ENGENHARIA DE MATERIAIS

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Engenharia de 
Materiais
Aparecido Edilson Morcelli
Revisada por Aparecido Edilson Morcelli
É com satisfação que a Unisa Digital oferece a você, aluno(a), esta apostila de Engenharia de Materiais, 
parte integrante de um conjunto de materiais de pesquisa voltado ao aprendizado dinâmico e autônomo 
que a educação a distância exige. O principal objetivo desta apostila é propiciar aos(às) alunos(as) uma apre-
sentação do conteúdo básico da disciplina.
A Unisa Digital oferece outras formas de solidificar seu aprendizado, por meio de recursos multidis-
ciplinares, como chats, fóruns, aulas web, material de apoio e e-mail.
Para enriquecer o seu aprendizado, você ainda pode contar com a Biblioteca Virtual: www.unisa.br, 
a Biblioteca Central da Unisa, juntamente às bibliotecas setoriais, que fornecem acervo digital e impresso, 
bem como acesso a redes de informação e documentação.
Nesse contexto, os recursos disponíveis e necessários para apoiá-lo(a) no seu estudo são o suple-
mento que a Unisa Digital oferece, tornando seu aprendizado eficiente e prazeroso, concorrendo para 
uma formação completa, na qual o conteúdo aprendido influencia sua vida profissional e pessoal.
A Unisa Digital é assim para você: Universidade a qualquer hora e em qualquer lugar!
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ApREsEntAção
sUMÁRIo
IntRoDUção ................................................................................................................................................5
1 ConCEItos FUnDAMEntAIs ........................................................................................................7
1.1 Classificação dos Materiais ........................................................................................................................................ 10
1.2 Ligação Iônica e a ligação Secundária ou de Van der Waals ........................................................................ 11
1.3 A Estrutura Cristalina ................................................................................................................................................... 12
1.4 Exercícios Resolvidos ................................................................................................................................................... 14
1.5 Resumo do Capítulo .................................................................................................................................................... 16
1.6 Atividades Propostas ................................................................................................................................................... 16
2 EstRUtURAs MEtÁLICAs ............................................................................................................. 17
2.1 Estruturas Cerâmicas ................................................................................................................................................... 18
2.2 Estruturas Poliméricas ................................................................................................................................................. 19
2.3 Estruturas Semicondutoras ...................................................................................................................................... 20
2.4 Exercícios Resolvidos ................................................................................................................................................... 22
2.5 Resumo do Capítulo .................................................................................................................................................... 24
2.6 Atividades Propostas ................................................................................................................................................... 24
3 EstUDo DA REDE CRIstALInA ................................................................................................. 27
3.1 Direções e Planos Cristalográficos ......................................................................................................................... 28
3.2 O Ângulo entre as Direções e os Índices de Miller .......................................................................................... 30
3.3 Difração de Raios X ...................................................................................................................................................... 32
3.4 Microscopia Eletrônica de Transmissão e Varredura ....................................................................................... 33
3.5 Defeitos Pontuais e Difusão no Estado Sólido ................................................................................................... 35
3.6 Diagramas de Fases e o Desenvolvimento de Microestruturas ................................................................. 37
3.7 Exercícios Resolvidos ................................................................................................................................................... 38
3.8 Resumo do Capítulo .................................................................................................................................................... 40
3.9 Atividades Propostas ................................................................................................................................................... 41
4 ConsIDERAçÕEs FInAIs ............................................................................................................... 43
REspostAs CoMEntADAs DAs AtIVIDADEs pRopostAs ..................................... 45
REFERÊnCIAs ............................................................................................................................................. 53
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IntRoDUção
Esta apostila destina-se a você, estudante de graduação para os cursos de Engenharia Ambiental, 
Engenharia de Produção ou afins, para acompanhamento do conteúdo de Engenharia de Materiais, nos 
cursos a distância.
Com o intuito de simplificar a exposição dos tópicos abordados, procurou-se, através de uma lin-
guagem simples, expor o conteúdo de forma sucinta e objetiva, com a dedução de parte das equações 
expostas no texto.
Neste curso, será abordado o estudo dos materiais metálicos, poliméricos e cerâmicos, bem como 
os materiais compósitos. Você terá a oportunidade de aprimorar os seus conhecimentos no mundo dos 
materiais, que o cerca no dia a dia. Muitos dos materiais utilizados atualmente em veículos automotores, 
utensílios domésticos, fazem parte dessa gama enorme de novos materiais e suas aplicações. Você tam-
bém vai reconhecer a importância da nanotecnologia na produção de equipamentos em escalas cada 
vez menores, na ordem de 10-9 do metro, com a mesma eficiência, porém consumindo menor quantida-
de de matéria-prima. 
Para complementar a teoria, são propostas atividades com grau de dificuldade gradativo. Além 
desta apostila, você terá como materiais de estudo as aulas web, material de apoio e aula ao vivo. Serão 
utilizadas para avaliação as atividades, podendo ser atribuída uma nota ou não, e a prova presencial.
Esperamos que você, aluno(a), tenha facilidade na compreensão do texto apresentado, bem como 
na realização das atividades propostas.
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ConCEItos FUnDAMEntAIs1 
A grande variedade de materiais disponí-
veis aos engenheiros pode ser dividida em cinco 
grandes categorias: metais, cerâmicas e vidros, 
polímeros, compósitos e semicondutores. As três 
primeiras categorias podem ser associadas a tipos 
distintos de ligação atômica. Os compósitos en-
volvem combinações de dois ou mais materiais, 
como, por exemplo, metais e cerâmicas.
Você pode observar que os metais, as ce-
râmicas e vidros, os polímeros e os compósitos 
compreendem os materiais estruturais. Ossemi-
condutores compreendem uma categoria sepa-
rada de materiais eletrônicos, distinta por sua ex-
clusiva condutividade elétrica intermediária. 
Agora, vamos entender as várias proprie-
dades desses materiais. Nesse caso, é preciso que 
você e eu examinemos a estrutura desses mate-
riais em escala microscópica ou atômica. 
Você já deve ter ouvido falar em nanotec-
nologia, para a produção de dispositivos cada 
vez menores. Para eu e você podermos enxergar 
o mundo microscópico, necessitamos de equipa-
mentos de observação. O microscópio eletrônico 
é um equipamento utilizado atualmente para 
enxergar os materiais e estudar o seu comporta-
mento.
Vamos fazer uma análise compreendendo 
a ductilidade relativa de certas ligas metálicas. A 
ductilidade da liga metálica está associada à “ar-
quitetura” em escala atômica. 
Você e eu, agora, temos a certeza de que, 
quando as propriedades dos materiais são com-
preendidas, o material apropriado para determi-
nada aplicação pode ser processado e seleciona-
do. A seleção de materiais é feita em dois níveis:
ƒƒ Primeiro nível: existe a competição en-
tre as diversas categorias de materiais;
ƒƒ Segundo nível: existe a competição 
dentro da categoria mais apropriada 
para o material específico ideal.
Para ilustrar a você o que eu estou falando, 
vamos analisar a micrografia obtida da superfície 
de fratura de um material metálico. Nesse caso, 
trata-se de um ferro fundido nodular. A microgra-
fia foi obtida por Microscopia Eletrônica de Var-
redura, comumente conhecida como MEV. Veja a 
micrografia e seus detalhes da superfície:
DicionárioDicionário
Ductilidade: deformação permanente anteceden-
do a ruptura. Alguns materiais apresentam alta 
ductilidade.
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Figura 1 – Micrografia obtida por MEV.
Você notou pelo contraste que existem re-
giões claras, com a existência de alvéolos, indi-
cando que a fratura ocorreu por sobrecarga. As 
esferas em contraste escuro são de carbono ou 
grafita, indicando a forma de resfriamento do 
material. Nós vamos falar um pouco mais sobre a 
análise de materiais nos próximos capítulos.
λ
hvm =⋅
A imagem é obtida por MEV, através da ima-
gem de elétrons secundários. Calma! Eu vou falar 
mais sobre essa técnica nos próximos capítulos.
Você notou que o aumento obtido corres-
ponde a 420x. Agora, veja essa mesma superfície 
de fratura com um aumento de aproximadamen-
te 1300x.
AtençãoAtenção
A imagem obtida por MEV é através da interação 
do feixe de elétrons com o material. Nessa técnica, 
é importante perceber que os elétrons se compor-
tam como onda. Você viu, em Física I, a dualidade 
onda-partícula proposta por De Broglie.
Fonte: O autor.
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Figura 2 – Micrografia obtida por MEV.
Agora, você e eu podemos “adentrar” à su-
perfície de fratura e observar com grande profun-
didade de foco e resolução a superfície de fratura 
e as esferas escuras dentro dos alvéolos. Você já 
tinha imaginado visualizar a superfície de um me-
tal e encontrar tantos detalhes? Não!
No nosso curso, vamos investigar os mate-
riais através de técnicas de observação e de rea-
lização de ensaios e testes para observar o seu 
comportamento mecânico e termomecânico. 
Para você e eu entendermos as propriedades ou 
características observáveis dos materiais da enge-
nharia, é necessário entender a sua estrutura em 
uma escala atômica e/ou microscópica. Qualquer 
engenheiro responsável por selecionar vários 
metais para aplicações de projeto precisa estar 
ciente de que algumas ligas são relativamente 
dúcteis, enquanto outras são relativamente frá-
geis. Observamos que as ligas de alumínio são ti-
picamente dúcteis, enquanto as de magnésio são 
normalmente frágeis. Essa diferença fundamental 
se relaciona diretamente com suas diversas estru-
turas cristalinas. Por enquanto, você deve saber 
apenas que a estrutura do alumínio segue um 
arranjo cúbico e a liga de magnésio segue um ar-
ranjo hexagonal.
Vamos, agora, visualizar um corpo de prova 
metálico submetido ao ensaio de tração. 
Fonte: O autor.
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Figura 3 – Corpo de prova após o ensaio de tração.
 Você está observando que o material está 
rompido. Nas pontas próximas do rompimento, 
observamos uma redução da área. Esse fenômeno 
ocorre porque o material sofre inicialmente 
uma deformação elástica, posteriormente uma 
deformação plástica e, no estágio final, há a 
ruptura na região em que houve a redução da 
área ou, simplesmente, a estricção.
Saiba maisSaiba mais
Elasticidade: tensão máxima que ainda provoca de-
formação elástica.
Dureza: resistência à penetração.
Uma base para a classificação dos mate-
riais da engenharia é a ligação atômica. Embora 
a identidade química de cada átomo seja deter-
minada pelo número de prótons e nêutrons den-
tro de seu núcleo, a natureza da ligação atômica 
é determinada pelo comportamento dos elétrons 
que orbitam o núcleo.
Vamos classificar os materiais da engenharia 
que admitem um tipo de ligação em particular ou 
uma combinação de tipos para cada categoria. Os 
metais envolvem a ligação metálica. As cerâmicas 
e vidros envolvem a ligação iônica, mas normal-
mente em conjunto com uma forte característica 
covalente. Os polímeros normalmente envolvem 
ligações covalentes fortes ao longo de cadeias po-
liméricas, mas possuem ligações secundárias mais 
fracas entre cadeias adjacentes. A ligação secun-
dária atua como um elo fraco na estrutura, geran-
do resistências e pontos de fusão tipicamente bai-
xos. Os semicondutores são predominantemente 
covalentes por natureza, com alguns compostos 
semicondutores tendo uma característica iônica 
significativa. Essas quatro categorias de materiais 
da engenharia são, portanto, os tipos fundamen-
tais. Os compósitos são combinações dos três pri-
meiros tipos fundamentais e possuem caracterís-
ticas de ligação apropriadas aos seus elementos 
constituintes.
1.1 Classificação dos Materiais
Região de ruptura 
do corpo de prova.
Fonte: O autor.
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1.2 Ligação Iônica e a ligação Secundária ou de Van der Waals
A ligação iônica é o resultado da atração 
coulombiana entre espécies químicas com cargas 
opostas. A força de atração coulombiana segue a 
seguinte relação:
2a
KFc −=
Sendo:
ƒƒ cF a força de atração coulombiana en-
tre dois íons de cargas opostas;
ƒƒ a a distância de separação entre os 
centros dos íons;
ƒƒ K dado por: ( )( )qZqZkK 210= .
 
