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UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA, FACULDADE GAMA Sinais e Sistemas - Lista 3 Gabarito 17 de novembro de 2015 1. Calcule a Transformada de Fourier dos seguintes sinais: a) x[n] = (12 )n−1 u[n −1] b) x[n] = (12 )|n−1| c) x[n] = u[n −2]−u[n −6] d) x[n] = si n (π2 n)+ cos(n) e) x[n] = si n (5π3 n)+ cos (7π3 n) Resposta: a) x[n] = (12 )n−1 u[n −1] Para x[n] = (1/2)n−1u[n −1] X (e jΩ) = ∞∑ n=−∞ x[n]e− jΩn X (e jΩ) = ∞∑ n=1 (1/2)n−1e− jΩn X (e jΩ) = ∞∑ n=0 (1/2)ne− jΩ(n+1) X (e jΩ) = e− jΩ 1 (1−(1/2)e− jΩ) b) x[n] = (12 )|n−1| Para x[n] = (1/2)|n−1| X (e jΩ) = ∞∑ n=−∞ x[n]e− jΩn X (e jΩ) = 0∑ n=−∞ (1/2)−(n−1)e− jΩn + ∞∑ n=1 (1/2)n−1e− jΩn 1 0∑ n=−∞ (1/2)−(n−1)e− jΩn = ∞∑ n=0 (1/2)(n+1)e jΩn = (12 ) 11−(1/2)e jΩ X (e jΩ) = (12 ) 11−(1/2)e jΩ +e− jΩ 1(1−(1/2)e− jΩ) = 0.75e− jΩ1.25−cosΩ c) x[n] = u[n −2]−u[n −6] x[n] = u[n −2]− [n −6] = δ[n −2]+δ[n −3]+δ[n −4]+δ[n −5] X (e jΩ) = ∞∑ n=−∞ x[n]e− jΩn X (e jΩ) = e−2 jΩ+e−3 jΩ+e−4 jΩ+e−5 jΩ d) x[n] = si n (π2 n)+ cos(n) x[n] = si n(πn/2)+ cos(n) = 12 j [e jπn/2 −e− jπn/2]+ 12 [e j n +e− j n] X (e jΩ) = πj [δ(Ω−π/2)−δ(Ω+π/2)]+π[δ(Ω−1)+δ(Ω+1)], 0 ≤ |Ω| <π e) x[n] = si n (5π3 n)+ cos (7π3 n) x[n] = si n(5πn/3)+ cos(7πn/3) x[n] =−si n(πn/3)+ cos(πn/3) x[n] =− 12 j [e jπn/3 −e− jπn/3]+ 12 [e jπn/3 +e− jπn/3] X (e jΩ) =−πj [δ(Ω−π/3)−δ(Ω+π/3)]+π[δ(Ω−π/3)+δ(Ω+π/3)], 0 ≤ |Ω| <π 2. Calcule a Transformada Inversa de Fourier dos seguintes sinais: a) X (e jΩ) = { 1, π4 ≤ |Ω| ≤ 3π4 0, 3π4 ≤ |Ω| ≤π,0 ≤ |Ω| < π4 b) X (e jΩ) = 1+3e− jΩ+2e− j 2Ω−4e− j 3Ω+e− j 10Ω c) X (e jΩ) = e − jΩ2 ,−π≤Ω≤π d) X (e jΩ) = cos2Ω+ si n23Ω e) X (e jΩ) = 1− 1 3 e − jΩ 1− 14 e− jΩ− 18 e−2 jΩ f) X (e jΩ) = 1− ( 1 3 )6 e− j 6Ω 1− 13 e− jΩ Resposta: a) X (e jΩ) = { 1, π4 ≤ |Ω| ≤ 3π4 0, 3π4 ≤ |Ω| ≤π,0 ≤ |Ω| < π4 x[n] = 12π ∫ 2π X (e jΩ)e jΩndΩ x[n] = 12π −π/4∫ −3π/4 e jΩndΩ+ 12π 3π/4∫ π/4 e jΩndΩ x[n] = 1πn [si n(3πn/4)− si n(πn/4)] b) X (e jΩ) = 1+3e− jΩ+2e− j 2Ω−4e− j 3Ω+e− j 10Ω x[n] = 12π ∫ 2π X (e jΩ)e jΩndΩ x[n] = δ[n]+3δ[n −1+2δ[n −2]−4δ[n −3]+δ[n −10]] 2 c) X (e jΩ) = e − jΩ2 ,−π≤Ω≤π x[n] = 12π ∫ 2π X (e jΩ)e jΩndΩ x[n] = 12π π∫ −π e− jΩ/2e jΩndΩ x[n] = (−1)n+1π(n−1/2) d) X (e jΩ) = cos2Ω+ si n23Ω X (e jΩ) = 1+cos(2Ω)2 + 1−cos(3Ω)2 X (e jΩ) = 1+ 14 e2 jΩ+ 14 e−2 jΩ− 14 e3 jΩ− 14 e−3 jΩ x[n] = 12π ∫ 2π X (e jΩ)e jΩndΩ x[n] = δ[n]+ 14δ[n −2]+ 14δ[n +2]− 14δ[n −3]− 14δ[n +3] e) X (e jΩ) = 1− 1 3 e − jΩ 1− 14 e− jΩ− 18 e−2 jΩ X (e jΩ) = 2/9 1− 12 e− jΩ + 7/9 1+ 14 e− jΩ x[n] = 29 (1 