2016 2 EP 04 IEM

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Informa´tica no Ensino da Matema´tica EP/04 1
Informa´tica no Ensino da Matema´tica
EP/04 — 06/08/2016
Prezado aluno,
Neste EP continuaremos com o estudo dos recursos ba´sicos do GeoGebra 5.x. Na˜o
deixe as suas du´vidas acumularem! Caso elas aparec¸am ou caso voceˆ enfrente algum
tipo de dificuldade com o computador, entre em contato com o tutor a` distaˆncia o mais
ra´pido poss´ıvel! Se preferir, escreva uma mensagem na sala de tutoria da plataforma
do CEDERJ, que eu responderei pessoalmente!
Se voceˆ ainda na˜o conseguiu instalar o GeoGebra 5.x em seu computador, entre em
contato com o tutor a` distaˆncia por telefone ou descreva o seu problema (em detalhes)
na plataforma o quanto antes! Lembre-se tambe´m que voceˆ pode usar o programa nos
computadores do seu polo.
No lugar de mo´dulos escritos, nossa disciplina usara´ tutoriais na forma de pequenos
filmes que podera˜o ser acessados via Internet.
ATENC¸A˜O!
As notas das ADs sera˜o dadas pelas notas das AEs. O ca´lculo da nota de cada AD
sera´ feito da seguinte maneira: ela e´ a me´dia aritme´tica simples das notas atribu´ıdas
para cada AE ate´ antes da data de cada AP. Importante: as respostas das AEs devem
ser sempre justificadas, mesmo que esta solicitac¸a˜o na˜o esteja explicitamente colocada
no enunciado!
Humberto Jose´ Bortolossi
Fundac¸a˜o CECIERJ HJB Conso´rcio CEDERJ
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ATIVIDADE 1
Estude os tutoriais do GeoGebra 5.x de nu´meros 14 a 16 dispon´ıveis no seguinte enderec¸o
(escolha a opc¸a˜o “VI´DEOS TUTORIAIS” no menu principal):
http://www.uff.br/geogebra/.
Nestes tutoriais, voceˆ aprendera´ a construir mediatrizes e bissetrizes com o GeoGebra 5.x.
Atenc¸a˜o: recomendamos que, ale´m de assistir aos tutoriais, voceˆ tente, conco-
mitantemente, reproduzir as instruc¸o˜es apresentadas! Afinal, uma coisa e´ ver, outra
e´ fazer.
Implemente a construc¸a˜o descrita no tutorial 16 e, enta˜o, salve-a com o nome “tutorial-
16.ggb”. Anexe este arquivo em uma mensagem na atividade da plataforma de nome “AE-
01: Construc¸o˜es do Tutorial 16”. Prazo de entrega dessa atividade: 16/08/2016.
ATIVIDADE 2
(Uma fala´cia cla´ssica em geometria) A seguir temos cinco passos de uma demonstrac¸a˜o
errada para o seguinte teorema falso: “todo triaˆngulo e´ iso´sceles”.
(a) Usando somente la´pis e papel, tente descobrir qual passo esta´ errado. O ideal e´ que
voceˆ fac¸a os seus pro´prios desenhos no papel mas, se quiser, use esta figura aqui:
A B
C
F
O
E D
.
(b) Implemente os passos abaixo no GeoGebra 5.x e, novamente, tente descobrir qual passo
esta´ errado. Importante: ao fazer a construc¸a˜o no GeoGebra 5.x, use retas
ao inve´s de segmentos, pois assim voceˆ podera´ marcar os pontos E e F do
Passo 2.
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Passo 1. No triaˆngulo 4ABC, seja O o ponto de intersec¸a˜o da mediatriz ←→FO do lado AB
com a bissetriz
←→
CO do aˆngulo ∠ACB.
Passo 2. Construa os segmentos OE perpendicular ao lado AC e DO perpendicular ao
lado BC, respectivamente.
Passo 3. Os triaˆngulos retaˆngulos 4CEO e 4CDO sa˜o congruentes e, portanto, EO =
DO e EC = DC.
