Fundamentos Metodo Elementos Finitos

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Orgãos de Máquinas
Fundamentos do Método dos 
Elementos Finitos
Licenciatura em Engenharia de Máquinas Marítimas
ENIDH - 2011-2012
Victor Franco
Elementos Finitos
Conceitos básicos para a utilização do M.E.F. 
no âmbito de um sistema de CAD/CAE
Principais Referências
(utilizadas nesta apresentação)
Publicações “clássicas” na área
FEM
FEM Assembly & Solution
Results from an ALGOR linear static stress analysis are 
displayed as color-coded contours of displacement 
magnitude for a section of the ship hull.
ALGOR FEA software used to analyze this pad eye and 
saddle unit of the superstructure (left). Displacement 
magnitude results are shown for an ALGOR linear static 
stress analysis of the ship port side frame (right).
Breve abordagem dos fundamentos do
Método dos Elementos Finitos aplicados na
análise de problemas de engenharia, numa
perspectiva de utilização consciente e
criteriosa
– Exemplos de formulação de elementos finitos básicos – Exemplos de formulação de elementos finitos básicos 
(barra, viga 2D
– Equações de equilibrio para análise de deformações e tensões em 
estruturas
– Erros
– Selecção de elementos com formulações matemáticas adequadas 
aos problemas a analisar
– Referencia aos Programas comerciais e integração com sistemas 
CAD/CAE
Mola linear como elemento finito:
Matriz de rigidez do 
elemento mola
Sistema constituído 
por dois elementos 
mola:
Graus de 
liberdade/deslocamentos 
globais: U1 , U2 , U3
Sistema 
discretizado em 
elementos:
diagramas de corpo 
livre individuais de livre individuais de 
cada elemento
Graus de 
liberdade/deslocamentos 
locais do elemento
Equações de equilibrio dos 
elementos individuais:
(i) – elemento i
Relação entre 
deslocamentos globais 
do sistema e dos 
elementos individuais
Equações de equilibrio dos 
elementos em termos dos 
deslocamentos globais do 
sistema:
(i) – elemento i
Equação de equilibrio do sistema global:
Matriz de rigidez 
global do sistema:
Outro exemplo:
Equação de Equação de 
equilibrio do 
sistema:
Estruturas Recticuladas 
(barras)
Elemento barra 2D 
(link-bar-truss element)
Matriz de rigidez do elemento:
Equação de equilibrio do elemento:
ο
δ
/
δ
ο
σ
/
σ
ο
Exemplo: 
estrutura recticulada 
composta por duas barras
Equação de equilibrio global:
Exemplo: formulação de um elemento Viga 2D
Teoria de vigas de Bernoulli-Euler:
Outras teorias: Mindlin, teorias de alta ordem
Teoria clássica
Bernoulli-Euler
Geometria não 
deformada
Teoria de 
deformação de corte 
de primeira ordem
Mindlin e Reissner
Teoria de 
deformação de 
corte de 
terceira ordem
Transformações de coordenadas: 
Sistema global da estrutura vs. Sistema local do elemento
Transformação de deslocamentos nodais:
Transformação de forças nodais:
Transformação das matrizes de rigidez dos elementos para o 
sistema de coordenadas global comum:
Formulação básica dos elementos no caso geral 3D:
Selecção dos elementos / modelos matemáticos
para a discretização do meio contínuo
Programas comerciais de Elementos Finitos:
ANSYS
http://www.ansys.com/Products/Simulation+Technology/Structural+Mechanics
ABAQUS - Dassault systems
http://www.simulia.com/solutions/solutions.html
ABAQUS
Programas comerciais de Elementos Finitos 
integrados com sistemas CAD :
COSMOS integrado no SolidWorks Simulation
da Dassault Systems SolidWorks Corp.
http://www.solidworks.com/sw/3d-cad-design-software.htm
Programas comerciais de Elementos Finitos:
SAMCEF
Universidade de Liége. SAMTECH
http://www.samcef.fr/en/pss.php?ID=37&W=products
Programas comerciais de Elementos Finitos:
MSC NASTRAN, PATRAN, etc. ...
http://www.mscsoftware.com/Products/CAE-Tools/Default.aspx
Programas comerciais de Elementos Finitos:
ADINA
ADINA R & D, Inc. was founded in 1986 by Dr. K.J. Bathe.
http://www.adina.com/
Programas comerciais de Elementos Finitos:
htt://www.adina.com/newsgrp.shtml
Programas comerciais de Elementos Finitos:
Programas comerciais de Elementos Finitos:
Exemplo tipo: 
resolução de um problema estático através de um programa comercial 
de análise por elementos finitos
1. Definição da geometria tridimensional do componente a analisar
(software CAD integrado)
2. Definição das condições de fronteira do problema
3. Definição das forças/pressões externas aplicadas
4. Definição das propriedades materiais do componente
estrutural de forma global ou para cada elemento
5. Malha de elementos finitos
Refinamento se necessário
Verificação das 
deformações: 
São compatíveis com 
as condições de 
fronteira e com as 
forças aplicadas?
Resultados da 
análise estática: 
Tensões 
equivalentes de 
Von-Mises
Tensões 
equivalentes de 
Von-Mises
Deslocamentos 
resultantes
Dinâmica: vibração livre de uma viga U http://www.adina.com/newsgrp.shtml
2º modo de vibração
1º modo de vibração
Instabilidade: viga de 
secção cruciforme
Modo 1
Modo 2 Modo 3
http://www.adina.com
/newsgrp.shtml
FE Mesh
Refinamento da 
malha de 
elementos finitos
Increasing mesh refinement with higher element density where local effects, Increasing mesh refinement with higher element density where local effects, 
such as stress concentration would occur: