Queda Livre

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OBJETO DE CONHECIMENTO: CINEMÁTICA 
Competência de área 6 – Apropriar-se de conhecimentos da física para, em situações problema, interpretar, avaliar ou planejar 
intervenções científico-tecnológicas. 
H20 - Caracterizar causas ou efeitos dos movimentos de partículas, substâncias, objetos ou corpos celestes. 
 
AULA 03 - CINEMÁTICA 
 
 QUEDA LIVRE 
 
Desde a Antiguidade o estudo dos movimentos verticais era de grande importância para alguns cientistas conceituados, 
este era o caso de Galileu Galilei que fez um estudo minucioso da queda livre. 
Conta a história que Galileu foi até o topo da Torre de Pisa, na Itália, e de lá realizou experimentos para comprovar sua 
afirmativa sobre o movimento de queda dos corpos. Ele abandonou várias esferas de massas diferentes e percebeu que elas atingiam 
o solo no mesmo instante. Mesmo após as evidências de suas experiências, muitos dos seguidores de Aristóteles não se 
convenceram, e Galileu foi alvo de perseguições em razão de suas ideias revolucionárias. É importante deixar claro que a afirmativa 
de Galileu só é válida para queda de corpos que estão no vácuo, ou seja, livre da resistência do ar ou no ar e com resistência 
desprezível. Dessa forma, o movimento é denominado queda livre. 
 
(SANTOS, Marco Aurélio Da Silva. "O movimento de queda livre"; Brasil Escola. Disponível em <http://brasilescola.uol.com.br/fisica/o-movimento-
queda-livre.htm>. Acesso em 16 de fevereiro de 2016.) 
 
 
Torre de pisa, onde galileu supostamente teria realizado experimentos. 
(Disponível em: http://google.com.br/ Acesso em 16/02/2016) 
 
É importante observar que embora o movimento seja vertical ele ficará sujeito a leis de um movimento que já estudamos 
anteriormente, o movimento uniformemente variado, pois o agente motriz será a aceleração gravitacional local. Outro fato muito 
importante é que estaremos desprezando a resistência do ar, já que todas as observações serão feitas para movimentos no vácuo. 
Desta forma todos os corpos soltos num mesmo local, livres da resistência do ar, caem com uma mesma aceleração, 
quaisquer que sejam suas massas. Essa aceleração é denominada gravidade (g). 
 
 
2 
 
 
 A tabela seguinte mostra algumas gravidades importantes: 
 
 
 
Podemos aproximar a gravidade da Terra nas proximidades de sua superfície para 10 m/s2, como forma de facilita o estudo 
matemático de algumas situações. 
 
1.1 Cálculos usuais 
 
 
 
3 
 
2
2
2
2
2
o
Tempodequedalivre
at
s v t
gt h
h t
g
  
  
 
0
Velocidade final em funçãodotempo
v v at
v gt
 

 
2 2
0
2
2
2
2
Velocidade final em funçãoda altura dequeda
v v a s
v gh
v gh
  


 
1.2 Deslocamentos sucessivos 
Como se trata de um M.U.V. vertical, um objeto em queda livre, a partir do repouso, apresenta deslocamentos escalares 
sucessivos (em intervalos de tempo iguais) diretamente proporcionais aos números ímpares. 
 
Repare que as distâncias descidas, em sucessivos intervalos de tempo (t), formam uma progressão aritmética proporcional 
aos números ímpares, ou seja: d, 3d, 5d, 7d, etc. 
 