2 )n u[n]+ 79 (−14 )n u[n] f) X (e jΩ) = 1− ( 1 3 )6 e− j 6Ω 1− 13 e− jΩ X (e jΩ) = 1+ 13 e− jΩ+ 132 e− j 2Ω+ 133 e− j 3Ω+ 134 e− j 4Ω+ 135 e− j 5Ω x[n] = 12π ∫ 2π X (e jΩ)e jΩndΩ x[n] = δ[n]+ 13δ[n −1]+ 19δ[n −2]+ 127δ[n −3]+ 181δ[n −4]+ 1243δ[n −5] 3. Um sistema LIT S causal e estável tem a propriedade( 4 5 )n u[n] −→ n ( 4 5 )n u[n] a. Determine a resposta em frequência H(e jΩ) do sistema S. b. Determine uma equação de diferenças relacionando qualquer entrada x[n] com a saída correspondente y[n]. Resposta: a. Como o sistema é causal e estável, um par entrada/saída é suficiente para de- terminar a resposta em frequência do sistema. Nesse caso a entrada é x[n] = (4/5)nu[n] e a saída é y[n] = n(4/5)nu[n]. Sendo assim, a resposta em frequên- cia será: H(e jΩ) = Y (e jΩ) X (e jΩ) onde X (e jΩ) e Y (e jΩ) são as transformadas de Fourier de x[n] e y[n], respectiva- mente. Pela tabela de pares transformados de Fourier de tempo discreto básicos 3 (Tabela 5.2 do Oppenheim) a Transformada de Fourier da entrada será: x[n] = ( 4 5 )n u[n] ←→ X (e jΩ) = 1 1− 45 e− jΩ Utilizando a propriedade da diferenciação na frequência (Tabela 5.1 do Oppe- nheim) a Transformada de Fourier da saída será: y[n] = n ( 4 5 )n u[n] ←→ Y (e jΩ) = j d X (e jΩ) dΩ = (4/5)e − jΩ (1− (4/5)e− jΩ) Portanto: H(e jΩ) = (4/5)e − jΩ 1− (4/5)e− jΩ b. Como H(e jΩ) = Y (e jΩ)/X (e jΩ), pode-se escrever: Y (e jΩ) [ 1− 4 5 e− jΩ ] = X (e jΩ)[(4/5)e− jΩ] Aplicando a Transformada de Fourier em ambos lados uma equação das diferen- ças será: y[n]− 4 5 y[n −1] = 4 5 x[n] 4. Determine quais (se algum) dos seguintes sinais têm transformadas de Fourier que satisfaçam a cada uma das seguintes condições: a. ℜe X (e jΩ) = 0. b. ImX (e jΩ) = 0. c. Existe um inteiro α tal que e jαΩX (e jΩ) seja real. d. ∫ π −π X (e jΩ)dΩ= 0. e. X (e jΩ) periódico. i. x[n] como na Figura a. ii. x[n] como na Figura b. iii. x[n] como na Figura c. iv. x[n] como na Figura d. v. x[n] = (12 )n u[n]. vi. x[n] = (12 )|n| . 4 Resposta: a. Para que ℜe X (e jΩ) seja zero, o sinal deve ser real e ímpar. Somente ii é real e ímpar. b. Para que ImX (e jΩ) seja zero, o sinal deve ser real e par. Somentes os sinais iv e vi são reais e pares. c. Assumindo Y (e jΩ) = e j 0ΩX (e jΩ). Utilizando a propriedade do deslocamento do tempo para Transformada de Fourier tem-se y[n] = x[n +α]. Se Y (e jΩ) é real, então y[n] é real e par. Portanto, x[n] tem que ser simétrico a α. Isso acontece somente nos sinais i, ii, iv e vi. d. Como π∫ −π X (e jΩ)dΩ = 2πx[0], esta condição é satisfeita somente se x[0] = 0. Isso acontece somente nos sinais ii e iv. e. X (e jΩ) sempre é periódico quando período é 2π. Portanto, todos os sinais aten- dem esta condição. 