A energia de ligação E está relacionada à 
força de ligação, por meio da expressão diferen-
cial:
dEF
da
=
Você poderá visualizar no gráfico que a 
curva de ligação líquida é a derivada da curva da 
energia de ligação.
Figura 4 – Gráfico da curva de ligação líquida.
 Fonte: Shackelford (2011).
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A inclinação na curva de energia em um mí-
nimo é igual a zero, ou seja:
0
0
a a
dEF
da =
 = =  
 
A ligação conhecida como secundária ou 
ligação de van der Waals ocorre com energias de 
ligação substancialmente menores, sem a trans-
ferência ou o compartilhamento de elétrons. 
Você pode observar que o mecanismo da 
ligação secundária ou de van der Waals é seme-
lhante à ligação iônica, ou seja, a atração de cargas 
opostas. A principal diferença é que nenhum elé-
tron é transferido. A atração depende de distribui-
ções assimétricas de cargas positivas e negativas 
dentro de cada átomo ou unidade molecular que 
está sendo ligada. Essa assimetria de carga é de-nominada dipolo. A ligação secundária ou de van 
der Waals pode ser de dois tipos, dependendo de 
os dipolos serem temporários ou permanentes.
Saiba maisSaiba mais
Johannes Diderick van der Waals (1837-1923), físico 
holandês, melhorou as equações de estado para os 
gases, levando em consideração o efeito das forças 
secundárias. Sua brilhante pesquisa foi publicada 
inicialmente como uma dissertação de tese, que 
surgiu de seus estudos de física em tempo parcial.
A estrutura cristalina tem como caracterís-
tica central sua forma regular e repetitiva. Para 
quantificar essa repetição, temos de determinar 
qual unidade estrutural é repetida. Vamos, agora, 
analisar a geometria de uma célula unitária.
Figura 5 – Geometria de célula unitária.
 Fonte: Shackelford (2011).
Você deve observar que o tamanho das 
arestas da célula unitária e os ângulos entre os ei-
xos cristalográficos são chamados constantes de 
rede ou parâmetros de rede. A principal caracte-
rística da célula unitária é que ela contém uma 
descrição completa da estrutura como um todo, 
pois a estrutura completa pode ser gerada pelo 
empilhamento repetitivo de células unitárias ad-
jacentes, face a face, por todo o espaço tridimen-
sional.
Você vai perceber que a descrição das es-
truturas cristalinas por meio de células unitárias 
tem uma vantagem importante. Todas as estrutu-
ras possíveis se reduzem a um pequeno número 
de geometrias básicas de célula unitária. Existem 
somente sete formas exclusivas de célula unitária 
que podem ser empilhadas para preencher o es-
paço tridimensional.
Vamos, agora, analisar o sistema cúbico:
1.3 A Estrutura Cristalina
DicionárioDicionário
Célula unitária: o menor volume que, por repetição 
no espaço, reproduz o reticulado cristalino.
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Figura 6 – Sistema cúbico.
No sistema cúbico, os comprimentos axiais 
são a=b=c e os ângulos correspondem a 90º. A 
rede cúbica simples se torna a estrutura cristalina 
cúbica simples quando um átomo é colocado em 
cada ponto da rede.
Você pode observar, a partir da figura a se-
guir, que os átomos estão colocados em cada vér-
tice do sistema cúbico.
Figura 7 – Sistema cúbico.
 Fonte: Shackelford (2011).
A forma geral da curva da energia de liga-
ção e a terminologia associada às ligações cova-
lentes e também iônicas estão representadas na 
figura a seguir. Você pode verificar a energia de 
ligação em relação ao comprimento de ligação. 
Essa é uma forma comum para descrever a curva 
de energia de ligação.
Figura 8 – Energia de ligação em função do comprimento de ligação a.
 Fonte: Shackelford (2011). 
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1. Calcule a força de atração coulombiana entre Na+ e Cl− no NaCl .
Dados: 0,098Nar nm= e 0,181Clr nm=
Resolução:
A força coulombiana é dada por:
2c
KF
a
= −
Sendo ( )( )0 1 2K k Z q Z q= , temos:
( )( )0 1 2
2 2c
k Z q Z qKF
a a
= − =
( )( )
( )
9 19 19
0 1 2
22 2 9
9 10 1,6 10 1 1,6 10
0,278 10
c
k Z q Z qKF
a a
− −
−
⋅ × × ×− × ×
= − = =
×
( )
9 19 19
9
29
9 10 1,6 10 1 1,6 10 2,98 10
0,278 10
cF N
− −
−
−
⋅ × × ×− × ×
= = ×
×
2. Dado o potencial 6 12
A RK KE
a a
= − + , onde AK e RK são constantes para atração e repulsão, 
respectivamente, e sendo: 78 610,37 10AK J m
−= × ⋅ e 135 1216,16 10RK J m
−= × ⋅ , calcu-
le a energia de ligação e o comprimento da ligação para o argônio.
1.4 Exercícios Resolvidos
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Resolução:
O comprimento da ligação (em equilíbrio) ocorre em 
0
7 13
0 0
6 120 A R
a a
K KdE
da a a=
  = = − 
 
Isolando-se 
1 1
135 126 6
9
0 78 6
16,16 102 2 0,382 10 0,382
10,37 10
R
A
K J ma m m nm
K J m
−
−
−
   × ⋅
= = × = × =   × ⋅  
Agora, você deve observar a energia de ligação dada por ( )0E a . 
Para o potencial dado pela equação:
6 12
A RK KE
a a
= − + , teremos:
( )
( ) ( )6 12
0,382
0,382 0,382
A RK KE nm
nm nm
= − +
( )
( ) ( )
78 6 135 12
6 12
10,37 10 16,16 100,382
0,382 0,382
J m J mE nm
nm nm
− −× ⋅ × ⋅
= − +
( )
( ) ( )
78 6 135 12
21
6 12
10,37 10 16,16 100,382 1,66 10 .
0,382 0,382
J m J mE nm J
nm nm
− −
−× ⋅ × ⋅= − + = − ×
Para um mol de argônio (Ar), teremos: 
21 24 31,66 10 / 0,602 10 0,999 10ligação
ligações JE J ligações
mol mol
−= − × × × = − ×
O valor obtido corresponde à energia de ligação, que, em módulo, será dada por:
30,999 10ligação
JE
mol
= ×
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Neste capítulo, você aprendeu a visualizar no microscópio a fratura de um material, sobre a influên-
cia da estrutura cristalina do material e seu comportamento macroscópico, sobre a relação da força cou-
lombiana dada por 2c
KF
a
= − na ligação iônica e na ligação secundária ou de van der Waals e a repre-
sentar a energia de ligação E, que está relacionada à força de ligação, por meio da expressão diferencial:
dEF
da
= .
1.5 Resumo do Capítulo
1.6 Atividades Propostas
1. Calcule o número de átomos contidos em um cilindro de de profundidade e diâmetro de:
a) Magnésio.
Dados: 31,74Mg
g
cm
ρ = e Massa atômica 24,31 . . .Mg u m a=
2. Utilizando a densidade do MgO, 33,60MgO
g
cm
ρ = , calcule a massa de um tijolo de MgO 
refratário (resistente à temperatura), com dimensões 50 mm x 100 mm x 200 mm.
3. Calcule as dimensões de um cubo que contém 1 mol de cobre.
Dados: 63,55 /massa atômica Cu g mol= e 38,93 /g cmρ = .
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17
Agora, você vai analisar comigo uma estru-
tura cúbica de corpo centrado (ccc). Nessa estru-
tura, existe um átomo no centro da célula unitária 
e um oitavo de átomo em cada um dos oito can-
tos da célula unitária. Você pode verificar que cada 
átomo de canto é compartilhado por oito células 
unitárias adjacentes. Assim, existem dois átomos 
em cada célula unitária ccc. Para você entender 
melhor o que eu estou dizendo, utilizei bolas de 
isopor para representar a estrutura ccc. A quanti-
dade de átomos por célula unitária será dada por:
11 8 2
8
 + × = 
 
Figura 9 – Estrutura ccc.
Figura 10 – Estrutura ccc.
 Fonte: Shackelford (2011).
O Fator de Empacotamento Atômico (FEA) 
para essa estrutura é 0,68 e representa a fração 
do volume da célula unitária ocupada pelos dois 
átomos. Os metais típicos com essa estrutura in-
cluem o Ferro alfa ( Feα ), Vanádio (V), Cromo 
(Cr), Molibdênio (Mo) e Tungstênio (W).
Agora, veja uma estrutura cúbica de face 
centrada (cfc). Nessa estrutura, existe meio átomo 
no centro de cada face da célula unitária e um oi-
tavo de átomo em cada canto da célula unitária, 
com um total de quatro átomos em cada célula 
unitária cfc. A quantidade de átomos por célula 
unitária será dada por:
1 16 8 4
2 8
× + × =
Figura 11 – Estrutura cfc.
Figura 12 – Estrutura cfc.
Fonte: Shackelford (2011).
EstRUtURAs MEtÁLICAs2 
 