DESCRIÇÃO MATEMÁTICA DOS MOVIMENTOS VERTICAIS NO VÁCUO 
 
As equações que descrevem os movimentos verticais no vácuo são as mesmas que apresentamos no MRUV, já que os movimentos verticais 
possuem aceleração constante e também são movimentos retilíneos. 
Portanto as equações que regem esses movimentos são: 
 
 QUEDA LIVRE LANÇAMENTO VERTICAL 
FUNÇÃO DA 
VELOCIDADE .V g t
 
.
o
V V g t 
 
FUNÇÃO HORÁRIA 
21 .
2
h g t 
 
21. .
2
o
h V t g t  
 
EQUAÇÃO DE 
TORRICELLI 2 2. .V g h 
 2 2 2. .oV V g h  
 
 
 
 
 
4 
 
LANÇAMENTO HORIZONTAL 
Existem inúmeras aplicações de lançamento horizontal em nosso cotidiano. Sempre que se pode desprezar os efeitos do ar, um 
corpo lançado nas proximidades da Terra, com velocidade que não seja vertical, executará um movimento cuja trajetória não será 
vertical. A trajetória seguida pelo corpo nessas circunstâncias é um arco de parábola 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
 
 
 
 
 
1 DEFINIÇÃO 
 
Um corpúsculo é lançado horizontalmente, no vácuo, com velocidade inicial Vo, de uma altura H em relação ao solo, no instante ao 
qual se associa t=0. Para o estudo de seu movimento adotou-se um sistema de coordenadas (x O y) fixo no solo, com origem na 
posição de lançamento e com eixos Ox e Oy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
H 
VO 
 
 
5 
 
 
 
1.1 A projeção horizontal (x) do móvel descreve um Movimento Uniforme. 
 
O vetor velocidade no eixo x se mantém constante, sem alterar a direção, sentido e o módulo. 
 
 Para calcular o alcance (
A
) do corpo basta calcular o espaço percorrido no eixo x (MRU), Logo: 
 
 
 
 
 
1.2 A projeção vertical (y) do móvel descreve um movimento uniformemente variado (Queda Livre). 
 
O vetor velocidade no eixo y mantém a direção e o sentido porém o módulo aumenta a medida que se aproxima do solo. 
 
Com base nas equações do MUV, podemos escrever as equações para a queda livre. 
 
 
 
 
O tempo de Alcance (
x
t
) é igual ao tempo de queda (
y
t
). 
 
 
 
x
S A
V V
t t

  

 
.
x
A V t
 
21
. .
2
H g t
 
.
y
V g t
 
2 2. .
y
V g H
 
 
 
6 
 
LANÇAMENTO OBLÍQUO 
 
Quando uma bola é chutada em uma partida de futebol, podemos observar que ela realiza um movimento parabólico. Esse movimento é chamado 
de lançamento oblíquo. 
 
Considere um corpo sendo lançado a partir do solo, formando um ângulo Ɵ com a horizontal, com velocidade inicial v0. Desprezando as forças 
dissipativas, o corpo fica sujeito apenas à ação da gravidade, descrevendo uma trajetória parabólica. 
 
 
1 DEFINIÇÃO 
Uma partícula é lançada com velocidade inicial v0, segundo um ângulo  em relação ao eixo horizontal (lançamento 
oblíquo), estando sob a ação da aceleração da gravidade, agindo verticalmente para baixo, impondo uma trajetória 
parabólica, resultante da composição de dois movimentos. 
 
 
 
Na figura a seguir vemos um exemplo típico de lançamento oblíquo realizado por um jogador de golfe. 
A trajetória é parabólica, como você pode notar na figura acima. Como a análise deste movimento não é fácil, é 
conveniente aplicarmos o princípio da simultaneidade de Galileu. Veremos que ao projetamos o corpo simultaneamente 
no eixo x e y teremos dois movimentos: 
 
Disponível em: http://brasilescola.uol.com.br/ Acesso em: 15 de fev. de 2014. 
 