5. a) Considere um sistema LIT de tempo discreto com resposta ao impulso h[n] = 1 2 n u[n] Use a transformada de Fourier para determinar a resposta a cada um dos seguin- tes sinais de entrada: (i) x[n] = ( 34 )nu[n] (ii) x[n] = (n +1)( 14 )nu[n] (iii) x[n] = (−1)n b) Suponha que h[n] = [( 1 2 )2 cos (πn 2 )] u[n] Use a transformada de Fourier para determinar a resposta a cada uma das seguin- tes entradas: 5 (i) x[n] = (12 )n u[n] (ii) x[n] = cos (πn2 ) Resposta: a) A saída do sistema é: Y (e jΩ) = X (e jΩ)H(eeΩ) Portanto: H(e jΩ) = 1 1− (1/2)e− jΩ (i) x[n] = ( 34 )nu[n] Temos: X (e jΩ) = 1 1− (3/4)e− jΩ Portanto: Y (e jΩ) = [ 1 1− 34 e− jΩ ][ 1 1− 12 e− jΩ ] Y (e jΩ) = −2 1− 12 e− jΩ + 3 1− 34 e− jΩ Fazendo a Transformada Inversa de Fourier, obtemos: y[n] = 3 ( 3 4 )n u[n]−2 ( 1 2 )n u[n] (ii) x[n] = (n +1)( 14 )nu[n] Temos: X (e jΩ) = 1( 1− (1/4)e− jΩ)2 Portanto: Y (e jΩ) = [ 1( 1− 14 e− jΩ )2 ][ 1 1− 12 e− jΩ ] Y (e jΩ) = 4 1− 12 e− jΩ − 2 1− 14 e− jΩ − 3( 1− 14 e− jΩ )2 Fazendo a Transformada Inversa de Fourier, obtemos: y[n] = 4 ( 1 2 )n u[n]−2 ( 1 4 )n u[n]−3(n +1) ( 1 4 )n u[n] (iii) x[n] = (−1)n Temos: X (e jΩ) = 2π ∞∑ k=−∞ δ(Ω− (2k +1)π) 6 Portanto: Y (e jΩ) = [ 2π ∞∑ k=−∞ δ(Ω− (2k +1)π) ][ 1 1− 12 e− jΩ ] Y (e jΩ) = 4π 3 ∞∑ k=−∞ δ(Ω− (2k +1)π) Aplicando a Transformada Inversa de Fourier, obtemos: x[n] = 2 3 (−1)n b) Dado: h[n] = 1 2 ( 1 2 e jπ/2 )n u[n]+ 1 2 ( 1 2 e− jπ/2 )n u[n] Obtemos: H(e jΩ) = 1/2 1− 12 e jπ/2e− jΩ + 1/2 1− 12 e− jπ/2e− jΩ (i) x[n] = (12 )n u[n] Temos: X (e jΩ) = 1 1− 12 e− jΩ Portanto: Y (e jΩ) = [ 1/2 1− 12 e jπ/2e− jΩ + 1/2 1− 12 e− jπ/2e− jΩ ][ 1 1− 12 e− jΩ ] Y (e jΩ) = A 1− (1/2)e jπ/2e− jΩ + B 1− (1/2)e− jΩ + C 1− (1/2)e− jπ/2 onde: A =− j [2(1− j )], B = 1/2 e C = 1/[2(1+ j )]. Portanto: y[n] = − j 2(1− j ) ( j 2 )n u[n]+ 1 2(1+ j ) ( − j 2 )n u[n]+ 1 2 ( 1 2 )n u[n] (ii) x[n] = cos (πn2 ) y[n] = cos(πn/2) 3 [ 4− ( 1 2 )n] u[n] 6. Considere um sistema LIT causal descrito pela equação de diferenças y[n]+ 1 2 y[n −1] = x[n] a) Determine a resposta em frequência H(e jΩ) desse sistema. b) Qual é a resposta desse sistema às seguintes entradas? (i) x[n] = ( 12 )nu[n] 7 (ii) x[n] = (−12 )nu[n] (iii) x[n] = δ[n]− 12δ[n −1] Resposta: a) H(e jΩ) = Y (e jΩ) X (e jΩ) = 1 1+ 12 e− jΩ b) A Transformada de Fourier da saída será: Y (e