣
𝐸𝑐𝑠 .𝐼𝑐
 ≤ 𝛼𝑙𝑖𝑚, conforme o estado de fissuração do pilar-parede. 
Substituindo n = 8 na equação, obtemos: 
• Pilar-parede não fissurado: 𝛼𝑙𝑖𝑚 = 0,64 
• Pilar-parede fissurado: 𝛼𝑙𝑖𝑚 = 0,45 
 
Vamos verificar primeiro a direção x do pilar. 
𝛼 = ℎ𝑡𝑜𝑡 . √
𝐹𝑣
𝐸𝑐𝑠 . 𝐼𝑐
 = 25 . √
25000
25760𝑥10³ . 3,02
 = 0,45 
Logo, o pilar-parede sozinho é suficiente para garantir a indeslocabilidade 
nesta direção, independentemente do seu estado de fissuração. 
 
Vamos verificar primeiro a direção y do pilar. 
𝛼 = ℎ𝑡𝑜𝑡 . √
𝐹𝑣
𝐸𝑐𝑠 . 𝐼𝑐
 = 25 . √
25000
25760𝑥10³ . 0,54
 = 1,06 
 
Logo, o pilar-parede sozinho não é suficiente para garantir a indeslocabilidade 
na direção y deste pilar, mesmo que ele se encontre não fissurado. 
 
 
 
 
P á g i n a | 72 
 
 
Exercício Resolvido 02 
Determinar a rigidez equivalente do pórtico da figura 
abaixo. O pórtico possui 15 pavimentos com 4 m de altura. A 
altura total da estrutura é de 60 m. O concreto possui 𝑓𝑐𝑘 =
25 𝑀𝑝𝑎, com um módulo secante 
𝐸𝑐𝑠 = 27200 𝑀𝑝𝑎. Considerar a rigidez 𝐸𝐼 = 0,70𝐸𝑐𝑠𝐼𝑐, para os pilares e 𝐸𝐼 =
0,35𝐸𝑐𝑠𝐼𝑐, para as vigas. 
Figura 26: Pórtico de contraventamento. 
 
Fonte: ARAÚJO (2014) 
Resolução: 
Para determinar a rigidez equivalente, é necessário resolver o pórtico com um 
programa para análise linear de pórticos planos (PACON). No modelo de carga 
concentrada, aplica-se uma força horizontal no topo e calcula-se 𝐸𝐼𝑒𝑞 com a fórmula 
𝐸𝐼𝑒𝑞 = 
𝐹𝐻 .ℎ𝑡𝑜𝑡
3
3 .𝑈
. No modelo de carga distribuída, o pórtico é carregado com uma 
carga horizontal uniforme e emprega-se a equação 
𝐸𝐼𝑒𝑞 = 
𝑝 .ℎ𝑡𝑜𝑡
4
8 .𝑈
 para o calculo de 𝐸𝐼𝑒𝑞. 
Os resultados, para o exemplo são os seguintes: 
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Modelo de carga concentrada: 𝐸𝐼𝑒𝑞 = 27,34𝑥10
6 𝑘𝑁𝑚² 
Modelo de carga uniforme: 𝐸𝐼𝑒𝑞 = 21,90𝑥10
6 𝑘𝑁𝑚² 
Observa-se que o modelo de carga uniforme fornece uma rigidez equivalente 
menor. Ao usar o procedimento recomendado anteriormente, deve-se empregar o 
modelo de carga uniforme, pois os valores de 𝛼𝑙𝑖𝑚 foram obtidos com base nesse 
modelo. A rigidez dos três pilares isoladamente é de apenas 3𝑥0,70𝐸𝑐𝑠𝐼𝑐 =
0,12𝑥106 𝑘𝑁𝑚², o que mostra a grande influência das vigas na rigidez do conjunto. 
O eurocode 2 e a norma espanhola EHE adotam a seguinte expressão para 
𝛼𝑙𝑖𝑚, sem distinguir o tipo de elemento de contraventamento: 
• Para elementos não fissurados 
 
𝛼𝑙𝑖𝑚 = (√
0,62𝑛
𝑛 + 1,6
) 
 
• Para elementos fissurados 
 
𝛼𝑙𝑖𝑚 = (√
0,31𝑛
𝑛 + 1,6
) 
 
 
 
 
 
Resumo 
 
 
 
 
Nesta aula vimos: 
 
✓ As estruturas deslocáveis e indeslocáveis; 
✓ O comportamento dos pilares devido a fluência; 
✓ Os efeitos de segunda ordem nos pilares. 
 
