Apostila de Matemática financeira

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APOSTILA 
DE 
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
 
“Estuda as coisas deste mundo pois é teu dever de 
estado. Mas encara-as com um só olho para que o outro 
permaneça fixo na luz eterna”. (Ampére) 
 
Professor André Bloise Hochmüller 
 
Porto Alegre, RS, Setembro de 2004. 
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Conteúdo Programático: 
 
1. Introdução 
1.1. Comentários sobre a matemática financeira 
1.2. Equipamentos e softwares utilizados para resolução de 
problemas 
2. Juros Simples 
2.1. Introdução 
2.2. Capitalização simples 
2.3. Dedução da expressão genérica 
2.4. Desconto “Por dentro” ou Racional 
2.5. Desconto “Por fora” ou Comercial 
3. Juros Compostos 
3.1. Introdução 
3.2. Capitalização composta 
3.3. Desconto “Por dentro” ou racional 
3.4. Desconto “Por fora” ou comercial 
4. Taxas de juros 
4.1. Efetiva 
4.2. Proporcional 
 3
 
4.3. Equivalente 
4.4. Nominal 
5. Rendas Financeiras 
5.1. Antecipadas 
5.2. Postecipadas 
5.3. Diferidas 
6. Amortizações 
6.1. Sistema Price 
6.2. SAC - Sistema de Amortização Constante 
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1. Introdução 
 
1.1. Comentários sobre a matemática financeira 
 
O surgimento do crédito e do Sistema Financeiro: 
 
Embora alguns autores relacionem o surgimento do crédito com a da letra de câmbio, 
que ocorreu no final da Idade Média, pode-se afirmar que o mesmo já existia a mais tempo, uma 
vez que o Direito Romano previa punições para o não-cumprimento de dívidas (inadimplência) por 
parte do tomador de empréstimos. 
Entretanto, foi com a letra de câmbio que o crédito tomou uma forma mais avançada 
tendo em vista a possibilidade de endosso, que possibilitava ao credor sua negociação ou 
representação para cobrança. 
O aparecimento da letra de câmbio constituiu-se, assim, um marco importante para a 
facilitação do comércio entre as cidades que, por sua vez, realimentaram o crescimento das 
operações financeiras com a conseqüente criação dos primeiros bancos. Embora se tenha notícias 
da existência de bancos ainda no século XIII, o primeiro considerado moderno e semelhante aos 
atuais foi o Banco de Amsterdam, fundado no ano de 1608. Foi nesse período, também, que 
surgiram as sociedades por ações e as bolsas, que constituíram, juntamente com os bancos, os 
três pilares do assim denominado sistema financeiro, como o entendemos modernamente. 
 
O Crédito e o Juro: 
 
O crédito deve ser sempre associado ao tempo, uma vez que não existe empréstimo se 
não for relacionado com um espaço de tempo, ao final do qual o tomador deve restituir ao credor a 
quantia emprestada. Mas também deve haver um pagamento pelo preço do empréstimo, o juro, já 
que existem formas de relacionamento jurídico como o comodato, em que existe o empréstimo 
durante um certo tempo, mas não há a remuneração do mesmo. 
Assim, o crédito é uma relação econômica associada ao tempo e ao juro. 
O juro é, portanto, a remuneração do empréstimo do capital durante um certo tempo. 
 
O Capital e o Juro: 
 
Chamamos de capital a qualquer valor monetário que uma pessoa (física ou jurídica) 
empresta para outra durante certo tempo. Tendo em vista que o emprestador se abstém de usar o 
valor emprestado, e ainda, em função da perda do poder aquisitivo do dinheiro pela inflação e do 
risco de não pagamento, surge o conceito de juro, que pode ser definido como o custo do 
empréstimo (para o tomador) ou a remuneração pelo uso do capital (para o emprestador). 
 
 
 
 
 
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As Instituições de Intermediação Financeira: 
 
As operações de aplicação e empréstimos são geralmente realizadas por meio da 
intermediação de uma instituição financeira, que capta recursos de um lado e os empresta de 
outro. A captação é feita a uma taxa menor que a de empréstimo e a diferença é a remuneração 
da instituição (denominado de “spread” na instituição financeira privada e de “del-credere” na 
instituição financeira pública). São várias as opções de aplicação (também chamadas de 
instrumentos) que um investidor tem a sua disposição: por exemplo, a Caderneta de Poupança, o 
CDB (Certificado de Depósito Bancário) e outros. Cada opção tem sua taxa em função do prazo 
da aplicação e dos riscos envolvidos. Analogamente, os tomadores de empréstimos têm as várias 
opções de financiamento (instrumentos) cujas taxas variam em função dos prazos de pagamento e 
das garantias oferecidas. De um modo geral, quando as taxas sobem, os aplicadores tendem a 
aumentar a oferta de capitais, mas os tomadores tendem a diminuir a demanda por crédito. 
Nas economias capitalistas a condição de uso do dinheiro (capital) tem possibilitado a 
produção de bens e, conseqüentemente, a formação de mais dinheiro através do lucro. Portanto, o 
uso do dinheiro, e não necessariamente a sua propriedade, gera dinheiro. Por esta razão, o 
empréstimo tem valor, e o preço do mesmo (aluguel do dinheiro) é denominado juro. 
Para facilitar a compreensão de como funciona o fluxo do dinheiro entre os agentes 
econômicos, sugere-se a criação de um modelo didático com três categorias: 
a) agentes superavitários (ou poupadores), cujas receitas são superiores aos gastos 
(consumo ou investimento) e que não se interessam em outro uso para sua poupança exceto 
“aplicar” com terceiros; 
b) agentes deficitários: consumidores cujos gastos com a compra de produtos para seu 
uso excedem as suas receitas ou capacidade financeira; e investidores (empreendedores) cujos 
recursos próprios são insuficientes para as inversões de capital em atividades produtivas que 
desejam fazer; 
c) agentes de intermediação financeira (bancos, financeiras, distribuidoras e corretoras 
de valores, etc) que tornam possível a transferência da poupança dos agentes superavitários para 
os agentes deficitários, através do empréstimo e de sua liquidação, mediante remuneração pelo 
serviço, funcionando de forma semelhante a um mercado de mercadorias: o mercado financeiro. 
É no mercado financeiro que se estabelece o preço do dinheiro, cuja unidade de medida 
é a taxa de juros, e seus corretores, os agentes de intermediação financeira que, mediante uma 
taxa (spread ou del-crédere), realizam a tarefa de aproximação entre os agentes deficitários, que 
demandam recursos financeiros, e os agentes superavitários, que os ofertam. 
 
Conceito de Matemática Financeira: 
 
Tendo em vista que o crédito está relacionado com o tempo e com o juro, e que é 
fundamental estabelecer regras que quantifiquem os valores envolvidos nos contratos, surgiu a 
disciplina da matemática financeira. 
Se considerarmos que o uso do dinheiro, e não necessariamente sua posse, possibilita 
aos agentes financeiros a geração de riquezas, encontramos razão para que os referidos agentes 
paguem juros pelo empréstimo de capitais. 
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Os juros, somados ao capital emprestado, representam acréscimo de valor ao longo do 
tempo. 
A matemática financeira é o estudo da evolução do valor do dinheiro ao longo do tempo 
nas operações financeiras (aplicações financeiras e pagamento de empréstimos). 
A matemática financeira visa estudar o valor do dinheiro no tempo, nas aplicações e nos 
pagamentos de empréstimos, fornecendo instrumentos para o estudo e avaliação das formas de 
aplicação de dinheiro (investimentos) bem como de pagamento de empréstimos (financiamentos). 
 
Objetivos práticos da Matemática Financeira: 
 
A matemática financeira tem por objetivos práticos o estudo da determinação do valor 
da remuneração dos empréstimos (cálculo dos juros) e de sua rentabilidade (cálculo da taxa de 
juros). O primeiro cálculo é fundamental na caracterização dos contratos, enquanto o segundo diz 
respeito à tomada de decisão, processo fundamental para a orientação dos agentes econômicos 
nos rumos dos negócios financeiros. 
O estudo da matemática financeira está relacionado a dois fatores: 
a) o valor do dinheiro ao longo do tempo; 
b) e a existência dos juros. 
 
O valor do dinheiro no tempo: 
 
Do ponto de vista da Matemática Financeira, R$1.000,00 hoje não são iguais a 
R$1.000,00 em qualquer outra data, pois o dinheiro cresceno tempo ao longo dos períodos, 
devido à taxa de juros. 
Assim, um capital de R$1.000,00 aplicado hoje, com uma taxa de juros de 8% ao ano, 
implicará um rendimento anual de R$80,00, proporcionando um montante de R$1.080,00 no 
final de 1 ano. 
Para uma taxa de juros de 8% ao ano, é indiferente termos R$1.000,00 hoje ou 
R$1.080,00 daqui a 1 ano. 
Um capital de R$1.000,00 hoje somente será igual a R$1.000,00 daqui a 1 ano na 
hipótese absurda de a taxa de juros ser considerada igual a zero. 
A Matemática Financeira está diretamente relacionada ao valor do dinheiro ao longo do 
tempo que, por sua vez, está interligado à existência da taxa de juros. 
 
Mandamentos fundamentais da Matemática Financeira: 
 
a) Valores de uma mesma data: são grandezas que podem ser comparadas e 
somadas algebricamente; 
b) Valores de datas diferentes: são grandezas que só podem ser comparadas 
e somadas algebricamente após serem movimentadas para uma mesma 
data, com a correta aplicação de um taxa de juros. 
 
 
 
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Terminologia, simbologia e convenções da matemática financeira: 
 
Terminologia Simbologia Conceito Fórmula de 
cálculo 
Principal, Capital Inicial, Valor 
Atual, Valor Presente ou Valor 
Descontado. 
“ C “ 
(Outros símbolos: P, 
C0, PV = Present 
Value e A) 
Expressão: em R$ ou 
em u.m. (unidades 
monetárias) 
É o valor inicial de um empréstimo ou 
de uma aplicação financeira. É qualquer 
valor expresso em moeda e disponível 
em determinada época. 
 
 
 
C = M – J 
 
 
Juro 
 
“ J ” 
Expressão: em R$ ou 
em u.m. 
É o preço pago pelo aluguel ou 
empréstimo do dinheiro. É a 
remuneração do capital emprestado ou 
do capital aplicado. 
 
 
J = M – C 
 
Montante, Capital Final, Valor de 
resgate ou Valor Futuro. 
“ M ” 
(outros símbolos: S, 
Cn e FV = Future 
Value) 
Expressão: em R$ ou 
em u.m. 
É o valor total a ser pago ou recebido 
com a finalidade de quitar um 
empréstimo ou encerrar uma aplicação 
financeira. 
 
 
M = C + J 
 
 
 
 
 
 
 
Taxa de Juros 
“ i “ 
Expressão: na forma 
percentual (%) ao 
período de tempo (ao 
dia, ao mês, ao ano) 
 
É a razão entre os juros recebidos (ou 
pagos) no final de certo período de 
tempo e o capital inicialmente aplicado 
(ou emprestado). 
 
 
i = J 
 C 
ou 
i = M – 1 
 C 
 
 
Prazo ou Período de tempo 
“ n “ 
Expressão: unidade 
de tempo (dias, 
meses, anos, etc) 
 
 
É a unidade de tempo. 
 
