Gabarito AD1 - Matemática Financeira e Análise de investimento - Atividade Avaliativa 2 (2013-2)

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Bacharelado em Administração Pública - UFF / CEDERJ / UAB 
Disciplina: Matemática Financeira e Análise de investimento – 2º sem 2013 
Coordenador de disciplina: Prof. Rodrigo Carlos Marques Pereira 
 
ATIVIDADE AVALIATIVA 2 – AD11 - GABARITO 
1ª QUESTÃO 
Determine o montante acumulado no final de quatro semestres e a renda recebida a partir da aplicação de um principal de R$ 
10.000,00, com uma taxa de juros de 1% ao mês, no regime de juros compostos. Compare esse resultado com o valor obtido na 
1ª questão da Atividade 1 e justifique a possível diferença. 
Resolução: 
C = $ 10.000,00 (PV) 
i = 1% a.m. 
n= 4 semestres x 6 = 24 meses * 
J=? (renda) 
M=? (montante acumulado) (FV) 
 
 
Para o cálculo do M, utiliza-se a seguinte fórmula: 
 
 
M = 10.000 x (1 + 0,01)24 
M = R$ 12.697,35 
 
Os juros calculados pela diferença, na fórmula: 
 
J = M – C = 12.697,35 – 10.000 � J= R$ 2.697,35 
 
Pela calculadora financeira HP-12C: 
Digitar 
10.000 CHS PV ---- CHS porque o fluxo é negativo (saída de caixa) 
24 n 
1 i 
FV = 12.697,35 
12.697,35 ENTER 10.000 – = 2.697,35 
 
Ao comparar o montante de R$ 12.697,35 (juros compostos) com o valor da 1ª questão da Atividade 1 (juros simples), no valor 
de R$ 12.400,00, percebe-se que o valor é maior por conta do regime de capitalização composta (juros sobre juros), em que o 
capital sempre irá incorporar os juros da operação anterior, enquanto no juros simples, a base de cálculo para os juros é sempre 
o capital inicial, que não se altera. 
 
Conforme o Material didático (página 71): “Em regime de juros compostos, o juro gerado ao final de cada período de 
incidência é somado ao saldo devedor do início do período para gerar o saldo devedor do início do período subsequente, que 
é uma nova base de cálculo para o juro; a esse processo de agregação do juro devido em cada período ao saldo devedor para 
constituir nova base de cálculo do juro, dá-se o nome de capitalização de juros. Observe que a base de cálculo do juro muda 
sucessivamente pela agregação do juro do período anterior.” 
 
* Quando as unidades de tempo de juros (i) e tempo (n) são diferentes, é sempre recomendável transformar a unidade do 
tempo para a mesma unidade da taxa. Em juros compostos, as taxas proporcionais não são equivalentes, como em juros 
simples. 
 
 
 
 
 
1 A nota da atividade avaliativa 2 representa 50% da avaliação a distância 1 (AD1). 
 JUROS COMPOSTOS M = ? (FV) 
 
 
 
 J = ? 
 (n) = 4 semestres 
 0 (i) = 1% a.m. = 4 x 6 = 24 meses 
 
 
 C = R$ 10.000 (PV) 
 
Bacharelado em Administração Pública - UFF / CEDERJ / UAB 
Disciplina: Matemática Financeira e Análise de investimento – 2º sem 2013 
Coordenador de disciplina: Prof. Rodrigo Carlos Marques Pereira 
2ª QUESTÃO 
Até o mês de maio de 2012, o rendimento da poupança era dado pela taxa nominal de 6 % a.a, capitalizados mensalmente, 
mais TR. Determine as taxas efetivas mensal e anual, sem considerar a TR. 
 
Resolução: 
6% ao ano capitalizados mensalmente (unidades diferentes = taxa nominal) 
 
1- Cálculo da taxa proporcional correspondente: it = 6 / 12 = 0,50% a. m. (taxa efetiva mensal); 
2- Para o cálculo da taxa efetiva anual equivalente, utiliza-se a seguinte fórmula da equivalência de taxas em juros compostos: 
 
(1 + ia)
1 = (1 + is)
2 = (1 + iq)
3 = (1 + it)
4 = (1 + ib)
6 = (1 + im)
12 = (1 + id)
360 
* Dica: 1 ano -� 12 meses � (1 + ia)
1 = (1 + im)
12 
 
 (1 + ia)
1 = (1 + im)
12 
� (1 + ia)
1 = (1 + 0,005)12 � (1 + ia)
1 = 1,0617 � ia
 = 1,0617 – 1 � ia = 0,0617 = 6,17% a.a.
 
