Cálculo Diferencial: Derivadas e Aplicações

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Universidade do Estado do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
Curso de Licenciatura em Matemática
CARLOS ALAN VIEIRA DO NASCIMENTO
CÁLCULO DIFERENCIAL: DERIVADAS E SUAS APLICAÇÕES
					 
BELÉM
2018 
CARLOS ALAN VIEIRA DO NASCIMENTO
CÁLCULO DIFERENCIAL: DERIVADAS E SUAS APLICAÇÕES
Projeto de pesquisa apresentado ao Curso de Licenciatura em Matemática da Universidade do Estado do Pará. Orientado pelo Dr. Gilberto Vogado.
BELÉM
2018
SUMÁRIO
1- INTRODUÇÃO.........................................................................2
2- OBJETIVOS.............................................................................3
3- JUSTIFICATIVA.......................................................................4
4- REVISÃO TEÓRICA................................................................5
	4.1. Cálculo Diferencial: Notas Históricas..................................5
	4.2. Cálculo Diferencial..............................................................6
	4.3. Regras de Derivação..........................................................7
	4.4. Derivadas e suas aplicações..............................................8
5- METODOLOGIA......................................................................11
6- CRONOGRAMA......................................................................12
7- REFERÊNCIAS.......................................................................13
INTRODUÇÃO
O presente projeto busca apresentar algumas aplicações de derivadas, assim como suas propriedades, pois elas nos fornecem várias maneiras ou artifícios para manipular os números em uma função, possibilitando diversas maneiras de extrair informações por meio de suas aplicações. No entanto e de suma importância o contato com a história do cálculo diferencial, ou seja, como se deu seu início, em que “o desenvolvimento do cálculo foi produto de um trabalho coletivo, envolvendo grandes estudiosos desde a Grécia antiga. A área de aplicação dessa ferramenta matemática é extremamente extensa.” (RIBEIRO, 2015, p. 1)
Assim, o principal objetivo da pesquisa se trata das aplicações de derivadas, sendo uma pesquisa de cunho bibliográfico em que foram revisados alguns estudos como Dias (2016), Ribeiro (2015), Olivera (2010) e Pinto e Ercole (2009) acerca das aplicações e história do calculo diferencial.
OBJETIVOS 
Geral
Mostrar a aplicabilidade do cálculo diferencial
Específicos
Estudar o histórico do cálculo
Rever as propriedades de derivadas
Aplicar o uso das derivadas
JUSTIFICATIVA
A escolha do tema se deu após o contato com a disciplina de cálculo I e II no segundo e terceiro ano do curso de licenciatura em matemática, a qual trabalhou o cálculo diferencial e integral abordando noções e definições acerca da derivabilidade. Assim por ter grande interesse nos conteúdos dessa disciplina, principalmente nas derivadas, decidi abordar em meu projeto as aplicações de derivadas. Com isso, algumas dessas aplicações de como a exemplo acerca de taxas, máximos e mínimos e sua aplicação no teorema do valor médio.
Assim, por meio desta pesquisa busco como objetivo que ela sirva de referencial bibliográfico aos discentes de licenciatura em matemática quem tem o interesse nas aplicações de derivadas e buscam a produção de materiais dentro do cálculo diferencial.
REVISÃO TEÓRICA 
4. 1. Cálculo Diferencial: Notas Históricas 
	O cálculo mostrou-se sempre uma importante ferramenta no auxílio de várias áreas das ciências exatas, e vem desde o século passado o qual já era estudado pelos mais variados filósofos, mas somente a partir só século XVII houveram mudanças significativas a respeito do cálculo Diferencial (DIAS, 2016).
	Assim, as mudanças no cálculo tiveram início com Isaac Newton (1642-1726), no período que estava na Universidade de Cambridge teve contato com vários livros com caráter matemático o que desperto o interesse pela matemática. Após ler vários livros passou a produzir a sua própria matemática, descobrindo o teorema do binômio generalizado, depois inventando o método dos fluxos que corresponde ao atual cálculo diferencial. (RIBEIRO, 2015)
	Logo, após Isaac Newton surgiu o filosofo e matemático Leibniz (1646 – 1716) como novas reformulações e estudos sobre o cálculo, assim, Leibniz desenvolveu suas pesquisas e estudos sobre o cálculo entre 1673 e 1676 esclarecendo ideias sobre o teorema fundamental do cálculo e constituindo várias das fórmulas elementares de diferenciação. No entanto, as notações e simbolismo que Leibniz usou facilitou o reconhecimento de alguns processos e operações como a derivação e a integração, com símbolos para derivadas dx e dy como sendo a diferencial e as integrais que são: ∫ e d (OLIVEIRA, 2010).
	As contribuições de Newton e Leibniz, foi o que mais ajudou para que o cálculo se desenvolvesse e ocupam lugar de prestígio na história da matemática, o fato de compreenderem novas dotações e símbolos ao cálculo que auxiliaram a sua utilização em novos métodos (RIBEIRO, 2015).
Assim, o Cálculo Diferencial auxilia em vários conceitos e definições na matemática, química, física clássica, física moderna e economia. O cálculo tem inicialmente três "operações-base", ou seja, possui áreas iniciais dentre elas o cálculo de derivadas.
4.2. Cálculo Diferencial
O cálculo Diferencial está ligado a questões associadas a reta tangente de uma curva, cuja utilização está bastante presente e de modo natural tanto na geometria como na física (GUIDORIZZI, Hamilton L, 2016)