Será apresentada. 
 
Exemplo: Um equipamento, no valor à vista de R$ 10.000,00, pode ser pago por 
R$10.500,00, ao final de um mês. A compra a prazo significa um financiamento onde: 
C = 10.000 (principal) 
J = 500 (juros) 
M = 10.500 (montante) 
 
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No empréstimo de R$ 10.000,00 foram cobrados R$500,00 de juros. A cada unidade 
monetária emprestada foi necessário pagar o juro de 500/10.000, que corresponde a 0,05 ou 5% 
ao mês. 
A taxa de juros também pode ser obtida de outra maneira. Como J = M – C, temos que: 
i = J / C = (M – C) / C = M / C – C / C = M / C – 1 
Substituindo os dados do nosso exemplo nesta última relação, tem-se: 
i = M / C – 1 = 10.500 / 10.000 – 1 = 1,05 – 1 = 0,05 = 5 % ao mês 
 
Taxa de Juros: 
 
Tendo em vista que os juros dependem de duas variáveis, tempo e capital emprestado, 
a forma mais indicada de medir-se o preço do empréstimo de capital é através de taxas, ou seja, 
juros por unidade de tempo e juros por unidade de capital. É a medida do dinheiro. 
 
Formas de representação da Taxa de Juros: 
 
Forma Unitária: 
 
Forma unitária é o juro recebido (ou pago) por unidade de capital aplicado (ou 
financiado) numa determinada unidade de tempo. 
Símbolo: i 
Relação: i = J / C 
No exemplo anterior: i = 0,05 ao mês. 
Interpretação: a cada R$ 1,00 aplicado (ou emprestado), recebo (ou pago) R$ 0,05 de 
juros. 
Utilização: nos cálculos financeiros de Juros Compostos, de Descontos Compostos e de 
Rendas Financeiras. 
 
Forma Percentual (ou Porcentual): 
 
Forma percentual (ou porcentual) é o juro recebido (ou pago) por centena de unidades 
de capital aplicado (ou financiado) numa determinada unidade de tempo. 
Símbolo: r 
Relação: r = i x 100 
No exemplo anterior: r = 0,05 ao mês x 100 = 5 % ao mês. 
Interpretação: a cada R$ 100,00 aplicados (ou emprestados), recebo (ou pago) R$ 5,00 
de juros. 
Utilização: nos enunciados e nas respostas das questões de matemática financeira. 
 
Forma Centesimal: 
 
Forma centesimal é o juro recebido (ou pago) por centena de unidades de capital 
aplicado (ou financiado) numa determinada unidade de tempo. 
Símbolo: c 
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No exemplo anterior: c = 0,05 ao mês = 5 % ao mês = 5/100 ao mês. 
Interpretação: a cada R$ 100,00 aplicados (ou emprestados), recebo (ou pago) R$ 5,00 
de juros. 
Utilização: nos cálculos financeiros de Juros Simples e de Descontos Simples. 
 
 Tipos ou Regimes de Juros: 
 
Juro é a remuneração do capital aplicado ou emprestado, podendo ser entendido, de 
forma simplificada, como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro. Em suma, juro é 
remuneração do capital, a qualquer título. 
Outras expressões que conceituam os Juros: 
a) é a remuneração do capital empregado em atividades produtivas; 
b) é o custo do capital de terceiros; 
c) é a remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas 
aplicado. 
Quem possui recursos pode utilizá-lo na compra de bens de consumo, ou de serviços, 
na aquisição de bens de produção, na compra de imóveis para uso próprio ou venda futura; 
pode emprestá-lo a terceiros ou adquirir títulos de renda fixa ou variável, deixá-lo depositado 
para atender a “eventualidades”, ou guarda-lo na expectativa de uma oportunidade melhor para 
sua utilização, ou ainda pela simples satisfação de ter dinheiro. 
Ao se dispor a emprestar, o possuidor de dinheiro, para avaliar a taxa de remuneração 
para os seus recursos, deve atentar para os seguintes fatores: 
1. Risco: probabilidade de o tomador do empréstimo não resgatar o dinheiro. 
 2. Despesas: todas as despesas operacionais, contratuais e tributárias para a 
formalização do empréstimo e a efetivação da cobrança. 
3. Inflação: índice de desvalorização do poder aquisitivo da moeda previsto para o 
prazo de empréstimo. 
 4.Ganho (ou lucro): fixado em função das demais oportunidades de investimentos 
(“custo de oportunidade”); justifica-se pela privação, por parte do seu dono, da utilidade do 
capital. 
Portanto, a receita de juros deve ser suficiente para cobrir o risco, as despesas e a 
perda do poder aquisitivo do capital emprestado, além de proporcionar certo lucro ao seu 
aplicador. Entretanto, o que ocorre no mundo financeiro atual é que muitas aplicações resultam 
em taxas negativas de juros, quando considerado o efeito inflacionário. Isto vem acontecendo 
com maior freqüência nos últimos anos, principalmente entre os países em que os preços 
internos se têm elevado mais acentuadamente. Mas, na falta de melhor opção, obviamente o 
mais aconselhável é aplicar recursos a taxas negativas – e sofrer um pequeno prejuízo – do que 
deixar de aplicar e com isso sofrer um prejuízo muito maior. 
Do ponto de vista do tomador de empréstimo, a taxa de juros é influenciada pelo uso 
que fará dos recursos emprestados. A taxa de juros poderá ser tanto maior, quanto maior for o 
grau de premência desses recursos. Se o tomador pretende utilizar o empréstimo em um 
negócio qualquer, com objetivo de lucro, sua despesa de juros deverá ser menor do que a 
receita prevista. No caso específico dos Bancos e das Financeiras, as taxas de remuneração 
dos recursos captados devem ser menores que as taxas cobradas nas operações de 
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empréstimos ou financiamentos, sendo que a diferença deve ser suficiente para cobrir as 
despesas e proporcionar lucro; o aspecto inflacionário, neste caso, não será relevante se as 
operações estiverem “casadas”, isto é, se os valores e os prazos das operações de captação 
(obtenção de recursos) estiverem compatíveis com os valores e os prazos das operações de 
empréstimo (aplicação de recursos).Juros Simples: 
 
Juros Simples são aqueles calculados sempre com base no capital inicial. 
Os Juros Simples são diretamente proporcionais ao principal e ao prazo do empréstimo. 
 
Juros Compostos: 
 
Juros Compostos são aqueles computados sobre o somatório dos juros calculados nos 
períodos anteriores com o capital inicial – principal. 
Os Juros Compostos, embora também proporcionais ao principal, são mais do que 
proporcionais ao prazo do empréstimo. 
Neste caso, diz-se que os juros gerados em um período passam a comportar-se como 
se capital fosse para o cálculo dos juros dos períodos seguintes: os juros são capitalizados. 
 
Período de Capitalização: 
 
Quando os juros são compostos há uma unidade de tempo, normalmente aquela em 
que se expressa a taxa de juros, que indica a periodicidade que os juros são calculados, e, 
portanto, incorporados ao capital – capitalizados. A esta unidade de tempo denominamos 
período de capitalização. 
No regime de juros simples não existe capitalização de juros, embora a maioria dos 
autores classifique este caso de regime de capitalização simples. 
Segundo o autor José Dutra Vieira Sobrinho, Capitalização Simples “é aquela em que a 
taxa de juros incide somente sobre o capital inicial; não incide sobre os juros acumulados. Neste 
regime de capitalização a taxa varia linearmente em função do tempo.” 
 
Regimes de Capitalização: 
Quando um capital é aplicado por vários períodos, a uma certa taxa por período, o 
montante poderá crescer de acordo com duas convenções, chamadas de regimes de 
capitalização. Temos o regime de capitalização simples (ou juros simples) e o regime de 
capitalização composta (ou juros compostos). 
 
Regime de capitalização simples: 
Neste regime o juro gerado em cada período é constante e igual ao produto do capital 
pela taxa. Além disso, os juros são pagos somente no final da operação. 
 
 
 
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Regime de capitalização composta: 
O juro que é gerado em cada período (montante do início do período vezes a taxa) se 
agrega ao montante do início do período e esta soma passa a render juro no período seguinte. 
 
Fluxo de caixa de uma operação financeira: 
O fluxo de caixa de uma operação financeira é uma representação esquemática 
(gráfica) muito útil na resolução de problemas. Basicamente, consta de um eixo horizontal no qual 
é marcado o tempo, a partir de um instante inicial (origem); a unidade de tempo pode ser ano, 
mês, dia, etc. As entradas de dinheiro num determinado instante são indicadas por setas 
perpendiculares ao eixo horizontal e orientada para cima; as saídas de dinheiro são indicadas da 
mesma forma, só que a orientação das setas é para baixo. 
Exemplo: 
Uma pessoa aplicou R$50.000,00 num banco e recebeu R$6.500,00 de juros após 12 
meses. O fluxo de caixa do ponto de vista do aplicador foi: 
 56.500 
 
 
 12 meses 
 
0 
 
 
50.000 
 
Figura 1. Fluxo de caixa de uma aplicação financeira (ou investimento) de R$50.000,00 
e recebimento de R$56.500,00. 
 
E o fluxo de caixa do ponto de vista do banco foi: 
 50.000 
 
 
 
 0 12 meses 
 
 
 
56.500 
 
Figura 2. Fluxo de caixa do banco que recebeu uma aplicação financeira (ou 
investimento) de R$50.000,00 e pagou um montante de R$56.500,00. 
 
 
 
 
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Exemplo: 
Uma pessoa tomou emprestado R$50.000,00 num banco e pagou R$6.500,00 de juros 
após 12 meses. O fluxo de caixa do ponto de vista do devedor (tomador do empréstimo) foi: 
50.000 
 
 
 0 12 meses 
 
 
 
 56.500 
 
Figura 1. Fluxo de caixa de um empréstimo (ou financiamento) de R$50.000,00 e 
pagamento de R$56.500,00. 
 
E o fluxo de caixa do ponto de vista do banco foi: 
 
56.500 
 
 0 12 meses 
 
 
50.000 
 
 
Figura 2. Fluxo de caixa do banco que realizou um empréstimo (ou financiamento) de 
R$50.000,00 e recebeu um montante de R$56.500,00. 
 
 
Observações referentes ao fluxo de caixa de uma operação financeira: 
1ª- Estamos usando o conceito de fluxo de caixa para aplicações e empréstimos; 
contudo, a mesma idéia é utilizada por empresas para representar entradas e saídas de dinheiro 
do caixa. 
2ª- As setas do fluxo de caixa não são necessariamente proporcionais aos valores 
monetários envolvidos. 
 
A precisão matemática e seus cuidados: 
 
Na área financeira que se vale de cálculos matemáticos, os aspectos de precisão com 
os números são extremamente importantes. 
Sendo assim, alguns cuidados devem ser tomados, antes e durante os cálculos, a fim 
de assegurar que os resultados obtidos sejam exatos. 
Para tanto recomenda-se especial atenção com os seguintes itens. 
 