Átomo no 
centro 
Átomo que 
compartilha as 
outras células 
unitárias 
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O FEA para essa estrutura é 0,74. Um FEA de 
0,74 é o valor mais alto possível para preencher 
o espaço empilhando as esferas rígidas de mes-
mo tamanho. Por esse motivo, a estrutura cfc, às 
vezes, é denominada cúbica compacta. Os metais 
típicos com estrutura cfc incluem: Ferro gama 
( Feγ ), Alumínio (Al), Níquel (Ni), Cobre (Cu), Pra-
ta (Ag), Platina (Pt) e Ouro (Au).Quanto à estrutura hexagonal compacta 
(hc), você vai poder observar que existem dois 
átomos associados a cada ponto da rede de Bra-
vais, um átomo centralizado dentro da célula uni-
tária e diversos átomos fracionados nos cantos da 
célula unitária. A quantidade de átomos por célu-
la unitária será dada por:
1 11 4 4 2
6 12
+ × + × =
Figura 13 – Estrutura hc.
Figura 14 – Estrutura hc.
 Fonte: Shackelford (2011).
Os metais típicos com a estrutura hc in-
cluem o Berílio (Be), Magnésio (Mg), Titânio alfa 
(Tiα ), Zinco (Zn) e Zircônio (Zr).
A grande variedade de composições quími-
cas das cerâmicas é refletida em suas estruturas 
cristalinas. Muitas dessas estruturas cerâmicas 
também descrevem compostos intermetálicos.
Vamos definir o Fator de Empacotamento Iô-
nico (FEI) para essas estruturas. O FEI é a fração do 
volume de célula unitária ocupada pelos diversos 
cátions e ânions. Para as estruturas cerâmicas, va-
mos começar com as cerâmicas de fórmula química 
mais simples: MX, onde M é um elemento metálico 
e X é não metálico. A estrutura do cloreto de césio 
(CsCl) é semelhante a uma estrutura ccc, porém 
existem dois íons, um Cs+ e um Cl− por célula 
unitária.
2.1 Estruturas Cerâmicas
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Figura 15 – Célula unitária do cloreto de césio, mostrando as posições dos íons e os dois íons por ponto de rede.
 Fonte: Shackelford (2011).
2.2 Estruturas Poliméricas
Você vai notar agora que, diferentemente 
do empilhamento de átomos ou íons individuais 
nos metais e cerâmicas, os polímeros são defini-
dos pela estrutura do tipo cadeia das moléculas 
poliméricas longas. O arranjo dessas moléculas 
longas em um padrão regular e repetitivo é difícil. 
Como resultado, a maioria dos plásticos comer-
ciais é, em grande parte, não cristalina. Naquelas 
regiões da microestrutura que são cristalinas, a 
estrutura tende a ser muito complexa. 
Vamos observar a célula unitária triclínica 
para o poli-hexametileno adipamida ou náilon 66.
Figura 16 – Célula unitária do poli-hexame-
tileno adipamida ou náilon 66.
 Fonte: Shackelford (2011).
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Os semicondutores elementares, tais como 
o Silício (Si), Germânio (Ge) e Estanho (Sn) cinza, 
compartilham a estrutura cúbica do diamante. 
Essa estrutura é montada sobre uma rede de Bra-
vais cfc, com dois átomos associados a cada pon-
to da rede e oito átomos por célula unitária. Uma 
característica crucial dessa estrutura é que ela 
acomoda a configuração de ligação tetraédrica 
desses elementos, que estão dispostos na tabela 
periódica do grupo IV A.
Você pode observar essa estrutura no es-
quema a seguir, que representa uma estrutura 
da célula unitária cúbica do diamante. Você pode 
notar as posições dos átomos. Observe que exis-
tem dois átomos por ponto da rede, sendo que 
cada átomo é coordenado tetraedricamente.
2.3 Estruturas Semicondutoras
Figura 17 – Estrutura da célula unitária cúbica do diamante.
 Fonte: Shackelford (2011).
Agora, vamos analisar o empacotamento 
real dos átomos representados como esferas rígi-
das associadas à célula unitária (SHACKELFORD, 
2011).
A quantidade de átomos por célula unitária 
será dada por:
Átomo/célula unitária: 
1 14 6 8 8
2 8
+ × + × =
Saiba maisSaiba mais
Cúbico tipo diamante: a estrutura cúbica do diamante.
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21
Figura 18 – Empacotamento real dos átomos.
 Fonte: Shackelford (2011).
É importante notarmos a relação entre o ta-
manho da célula unitária (tamanho da aresta) e o 
raio atômico para as estruturas metálicas comuns. 
Você deverá anotar essas relações para podermos 
realizar os exercícios que se seguem no texto. 
Para ajudar você, coloquei esses dados na forma 
de tabela. Veja:
Estrutura cristalina
Relação entre o tamanho da aresta (a) e o 
raio atômico (r)
Cúbica de corpo centrado (ccc) 4
3
ra =
Cúbica de face centrada (cfc) 4
2
ra =
Hexagonal compacta (hc) 2a r=
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22
1. Mostre que uma rede quadrada de base centrada pode ser transformada em uma rede quadra-
da simples. Esboce essa equivalência.
Resolução:
2. Sabe-se que o cobre (Cu) é um metal cfc. Dado o raio do átomo de cobre 0,128átomoCur nm= , 
determine:
a) O parâmetro de rede a (aresta).
b) A densidade da célula unitária, contendo quatro átomos.
Resolução:
a) Cálculo da aresta a.
Antes de iniciarmos a resolução, você deve analisar que a estrutura que o cobre possui é cfc 
e a equação é dada por:
2
4ra =
Como o problema nos fornece o raio do átomo de cobre 0,128átomoCur nm= , temos: 
4 4 0,128 0,362
2 2
átomora nm⋅= = =
2.4 Exercícios Resolvidos
Engenharia de Materiais
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23
b) A densidade da célula unitária:
A densidade é dada pela relação: 
massa
volume
ρ =
( )
37
3 23
4 63,55 10
6,023 100,362
massa átomos g nm
volume átomos cmnm
ρ
 
= = × × ×  
( )
37
3 23 3
4 63,55 10 8,93
6,023 100,362
átomos g nm g
átomos cm cmnm
ρ
 
= × × ≅ ×  
3. Calcule o FEI do MgO. Dados: nmrátomoMg 078,0= e nmr Oátomo 132,0= .
Lembre-se de que a estrutura é similar à do NaCl. A rede de Bravais cfc será:
 Fonte: Shackelford (2011).
Resolução:
Dado 0,420a nm= , temos:
( )33 30, 420 0,0741celulaunitariaV a nm nm= = =
Como existem quatro íons para o Mg e quatro íons para o O por célula unitária, o volume 
iônico total será:
( ) ( )3 33 34 4 164 4 0,078 0,132
3 3 3
r r nm nmππ π   × + × = +    
( ) ( )3 3 316 0,078 0,132 0,0465
3
nm nm nmπ  + = 
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24
O FEI será:
3
3
0,0465 0,627
0,0741
nmFEI
nm
= =
4. Calcule a densidade do MgO, sabendo que 0,420a nm= e o volume de célula unitária cor-
responde a 30,0741V nm= .
Dados: massa molecular atômica 24,31Mg g= e 16,00O g= .
Resolução:
A densidade é dada por: 
( ) ( ) ( ) 323 7
3
4 24,31 4 16,00 / 6,023 10 10
0,0741
g g nm
nm cm
ρ
 + ×   = × 
 
( ) ( ) ( ) 323 7
3 3
4 24,31 4 16,00 / 6,023 10 10 3,61
0,0741
g g nm g
nm cm cm
ρ
 + ×   = × = 
 