1.1 Em relação a horizontal, a projeção da bola executa um MRU. 
A velocidade V0 deve ser projetada na direção horizontal e na vertical. 
xo o.
V V cos
 
yo o.
V V sen
 
Como na horizontal, temos um MRU, assim utilizamos a equação: 
 
xo o
S A A
V V V .cos
t t t
    

 
o
A V .cos .t
 
 
 
7 
 
 
1.2 Em relação a vertical, a projeção da bola executa um movimento de aceleração constante e de módulo igual a g. Trata-se de 
um MUV. (lançamento vertical) 
 
Para analisarmos o movimento na vertical utilizamos as equações do MUV. 
 
yy o
V V g.t 
, para calcular o tempo de subida, temos: 
 
0
o o
V .sen g.t g.t V .sen    
, assim: 
 
 
 
A Altura Máxima, podemos determinar através da equação de Torricelli. 
 
 
 
O Alcance, pode ser determinado utilizando a equação da velocidade para o MRU. 
 
 
 
O tempo total (subida + descida) e igual ao tempo de alcance. 
IMPORTANTE: 
1) O alcance será máximo para um ângulo θ = 45º. 
 
2) Os alcances serão iguais paraângulos complementares (θ1 + θ2 = 90º). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2
o
V .sen
A
g


 
2 2
2
o
MAX
V .sen
H
.g


 
o
subida
V .sen
t
g


 
 
 
8 
 
 
EXERCÍCIOS 
1. (Pucpr 2017) Num parque da cidade, uma criança lança uma bola verticalmente para cima, percebendo a sua trajetória de 
subida e descida e, depois, recebe-a em suas mãos. 
O lançamento dessa bola poderá ser representado pelo gráfico posição 
(y)
 versus tempo 
(t),
 em que a origem dos eixos 
coincide com as mãos da criança. 
Ao considerar a posição 
(y)
 da bola em função do tempo 
(t),
 assinale o gráfico que descreve corretamente o seu movimento a 
partir das mãos da criança. 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
2. (Fatec 2017) Em um jogo de futebol, o goleiro, para aproveitar um contra-ataque, arremessa a bola no sentido do campo 
adversário. Ela percorre, então, uma trajetória parabólica, conforme representado na figura, em 
4
 segundos. 
 
 
 
9 
 
 
 
Desprezando a resistência do ar e com base nas informações apresentadas, podemos concluir que os módulos da velocidade 
V,
 de lançamento, e da velocidade 
HV ,
 na altura máxima, são, em metros por segundos, iguais a, respectivamente, 
 
Dados: 
sen 0,8;
cos 0,6.
β
β


 
a) 
15
 e 
25.
 
b) 
15
 e 
50.
 
c) 
25
 e 
15.
 
d) 
25
 e 
25.
 
e) 
25
 e 
50.
 
 
3. (G1 - ifce 2016) A velocidade horizontal mínima necessária para uma pessoa pular do ponto 
X
 e atingir o ponto 
Y,
 como 
mostra a figura abaixo, deve ser de 
 
 
 
(Despreze a resistência do ar e considere a aceleração da gravidade como sendo 
2g 10 m s )
 
a) 
1m s.
 
b) 
5 m s.
 
c) 
4 m s.
 
d) 
8 m s.
 
e) 
9 m s.
 
 
4. (Ufjf-pism 1 2016) Galileu, em seu livro “Diálogo sobre os Dois Principais Sistemas do Mundo”, apresentou a independência 
dos movimentos para, entre outras coisas, refutar a imobilidade da Terra. Em um de seus exemplos, ele descreve o seguinte: 
imagine um canhão na posição horizontal sobre uma torre, atirando paralelamente ao horizonte. Não importa se a carga da 
 
 
10 
 
pólvora é grande ou pequena, e o projétil caia a 
100 m
 ou 
500 m,
 o tempo que os projéteis levam para chegar ao chão é o 
mesmo. 
(Texto adaptado do Livro Diálogo sobre os dois Principais Sistemas do Mundo). 
 
