Geometria Analiitica

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21/02/2019 
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GEOMETRIA ANALÍTICA 
PROF. MILTON PERCEUS – DEP. DE MATEMÁTICA 
NOTAS DE AULA 01 – VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ATENÇÃO 
 
 
 
 Este material não deve ser utilizado único 
e exclusivamente como material de estudo, ele é 
apenas um guia para o acompanhamento das aulas. É 
imprescindível que o aluno utilize a bibliografia 
sugerida. 
 
 
 
 
VETORES 
 
O QUE É UM VETOR? 
“É UM CONJUNTO DE SEGMENTOS DE 
RETA ORIENTADOS QUE POSSUE 
MESMO MÓDULO, DIREÇÃO E 
SENTIDO”. 
 
 
 
 
 
 
VETORES 
 
 
Módulo 
Sentido 
Direção da 
Reta Suporte 
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REPRESENTAÇÃO DE 
VETORES: 
 
 
Seja um segmento orientado de origem 
no ponto A e extremidade no ponto B: 
v 
A(xA,yA) 
B(xB,yB) 
 
 
Este vetor é representado por 𝑣 , 𝐴𝐵 ou B - A 
 
 
 
 
      , , ,B B A A B A B A
v AB B A
x y x y x x y y
  
    
 
 
 
 
VETORES 
 
 
O MÓDULO (COMPRIMENTO OU NORMA) DE UM VETOR 𝑣 = 𝐴𝐵 É A DISTÂNCIA 
EXISTENTE ENTRE OS PONTOS A E B. 
 
     
2 2
,B A B A B A B Av x x y y x x y y      
 
 
 
 
REPRESENTAÇÃO DE 
VETORES: 
 
EXEMPLO: REPRESENTE GRAFICAMENTE OS VETORES 
FORMADOS PELOS PONTOS E ENCONTRE SEUS RESPECTIVOS 
MÓDULOS. 
1. A(2, 3) E B(4, 3) 
2. C(-2, 4) E D(0, 3) 
 
 
 
 
SOMA DE VETORES – MÉTODO 
ALGÉBRICO 
SEJAM DOIS VETORES U = (XU , YU) E V = (XV, 
YV), A OPERAÇÃO DA SOMA E DA 
SUBTRAÇÃO ESTÁ DEFINIDA 
ALGEBRICAMENTE POR: 
 
   
 
:
, ,
 ,
u u v v
u v u v
Soma
u v x y x y
x x y y
  
  
   
 
Subtração:
, ,
 ,
u u v v
u v u v
u v x y x y
x x y y
  
  
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SOMA DE VETORES – MÉTODO 
ALGÉBRICO 
 
 
Exemplo: Dados os vetores 𝒖 , 𝒗 𝒆 𝒘 . sabendo 
que: 
 𝒖 = (4 , 0); 
 𝒗 = (4 , 4); 
 𝒘 = (4 ,-8); 
 
Obtenha vetor 𝑺, onde: 
 
 𝑺 = 𝒖 + 𝒗 + 𝒘 
 
 
 
 
SOMA DE VETORES – MÉTODO GRÁFICO 
 
 
Sejam os vetores 𝑣 𝑒 𝑢 . O vetor soma 𝑤,dado por 
𝑣 + 𝑢 é determinado da seguinte forma: 
 
1. Tome um segmento orientado que representa 𝑣 ; 
2. Tome um segmento orientado que representa 𝑢, com 
origem na extremidade de 𝑣 . 
 
O vetor 𝒘 = 𝒗 + 𝒖 será representado pelo segmento 
orientado que vai da origem de 𝒗 até a extremidade de 
𝑢 . 
 
 
 
 
SOMA DE VETORES – MÉTODO GRÁFICO 
 
 
 
 
 
 
SOMA DE VETORES – MÉTODO GRÁFICO 
 
 
Exemplo: Dados os vetores 𝒖 , 𝒗 𝒆 𝒘 . sabendo 
que: 
 𝒖 = (4 , 0); 
 𝒗 = (4 , 4); 
 𝒘 = (4 ,-8); 
 
Obtenha vetor 𝑺, onde: 
 
 𝑺 = 𝒖 + 𝒗 + 𝒘 
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4 
 u = (4,0) 
4 
4 4 
-8 
-4 
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SOMA DE VETORES – Método Gráfico 
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SOMA DE VETORES – MÉTODO GRÁFICO 
 
 POR MEIO DA DEFINIÇÃO DE VETOR OPOSTO, PODEMOS 
PERCEBER A SUBTRAÇÃO DE VETORES COMO SOMA DE UM VETOR 
COM O OPOSTO DO SEGUNDO VETOR DADO. 
 𝒛 = 𝑨𝑩 - 𝑪𝑫 = 𝑨𝑩 + −𝑪𝑫 = 𝑨𝑩 + 𝑫𝑪 
OU 
 𝒛 = 𝒖 − 𝒗 = 𝒖 + (- 𝒗 ) 
 
 
 