2.5 Resumo do Capítulo
2.6 Atividades Propostas
Neste capítulo, você aprendeu o conceito estrutural da matéria. Agora, você entende melhor como 
a célula unitária é formada, pois foram expostas, através de figuras, a posição dos átomos na célula unitá-
ria e a sua forma estrutural: a estrutura cúbica de corpo centrado (ccc), a estrutura cúbica de face centra-
da (cfc) e a estrutura hexagonal compacta (hc).
Aprendemos a calcular o Fator de Empacotamento Atômico (FEA) para as estruturas dadas, bem 
como o Fator de Empacotamento Iônico (FEI).
1. Calcule a densidade do Feα , sabendo-se que é um metal com estrutura ccc.
Dados: massa atômica de 55,85 . . .Fe u m aα = e 0,124Fer nm= .
4
3
a r= ⋅
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25
2. Calcule o FEI do CaO.
Dados: 0,106Car nm= e 0,132Or nm= .
Lembre-se: 2 2Ca Oa r r= + .
3. Calcule a densidade do CaO.
Dados: nma 476,0= e Ca=40,08 u.m.a. O=16,00 u.m.a.
4. Quantas células unitárias estão contidas em 1 kg de polietileno comercial, 50% cristalino e o 
restante amorfo. Ele possui uma densidade global de 0,940 Mg/cm3.
Lembre-se: você deve observar que as células unitáriasestão presentes somente na parte 
cristalina.
5. Calcule a densidade do germânio (Ge).
Dados: 0,122Ger nm= e 72,59 . . .Ge u m a=
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27
Existem algumas regras básicas para des-
crever a geometria ao redor de uma célula uni-
tária. Essas regras e as notações associadas são 
utilizadas uniformemente pelos cristalógrafos, 
geólogos, físicos, químicos, cientistas de mate-
riais, engenheiros de materiais e outros que preci-
sam lidar com materiais cristalinos.
Você, agora, vai entender o mundo dos cris-
tais. Vamos descrever as posições na rede cristalina 
expressas como frações ou múltiplos de dimensões 
da célula unitária. Um aspecto da natureza da estru-
tura cristalina é que uma dada posição da rede, em 
uma determinada célula unitária, é estruturalmen-
te equivalente à mesma posição em qualquer ou-
tra célula unitária da mesma estrutura. Agora, você 
pode observar na figura a notação utilizada para as 
posições na rede cristalina.
EstUDo DA REDE CRIstALInA3 
Figura 19 – Posições na rede cristalina.
 Fonte: Shackelford (2011).
As posições equivalentes são conectadas 
por translações na rede cristalina, consistindo em 
múltiplos inteiros ao longo de direções paralelas 
aos eixos cristalográficos. Caro(a) aluno(a)! Veja 
com detalhes a figura a seguir:
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28
Figura 20 – Posições equivalentes.
 Fonte: Shackelford (2011).
Para descrevermos as direções na rede cris-
talina, devemos estar atentos ao fato de que essas 
direções são expressas como conjuntos de intei-
ros, identificando-se as menores posições inteiras 
interceptadas pela linha que parte da origem dos 
eixos cristalográficos. Na notação para distinguir 
uma direção daquela de uma posição, os inteiros 
de direção são delimitados por colchetes, sendo o 
seu uso muito importante para a designação pa-
drão para as direções específicas da rede.
Na figura a seguir, você pode observar a no-
tação para a direção na rede. Note que as direções 
3.1 Direções e Planos Cristalográficos
Figura 21 – Notação para direção na rede.
 Fonte: Shackelford (2011).
[uvw] paralelas compartilham a mesma notação, 
pois somente a origem é deslocada.
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29
O uso dos colchetes é importante e é a de-
signação padrão para as direções específicas na 
rede. Você deve observar que a linha da origem 
dos eixos cristalográficos, passando pela posição 
no centro do corpo 
1 1 1
2 2 2
, pode ser estendida 
para interceptar a posição 111 do canto da célula 
unitária. Note que a extensão adicional da linha 
leva à interceptação de outros conjuntos de intei-
ros, como, por exemplo, 222 e 333, sendo o con-
junto 111 o menor. Como resultado, essa direção 
é referenciada como [ ]111 . Quando uma direção 
se move por um eixo negativo, a notação preci-
sa indicar esse movimento. Por exemplo, a barra 
acima do número inteiro final na direção 111   
designa que a linha da origem passou pela posi-
ção 1 1 -1.
Você deve observar que as direções [ ]111 
e são estruturalmente muito semelhantes. 
Ambas são diagonais do corpo através de células 
unitárias idênticas. A direção 111   se tornaria a 
direção [ ]111 se fizéssemos uma escolha dife-
rente de orientação de eixos cristalográficos. Esse 
conjunto de direções, que são estruturalmente 
equivalentes, é chamado família de direções e é 
representado pelos sinais < >. Um exemplo das 
diagonais de corpo no sistema cúbico é: 
[ ]111 111 , 111 , 111 , 111 111 , 111 , 111 , 111             =              
Vamos agora visualizar a família de direções 
111 , representando todas as diagonais do cor-
po para células unitárias adjacentes no sistema 
cúbico.
Figura 22 – Família de direções 111 .
 Fonte: Shackelford (2011). 
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30
Os ângulos podem ser determinados pela 
visualização cuidadosa e por cálculos trigono-
métricos. No sistema cúbico, o ângulo pode ser 
determinado pelo cálculo simples de um pro-
duto escalar de dois vetores. Vamos analisar as 
direções: [ ]uvw e [ ]' ' 'u v w , com os vetores 
D ua vb wc= + +


 
 e ' ' ' 'D u a v b w c= + +

 
. Po-
demos determinar o ângulo δ entre essas duas 
direções:
3.2 O Ângulo entre as Direções e os Índices de Miller 
' ' cosD D D D δ⋅ = ⋅
   
ou
2 2 2 2 2 2
' ' ' 'cos
' ' ' '
D D uu vv ww
D D u v w u v w
δ ⋅ + += =
+ + + +
 