Passo 4. Como AO = BO, o triaˆngulo retaˆngulo 4AEO e´ enta˜o congruente ao triaˆngulo
retaˆngulo 4BDO e, assim, AE = BD.
Passo 5. Consequentemente, AC = AE + EC = BD + DC = BC e o triaˆngulo 4ABC e´
iso´sceles.
ATIVIDADE 3
(Uma fala´cia cla´ssica em geometria) Abaixo temos os seis passos de uma demonstrac¸a˜o
errada para o seguinte teorema falso: “todo aˆngulo e´ reto”.
(a) Usando somente la´pis e papel, tente descobrir qual passo esta´ errado. O ideal e´ que
voceˆ fac¸a os seus pro´prios desenhos no papel mas, se quiser, use esta figura aqui:
BA
D C
ER
Q
P
O
(b) Implemente os passos abaixo no GeoGebra 5.x e, novamente, tente descobrir qual passo
esta´ errado.
Passo 1. Dado um aˆngulo α, seja ABCD um quadrado e seja E um ponto com m(BE) =
m(BC) e m(∠EBA) = α. Sejam tambe´m R o ponto me´dio de DE, P o ponto
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me´dio de DC, Q o ponto me´dio de AB e O a intersec¸a˜o da reta
←→
PQ com a me-
diatriz do segmento DE. (veja a figura a seguir).
Passo 2. Os triaˆngulos ΔAQO e ΔBQO sa˜o congruentes, desde que
←→
OQ e´ a mediatriz do
segmento AB. Segue-se enta˜o que m(AO) = m(BO).
Passo 3. Os triaˆngulos ΔDRO e ΔERO sa˜o congruentes desde que
←→
RO e´ a mediatriz do
segmento DE. Segue-se enta˜o que m(DO) = m(EO).
Passo 4. Agora, m(DA) = m(BE), pois ABCD e´ um quadrado e E e´ um ponto escolhido
de tal maneira que m(BE) = m(BC).
Passo 5. Desta maneira, os triaˆngulos ΔOAD e ΔOBE sa˜o congruentes porque seus lados
possuem o mesmo tamanho.
Passo 6. Segue-se, portanto, que m(α) = m(∠EBA) = m(∠EBO) − m(∠ABO) =
m(∠OAD)−m(∠OAB) = m(∠BAD) = 90◦.
ATIVIDADE 4
Seja ΔABCP um quadrado qualquer. Sobre o lado AB construa o triaˆngulo equila´te-
ro ΔABQ “para dentro” do quadrado e, sobre o lado BC, construa o triaˆngulo equila´te-
ro ΔCBR “para fora” do quadrado.
A B
P C
Q
R
Implemente esta construc¸a˜o no GeoGebra 5.x. Os nomes dos pontos devem aparecer! Mo-
vimente os pontos livres e tente descobrir algum invariante geome´trico para os pontos P , Q
e R. Deˆ uma demonstrac¸a˜o para esse invariante.
ATIVIDADE 5
A partir de dois pontos livres A e B, construa o quadrado ABCD de lados AB, BC,
CD e DA. Agora, desenhe um triaˆngulo equila´tero ABE para dentro do quadrado. Em
seguida, construa, para fora do triaˆngulo ABE, dois quadrados: o primeiro, AERS, de
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lados AE, ER, RS e SA, e o segundo, EBPQ, de lados BE, EQ, QP e PB. Por fim, trace
o quadrila´tero CQRD.
A
B
C
D
E P
Q
R
S
Implemente esta construc¸a˜o no GeoGebra 5.x. Os nomes dos pontos devem aparecer! Mo-
vimente os pontos livres e tente descobrir algum invariante geome´trico para o quadrila´tero
CQRD.
ATIVIDADE 6
Na Atividade 3 do EP-02 da semana passada, estudamos o Teorema de Varignon: os pontos
me´dios X, Y , W e Z dos lados AB, BC, CD e DA de um quadrila´tero ABCD formam
sempre um paralelogramo (possivelmente degenerado).