 
Observação: Conforme a página 82 do Material Didático: “O mercado financeiro costuma divulgar suas taxas de juros em 
bases anuais nominais; nesses casos, a taxa efetiva de juros é a taxa proporcional calculada pela proporcionalidade ia/k, 
sendo k o número de capitalizações de juros que irão ocorrer no ano.” 
Desta forma: taxa efetiva proporcional = ia / k = 6% / 12 = 0,50% a.m. (em que ia = 6% e k=12, número de capitalizações). 
 
3ª QUESTÃO 
Para um principal de R$ 100.000,00, um indivíduo retirou um valor de R$ 150.000,00 ao final de seis meses. Qual a 
rentabilidade anual desse investimento, no regime de juros compostos? 
 
Resolução: 
PV = $ 100.000,00 (C) 
FV = $ 150.000,00 (M) 
n= 6 meses = 0,5 ano * 
i = ? % a.a. 
 
 
150.000 = 100.000 x (1 + i)0,5 
150.000 = (1 + i)0,5 
100.000 
(1 + i)0,5 = 1,5 *passa-se a potência de um lado pro outro no inverso 
(1 + i) = 1,5 1/0,5 
(1+i) = 1,52 � (1+i) = 2,25 � i = 2,25 – 1 = 1,25 ou 125% a.a. 
* Também se pode calcular a taxa mensal ao utilizar n=6 meses, e depois achar a taxa equivalente anual (vide 2ª questão). 
 
Pela calculadora financeira HP-12C: 
Digitar 
100.000 CHS PV 
150.000 FV 
0,5 n 
 i = 125% 
 
* A convenção dos sinais é importante, pois o valor aplicado é uma saída de caixa (negativo), enquanto o valor resgatado é 
uma entrada de caixa (positivo), conforme o diagrama do fluxo de caixa. Esta situação se reflete na introdução dos valores na 
calculadora, e por isso o valor PV é incluído como negativo. Caso os valores PV e FV fossem introduzidos sem o sinal, a 
calculadora automaticamente mostra ERRO 5 no visor, que é indicação da falta da convenção dos sinais. 
 
 FV = R$ 150.000 (M) 
 
 
 ia = ? a.a. 
 
 0 
 n = 6 meses = 0,5 ano 
 
 
 PV = R$ 100.000 (C) 
 
Bacharelado em Administração Pública - UFF / CEDERJ / UAB 
Disciplina: Matemática Financeira e Análise de investimento – 2º sem 2013 
Coordenador de disciplina: Prof. Rodrigo Carlos Marques Pereira 
 
4ª QUESTÃO 
Um cliente quer substituir dois títulos com valores nominais de R$ 5.000,00 vencíveis em um ano e R$ 4.000,00 vencíveis em 
quatro anos por apenas um título vencível em dois anos. Qual o valor desse título único, para uma taxa de juros compostos de 
1% a.m.? 
 
Resolução: 
* Em primeiro lugar, melhor transformar o tempo em meses do 
que a taxa juros. (1 ano = 12 m/2 anos = 24m / 4 anos =48m) 
 Neste caso, deve-se encontrar o valor X, que é equivalente aos 
dois títulos (R$ 5.000 em 12 meses e R$ 4.000 em 48 meses) 
Pela equivalência dos capitais, considera-se o período 24 meses 
como data focal. Neste caso, o valores de R$ 5.000 será capita- 
lizado por 1 ano (12 meses), enquanto o de R$ 4.000 será des- 
capitalizado por 2 anos (24 meses): 
X = 5.000 x (1,01)12 + 4.000 
 (1,01)24 
X = 5.634,12 + 3.150,26 = R$ 8.784,38 
 
Ou ainda, se pode colocar o período 48 como data focal e capitalizar os títulos dos períodos 12 e 24 até o 48: 
X . (1,01)24 = 5.000 x (1,01) 36 + 4.000 � 1,2697X = 7.153,84 + 4000 � X = 11.153,84/1,2697 � X= R$ 8.784,63 (aprox) 
 
Pela calculadora HP-12C: * no 1º caso 
5.000 PV / 12 n / 1 i / FV = 5.634,12 ENTER 
4.000 FV / 24 n / 1 i / PV = 3.150,26 + � 8.784,38 
 
5ª QUESTÃO 
Um título foi descontado por R$ 840,00 quatro meses antes do seu vencimento. Calcule o valor de face e o desconto obtido, 
considerando um desconto composto “por dentro” a uma taxa de 3% a.m. 
 