jΩ) = X (e jΩ)H(e jΩ) (i) Nesse caso: X (e jΩ) = 1 1− 12 e− jΩ Portanto: Y (e jΩ) = [ 1 1− 12 e− jΩ ][ 1 1+ 12 e− jΩ ] Y (e jΩ) = 1/2 1− 12 e− jΩ + 1/2 1+ 12 e− jΩ Aplicando a Transformada Inversa de Fourier, obtemos: y[n] = 1 2 ( 1 2 )n u[n]+ 1 2 ( −1 2 )n u[n] (ii) Nesse caso: X (e jΩ) = 1 1+ 12 e− jΩ Portanto: Y (e jΩ) = [1 1− 12 e− jΩ ]2 Aplicando a Transformada Inversa de Fourier, obtemos: y[n] = (n +1) ( −1 2 )n u[n] (iii) Nesse caso: X (e jΩ) = 1− 1 2 e− jΩ Portanto: Y (e jΩ) = [ 1− 1 2 e− jΩ ][ 1 1+ 12 e− jΩ ] Y (e jΩ) =−1+ 2 1+ 12 e− jΩ Aplicando a Transformada Inversa de Fourier: y[n] =−δ[n]+2 ( −1 2 )n u[n] 8 7. Para um sistema consistindo na cascata de dois sistemas LIT com respostas em frequên- cia H1(e jΩ) = 2−e − jΩ 1+ 12 e− jΩ e H2(e jΩ) = 1 1− 12 e− jΩ+ 14 e− j 2Ω a) Encontre a equação de diferenças descrevendo o sistema global. b) Determine a resposta ao impulso do sistema global. Resposta: a) Como os dois sistemas estão em cascata, a resposta em frequência de todo o sis- tema é: H(e jΩ) = H1(e jΩ)H2(e jΩ) H(e jΩ) = 2−e − jΩ 1+ 18 e− j 3Ω Portanto, a Transformada de Fourier relacionando a entrada e a saída é: Y (e jΩ) X (e jΩ) = 2−e − jΩ 1+ 18 e− j 3Ω Aplicando a Transformada Inversa de Fourier: y[n]+ 1 8 y[n −3] = 2x[n]−x[n −1] b) Podemos reescrever a resposta em frequência do sistema global como: H(e jΩ) = 4/3 1+ 12 e− jΩ + (1+ j p 3)/3 1− 12 e j 120e− jΩ + (1− j p 3)/3 1− 12 e− j 120e− jΩ Aplicando a Transformada Inversa de Fourier: h[n] = 4 3 ( −1 2 )n u[n]+ 1+ j p 3 3 ( 1 2 e j 120 )n u[n]+ 1− j p 3 3 ( 1 2 e− j 120 )n u[n] 8. Considere o sinal analógico xa(t ) = 3cos(100πt ) a) Determine a frequência de amostragem mínimo requerida para evitar aliasing. b) Suponha que o sinal é amostrado ao ritmo fs = 200H z. Qual é o sinal discreto no tempo obtido após a amostragem? c) Suponha que o sinal é amostrado ao ritmo fs = 75H z. Qual é o sinal discreto no tempo obtido após a amostragem?. 9 d) Qual é a frequência 0 < f < fs/2 de uma sinusóide cujas amostras são idênticas ao sinal do item anterior? Resposta: a) Como a frequência do sinal analógico é de 50 Hz, a frequência de amostragem mínima para evitar aliasing é de fs = 100H z b) Se o sinal é amostrado à frequência de fs = 200H z, o sinal discreto no tempo é: x[n] = 3cos ( 100πn 200 ) = 3cos (πn 2 ) c) Se o sinal é amostrado à frequência de fs = 75H z, o sinal discreto no tempo é: x[n] = 3cos ( 100πn 75 ) = 3cos ( 4πn 3 ) = 3cos ( 2π− 2π 3 ) n = 3cos ( 2πn 3 ) d) Para o ritmo de amostragem