4.2.1. Definição
A derivada de uma função 𝑓 em um ponto de seu domínio c, denotada por 𝑓′(c) ou , é
Assim, quando esse limite existe e é finito podemos denominar de derivada de 𝑓 em c e denotada por 𝑓 ’ (c), logo:
𝑓‘(c) =
Se 𝑓 admite derivada em c, então diremos que 𝑓 é derivável ou diferenciável em c, assim temos que:
Observando que 𝑥 = c + ℎ, temos que, ℎ = 𝑥 – c
Adotemos a função 𝑓(𝑥) = 4𝑥² + 3𝑥 − 1 como exemplo. Vamos calcular a derivada da função 𝑓(𝑥) no ponto C.
 = 8c+3
Regras de Derivação:
Veremos algumas das regras de derivação segundo Guidorizzi (2016)
Derivada de uma constante
Temos que para toda função constante f(x) = k, sua deriva f ’(x)=0, pois:
Como f(x) é uma função constante, então para todo f(x + h) resulta em k, assim:
Derivada de uma potência ()
Se n ≠ 0 um natural é valida a seguinte regra: 
𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛
𝑓′(𝑥) = 𝑛.
Derivada do produto
Seja f e g funções deriváveis pela definição de derivada, temos:
(f . p)’(x) = 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)
Derivada do quociente
Seja f e g Funções deriváveis temos pela definição que:
’ (x) = 
Regra da cadeia 
Utilizada para o cálculo de funções que são compostas, valendo assim a seguinte equação:
Exemplificando, vamos calcular a derivada da função y =
Solução
y = u³, sendo u = 3x²+5, assim calculando as derivadas:
 e 
Aplicando a regra da cadeia
Derivadas e suas aplicações
Segundo Pinto e Ercole (2009), as derivadas possuem uma infinidades de aplicação em várias áreas do conhecimento como por exemplo na física, em que são bastante utilizadas. Assim, temos muito o que extrair das derivadas, elas nos fornecem vários artifícios para manipular os números em uma função, possibilitando diversas maneiras de extrair informações, elas trazem um novo meio, capaz de nos trazer novas formas de analisar dados numéricos, vejamos algumas de suas aplicações.
Máximos e Mínimos 
Uma aplicação bastante prática das derivadas está nos processos de solução dos chamados problemas de máximo e mínimo.
Exemplo 1:
Uma canoa navegando no rio Marapanim, vai de um ponto A até um ponto B, situado na mesma margem do rio, a uma distância 6km entre esses pontos. A largura do rio é de 5km. Considerando que a canoa não suba o rio, encontre o maior e o menor percurso que pode ser feito pelo barco, sabendo-se que deveser feito um embarque na margem oposta antes de ancorar no ponto B, como mostra a figura 1.
Figura 1
Solução
Temos que a distancia total da canoa é dada por C, em que C = AC + CB
Determinando AC e BC:
AC = e BC = 
Assim,
C = 0
Derivando e igualando a zero, temos:
Resolvendo a equação:
Teremos que x=3 é o único ponto crítico e é um ponto de mínimo local. Verificando o intervalo [0,6], podemos observar isso:
a) C(0) = 5 + √61 é máximo absoluto, portanto corresponde à maior distância;
b) C(3) = 2√34 é o mínimo absoluto, portanto corresponde à menor distância;
c) C(6) = 5 + √61 é máximo absoluto, portanto corresponde à maior distância
Teorema do valor Médio
O teorema do valor médio (Vm = ) pode ser observado e interpretado de varias maneiras principalmente no quis respeito as taxas de variação (PINTO; ERCOLE, 2009)
	Exemplo 1:
O velocímetro de um automóvel registra a velocidade de 50 km/h quando ele passa por um marco A ao longo de uma rodovia. Três minutos mais tarde, numa posição B, a cinco quilômetros da primeira posição, o velocímetro registra 55 km/h.
Podemos usar o Teorema do Valor Médio para mostrar que, em algum momento do percurso, o motorista ultrapassou o limite de velocidade naquela estrada, que é de 70 km/h. Veja só como fazemos isto: Primeiro, consideramos o tempo decorrido t em horas após o carro ter passado pelo ponto A na estrada e f a função que descreve seu deslocamento.
Uma vez que três minutos corresponde a de uma hora, a velocidade média do carro entre os pontos A e B da rodovia foi Vm = = 5x = 100km/h. Isso quer dizer que, em algum momento do percurso, o carro atingiu a velocidade de 100 km/h (garantido pelo Teorema do Valor Médio), ultrapassando, assim, o limite de velocidade na estrada.
METODOLOGIA
A pesquisa realizada neste projeto tem por caráter bibliográfico, em que se faz necessário uma pesquisa aprofundada acerca das aplicações de derivaras além de estudos sobre o histórico e propriedades do cálculo diferencial. Assim, segundo Gil (2008):
 A principal vantagem da pesquisa bibliográfica reside no fato de permitir ao investigador a cobertura de uma gama de fenômenos muito mais ampla do que aquela que poderia pesquisar diretamente. Esta vantagem se torna particularmente importante quando o problema de pesquisa requer dados muito dispersos pelo espaço. Por exemplo, seria impossível a um pesquisador percorrer todo o território brasileiro em busca de dados sobre a população ou renda per capita; todavia, se tem à sua disposição uma bibliografia adequada, não terá maiores obstáculos para contar com as informações requeridas. A pesquisa bibliográfica também é indispensável nos estudos históricos. Em muitas situações, não há outra maneira de conhecer os fatos passados senão com base em dados secundários (GIL, p. 50, 2008).
Logo, espera-se que o presente projeto e futuro trabalho de conclusão de curso sirva com referencial para alunos que tem o interesse nas aplicações de derivadas.
CRONOGRAMA~
	Mês/ Etapas
	JUN
	JUL
	AGO
	SET
	OUT
	NOV
	DEZ
	Escolha do tema
	X
	
