CAP 5 VETORES AFA - EFOMM FISICA I MÓDULO I (1)

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Operações com Vetores – PROFESSOR ALEXANDRE 
GRILLO 
 
1. Vetores 
Multiplicação de um vetor por um escalar. 
Podemos multiplicar um vetor por um escalar n (número 
real), obtendo um novo vetor . 
 
 
Esse novo vetor tem as seguintes características: 
 
 
 
2. Adição de Vetores 
Para a adição de vetores vamos, inicialmente, definir vetor 
resultante: 
Vetor resultante ou vetor soma, de dois ou mais 
vetores, é o vetor único que produz o mesmo efeito 
que os vetores somados. 
 
Para a determinação do vetor resultante, ou seja, para 
efetuarmos a adição vetorial de dois ou mais vetores, 
podemos utilizar três métodos, denominados: 
a) regra do polígono 
b) regra do paralelogramo 
c) regra dos componentes vetoriais 
 
Regra do Polígono 
Para efetuarmos a adição de vetores pela regra do polígono, 
escolhemos, arbitrariamente, um dos vetores como ponto 
de partida e traçamos os vetores seguintes, colocando a 
origem do 2º vetor coincidindo com a extremidade do 1º e, 
assim, sucessivamente, até traçarmos todos os vetores. O 
vetor soma ou resultante é determinado pela 
origem do 1º vetor e pela extremidade do último vetor 
traçado. 
 
 
Vetor Resultante : origem do 1º e extremidade do 
último. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
01. Aplicando o método do polígono, determine o vetor 
resultante no ponto C. 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 
02. Obter, pelo método do polígono, a resultante das forças 
F1 = F2 = 100 N 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
03. Dados três vetores , sendo: 
 
 
determine o vetor resultante: 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
 
 
04. Dado o vetor , representar os vetores: 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Adição Vetorial (Método do Paralelogramo) 
Este método é utilizado para obter o vetor resultante de 
dois vetores. 
Sejam os vetores 
 
 
Para a determinação do vetor procedemos da 
seguinte maneira: 
• Traçamos os vetores e com as origens coincidindo no 
mesmo ponto, mantendo seus módulos, direções e sentidos. 
• Pela extremidade de , traçamos uma reta paralela a e 
pela extremidade de , uma reta paralela a . 
• O vetor resultante será obtido unindo a origem dos dois 
vetores e com o encontro das paralelas. 
• O vetor terá origem na origem dos vetores e 
extremidade no encontro das paralelas. 
• O módulo do vetor será calculado pela expressão 
abaixo, obtida a partir da lei dos cossenos. 
 
 
 
onde é o ângulo formado pelos vetores 
 
 
 
 
Vejamos alguns casos particulares: 
a) e têm mesmo sentido 
 
 
 
 
 
 
b) e têm sentidos opostos 
 
 
 
 
Obs: o vetor resultante terá o mesmo sentido do vetor de 
maior módulo (no caso o vetor ). 
 
c) e são ortogonais 
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos 
01. Dados os vetores e , obter o vetor nos 
casos abaixo, onde a = 3 e b = 4. 
a) 
javascript:popAnimacao('../animation.htm#2002-11-122-03-a001')
 3 
 
Resolução: 
 
 
 
b) 
 
Resolução: 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. Dados os vetores e com a = b = 20, obter o vetor 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método das Componentes Vetoriais 
Todo vetor , em um plano, pode ser representado por dois 
outros vetores, chamados de componentes retangulares. 
Dado um vetor e duas direções de referência OX e OY, 
determinamos as componentes retangulares do vetor 
através das projeções perpendiculares da origem e da 
extremidade do vetor nas direções dadas, conforme figura a 
seguir. 
 
 
O vetor pode ser representado pelas suas componentes 
retangulares x e y, sendo válida a relação: 
 
 
Para determinarmos os módulos das componentes x e y, 
devemos usar as relações trigonométricas no triângulo 
retângulo. 
 
 
 
 
 
3. Subtração Vetorial 
Dados dois vetores e , a operação é realizada 
através da adição do vetor com o vetor oposto a , ou 
seja, com o vetor – . 
 
javascript:popAnimacao('../animation.htm#2002-11-122-04-a001')
 4 
 
 
 
Para essa adição utilizamos a regra do paralelogramo. 
 
 
 
Como + = 180°, então cos = – cos 
Assim, 
 
 
Outro modo de obtermos o vetor é: 
• Fazer as origens de e coincidirem. 
 
 
• Unir as extremidades de e e o vetor obtido terá 
sentido apontado para o vetor que se lê primeiro na 
expressão , no caso, o vetor . 
 
 
 
 
Seu módulo será dado por: 
 
 
 
 
Exercício Resolvido 
 
01. Dados os vetores abaixo, obter o vetor resultante 
 
 
 
 
a = 20 u 
b = 42 u 
c = 38 u 
d = 30 u 
sen 37° = cos 53° = 0,6 
cos 37° = sen 53° = 0,8 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
Exercícios Propostos 
1. Os vetores , e , representados na figura têm 
módulos iguais a v. Adotando , calcule o módulo 
do vetor + + , em função de v. 
 