 
Em relação ao texto e à independência dos movimentos, julgue os itens abaixo: 
 
I. o texto apresenta uma ideia errada, pois a bala de canhão que percorre o maior trajeto permanece por maior tempo no ar; 
II. os tempos de lançamento das duas balas de canhão são os mesmos quando comparados ao tempo de queda de uma terceira 
bola que é abandonada da boca do canhão e cai até a base da torre; 
III. o texto não apresenta uma ideia correta sobre o lançamento de projéteis, pois quanto maior a carga, maior o tempo que a 
bala de canhão permanece no ar; 
IV. o movimento da bala de canhão pode ser dividido em dois movimentos independentes: um na vertical, e outro na 
horizontal. 
 
Os seguintes itens são CORRETOS: 
a) I, II e III 
b) II e IV. 
c) II, III e IV 
d) I, II e IV 
e) I e IV 
 
5. (Uerj 2016) Quatro bolas são lançadas horizontalmente no espaço, a partir da borda de uma mesa que está sobre o solo. 
Veja na tabela abaixo algumas características dessas bolas. 
 
Bolas Material 
Velocidade 
inicial 
1(m s )
 
Tempo de 
queda 
(s)
 
1
 chumbo 
4,0
 
1t
 
2
 vidro 
4,0
 
2t
 
3
 madeira 
2,0
 
3t
 
4
 plástico 
2,0
 
4t
 
 
A relação entre os tempos de queda de cada bola pode ser expressa como: 
a) 
1 2 3 4t t t t  
 
b) 
1 2 3 4t t t t  
 
c) 
1 2 3 4t t t t  
 
d) 
1 2 3 4t t t t  
 
 
6. (Pucpr 2016) Durante um jogo de futebol, um goleiro chuta uma bola fazendo um ângulo de 
30
 com relação ao solo 
horizontal. Durante a trajetória, a bola alcança uma altura máxima de 
5,0 m.
 Considerando que o ar não interfere no 
movimento da bola, qual a velocidade que a bola adquiriu logo após sair do contato do pé do goleiro? 
Use 
2g 10 m s .
 
 
 
 
11 
 
 
a) 
5 m s.
 
b) 
10 m s.
 
c) 
20 m s.
 
d) 
25 m s.
 
e) 
50 m s.
 
 
7. (Ucs 2016) Quando um jogador de futebol é muito veloz, uma forma divertida de se referir a essa qualidade é dizer que ele é 
capaz de cobrar escanteio para a área adversária e ele mesmo correr e conseguir chutar a bola antes de ela tocar o chão. 
Suponha um jogador ficcional que seja capaz de fazer isso. Se ele cobrar o escanteio para dentro da área fornecendo à bola 
uma velocidade inicial de 
20 m s,
 fazendo um ângulo de 
60
 com a horizontal, qual distância o jogador precisa correr, em 
linha reta, saindo praticamente de forma simultânea à cobrança de escanteio, para chutar no gol sem deixar a bola tocar no 
chão? Para fins de simplificação, considere que a altura do chute ao gol seja desprezível, que 
sen 60 0,8, 
 
cos60 0,5, 
 e 
que a aceleração da gravidade seja 
210 m s .
 
a) 
6 m
 
b) 
12 m
 
c) 
24 m
 
d) 
32 m
 
e) 
44 m
 
 
8. (Ufsm 2015) A castanha-do-pará (Bertholletia excelsa) é fonte de alimentação e renda das populações tradicionais da 
Amazônia. Sua coleta é realizada por extrativistas que percorrem quilômetros de trilhas nas matas, durante o período das 
chuvas amazônicas. A castanheira é uma das maiores árvores da floresta, atingindo facilmente a altura de 
50m.
 O fruto da 
castanheira, um ouriço, tem cerca de 
1kg
 e contém, em média, 
16
 sementes. Baseando-se nesses dados e considerando o 
valor padrão da aceleração da gravidade 
29,81m / s ,
 pode-se estimar que a velocidade com que o ouriço atinge o solo, ao cair 
do alto de uma castanheira, é de, em 
m / s,
 aproximadamente, 
a) 
5,2.
 
b) 
10,1.
 
c) 
20,4.
 
d) 
31,3.
 
e) 
98,1.
 