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Número de casas decimais nos resultados: 
 
O número de casas decimais em que os resultados serão apresentados deve ser 
previamente estabelecido. Assim, por exemplo, pode-se convencionar que as taxas de juros 
serão sempre apresentadas na forma percentual com duas casas decimais (exemplo: 13,57% 
ao mês). 
Os valores referentes a dinheiro devem concordar com as normas oficiais vigentes, 
normalmente com duas casas decimais (exemplo: R$153,12). 
 
Precisão: 
 
Para conseguir-se exatidão é necessário operar os cálculos intermediários com mais 
casas decimais do que aquelas que serão utilizadas nos resultados finais. 
Exemplo: o cálculo 2,00 / 3,00 x 100,00 pode ser resolvido pelos seguintes modos: 
 
a) 0,67 x 100,00 = 67,00 
b) 0,666666666667 x 100,00 = 66,67 
A alternativa b apresenta, sem dúvida, uma exatidão melhor para respostas com duas 
casas decimais, embora a primeira opção não tenha deixado de cuidar em utilizar precisão de 
duas casas decimais. 
 
Arredondamentos: 
 
 Uma vez que os resultados deverão ser apresentados com uma precisão convencionada 
previamente, constata-se que, na maioria dos casos, esta precisão de apresentação é inferior a 
praticada durante as diversas fases do cálculo. Sendo assim, é comum termos um valor para 
resposta com mais casas decimais do que é necessário, de acordo com a convenção 
preestabelecida. Nesse caso, reduzimos o número de decimais da resposta com 
arredondamento, ou seja, se o algarismo mais à esquerda da parcela de decimais a ser retirado 
for igual a cinco ou superior, acrescenta-se uma unidade no último algarismo da parte que será 
apresentada. 
 Exemplos: 
 R$235,15499 arredonda-se para R$235,15. 
 R$1.237,36809 arredonda-se para R$1.237,37. 
 25,0589% arredonda-se para 25,06%. 
 12,01489% arredonda-se para 12,01%. 
 Cálculo com datas e períodos de tempo: 
 
 Dois aspectos relacionados com o prazo dos empréstimos, aparentemente 
representando a mesma questão, apresentam efeitos diferentes, conforme o acordo ou 
convenção previamente estabelecido pelo agente financeiro. 
 O primeiro refere-se à diferença de dias existente entre duas datas, podendo a 
mesma ser contada de duas formas diferentes: exata ou aproximada. 
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 O segundo, que ocorre em grande parte dos cálculos financeiros, refere-se à 
necessidade de adequação dos prazos dos empréstimos, quando diferem das unidades das 
taxas. Para esta conversão é necessário saber quantos dias contém um ano ou um mês. No 
primeiro caso temos a escolha entre o ano comercial e bancário e o ano civil. 
 
 Exemplo: 
 Um empréstimo de R$1.000,00, realizado em 01/01/2004, a taxa de juros simples de 
20% ao ano, será pago em 01/02/2004. 
 
 Contagem de dias: 
 
 Exata: 
 
 Quando os dias são contados de forma integral e efetiva. 
 Exemplo: de 01/01/2004 a 01/02/2004 temos 31 dias; de 01/01/2004 a 31/12/2004 
temos 365 dias. 
 
 Aproximada: 
 
 Quando entre um mês e outro sempre contamos 30 dias. 
 Exemplo: entre 01/01/2004 a 01/02/2004 temos 30 dias. 
 
 Dias do Ano: 
 
 Ano comercial ou bancário: 
 
 O ano denominado comercial ou bancário possui, por aceitação geral nos meios 
financeiros, 360 dias.Ano civil: 
 
 O ano civil, por convenção, contém o número efetivo de dias indicado pelo 
calendário Juliano do ano em questão, ou seja, 365 ou 366 dias, na ocorrência do ano bissexto. 
 
Dias no Mês: 
 
 A prática no mercado financeiro é considerar, para efeito de conversão de prazos 
(de dias para meses), que o mês tem 30 dias. 
 
 Regra do Banqueiro: 
 
 Na prática comercial mundial, utiliza-se a contagem exata de dias nos prazos dos 
empréstimos, mas considera-se que o ano tem 360 dias, ou seja, o ano é comercial ou bancário. 
 Esta convenção é mundialmente conhecida por regra do banqueiro (banker’s rule). 
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Método de demonstração dos cálculos financeiros: 
 
 Tendo em vista a necessidade de clareza na demonstração do processo matemático 
com que os resultados são obtidos tanto com o objetivo de entende-los como com a intenção de 
aferir sua correção, tem-se recomendado uma forma de apresentação da resolução dos 
problemas da matemática financeira. O método baseia-se na separação da resolução de cada 
problema em três divisões. 
 
 Dados: 
 
 Esta primeira etapa preocupa-se em decodificar as mensagens contidas no 
enunciado do problema, traduzindo os termos da linguagem coloquial dos negócios para a 
simbologia da matemática financeira. 
 
 Solução: 
 
 Constitui o núcleo central do cálculo matemático e apresenta as seguintes etapas: 
 
 Fórmulas a serem utilizadas: dentre as diversas fórmulas existentes, quais serão 
utilizadas e em que ordem lógica. 
 Substituição dos dados nas fórmulas: a substituição dos dados nas fórmulas 
deve ser apresentada de modo a garantir a qualquer leitor clareza e correção no uso dos valores 
nas fórmulas escolhidas. 
 
 Resposta Final: 
 
 A resposta final constitui-se em uma repetição do resultado obtido na etapa anterior, 
arredondado de acordo com a precisão e forma de apresentação solicitada ou convencionada, 
com a identificação da unidade. 
 
1.2. Equipamentos e softwares utilizados para resolução de problemas 
 
 Um equipamento utilizado atualmente para a resolução de problemas de matemática 
financeira é a calculadora financeira HP-12 C. 
O software mais comum adotado na resolução desses mesmos problemas é o 
Microsoft Excel, uma planilha eletrônica que possibilita realizar cálculos financeiros através das 
funções matemáticas nele existentes. 
A leitura recomendada para aprender a realizar cálculos financeiros utilizando a 
calculadora financeira HP-12 C e a planilha eletrônica Microsoft Excel é a do livro “Matemática 
Financeira” de autoria de Abelardo de Lima Puccini da Editora Saraiva, citado na bibliografia da 
Escola e disponível para retirada na biblioteca. 
 
 
 16
2. Juros Simples 
 
2.1. Introdução 
 
 Os Juros Simples são calculados sempre sobre o capital inicial ou principal. 
 No regime de Juros Simples, os juros de cada período são sempre calculados em 
função do capital inicial (principal). Os juros do período não são somados ao capital inicial para o 
cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Os juros não são capitalizados 
e, conseqüentemente, não rendem juros. Assim, apenas o principal é que rende juros. 
 Exemplo: 
 A partir de um empréstimo de R$1.000,00, a uma taxa de juros simples de 20% ao 
ano, em 3 anos, fazer uma planilha demonstrando o cálculo dos juros ano a ano. 
 
Ano Saldo inicial (Capital Inicial) Juro Anual 
(J = C x i) 
Saldo final 
(Montante) 
0 - - C0 = 1.000 
1 C1 = 1.000 J1 = 1.000 x 0,20 J1 = 200 M1 = 1.200 
2 C2 = 1.200 J2 = 1.000 x 0,20 J2 = 200 M2 = 1.400 
3 C3 = 1.400 J3 = 1.000 x 0,20 J3 = 200 M3 = 1.600 
 
Observações referentes aos Juros Simples com base no exemplo: 
1ª) Os Juros Simples são sempre calculados sobre o principal ou capital inicial, sendo 
que não há capitalização, pois somente o principal rende juros (vide a coluna do cálculo dos 
Juros Anuais, que tem por base de cálculo sempre o capital inicial). 
2ª) Os Juros Simples são constantes, isto é, não mudam de valor, são invariáveis ao 
longo do tempo (vide a coluna de cálculo dos Juros Anuais cujo resultado é sempre 
R$200,00). 
 17
3ª) O capital inicial ou principal sofre um crescimento linear (“soma”), formando uma 
Progressão Aritmética (P.A.) crescente com razão igual aos Juros Simples (vide a coluna do 
Saldo final): 
P.A. (1.000, 1.200, 1.400, 1.600) onde r = J = 200. 
Os termos da P.A. são somados por 200. 
 
2.2. Capitalização simples 
 
Segundo o autor José Dutra Vieira Sobrinho, Capitalização Simples “é aquela em que a 
taxa de juros incide somente sobre o capital inicial; não incide sobre os juros acumulados. 
Neste regime de capitalização a taxa varia linearmente em função do tempo, ou seja, se 
quisermos converter a taxa diária em mensal, basta multiplicarmos a taxa diária por 30; se 
desejarmos uma taxa anual, tendo a mensal, basta multiplicarmos esta por 12, e assim por 
diante.” 
 
2.3. Dedução da expressão genérica 
 
Cálculo dos Juros Simples: 
Ao aplicarmos um capital “C” a uma taxa de juros “i”, pelo prazo “n”, quanto 
ganharemos de juros simples ? Ganharemos o equivalente a relação dada por: 
J = C x i x n 
em que: 
J = valor dos juros simples. É a remuneração que o tomador de um empréstimo deve pagar ao 
dono do capital como compensação pelo uso do dinheiro ou é a remuneração que o aplicador 
deve receber como compensação da utilização do seu capital por uma instituição financeira; 
C = valor do capital inicial ou principal. É o valor, em dinheiro, disponível numa determinada 
data, que dá início a uma operação financeira; 
 18
i = taxa de juros. É a razão entre o juro obtido no fim do primeiro período financeiro e o capital 
inicial, referindo-se sempre a um período financeiro: ao dia (a. d.), ao mês (a.m.), ao ano (a.a.), 
etc; 
n = prazo. É o tempo que decorre desde o início até o final de uma dada operação financeira, 
sendo contado em períodos de tempo (dia, mês, ano, bimestre, trimestre, quadrimestre, 
semestre, ano, etc). 
Observação: A relação J = C x i x n foi estabelecida para aceitar somente a taxa (i) e o prazo 
(n) referindo-se a uma mesma unidade de tempo. Caso isso não ocorra, deve-se transformar 
uma (ou as duas) dessas grandezas. 
 Cálculo do Montante em Juros Simples: 
 O montante (ou valor futuro) é igual à soma do capital inicial mais os juros referentes 
ao período da aplicação. Assim, temos: 
M = C + J 
 Substituindo a fórmula de cálculo dos juros simples nesta fórmula, tem-se: 
M = C + C x i x n 
M = C ( 1 + i x n) 
Exemplos de cálculo: 
Cálculo dos rendimentos (ou Juros Simples, J): 
Exercício: Carlos obrigou-se a devolver a João a importância de R$200.000,00 emprestado 
a uma taxa de juros simples de 2,5% ao mês e a serem restituídos no prazo de 9 meses. Quais 
os juros que João receberá de Carlos ? 
1º) Dados: 2º) Solução: J = C x i x n 
C = 200.000 J = 200.000 x 2,5 /100 x 9 
i = 2,5% ao mês J = 45.000 
n = 9 meses 
J = ? 
3º) Resposta: J = R$45.000,00. 
 
 
 19
Cálculo do Capital Inicial ou Principal ( C ): 
Exercício: Qual o capital necessário para que um empréstimo com uma taxa de juros 
simples de 4% ao ano, durante 2 anos, produza rendimentos iguais a R$40.000,00 ? 
 