de fs = 75H z, obtivemos para a frequência da si- nusóide discreta do sinal c) f = 1/3, que corresponde a frequência analógica de fs · f = 75 ·1/3 = 25H z. O sinal pretendido será: ya(t ) = 3cos(2 ·25πt ) = 3cos(50πt ) Este sinal amostrado resultará em fs = 75 amostras/s. 9. A frequência que, sob o teorema de amostragem, precisa ser exdida pela frequência de amostragem é chamada de taxa de Nyquist. Determine a taxa de Nyquist correspon- dente a cada um dos seguintes sinais: a. x(t ) = 1+ cos(2000πt )+ si n(4000πt ) b. x(t ) = si n(4000πt )πt c. x(t ) = ( si n(4000πt ) πt )2 Resposta: a. X ( jΩ) = 0 para |Ω| > 4000π. Portanto, a taxa de Nyquist para este sinal é: ΩN = 2(4000π) = 8000π b. O sinal é X ( jΩ) é um pulso retangular para X ( jΩ) = 0 quando |Ω| > 4000π. Por- tanto, a taxa de Nyquist deste sinal é: ΩN = 2(4000π) = 8000π. c. X ( jΩ) é a convolução de dois pulsos retangulares que são zeros para |Ω| > 4000π. Portanto, X ( jΩ) = 0 para |Ω| > 8000π e a taxa de Nyquist desse sinal é: ΩN = 2(8000π) = 16kπ 10 10. A amostragem com trem de impulsos x[n] é usada para obter g [n] = ∞∑ k=−∞ x[n]δ[n −kN ]. Se X (ekΩ) = 0 para 3π/7 ≤ |Ω| ≤ π, determine o maior valor para o intervalo de amos- tragem N que garante que não haverá aliasing durante a amostragem de x[n]. Resposta: 2π N ≥ 2 ( 3π 7 ) =⇒ N ≤ 7 3 Portanto, N = 2. 11. Determine a transformada de Laplace de cada um dos sinais seguintes usando a equa- ção de definição. a. x(t ) = u(t −1) b. x(t ) = e−t+2u(t ) c. x(t ) = si n(Ω0t )u(t +2) d. x(t ) = cos(Ω0t )u(t −3) e. x(t ) = { si n(πt ), 0 < t < 1 0, caso contrário Resposta: a. x(t ) = u(t −1) X (s) = ∫ ∞0 u(t −1)e−st d t X (s) = ∫ ∞1 e−st d t X (s) = e−ss b. x(t ) = e−t+2u(t ) X (s) = ∫ ∞0 e−t+2e−st X (s) = e2s+1 c. x(t ) = si n(Ω0t )u(t +2) X (s) = ∫ ∞0 e jΩ0 t−e− jΩ0 tj 2 e−st d t X (s) = Ω2 s2+Ω20 d. x(t ) = cos(Ω0t )u(t −3) X (s) = ∫ ∞3 e jΩt+e− jΩ0 t2 e−st d t X (s) = e−3s (scos(3Ω0)−Ω0si n(3Ω0)) s2+Ω20 e. x(t ) = { si n(πt ), 0 < t < 1 0, caso contrário X (s) = ∫ 10 e jπt−e− jπtj 2 e−st d t X (s) = π(1+e−s )(s2+π2) 11 12. Use as propriedades da transformada de Laplace e a tabela de transformadas de La- place básicas para determinar a transformada de Laplace unilateral de cada um dos seguintes sinais: a. x(t ) = t 2e−2t u(t ) b. x(t ) = e−t u(t )si n(3πt )u(t ) c. x(t ) = dd t tu(t ) d. x(t ) = ∫ t0 e−2τcos(3τ)dτ Resposta: a. x(t ) = t 2e−2t u(t ) t 2s(t ) ←→ d 2d s2 S e−2t u(t ) ←→ 1s+2 X (s) = d 2d s2 ( 1 s+2 ) X (s) = 2(s+2)3 b. x(t ) = e−t u(t )si