Resolução: 
DESCOGTO “POR DEGTRO” = RACIOGAL 
O desconto racionalé a operação inversa dos juros: 
 
 
FV = ? 
PV = R$ 840,00 
n = 4 meses 
i = 3% a.m. 
Dr = ? 
 
FV = 840 x (1,03)4 = R$ 945,43 
 
O desconto é dado pela fórmula: 
 
D = 945,43 – 840 = R$ 105,43 
 
Pela calculadora HP-12C: 840 CHS PV / 4 n / 3 i / PV = 945,43 ENTER 840 – 105,43 
 
 
 FV = ? 
 
 
 i = 3% a.m. 
 
 0 
 DR = ? n = 4 meses 
 
 
 PV = R$ 840,00 
 
i = 1% a.m. 
 
 1 2 4 anos 
 0 12 24 48 meses 
 
 
 
 
 R$ 5.000 X R$ 4.000 
(anda 12 meses pra frente) (volta 24 meses pra trás) 
 
Bacharelado em Administração Pública - UFF / CEDERJ / UAB 
Disciplina: Matemática Financeira e Análise de investimento – 2º sem 2013 
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65ª QUESTÃO 
Na compra de uma geladeira são analisadas três opções de pagamento oferecidas pela loja: 
I- R$ 3.600,00 à vista; 
II- três prestações mensais e sucessivas de R$ 1.500,00, com a primeira a vencer em 30 dias; 
III- R$ 600,00 como entrada e mais três prestações mensais e sucessivas de R$ 1.200,00. 
Qual é a melhor opção para o comprador, ao considerar a taxa de juros compostos de 4% a.m.? 
 
Resolução: 
Neste caso se deve comparar os três valores no valor presente (tempo 0) pela equivalência de capitais. Em juros compostos, o 
desconto racional é o mais utilizado, conforme Material didático, p.85: “Em juros compostos, utilizamos mais frequentemente 
o modelo de desconto racional, isto é, aquele em que a base de cálculo dos juros é o valor presente (PV).” 
* Como já foi mencionado na questão anterior, a operação de desconto racional é o inverso da operação de juros: 
 
 
 
 
a) R$ 3.600 (valor à vista) 
b) PV = 1.500 + 1.500 + 1.500 . 
 (1+0,04)1 (1+0,04)2 (1+0,04)3 
PV = 1.442,31 + 1.386,83 + 1.333,49 = R$ 4.162,63 
 
c) PV = 600 + 1.200 + 1.200 + 1.200 . 
 (1+0,04)1 (1+0,04)2 (1+0,04)3 
PV = 600 + 1.153,85 + 1.109,47 + 1.066,80 = R$ 3.930,12 
 
Conclusão: ao comparar os três valores a), b) e c), a melhor opção para o 
comprador é o de menor valor, que neste caso é o valor à vista (R$ 3.600). 
 
Pela calculadora HP-12C: 
b) 1.500 CHS FV / 1 n / 4 i / PV = 1.442,31 ENTER 
 1.500 CHS FV / 2 n / 4 i / PV = 1.386,83 ENTER + ENTER 
 1.500 CHS FV / 3 n / 4 i / PV = 1.333,49 ENTER + 4.162,63 
 
* o mesmo raciocínio para a letra c). 
 
Observação: 
Na letra b), a série de pagamentos pode ser considerada uma anuidade ou 
rendas certas, pois os pagamentos são uniformes (R$ 1.500) no mesmo inter- 
valo de tempo entre os valores, que pode ser calculada através da fórmula abaixo (anuidade postecipada): 
 
 � PV = 1.500 x (1,04)3 – 1 . = 1.500 x 2,7751 = R$ 4.162,64 
 (1,04)3 x 0,04 
Pela HP-12C, esta operação pode ser considerada uma anuidade: 
1.500 PMT 4 i 3 n PV = R$ 4.162,64 (valor exato) 
 PV (valor equivalente da geladeira) 
 
 
 i = 4% a.m. 
 
 0 1 2 3 meses 
 
 
 
 600 1.200 1.200 1.200 
OPÇÃO DE PAGAMENTO – LETRA c) 
 PV (valor equivalente da geladeira) 
 
 
 i = 4% a.m. 
 
 0 1 2 3 meses 
 
 
 
 1.500 1.500 1.500 
OPÇÃO DE PAGAMENTO – LETRA c)