1º) Dados: 2º) Solução: J = C x i x n 
C = ? 40.000 = C x 4/100 x 2 
i = 4% ao ano C = 40.000 x 100 / 4 x 2 
n = 2 anos C = 4.000.000 / 8 
J = 40.000 C = 500.000 
3º) Resposta: C = R$500.000,00. 
 
Cálculo da Taxa de Juros (i): 
Exercício: Qual a taxa de juros simples que foi aplicada num empréstimo de R$100.000,00, 
que após 5 meses, rendeu R$10.000,00 de juros ? 
1º) Dados: 2º) Solução: J = C x i x n 
C = 100.000 10.000 = 100.000 x i x 5 
i = ? i = 10.000 / 100.000x 5 
n = 5 meses i = 10.000 / 500.000 
J = 10.000 i = 1 / 50 = 0,02 = 2% 
3º) Resposta: i = 2% ao mês. 
 
Cálculo do Prazo (n): 
Exercício: Qual o tempo necessário para que um capital de R$20.000,00 renda juros de 
R$4.000,00 a uma taxa de juros simples de 5% ao ano ? 
 
1º) Dados: 2º) Solução: J = C x i x n 
C = 20.000 4.000 = 20.000 x 5/100 x n 
i = 5% ao ano n = 4.000 x 100 / 20.000 x 5 
n = ? n = 400.000 / 100.000 
J = 4.000 n = 4 anos 
 20
3º) Resposta: n = 4 anos. 
 
Cálculo do Montante (M): 
Exercício: Uma Srª depositou R$25.000,00 em uma conta bancária especial que rende a uma 
taxa de juros simples de 5% ao mês. Qual será o saldo da aplicação após 5 meses ? 
1º) Dados: 2º) Solução: M = C x ( 1 + i x n ) 
C = 25.000 M = 25.000 x (1 + 5/100 x 5) 
i = 5% ao mês M = 25.000 x (1 + 25/100) 
n = 5 meses M = 25.000 x (1 + ¼) 
M = ? M = 25.000 x 5/4 
3º) Resposta: M = R$31.250,00 M = 125.000/4 = 31.250 
 
Juros Simples Exato, Comercial e Ordinário: 
 Para a contagem dos dias entre duas datas do calendário, são usadas duas 
convenções: 
1- Número exato de dias: conta-se o número de dias de uma data até a outra, 
excluindo-se o primeiro dia. 
Por exemplo, de 15/03 a 31/03 do mesmo ano temos 16 dias (basta fazer a 
diferença 31 – 15 = 16). 
2- Número aproximado de dias: supõe-se que cada mês tenha 30 dias. Por 
exemplo, de 15/3 a 15/6 temos, por esta convenção, 90 dias. 
Estas duas convenções para a contagem dos dias originaram três modos diferentes 
para calcular os juros simples entre duas datas: 
a) Juros Simples Exato (Je): considera-se o ano com 365 dias (ou 366 se for 
bissexto) e o número exato de dias. 
 b) Juros Simples Comercial (Jc): considera-se o ano com 360 dias (ano comercial) 
e o número aproximado de dias (cada mês com 30 dias); 
 c) Juros Simples Ordinário, Bancário ou Regra do Banqueiro (Jo): considera-se 
o ano com 360 dias (ano comercial) e o número exato de dias. 
 21
 Exemplo: 
 Aplicou-se R$2.000,00 a juros simples, à 6% ao ano, de 17 de março a 21 de junho 
do mesmo ano. Calcule os juros simples exato, comercial e bancário. 
a) Je = 2.000 x 0,06 / 365 x 96 = 31,56 
Número exato de dias: 
17/03 a 17/06 = 90 dias 
17/06 a 21/06 = 4 dias 
31/03 a 31/05 = 2 dias
Total: 96 dias 
b) Jc = 2.000 x 0,06 / 360 x 94 = 31,33 
Número aproximado de dias: 
17/03 a 17/06 = 90 dias 
17/06 a 21/06 = 4 dias 
Total: 94 dias 
c) Jo = 2.000 x 0,06 / 360 x 96 = 32 
Descontos 
 
Introdução: 
 
Ao contrair uma dívida a ser paga no futuro, é comum o devedor oferecer ao credor um título 
que comprove essa operação. De posse desse título, empregado para formalizar um compromisso 
que não será liquidado imediatamente, mas dentro de um prazo previamente estipulado, o credor 
poderá negociar com uma instituição financeira o resgate antecipado desse título. 
Normalmente, os títulos de crédito são: 
Nota Promissória: pode ser usada entre pessoas físicas ou entre instituições financeiras. 
Consiste em título de crédito que corresponde a uma promessa de pagamento, em que vão 
especificados: valor nominal e quantia a ser paga (que é a dívida inicial acrescida dos juros); data de 
vencimento do título (em que a dívida deve ser paga); nome e assinatura do devedor; nome do 
credor e da pessoa que deverá receber a importância a ser paga. 
Duplicata Mercantil: é usada por pessoa jurídica contra um cliente (que pode ser pessoa 
física ou jurídica) para o qual vendeu mercadorias a prazo, ou prestou serviços a serem pagos no 
futuro (segundo contrato). Da duplicata devem constar o aceite do cliente; o valor nominal; a data de 
vencimento; o nome de quem deverá pagar e o nome da pessoa a quem deverá pagar. Uma 
duplicata só é legal se for feita com base na Nota Fiscal. 
 22
Letra de Câmbio: é um título ao portador, emitido por uma financeira em operações de 
crédito direto para pessoas físicas ou jurídicas. Uma Letra de Câmbio tem especificados: valor de 
resgate (que é o valor nominal acrescido de juros), data de vencimento do título e quem deve pagar. 
Cheques pré-datados: embora não especificados pela legislação, têm sido cada vez mais 
empregados em operações comerciais em função da facilidade operacional do uso. De forma similar 
à Letra de Câmbio, o cheque pré-datado deve ter especificado: o valor nominal, a data programada 
para o depósito e o emitente (quem deve pagar). 
As operações de desconto representam a antecipação do recebimento (ou pagamento) de 
valores futuros, representados por títulos. Como, obviamente, o dinheiro tem um custo associado ao 
tempo, para antecipar um valor futuro deve-se deduzir o custo de oportunidade, aplicando um 
desconto. Assim, o valor futuro torna-se igual ao valor presente mais o desconto. 
Note que o desconto representa os juros associados a operação. O conceito de juros, 
porém, está associado a operações de capitalização (levar do presente para o futuro), enquanto o 
desconto costuma referir-se a operações de descapitalização (ou operações de desconto, trazer do 
futuro para o presente). 
Nas operações de desconto, é comum o emprego de uma nomenclatura um pouco 
diferenciada. Por exemplo, no lugar de valor futuro é comum empregar a terminologia Valor Nominal. 
Em vez de Valor Presente, é comum usar a expressão Valor Líquido (ou Valor Recebido ou Pago). 
 
Atenção! 
Alguns sinônimos costumam ser usados nas operações de desconto: 
Valor Presente = Valor Líquido, Valor Atual, Valor Pago ou Valor Pago 
Valor Nominal = Valor Futuro 
 
As operações de desconto podem ser de dois tipos: Racional (Desconto também 
denominado por dentro), em que a taxa de juros incide sobre o Valor Presente ou Comercial 
(Desconto também denominado por fora, no qual a taxa de juros incide sobre o Valor Futuro). 
 
Conceito: Desconto é o abatimento que se faz no valor de uma dívida quando ela é 
negociada antes da data do seu vencimento. 
 
Títulos de Crédito 
 
 Os títulos de crédito são instrumentos legais previstos no direito comercial (contratos) e são 
usados para formalizar dívidas que serão pagas no futuro, em prazo previamente estipulado. 
 Representam ativos financeiros que, por serem endossáveis, possibilitam sua negociação, 
ou seja, permitem que seus possuidores (credores da dívida que lhes deu origem) possam 
vende-los por valor inferior ao que será recebido no futuro. A vantagem dada ao comprador de 
 23
um título é denominada de desconto e corresponde a um prêmio pela antecipação do 
vencimento. 
 Esta negociação de títulos de crédito é denominada desconto de títulos, em geral feita por 
instituições financeiras, e muito comum entre empresas quando ocorre a antecipação do resgate 
(pagamento) de uma duplicata (título de crédito oriundo de faturamento de mercadorias). 
 Diz-se que um título de crédito possui elevada liquidez quando suas chances de desconto 
são altas. 
 Os títulos possuem os seguintes dados: 
a) quem deve pagar; 
b) quanto deve ser pago (ou como se calcula); 
c) em que data (ou prazo a partir de sua emissão em que será pago); 
d) a quem será pago. 
Principais títulos: 
Privados: Notas promissórias, duplicatas, Letras de câmbio, Debêntures, 
Certificados de Depósitos Bancários (CDB’s) e Letras imobiliárias. 
 Públicos: Letras do Tesouro Nacional (LTN’s), Obrigações do Tesouro Nacional 
(OTN’s) e Obrigações do Tesouro Estadual (OTE’s). 
 
Desconto Simples 
 
A chamada operação de desconto normalmente é realizada quando se conhece o valor 
futuro de um título (valor nominal, valor de face ou valor de resgate) ese quer determinar o seu 
valor atual. O desconto deve ser entendido como a diferença entre o valor de resgate de um 
título e o seu valor presente na data da operação, ou seja, D = N – A, em que D representa o 
valor monetário do desconto, N o seu valor futuro (valor assumido pelo título na data do seu 
vencimento) e A o valor creditado ou pago ao seu titular. Assim como no caso dos juros, o valor 
do desconto também está associado a uma taxa e a determinado período de tempo. 
Embora seja freqüente a confusão entre juros e descontos, trata-se de dois critérios 
distintos, claramente caracterizados. Assim, enquanto no cálculo dos juros a taxa referente ao 
 24
período da operação incide sobre o capital inicial ou valor presente, no desconto a taxa do 
período incide sobre o seu montante ou valor futuro. 
 Desconto é um abatimento concedido quando uma dívida é paga antes do vencimento. 
 Desconto é a operação de compra de um título mediante a transferência, por endosso, de 
sua propriedade ao comprador. 
 O preço pago pelo comprador é inferior ao valor de resgate (valor nominal ou de face) do 
título, e se denomina valor descontado (valor presente ou principal). A diferença entre o valor de 
face (N) e o valor descontado (A) é o desconto (D) ou ágio. 
 Simbologia: 
 N = valor nominal (valor de face) do título; 
 A = valor atual (valor descontado) do título; 
 D = desconto (total) em n períodos; 
 n = número de períodos antes do vencimento do título; 
 i = taxa de desconto. 
 Em qualquer desconto, temos por definição: 
D = N – A 
N = A + D 
A = N – D 
Simbologia do Desconto Simples: 
 N = valor nominal, valor de face ou valor futuro do título; 
 DRS = Desconto Racional Simples; 
 DCS = Desconto Comercial Simples; 
 ARS = Valor Atual Racional Simples; 
 ACS = Valor Atual Comercial Simples; 
 i = taxa de desconto simples; 
n = número de períodos antes do vencimento do título. 
O documento que atesta a dívida é denominado genericamente por título de crédito. 
São exemplos de títulos de crédito as notas promissórias, as duplicatas e as letras de 
câmbio. 
Valor Nominal (N), ou valor de face, é o valor do título de crédito, ou seja, aquele que está 
escrito no título e que seria pago na data de vencimento do título. 
Valor Líquido (A) é o valor pelo qual o título acabou sendo negociado antes da data de 
vencimento do mesmo. É sempre menor que o valor nominal pois o título sofreu um desconto. 
 25
O valor líquido também é chamado de valor atual, valor descontado (que sofreu desconto – 
não confundir com “valor do desconto”) ou valor pago. 
Prazo de antecipação (n) é o intervalo de tempo entre a data em que o título é negociado e 
a data de vencimento do mesmo. 
Vamos resumir o que temos até agora num esquema: 
 
(antes do vencimento) (prazo de antecipação) (vencimento) 
 
 + desconto 
 
 
 
VALOR NOMINAL VALOR LÍQUIDO 
Observe que o desconto sempre é a diferença entre o valor nominal e o valor líquido. 
Estudaremos dois tipos de descontos: 
1º) Desconto “por dentro” ou desconto racional: é aquele onde a referência para o 
cálculo percentual do desconto é o valor líquido. 
 