 
SOMA DE VETORES – MÉTODO GRÁFICO 
EXEMPLO: O PARALELOGRAMO ABCD É DETERMINADO PELOS 
VETORES 𝑨𝑩 , 𝑨𝑫, SENDO M E N PONTOS MÉDIOS DOS 
LADOS DC E AB, RESPECTIVAMENTE. COMPLETAR 
CONVINIENTEMENTE: 
 
 
 
 
SOMA DE VETORES – MÉTODO GRÁFICO 
 
A) 𝑨𝑫 + 𝑨𝑩 
B) 𝑩𝑨 + 𝑫𝑨 
C) 𝑨𝑵 + 𝑩𝑪 
D) 𝑨𝑪 - 𝑩𝑪 
E) 𝑴𝑫 + 𝑴𝑩 
F) 𝑩𝑴 + 
1
2
 𝑫𝑪 
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 Propriedades: 
1) ASSOCIATIVIDADE 
 𝒖 + 𝒗 + 𝒘 = ( 𝒖 + 𝒗 ) + 𝒘 = 𝒖 + (𝒗 + 𝒘) 
 
 
 
 
 
2) COMUTATIVIDADE 
 𝒖 + 𝒗 = 𝒗 + 𝒖 
Propriedades: 
 
 
 
 
 
3) ELEMENTO NEUTRO 
 𝒖 + 𝟎 = 𝒖 
4) ELEMENTO OPOSTO 
 𝒖 + (−𝐮 )= 𝟎 
 
Propriedades: 
 
 
 
 
MULTIPLICAÇÃO POR 
ESCALAR 
 
 
Seja um vetor v = (xv , yv), é possível obter um vetor w, 
múltiplo de v, usando a propriedade da multiplicação por 
escalar: 
 
 
 
Seja n R:
 
 , onde:
 ,
 ,
w v
w w
w vv v
v v
w n v x n x
w x y
y n yn x y
n x n y

   
  
   
  
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 Propriedades da Multiplicação por escalar: 
Seja w, um vetor múltiplo de v, ou seja, w = n·v então: 
1) Módulo: O módulo de w necessariamente será um 
múltiplo do módulo de v, ou seja, |w| = n·|v|; 
2) Direção: A direção de w é a mesma direção de v; 
3) Sentido: O sentido de w será determinado pelo sinal de 
 n. 
 
 
 
 
 Propriedades da Multiplicação por escalar: 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO: 
 
 
 
 
 
 
ÂNGULO ENTRE VETORES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O ângulo entre dois vetores u e v , não 
nulos, é o ângulo formado pelas semi-retas 
que dão direção aos mesmos. 
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ÂNGULO ENTRE VETORES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CLASSIFICAÇÃO QUANTO AO 
ÂNGULO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CLASSIFICAÇÃO QUANTO AO 
ÂNGULO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DECOMPOSIÇÃO DE UM VETOR NO PLANO 
(R²): 
 
“QUALQUER VETOR V CONTIDO EM UM PLANO 
PODERÁ SER DECOMPOSTO EM QUALQUER 
CONJUNTO DE DOIS VETORES NÃO COLINEARES 
CONTIDOS NO MESMO PLANO ”. 
 
 𝑢 = N. 𝑣 + 𝑚 . 𝑤 
 
 
 
 
 
 
 
 
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DECOMPOSIÇÃO DE UM VETOR NO PLANO 
(R²): 
 
 
 
 
 
 
 
 
DECOMPOSIÇÃO DE UM VETOR NO PLANO 
(R²): 
EXEMPLOS: 
 
 𝑣 (4, 7) = 2.(2, 1) + 5.(0, 1) 
 𝑢 (12,4) = 4. (3, 2) + (-1).(0, 4) 
 𝑧 (6, 3) = 3.(2, 1) + 0.(5, 2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo: 
Sejam os vetores 𝑢 = ( x+1 , 4 ) e 𝑣 = ( 5 , 2y-
6 ), de acordo com a definição de igualdade de 
vetores, encontre o valor de x e y na qual u = v. 
 
VETORES DEFINIDOS POR DOIS PONTOS 
 
UM VETOR PODE SER REPRESENTADO POR UM 
SEGMENTO QUE NÃO PARTE DA ORIGEM DO 
SISTEMA. PORTANTO PODE SER DENOTADO POR 
𝑢 = 𝐴𝐵 = B-A 
SENDO ASSIM, PODEMOES ESCREVER: 
𝑢 = 𝐴𝐵 = B-A = (XB – XA , YB - YA) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VETORES DEFINIDOS POR DOIS PONTOS 
EXEMPLO. 
EXPRESSAR OS VETORES DEMARCADOS PELOS PONTOS 
A(-2, 3), B(1, 4) , C(1, 2), D(4, 3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO: 
DADOS A(–1,–1) E B(3,5), DETERMINAR C, TAL QUE 
 A) 𝐴𝐵 = 2 . 𝐴𝐶 B) 𝐴𝐶 = 2/3.𝐴𝐵 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VETORES NO R³ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VETORES NO R³ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VETORES NO R³ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO: 
DETERMINAR OS VALORES DE X E Y PARA QUE 
SEJAM PARALELOS OS VETORES 𝐴𝐵 =( X+1, 3, 1 ) E 
𝐶𝐷 (4, 2, 2Y-1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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