 
 
 
 
Complementar 
 
 
 
 
 
 
Para enriquecer o conhecimento assista a alguns vídeos 
complementares sobre diversos temas, veja: 
 
Veja este artigo de comparação entre pilares de 
concreto e pilares de aço: 
http://www.inicepg.univap.br/cd/INIC_2006/inic/inic/07/INIC00
0071ok.pdf. 
 
 
 
 
 
 
Referências 
 
Básica: 
ARAÚJO, J. M. Curso de concreto armado. 4. ed. Rio Grande/RS: Ed. DUNAS, 
2014. v.1. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118. Projeto de 
estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro: Abnt, 2014. 
 
CARVALHO, C. B. Concreto armado I: de acordo com a NBR6118/2014. Belo 
Horizonte: Unihorizontes, 2017. 
 
CARVALHO, C. B. Concreto armado II: de acordo com a NBR6118/2014. Belo 
Horizonte: Unihorizontes, 2017. 
 
CARVALHO, R. B.; FILHO, J. R. F. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais 
de concreto armado: segundo a NBR 6118:2014. 4. ed. São Carlos: Ed. EDUFScar, 2014. 
 
FUSCO, P. B. Estruturas de concreto. Rio de Janeiro: Ed. Guanabara Dois S. A., 
1981. 
 
FUSCO, P. B. Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo: Ed. PINI, 
1994. 
 
LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Construção de concreto – Princípios básicos do 
dimensionamento de estruturas de concreto armado. Vol. 1. Rio de Janeiro: Ed. 
Interciência, 1982. 
 
LEONHARDT, F.; MÖNNING, E. Construção de concreto – Princípios básicos 
sobre a armação de estruturas de concreto armado. Vol. 1. Rio de Janeiro: Ed. 
Interciência, 1978. 
 
PINHEIRO, L. M. Fundamentos do concreto e projetos de edifícios. Apostila. São 
Paulo: Escola de Engenharia de São Carlos, 2007. 
 
SÜSSEKIND, J. C. Curso de concreto Vol. 1. Porto Alegre: Ed. Globo, 1985. 
 
Complementar: 
MARTHA, L. F. Ftool – two-dimensional frame analysis tool. Versão educacional 
2.09. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro – PUC-Rio. Departamento de 
Engenharia Civil e Tecgraf/PUC-Rio – Grupo de tecnologia em Computação Gráfica. 
Disponível em: http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool. Acesso em: 10 jan. 2018. 
 
VENTURINI, W. S.; RODRIGUES, R. O. Dimensionamento de peças retangulares 
de concreto armado solicitadas à flexão reta. São Carlos, SP: EESC/USP, 1987. 
 
http://www.tecgraf.puc-rio.br/ftool
 
 
AULA 3 
Exercícios 
 
 
 
 
 
Verificar se o pilar-parede da figura abaixo é suficiente 
para garantir a indeslocabilidade de um edifício de 10 andares, 
cuja altura total desde a fundação é igual a 30 m. A soma de 
todas as cargas verticais de serviço é igual a 28.000 kN e o concreto possui 𝑓𝑐𝑘 =
30 𝑀𝑝𝑎. 
Figura 27: Pilar Parede 
 
Fonte: autor. 
 
 
 
 
Consideração sobre o 
cálculo dos pilares – Parte II 
Aula 4 
 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Nesta aula continuaremos a estudar sobre os pilares, agora iremos fazer 
várias considerações sobre os pilares-parede. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
➢ Entender como acontece a flambagem local das lâminas dos pilares-
parede; 
➢ Estudar o dimensionamento dos pilares-parede; 
➢ Entender como é as imperfeições geométricas locais nos pilares