Desconto “por dentro” ou racional 
⇒ 100% é o valor líquido 
 
Neste caso, o nosso esquema será: 
 100% + i% (100% + i%) 
Valor líquido DESCONTO Valor Nominal 
 
Atenção: a taxa de desconto, i%, é sempre proporcional ao prazo de antecipação do título. 
 
2º) Desconto “por fora”ou desconto comercial: é aquele onde a referência para o cálculo 
percentual do desconto é o valor nominal. 
 
Desconto “por fora” ou comercial 
⇒ 100% é o valor nominal 
 
Neste caso, o nosso esquema será: 
 (100% - i%) + i% 100% 
Valor líquido DESCONTO Valor Nominal 
 
Para resolver um problema de desconto simples, tudo que temos a fazer é: 
1º- Identificar qual o tipo de desconto no problema; 
2º- Procurar preencher o “esquema” correspondente de acordo com os dados do problema; 
3º- Calcular o valor que precisarmos, no esquema, usando regra de três. 
 
 
 
 
 26
Fórmulas a serem adotadas nos cálculos de Descontos Simples: 
D = N – A 
N = A + D 
 
Fórmula Geral: 
A = N – D 
Desconto Comercial Simples Desconto Racional Simples 
Dcs = N x i x n Drs = Ars x i x n 
Acs = N x (1 – in) N = Ars x (1 + in) 
 
2.4. Desconto “Por dentro” ou Racional 
O Desconto Racional, “Por dentro”, Matemático, Real ou Lógico é igual ao juro simples 
calculado sobre o valor atual do título. Ou seja: 
DRS = ARS x i x n 
e ARS = N – D ⇒ ARS = N - ARS x i x n ⇒ N = ARS + ARS x i x n ⇒ 
N = ARS (1 + in) 
ou ARS = N / (1 + in) 
Observação: compare a fórmula DRS = ARS x i x n com a fórmula J = C x i x n e a 
fórmula N = ARS (1 + in) com M = C (1 + in) dos Juros Simples. Conclusão ? 
 Exemplo: 
 Uma letra descontada a 10% ao ano, 6 meses antes do vencimento, produziu o 
líquido de R$47.500,00. Qual era o valor nominal da letra, sabendo que foi um desconto “por 
dentro”? 
 Dados: 
i = 10% ao ano 
n = 6 meses = ½ ano 
ARS = 47.500 
N = ? 
Solução: 
N = ARS x (1 + in) ⇒ N = 47.500 x (1 + 0,10 x ½) ⇒ N = 49.875 
N = R$49.875 
 
 
 27
2.5. Desconto “Por fora” ou Comercial 
O Desconto Comercial, “Por fora” ou Bancário é igual ao juro simples calculado sobre o valor 
nominal do título. Ou seja: 
DCS = N x i x n 
e ACS = N – D ⇒ ACS = N - N x i x n ⇒ 
ACS = N (1 - in) 
ou N = AC / (1 – in) 
Exemplo: 
Uma Nota Promissória, no valor de R$10.000,00 em seu vencimento, foi descontada 2 meses 
antes de seu prazo de resgate. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial era de 28% ao ano, 
qual foi o desconto ? Qual foi o valor atual ? 
Dados: 
N = 10.000 
n = 2 meses = 2/12 ano = 1/6 ano 
i = 28% ao ano 
DCS = ? 
ACS = ? 
Solução: 
1º) DCS = N x i x n ⇒ DCS = 10.000 x 28/100 x 1/6 ⇒ DCS = 466,66 
2º) ACS = N - DCS = 10.000 - 466,66 = 9.533,34 
Logo, DCS = R$466,66 e ACS = R$9.533,34. 
 
Confronto entre os Descontos Racional e Comercial: 
 Suponhamos que um título sofra os dois descontos, racional e comercial (simples) à 
mesma taxa i, na mesma data. Então: 
1) DCS > DRS pois DCS = N x i x n, DRS = ARS x i x n e N > A ; 
2) Diferença DCS - DRS ? 
DCS - DRS = (N x i x n) – (ARS x i x n) = (N - ARS) x i x n = 
= DRS x i x n 
Logo, DCS - DRS = DRS x i x n 
ou DCS = DRS + DRS x i x n 
donde DCS = DRS (1+ i x n). 
Exemplo: 
A diferença entre os descontos “por fora”e “por dentro”de um título, descontado 90 
dias antes do vencimento, à taxa de 6% ao ano, é igual a 2,70 unidades monetárias. 
Calcule o desconto comercial. 
Dados: 
i = 0,06 ao ano 
n = 90 dias = ¼ ano 
DCS - DRS = 2,70 
Solução: 
 28
2,70 = DRS x 0,06 x ¼ 
DRS = 2,70 / 0,015 
DRS = 180 
Como DCS - DRS = 2,70 ⇒ DCS = DRS + 2,70 = 180 + 2,70 
DCS = 182,70 
Logo, DCS = R$182,70. 
 
3. Juros Compostos 
 
3.1. Introdução 
 
Os Juros Compostos são aqueles calculados sobre a soma do capital inicial mais os juros 
dos períodos anteriores. Neste regime, os juros gerados nos períodos anteriores passam a render 
juros, dizendo-se assim que os juros são capitalizados, isto é, passam a comportar-se como 
principal da dívida: são incorporados à dívida passando a render juros de acordo com as condições 
contratuais preestabelecidas. 
Exemplo: 
 A partir de um empréstimo de R$1.000,00, a uma taxa de juros compostos de 20% 
ao ano, em 3 anos, fazer uma planilha demonstrando o cálculo dos juros ano a ano. 
Ano Saldo inicial (Capital Inicial) Juro Anual 
(J = C x i) 
Saldo final 
(Montante) 
0 - - C0 = 1.000 
1 C1 = 1.000 J1 = 1.000 x 0,20 J1 = 200 M1 = 1.200 
2 C2 = 1.200 J2 = 1.200 x 0,20 J2 = 240 M2 = 1.440 
3 C3 = 1.440 J3 = 1.440 x 0,20 J3 = 288 M3 = 1.728 
 
Observações referentes aos Juros Compostos com base no exemplo: 
1ª) Os Juros Compostos, a partir do 2º período, são calculados sobre o montante do 
período anterior, sendo que há capitalização, pois o principal mais os juros do período 
anterior (montante) rende juros(vide a coluna do cálculo dos Juros Anuais a partir do 2º 
período, pois no 1º período, ou seja, quando n = 1, os Juros Compostos são sempre iguais 
ao Juros Simples). 
2ª) Os Juros Compostos não são constantes, isto é, mudam de valor, são variáveis ao 
longo do tempo (vide a coluna de cálculo dos Juros Anuais). 
 29
3ª) O capital inicial ou principal sofre um crescimento exponencial (“multiplicação”), 
formando uma Progressão Geométrica (P.G.) crescente com razão igual a ( 1 + i ) (vide a 
coluna do Saldo final): 
P.G. (1.000, 1.200, 1.440, 1.728) onde q = ( 1 + i ) = ( 1 + 0,20 ) = 1,2. 
Os termos da P.G. são multiplicados por 1,2. 
 
3.2. Capitalização composta 
 
 Segundo o autor José Dutra Vieira Sobrinho, capitalização composta é aquela em que a taxa 
de juros incide sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Neste 
regime de capitalização, o valor dos juros cresce em função do tempo. 
 Na capitalização composta ocorre que no fim de cada período, o juro é somado ao capital 
inicial que o produziu (capitalização dos juros), sendo esse montante parcial, o capital inicial para o 
período seguinte. 
 O conceito de montante é o mesmo definido para capitalização simples, ou seja, é a soma 
do capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo de aplicação ou da 
dívida. 
 A simbologia é a mesma já conhecida, ou seja: 
 M = montante; 
 J = Juros Compostos; 
 C = Principal ou Capital inicial; 
 i = taxa de juros compostos; 
 n = prazo. 
 
Cálculo do Montante (M) em Juros Compostos: 
O Montante em Juros Compostos pode ser calculado a partir da fórmula: M = C + J. Porém, 
há uma fórmula específica para a determinaç ão do valor do Montante em Juros Compostos que 
pode ser deduzida a partir do exemplo numérico anterior. 
O montante resultante no final do ano 3 será igual ao capital inicial multiplicado pela razão 
da P.G., que é (1,20), elevada no expoente 3, que representa o prazo: 
M3 = 1.000 x (1 + 0,20)3 
M3 = 1.000 x (1,2)3 
M3 = 1.000 x 1,728 
M3 = 1.728 
 
Dessa forma, conclui-se que: 
 
M = C x ( 1 + i )n 
Exemplo: 
Coloquei R$2.000,00 em um Banco, a juros compostos de 6% ao ano, capitalizados 
anualmente. Quanto receberei no fim de 8 anos? 
 30
Dados: 
C = 2.000 
i = 6% ao ano, capitalizados anualmente 
M = ? 
n = 8 anos 
Solução: 
M = C x ( 1 + i )n 
M = 2.000 x ( 1 + 0,06 )8 
M = 2.000 x ( 1,06 )8 
M = 2.000 x 1,59385 
M = 3.187,69
 
Cálculo do Capital (C) em Juros Compostos: 
Exemplo: 
Qual é o capital que, colocado a juros compostos à taxa de 5% ao ano, com capitalização 
anual de juros, produz, no fim de 2 anos, o montante de R$28.142,00 ? 
 