n(3πt )u(t ) S1(t )∗S2(t ) ←→ S1(s) ·S2(s) e−t u(t ) ←→ 1s+1 si n(3πt )u(t ) ←→ 3πs2+9π2 X (s) = 3π(s+1)(s2+9π2) c. x(t ) = dd t tu(t ) d d t s(t ) ←→ s · s(s)− s(0+) tu(t ) ←→ 1s2 X (s) = 1s −0 X (s) = 1s d. x(t ) = ∫ t0 e−2τcos(3τ)dτ x(t ) = ∫ t−i n f t y e−2τcos(3τ)u(t )dτ∫ t −i n f t y s(τ)dτ←→ 1s ∫ 0+ −∞ s(τ)dτ+ S(s)s X (s) = 1s · s+2(s+2)2+9 13. Use o método das frações parciais para encontrar as seguintes transformadas de La- place: a. X (s) = −s−4s2+3s+2 b. X (s) = 2s−1s2+2s+1 c. X (s) = 5s+4s3+3s2+2s d. X (s) = 3s2+8s+5(s+2)(s2+2s+1) e. X (s) = −9(s+1)(s2+2s+10) Resposta: 12 a. X (s) = −s−4s2+3s+2 X (s) = −3s+1 + 2s+2 x(t ) = (−3e−t +2e−2t )u(t ) b. X (s) = 2s−1s2+2s+1 X (s) = 2s+1 + −3(s+1)2 x(t ) = (2e−t −3te−t )u(t ) c. X (s) = 5s+4s3+3s2+2s X (s) = 2s + 1s+1 + −3s+2 x(t ) = (2+e−t −3e−2t )u(t ) d. X (s) = 3s2+8s+5(s+2)(s2+2s+1) X (s) = 1s+2 + 2s+1 + 0(s+1)2 x(t ) = (e−2t +2e−t )u(t ) e. X (s) = −9(s+1)(s2+2s+10) X (s) = −1s+1 + s+1(s+1)2+32 x(t ) = (−e−t +e−t cos(3t ))u(t ) 14. Use o método das frações parciais para determinar a Transformada Inversa de Fourier dos seguintes sinais: a. X (e jΩ) = 3− 1 4 e − jΩ − 116 e− j 2Ω+1 b. X (e jΩ) = 3− 5 4 e − jΩ 1 8 e − j 2Ω− 34 e− jΩ+1 c. X (e jΩ) = 6 e− j 2Ω−5e− jΩ+6 Resposta: a. X (e jΩ) = 3− 1 4 e − jΩ − 116 e− j 2Ω+1 X (e jΩ) = 1 1− 14 e− jΩ + 2 1+ 14 e− jΩ x[n] = ((1 4 )n +2(−14 )n)u[n] b. X (e jΩ) = 3− 5 4 e − jΩ 1 8 e − j 2Ω− 34 e− jΩ+1 X (e jΩ) = 2 1− 14 e− jΩ + 1 1− 12 e− jΩ x[n] = ( 2 (1 4 )n + (12 )n)u[n] c. X (e jΩ) = 6 e− j 2Ω−5e− jΩ+6 X (e jΩ) = −6 e− jΩ−2 + 6e− jΩ−3 X (e jΩ) = 3 1− 12 e− jΩ − 2 1− 13 e− jΩ x[n] = ( 3 (1 2 )n −2(13 )n)u[n] 13 15. (Computacional - aceito em Matlab, Scilab, Octave ou Python) Para um sinal de tempo discreto x[n] definido como: x[n] = { e−(0.1n) 2/2, |n| ≤ 50 0, caso contrário Use os comandos do MATLAB fft e fftshift para numericamente avaliar e plotar a Trans- formada Discreta de Fourier de x[n] e os seguintes sinais subamostrados em 500 valores deΩ no intervalo −π≤Ω<π. a. y[n] = x[2n] b. y[n] = x[4n] 16. (Computacional - aceito em Matlab, Scilab, Octave ou Python) Suponha que o sinal de tempo discreto x[n] = e−n/15si n ( 2π 13 n + π 8 ) , 0 ≤ n ≤ 59 resulte da amostragem de um sinal de tempo contínuo a uma taxa de 45 kHz. Plote o sinal de tempo discreto resultante da amostragem do sinal de tempo contínuo subja- cente em 30 kHz. (Dica: use o comando do MATLAB resample para efetuar a reamos- tragem). 14
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