	
	
	
	
	
	Levantamento
bibliográfico
	
	X
	X
	
	
	
	
	Pesquisas em bibliotecas públicas
	
	
	x
	
	
	
	
	Leituras do material
	
	X
	x
	
	
	
	
	1° capitulo 
	
	X
	x
	
	
	
	
	Estudar sobre As aplicações de derivadas
	
	
	x
	x
	
	
	
	Escrever sobre a aplicabilidade de derivadas
	
	
	x
	x
	
	
	
	Revisão final
	
	
	
	
	
	
	
	Pré-defesa do projeto
	
	
	
	
	
	
	
REFERÊNCIAS
DIAS, G. A. Cálculo Diferencial e Integral e suas Aplicações. vitória da conquista, 2016.
GIL, Carlos. Métodos e técnicas de pesquisa social. São Paulo: Atlas, p.1-200, 2008.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de Cálculo vol. 1. 5.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
OLIVEIRA, T. B. cálculo diferencial integral aplicado em alguns sistemas físicos, JUSSARA/GO, 2010.
PINTO, M. M. F; ERCOLE, G. introdução ao cálculo diferencial. Belo Horizonte : Editora UFMG, 2009.
RIBEIRO, T. A. S. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL: ABORDAGEM HISTÓRICA. São Joaquim/ Lorena, 2015.