Dados: 
C = ? 
i = 5% ao ano, com capitalização anual de juros 
n = 2 anos 
M = 28.142 
Solução: 
M = C x ( 1 + i )n 
28.142 = C x ( 1 + 0,05 )2 
28.142 = C x ( 1,05 )2 
C = 28.142 / ( 1,05 )2 
C = 25.525,62 
 
Cálculo dos Juros Compostos (J): 
A fórmula que determina os Juros Compostos é deduzida a partir das fórmulas do montante: 
M = C + J (1) 
M = C x ( 1 + i )n (2) 
Substituindo a fórmula (1) na (2), tem-se: 
C + J = C x ( 1 + i )n 
J = C x ( 1 + i )n - C 
J = C x [ ( 1 + i )n – 1 ] 
 
 
 
 
 
 
 
 31
Cálculo da taxa de juros compostos (i): 
Exemplo: 
O capital de R$2.500,00 aplicado durante 4 meses produziu o montante de R$3.500,00. 
Calcule a taxa mensal de juros. 
 Dados: 
 C = 2.500 
n = 4 meses 
M = 3.500 
i = ? 
Solução: 
M = C x ( 1 + i )n
3.500 = 2.500 x ( 1 + i )4 
3.500 / 2.500 = ( 1 + i )4 
( 1 + i )4 = 1,4 
1 + i = 4√4 
1 + i = 1,08775 
i = 1,08775 – 1 
i = 0,08775 
i = 8,775 % ao mês. 
 
Cálculo do prazo em juros compostos (n): 
 Exemplo:
 Durante quanto tempo se deve depositar R$20,00 para que, a 8% ao ano, produza o 
montante de R$33,50? 
 Dados: 
n = ? 
C = 20 
i = 8% ao ano 
M = 33,50 
Solução: 
M = C x ( 1 + i )n 
33,50 = 20 x ( 1 + 0,08 )n 
33,50 / 20 = ( 1 + 0,08 )n 
1,675 = (1,08)n 
A partir daí, pode-se obter n por logaritmos ou usando uma tabela financeira. 
Por logaritmos, por exemplo: n = log 1,675 / log 1,08 = 6,7022 
n = 6,7 anos (aproximadamente). 
 
 
 
 
 
 
 
 32
Descontos Compostos 
 Em qualquer desconto, temos por definição: 
D = N – A 
N = A + D 
A = N – D 
Simbologia: 
 N = valor nominal, valor de face ou valor futuro do título; 
 DRC = Desconto Racional Composto; 
 DCC = Desconto Comercial Composto; 
 ARC = Valor Atual Racional Composto; 
 ACC = Valor Atual Comercial Composto; 
 i = taxa de desconto composto; 
n = número de períodos antes do vencimento do título. 
 
Desconto Racional Composto: 
 
Considere um título com valor nominal N, vencível em n períodos e um valor atual A que 
produz um montante igual a N quando aplicado por n períodos a uma taxa composta de i por 
período: 
A x (1 + i)n = N 
Denomina-se desconto racional composto à taxa i, com n períodos de antecipação, à 
diferença entre o valor nominal (N) e o valor atual (A) do título, conforme definidos acima. 
D = N – A 
 
Desconto Comercial Composto: 
 
Dado um título de valor nominal N, denominamos desconto comercial composto para n 
períodos de antecipação e a uma taxa de i% ao período ao abatimento ocasionado por n descontos 
sucessivos de i% calculados a partir do valor nominal do título N. 
 
 Podemos representar o desconto comercial composto pelo seguinte esquema: 
 Valor líquido descontos sucessivos Valor Nominal 
 
Valor líquido no Desconto Comercial Composto: 
 Generalizando o procedimento que descrevemos no exemplo anterior, podemos dizer que 
um título de valor nominal N descontado pelo critério do desconto comercial composto, n períodos 
antes do seu vencimento e a uma taxa igual a i por período apresentará um valor líquido A igual a: 
Acs = N x (1 – i)n 
 
 33
O Desconto Bancário: 
 
As operações de desconto bancário são similares às operações de desconto comercial, 
porém, no caso de desconto bancário, existe a cobrança de uma taxa na operação, que comumente 
inclui o IOF (Imposto sobre Operações Financeiras), o que alteraria levemente a expressão da 
fórmula de cálculo. 
De modo geral, o desconto bancário será igual ao desconto comercial mais uma taxa 
prefixada incidente sobre o Valor Nominal. Algebricamente, pode ser apresentado da seguinte 
forma: 
DB = DC + t x N 
onde: 
t = taxa prefixada 
DB = Desconto Bancário 
DC = Desconto Comercial 
N = Valor Nominal 
Embora exista a cobrança de taxa incidente sobre o Valor Nominal, na prática, a expressão 
desconto bancário é empregada como sinônimo de desconto comercial. 
 
3.3. Desconto “Por dentro” ou racional 
Consiste numa aplicação sucessiva do desconto racional simples. Logo, esse desconto 
coincide com os juros compostos calculados sobre o valor atual do título, no prazo n. 
Fórmulas: 
DRC = N - ARC 
 
ARC = N x ( 1 + i )-n ou ARC = N / ( 1 + i ) n 
 
N = ARC x ( 1 + i )n
Exemplo: 
Um título de valor nominal igual a R$1.000,00 é resgatado 4 anos antes do vencimento, à 
taxa de desconto racional composto de 10% ao ano. Calcule o valor atual do título. 
Dados: 
N = 1.000 
n = 4 anos 
i = 10% ao ano 
ARC = ? 
Solução: 
N = ARC x ( 1 + i )n 
1.000 = ARC x ( 1 + 0,10 )4 
ARC = 1.000 / ( 1,10 )4 
ARC = 683,01 
 
 
 
 34
3.4. Desconto “Por fora” ou comercial 
Consiste numa aplicação sucessiva do desconto comercial simples. 
Fórmulas: 
DCC = N – ACC 
 
ACC = N x ( 1 – i )n 
 
N = ACC x ( 1 – i )-n ou N = ACC / ( 1- i )n 
Exemplo: 
Um título de valor nominal igual a R$2.000,00 sofre um desconto comercial composto a uma 
taxa de 1% ao mês, 2 meses antes do vencimento. Qual o valor do desconto ? 
Dados: 
N = 2.000 
i = 1% ao mês 
n = 2 meses 
DRC = ? 
Solução: 
ACC = N x ( 1 – i )n
ACC = 2.000 x ( 1 – 0,01 )2 
ACC = 2.000 x ( 0,99 )2 
ACC = 1.960,20 
DRC = N - ACC 
DRC = 2.000 – 1.960,20 
DRC = 39,80.
 
4. Taxas de juros 
 
No mercado financeiro brasileiro, mesmo entre os técnicos e executivos, reina muita 
confusão quanto aos conceitos de taxas de juros, principalmente no que se refere às taxas 
nominal, efetivae real. O desconhecimento generalizado desses conceitos tem dificultado o 
fechamento de negócios pela conseqüente falta de entendimento entre as partes. 
Além das mencionadas, tem-se ainda a simples (ou linear), a composta (ou exponencial), a 
equivalente, a proporcional, a aparente, a antecipada, etc., sem falar nas taxas de desconto 
“por fora” (comercial ou bancário) e “por dentro” (ou racional), simples e compostos. 
 
Conceito e classificação das taxas de juros: 
 
A taxa de juros pode ser definida como a relação entre os juros pagos (ou recebidos) no final 
do período e o capital inicialmente tomado (ou aplicado). Assim, se uma pessoa aplica 
R$1.000,00 e recebe R$1.300,00 no final de certo período, a taxa de juros é de 30% nesse 
período, ou seja, é a relação entre os juros de R$300,00 recebidos no vencimento do prazo 
combinado, e o capital de R$1.000,00 inicialmente aplicado. 
 
 35
Classificação das taxas de juros: 
 
As taxas de juros podem ser classificadas: 
a) quanto ao regime de capitalização: simples (ou linear) e composta (ou exponencial); 
b) quanto ao valor do capital inicial tomado como base de cálculo: nominal, efetiva e 
real. 
 
Classificação quanto ao regime de capitalização: 
 
As taxas de juros quanto ao seu regime de capitalização podem ser simples ou compostas. 
A taxa de juros é simples (ou linear) quando o valor dos juros é resultante da sua incidência 
somente sobre o capital inicial, ou seja, a taxa não incide sobre o valor dos juros 
acumulados periodicamente. 
Exemplo: 
Seja um capital de R$100.000,00 aplicado por 6 meses à taxa de 4% ao mês. 
Solução: J = C x i x n = 100.000 x 6 x 4/100 = 24.000 
A taxa de juros é dita composta (ou exponencial) quando o valor total dos juros é resultante 
da sua incidência sobre o capital inicial e também sobre o valor dos juros acumulados 
periodicamente. Assim, para o mesmo exemplo, teremos a seguinte solução: 
M = C x ( 1 + i )n = 100.000 x ( 1 + 0,04 )6 = 100.000 x 1,26532 
M = 126.532 
J = M – C = 126.532 – 100.000 = 26.532 
 
Taxa nominal, efetiva e real: 
 
A palavra nominal, no mundo financeiro, diz respeito ao valor monetário ou à taxa de 
juro escrita em um título de crédito ou em um contrato qualquer. Assim, se uma duplicata for emitida 
por R$10.000,00 diz-se que o seu valor nominal é de R$10.000,00 porque esse é o valor que está 
escrito no título; e se em um contrato de financiamento estiver escrito que o valor financiado é de 
R$50.000,00, esse é o valor nominal. Da mesma forma, se em um título de crédito constar que o 
mesmo paga juros de 5% ao mês, essa é a taxa que está escrita em um documento qualquer, seja 
ele um contrato ou um título de crédito. 
A taxa de juros também é considerada nominal quando é obtida pela divisão dos 
juros pelo valor nominal da aplicação ou do empréstimo. 
 
Classificação das taxas de juros em função do capital inicial tomado como base de 
cálculo: 
 
a) Taxa nominal: é a taxa calculada com base no valor nominal da aplicação ou do 
empréstimo, ou seja, com base no valor explicitado no título ou no contrato; caso ela seja conhecida, 
podemos afirmar que é a taxa que incide sobre o valor nominal da aplicação ou do empréstimo; 
b) Taxa efetiva: é a taxa calculada com base no valor efetivamente aplicado ou emprestado, 
ou seja, o valor colocado à disposição do banco ou do cliente na data da aplicação ou do contrato; 
 36
c) Taxa real: é a taxa calculada com base no valor efetivamente aplicado ou emprestado, 
corrigido monetariamente pela inflação do período, contado desde o dia da aplicação ou do 
empréstimo até o dia do seu resgate ou vencimento. 
Exemplo: 
Uma empresa obtém um empréstimo de R$100.000,00 para ser liquidado por 
R$110.000,00 no final de 30 dias. Entretanto, o banco solicita a esse cliente que mantenha durante a 
vida do contrato um saldo médio correspondente a 20% do valor emprestado. Supondo qe nesse 
mesmo período a taxa de inflação tivesse sido de 9%, calcular as taxas nominal, efetiva e real. 
Solução: 
a) Taxa nominal: a taxa nominal é obtida pela divisão dos juros pelo valor nominal 
do empréstimo: 
 
Taxa nominal = juros pagos 
 Capital inicial 
 
Sabendo que o valor dos juros é dado pela diferença entre o montante (valor de 
resgate) e capital inicial (valor do empréstimo), tem-se: 
 
Taxa nominal = 110.000 – 100.000 = 10.000 = 10 % 
 100.000 100.000 
 
 b)Taxa efetiva: é obtida pela divisão dos juros pagos pelo valor do capital 
efetivamente colocado pelo banco à disposição da empresa na data do contrato. Admitindo-se, no 
caso do nosso exemplo, que a empresa tenha sacado R$80.000,00 no dia do crédito e deixado um 
saldo de R$20.000,00 em conta corrente, tudo se passa como se o valor do empréstimo fosse de 
R$80.000,00 e o seu valor de resgate de R$90.000,00 (o débito de R$110.000,00 será completado 
com os R$20.000,00 já existentes na conta da empresa). Assim, tem-se: 
 
Taxa efetiva = juros pagos 
 Capital inicial efetivo 
 
Taxa efetiva = 90.000 – 80.000 = 10.000 = 12,50 % 
 80.000 80.000 
 
 c) Taxa real: o cálculo é feito de forma análoga, dividindo-se o juro real pelo capital inicial 
corrigido com base na taxa de inflação do período. O juro real é obtido pela diferença entre o valor 
de resgate e o capital inicial corrigido pela inflação do período; o capital inicial corrigido é igual ao 
capital inicial adicionado da correção monetária do período. Assim, no caso do nosso exemplo, 
tomando-se como base o capital inicial efetivo de R$80.000,00 e o valor de resgate de R$90.000,00, 
temos: 
 
Correção monetária = 9% x 80.000,00 = 7.200,00 
 
Capital inicial corrigido = 80.000,00 + 7.200,00 = 87.200,00 
 37
 
Juro real = 90.000,00 – 87.200,00 = 2.800,00 
 
Observação: No mercado financeiro brasileiro a diferença entre o valor da aplicação e o 
valor de resgate é denominada simplesmente de rendimento ou ganho. Conhecido o rendimento, 
conceitua-se juro real como sendo o valor que excede a correção monetária. Assim, partindo-se do 
rendimento total de R$10.000,00, no caso do nosso exemplo, o juro real de R$2.800,00 corresponde 
ao valor que excede à correção monetária de R$7.200,00. 
 