 
2. Na figura estão representados ao vetores e , assim 
como os versores e . 
 
a) Obtenha, em função de e , as expressões dos 
vetores , , + e - . 
b) Determine os módulos dos vetores + e - . 
 
3. Considere os vetores , , e , representados 
na figura, tendo todos mesmos módulos iguais a v. Calcule, 
em função de v, o módulo do vetor: 
 
a) + + + . 
b) + - ( + ). 
 
4. Duas partículas, A e B, deslocam-se com velocidades 
 e de módulos e , respectivamente. 
Represente o vetor - e calcule seu módulo nos 
casos: 
 
 
 
5. (FEI-SP) O vetor representativo de uma certa grandeza 
física vetorial possui módulo igual a 2. As componentes 
ortogonais desse vetor têm módulos e 1. Qual é o 
ângulo que o vetor forma com a sua componente de maior 
módulo? 
 
Respostas 
1. 0,4.v 
2. 
a) 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
3. 
a) 
b) 0 
 6 
4. 
5. 30º 
 
 
Testes Propostos 
1. (Fatec-SP) Sobre o corpo C atuam duas forças e , 
conforme esquema. O diagrama que fornece a resultante 
é: 
 
 
 
 
 
 
2. (UEL-PR) Na figura a seguir estão desenhados dois 
vetores ( e ). Esses vetores representam 
deslocamentos sucessivos de um corpo. Qual é o módulo do 
vetor igual a + ? 
 
 
 
a) 4 cm. b) 5 cm. c) 8 cm. 
d) 13 cm. e) 25 cm. 
3. (FCC-SP) Qual é a relação entre os vetores , , e 
, representados abaixo? 
 
 
a) . b) . 
c) . d) . 
e) . 
 
4. (UnB-DF) Sobre a composição dos vetores a seguir 
podemos dizer que: 
 
 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
 
5. (UnB-DF) É dado o diagrama vetorial da figura. Qual a 
expressão correta? 
 
 
 
a) . b) . 
c) . d) . 
e) . 
 7 
6. (Uniube-MG) Qual é o módulo da restante da soma dos 
vetores representados abaixo? 
 
 
 
a) 2,0 U. b) 3,5 U. c) 4,0 U. 
d) 7,0 U. e) 8,0 U. 
7. (Mackenzie-SP) O vetor resultante da soma de e 
é: 
 
8. (FCC-BA) No esquema estão representados os vetores 
, , e . A relação vetorial correta entre esses 
vetores é: 
 
 
 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) 
9. (UFC-CE) Na figura a seguir, onde o reticulado forma 
quadrados de lado L = 0,50 cm, estão desenhados dez 
vetores, contidos no plano xy. O módulo da soma de todos 
esses vetores é, em centímetros: 
 
 
a) 0,0. b) 0,50. c) 1,0. 
d) 1,5. e) 2,0. 
 
10. (PUC-BA) Nas figuras seguintes estão representados 
pares de vetores e nos quais cada segmento orientado 
está subdividido em segmentos unitários. 
 
 
Quais destes pares têm a mesma resultante? 
 
a) 1 e 5. b) 2 e 4. c) 3 e 5. 
d) 2 e 3. e) 2 e 5. 
11. (UEL-PR) Dados os vetores , , , e de 
mesmo módulo, qual das relações abaixo está correta? 
 
 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
 
 
 
 8 
12. (UnB-DF) Considere um relógio com mostrador circular 
de 10 cm de raio e cujo ponteiro dos minutos tem 
comprimento igual ao raio do mostrador. Considere esse 
ponteiro como um vetor de origem no centro do relógio e 
direção variável. O módulo da soma dos três vetores 
determinados pela posição desse ponteiro quando o relógio 
marca exatamente 12 horas, 12 horas e 20 minutos e, por 
fim, 12 horas e 40 minutos é, em cm, igual a: 
 
a) 30. b) . 
c) 20. d) zero. 
13. (Mackenzie-SP) A resultante dos vetores , e 
mostrados na figura é: 
 
 
a) . b) . c) . 
d) . e) . 
 
14. (U. C.Sal-BA) Dado o conjunto de vetores, marque V 
para as questões verdadeiras e F para as falsas. 
 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
f) . 
 
 
15. (F. São Marcos-SP) Assinale a alternativa errada. Dado 
o número real k e o vetor , então: 
a) o vetor tem o mesmo sentido de , se k > 0. 
b) o vetor tem sentido contrário de , se k < 0. 
c) a direção de é sempre igual à direção de 
qualquer que seja . 
d) se a direção de é diferente da direção de , k < 
0. 
 
Respostas 
1. d 
2. b 
3. b 
4. b 
5. d 
6. c 
7. d 
8. a 
9. e 
10. d 
11. b 
12. d 
13. a 
14. 
a) F 
b) V 
c) V 
d) V 
e) F 
f) V 
15. d