 
Lembre-se de que essa relação é válida so-
mente para o sistema cúbico.
Os planos são expressos como um conjunto 
de números inteiros, conhecidos como índices de 
Miller. A obtenção desses números inteiros é um 
processo mais elaborado do que o que foi exigido 
para as direções. Os números representam o in-
verso das interceptações axiais. 
Figura 23 – Índices de Miller.
 Fonte: Shackelford (2011).
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31
Você deve observar que os parênteses ser-
vem como notação padrão para representar os 
planos cristalográficos. O plano (210) indicado na 
figura intercepta o eixo a em a
2
1
, o eixo b em b 
e é paralelo ao eixo c, interceptando-o em ∞ . Os 
inversos das interceptações axiais são 
1 1 1, ,1 1
2
∞
. 
Esses inversos das interceptações geram os intei-
ros 2, 1, 0, levando à notação do plano (210).
A notação geral para os índices de Miller é 
(hkl), que pode ser usada para qualquer um dos 
sete sistemas cristalinos. Como o sistema hexa-
gonal pode ser representado por quatro eixos, 
um conjunto de quatro dígitos dos índices de 
Miller-Bravais (hkil) pode ser definido. Pode-se 
mostrar que h k i+ = − para qualquer plano no 
sistema hexagonal, o que também permite que 
qualquer plano do sistema hexagonal seja desig-
nado pelos índices de Miller-Bravais (hkil) ou pe-
los índices de Miller (hkl). Da mesma forma que as 
direções equivalentes, podemos agrupar planos 
estruturalmente equivalentes como uma família 
de planos com índices de Miller ou Miller-Bravais 
entre chaves: { }hkl ou { }hkil . 
Vamos analisar as faces de uma célula unitá-
ria no sistema cúbico, pertencente à família {100}, 
com:
{ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )100 100 , 010 , 001 , 100 , 010 , 001=
Figura 24 – Faces de uma célula unitária no sistema cúbico.
 Fonte: Shackelford (2011).
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32
Você sabe como a estrutura do material é 
determinada? Através da utilização da difração de 
raios X, é possível medir a estrutura cristalina dos 
materiais de engenharia. Ela pode ser utilizada 
para determinar a estrutura de um novo material 
ou a estrutura conhecida de um material comum 
pode ser usada como fonte de identificação quí-
mica.
A difração de raios X é o resultado da radia-
ção espalhada por um conjunto regular de cen-
tros de difusão, cujo espaçamento é da mesma 
ordem de grandeza do comprimento de onda da 
radiação. Observa-se que os tamanhos de átomos 
e íons são da ordem de 0,1 nm, de modo que po-
demos pensar nas estruturas cristalinas como re-
des de difração em uma escala subnanométrica. A 
parte do espectro eletromagnético com um com-
primento de onda nesse intervalo é a radiação X. 
Dadas essas características, a difração de raios X é 
capaz de caracterizar a estruturacristalina.
Você deve observar que, para os raios X, os 
átomos são centros de espalhamento, sendo que 
o mecanismo específico de espalhamento é a in-
teração de um fóton de radiação eletromagnética 
com um elétron orbital no átomo. Um cristal atua 
como uma grade de difração tridimensional. Para 
que haja a difração, os feixes de raios X espalha-
dos por planos cristalinos adjacentes devem estar 
em fase. A diferença de caminho entre os feixes 
de raios X adjacentes é algum número inteiro n, 
de comprimento de onda da radiação λ . A rela-
ção que demonstra essa condição é a equação de 
Bragg:
θλ dsenn 2=
Nessa equação, você deve observar que λ 
é o comprimento de onda dos raios X, d corres-
ponde ao espaçamento entre planos cristalinos 
adjacentes e θ é o ângulo de espalhamento. 
3.3 Difração de Raios X
Figura 25 – Equação de Bragg.
 Fonte: Shackelford (2011).
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33
A magnitude do espaçamento interplanar 
é uma função direta dos índices de Miller para o 
plano. Para o sistema cúbico, a relação é muito 
simples. O espaçamento entre planos hkl adja-
centes é dado pela equação:
2 2 2hkl
ad
h k l
=
+ +
Você deve lembrar que a é o parâmetro de 
rede, ou seja, o tamanho da aresta da célula uni-
tária. Agora, veja como fica a fórmula para um sis-
tema hexagonal:
( )
2
2 2 2
2
4
3
hkl
ad
ah hk k l
c
=
 
+ + +  
 
Nessa equação, você deve lembrar-se dos 
parâmetros de rede a e c para o sistema hexago-
nal.
Para ilustrar o texto, temos as imagens de 
um difratômetro de raios X e uma ampola de raios 
X.
Figura 26 – Difratômetro e ampola de raios X.
3.4 Microscopia Eletrônica de Transmissão e Varredura
Você já deve ter tido a oportunidade de 
visualizar alguma estrutura utilizando uma lupa 
convencional. Você deve ter notado que muitos 
dos detalhes que você não conseguia enxergar 
sem a lupa são enxergados com certa nitidez e 
detalhes. Imagine o mesmo ocorrendo com o es-
tudo dos materiais. Para esses estudos, utilizamos 
microscópios ópticos e também eletrônicos. Os 
microscópios ópticos e eletrônicos são ferramen-
tas poderosas para observar a ordem e a desor-
dem estrutural do material. O microscópio eletrô-
nico de transmissão usa o contraste de difração 
para obter imagens com alta ampliação, como, 
por exemplo, 100.000 vezes de aumento, os de-
feitos como discordâncias no material. O micros-
cópio eletrônico de varredura produz imagens 
de aparência tridimensional de características 
microestruturais, como as superfícies de fraturas. 
Analisando a emissão de raios X característica, a 
composição química microestrutural pode ser es-
tudada.
Fonte: O autor.
Anteparo 
de W para a 
produção de 
raios X
Aparecido Edilson Morcelli
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34
Figura 27 – Microscópio eletrônico de varredura CamSam série 4.
Fonte: O autor.
Para ilustrar a utilização da microscopia ele-
trônica no estudo da superfície de fratura, obser-
ve as imagens relativas à fratura de um parafuso e 
aos respectivos elementos químicos presentes no 
material analisado.
Figura 28 – Fratura de um parafuso.
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35
Figura 29 – Elementos químicos presentes no parafuso.
A imagem ilustra a superfície de fratura de 
um material metálico. Analisando a superfície, você 
nota a presença de alvéolos indicando que o mate-
rial sofreu uma sobrecarga para romper-se. Com a 
análise de raios X característicos, é possível saber os 
elementos químicos presentes no material, através 
da microanálise por energia dispersiva de raios X. 
Você pode observar a presença dos seguintes ele-
mentos químicos: Oxigênio (O), Ferro (Fe), Zinco 
(Zn), Alumínio (Al), Silício (Si), Cromo (Cr) e Manga-
nês (Mn). 
3.5 Defeitos Pontuais e Difusão no Estado Sólido
Você já observou o que ocorre quando uma 
gota de tinta cai em um frasco contendo água. A 
gota se espalha até que toda a água fique colo-
rida por igual. Essa é uma demonstração simples 
da difusão, ou seja, o movimento das moléculas 
de uma região de maior concentração para uma 
de menor concentração. Em temperaturas sufi-
cientes, átomos e moléculas podem ser bastante 
móveis em líquidos e sólidos.
A difusão por um mecanismo de intersticia-
lidade pode ser visto na figura seguinte, em que 
efetivamente a natureza de caminhos aleatórios 
da migração atômica é observada.
Figura 30 – Difusão por mecanismo de intersticialidade.
Fonte: Shackelford (2011).
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36
Você deve observar que essa aleatoriedade 
não impede o fluxo líquido de material quando 
existe uma variação geral na composição quími-
ca.
O tratamento matemático formal desse flu-
xo difusional começa com uma expressão conhe-
cida como primeira lei de Fick:
x
cDJx ∂
∂
−=
A variável xJ é o fluxo ou taxa de fluxo das 
espécies em difusão na direção de x, devido a um 
gradiente de concentração 





∂
∂
x
c
, e D é o coe-
ficiente de proporcionalidade ou coeficiente de 
difusão, também conhecido como difusividade.
Figura 31 – Fluxo de átomos.
 Fonte: Shackelford (2011).
Agora, vamos analisar o gradiente de con-
centração em um ponto específico ao longo do 
caminho de difusão, que muda com o tempo t. 
Essa situação é representada pela equação dife-
rencial, conhecida como segunda lei de Fick:






∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
x
cD
xt
c xx
Para facilitar, podemos admitir D indepen-
dente de c, o que nos fornece uma equação sim-
plificada da segunda lei de Fick:
2
2
x
cD
t
c xx
∂
∂
=
∂
∂
Saiba maisSaiba mais
Adolf Eugen Fick (1829-1901) foi um grande fisio-
logista alemão. Seu trabalho na escola mecanistica 
da fisiologia foi tão excelente que serviu como guia 
para as ciências físicas.
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37
Uma fase é uma porção química e estrutu-
ralmente homogênea da microestrutura. Uma mi-
croestrutura monofásica pode ser policristalina, 
mas cada grão cristalino difere apenas na orienta-
ção cristalina e não na composição química.
Veja, agora, a microestrutura monofásica do 
molibdênio comercialmente puro, observada por 
microscopia óptica, após preparo da amostra da 
superfície, com aumento de 200 vezes. Nota-se a 
presença de muitos grãos nessa microestrutura e 
cada grão tem a mesma composição uniforme.
Figura 32 – Microestrutura monofásica do molibdê-
nio comercialmente puro.
 Fonte: Metals Handbook (1972).
Qualquer aumento na temperatura mudará 
o estado da microestrutura. As variáveis de esta-
do importantes, sobre as quais o engenheiro de 
materiais tem controle no estabelecimento da 
microestrutura, são: temperatura, pressão e com-
posição. A relação geral entre a microestrutura e 
essas variáveis de estado é dada pela regra de fa-
ses de Gibbs:
1F C P= − +
Na qual F é o número de graus de liberdade, 
C é o número de componentes e P é o número de 
fases. 
Um diagrama de fases é qualquer represen-
tação gráfica das variáveis de estado associadas 
à microestrutura por meio da regra de fases de 
Gibbs. Por uma questão prática, os diagramas de 
fases mais usados pelos engenheiros de materiais 
são os diagramas binários, que representam siste-
mas de dois componentes (C=2), e os diagramas 
ternários, que representam sistemas de três com-
ponentes, ou seja, C=3 na regra de fases de Gibbs.
3.6 Diagramas de Fases e o Desenvolvimento de Microestruturas 
Figura 33 – Diagrama de fases.
 Fonte: Shackelford (2011).
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38
O esquema representa o diagrama de fases 
de um componente para o ferro puro. Você pode 
analisar no diagrama uma projeção da informa-
ção do diagrama de fases em 1 atm, que gera 
uma escala de temperatura. Observe que, até 910 
°C, temos o Feα ou ferrita; a partir de 910 °C até 
1394 °C, temos a formação do Feγ ou austenita; 
entre 1394 °C e 1538 °C, observamos a formação 
do Feδ; e acima da temperatura de 1538 °C, o ferro 
encontra-se na fase líquida.
Você poderá encontrar diversos diagramas 
de fases para a maioria dos materiais conhecidos, 
através da consulta ao Metals Handbook que se 
encontra na referência.
3.7 Exercícios Resolvidos
1. Os três primeiros picos obtidos por difração de raios X do alumínio em pó são: (111), (200) e 
(220). Sabendo-se que o parâmetro a=0,404nm, determine o valor de d para cada plano.
Resolução:
Inicialmente, vamos utilizar a equação 
2 2 2hkl
ad
h k l
=
+ +
, pois o alumínio é de estrutura 
cúbica.
Para o plano (111), temos:
111 2 2 2
0, 404
1 1 1
nmd =
+ +
111 2 2 2
0, 404 0,404 0,234
31 1 1
nmd nm= = =
+ +
Para o plano (200), temos:
200 2 2 2
0, 404
2 0 0
nmd =
+ +
200 2 2 2
0, 404 0,404 0,202
22 0 0
nmd nm= = =
+ +
Para o plano (220), temos:
220 2 2 2
0, 404
2 2 0
nmd =
+ +
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39
220 2 2 2
0, 404 0,404 0,143
82 2 0
nmd nm= = =
+ +
2. Sabendo que a fonte de raios X do cobre possui 0,1542nmλ = (radiação CuKα ), utilizada 
para a difração do alumínio, determine o ângulo θ para o plano 111 0, 234d nm= .
Resolução:
Você vai utilizar a lei de Bragg θλ dsenn 2= . Lembre-se de que o problema fornece o 
valor de lambda e de d. Vamos isolar o valor de θ :
d
sen
2
λθ =
Para calcularmos o valor de θ , temos que usar a relação da trigonometria, ou seja:
d
arsen
2
λθ =
0,1542
2 0,234
nmarsen
nm
θ =
×
0,1542 19,2º
2 0,234
nmarsen
nm
θ = =
×
Como o difratograma apresenta a relação entre a intensidade e o ângulo em ( )θ2 , para o 
ângulo 19,2ºθ = , o valor de ( )1112 38,5ºθ = .
3. Superfícies de aço podem ser endurecidas pela carbonetação. Durante um tratamento desse 
tipo a 1000 °C, existe uma queda na concentração de carbono de 5% para 4% at de carbono, 
entre 1 e 2 mm da superfície de aço. Estime o fluxo de átomos de carbono no aço nessa região 
próxima à superfície.
Dados: densidade do 3(1000º ) 7,63
gFe C
cm
γ = e 
2
112,98 10CemFe
mD
s
−= ×
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40
Resolução:
23
22
3 3
6,023 107,63 8,23 10
55,85
g átomos átomos
cm g cm
ρ ×= × = ×
29
48, 23 10
c átomos
x m
∂
= − ×
∂
Agora, vamos utilizar a equação de Fick dada por:
3.8 Resumo do Capítulo
No presente capítulo, você aprendeu a descrever os planos cristalográficos e como estão dispostos 
os parâmetros de rede do material. Verificou que existe uma grande gama de materiais metálicos, cerâ-
micos e poliméricos, e que, para o estudo da cristalografia do material, utiliza-se a difração de raios X, 
utilizando-se a equação: θλ dsenn 2= , sendo possível determinar os planos de difração do material 
a partir do difratograma dado.
Também viu o tratamento matemático formal do fluxo difusional utilizando a primeira lei de Fick:
x
cDJx ∂
∂
−=
5% 4% 1%
1 2
c at at at
x mm mm mm
∂ −
= = −
∂ −
( )22 3 36
3
0,01 8,23 10 / 1010
1
átomos cmc c cm mm
x x mm m m
×∂ ∆
= = − × ×
∂ ∆
x
cJ D
x
∂
= −
∂
2
11 29
42,98 10 8,23 10x
c m átomosJ D
x s m
− ∂  = − = − × − ×  ∂   
19
22, 45 10 .x
c átomosJ D
x m s
∂
= − = ×
∂
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1. Sabendo que fonte de raios X do cobre possui 0,1542nmλ = (radiação CuKα ), utilizada 
para a difração do alumínio, determine o ângulo θ para o plano 200 0, 202d nm= .
2. Sabendo que fonte de raios X do cobre possui 0,1542nmλ = (radiação CuKα ), utilizada 
para a difração do alumínio, determine o ângulo θ para o plano 220 0,143d nm= .
3. Calcule os ângulos, no sistema cúbico, entre as seguintes direções:
Use a equação: 
2 2 2 2 2 2
' ' ' 'cos
' ' ' '
D D uu vv ww
D D u v w u v w
δ ⋅ + += =
+ + + +
 