Taxa real = juro real 
 Capital inicial corrigido 
 
Taxa real = 2.800 = 3,211 % 
 87.200 
 
A taxa real de juros pode também ser calculada a partir das taxas efetiva de juros e de 
inflação utilizando-se a seguinte equação: 
 
Taxa real = 1 + taxa efetiva - 1 
 1 + taxa de inflação 
 
Substituindo, temos: 
 
Taxa real = 1,125 – 1 = 3,211 % 
 1,09 
 
Resumindo, as taxas nominal de 10 %, efetiva de 12,5 % e real de 3,211 %, referentes a 
uma mesma operação financeira, foram calculadas com base em três capitais iniciais distintos, ou 
seja, o valor nominal do empréstimo de R$100.000,00, o valor efetivo do empréstimo de 
R$80.000,00 e o valor efetivo corrigido do empréstimo de R$87.200,00. Portanto, as taxas de juros 
variam em função do capital inicial tomado como base de cálculo. 
 
4.1. Efetiva 
 Quando o cálculo dos juros é feito pela utilização direta da taxa de juros sobre o capital, 
tanto no regime de juros simples como no composto, dizemos que se trata de uma taxa efetiva de 
juros. 
A taxa de juros nominal é uma taxa declarada ou taxa cotada que não incorpora 
capitalizações, sendo necessário o cálculo da taxa efetiva equivalente quanto pretendemos efetuar 
cálculos e comparações no regime de juros compostos. A taxa efetiva pressupõe incidência de juros 
apenas uma única vez em cada período a que se refere a taxa; isto é, a unidade de referência de 
seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização, ou seja, a taxa efetiva é 
a taxa por período de capitalização. Os juros antecipados, os impostos, as comissões e os artifícios 
usados nos cálculos de juros fazem com que, tanto no regime de capitalizaçãoa juros simples 
quanto no regime de capitalização a juros compostos, as taxas efetivas e nominais difiram. 
 38
Como exemplos de taxas efetivas, temos as seguintes: 
- operações de capital de giro; 
- captação mediante venda de CDB; 
- 12% ao mês, capitalizados mensalmente; 
- 47% ao trimestre, capitalizados trimestralmente; 
- 189% ao ano, capitalizados anualmente. 
Quando o período da taxa de juros coincide com a periodicidade com os juros são 
capitalizados, a taxa declarada é a própria taxa efetiva. Assim, evitando redundância, nos últimos 
três casos diz-se somente 12% ao mês, 47% ao trimestre e 189% ao ano, ficando subentendido o 
período de capitalização. Quando não se verifica essa coincidência entre os períodos, a taxa de 
juros costuma ser definida como taxa nominal. 
Cálculo da taxa efetiva a partir de uma taxa nominal: 
Se a taxa de juros for nominal, a taxa proporcional por período de capitalização poderá ser 
determinada dividindo-se a taxa nominal pela freqüência de suas capitalizações: 
 
i = J / k 
 
O período da taxa obtida no passo anterior será o mesmo das capitalizações da taxa 
nominal. Por exemplo, se a taxa nominal de 24% ao ano capitalizada trimestralmente for dividida 
pela freqüência das capitalizações, a taxa resultante será uma taxa efetiva trimestral: 
 
it = J / k = 24% a.a. / 4 trimestres = 6% a. t. 
 
Finalmente, aplicando-se o processo de capitalização composta podemos calcular a taxa 
efetiva anual equivalente à taxa nominal de 24% a.a. capitalizada trimestralmente: 
 
1º) it = 24% / 4 trimestres = 6% a. t. 
 
2º) (1 + ia) = (1 + it)4 
 (1 + ia) = (1 + 0,06)4 
 ia = (1,06)4 - 1 
 ia = 1,26248 – 1 = 0,26248 = 26,25% a.a. 
 
4.2. Proporcional (ou Linear) 
Taxas proporcionais são aquelas que mantêm uma relação de proporcionalidade com as 
unidades de tempo em que são informadas. 
Exemplo: 12% ao ano é uma taxa proporcional a 1% ao mês, porque é doze vezes maior, 
assim como o ano é um período de tempo doze vezes superior ao mês. 
A maior parte dos juros praticados no Sistema Financeiro nacional e internacional encontra-
se referenciada na taxa linear, como a remuneração linear da Caderneta de Poupança, as taxas 
internacionais libor e prime rate, o desconto bancário, os juros da Tabela Price, as taxas do mercado 
interfinanceiro, entre outros. A taxa proporcional é determinada pela relação simples entre a taxa 
considerada na operação (taxa nominal) e o número de vezes em que ocorrem juros (quantidade de 
períodos de capitalização). 
 39
A taxa proporcional ao mês para uma taxa nominal de 18% ao ano capitalizada 
mensalmente é 1,5% ao mês: 
taxa proporcional = 18% / 12 meses = 1,5% ao mês 
Neste caso a taxa proporcional é uma taxa efetiva mensal. A taxa proporcional de 6% ao 
mês para 3 meses, é de 18%; a de 24% ao ano, para 5 meses, é de 10% e assim sucessivamente, 
variando linearmente. 
A taxa proporcional não é um tipo de taxa de juros, é apenas uma característica do regime 
de juros simples. A taxa nominal pode ser proporcionalizada de modo que possa ser expressa em 
diferentes períodos de tempo. Entretanto, basicamente, o conceito de taxa proporcional é somente 
utilizado para capitalização simples, no sentido de que o valor dos juros é proporcional apenas ao 
tempo. 
 
4.3. Equivalente 
Taxas equivalentes de juros são aquelas que, informadas em unidades diferentes de tempo, 
ao serem aplicadas durante o mesmo período de tempo e sobre o mesmo capital, reproduzem a 
mesma quantia de juros. 
São calculadas conforme o sistema de capitalização de juros (simples, compostos ou 
contínuos) tendo, por esta razão, suas relações matemáticas obtidas de acordo com o sistema de 
capitalização. 
Pelo critério de juros simples, a taxa equivalente é a própria taxa proporcional. Assim, 2% ao 
trimestre é uma taxa proporcional (equivalente) a 8% ao ano, pois: 4 trimestres X 2% ao trimestre = 
8% ao ano. 
 
Taxas Equivalentes em Juros Simples: 
Na fórmula dos juros simples, sabemos que o prazo deve ser expresso na mesma unidade 
da taxa. O procedimento inverso também pode ser adotado, ou seja, podemos expressar a taxa na 
mesma unidade do prazo; para isto, devemos saber converter taxas de um período para outro. 
Dizemos que duas taxas são equivalentes a juros simples quando, aplicadas num mesmo 
capital e durante um mesmo prazo, derem juros iguais. Embora este prazo referido possa ser 
qualquer um, habitualmente é utilizado o prazo de 1 ano. 
As taxas equivalentes são proporcionais aos respectivos prazos a que se referem. 
Assim, por exemplo: 
4% ao bimestre é equivalente a 2% ao mês; 
6% ao trimestre é equivalente a 2% ao mês; 
12% ao semestre é equivalente a 2% ao mês; e 
24 ao ano é equivalente a 2% ao mês. 
Taxas equivalentes: são taxas que aplicadas ao mesmo capital, durante o mesmo tempo, 
produzem juros iguais. 
Seja i = taxa no período interio, k = número de períodos nos quais subdividiu-se o período 
inteiro e ik = taxa em cada um dos k subperíodos. 
Tomemos um Capital qualquer e o prazo n = 1. Para que i e ik sejam taxas equivalentes, 
devemos ter: 
C x i x 1 = C x ik x k ⇒ i = ik x k ou ik = i / k que é a fórmula de taxas equivalentes em Juros 
Simples. 
 40
Observação: quanto i é a taxa anual (i = ia), os valores mais usados de k são: 
k = 2 ⇒ i2 = taxa semestral; 
k = 3 ⇒ i3 = taxa quadrimestral; 
k = 4 ⇒ i4 = taxa trimestral; 
k = 6 ⇒ i6 = taxa bimestral; 
k = 12 ⇒ i12 = taxa mensal; 
k = 360 ⇒ i360 = taxa diária. 
Para estes valores de k, a fórmula acima desdobra-se em: 
ia = 2i2 = 3i3 = 4i4 = 6i6 = 12i12 = 360i360
Exemplos: 
Qual é a taxa mensal equilvalente a 30% ao ano em juros simples? 
Dados: 
i = ia = 30% ao ano 
k = 12 meses 
ik = i12 = ? 
Solução: 
i12 = 0,30 / 12 = 0,025 ou 2,5% ao mês. 
Calcule a taxa anual equivalente a 9% ao trimestre em juros simples. 
Dados: 
i = ia = ? 
k = 4 trimestres 
ik = i4 = 9% ao trimestre 
Solução: 
ia = 4 x i4 = 4 x 9% = 36% ao ano. 
Qual a taxa semestral equivalente a 10% ao mês em juros simples? 
Dados: 
i = is= ? 
k = 6 meses 
ik = i12 = 10% ao mês 
Solução: 
is = 6 x i12 = 6 x 10% = 60% ao semestre. 
 