 
 
 
12 
 
9. (Mackenzie 2015) Vários corpos idênticos são abandonados de uma altura de 
7,20m
 em relação ao solo, em intervalos de 
tempos iguais. Quando o primeiro corpo atingir o solo, o quinto corpo inicia seu movimento de queda livre. Desprezando a 
resistência do ar e adotando a aceleração da gravidade 
2g 10,0 m / s ,
 a velocidade do segundo corpo nessas condições é 
a) 
10,0 m / s
 
b) 
6,0 m / s
 
c) 
3,0 m / s
 
d) 
9,0 m / s
 
e) 
12,0 m / s
 
 
10. (Upf 2015) O Brasil, em 2014, sediou o Campeonato Mundial de Balonismo. Mais de 20 equipes de diferentes 
nacionalidades coloriram, com seus balões de ar quente, o céu de Rio Claro, no interior de São Paulo. Desse feito, um professor 
de Física propôs a um estudante de ensino médio a seguinte questão: considere um balão deslocando-se horizontalmente, a 
80 m
 do solo, com velocidade constante de 
6 m / s.
 Quando ele passa exatamente sobre uma pessoa parada no solo, deixa 
cair um objeto que estava fixo em seu cesto. Desprezando qualquer atrito do objeto com o ar e considerando 
2g 10 m / s ,
 
qual será o tempo gasto pelo objeto para atingir o solo, considerado plano? A resposta correta para a questão proposta ao 
estudante é: 
 
a) 2 segundos. 
b) 3 segundos. 
c) 4 segundos. 
d) 5 segundos. 
e) 6 segundos. 
 
 
 
13 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [A] 
 
A posição em função do tempo de um objeto em lançamento vertical varia quadraticamente,indicando o gráfico de uma 
parábola, sendo o movimento de subida retardado e a descida acelerado. O movimento é retilíneo uniformemente retardado 
na subida até a altura máxima atingida pelo objeto e a descida passa a ser acelerada sendo em ambos os trechos a aceleração 
igual à da gravidade. 
 
Resposta da questão 2: 
 [C] 
 
No eixo horizontal, o movimento é uniforme com velocidade constante 
Hv ,
 portanto com a distância percorrida e o tempo, 
podemos calculá-la. 
H H H
s 60 m
v v v 15 m s
t 4 s
Δ
Δ
    
 
 
Com o auxílio da trigonometria e com a velocidade horizontal 
Hv ,
 calculamos a velocidade de lançamento 
v.
 
H Hv v 15 m scos v v 25 m s
v cos 0,6
β
β
     
 
 
Portanto, na ordem solicitada na questão a resposta correta é alternativa [C]. 
 
Resposta da questão 3: 
[B] 
 
Para sabermos qual a velocidade mínima que ele deve exercer para realizar o salto, primeiro precisamos saber quanto tempo 
que ele vai demorar pra descer em queda livre. y
2
0
2
1
S V t a t
2
1
S 0 a t
2
2 S 2 1,8
t t t 0,6 s
a 10
Δ Δ Δ
Δ Δ
Δ
    
   

    
 
Descobrimos que ele demora 
0,6 s
 pra cair, logo ele deverá percorrer 
3 m
 em 
0,6 s.
 A velocidade inicial que ele deve 
exercer será: 
x x x x0 0 0 0
S 3
S V t V V V 5 m s
t 0,6
Δ
Δ Δ
Δ
       
 
 
Vale lembrar que a velocidade no eixo 
y
 sempre será um M.R.U.V. e a velocidade e no eixo 
x
 sempre será um M.R.U. 
 
Resposta da questão 4: 
 [B] 
 
Observações: 
Obviamente que Galileu estava desconsiderando os efeitos do ar; 
Na afirmativa [II] entenda-se tempos de movimento e não tempos de lançamento. 
 
 
14 
 
 
[I] Incorreta. Pelo princípio da independência dos movimentos, na vertical os dois projéteis sofrem a mesma aceleração, que é a 
própria aceleração da gravidade, tendo o mesmo tempo de movimento que o de um corpo em simples queda livre. 
[II] Correta. Os tempos de movimento são iguais independente da massa e da velocidade. 
[III] Incorreta. A ideia está correta. 
[IV] Correta. 
 
Resposta da questão 5: 
 [D] 
 
No enunciado é dito que se trata se um lançamento horizontal. Como neste tipo de lançamento a componente vertical da 
velocidade inicial é nula e o tempo de queda é dado por 
q
2 h
t
g


 
 
Podemos dizer que a o tempo de queda não depende da velocidade inicial. Desta forma, os tempos de queda das quatro bolas 
são iguais. 
1 2 3 4t t t t  
 
 
Resposta da questão 6: 
 [C] 
 
Sabendo que na posição da altura máxima a componente vertical da velocidade é zero, utilizando a equação de Torricelli, 
podemos dizer que: 
2 2
y oy
2
oy máx
2
oy
oy
oy
v v 2 a S
0 v 2 g H
v 2 10 5
v 100
v 10 m s
Δ   
   
  


 
 
Note que a aceleração neste movimento é em módulo igual a aceleração da gravidade. Porém, 
a g, 
 devido a aceleração da 
gravidade, no movimento analisado, está contra o movimento. 
 
Sabendo que o ângulo de lançamento da bola é de 
30 C,
 podemos encontrar a velocidade inicial da bola. 
 
 
oy o
oy
o
o
v v sen 30
v 10
v
sen 30 1 2
v 20 m s
  
 


 
 
Resposta da questão 7: 
 [D] 
 
 
 
15 
 
 
 
y
y y y
y 0
V Vsen60 V 20 0,8 V 16 m s
V V g t 0 16 10t t 1,6 s
     
       
 
 
A bola demora 
1,6 s
 pra subir e 
1,6 s
 pra descer. Logo, o tempo total será: 
t s d tt t t t 1,6 1,6 3,2 s     
 
 
x
0 0
0
S S V t
S V t S 10 3,2 S 32 mΔ Δ Δ
 
      
 
 
Resposta da questão 8: 
 [D] 
 
Aplicando a equação de Torricelli à queda livre, temos: 
2v 2 gh v 2 gh 2 9,81 50 981 v 31,3 m/s.        
 
 
Resposta da questão 9: 
 [D] 
 
Calculando o tempo de queda: 
 2
q q q
2 7,22 h1
h g t t 1,44 t 1,2 s.
2 g 10
      
 
 
A figura mostra os cinco corpos e o tempo (t) de movimento de cada um deles. 
 
 
 
16 
 
 
 
A velocidade do 2º corpo é: 
 0v v gt v 0 10 0,9 v 9 m/s.      
 
 
Resposta da questão 10: 
 [C] 
 
Temos um Lançamento Horizontal com velocidade inicial de 6 m/s, mas o que importa é a componente da velocidade no eixo 
vertical que no caso é nula, e para determinar o tempo de queda, como o corpo foi abandonado temos uma queda livre, 
usamos a equação horária das posições verticais, considerando o sentido positivo para baixo sendo a origem das posições dada 
pelo balão: 
2
0 0
t
h h v t g
2
    
 
 
Aplicando as condições iniciais: 
0v 0,
 
0h 0,
 temos: 
2
2t80 10 t 16 t 4 s
2
     
 
 
Note que a velocidade inicial é tomada apenas no eixo vertical, portanto é nula, pois o objeto foi abandonado e a velocidade 
fornecida no enunciado (velocidade horizontal) somente serviria se calculássemos o alcance horizontal do objeto que caiu do 
balão em relação a pessoa no solo.