 
a) [ ]100 e [ ]110 .
b) [ ]100 e [ ]111 .
4. A superfície de aço pode ser endurecida pela carbonetação. Durante um tratamento desse tipo 
a 1100 °C, estime o fluxo de átomos de carbono no aço nessa região próxima à superfície.
Dados: 
2
117,92 10CnoFe
mD
sα
−= × e 
29
48, 23 10
c átomos
x m
∂
= − ×
∂
.
5. A 200 °C, uma liga de solda Pb-Sn 50:50 existe como duas fases: um sólido rico em chumbo e 
um líquido rico em estanho. Calcule os graus de liberdade a uma pressão constante de 1 atm 
para:
a) Uma solução sólida de monofásico do Sn dissolvida no solvente Pb.
b) Pb puro abaixo de seu ponto de fusão.
c) Pb puro em seu ponto de fusão.
3.9 Atividades Propostas
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Espera-se que, com esta apostila, você, aluno(a), se envolva na disciplina, entenda e consiga definir 
os conceitos básicos da ciência dos materiais, sua classificação e estrutura, além de definir e identificar 
os materiais metálicos, poliméricos e cerâmicos, bem como a sua utilização e comportamento mecânico 
e termomecânico. Você irá desenvolver o raciocínio lógico e saberá utilizar e aplicar as equações perti-
nentes aos vários assuntos abordados e estudados na presente apostila, no âmbito profissional e, conse-
quentemente, na sociedade em que se encontra inserido(a).
ConsIDERAçÕEs FInAIs4
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Olá, aluno(a)! 
Para a resolução dos exercícios, não se esqueça de realizar uma revisão da teoria. Você poderá utili-
zar a sua calculadora científica para facilitar os cálculos.
CAPÍTULO 1
1. Vamos calcular o número de átomos de magnésio.
O volume será dado por base x altura
 átomos de Mg.
2. Para calcular a massa, você deve lembrar a relação 
V
m
=ρ .
O problema nos fornece a densidade MgO, ou seja: 
REspostAs CoMEntADAs DAs 
AtIVIDADEs pRopostAs
Aparecido Edilson Morcelli
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3. Você possui os dados:
A dimensão será dada por: 
densidade
atômicamassaensão =dim
CAPÍTULO 2
1. Para calcular a densidade do , sabendo-se que é um metal com estrutura ccc:
Dados: massa atômica de e .
Para o , temos: , portanto:
A densidade é dada por: 
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2. Vamos calcular o FEI do CaO:
Dados: e 
Lembre-se: 
O volume unitário da célula será dado por:
O FEI será dado por:
3. Você deve analisar os dados fornecidos no exercício. Os dados fornecidos são:
 e Ca=40,08 u.m.a. O=16,00 u.m.a.
O volume da célula unitária é dada por: 
A densidade será dada pela relação:
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Portanto: 
4. Para calcular quantas células unitárias estão contidas em 1 kg de polietileno comercial, 50% 
cristalino e o restante amorfo, sabendo que ele possui uma densidade global de 0,940 Mg/cm3, 
você deve observar que as células unitárias estão presentes somente na parte cristalina.
O volume da fase cristalina será dado por:
O número de células unitárias será:
5. Para você calcular a densidade do germânio (Ge), vamos utilizar os dados: e 
Para o germânio, o valor de a será dado por: 
O volume é calculado utilizando a relação: 
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A densidade será: 
CAPÍTULO 3
1. O problema nos fornece a fonte de raiosX do cobre, que possui (radiação 
CuKα ), e o plano .
Vamos utilizar a equação de Bragg dada por:
θλ dsenn 2=
Agora, você vai isolar a variável θ e a equação se torna equivalente:
d
sen
2
λθ =
d
arsen
2
λθ =
Vamos substituir o valor das variáveis dadas no problema:
Portanto: 
 e o valor de 
2. Você deve seguir o mesmo procedimento do exercício anterior. A fonte de raios X do cobre 
possui (radiação CuKα ) e foi utilizada para a difração do alumínio.
Vamos determinar o ângulo θ para o plano .
Vamos utilizar a equação de Bragg dada por:
θλ dsenn 2=
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Agora, você vai isolar a variável θ e a equação se torna equivalente:
d
sen
2
λθ =
d
arsen
2
λθ =
Portanto, temos: 
 e 
3. Para calcularmos o ângulo entre as direções no sistema cúbico, vamos utilizar a relação: 
a) Você agora deve isolar o delta:
 b) 
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4. O problema nos fornece os seguintes dados:
 e 
Você deverá lembrar-se da relação de Fick dada por:
Vamos substituir os valores dados na equação; portanto, temos:
5. A relação geral entre a microestrutura e essas variáveis de estado é dada pela regra de fases de 
Gibbs, dada por:
1+−= PCF , 
a) 121 −=⇒+−= FPCF
b) 1111 =+−=F
c) 0121 =+−=F
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53
AMALDI, U. Imagens da física – As idéias e as experiências do pêndulo aos quarks. São Paulo: Scipione, 
1995.
CALLISTER JR., W. D. Ciência e engenharia de materiais: uma introdução. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 
2000.
CULLIT, B. D. Elements of x-ray diffraction. 2. ed. Massachusetts: Addison-Wesley, 1978.
EISBERG, M. R. Fundamentos da física moderna. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1979.
GUY, A. G. Ciência dos materiais. Rio de Janeiro: LTC; São Paulo: EDUSP, 1980.
HALLIDAY, D.; RESNIK, R.; KRANE, K. S. Física. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. 4 v.
METALS HANDBOOK. Atlas de microestrutura. 8. ed. Ohio: American Society for Metals, 1972. v. 7.
PADILHA, A. F. Materiais de engenharia: microestrutura e propriedades. Curitiba: Hemus, 2000.
SHACKELFORD, J. F. Ciência dos materiais. Tradução de Daniel Vieira. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2011.
ZEMANSKY, M. W. Heat and thermodynamics. 4. ed. [S.l.]: McGraw-Hill, 1957.
REFERÊnCIAs
	Engenharia de Materiais_online_maio_2012
	INTRODUÇÃO
	1 
	CONCEITOS FUNDAMENTAIS
	1.1 Classificação dos Materiais
	1.2 Ligação Iônica e a ligação Secundária ou de Van der Waals
	1.3 A Estrutura Cristalina
	1.4 Exercícios Resolvidos
	1.5 Resumo do Capítulo
	1.6 Atividades Propostas
	2 
	ESTRUTURAS METÁLICAS
	2.1 Estruturas Cerâmicas
	2.2 Estruturas Poliméricas
	2.3 Estruturas Semicondutoras
	2.4 Exercícios Resolvidos
	2.5 Resumo do Capítulo
	2.6 Atividades Propostas
	3 
	ESTUDO DA REDE CRISTALINA
	3.1 Direções e Planos Cristalográficos
	3.2 O Ângulo entre as Direções e os Índices de Miller 
	3.3 Difração de Raios X
	3.4 Microscopia Eletrônica de Transmissão e Varredura
	3.5 Defeitos Pontuais e Difusão no Estado Sólido
	3.6 Diagramas de Fases e o Desenvolvimento de Microestruturas 
	3.7 Exercícios Resolvidos
	3.8 Resumo do Capítulo
	3.9 Atividades Propostas
	4
	CONSIDERAÇÕES FINAIS
	RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS
	REFERÊNCIAS