Um aluno tentou dar a seguinte demonstrac¸a˜o para o teorema: “No GeoGebra 5.x, eu
construo uma reta paralela ao lado ZW passando pelo ponto X. Percebo enta˜o que o seg-
mento XY esta´ contido nessa reta paralela. Do mesmo modo, eu construo uma reta paralela
ao lado XZ passando pelo ponto W . Observo enta˜o que o segmento Y W esta´ contido nessa
reta paralela. Concluo enta˜o que XY e´ paralelo a ZW e que Y W e´ paralelo a XZ. Dessa
maneira, o quadrila´tero XY ZW e´ um paralelogramo!”.
A
C
B
Y
X
D
Z
W
A
C
B
Y
X
D
Z
W
Esta demonstrac¸a˜o esta´ correta? Justifique sua resposta em uma mensagem na atividade da
plataforma de nome “AE-02: Ana´lise de uma demonstrac¸a˜o para o Teorema de Varignon”.
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Prazo de entrega dessa atividade: 16/08/2016.
ATIVIDADE 7
(O teorema de Pappus) Sejam r e s duas retas. Construa os pontos A, B e C sobre
a reta r e construa os pontos D, E e F sobre a reta s. Sejam P o ponto de intersec¸a˜o das
retas
←→
AE e
←→
DB, Q o ponto de intersec¸a˜o das retas
←→
AF e
←→
DC e R o ponto de intersec¸a˜o das
retas
←→
BF e
←→
EC: P =
←→
AE∩←→DB, Q = ←→AF∩←→DC e R = ←→BF∩←→EC. Implemente esta construc¸a˜o
no GeoGebra 5.x. Os nomes dos pontos e das reta r e s devem aparecer! Use cores diferentes
para realc¸ar as retas que definem os pontos P , Q e R. Movimente os pontos semilivres e
tente descobriralgum invariante geome´trico. Ao movimentar os pontos, certifique-se
que os elementos de sua construc¸a˜o (por exemplo, pontos de intersec¸a˜o) na˜o
desaparecem! Dica: use sempre retas ao inve´s de segmentos. Caso na˜o tenha
descoberto nenhum invariante, procure por “Teorema de Pappus” no Google.
ATIVIDADE 8
(O teorema de Pascal para a hipe´rbole) Seja H uma elipse. Construa os pontos A,
B, C, D, E e F sobre a elipse H. Sejam P o ponto de intersec¸a˜o das retas ←→AE e ←→DB,
Q o ponto de intersec¸a˜o das retas
←→
AF e
←→
DC e R o ponto de intersec¸a˜o das retas
←→
BF
e
←→
EC: P =
←→
AE ∩ ←→DB, Q = ←→AF ∩ ←→DC e R = ←→BF ∩ ←→EC. Implemente esta construc¸a˜o
no GeoGebra 5.x. Para construir uma hipe´rbole, use a ferramenta
a partir de dois pontos que especificam os focos da hipe´rbole e um ponto que pertence a`
hipe´rbole. Os nomes dos pontos devem aparecer! Use cores diferentes para realc¸ar as retas
que definem os pontos P , Q e R. Salve sua construc¸a˜o com o nome “teorema-de-pascal.ggb”
e, enta˜o, anexe o arquivo em uma mensagem na atividade da plataforma de nome “AE-03:
Teorema de Pascal”. Movimente os pontos semilivres e tente descobrir algum invariante
geome´trico. Ao movimentar os pontos, certifique-se que os elementos de sua
construc¸a˜o (por exemplo, pontos de intersec¸a˜o) na˜o desaparecem! Dica: use
sempre retas ao inve´s de segmentos. Registre esse invariante na mesma mensagem em
que voceˆ anexou o arquivo (caso na˜o tenha descoberto nenhum, procure por “Teorema de
Pascal” no Google). Opcional: fornec¸a uma demonstrac¸a˜o para o seu invariante. Prazo
de entrega dessa atividade: 16/08/2016.
Fundac¸a˜o CECIERJ HJB Conso´rcio CEDERJ