Taxas Equivalentes em Juros Compostos: 
A importância da equivalência entre taxas de juros volta-se para as operações que 
referenciam suas taxas em juros compostos. Assim, duas taxas são ditas equivalentes quando, 
incidindo sobre um mesmo capital durante certo prazo, produzem montantes iguais pelo regime de 
capitalização composta. Consideremos uma aplicação de R$1.000,00 aplicada pelo prazo de um 
ano. Se o capital for aplicado à taxa efetiva de 42,5761% ao ano, ou à taxa efetiva de 3% ao mês, o 
montante será o mesmo, dado que essas duas taxas são equivalentes: 
Montante de um capital aplicado por um ano à taxa efetiva de 42,5761% ao ano: M = 1.000 
X (1,425761)1 = R$1.425,76 
Montante de um capital aplicado por 12 meses à taxa efetiva de 3% ao mês: M = 1.000 X 
(1,03)12 = R$1.425,76 
 41
Constata-se que as taxas efetivas de 42,5761% ao ano e 3% ao mês são equivalentes, pois 
resultam no mesmo montante a partir do mesmo capital. Ao se definir em 42,5761% ao ano o juro 
efetivo da operação, o percentual ao mês deverá, após os 12 períodos de capitalização no ano, 
produzir uma taxa acumulada (efetiva) de 42,5761%, ou seja: 
Taxa mensal equivalente: 
(1 + ia) = (1 + im)12 
(1,425761) = (1 + im)12 
im = (1,425761) 12 - 1 
im = 3% ao mês 
Toda taxa de juros se encontra em determinado prazo. Entretanto, pode ser convertida para 
outro prazo qualquer sem alterar seu valor intrínseco, o que viabiliza o cálculo dos juros em 
operações e facilita comparações entre taxas de juros. Assim, considerando-se o ano comercial (360 
dias), a seguinte identidade nos permite relacionar por equivalência algumas taxas efetivas: 
 
(1 + ia) = (1 + is)2 = (1 + iq)3 = (1 + it)4 = (1 + im)12 = (1 + id)360 
 
Utilizaremos a seguinte convenção para as taxas de juros efetivas: 
ia = taxa efetiva anual (a. a.) 
is = taxa efetiva semestral (a. s.) 
iq = taxa efetivaquadrimestral (a. q.) 
it = taxa efetiva trimestral (a. t.) 
im= taxa efetiva mensal (a. m.) 
id = taxa efetiva diária (a. d.) 
Ao passarmos de uma unidade de tempo menor para uma maior, como de mês para ano, 
devemos elevar a taxa de juros pelo número de períodos correspondente. Se for o contrário, como, 
por exemplo, de ano para mês, devemos elevar ao inverso do período. 
 
 Taxas equivalentes: são taxas que aplicadas ao mesmo capital, durante o mesmo 
tempo, produzem juros iguais. 
Seja: 
i = taxa de juro composto no período inteiro; 
k = número de capitalizações no período inteiro; 
ik = taxa de juro composto em cada um dos k subperíodos. 
 
i e ik serão taxas equivalentes se e somente se tivermos: 
 
C (1 + i)1 = C (1 + ik )K ⇒ (1 + i)1 = (1 + ik )K
 
Exemplos: 
Qual a taxa semestral equivalente a 6% ao ano ? 
Dados: 
k = 2 semestres 
i = ia = 0,06 ao ano 
ik = i2 = ? 
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Solução: 
(1 + ia)1 = (1 + i2 )2 
1 + 0,06 = (1 + i2 )2 
1,06 = (1 + i2 )2 
1 + i2 = √1,06 
1 + i2 = 1,0295 
i2 = 1,0295 – 1 
i2 = 0,0295 
i2 = 2,95% ao semestre 
 
Qual a taxa anual equivalente a 4% ao mês? 
Dados: 
k = 12 meses 
i = ia = ? 
ik = i12 = 0,04 ao mês 
Solução: 
(1 + ia)1 = (1 + i12 )12 
1 + ia = (1 + 0,04 )12 
1 + ia = (1,04 )12 
1 + ia = 1,60103 
ia = 1,60103 – 1 
ia = 0,60103 
ia = 60,103% ao ano 
 
Taxas Efetiva e Nominal em Juros Compostos: 
Taxa Nominal: quando o período de capitalização é diferente do período a que se 
refere a taxa (geralmente é uma taxa anual). 
Exemplos: 
80% ao ano capitalizados trimestralmente. 
135% ao ano capitalizados mensalmente. 
etc. 
 
Cálculo da taxa efetiva: 
Sendo: 
i = taxa efetiva no período inteiro; 
iN = taxa nominal no período inteiro; 
k = número de capitalizações no período inteiro. 
 
 
 
 
 
 
 
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Proceder assim: 
1º) Calcular a taxa efetiva por período: 
 
ik = iN / k (taxa proporcional) 
 
2º) Usar a fórmula (1 + i)1 = (1 + ik )K para obter: 
 
i = (1 + ik )K – 1 que é a taxa efetiva correspondente a iN. 
 
Exemplo: 
Qual a taxa anual efetiva correspondente à taxa nominal de 8% ao ano, capitalizados 
trimestralmente ? 
Dados: 
ia = ? 
iN = 0,08 ao ano, capitalizados trimestralmente 
k = 4 trimestres 
Solução: 
1º) i4 = 0,08 / 4 = 0,02 ao trimestre 
2º) (1 + ia)1 = (1 + i4 )4 ⇒ (1 + ia)1 = (1 + 0,02 )4 ⇒1 + ia = (1,02 )4
1 + ia = 1,08243 ⇒ ia = 1,08243 – 1 = 0,08243 = 8,243% ao ano 
ia = 8,243% ao ano 
 
Cálculo do Montante em Juros Compostos dada uma Taxa Nominal: 
Exemplo: 
O capital de R$2.000,00 é aplicado a 15% ao ano, capitalizados trimestralmente, durante 3 
anos. Qual o montante ? 
Dados: 
C = 2.000 
iN = 0,15 ao ano, capitalizados trimestralmente 
k = 4 trimestres 
n = 3 anos = 12 trimestres 
M = ? 
Solução: 
1º) i4 = 0,15 / 12 = 0,0375 ao trimestre 
2º) M = C x (1 + 0,0375)12 ⇒ M = 2.000 x (1,0375)12 ⇒ M = 3.110,90 
M = R$3.110,90. 
 
4.4. Nominal 
 Nos casos em que a taxa de juros é mencionada com uma unidade de tempo, mas 
capitalizada ou composta em outra unidade, diferente da primeira, não é possível aplica-la 
diretamente na fórmula de juros compostos apesar de haver capitalização. 
 Nos casos em que se faz referência a um período de capitalização diferente da unidade da 
taxa, denominamos esta última de taxa nominal. 
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Freqüentemente, os juros são capitalizados mais de uma vez no período a que se refere a 
taxa de juros, ou seja, os juros são incorporados ao principal mais de uma vez no período da taxa de 
juros. Quando isso ocorre, a taxa de juros é chamada de taxa nominal. A taxa de juros nominal é 
uma taxa declarada ou taxa cotada que não incorpora capitalizações, sendo necessário o cálculo da 
taxa efetiva equivalente quanto pretendemos efetuar cálculos e comparações no regime de juros 
compostos. Quando o período da taxa de juros coincide com a periodicidade com o que os juros são 
capitalizados, a taxa declarada é a taxa nominal. Veja essas características a seguir: 
- Aplica-se diretamente em operações de Juros Simples; 
- É suscetível de ser proporcionalizada (dividida ou multiplicada) “k” vezes em seu 
período referencial, de modo que possa ser expressa em outra unidade de tempo (caso dos juros 
simples) ou como unidade de medida para ser capitalizada em operações de juros compostos. 
- É uma taxa referencial que não incorpora capitalizações. 
- É calculada com base no valor nominal da aplicação ou empréstimo. 
Exemplos de taxas nominais: 
- 18% ao ano capitalizada mensalmente; 
- 5% ao ano capitalizada diariamente; 
- 8% ao semestre capitalizada mensalmente; 
- operações de overnight em que a taxa de juros é mensal com capitalizações diárias; 
- operações de câmbio. 
 
 
Noções sobre Fluxo de Caixa: 
 Fluxo de caixa pode ser entendido como uma sucessão de recebimentos ou de 
pagamentos, em dinheiro, previstos para determinado período de tempo. 
 No eixo horizontal é representado o tempo, subdividido em períodos unitários (dia, 
mês, trimestre, ano, etc), orientados da esquerda para a direita, de tal forma que todos os pontos 
são considerados como momentos futuros em relação ao ponto “zero”. Os recebimentos (entradas 
de caixa, encaixes, reembolsos) são representados na parte superior do eixo horizontal, indicados 
por setas orientadas para cima; os pagamentos (saídas de caixa, desencaixes, desembolsos) são 
representados na parte inferior do eixo horizontal, indicados por setas orientadas para baixo. 
Obviamente, se houver pagamentos e recebimentos num mesmo ponto, poder-se-á representar 
somente a diferença entre os dois. 
A representação gráfica do fluxo de caixa é feita de acordo com os dados 
apresentados em cada caso, sendo as setas orientadas em função da interpretação do enunciado 
do problema. 
 
 
 
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5. Rendas Financeiras 
Rendas financeiras, anuidades, rendas certas, prestações ou séries de pagamentos 
são sucessões de pagamentos ou recebimentos, exigíveis em épocas predeterminadas, destinadas 
a extinguir uma dívida ou constituir um capital. 
Em resumo, uma renda é um série de dois ou mais pagamentos, feitos em intervalos 
iguais de tempo, cujo objetivo é constituir um fundo ou amortizar uma dívida. 
Renda Certa ou Renda Uniforme é uma série de n pagamentos iguais. 
Quanto ao vencimento dos termos, uma renda certa é classificada em imediata ou 
diferida. 
Simbologia: 
R = valor de cada termo da renda (pagamento, depósito, termo ou prestação da 
série); 
C = valor atual da renda (principal, valor presente ou capital inicial) na data zero; 
M = valor futuro da renda (montante, capital a constituir ou valor futuro) no final do 
período n; 
n = número de termos da renda (prestações ou depósitos) quase sempre 
coincidente com o número de períodos unitários; 
i = taxa unitária de juros compostos (por período), coerente com a unidade de 
tempo. 
Observação: o Montante ou Valor Futuro da série não é o somatório dos 
pagamentos. 
Valor Atual de um Fluxo de Caixa: 
É a soma dos valores atuais (principais) de cada um de seus termos (inclusive 
anuidades). 
C = R0 / (1 + i)0 + R1 / (1 + i)1 + ... + Rn / (1 + i)n
 
Valor Futuro de um Fluxo de Caixa: 
É a soma dos montantes de cada um de seus termos. 
M = R0 / (1 + i)n + R1 / (1 + i)n-1 + ... + Rn / (1 + i)0
 
 
 
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Valor Presente versus Valor Futuro: 
Valor Atual numa data focal é a soma dos montantes dos termos anteriores à data 
focal, mais a soma dos valores presentes dos termos posteriores à data focal. 
Temos um valor presente quando o valor atual é calculado na data focal zero e valor 
futuro quando a data focal encontra-se no período n. 
Classificação: 
a) quanto ao prazo: 
- Temporárias; 
- Perpétuas; 
b) quanto ao valor dos termos: 
- Constante; 
- Variável; 
c) quanto à periodicidade: 
- Periódica; 
- Não periódica. 
d) quanto à forma de pagamento: 
- Imediatas: quando o 1º pagamento é feito já no 1º período. Conforme os 
pagamentos sejam feitos no final ou no início de cada período, a renda 
será considerada: 
- Postecipadas: no final do período; 
- Antecipadas: no início do período. 
- Diferidas: