ele1095 5 analiseespectral

Prévia do material em texto

Ana´lise Espectral 1
Processamento Digital de Sinais
Notas de Aula
Ana´lise Espectral Usando a DFT
Ricardo Tokio Higuti
Departamento de Engenharia Ele´trica - FEIS - Unesp
Observac¸a˜o: Estas notas de aula esta˜o baseadas no livro: “Discrete-Time Signal Processing”,
A.V. Oppenheim and R.W. Schafer, Prentice Hall, 1989/1999.
Ana´lise Espectral 2
Ana´lise Espectral Usando a DFT
Uma das principais aplicac¸o˜es da DFT e´ a ana´lise do conteu´do de freq. de
sinais (ana´lise espectral)
Aplicac¸o˜es:
• Ana´lise e s´ıntese de sinais de voz
• Estudo de harmoˆnicos em redes
• Medic¸a˜o de desvio de frequeˆncia (Doppler)
Para o uso da DFT na ana´lise de sinais de tempo cont´ınuo, deve-se
considerar:
• Amostragem (qual freq. de amostragem usar?)
• DFT: para sinais de durac¸a˜o finita - truncamento do sinal (quantos
pontos usar?)
• Como relacionar as freq. analo´gicas (Hz) com as amostras (X[k])
Ana´lise Espectral 3
Ana´lise Espectral
Filtro
anti-aliasing Conversor
C/D
janelamento
DFT
N pontos
x
janela
pontosL
sc(t) xc(t) x[n] v[n]
w[n]
V [k]
Haa(jΩ)
fs =
1
T
• Filtro anti-aliasing: elimina/atenua componentes de freq. acima de
Ωs/2 (ou fs/2), para evitar sobreposic¸a˜o do espectro;
• Conversor C/D: e´ um conversor A/D, que amostra o sinal xc(t)
a uma taxa de fs amostras por segundo, e no qual devem ser con-
sideradas suas caracter´ısticas na˜o-ideais (amostragem com retenc¸a˜o,
nu´mero finito de bits);
• Truncamento ou janelamento: v[n] = x[n] · w[n], em que w[n] e´
uma func¸a˜o que limita a durac¸a˜o do sinal x[n], chamada de janela.
Ela determina o comprimento do sinal a ser analisado (L), e pode
fazer alguma modificac¸a˜o no formato do sinal original, no tempo e em
frequ¨eˆncia.
• DFT: Calcula a DFT do sinal v[n], utilizando N ≥ L pontos para o
ca´lculo:
V [k] =
L−1∑
n=0
v[n]e−j
2pi
N
kn, k = 0, 1, ..., N − 1
Ana´lise Espectral 4
Ana´lise Espectral
k
0 1 2 3 4 5 6 7
Sc(jΩ)
Ω0 Ω1
Haa(jΩ)
Xc(jω)
X(ejω)
W (ejω)
V (ejω), V˜ [k]
Ω
Ω
Ω
V [k]
Ω
Ω
Ω
ω
ω
ω
∆ω
N − 1
Ωs
2
=
pi
T
Ωs
2
=
pi
T
pi
pi
pi
2pi
2pi
2pi
−pi
−pi
−pi
−2pi
−2pi
−2pi
Ω
Ω
Ω
Ana´lise Espectral 5
Relac¸a˜o Entre as Transformadas
Os va´rios paraˆmetros usados na ana´lise espectral determinam a relac¸a˜o
entre as freq. analo´gicas e as amostras da DFT. Sa˜o eles:
• Freq. amostragem: fs = 1/T
• Nu´mero de pontos usado no ca´lculo da DFT: N
Relembrando alguns pontos importantes:
• Quando um sinal xc(t) e´ amostrado, obtendo-se o sinal x[n], tem-se
que a DTFT de x[n], X(ejω), esta´ relacionada com o espectro do sinal
de tempo cont´ınuo amostrado, Xs(jΩ), pela relac¸a˜o de frequ¨eˆncias:
ω = ΩT = 2pif/fs
• Em um sinal de tempo discreto de durac¸a˜o finita v[n], sua DFT, V [k],
e sua DTFT, V (ejω), esta˜o relacionadas por:
V [k] = V (ejω)|ω= 2pi
N
k, k = 0..N − 1
ou seja, a DFT e´ composta por N amostras da DTFT, equiespac¸adas
de ∆ω = 2pi/N , entre ω = 0 e 2pi.
Da´ı, pode-se relacionar a amostra k da DFT com a freq. f , em Hertz:
∆ω = 2pi/N = ∆ΩT = 2pi∆f/fs
e portanto,
∆f =
fs
N
e´ o espac¸amento equivalente entre as amostras do espectro do sinal de
tempo cont´ınuo, que e´ amostrado nas frequ¨eˆncias
fk =
fs
N
k
Ana´lise Espectral 6
Problemas e Limitac¸o˜es
Devido a`s operac¸o˜es realizadas sobre o sinal de tempo cont´ınuo, os dados
resultantes do ca´lculo da DFT podem na˜o representar exatamente o espec-
tro original. Esses efeitos devem ser levados em conta, para que na˜o haja
interpretac¸o˜es erroˆneas sobre o conteu´do de freq. do sinal sendo analisado.
Deve-se considerar:
• Aliasing (freq. amostragem)
• Efeito do janelamento (formato e comprimento da janela)
– Vazamento espectral (Spectral Leakage)
• Nu´mero de pontos da DFT
– Amostragem espectral
Ana´lise Espectral 7
Amostragem do sinal
O sinal deve ser amostrado a uma taxa maior que duas vezes sua ma´xima
frequ¨eˆncia. Por exemplo, para uma seno´ide com frequeˆncia f0 amostrada
a uma taxa fs:
0 5 10 15
−1
−0.5
0
0.5
1
sequência
−1 −0.5 0 0.5 1
0
5
10
espectro
0 5 10 15
−1
−0.5
0
0.5
1
−1 −0.5 0 0.5 1
0
5
10
0 5 10 15
−1
−0.5
0
0.5
1
−1 −0.5 0 0.5 1
0
5
10
15
20
fs = 5f0
fs =
5
2
f0
fs = 2f0
0 5 10 15
−1
−0.5
0
0.5
1
−1 −0.5 0 0.5 1
0
5
10
0 5 10 15
−1
−0.5
0
0.5
1
−1 −0.5 0 0.5 1
0
5
10
0 5 10 15
−1
−0.5
0
0.5
1
−1 −0.5 0 0.5 1
0
5
10
15
20
n ω/pi
fs =
2
3
f0
fs =
5
4
f0
fs = f0
Ana´lise Espectral 8
Efeito do Janelamento
O sinal x[n] sofre um truncamento, que e´ representado matematicamente
por uma multiplicac¸a˜o por uma func¸a˜o w[n], chamada de janela:
v[n] = x[n] · w[n]
DTFT
←→ V (ejω) =
1
2pi
∫ pi
−pi
X(ejθ)W (ej(ω−θ))dθ
O efeito na frequ¨eˆncia e´ uma convoluc¸a˜o perio´dica do espectro original
com o espectro da janela. Ha´, portanto, mudanc¸as no espectro original, e
este efeito e´ chamado de vazamento espectral (spectral leakage), e de-
pende do tipo de truncamento utilizado (formato e comprimento da janela
w[n]).. Analisando o caso de uma seno´ide:
x[n] = A cos(ω0n+ θ0) =
A
2
ej(ω0n+θ0) +
A
2
e−j(ω0n+θ0)
O espectro de x[n] e´:
X(ejω) = Apiejθ0δ(ω − ω0) + Apie
−jθ0δ(ω + ω0), |ω| < pi
O sinal truncado fica com o espectro:
V (ejω) =
A
2
ejθ0W (ej(ω−ω0)) +
A
2
e−jθ0W (ej(ω+ω0))
Utilizando A = 1, ω0 = pi/4, θ0 = 0 e uma janela retangular com
comprimento L igual a 32 amostras, fica-se com as seguintes sequeˆncias e
espectros de magnitude.
Ana´lise Espectral 9
Vazamento Espectral
-1
-1
-0.5
-0.5
0
0
0.5
0.5
1
1
2
4
6
8
10
12
14
16
18
-1 -0.5 0 0.5 1
0
5
10
15
20
25
30
35
-10 0 10 20 30 40
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-10 0 10 20 30 40
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-10 0 10 20 30 40
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Sequências Espectros(DTFT)
pi
n
n
n
ω/pi
ω/pi
ω/pi
x[n]↔ X(ejω)
w[n]↔W (ejω)
v[n]↔ V (ejω)
• Observando o espectro de V (ejω), e comparando-o com o do sinal
original X(ejω), percebe-se que apareceram outras frequeˆncias devido
ao truncamento, quando deveria ser observada apenas a frequeˆncia
ω0 = pi/4.
• Se o sinal tiver frequeˆncias pro´ximas entre si, o efeito do vazamento
espectral pode dificultar a identificac¸a˜o das mesmas.
Ana´lise Espectral 10
Vazamento Espectral
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
m
a
g
n
i
t
u
d
e
|
V
(
e
j
ω
)
|
ω/pi
A1
A2
= 16
8
x[n] = cos(0.25pin) + 0.5 cos(0.75pin)
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
m
a
g
n
i
t
u
d
e
|
V
(
e
j
ω
)
|
ω/pi
A1
A2
= 16
8.7
x[n] = cos(0.25pin) + 0.5 cos(0.35pin)
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
m
a
g
n
i
t
u
d
e
|
V
(
e
j
ω
)
|
ω/pi
A1
A2
= 15
?
x[n] = cos(0.25pin) + 0.5 cos(0.29pin)
Ana´lise Espectral 11
Janelas
Existem diversas janelas, com diferentes caracter´ısticas de formato no domı´nio
do tempo, que acabam por influenciar no seu espectro. Os paraˆmetros
principais sa˜o relacionados, no espectro da janela, a:
• Largura do lo´bulo principal
• Nı´vel de lo´bulo laterallóbulo
principal
lóbulos
laterais
nível de
lóbulo
lateral
largura do
lóbulo principal
formato
comprimento
0
w[n]
L− 1
n
DTFT
L
W (ejω)
ω−pi pi
Ana´lise Espectral 12
Janelas (comprimento L = 16)
0 5 10 15
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Janelas com L=16
retangular
Hamming
Hanning
Blackman
n
-1 0 1
-80
-60
-40
-20
0
d
B
Retangular
-1 0 1
-80
-60
-40
-20
0
Hamming
-1 0 1
-80
-60
-40
-20
0
d
B
Hanning
-1 0 1
-80
-60
-40
-20
0
Blackman
ω/piω/pi
−→ Ao se modificar o formato da janela, tanto a largura do lo´bulo
principal como o n´ıvel dos lo´bulos laterais sa˜o modificados.
Ana´lise Espectral 13
Janela de Kaiser
Famı´lia de janelas parametrizada por um fator de forma β.
0 5 10 15
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
β = 0
β = 3
β = 6
Janelas de Kaiser com L = 16
-1 -0.5 0 0.5 1
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
d
B
ω/pi
β = 0
β = 3
β = 6
Espectros de janelas de Kaiser com L = 16
Ana´lise Espectral 14
Janela de Kaiser
Mudando-se o comprimento da janela e mantendo-se o fator de forma β.
-1 -0.5 0 0.5 1
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
d
B
ω/pi
L = 8
L = 16
L = 32
Espectros de janelas de Kaiser com β = 6
−→ Mudando-se o comprimento da janela e mantendo-se o seu for-
mato, altera-se a largura dos lo´bulos (principal e laterais) e o decai-
mento dos lo´bulos laterais em func¸a˜o da frequeˆncia, mas o n´ıvel do
primeiro lo´bulo lateral permanece o mesmo.
Ana´lise Espectral 15
Vazamento Espectral - Efeito do Formato da Janela
Seja o sinal: x[n] = cos(0.25pin) + 2 cos(0.38pin). Utilizando janelas retan-
gular e de Hamming, com L = 64 amostras, fica-se com:
0 10 20 30 40 50 60
−4
−2
0
2
4
a
m
p
l
i
t
u
d
e
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
20
40
60
80
v[n], Janela retangular L = 64
|
V
(
e
j
ω
)
|
Amostra n
ω/pi
A1
A2
= 35
66.45
= 1
1.8986
0 10 20 30 40 50 60
−4
−2
0
2
4
a
m
p
l
i
t
u
d
e
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
10
20
30
40
v[n], Janela de Hamming L = 64
|
V
(
e
j
ω
)
|
Amostra n
ω/pi
A1
A2
= 17.23
34.26
= 1
1.9884
Ana´lise Espectral 16
Vazamento Espectral - Efeito do Formato da Janela
0 0.5 1 1.5 2
0
10
20
30
0 10 20 30 40 50 60
-4
-2
0
2
4
a
m
p
l
i
t
u
d
e
v[n], Janela de Blackman L = 64
|
V
(
e
j
ω
)
|
Amostra n
ω/pi
A1
A2
= 13.22
26.44
= 1
2
Ana´lise Espectral 17
Vazamento Espectral - Comprimento da Janela
Variando-se o comprimento da janela de Hamming (L = 64 e L = 32):
0 10 20 30 40 50 60
−4
−2
0
2
4
a
m
p
l
i
t
u
d
e
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
10
20
30
40
v[n], Janela de Hamming L = 64
|
V
(
e
j
ω
)
|
Amostra n
ω/pi
A1
A2
= 17.23
34.26
= 1
1.9884
0 5 10 15 20 25 30
−4
−2
0
2
4
a
m
p
l
i
t
u
d
e
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
5
10
15
20
v[n], Janela de Hamming L = 32
|
V
(
e
j
ω
)
|
Amostra n
ω/pi
A1
A2
= ?
16.9
Ana´lise Espectral 18
Amostragem Espectral
Deve-se lembrar que a DFT corresponde a amostras da DTFT:
V [k] = V (ejω)|ω= 2pi
N
k, k = 0..N − 1
0 10 20 30 40 50 60
−4
−2
0
2
4
a
m
p
l
i
t
u
d
e
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
20
40
60
80
v[n], Janela retangular L = 64
|
V
(
e
j
ω
)
|
Amostra n
ω/pi
A1
A2
= 35
66.45
= 1
1.8986
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
10
20
30
40
50
60
70
|
V
[
k
]
|
,
N
=
6
4
ωk = 2pik/N
A1
A2
= 34.79(@0.25pi)
61.85(@0.375pi)
= 1
1.7778
Ana´lise Espectral 19
Amostragem Espectral
Variando o nu´mero de pontos da DFT (N), modifica-se o espac¸amento
entre amostras do espectro de V (ejω).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
10
20
30
40
50
60
70
|
V
[
k
]
|
,
N
=
6
4
ωk = 2pik/N
A1
A2
= 34.79(@0.25pi)
61.85(@0.375pi)
= 1
1.7778
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
10
20
30
40
50
60
70
|
V
[
k
]
|
,
N
=
1
2
8
ωk = 2pik/N
A1
A2
= 34.79(@0.25pi)
61.85(@0.375pi)
= 1
1.7778
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
10
20
30
40
50
60
70
|
V
[
k
]
|
,
N
=
2
5
6
ωk = 2pik/N
A1
A2
= 34.79(@0.25pi)
66.17(@0.383pi)
= 1
1.9020
Ana´lise Espectral 20
Amostragem Espectral
Seja o sinal: x[n] = cos(0.25pin) + 2 cos(0.50pin). Utilizando janela retan-
gular com comprimento L = 64 e variando-se o comprimento da DFT,
fica-se com:
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
10
20
30
40
50
60
70
|
V
[
k
]
|
,
N
=
6
4
ωk = 2pik/N
A1
A2
= 32(@0.25pi)
64(@0.50pi)
= 1
2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
10
20
30
40
50
60
70
|
V
[
k
]
|
,
N
=
1
2
8
ωk = 2pik/N
A1
A2
= 32(@0.25pi)
64(@0.50pi)
= 1
2
Ana´lise Espectral 21
Relac¸a˜o entre as frequeˆncias
• Amostragem da DTFT: ωk =
2pi
N
k, 0 ≤ k ≤ N − 1
• Amostragem do sinal: ω = ΩT =
2pif
fs
• Resoluc¸a˜o na frequeˆncia: ∆ω =
2pi
N
= ∆ΩT = 2pi
∆f
fs
• Resoluc¸a˜o na frequeˆncia f : ∆f =
fs
N
• Relac¸a˜o entre frequeˆncias analo´gicas e as amostras k: fk =
fs
N
k
0
0
01234567 15 31
0.5p p 1.5p 2p
0
5
10
15
20
25
30
35
k [amostras]
ω [rad]
f [Hz]
fs/4 fs/2 fs3fs/2
N − 1
Ana´lise Espectral 22
Exemplo: ana´lise espectral
Os sinais a seguir representam a tensa˜o e a corrente numa laˆmpada fluo-
rescente compacta. Os sinais foram amostrados por um oscilosco´pio digital
com resoluc¸a˜o vertical de 8 bits e frequeˆncia de amostragem igual a 5 kHz.
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
−400
−300
−200
−100
0
100
200
300
400
tempo [s]
a
m
p
l
i
t
u
d
e
 
[
V
]
tensão
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
−0.02
−0.015
−0.01
−0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
tempo [s]
a
m
p
l
i
t
u
d
e
 
[
A
]
corrente
A ide´ia e´ analisar o sinal com diversos comprimentosL, janela retangular
e de Hamming, e diferentes valores de N para o ca´lculo da DFT.
Ana´lise Espectral 23
Exemplo: ana´lise espectral (cont.)
Utilizando uma porc¸a˜o de sinal com L = 512 amostras, e aplicando a
DFT com N = 512 pontos, e janelas retangular e de Hamming, teˆm-se os
seguintes sinais no domı´nio da frequeˆncia:
0 500 1000 1500 2000 2500
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
Tensao, janela retangular, L=512, N=512
0 500 1000 1500 2000 2500
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
Tensao, janela de Hanning, L=512, N=512
f [Hz]
m
a
g
n
i
t
u
d
e
 
[
d
B
]
Ana´lise Espectral 24
Exemplo: ana´lise espectral (cont.)
Utilizando uma porc¸a˜o de sinal com L = 2048 amostras, e aplicando a
DFT com N = 4096 pontos, e janelas retangular e de Hamming, teˆm-se os
seguintes sinais no domı´nio da frequeˆncia:
0 500 1000 1500 2000 2500
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
Tensao, janela retangular, L=2048, N=40960 500 1000 1500 2000 2500
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
Tensao, janela de Hanning, L=2048, N=4096
f [Hz]
m
a
g
n
i
t
u
d
e
 
[
d
B
]
Ana´lise Espectral 25
Exemplo: ana´lise espectral (cont.)
Para ilustrar os efeitos do vazamento espectral e da amostragem espectral,
as tabelas a seguir mostram as frequeˆncias e magnitudes das harmoˆnicas
em 60, 300 e 420 Hz, para os va´rios casos estudados.
Paraˆmetros 60 Hz 300 Hz 420 Hz
f [Hz] A [dB] f [Hz] A [dB] f [Hz] A [dB]
L = 512 Hamming 58,6 0 302,7 -38,2 419,9 -41,3
N = 512 Retangular 58,6 0 293,0 -39,6 419,9 -45,3
L = 1024 Hamming 61,0 0 300,3 -37,5 419,9 -40,5
N = 2048 Retangular 61,0 0 297,9 -38,7 417,5 -42,9
L = 1024 Hamming 59,8 0 300,3 -37,7 419,9 -40,7
N = 4096 Retangular 59,8 0 299,7 -39,3 416,3 -43,5
L = 4096 Hamming 59,8 0 299,7 -37,3 419,9 -40,8
N = 8192 Retangular 59,8 0 299,7 -38,9 419,9 -41,2
Percebe-se que, dependendo do processamento, chega-se a diferentes
valores de frequeˆncias e n´ıveis de distorc¸a˜o devido a`s harmoˆnicas de ordem
superior.
Ana´lise Espectral 26
Exemplo: ana´lise espectral (cont.)
Analisando a forma de onda de corrente, chega-se ao seguinte espectro de
magnitude.
0 500 1000 1500 2000 2500
−40
−35
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
5
10
Corrente, janela de Hanning, L=2048, N=4096
f [Hz]
m
a
g
n
i
t
u
d
e
 
[
d
B
]
• Observando o espectro, nota-se que ha´ harmoˆnicas de mu´ltiplos ı´mpares
da fundamental.
• Como o sinal e´ de alta frequeˆncia (pulsos ra´pidos), o espectro se es-
tende a frequeˆncias superiores a 2500 Hz, causando aliasing.
Ana´lise Espectral 27
Exemplo: ana´lise espectral (cont.)
2000 2100 2200 2300 2400 2500
−40
−35
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
Corrente, janela de Hanning, L=2048, N=4096
f [Hz]
m
a
g
n
i
t
u
d
e
 
[
d
B
]
harmônica
ordem 35 
37 39 41 
AB
• Componente em A: aliasing da componente em 43×60 = 2580 Hz, que
aparece em (5000-2580) = 2420 Hz.
• Componente em B: aliasing da componente em 45×60 = 2700 Hz, que
aparece em (5000-2700) = 2300 Hz.
• As magnitudes podem ter erros, caso ocorra sobreposic¸a˜o de uma raia
em outra.
Ana´lise Espectral 28
Espectrograma
• Ana´lise Espectral com DFT: adequada para sinais cujo conteu´do
de frequ¨eˆncia na˜o varia com o tempo.
• Na pra´tica: o conteu´do de frequ¨eˆncia do sinal pode variar com o
tempo (voz).
• A ana´lise espectral realizada sobre todo o sinal de uma so´ vez pode
ocultar informac¸o˜es importantes da variac¸a˜o do conteu´do de frequ¨eˆncia
ao longo do tempo.
• Time-dependent Fourier transform, Short-time Fourier transform.
Ana´lise Espectral 29
Chirp
Seja um sinal cuja freq. varia com o tempo:
x[n] = cos(ω0n
2)
A freq. instantaˆnea do sinal e´ 2ω0n. O sinal e a magnitude de sua DFT
sa˜o:
0 50 100 150 200 250
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
m
a
g
n
i
t
u
d
e
f/fa
Na˜o se pode determinar como variou o conteu´do de freq. do sinal ao
longo do tempo. Uma alternativa e´ fracionar o sinal e calcular va´rias DFTs
para diferentes intevalos de tempo.
Ana´lise Espectral 30
Espectrograma
Multiplica-se o sinal x[n] por uma janela w[n] e calcula-se a DTFT:
X[n, λ) =
+∞∑
m=−∞
x[n+m] w[m] e−jλm
Outra forma:
X[n, λ) =
+∞∑
m=−∞
x[m] w[n−m] e−jλm
Amostrando o espectro em N pontos equiespac¸ados e uma janela de
comprimento L:
X[n, k] = X[n, 2pik/N ] =
L−1∑
m=0
x[n+m] w[m] e−j(2pi/N)km, k = 0..N − 1
ou
X[n, k] = X[n, 2pik/N ] =
n∑
m=n−L+1
x[m] w[n−m] e−j(2pi/N)km, k = 0..N−1
• A durac¸a˜o da janela e´ muito menor que a durac¸a˜o total do sinal
• A janela toma trechos do sinal ao longo do tempo
• Quanto mais estreita a janela, maior a resoluc¸a˜o no tempo e menor
em freq.
• n e´ o deslocamento da janela em relac¸a˜o ao sinal
• Para cada n tem-se uma DFT
• Na˜o se pode ter uma boa resoluc¸a˜o no tempo e em freq. ao mesmo
tempo usando a DFT
Ana´lise Espectral 31
Espectrograma
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
Time
F
r
e
q
u
e
n
c
y
0 200 400 600 800
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5